GEOMETRIA DESCRITIVA - Laboratório Livre .Módulo 2 - Geometria Descritiva - 10º E - formador Ricardo

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  • Mdulo 2 - Geometria Descritiva - 10 E - formador Ricardo Ramalho - 2009/2010

    GEOMETRIA DESCRITIVA...

    o que e para que serve!

  • Mdulo 2 - Geometria Descritiva - 10 E - formador Ricardo Ramalho - 2009/2010

    Desde sempre, o homem, na sua necessidade de comunicao, procurou encontrar um meio de representar as formas dos objectos que o rodeavam.

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    Assim, Gaspar Monge (1746 - 1818) quem, com a sua Geometrie Descriptive reuniu e sistematizou num processo coerente os meios que at ai eram usados de modo impreciso e variavel.

    Gaspard Monge (Beaune, 10 de maio de 1746 - Paris, 28 de julho de 1818) foi um matemtico francs, criador da geometria.

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    Monge criou um mtodo que permite representar, com preciso, os objectos que tm trs dimenses (comprimento, largura e altura) numa superficie plana.

    Este processo baseia-se no conceito de projeco, que est na base de todos os actuais sistemas de representao rigorosa.

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    Projeco

    Se considerarmos um plano (a) no qual desejamos projectar uma dada figura [CDE] e um ponto que designaremos como origem [O].Ao fazer passar linhas rectas por todos os pontos da figura considerada e pela origem, obtemos um feixe de rectas (projectantes) que intersectar o plano segundo uma outra figura [C1 D1 E1] que ser a projeco da primeira sobre esse plano.Cada sistema de projeces refere-se sempre a uma determinada origem, e quando esta est situada a uma distncia finita, diz-se que a projeco cnica ou central (figura 1). O

    C

    DE

    C1

    D1

    E1

    afigura 1

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    Projeco

    Quando a origem se localiza a uma distncia infinita, as projectantes resultam paralelas e a projeco chamada por paralela ou cilndrica (figura 2).

    C

    D E

    C1

    D1E1

    a

    G1F1

    G

    F

    figura 2

  • Mdulo 2 - Geometria Descritiva - 10 E - formador Ricardo Ramalho - 2009/2010

    Sistema Didrico

    Neste mtodo, consideram-se dois planos de projeco perpendiculares entre si, o plano frontal (ou vertical) e o plano horizontal, dividindo o espao em quatro partes - os Diedros.

    A recta de interseco destes dois planos chama-se eixo X.

    Cada figura do espao fica definida pelas suas projeces ortogonais sobre cada um desses planos, uma vertical e outra horizontal.

    X4 Diedro3 Diedro

    2 Diedro 1 Diedro

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    1 D2 D

    4 D3 D

    x

    Planos Bissectores

    Como vimos antes, o plano frontal e o plano horizontal, ortogonais entre si, dividem o espao em quatro Diedros. Estes por sua vez, so divididos em Octantes pelos respectivos planos bissectores.

    Na figura em baixo, est representado o plano bissector do 1 Diedro que bissecta, simultaneamente, o 3 Diedro - o primeiro bissector ou o bissector dos diedros impares: o B1/3.

    De notar que o B1/3 contm o eixo X e divide cada um dos dois diedros em dois diedros geometricamente iguais.

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    1 D2 D

    4 D3 D

    x

    Planos Bissectores

    Na figura seguinte, temos o plano bissector do 2 Diedro - B2/4.

    De notar que o B2/4 contm tambm o eixo X e divide cada um dos dois diedros em dois diedros geometricamente iguais.

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    Planos Bissectores

    Assim, os quatro planos (plano frontal, plano horizontal, B1/3 e B2/4) dividem o espao em oito Octantes.

    3 D 4 D

    2 D 1 D

    X5 oct.

    6 oct.7 oct.

    8 oct.

    1 oct.

    2 oct.3 oct.

    4 oct.

    5 oct.

    6 oct. 7 oct.

    8 oct.

    1 oct.

    2 oct.3 oct.

    4 oct.

    X

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    Sistema Didrico

    Como em todos os sistemas de projeco pretende-se a representao das trs dimenses num s plano (o do desenho), este problema resolvido pelo rebatimento em torno do eixo X de um sobre o outro dos dois planos de projeco considerados.

    Deste modo o plano do desenho fica dividido horizontalmente pelo eixo X, representando-se para cima dele as projeces feitas sobre o Semiplano Frontal Superior - SPFS e sobre o semiplano horizontal posterior - SPHP e para baixo as projeces feitas sobre o Semiplano Frontal Inferior - SPFI e sobre o Semiplano Horizontal Anterior - SPHA.

    X

    SPFS

    SPFI

    SPHA

    SPHP

  • Mdulo 2 - Geometria Descritiva - 10 E - formador Ricardo Ramalho - 2009/2010

    Referenciais

    Um referencial um conjunto de elementos que nos permite organizar uma determinada entidade (recta, plano, espao, etc.)

    Referencial a 1 dimenso- um referencial a uma dimenso constituido por uma recta, ou eixo ordenado, num referencia unidimensional, cada ponto ter, assim, uma nica coordenada - a abcissa.

    A -> 4;B -> -2

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

    B O A

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    x

    C

    Referenciais

    Referencial a 2 dimenses

    Um referencial a duas dimenses (bidimensional) existe num plano - constituido por dois eixos coordenados, que so duas rectas concorrentes na origem do referencial. Num referencial bidimensional, cada ponto tem duas coordenadas - a abcissa e a ordenada.

    A (5,2)

    B (4, -3)

    C (-2, 0)

    y

    O

    A

    B

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    y

    z

    O

    A

    Referenciais

    Referencial a 3 dimenses

    Um referencial tridimensional constituido por trs eixos coordenados, que so trs rectas complanares duas a duas e concorrentes num nico ponto, que a origem do referencial. Num referencial tridimensional, cada ponto tem trs coordenadas - a abcissa, a ordenada e a cota.

    Notem que a figura seguinte no tem trs dimenses - a figura aolado a representao bidimensional de um referencial a trs dimenses!

    A (4; 2; 3)

    x

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    y

    z

    O

    Referenciais

    Referencial a 3 dimenses

    Notem que, num referencial tridimensional, os trs eixos definem trs planos: o plano xOy, o plano xOz e o plano yOz.

    Assim, ao estudarmos as formas no espao - Geometria no espao - consideramos que o espao (finito) se encontra organizado por um referencial a trs dimenses.

    x

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    Organizao do Espao

    Como vimos antes, um referencial no espao (a trs dimenses) constituido por trs planos ortogonais entre si - um plano frontal (ou vertical), um plano horizontal e um plano de perfil (que tambm vertical).

    Os planos so infinitos, mas para que a sua representao fique legivel necessrio estabelecer limites.

    Planos do referencial:

    - plano horizontal ( l-se Niu zero) ou plano Xoy; - plano frontal ( l-se Fi zero) ou plano xOz; - plano de perfil ( l-se Pi zero) ou plano yOz.

    y

    x

    o

    z

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    Coordenadas de um ponto

    As trs coordenadas de um ponto em Geometria Descritiva so a abcissa, o afastamento e a cota. E so escritas sempre nesta ordem!

    Deste modo a expresso:

    P (x; y; z) indica-nos que o ponto P tem x de abcissa, y de afastamento e z de cota.

    y

    x

    o

    z

    PAFASTAMENTOABCISSA

    COTA

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    Variao do sinal das coordenadas de um ponto

    Cota

    - um ponto com cota positiva situa-se acima do plano horizontal, pode situar-se no 1 Diedro, no 2 Diedro ou no SPFS (sentido positivo do eixo z);- um ponto com cota negativa situa-se abaixo do plano horizontal, pode situar-se no 3 Diedro, no 4 Diedro ou no SPFI (sentido negativo do eixo z);- um ponto com cota nula situa-se no plano horizontal (plano XY), a sua distncia ao plano horizontal zero e pode situar-se no SPHA, no SPHP ou no eixo X.

    y

    x

    o

    z

    + +

    - -

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    Variao do sinal das coordenadas de um ponto

    Afastamento

    - um ponto com afastamento positivo situa-se para a frente do plano frontal, pode situar-se no 1 Diedro, no 4 Diedro ou no SPHA (sentido positivo do eixo y);- um ponto com afastamento negativo situa-se atrs do plano frontal, pode situar-se no 2 Diedro, no 3 Diedro ou no SPHP (sentido negativo do eixo y);- um ponto com afastamento nulo situa-se no plano frontal (plano XZ), a sua distncia ao plano frontal zero e pode situar-se no SPFS, no SPFI ou no eixo X.

    y

    x

    o

    z

    +

    +

    -

    -

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    Variao do sinal das coordenadas de um ponto

    Abcissa

    - um ponto com abcissa positiva situa-se para a esquerda do plano de perfil (sentido positivo do eixo x);- um ponto com abcissa negativa situa-se para a direita do plano de perfil (sentido negativo do eixo x);- um ponto com abcissa nula situa-se no plano de perfil (plano YZ), a sua distncia ao plano de perfil