Ge_Pl_A02_WEB

Iran Abreu Mendes

José Querginaldo Bezerra

Autores

aula

02

Geometria Plana e EspacialD I S C I P L I N A2ª Edição

Formas geométricas básicas e a crença nos postulados

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rego

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio FelipePedro Daniel Meirelles FerreiraTatyana Mabel Nobre Barbosa

Revisoras de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Câmara

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno Cruz de Oliveira

Maurício da Silva Oliveira JúniorThaisa Maria Simplício Lemos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

MasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd, East, San Rafael, CA 94901,USA.

MasterFile – www.masterfile.cpomMorgueFile – www.morguefile.com

Pixel Perfect Digital – www.pixelperfectdigital.comFreeImages – www.freeimages.co.uk

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OneOddDude.net – www.oneodddude.net

Mendes, Iran Abreu.Geometria espacial: interdisciplinar / Iran Abreu Mendes, José Querginaldo Bezerra. – Natal, RN:

EDUFRN Editora da UFRN, 2005.324 p.

1. Geometria euclidiana. 2. Teoremas clássicos. 3. Triângulos. I. Bezerra, José Querginaldo. II. Título.

ISBN 85-7273-288-8 CDD 516.2RN/UF/BCZM 2005/48 CDU 514.12

Divisão de Serviços TécnicosCatalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Copyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

2ª Edição Aula 02 Geometria Plana e Espacial

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

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�2ª Edição Aula 02 Geometria Plana e Espacial

Compreender as noções primitivas de ponto, reta e plano como elementos básicos para a construção do seu conhecimento sobre geometria;

Deduzir fatos geométricos a partir das noções primitivas;

Avaliar o papel dos axiomas e a importância do método dedudivo.

Apresentação

esta aula, introduziremos as noções de ponto, reta e plano, consideradas como “noções primitivas” e os axiomas de incidência e ordem, medição de segmentos e medição de ângulos. Na aula anterior (aula 1), já explicamos o porquê dos axiomas e

seu papel no desenvolvimento da geometria. Isso ficará claro na argumentação que usaremos em algumas atividades, em que fazemos uso do Método Dedutivo (ou Axiomático), que consiste em deduzir novas proposições a partir de premissas já estabelecidas.

ObjetivosAs atividades propostas nesta aula pretendem contribuir para que você possa:

N

�

2

3

2 Aula 02 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição 2ª Edição Aula 02 Geometria Plana e Espacial

Observe, em seu ambiente de estudo, na sua casa, nos prédios em geral, no trabalho, na natureza etc.:

n o encontro de duas paredes;

n o encontro de uma parede com o piso;

n o fio esticado do prumo do pedreiro;

n a superfície de um lago quando a água está em repouso;

n o tampo de uma mesa ou o piso de uma casa;

n uma planície perfeita;

n as estrelas no céu;

n a marca da ponta de um lápis deixada no papel;

n o risco feito com o auxílio de uma régua numa folha de papel sobre uma mesa lisa;

n o cruzamento de duas rodovias num mapa;

n a luz passando por um pequeno buraco num ambiente escuro.

Observações do dia-a-dia

Se você associou essas coisas a pontos, retas e planos, parabéns! Caso contrário, faça uma nova leitura e reflita mais um pouco.

Essas noções são ditas primitivas exatamente por essa razão, isto é, as pessoas podem entendê-las, podem aceitá-las sem maiores explicações, naturalmente.

É possível explicarmos por que, por exemplo, a marca feita pela ponta de um lápis no papel não é um ponto. Se a marca for feita com um lápis de ponta grossa, ficará diferente de uma marca feita com um lápis de ponta fina. Concorda?

A marca feita pela ponta de um lápis, assim como o cruzamento de duas rodovias num mapa, não são pontos e, sim, representações de pontos.

Veja uma tentativa de definir ponto: um ponto é um círculo de raio nulo. Essa definição não é boa porque ainda não explicamos o que é um círculo, o que é raio e, o que é mais estranho, raio nulo! Qualquer outra tentativa teria esse tipo de problema.

Teríamos as mesmas dificuldades para definir reta e plano. Dessa forma, como essas noções são bastante intuitivas, é preferível admiti-las sem preocupação em defini-las formalmente.

Pense um pouco sobre o que você observou e/ou imaginou!


Atividade 1

Pegue uma folha de papel. Imagine que existam folhas tão grandes quanto se possa imaginar. Imagine uma folha de comprimento e largura infinitos. Depois de algum momento de reflexão, o que você pode concluir sobre a noção de plano?

Cada vinco representa ___________________________________

A interseção (encontro) dos vincos representa _________________

_____________________________________________________

Abra a folha e, com o auxílio de uma régua e de um lápis, faça um risco em cima de cada marca (vinco ou dobra). À qual idéia você associa esses riscos?

Pegue a folha de papel, dobre-a ao meio (ou em qualquer posição), deixando a marca (vinco) da divisão. Repita o procedimento fazendo outro vinco, de modo que ele se encontre (intercepte) com o primeiro.

Marque, na sua folha de papel, alguns pontos com lápis, se possível, de diferentes cores. Você sempre poderá marcar mais pontos? Há um limite máximo de pontos? Justifique suas respostas.

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2

3

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Atividade 2

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2

Marque, em uma folha de papel, um ponto, indicando-o com a letra A.

Usando régua e lápis ou caneta, tente traçar todas as retas que passam pelo ponto A.

É possível traçar todas as retas que passam pelo ponto A? Por quê?

Quantas retas passam pelo ponto A?

O que você conclui disso?

Marque, no verso da folha, dois pontos em lugares diferentes e indique-os por A e B. Utilizando régua e lápis ou caneta, tente traçar todas as retas que passam por esses dois pontos. Quantas retas você conseguiu traçar?

Qual o menor número de pontos necessários para traçar uma reta?

O que você pode concluir disso?

345

6

78

Uma vez que você entendeu as idéias de ponto, reta e plano, vamos praticar novas atividades, que nos levem a enunciar alguns fatos novos, envolvendo esses três elementos básicos da geometria. De antemão, acreditamos que já é possível, para você, assumir que um plano é formado por infinitos pontos e que as retas são subconjuntos especiais de pontos do plano.

5.


Nessa atividade, concluímos que por um ponto dado passam infinitas retas e

Axioma � – Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Como frisamos na aula 1, os axiomas constituem o alicerce de uma teoria. Daqui para frente, observe que tudo o que formos deduzir (ou introduzir) será respaldado por fatos ou resultados já estabelecidos.

sua

resp

osta3.

4.

5.

6.

7.

8.


Imagine um rio em época de cheias. As pessoas gostam de ver e viver aquele período. Ficam nas margens do rio, umas de um lado e outras do outro, não é verdade? Pois bem, o mesmo acontece com uma reta. Existem pontos num mesmo lado e pontos em lados opostos.

Na figura a seguir, A e B estão de um mesmo lado da reta m, enquanto A e C estão em lados opostos, tudo no mesmo plano.

Como podemos observar, as relações posicionais estabelecidas referem-se sempre a cada dois pontos e a uma reta. Assim sendo, qual a relação posicional entre B e C? Você deve ter percebido que B e C também estão em lados opostos da reta m.

Observe os postes de iluminação pública de sua cidade. É comum se dizer que determinado poste está entre outros dois, não é? A mesma coisa acontece com os pontos de uma reta.

Na figura a seguir, o ponto B está localizado entre A e C, enquanto o ponto C está entre B e D. Podemos dizer que B está entre A e D?

Posição de pontos não pertencentes a uma reta

Figura 1

Figura 2

Posição de pontos pertencentes a uma reta


Você deve ter respondido, em relação à última pergunta, que B está entre A e D. Além disso, você também percebeu que:

Axioma 2 – Dada uma reta, existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem a essa reta.

Axioma 3 – Dados três pontos distintos numa reta, um, e apenas um deles, localiza-se entre os outros dois.

Axioma 4 – Dados dois pontos distintos A e B, numa mesma reta, sempre existe um ponto C entre A e B e, um ponto D, tal que B está entre A e D.

Reflita bem a respeito dessas três afirmações. São novos axiomas e, como os que já foram inseridos e outros que iremos introduzir neste texto, dispensam prova por serem suficientemente claros e evidentes.

justifique, com base no axioma 4, as afirmações seguintes.

a) Entre dois pontos de uma reta existem infinitos pontos.

b) Se A e B são pontos de uma reta, existem infinitos pontos X pertencentes à reta, tais que B está entre A e X.

Desafio

sua

resp

osta

a)

b)


O conjunto formado pelos pontos distintos A e B sobre uma reta e todos os pontos que estão entre A e B é chamado de segmento de reta AB (ou simplesmente segmento AB).

Já dissemos que dada uma reta m, existem pontos de ambos os lados da reta. Como decidir se estão em um mesmo lado ou em lados opostos? Veja a figura a seguir e observe o que ocorre com os segmentos AB e CD em relação à reta m.

Atividade 3

Com base nas considerações apresentadas até agora e na Figura 5, complete as lacunas vazias das afirmações seguintes.

a) Dizemos que dois pontos A e B estão de um mesmo lado de uma reta m se o segmento AB_________________________________

b) Dizemos que dois pontos C e D estão em lados opostos de uma reta m se o segmento CD ________________________________

c) Os pontos A e E estão ________________________ da reta m.

d) Os pontos B e D estão ________________________ da reta m.

e) Os pontos E e D estão _________________________da reta m.

segmento AB

O conjunto formado pelo segmento AB e por todos os pontos X, tais que B está entre A e X é chamado de semi-reta SAB.

Figura 3

semi-reta SAB

A XB

Figura 4

Figura 5


Na figura a seguir temos, num mesmo plano, uma reta m e um ponto A que não pertence à reta.

Existe uma infinidade de pontos no mesmo lado de A (em relação à reta m) e uma infinidade de pontos que estão no lado oposto.

Pois bem! O conjunto de pontos de m e mais os pontos que estão no mesmo lado de A é chamado de semi-plano determinado por m, contendo A. Esse conjunto é representado por PmA.

Reflita sobre o axioma a seguir.

Axioma 5 – Uma reta m num plano determina exatamente dois semi-planos distintos, cuja interseção é a reta m.

Antes de passarmos para os axiomas de medição, faremos algumas atividades, com o objetivo de fixar melhor os conceitos introduzidos nesta etapa, de modo a contribuir para que você alcance uma compreensão ampla dos significados desses conceitos.

Reflita sobre a conclusão acima para verificar que com relação à posição relativa de duas retas há três possibilidades:

n as retas não se interceptam – chamadas retas paralelas;

n as retas se interceptam em um único ponto – chamadas retas concorrentes;

n as retas se interceptam em pelo menos dois pontos –chamadas retas coincidentes.

Atividade 4

Tente desenhar duas retas distintas que se interceptem em dois pontos. Não é possível, você concorda? _______.

Se elas tivessem dois pontos em comum, coincidiriam, já que por dois pontos

distintos passa uma única reta. Qual axioma garante isso? _______________

_________________________________.

Figura 6

Conclusão: duas retas distintas ou não se interceptam ou se interceptam em um único ponto.

�0 Aula 02 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição 2ª Edição Aula 02 Geometria Plana e Espacial

Atividade 5

Marque, numa folha de papel, dois pontos A e B. Trace (com canetas de cores diferentes, se possível) as semi-retas SAB e SBA. Agora responda:

SAB SBA representa ____________________________________________

SAB SBA representa ____________________________________________

A trena é um instrumento usado pelos marceneiros, pelos pedreiros ou mestres de obras, pelo topógrafo, etc., para medir comprimentos. Nas lojas de tecidos, os vendedores usam uma barra de madeira numerada, chamada “metro”. O instrumento mais usado para medir segmentos de reta é a régua numerada, muito usada nas escolas, nas aulas de desenho. Veja a ilustração abaixo.

Note que, para medir o comprimento de um segmento de extremidades A e B, não é necessário que o zero da régua coincida com o ponto A. Veja a ilustração abaixo.

Figura 7

Figura 8

��2ª Edição Aula 02 Geometria Plana e Espacial

Um fato notável que vamos admitir como axioma é o seguinte.

Axioma 6 – À cada par de pontos do plano, corresponde um número real maior ou igual a zero, sendo esse número igual a zero se, e somente se, os pontos coincidirem.

Se A e B são dois pontos do plano, o número referido acima é a distância entre os dois pontos, que denotaremos por d(A, B), ou o comprimento do segmento determinado pelos dois pontos, que denotaremos por AB.

No caso específico de pontos de uma reta, temos o seguinte axioma.

Axioma 7 – Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais, de modo que a distância entre dois pontos é o valor absoluto da diferença dos números correspondentes.

Assim, se a é o número que corresponde ao ponto A e b é o número que corresponde ao ponto B, d(A,B) = |a-b|.

O último axioma sobre medição de segmentos que vamos usar é o seguinte.

Axioma 8 – Se o ponto C encontra-se entre A e B, então d(A,C) + d(C,B) = d(A,B).

Correspondência biunívoca

é o mesmo que correspondência um a um, isto é, a cada elemento de um conjunto corresponde um único elemento do outro e, reciprocamente.

Desenhe uma semi-reta SAB e, sobre ela, marque um ponto C, tal que d(A,C) < d(A,B). Verifique (visualmente) que C está entre A e B. Agora, responda, justificando.

a) Nessas circunstâncias, A poderia estar entre B e C? __________________

b) Se B estivesse entre A e C, o que aconteceria? Use os axiomas de medição

de segmentos para tirar suas conclusões. ____________________________

_______________________________________

c) Você acabou de mostrar que ___________________________________

_____________________________________________________________

________________________________________

Atividade 6


As semi-retas são chamadas lados e a origem comum, de vértice do ângulo. Se A e B são pontos nas semi-retas de origem O, denotamos tal ângulo por AÔB. Vide figura abaixo.

Obs.: note que, nessa atividade, você tinha três possibilidades: A entre B e C; B entre A e C; e C entre A e B. Você verificou que as duas primeiras não podem ocorrer. Logo, a terceira tem que ocorrer.

A noção que vamos introduzir agora é muito importante e útil em nosso cotidiano. É a noção de ângulo, que está relacionada com a idéia de declividade e de inclinação, a qual você certamente conhece. Reflita um pouco.

Para medir ângulos, vamos usar o grau, mas existem outras unidades, como o grado e o radiano. O grau foi inventado pelos Babilônios, que usavam um sistema de numeração sexagesimal, isto é, de base 60, que foi sem dúvida, uma das maiores contribuições científicas dessa civilização.

Assim como a régua numerada é usada para medir segmentos, o instrumento para medir ângulos é o transferidor.

Para você ter uma idéia da importância do ângulo, pergunte a um mestre de obras ou a um marceneiro o que é um ângulo de 900, de 450 ou de 300. Veja também os telhados dos prédios e as numerações contidas nos meridianos do globo terrestre.

Ângulo é uma figura formada por duas semi-retas com mesma origem. Veja a Figura 9.

Figura 9

Figura 10 Figura 11


As Figuras 12 e 13, a seguir, indicam outra forma de representar o ângulo AÔB.

Quando não há razão para dúvidas escreve-se apenas Ô em vez de AÔB.

Quando o ângulo é formado por duas semi-retas opostas, é chamado de ângulo raso. Veja na figura abaixo o ângulo raso AÔB.

A Figura 15 mostra dois tipos de transferidores e a medição de dois ângulos. Note que a posição dos vértices dos ângulos deve coincidir com a origem (centro) do transferidor, mas os lados dos ângulos podem ficar em qualquer posição, desde que ambos coincidam com marcas do transferidor.

Figura 12 Figura 13

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Os axiomas a seguir, similares aos axiomas de medição de segmentos, nos indicam como medir ângulos. Antes de enunciá-los, observe a figura abaixo formada por uma reta m e uma semi-reta SOB, com O pertencente à reta m. Já sabemos que a reta m divide o plano em dois semi-planos, correto? Note, na figura, que a semi-reta está dividindo um dos semi-planos em duas partes.


Agora, vamos enunciar os axiomas sobre medição de ângulos.

Axioma � – A cada ângulo está associado um número maior ou igual a zero. Esse número – a medida do ângulo – é igual a zero se, e somente se, as duas semi-retas que formam o ângulo forem coincidentes.

O axioma seguinte nos diz como usar o transferidor para medir ângulos.

Axioma �0 – Existe uma correspondência biunívoca entre os números reais de 0 a 180 e as semi-retas com origem num ponto O de uma reta m, que estão num mesmo semi-plano determinado por essa reta. A diferença entre dois desses números é a medida do ângulo formado pelas respectivas semi-retas.

Seja m uma reta que contém os pontos A, B e O, com O entre A e B. Se C não pertence a m e SOC é uma semi-reta, então, ficam determinados três ângulos: AÔB, AÔC e BÔC.

Sejam SOA, SOB e SOC semi-retas distintas de mesma origem O e A, B e C, pontos distintos. Se o segmento AB interceptar SOC, dizemos que SOC divide o ângulo AÔB. Vide ilustração a seguir:

Figura 17

Figura 18

AB

0

Figura 19

Dizemos que uma semi-reta divide um semi-plano se ela estiver contida no semi-plano e sua origem for um ponto da reta que o determina.


Atividade 7

Faça um desenho que corresponda ao axioma 11. Pegue um transferidor e

meça os ângulos AÔC e CÔB. Some os valores encontrados. O resultado foi

______________________________.

A medida do ângulo formado por duas semi-retas coincidentes é __________

__________________________________________.

Quando duas retas se interceptam num ponto O ficam determinados quatro ângulos, conforme mostra a Figura 20. O menor desses ângulos é definido como o ângulo entre essas duas retas.

Os pares de ângulos AÔB e DÔC, AÔD e BÔC são ditos opostos pelo vértice.

Note que AÔB + BÔC = 180º, BÔC + CÔD = 180º e CÔD + AÔD = 180º. Confira com um transferidor!

Axioma �� – Se uma semi-reta SOC divide um ângulo AÔB, então AÔB = AÔC + CÔB.

Figura 20

Atividade 8

�Você notou que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida? Use o transferidor para verificar esse fato. Agora faça o seguinte: manipule, algebricamente, a segunda e a terceira igualdades, anteriores, para deduzir que AÔD = BÔC.


2Efetue a soma AÔB + BÔC + CÔD + AÔD da Figura 20. Se as medidas dos quatro ângulos fossem iguais, qual seria essa medida? Se você não encontrou 900, refaça os cálculos.

Bravo! Você acabou de provar que ângulos opostos pelo vértice têm mesma medida.

Os ângulos que medem 90º são chamados de ângulos retos.

Verifique que, se um dos quatro ângulos da Figura 20 (anterior) for reto, os outros três também serão. Por quê? Quando isso ocorre, dizemos que as duas retas são perpendiculares.

sua

resp

osta

�.

2.


Atividade 9

Desenhe uma reta m e um ponto A sobre ela. Use um dos axiomas sobre medição de ângulos para concluir que existe uma reta r que passa por A e forma um ângulo de 90º com ela. Qual o axioma que

você usou? ___________________________________________

Desenhe a reta r e uma outra reta t, supostamente diferente de r, que também passe por A, e admita que t também forma um ângulo de 90º com m. Use o fato de que os ângulos entre “r e m” e “t e m” medem 90º para concluir que o ângulo entre r e t é 0º. O que você deduz dessa conclusão? ________________________________

____________________________________________________

Veja se sua conclusão equivale a:

Por um ponto de uma reta passa uma única reta perpendicular a mesma.

�

2

ResumoNesta aula, apresentamos as noções primitivas de ponto, reta e plano. Introduzimos os 11 axiomas que relacionam pontos e retas, medição de segmentos e medição de ângulos. Apresentamos alguns conceitos importantes e orientamos você na resolução de atividades que resultaram em fatos relevantes da geometria, assim como na prática de fazer demonstrações, que é fundamental em Matemática.


Auto-avaliação

Justifique por que um segmento de reta AB tem infinitos pontos.

Se A, B e C são pontos de uma reta, com B entre A e C, prove que AB<AC.

Responda às seguintes questões, respaldando-se no resumo acima e, quando for o caso, no detalhamento da aula.

Decida se existem pontos A, B e C, tais que AB = 5, BC = 3 e CA = 1.

�

2

3

Use um transferidor e desenhe ângulos de 45º, 60º, 90º, 142º e 33º.4

Qual o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio quando são 12 horas e 30 minutos?5

Quais os ângulos mais usados na inclinação de um telhado? Consulte um mestre de obras, um engenheiro civil ou um arquiteto.6

Abra (desmonte) uma caixa de leite, de pasta de dentes ou de remédio e verifique as marcas correspondentes aos seus cantos. O que essas marcas representam? E o encontro de duas marcas? Procure saber o significado da palavra “planificação”.

7

��2ª Edição Aula 02 Geometria Plana e Espacial

BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 6.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.

O PRIMEIRO livro dos Elementos de Euclides. Tradução Irineu Bicudo. Editor geral John A. Fossa. Natal: SBHMat, 2001. (Série textos de história da matemática, 1).

LOFF, Dina Maria Santos. Algumas actividades didácticas para a introdução da geometria euclidiana. Coimbra: Universidade de Coimbra, 1993. (Publicações de história e metodologia da matemática).

LOUREIRO, Cristina et al. Geometria. Lisboa: Ministério da Educação, 1998.

OLIVEIRA, A. J. Franco de. Geometria euclidiana. Lisboa: Universidade Aberta, 1995.

RESENDE, Eliane Quelho; QUEIROZ, Maria Lúcia Boutorim de. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. Campinas: Editora da UNICAMP, 2000. (Coleção livro-texto).

Referências

20 Aula 02 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição

Anotações

Documents

Ge_Pl_A02_WEB