Gil da Costa Marques - midia.atp.usp.br · Heinrich Friedrich Emil Lenz deu outra contribuição significativa para o entendimento do fenômeno ao definir um critério para se estabelecer

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Elet

rom

agne

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o

13.1 Introdução13.2 Dois fenômenos distintos13.3 O que é força eletromotriz?13.4 A lei de Faraday13.5 Aplicações

13.5.1 Geração de energia elétrica13.5.2 Motor elétrico13.5.3 Transformadores

13.6 Indutores e Autoindutância

Gil da Costa Marques

A InDuçãO ElETrOMAGnéTICA13

299

Eletromagnetismo

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2

13.1 IntroduçãoVimos na eletrostática que uma distribuição de cargas produz um campo elétrico.

No entanto, não só cargas elétricas em repouso ou em movimento podem gerar campos elétricos.

Campos magnéticos, que variam com o tempo, também podem dar origem a campos elétricos.

Esse fenômeno é conhecido como indução, pois um campo elétrico é induzido pela variação

de outro campo – o campo magnético.

Neste tópico, abordaremos ainda outra forma de gerar campos magnéticos. Essa forma é um

tanto sutil. Trata-se de um efeito relativístico, ou seja, ainda que o campo magnético não varie com

o tempo, se nós nos colocarmos num referencial em movimento, nesse referencial existe um campo

elétrico que se relaciona de uma forma muito simples com o campo magnético. É um fenômeno

análogo à lei de Biot-Savart invertendo-se, no entanto, os papéis dos campos elétricos e magnéticos.

Tem origem, em última análise, no caráter relativo de campos dos campos elétricos e magnéticos.

Os dois fenômenos a serem abordados neste tópico têm um

número muito grande de aplicações. A lei que, afinal, descreve os dois

fenômenos em termos do conceito de força eletromotriz estabe-

lece o princípio básico sobre o qual está assentada, por exemplo, a

geração de energia elétrica em grande escala. Para isso, construímos

equipamentos denominados geradores. Outros dispositivos como

transformadores e motores fazem uso, para efeitos práticos, dos dois

fenômenos descritos nos dois primeiros parágrafos.

Apesar de outros pesquisadores estarem, àquela

época, investigando o fenômeno, credita-se a Michael

Faraday a descoberta experimental da indução eletro-

magnética no ano de 1831.

A experiência de Faraday era simples. Ele colocou

duas bobinas próximas uma da outra. Em seguida,

fez passar uma corrente por uma delas. Notou que,

ao abrir e fechar o circuito nessa bobina, surgia uma

corrente na outra. Dedicou-se ao tema durante muitos

anos, tendo realizado experiências envolvendo a indução

provocada por ímãs, além de bobinas.

Figura 13.1: Usina Hidroelétrica de Itaipu. De caráter binacional, localizada na fronteira entre Brasil e Paraguai.

Figura 13.2: Ilustração e esquema da experiência de Faraday.

300

13 A Indução Eletromagnética


Entendemos hoje que, ainda com referência à primeira experiência de Faraday, o movimento

dos elétrons no segundo circuito se deve ao surgimento de uma força elétrica que atua nesses

elétrons. Esse fenômeno foi descrito, historicamente, como associado a uma força eletromotriz.

Heinrich Friedrich Emil Lenz deu outra contribuição significativa para o entendimento do

fenômeno ao definir um critério para se estabelecer o sentido da corrente elétrica induzida.

Tal critério acarreta, na verdade, a determinação do sinal num dos membros da equação de Maxwell.

Faraday descobriu ainda um segundo fenômeno eletromagnético, ou seja, o surgimento de uma

força eletromotriz que provoca o deslocamento de elétrons num condutor. Nesse novo fenômeno,

não ocorre uma variação do campo magnético com o tempo. Ainda assim, surge uma força eletromo-

triz que impulsiona os elétrons ao movimento, desde que um condutor, um fio por exemplo, esteja

em movimento. Essa é a base do princípio de funcionamento do seu famoso Disco de Faraday.

Tal arranjo consistia, essencialmente, de

um disco de cobre colocado entre os

polos de um magneto com a forma de

uma ferradura, que, quando colocado em

movimento giratório, funciona como um

gerador (dito gerador homopolar). Assim,

coube a ele a construção do primeiro

gerador de eletricidade.

Assim, Faraday descobriu, por meio de experiências, que se pode gerar uma força eletromotriz

mesmo quando não existe uma variação do campo magnético ao longo de um circuito ou de

um condutor elétrico. Tal força eletromotriz surge quando o circuito ou o condutor se move

em determinadas direções em relação a um campo magnético uniforme.

Veremos, neste tópico, que a força eletromotriz (que, a rigor, não é uma força) se origina da variação do campo magnético produzido pelo primeiro circuito.

Figura 13.3: Ilustração e esquema do disco de Faraday.

Em resumo, Faraday descobriu dois fenômenos que, como se verá a seguir, podem ser descritos em termos de um único conceito – o conceito de força eletromotriz; portanto, os dois fenômenos eletromagnéticos, os quais, a despeito de terem origens distintas, podem ser descritos a partir de uma só lei.

301

Eletromagnetismo


Logo depois das descobertas de Faraday houve uma corrida para a construção dos precursores

dos dínamos, os quais são geradores de eletricidade baseados na variação do fluxo de campos

magnéticos. Os primeiros geradores eram muito ineficientes. Até então, a corrente elétrica era

fornecida pelas pilhas. A viabilidade prática de tais dispositivos e a fabricação de dínamos em

larga escala só vieram a acontecer depois de 1866.

Muitas são as aplicações práticas do fenômeno da indução e da relatividade dos conceitos de

campo elétrico e magnético. A seguir, analisaremos algumas delas.

13.2 Dois fenômenos distintosO surgimento de uma força eletromotriz no caso de condutores em repouso submetidos a

um campo magnético que varia com o tempo, e aquele em que os condutores se movimentam

numa região que contém um campo magnético constante no tempo tem explicações distintas.

É interessante que, apesar de terem origens distintas, ainda assim é possível descrever os dois

fenômenos utilizando apenas uma lei.

Num primeiro caso, estamos tratando da variação do campo

magnético com o tempo. Nesse caso, a Lei de Faraday, discutida a

seguir, se escreve da seguinte forma:

13.1

Essa é a equação básica do fenômeno da indução, ou seja, um

campo magnético que varia com o tempo se comporta como uma

fonte na geração de um campo elétrico (o campo elétrico induzido).

No segundo caso, um condutor ou um circuito é colocado em movimento numa região na

qual existe um campo magnético constante no tempo. Esse foi o segundo fenômeno observado

por Faraday a partir da sua experiência envolvendo um disco condutor em rotação.

Duas linhas de raciocínio inteiramente equivalentes podem ser adotadas para se entender a

segunda classe de fenômenos. Cada uma delas faz uma análise a partir de referenciais distintos.

Na primeira delas, o fenômeno é analisado a partir do referencial do laboratório, referencial

no qual os elétrons são vistos em movimento. Nesse caso, a existência da força que coloca os

Figura 13.4: A aproximação do ímã é equivalente à variação do campo mag-nético no circuito gerando um campo elétrico que colocará os elétrons.

BEt

∂∇× = −

∂

302



elétrons em movimento dentro de um condutor, quando este se move com velocidade v, é uma

consequência da Força de Lorentz. Assim, quando um condutor se move numa região em que

existe um campo magnético independente do tempo, cada um dos elétrons experimentará a

ação de uma força dada por:

13.2

Considere agora o caso em que analisamos o mesmo fenômeno a partir do referencial que

se move junto com o condutor.

Ele experimentará a ação de uma força magnética?

Não, pois nesse referencial tudo se comporta como se os elétrons estivessem em repouso.

A solução para esse aparente paradoxo vem da Teoria da Relatividade, na qual interpre-

tamos os campos elétricos e magnéticos como algo análogo a “duas faces da mesma moeda”.

Assim, de acordo com a Teoria da Relatividade, no referencial do condutor em movimento

existe, além do campo magnético, um campo elétrico, que é dado por:

13.3

onde, agora,

V é a velocidade relativa entre dois referenciais. No referencial do elétron, seu movi-

mento é atribuido ao campo elétrico resultante do movimento de acordo com a expressão 13.3.

Sobre o elétron age uma força dada por:

13.4

Assim, o resultado, quando analisado a partir dos dois referenciais, é o mesmo.

F r qV B r( ) = × ( )

E r V B rmovimento ( ) = × ( )

F r qE r qV B r( ) = ( ) = × ( )movimento

303

Eletromagnetismo


Exemplos

• ExEmplo 01A bobina retangular feita de fio de cobre é posta a girar com velocidade angular ω = 2πf por meio de uma manivela, numa região em que existe um campo magnético

B. Essa região se localiza entre os dois polos de um ímã. Fixando nossa atenção em apenas uma espira das grandes bobinas dos geradores de corrente elétrica, este arranjo simples permite entender o princípio de funcionamento de um gerador elétrico.

Como os elétrons livres do fio são postos em movimento?

→ REsolução:Ao girar os elétrons, eles adquirem uma velocidade

v associada ao movimento de rotação da espira ( v r= ×ω ). Isso significa que os elétrons livres do fio experimentam a ação de uma força magnética

dada pela equação 13.2, isto é:

F e v B= − ×( ) . O sinal negativo advém do fato de a carga do elétron ser negativa: q = −e (e = 1,6 × 10−19 C). A Figura 13.6 ilustra uma posição da espira na qual a velocidade

v é, momentaneamente, perpen-dicular a

B para facilitar o raciocínio.

Figura 13.5: Esquema de uma bobina girante.

Figura 13.6: Aplicação da Força de Lorentz F qv B= ×

sobre um elétron livre nos lados AB e CD da espira quando eles (este lados) cruzam perpendicularmente o campo magnético

B.

304



Na Figura 13.6, representamos duas situações opostas: no lado AB a força magnética

F sobre um elétron livre é no sentido B para A; e no lado CD, ela é no sentido C para D. Isso ocorre por causa da posição do elétron nesse segmento, que é invertida em relação ao segmento AB.Para melhor análise, vamos adotar um sistema cartesiano e escrever os vetores velocidade e campo magnético em função dos versores cartesianos. A Figura 13.7 mostra o sistema cartesiano adotado. Vamos agora analisar a força sobre um

elétron livre do lado AB enquanto a espira gira no sentido horário (quando vista de uma posição perpendicular ao plano que contenha a manivela em movimento).Seja φ o ângulo entre o plano que contém a espira e o plano xy que é, como resultado da rotação crescente no sentido horário, tendo como referência (φ = 0) quando a espira estiver na posição da Figura 13.7. A velocidade e o campo magnético podem ser escritos assim:

Substituindo-se na equação 9.1, teremos:

Como

j j×( ) = 0 e

k j i×( ) = − , temos:

Como se trata de um elétron: q = −e, a expressão da força se reduz a:

Devido ao movimento da espira, o ângulo φ varia com o tempo. Em termos do período do movi-mento de rotação, escrevemos:

Figura 13.7: Referencial cartesiano adotado: 0x na direção do eixo de rotação e o eixo 0y na direção e sentido do campo magnético

B. Em (b), o ângulo entre o lado AC e o campo magnético é φ, crescente no sentido da rotação da espira. Neste sistema:

B Bj= e

V V j v k= +sen . cos .ϕ ϕ .

a b

V V j V kB B j= +

=

.sen . .cos .

.

ϕ ϕ

F q V j V k B j qvB j j qVB k= +( ) × = ×( ) + ×. .sen . cos . .sen .cosϕ ϕ ϕ ϕ jj( )

F qV B i qvB i= [ ] −( ) = −[ ]. . .cos cosϕ ϕ

F e vB i eVB i= − −( ) = [ ]cos cos .ϕ ϕ

ϕ ωπ

= =tTt2

305

Eletromagnetismo


Analisemos o que ocorre com os elétrons do lado AB à medida que a espira gira de 0 até φ = π, ou seja, realiza uma meia rotação (decorrido um intervalo de tempo de meio período). Primeira-mente, como nesse intervalo a função cosφ cresce de 0 até 1 (−φ = π/2), a força varia de F = 0 até F = evB. Posteriormente, quando o ângulo varia de π/2 até π, a função cosφ varia de 1 até atingir o valor 0 e, portanto, nesse intervalo de tempo a força diminui até se anular em φ = π. Isso significa que, no primeiro momento, os elétrons livres, contidos no lado AB da espira, são impelidos sempre no mesmo sentido, o sentido positivo de 0x (ou seja, de B para A). No meio ciclo seguinte, quando o ângulo varia de π até 2π, o cosφ adquire valores negativos e a força F = eVBcosφ assume valores negativos, ou seja, os elétrons são impelidos no sentido oposto ao anterior (ou seja, de A para B).O que ocorre no lado CD da espira? Exatamente o oposto. Assim, conforme a espira gira, nos coletores 1 e 2 acumulam-se, alternadamente, cargas negativas em um deles e falta de cargas negativas em outro. Por isso, esse tipo de gerador é denominado gerador de corrente alternada. O vai e vem dos elétrons corresponde a uma corrente que se alterna. Tudo volta a acontecer da mesma forma depois de um período T.Podemos escrever a corrente alternada sob a forma:

13.5

Os elétrons livres dos lados AC e DB da espira também sofrem ação da Força de Lorentz, porém, eles são compelidos em direção à superfície interna do fio.

• ExEmplo 02Transferindo-nos para o referencial da espira em movimento, como se comporta o campo elétrico nos lados AB e CD da espira girante do Exemplo 01?

→ REsolução:Vamos usar os resultados do Exemplo 01. Lá foram estabelecidos:

Portanto, substituindo-se em 13.3 temos que o campo elétrico no interior dos fios da espira é:

Como

j j×( ) = 0 e

k j×( ) = −1 o vetor campo elétrico será

E VB i= − cos .ϕ .O campo elétrico tem a direção do eixo 0x (que é paralelo aos lados AB e CD da espira) mas no sentido oposto ao positivo do eixo 0x. Portanto, ao longo do lado AB da espira atua um campo elétrico expresso por

E VB i= − cos .ϕ , cujo sentido é oposto ao da força

F eVB i= cosϕ . O campo elétrico no interior do fio varia conforme a espira gira; para ângulos entre π ≤ φ ≤ 2π, o sentido do campo é oposto ao que vigora entre os valores 0 ≤ φ ≤ (π/2) em completa concordância com os resultados do Exemplo 01.

i i t= +( )0 sen ω δ

V V j V k B Bj= + =sen . cos .ϕ ϕ e

E V j V k B j VB j j VB k j= +( ) × = ( ) ×( ) + ( ) ×(sen . cos . . sen cosϕ ϕ ϕ ϕ ))

306



13.3 O que é força eletromotriz?Força eletromotriz (ε = f.e.m.) é uma grandeza física atribuída a fontes e dispositivos como

pilhas, baterias e geradores elétricos. Essa denominação, de natureza histórica, não é uma força,

como o nome sugere.

Na definição rigorosa de força eletromotriz, fazemos uso de grandezas físicas obtidas através

de integrais de caminhos dos campos elétricos. Nessa formulação, a força eletromotriz é defi-

nida como uma integral de caminho do campo elétrico, caminho designado por Γ, ao longo

de uma curva fechada, isto é, ela é definida por:

13.6

O campo elétrico acima pode ser de qualquer natureza: tanto aquele que resulta da variação do

campo magnético (veja expressão 13.1) como aquele deduzido a partir da teoria da relatividade

(expressão 13.3). Campos derivados de potencial, como aqueles da eletrostática contribuem

com um valor nulo para a f.e.m.

Como se nota na definição 13.6, a f.e.m. é a quantidade de energia por unidade de carga

(joule/coulomb) envolvida no deslocamento de uma carga elétrica – em um trajeto interno no

interior da fonte – de um terminal para outro, portanto – produzindo, entre eles uma diferença

de potencial elétrico. Por isso, ela é medida em “volt”.

13.4 A lei de FaradayPara introduzir a lei de Faraday, mister se faz definir outra

grandeza física denominada f luxo do campo magnético. Definimos

o f luxo do vetor campo magnético através de uma superfície deli-

mitada pelo caminho como a integral de superfície:

13.7

ε = ⋅∫� ��E dlΓ

Figura 13.8: Fluxo de um vetor através de uma superfície.

Φ = ∫∫�i�

B dSS

307

Eletromagnetismo


Muitas vezes podemos ter uma ideia do fluxo magnético analisando as linhas de força (ou

linhas do fluxo) do campo magnético.

Considere, a título de exemplo, o caso de um ímã. O f luxo magnético − φ − é tanto

maior quanto maior for o conjunto de “linhas de f luxo” do campo magnético que atravessa

uma superfície. O f luxo será máximo se as linhas forem perpen-

diculares à superfície. Caso isso não ocorra, devemos considerar

apenas as componentes normais. No ímã de barra, o f luxo mag-

nético através das superfícies dos polos é o conjunto de todas as

linhas de f luxo que as atravessam.

O fluxo magnético é uma grandeza escalar e a sua unidade de

medida no sistema SI é o “weber” (leia-se: véber), cujo símbolo é

Wb, em homenagem ao físico alemão Wilhelm Webber.

• ExEmplo 03Qual é o fluxo do campo magnético uniforme dado por

B B k= . através de uma espira plana retan-gular e pertencente ao plano xy (veja Figura 13.10), e de lados x = a e y = b?

→ REsolução:O elemento de área no plano xy é ds = dx.dy. Define-se o vetor elemento de área ds como um vetor perpendicular ao elemento de área, ou seja, ds = (ds).en, onde

en = vetor unitário na direção perpen-dicular à superfície. No caso em tela, a direção normal à superfície considerada é o eixo 0z, o que implica que

en =

k . Então, podemos escrever que ds = (ds).

k . Substituindo-se

B e ds na equação 9.4, temos:

Figura 13.9: Linhas de fluxo de um ímã de barra. As linhas são contínuas; elas atravessam a superfície do polo S e saem pela superfície do polo N, e retor-nam ao polo S e assim sucessivamente.

Figura 13.10: Fluxo do campo magnético num elemento de superfície plana.

ϕ = ⋅( ) = ⋅( ) = ( ) ⋅( ) = ( )∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫

B ds Bk ds k Bds k k BdsS S SS

.

308



Substituindo ds = dxdy, o fluxo é obtido resolvendo-se uma integral dupla cujo domínio é 0 ≤ y ≤ b e 0 ≤ x ≤ a, conforme indica a figura. Logo:

Unidade do campo magnético em função da unidade de fluxo.Da resposta acima podemos escrever: B = φ/S; portanto, a unidade de B = (unidade de fluxo)/(unidade de área) = Wb/m² = tesla = N/amp.m.

• ExEmplo 04A Figura 13.11 ilustra um campo magnético constante (módulo, direção e sentido) atraves-sando uma espira circular de área S totalmente contida no plano. Determine o fluxo do campo magnético na espira.

→ REsolução:Nesse caso, a direção normal ao plano da espira difere da direção do campo magnético de um ângulo θ.

A definição de produto escalar entre dois vetores nos leva a escrever

B . ds = B.ds.cosθ.

Portanto, ϕ θ θ= ( ) =∫∫ ∫∫B ds B dsS S

. .cos .cos . Uma vez que ds SS

. =∫∫ , o fluxo na espira é:

φ = B.S.cosθ.Observa-se que 1. Quando as linhas de fluxo forem perpendiculares ao plano da área S, o ângulo θ = 0° e cos0° = 1

e o fluxo φ = B.A.cosθ. = B.A atingem o valor máximo.2. Quando as linhas de fluxo passarem tangencialmente ao plano da área S, o ângulo θ = 90° →

cos 90° = 0 e o fluxo φ = B.A.cos90°= 0 são nulos nesse caso.

A Lei de Faraday estabelece uma relação muito simples entre a força eletromotriz e a taxa

com que o fluxo magnético varia com o tempo. Tal lei se escreve:

13.8

Seu significado físico é simples. Uma

corrente elétrica será induzida ao longo

de um circuito fechado se o campo

magnético variar com o tempo, afetando

o seu fluxo sobre uma superfície que

contém o circuito.

ϕ = = =∫∫ Bdydx B a b B Sba

00

. . .

Figura 13.11: Fluxo do campo magnético numa espira circular contida num plano.

Figura 13.12: A força eletromotriz é dada como a integral de caminho do campo elétrico numa curva fechada. O fluxo do campo magnético se refere ao fluxo numa superfície aberta delimitada por essa curva.

ε = −ddtΦ

309

Eletromagnetismo


A força eletromotriz surgirá tanto no caso em que existe um movimento do circuito

(a corrente resulta da força de Lorentz), quanto no caso em que o campo elétrico surge devido

à alteração do campo magnético com o tempo, ou os dois efeitos concomitantemente.

Assim, a Lei de Faraday descreve os dois fenômenos apontados na introdução.

Em particular, podemos afirmar que, quando o fluxo que induz a corrente está aumentando

com o tempo, o fluxo induzido (associado ao campo produzido pela corrente elétrica) tem

sentido oposto. No entanto, quando

o fluxo indutor estiver diminuindo

com o tempo, o fluxo induzido tem o

mesmo sentido que o indutor.

A indução eletromagnética é descrita,

portanto, por duas Leis:

• Lei de Faraday que determina a

f.e.m. (e, por consequência, a corrente elétrica) induzida.

• Lei de Lenz, que permite determinar o sentido da corrente induzida.

• ExEmplo 05O polo N de um ímã de barra é aproximado com velocidade

V perpendicularmente à área de uma espira metálica circular. Determine o sentido da corrente elétrica induzida na espira. Analise também o caso em que o polo se afasta.

Finalmente, é importante comentar o sinal negativo da Lei de Faraday. Esse sinal negativo é a contribuição de Lenz já mencionado. Esse sinal determina o sentido da força eletromotriz resultante. De acordo com Lenz, esse sentido se opõe à variação que o produziu.Dito de outra forma, a Lei de Lenz afirma que:A força eletromotriz induzida agirá de tal forma que a corrente induzida gere um campo magnético, cujo fluxo se oporá à mudança no fluxo magnético que a produz.

Figura 13.13: Indução por conta da variação do campo magnético.

310



→ REsolução:O sentido da corrente elétrica induzida é aquele indicado na Figura 13.14.Para entendermos a resposta dada, lembramos a Lei de Lenz. De acordo com essa lei, “o sentido da corrente induzida é tal que os seus efeitos tendem a se opor às variações do fluxo magnético promovidas pelo indutor.” Portanto:1º Quando o fluxo magnético indutor aumenta sobre a espira, a cor-

rente induzida gera um fluxo que se oporá a esse aumento.Em virtude da aproximação do polo N do ímã o fluxo magnético externo sobre a espira aumenta. Conforme a Lei de Faraday, essa variação de fluxo gera na espira uma f.e.m. que, por sua vez, gera uma corrente elétrica na espira. Qual o sentido da corrente elétrica induzida? O sentido deve ser tal que o campo magnético induzido (ver Lei de Ampère) gera um fluxo que se opõe ao fluxo do ímã (fluxo indutor).Na Figura 13.15 as linhas vermelhas estão asso-ciadas ao fluxo magnético induzido pela corrente induzida i; elas induzem um campo magnético oposto ao campo magnético indutor.Outra maneira de descrever a situação é pelo modelo denominado “ímã fantasma”. A aproxi-mação do polo N do ímã indutor faz com que a corrente induzida circule na espira de modo a criar um “ímã fantasma” cujo polo N se opõe à aproximação do polo N do ímã indutor.Consideremos agora o caso em que o ímã é movimentado no sentido oposto. O polo N do ímã – se afasta do plano da espira. O fluxo mag-nético diminui, pois as linhas do fluxo do campo magnético indutor ficam cada vez mais rarefeitas. Quando o fluxo magnético indutor sobre a espira diminui, a corrente induzida induz um campo magnético cujo fluxo se opõe a essa diminuição.A corrente induzida muda de sentido e passa a circular na espira de modo a induzir um fluxo magné-tico que se oponha à diminuição do fluxo indutor. As linhas vermelhas da Figura 13.16 mostram o sentido do fluxo magnético gerado pela corrente induzida. Elas têm o mesmo sentido das linhas de fluxo magnético gerado pelo ímã indutor, mas as linhas pretas estão se afastando da espira.O fluxo magnético da corrente induzida (em vermelho) cresce para compensar a diminuição do fluxo magnético (em preto) do ímã que se afasta.

• ExEmplo 06Analise a lei de Lenz à luz do princípio da Conservação da Energia.

→ REsolução:A relação entre o sentido da corrente elétrica induzida em um circuito fechado e a variação do fluxo magnético, estabelecida pela Lei de Lenz, é tal que a corrente elétrica induzida produz efeitos opostos a suas causas.

Figura 13.14: Corrente elétrica induzida.

Figura 13.15: Raciocinando com a lei de Lenz de forma a prever o sentido da corrente induzida quando aumentamos o fluxo.

Figura 13.16: Raciocinando com a lei de Lenz de forma a prever o sentido da corrente induzida quando reduzimos o fluxo.

311

Eletromagnetismo


Mais especificamente, o sentido da corrente elétrica induzida é tal que o fluxo magnético, por ela criado, se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu. Em outras palavras, para gerar uma corrente induzida, é necessário energia. Se a corrente elétrica induzida produzisse um fluxo magnético cuja variação fosse igual à do campo indutor, mais e mais corrente elétrica seria induzida; e isso violaria a lei da conservação da energia.

• ExEmplo 07O fluxo sobre uma bobina de 400 espiras varia com o tempo conforme a expressão:

Determine a f.e.m. induzida na bobina.

→ REsolução:Numa bobina de N espiras, a f.e.m. é ampliada N vezes. Logo, para uma bobina de N espiras a f.e.m. induzida é ε = −N(dφ)/(dt). Portanto:

• ExEmplo 08Um campo magnético é perpendicular à secção transversal A = 12 cm² de uma bobina com N = 13 espiras enroladas num tubo de plástico, com ar no seu interior. Se a intensidade do campo magnético variar conforme a lei B(t) = 4.t (Tesla; segundo), qual a f.e.m. induzida nos terminais C e D da bobina?

→ REsolução:Considerando que o fluxo φ = B.S.cosθ, a força eletromotriz induzida nos terminais da bobina com N espiras é dada pela expressão:

No caso, como B é perpendicular ao plano da área S, o ângulo θ = 0 → cos 0° = 1; S = 12 cm² = 12 × 10-4 m²; N = 13 espiras e B(t) = 4.t. Assim:

Isso significa que as linhas do fluxo magnético se adensam no interior da bobina gerando uma f.e.m. = −62,4 mV.Se a intensidade do campo magnético diminuísse com o tempo à mesma taxa, (dΦ/dt < 0), as linhas do fluxo magnético no interior da bobina ficariam cada vez mais rarefeitas, gerando uma f.e.m. = + 62.4 mV.

ϕ = × − × ( )28 10 400 105 5 t Wb; s

ε = −( )× − ×( )

= −( ) − ×( ) = +

− −−400

28 10 400 10400 400 10

5 55

d tdt

11 6, V

Figura 13.17: Indução numa bobina.

ε ϕθ

= = −( )N d dt Nd B S

dt. /

. .cos

ε θ= −[ ] ( )= − × × ×

( )= ×− −N S

d Bdt

d tdt

. .cos 13 12 10 14

624 104 4 m .T/2 ss mV( ) = −62 4,

312



13.5 Aplicações13.5.1 Geração de energia elétrica

Um exemplo da utilização do fenômeno da indução o da geração de energia elétrica por meio

de geradores instalados em usinas hidroelétricas ou usinas atômicas. Nesses casos, existe a con-

versão de duas formas de energia (gravitacional e atômica, respectivamente) em energia elétrica.

Numa usina hidroelétrica, formamos uma enorme barragem na qual a água é represada.

Em alguns pontos da barragem, permitimos o escoamento da água que, em seu movimento

descendente, atinge as hélices de turbinas que então se colocam em movimento. Condutores

distribuídos de forma a se movimentarem numa região em que existe um campo magnético

produzirão correntes elétricas. Na Figura 13.19 ilustramos como uma corrente alternada é

produzida num gerador.

Figura 13.18: Usina Hidrelétrica de Itaipu (a) e esquema de seu funcionamento (b).

b

a

313

Eletromagnetismo


De acordo com o que foi analisado nos dois exemplos anteriores, quando existe um campo

magnético uniforme numa região em que uma espira de área S se movimenta dotada de velocidade

angular ω, existe uma variação do fluxo do campo magnético através da espira. Seja θ o ângulo entre

a normal ao plano da espira e o campo magnético. Nessas circunstâncias, o fluxo será dado por:

13.9

Se a velocidade angular for constante, o ângulo θ varia com o tempo de acordo com a expressão:

13.10

E, portanto, o fluxo varia com o tempo de acordo com a expressão:

13.11

Da expressão acima deduzimos que a força eletromotriz é dada por:

13.12

Essa força eletromotriz pode ser expressa como:

13.13

Figura 13.19: Princípio de funcionamento de um gerador de corrente alternada.

Φ = BS cosθ

θ ω θ= +t 0

Φ = +( )BS tcos ω θ0

ε ω θ ω ω θ= − = − +( ) = +( )ddt

BS ddt

t BS tΦ cos sen0 0

ε ω θ= +( )V t0 0sen

314



Existe, portanto, uma diferença de potencial entre os coletores (diferença de potencial entre

os fios de entrada e de saída da espira) que varia com o tempo de forma periódica. Essa dife-

rença de potencial é denominada voltagem alternada. Esse é o princípio de funcionamento de

um gerador de corrente alternada.

Se um gerador estiver conectado a um circuito cuja resistência é R (usualmente, a resistência

interna), a corrente resultante será uma corrente alternada da forma:

13.14

13.5.2 Motor elétrico

Um fio condutor, quando conectado a uma bateria, será percorrido por uma corrente elé-

trica. Considere um arranjo no qual uma espira é ligada a uma bateria, de tal forma que ela seja

agora colocada numa região em que existe um campo magnético.

De acordo com a Força de Lorentz, os elétrons experimentarão

uma força cuja orientação é dada pela Figura 13.20. Cria-se, em

função da geometria do fio, um torque que colocará a espira em

rotação. Considerando-se um conjunto muito grande de espiras,

esse efeito é grandemente ampliado. O movimento de rotação que

pode ser transferido a um eixo é de origem mecânica e pode ser

aproveitado para os mais diversos fins.

O fato é que um fio no formato de uma espira quando percorrido por uma corrente e

colocado numa região onde existe um campo magnético externo experimentará a ação de

um par de forças denominado binário.

13.5.3 Transformadores

Quando variamos a corrente num circuito primário, geramos um campo magnético variável

no núcleo de um transformador. Se dispusermos de um segundo circuito − o secundário,

esse campo magnético variável induzirá uma força eletromotriz nesse circuito. É um efeito

denominado indução mútua.

iR

VR

t i t= = +( ) = +( )εω θ ω θ0

0 0 0sen sen

Figura 13.20: Força sobre uma espira percorrida por uma corrente quando sob a ação de um campo magnético.

315

Eletromagnetismo


• ExEmplo 09Explique o funcionamento de um transformador com base no fenômeno da indução eletromagnética.

→ REsolução:Transformador é um dispositivo cujo funcionamento se fundamenta no fenômeno da indução eletromagnética.Basicamente, um transformar consiste de duas bobinas, cada uma delas com um número de espiras diferentes e um núcleo de ferro também. Uma das bobinas recebe o nome de “bobina primária” ou “bobina de entrada”; a outra é denominada “bobina secundária” ou “bobina de saída”.Quando a bobina primária é percorrida por uma corrente alternada, cria-se um campo magnético variável ao redor dela. A variação do campo magnético gera um fluxo magnético variável que, propagando-se através do núcleo de ferro, induz na bobina secundária uma f.e.m. variável. O núcleo de ferro, além de servir de estrutura, tem a função importante de confinar as linhas de fluxo, impedindo que elas se espalhem.A bobina primária corresponde à “entrada” de energia e a bobina secundária, à “saída” de energia. Por meio das linhas de fluxo de um campo magnético variável produzido por uma bobina, ocorre transferência de energia para o circuito da outra bobina.Os transformadores dissipam energia em forma de calor; eles se aquecem durante o funcionamento.

Figura 13.21: Transformador seu esquema de funcionamento.

a b

Figura 13.22: Um transformador com Np espiras no primário e Ns espiras no secundário.

316



Relação entre as tensões e o número de espiras em cada bobina para um transformador ideal:Num transformador ideal, a dissipação de energia é nula e as linhas de fluxo do campo magnético criado pela bobina primária são confinadas no núcleo de ferro.Assim, o fluxo por espira é o mesmo em todas as espiras das duas bobinas e a f.e.m. (ou a diferença de potencial) em cada bobina é: Vp = −Np(dφ/dt) e Vs = −Ns(dφ/dt).

13.15

13.16

Se [Ns/Np] > 1 → Vs > Vp (transformador de elevação de tensão).Se [Ns /Np] < 1 → Vs < Vp (transformador de redução de tensão).

13.6 Indutores e AutoindutânciaUm conceito importante no eletromagnetismo, e em particular

na análise dos circuitos, é o conceito de indutor. Num circuito

elétrico, o indutor é mais um elemento a ser considerado.

Um indutor (um reator ou um arranjo com espiras) é um compo-

nente de um circuito elétrico contendo dois terminais, de forma que

nele se possa armazenar energia eletromagnética. Qualquer que seja o condutor, tem associado a

ele uma indutância. Tal conceito pode ser introduzido no contexto da Lei de Faraday.

Consideremos o caso de um circuito isolado no qual circula uma corrente elétrica i, que varia

com o tempo. Tal corrente produzirá um campo magnético que varia igualmente com o tempo e,

consequentemente, o fluxo desse campo no circuito irá variar. Portanto, estamos tratando de um

caso de autoindução, ou seja, uma força eletromotriz induzida pelo circuito sobre ele mesmo.

Nesse caso, o fluxo do campo elétrico pelo circuito dependerá do tempo e essa dependencia

ocorre por conta da dependencia da corrente elétrica com o tempo. E, portanto, podemos escrever:

13.17

VV

NN

s

p

s

p

=

V N N Vs s p p= / .

Figura 13.23: Um indutor pode ser construído mediante a aglomeração de fios agrupados, formando espiras.

ε = − = −ddt

ddididt

Φ Φ

317

Eletromagnetismo


Ao primeiro coeficiente do lado direito dessa expressão damos o nome de coeficiente de

indutância mútua, e o representamos com a letra L:

13.18

O coeficiente de autoindutância é um coeficiente que envolve parâmetros do circuito e

depende da geometria desse circuito.

Utilizando a autoindutância, escrevemos a Lei de Faraday da seguinte forma:

13.19

De 13.19 pode-se concluir que a unidade de medida de indutância, no SI, é

que recebe o nome de “henry” - símbolo H.

L ddi

≡Φ

ε = −L didt

Figura 13.24: Bobinas com diferentes valores de indutância.

volts segundoampere×

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Gil da Costa Marques - midia.atp.usp.br · Heinrich Friedrich Emil Lenz deu outra contribuição significativa para o entendimento do fenômeno ao definir um critério para se estabelecer