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Gravitação e Quantização
Por que e Como?
Olivier Piguet
Departamento de FísicaUniversidade Federal do Espírito Santo - UFES
Colóquio dado na Universidade Federal de SergipeJaneiro de 2010
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Índice
Introduction.
Porquê quantizar a gravitação?
Comparação Gravitação ↔ Outras forças.
Princípio de Equivalência → Geometria do Espaço-tempo.
De Max Planck à Gravitação quântica.
Quantização canônica da gravitação.
O Problema do Tempo.
Resultados recentes em quantização de laço.
Testes experimentais ou observacionais?
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Porquê quantizar a gravitação?
É para responder a certas perguntas.
Por exemplo: "O que se esconde dentro de um buraconegro?"
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CircinusGalaxyBlackHole
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Singularidade de Buraco Negro
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Porquê quantizar a gravitação?
O que esconde-se “atrás” da Radiação Cósmica deFundo?
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WMAP
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Historia do Universo
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Domínio de validade das teorias correntes?
Gravitação, Eletromagnetismo, Interações nucleares fracas efortes.
Relatividade Geral (RG) clássica testada nas escalas
L : 10−4 m < L < 1010 ano-luz ≈ 1026 m
(L pequeno: lei em 1/r2; L grande: RG – cosmologia.)
Modelo Padrão (Teoria quântica de campo) testado nasescalas
L : 10−19 m < L < 10−10 m
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Correspondência: Comprimento L ↔ Energia E
E ∼hcL
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
L (m) 1026 1012 10−6 10−15 10−17 10−19 10−31 10−34
E (eV) 10−32 10−18 100 109 1011 1013 1025 1028
(a) Universo visível (b) Sistema Solar (c) Átomo(d) Núcleo (e) LEP (f) LHC
(g) Grande Unificação (h) LPlanck =
√
Ghc3 ∼ 10−34m
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Escala de Planck
Ao Comprimento de Planck: LP =
√
Ghc3 ∼ 10−34m ,
corresponde a Energia de Planck: EP =hcLP
∼ 1019GeV
e o Tempo de Planck: TP =LP
c∼ 10−42s.
Nessa escala, encontram-se reunidas:
a Gravitação (constante fundamental G)
a Relatividade (constante fundamental c)
a Mecânica quântica (constante fundamental h)
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Lei de Newton e Lei de Coulomb
Em escalas “normais” (comprimentos >> LP e v << c):
Newton: Fgrav. = −GmAmB
|rA − rB|2
Coulomb: Felet. =1
4πε0
qAqB
|rA − rB|2
Para 2 protons: Fgrav. ∼ 10−40Felet. !
Porquê se preocupar com a gravitação?
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Eletromagnetismo ↔ Gravitação
O campo eletromagnético:
é um tensor!
(se é nulo num referencial, será nulo em todo referencial!)
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A gravitação obedece ao Princípio de equivalência :
En todo ponto e em cada instante, é sempre possível acharreferenciais onde o campo de gravitação se anula.(Referenciais de inercia)
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3 exemplos de referencias de inercia no ponto A:
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O campo de gravitação parece uma ilusão. É uma forçaaparente, que depende do referencial (como a “força”centrifuga, ou a “força” de Coriolis...).
Então, porque se dar ao trabalho de quantizá-la?
Observação: O campo de gravitação é que decide quais sãoos referenciais de inercia num ponto e num instante dados, istoé, num ponto do espaço-tempo.
Mas, os referenciais, de inercia ou não, são sistemas decoordenadas do espaço-tempo.
Então:
Campo de gravitação ↔ Geometria do espaço-tempo!
E temos que quantizar isso.16
Estrutura do Espaço-tempoGeometria
Estrutura de um “continuum”. Matematicamente: estruturade variedade diferencial. Com, a mais:
Noção de distancia e de causalidade:
Métrica e estrutura causal.
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Cone de Luz - Relatividade Restrita
18
Cone de Luz - Relatividade Geral
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Temos que trabalhar com coordenadas curvilineares gerais.
Troca de referencial = troca de coordenadas.
→ Referenciais acelerados.
⇒ As leis da física são são invariantes sob as TransformaçõesGerais de Coordenadas (TGC).
A geometria é caracterizada pela métrica g. Distancia entre 2pontos (“eventos”) do espaço-tempo A e B, infinitesimalmentevizinhos:
ds =√
|ds2| , ds2 =3
∑
µ,ν=0
gµν(x)dxµdxν .
x0 = ct = coordenada de tempo, x1, x2, x3 = coordenadas deespaço.
Métrica = campo de gravitação.
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Exemplo:
Métrica de Minkovski em coordenadas cartesianas(Relatividade Restrita):
ds2 = −c2dt2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 .
ds = comprimento de tempo ou de espaço - comprimento deespaço-tempo.
Os referencias de inercia estão em movimento retilinearuniforme uns a respeito aos outros.
O espaço-tempo é plano.
As trajetorias das partículas livres no espaço-tempo são retas:
São as geodésicas deste espaço-tempo.
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Relatividade Geral:
Os referencias de inercia estão em movimento acelerado uns arespeito aos outros.
O espaço-tempo é curvo. Espaço Riemanniano.
As trajetorias das partículas livres no espaço-tempo sãocurvas:
São as geodésicas deste espaço-tempo.
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Quantização: Histórico
1900: Constante de Planck h (hoje: ~)→ Comprimento de Planck:
LPlanck =
√
Ghc3 ∼ 10−34m
1926: Ondas de matéria, eq. de Schrödinger.→ Mecânica Quântica, Física atômica e nuclear.
1927: Teoria Quântica de Campo - Dirac, Pauli, etc.→ Física de partículas, Modelo Padrão das
interações eletromagnéticas e nucleares fracas e fortes.
1930: Dirac, etc.: Tentativas de quantização canônica dagravitação.
→ Eq. de Wheeler-DeWitt. (1967)
1974: Hawking descobre que buracos negros devem emitiruma radiação t’ermica.
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Quantização: Histórico
1984 (Green e Schwartz): Teoria de supercordas = teoriaquântica da gravitação unificada com as demaisinterações.
1986 (Ashtekar): Volta à quantização canônica→ Redes de spin, spin foams, discretização do
espaço, entropia de buraco negro, cosmologia quântica delaços, ... (Ashtekar, Rovelli, Smolin, Bojowald,... 1995 -2009)
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Quantização Canônica: Mecânica quântica de umapartícula
Operadores de posição x i e de momento pi
Regras de comutação de Heisenberg: [x i , pj ] = i~δij .
Representação num espaço de Hilbert, com produto escalar:
〈ψ|φ〉 =
∫
d3x ψ(x)∗φ(x) ,
Hamiltoniana: H(q, p) =p2
2m+ V (x),
Eq. de Schrödinger: i~ddt
|ψ〉 = H |ψ〉.
→ Evolução temporal do sistema: |ψ(t)〉 → |ψ(t +∆t)〉.
Translação temporal gerada pela Hamiltoniana.
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Quantização Canônica: Campo de gravitaçãoquântico
Analogias:
Partícula → Campo de gravitação
x i(t) → gij(x, t)
x i → ∂tgij(x, t)
pi(t) = mx i → πij(x, t) função de gij e ∂tgij .
Porém:
A Hamiltoniana gera agora uma
Transformação de coordenadas:
t → t +∆t(x, t). (t é uma simples coordenada, semsignificação física!)
É uma transformação local – uma transformação de calibre.27
A Hamiltoniana gerando transformações de coordenadas, e ateoria sendo invariante sob tais transformações, os estadosfísicos devem ser invariantes:
H |ψ〉 = 0 .
É a Equação de Wheeler-DeWitt – uma eq. de Schrödinger,
sem o termo i~ddt
|ψ〉 !
O tempo sumiu....
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O que é o tempo?
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1a resposta: “É a hora marcada pelo relógio do coelho” (quedefine o tempo no referencial do coelho!).
Coincidência entre dois eventos:
(1) o olhar do coelho no relógio(2) a chegado dos ponteiros do relógio nos dígitos “5” e “12”.
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2a resposta (Connes e Rovelli):
O “fluxo do tempo” está ligado ao estado termodinâmico dosistema
(que não está num “estado puro”, mas num “estado demistura”)
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Historia do Universo
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Correlação Idade e températura do Universo
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Loop quantum Gravity
A refined scheme, due to Ashtekar, Rovelli, Smolin, etc.
Principais resultados:
Espaço de Hilbert (com produto escalar!)Espectro discreto para comprimentos, áreas e volumes.Buraco Negro sem a singularidade na origem.Buraco Negro: Entropia proporcional à área do horizonte.Modelos cosmológicos sem a singularidade do Big Bang.
Dificuldades:
Definição precisa do operador Hamiltoniano H.Solução geral da eq. WDW. H |ψ〉 = 0.Testes experimentais ou observacionais(!)Limite clássico da teoria quântica proposta?
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Loop quantum Gravity
A refined scheme, due to Ashtekar, Rovelli, Smolin, etc.
Principais resultados:
Espaço de Hilbert (com produto escalar!)Espectro discreto para comprimentos, áreas e volumes.Buraco Negro sem a singularidade na origem.Buraco Negro: Entropia proporcional à área do horizonte.Modelos cosmológicos sem a singularidade do Big Bang.
Dificuldades:
Definição precisa do operador Hamiltoniano H.Solução geral da eq. WDW. H |ψ〉 = 0.Testes experimentais ou observacionais(!)Limite clássico da teoria quântica proposta?
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Estados quânticos da geometria
Um auto-estado dos operadoresde Área e de Volume:
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Explosões de raios γ
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Umas referências:
Lee Smolin, “Átomos de espaço e tempo”, ScientificAmerican (Brasil), no. 21 (2004).C. Rovelli, “Quantum Gravity”, Cambridge UniversityPress, 2004 [arXiv:gr-qc/9710008 ].A. Ashtekar and J. Lewandowski, “BackgroundIndependent Quantum Gravity: A Status Report”, Classicaland Quantum Gravity 21 (2004) R53,[arXiv:gr-qc/0404018].T. Thiemann,“Modern Canonical Quantum GeneralRelativity”, Cambridge Monographs on MathematicalPhysics, 2007. Ver também a prepublicaão:[arXiv:gr-qc/0110034].C.P. Constantinidis, G. Luchini and O. Piguet, “The Hilbertspace of Chern-Simons theory on the cylinder. A LoopQantum Gravity approach”, arXiv:0907.3240 [gr-qc], toappear in Class. Quant. Grav.
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