gum . hip .

lata hip .

✗; ;

I

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isom@E.E"

÷.

D

Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D

DefiniçãoUma transformação de Möbius S : C1 ! C1 é um transformação de Möbiusde D ou difeomorfismo de Poincaré se

S(D) = D,

ondeD := {z 2 C : kzk 1}.

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iaib , CÇIECSlz)=ǧd ad - bc> °

→ quais a. bççl sã

01s: 5,5'

bijet . manda "

partidos" ?

Bem D e mandaMüb (D)$- em #

0¥ O comi. de todos ditos dePoincaré formam grupo

Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D

ProposiçãoA transformação T : C1 ! C1, T (z) := z�i

iz�1 transforma da forma bijetiva ocírculo S1 sobre o círculo generalizado R1. Mais ainda tem-se T = T�1.

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a.O.it#i--r.-

Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D

ProposiçãoA transformação T : C1 ! C1, T (z) := z�i

iz�1 transforma da forma bijetiva ocírculo S1 sobre o círculo generalizado R1. Mais ainda tem-se T = T�1.

October 26, 2020 2 / 7

Duni ~ = - I,Zn = i , 2- z =

- I c- $1

zns ( 2- ; - Iii ,- i ) =É

.UÉ =

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/ 1--1+4T Z - Za V - Z, 2- + i C- | - i ) I- I til

=

§¥ = = Tlz)zi-1

2- = - I THI == A

1- Ii ) = O,TI - i ) = o

Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D

ProposiçãoA transformação T : C1 ! C1, T (z) := z�i

iz�1 transforma da forma bijetiva ocírculo S1 sobre o círculo generalizado R1. Mais ainda tem-se T = T�1.

October 26, 2020 2 / 7

Basta ver F-T"

A- • Ai-H://i.it/::)=BT (

' - i

i -

1) = : AT =:B

f. THI :Ç =E ⇒ TT = id

⇒ T = T"

Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D

TeoremaUma transformação S : C1 ! C1 é uma transformação de Möbius de D se, esomente se, ela pode ser apresentada na forma

S(z) = µz + b

bz + 1, onde kµk = 1, kbk < 1.

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(charuteiraação dos ditos de Poincaré)

= prztubb- 2- t 1

Demonstração.

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/⑦ Super Slt )=p §ç , HA"--1

,IIBIKI

sélhíbim ✓,S : en - eu

HSIO) A = Ilprbll -1pA - IIBH < 1 a SIO) C- D

Slz ) c-É

V-zc.SI?Sjalltll=11=kzIT--H-IIi--zz""" " =p ;÷.lt#;HI7IHIF:++Y-H--lIZlIHltbEll-=ylb--z+H=1=sSk--É

Demonstração.

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☒ Seja S:c_→ Eu difoo de Paine.

= :÷S =/Í! ÍT) TIZ / = (Zi -hi , - i)

To 5. T"

: Rio→ Rn

(T.si"

# =

,terSA

(✗ td vlw}

aisic.de/Rfad-bcE@ G

. FI : :X: :X: :|F-T"

Demonstração.

October 26, 2020 4 / 7

IIÊH #

E-HF.ie?-d-Hi4=sl::ll::Hi:t=f&tdHilb-c)-lctb)-i(a-d)

fã- (ctb) + ica -d) latd) - ilb -

d) =° )

✗ = (atd / + ilb -c) , f.= - (ctb) - ita-d)

E-A- asw-ji.Y-i.EE??-iµ

"f "-

- 1- ✓

Bastava que H1N1

Demonstração.

October 26, 2020 4 / 7

✗ = (atd) + ilb -c) , A = - (ctb) - i (a-d)

Basta ver HIHI ⇒ Hpí<HT⇐> Pf < xã

⇐PF-lctb.it/a-dTclatdi+lb-cf--=x---scYt2cbtbT-a/.--2ad-d/< # Zadt#+F-2k¥

⇒ cb - ad a ad - bc

⇐ Hb - ad ) < o⇐ o< ✓

ExemploEncontre uma transformação de Möbius de D tais que S(1) = 1 e S(�1) = �1 eque preserve [�1, 1] ⇢ D.

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[- I , I ) = { × : - Içxçl }

- tt ✗ c- f-till Slz ) = frgtztby , llp" --1SIXIEI- Iii)llbll < 1

5111=1

¥-1;• 1=511 ) { 51-11=-1

{ "¥7 = ,{ "*

↳si ,

-- ftp.b-b-l

E

't.EE?=-i--Yr--ib--bflzl--Z+b-, BEIR

52-+1 - / <> sim.is?I-i0sn-t-Y+b-ir.sH=-.jI-✓

Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D

ProposiçãoSeja r uma reta hiperbólica. Então qualquer outra reta hiperbólica é a imagem der por alguma transformação de Möbius de D.

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Dado r e l velas hip .

,existe

dito P. t . q . $(r) = l.

f-

édifwdepoiuc .

✓l por) f- 1,1lb#11<1

+ÉÍ" P⇒ éohfwãepoiuc .

Í /RIFA Rlr ) é um diâmetroVEID ⇒ IIUII < 1

/PIUI Pll ) e- algum outroHWIKI - diâmetrot

1- (RH ) =P/ e)Tlz) = ÉZ Plunkett EM" ) / epn.aiolp-tt.RU" :L

Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D

ProposiçãoSeja ` reta hiperbólica com pontos ideais z1, z2 e seja S transformação de Möbiusde D, então S(`) é reta hiperbólica com pontos ideais S(z1), S(z2).

October 26, 2020 7 / 7

SR.SK )

SH, )SIISI) = $'

l é arco do circulo goadorh,

e Slhe ) é árãtpm .

$ cmfnnulpvenro . ângulo),"

ta, e portanto Slhe) intensa'

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f; ,!em ângulos retos . SIEKID

i.. .

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! e portanto Slelévetahip .