1i

I

I

I 14 Atransformada de Fourier detempo contínuo

4.0 IntroduçãoNo Capítulo 3, desenvolvemos uma representação

dos sinais periódicos como combinações lineares de ex·poneuaais complexas. Tambbn vimos como essa Iq>rt·

semação pode ser usada para descrever o efeito dos siste·mas LTI sobre os sinais.

Neste capítulo e no seguinte. estendemos esses COD­

<:'tUas para aplicar a sinais que não são periódicos. Comoveremos, uma ampla dasse de sinais. incluindo todos ossinais com energia finita. também pode ser representa- 'da como uma combinação linear de exponendais com·plexas. Enquanto para sinais periódicos as exponendaiscomplexas que o representam estão rdadonadas harmo­nicamente. para sinal aperiódico eias estão infinitesimal·mente próximas em frequênda, e a representação emtermos de uma combinação linear toma a forma de umaintegral, em vez de uma soma. Oespectro de coefidentesresullaDte nessa representação é chamado transformadade Fourier, e a integral de síntese. que usa esses coefiden­tes para represenlar o sinal como uma combinação linearde exponencais complexas, é denominada transformadainversa de Founer.

O desenvolvimenlo dessa repr~ntação para sinaisaperiódicos em tempo contínuo é uma das contribuiçõesmais importantes de Fourier. Nosso desenvolvimen·to da transformada de Fourier segue muito de peno atémica que ele usou em seu trabalho original. Em par­ticular, Fourier intuiu que um sinal aperiódico pode servisto como um sinal periódico com um período infinito.Mais predsamente, na representação da série de Fourierde um sinal periódico, enquanto o período aumenta, afreque:ncia fundamental diminui e os componentes bar­monicamente relaconados tornam-se mais próximos emfrtque:nda. À medida que o período se toma infinito. os

componentes de frequmda se aproximam de modo a for­mar um conjunto contínuo e a soma da série de Fouciertoma-se uma integral. Na próxima seção. desenvolvemosa representação da ~rie de Fourier para sinais periódicosde tempo contínuo e, nas seções seguinles:, usamos essefundamento enquanto exploramos muitas das proprie­dades imponantes da transformada de Fourier de tempocontínuo. que formam a base dos métodos no domínio dehequênda para sinais e sistemas de tempo contínuo. NoCapítulo 5, fazemos esse desenvolvimento analogamentepara sinais de tempo discreto.

4.1 Representação de sinais-- aperiódicos: a transformada de

Fourier de tempo contínuo4.1.1 Dedução da representação por

transformada de Fourier para um sinalaperiódico

Para termos um entendimento da natureza da re·presentação em transformada de Fourier, começamosrevisitando a representação por série de Fourier para aonda quadrada periódica de tempo contínuo. examinadano Exemplo ,.5. Especificamenle. em um período.

x(t)~ \1. ItI<T,O. TI < ltl<Tl2

e repete-se periodicamente com período T. como mostra­do na Figura 4.1.

Confonne determinamos no Exemplo 3.5, os codi­dento ai da série de Fourierpara essa onda quadrada são

2 ~n(kwoTI)[Eq. 3.44) a. (4.1)

kw,T

166 Sinais e sistemas

...-2r -r -.I -TI ri I.

2 2

rrgu,. 4.1 Lma onda quaOOlda periódica de tempa conti1uo.

r 2T

1'1

II

r••

Figura 42 Os coeficientes da Sllrie de Fourier e sua enwltóriapara II onda quadrada periOdica na Figura ~.1. para diferentes valoresde T(com T, fixol: {aI T=4T,; lbl T= aT,; (cl T" 16T,.

I

I"

I1

(4.4)lfT/2 ~

01:=- i{l)e-J dt,T -T12

Fourler para a onda quadrada periódica, mas desta vezcomo amostras da envohória de Ta.. conforme espedli.­cado na Equação 4.2. Da figura. vemos que, à medidaque T aumenta ou, de modo equivalente, à medida quea frequência fundamental Wo= 21rIT diminui, a envo!tó­ria é amostrada com um espaçamento cada vez menor.Quando T se toma arbitrariamente grande,. a onda qua­drada periódica original se aproxima de um pulso retan­guiar (ou seja. o que sobra no domínio de tempo é um.sinal aperiódico correspondente a um penodo da ondaquadrada). Além disso. os coe:ficiemes da strie de Fou­rier, multiplicados por T. tornam-se amostras da eoval­t6ria cada vez menos espaçadas, de modo que, em certosentido (que esped.ficaremos em brtve). o conjunto decoefidentes da série de Fourier se aproxima da função daenvolt6ria quando T --f 00.

Esse exemplo iluma a ideia básica por trás do de­senvolvimento da Fourier de uma representação para si­nais apenódicos. Espedficamente. pensamos em um sinalaperiódico como o limite de um sinal periódico à medi­da que o período se toma arbitrariamente grande e exa­minamos o comportamento limite da representação porsérie de Fourier para esse sinal. Em particular. considereum sinal x(t) que tem duração finita. Ou seja, para algumnúmero TI' x(t) = O se Itl > Ti' conforme ilustrado naFigura 43(a). A partir desse sinal aperiódico, podemosconstrUir um. sinal periódico i(t) para o qual x(t) é umpenado, como indicado na Figura 4.3(b). Confonne to­mamos o periodo T maior. i(t) é idêntico a x(t) em umintervalo maior. e quando T --f 00. ilt) ê equivalente ax(t) para qualquer valor finito de t.

Vamos agora examinar tal efeito sobre a n:pn:­sentação da série de Fourier de i{t). ReescttVendo asequações 3.38 e 3.39 aqui,. por conveniênda. coma integral da Equação 3.39 calculada no intervalo-T12 :$ t:$ T12. temos +00

X(I)~ L: a,,fl«4I, (4.3)...-~

•

•

•

(4.2)71 _ 2 senw1j Ial:_ '"""'.b.1e.'w

Ou seja. com w considtrado uma variável contínua, afWlçâo (2 sen wT,)1w repttSt:nta a envoltória de Ta.. e oscoeficientes aI: são simplesmente amostras uniformemen·te espaçadas d~ envoltória. Além disso. para TI fixo,a envoltória de Ta.t é independente de T. Na Figura 4.1,novamente mostramos os coeficientes da strie de

sendo Wo= 27f/T. Na Figura 3.7, gráficos de barra dessescoeficientes (oram mostrados para um valor fixo de TI ediferentes valores de T.

Uma maneira alternativa de interpretar a Equação4.1 é como amostras de uma função envoltória, especi­ficamente,

1I

Atransformada de Foorier de tem~ ea1tfnuo 167

K(l)

-~'---T, T,

tal

-2T -T T 2T

Figura 4.3 la) Sinal aperi{õco xltl:lbl sinal periódk:o xttL construído para ser igual a xUI em..n peri:Jdo.

sendo 1<10 =2~/T. Como i(t) = x(t) para \ti < T/2 ~ também ecomox(t) =Ofora desse intervalo, a Equação 4.4 pode serreescrita como

•

(4.9)

(k+ 1)wo

....ngllra 4.4 Inteqretação gráfica da Equação 4.7.

As equações 4.8 e4.9 são cbamad.aspar transfomuuJodt FUllrifT. com a função X(jm) conhedda como tramfqr·nkutil de FollritT ou inttgral de Follrirr de X(I) e a Equação4.8 como a equação da traniformildo. invtrnl dt Fowrirr. AEquação de nnttst' 4.8 desempenha um papel para os 5i.naisaperiódicos semelhante ao da Equação 3.38 para os si­nais periódicos. pois ambas representam um sinal comouma combinação linear de exponenciais complexas. Parasinais pertódicos. essas exponendais complexas possuemamplitudes la),}. dadas pela Equação 3.39, e ororrtm emum conjunto discreto de frequr:nctas harmonicamentereladonadas kcoO" k = o. *1. ±2•... Para sinais aperiódi­cos. as exponendais complexas vão se prorlmando demodo a formar uma curva contínua em lrequência e.de acordo com a Equação de síntese 4.8. têm 'amplitu­de' X(iOJ) (d(j)J2r). Em analogia com a terminol~ usa­da para os coeficientes da série ~ Fourier de um sinalptriódico. a transformada X{im) de um sinal aperiódicox{t) normalmente é conhecida como o tsptttTo de x(t).

pois nos fornece informações necessárias para descre­ver x(t) como uma combinação linear (espedficamente.uma integral) de sinais senoidais em diferentes frequências.

XUw'te'..,

(4.8)

(4.5)

ou, de forma equivalente. visto que 21tIT = WO'

_ 1 +<:o ._íbI.tx(t)~- l: XU"kw.JC" ·w." (4.7)

211" 11.. -(10

Quando T -+ 00, i(t) se aproxima de x(t). e consequente­mente, no lintite. a Equação 4.7 se toma uma representa­ção dex(t). A1émdo mais. !lia -oquando T -+ 00, e omem­brodireito da Equação 4.7 toma-se uma integral. Isso podeser visto a partir da interpretação gráfica da equação. iJus­trada na FJ.gUra 4.4. Cada termo no somatório no membrodireito é a ma de um retângulo de alrura X(ikmol eie.l elargura ll:Ig. (Aqui. té roosiderado fixo.) Quando COo -+ O. osomatório converge para a integral de XIjo'J)ti*. Ponanto,usando o fato de que i(t) ...... X(I) quando T --t: 00, vemosque as equações 4.7 e 4.5. respectivamente. se tomam

x(t) = _1 J+OO XUw)tjl.( dw2w ~OO

1Jm Jla4J 1J- _aj,=- x(t}t- dt=- x(t}t- dI.T -T/2 T --00

Portanto. definindo a mvoltórta X<;U) de TQ", como

X(jw) = L:x(t)[iuKdt,

temos. para os coefideotes Qt;'

ai' = .!.. XUkwo)' (4.6)T

Combinando as equaç.xs 4.6 e 4.3. podemos expressar i

(e) em temos de X(jl.J) como

xlt)~ E .!.XUkw.1 """.,, __ooT

!,J

II

III

168 Sinais e sistemas

Com base DO destnvolvimento anterior, ou. de for­ma equivalente. comparando a Equação 4.9 e a Equação3.39. também obsavamos que os codidentes de FourierQt de um sinal periódico i(t) podem ser expressos cm ter­mos de amostrQS igualmente espaçadas da transformadade Fourier de um período de i(t). EsperificameDte, su­ponha que x(t) seja um sinal periódico com período Te

Q. os seus coefidentes de Fourier. Seja x(t) um sinal deduração finita idêntico a x(t) sobre exatamente um pe­ríodo - digamos. para s ~ f ~ s + T para algum valor' des - e que seja zero. caso conttário. Então, como a Equa­ção 3.39 nos permite calcular os (Ufidentes de Fourier dexV) integrando por qualquer período, podemos ~ever

1 fJ+T ~ 1fJH jI.wJQt=- x(t)t- dt=- x(t)t- dto

T s T •

Como x{r) é zero fora do intervalo s S t S s + T. de modoequivalente. podemos eS<nver

1 J+OO ....,ai( =- x(t)t'-J" dr.T _

Comparando com a Equação 4.9. concluímos que

a, = ~XUW)I_..... (4.10)

stndo X(jco) a uanslormada de Fourier de x(t). A Equa­ção 4.10 indica que os coefidentes de fourier de i(r)

são propordonais a amosD'aS da ttansformada de Fou­rier de um período de i(t). Esse fato. que tem uso prá­tico. é examinado com mais detalhes no Problema 4.37.

4.12 Convergência das transfonnadas de Fourier

Embora o argumento que usamos na obtenção dopar transformado de Fourier assuma que x(t) tenha du­ração arbitrária. mas finita. as equações 4.8 e 4.9 per­manecem válidas para uma classe extrtmamente amplade sinais de duração infinita. Nossa obtenção da trans­

formada de Fourier sugere que um. conjunto de con­dições, como aquelas exigidas para a convergênàa dasme de Fourie~ também deve se aplicar aqui e, de fato.pode-se demonstrar que este é o caso.1 Esperifica.m.ente,considere X(.ko) obtido de acordo com a Equação 4.9 eque x(t) denota o sinal obtido usando X(.iw) no membrodUeho da Equação 4.8. Ou seja,

I Pua WIl.i discussio matematlcamente rigorosa da tramfonIlll­da de Fow1er e ruas propriedades e apllcaç6es. cOnsWte BRA·CEWEll. R. 11Ie FtnI"" mmsfurm and ia appliutúms. 2. cd. NovaVorlr.: McGraw-HUl Boolt Company. 1986; PAPOUllS. A. TluFuouKr inrgrtl1 tmd its «pp&.Wms. Nova York: MeGraw-Hill BookCompanr. 1987; mcHMARSH. E. C. 11It1'OdwaiIm tl1 1M Wtny"FtnIrin" iJltlpa&. Odord: Clarendon Press. 1941; e o Itvro de Dyme McKan dtado na MtI de rodapl na 2 do Capitulo 3.

1 J+OO ..1(t) = - XUw)<'"""'.h -

O que gostaríamos de saber é quando a Equação 4.8 ~

válida [ou seja. quando x(t) é uma representação válidado sinal original x(t)?J. Se x(t) tem ~ergia finita, ou seja,se é quadraticamente integrável de modo que

L:IX(t)['dr< 00. (4.11)

então estamos garantindo que XljOl) é finito (ou seja, aEquação 4.9 converge) e que, com r(t) indicando o erro<Dlrei(t) e x(~ [ou ",ja, 'lt) = x(t) - x(~J.

J':~r(dr ~ O. (4.12)

As equações 4.11 e 4.12 são os cornspondentesaperiódicosdas equações 3.51 e 3.54 para sinais periódicos. Assim.de maneira semelhante àquela para sinais periódicos. sex(t) tem energia finita. então, embora x(t) e sua repre­sentação de Fourier i(t) possam diferir significativamenteem valores espeóficos de r, não existe energia em suadüerença.

Assim como com sinais periódicos. existe um con­junto alternativo de condições que são sufiàentes paragarantir que i(l) seja Igual a x(t) para qualquer t. excetoem uma descontinuidade. onde é igual à média dos va­lores dos dois lados da descontinuidade. Essas condições,novamente chamadas de condições de Dirichlet. exigemque:

1. x(r) seja absolutamente integrável; ou stja.

L:lx(r~dr<oo. (4.13)

1:. x{r) tenha um número finito de máximos e mínimosem qualquer intervalo finito.

3. x(t) tenha um número finito de descontinuidadesem qualquer intervalo finito. Além do mais. cadauma dessas descontinuidades precisa ser finita.

Portanto, sinais absolutamente integráveis qU(' são rontí­nuos ou que têm um número finito de descontinuidadespossuem transformadas de Fourier.

Apesar de os dois conjuntos alternativos de condi­ções fornecidos serem sufidentes para garantir que umsinal tenha transformada de Fourier, veremos na próximaseção que os sinais periódicos. que não são absolutamenteintegráveis nem quadraticamente integráveis sobre um in­tervalo infinito, podem ~r considerados como tendo trans­

formadas de Fourier se funções impulso forem permitidasna sua transformação. Esse fato traz a vantagem de que asérie de Fourier e a transformada de Fourier podem ser in­corporadas em uma estrutura comum,. o que veremos sermuito conveniente nos capítulos seguint~ Contudo. antes

i

I·1Iíi

·1I

III,

'\

IJL

1de examinarmos melhor esse ponto na ~o 4.2, vamosconsiderar vários exemplos da transformada de Fourier.

4.1.3 Exemplos de transformadas de Fourier detempo contínuo

•Exemplo 4.1

Considere osinal

X(t)~""U(I) a>O.

A transformada de Foorier de tempo contínuo 169

Obstrve que, se a é complexo. em. vez de rtal. então.1(1) é absolutamente integrável desde que !Rt{a} > Oe. nessecaso, o cálculo antc=rior resulta na mesma lonna que paraX(jroj. Ou seja.

X(jw) ~_I_.' <R~ tal> O.a+ JW

••Exemplo 42

Seja

Como essa transformada de Fourier tem valor complexo.para Il~prtStnlá-1a graficamente como uma função de Q}, ex­pressamos X(,jm) em. termos de sua magnitude e ~;

Da Equação 4.9,

XUw} = roo t-·tt-j..A dr = __I_._e-1H jw)flro.Jo a+Jw o

Ou seja,

X(jwl==_I_.•a+ JW

Q>O.

X(I)=,-cl/l, a>O.

~ sinaI é esboçado na Figura 4.6. A transformada de Fou­~r drne sinal é

XUw)= r:t.....Mt-';"-dt=f:~t-ir4dt+JoOO

t-4tt- ir4dt

1 1~--+--

a-jw a+jw2Q

~.=--;-

a1 +w1

Cada um desses componentes é esboçado na Figura 4.5.

N~ caso. X(jco) ~ ~al c: ~tá ilustrado na Figura 4.7.>ItJ

,

11.

Figura 4.6 Sinal x(tJ .. ,,-414 do Exemplo 4.2.

-a • •X(ju)

v.

----------------- -----------------

••-.

•

Figura 4.7 TfêW\sformada de Founer do sinal considerado 00

Exemplo 41 e representam na FIlJ'.I'34.6.•

•""-.

J

(1))

Figura 4.5 Transformada de Fourier do sinal,rltl '" e-"ultL a> O,coosiderado no Exemplo 4.1.

•Exemplo 4.3

Agora. vamos de:tc:nnina.r a transformada de: Fouric:rdo impulso unitário

Ou scja. o impulso unitário tem uma uansformada de Fourierconsistindo em contribuições iguais de todas as frequt:ndas.

••Exemplo 4.4

Considert o sinal pulso rttangular

1II

II,I.,;I,.

Além do mais, como x(/) satisfaz as condições de Diri­chIel. x(t) =x(t), aceto nos pontos de descontinuidade,t = ±T" onde x(t) converge para 112, que ~ a média dosvalores de x(t) em ambos os lados da descontinuidade.Além disso. na convergência de x{t) para x(t) aparece ofenõmeno de Gibbs, assim como foi ilustrado para a ondaquadrada periódica na Figura 3.9. Espedficamenle. emanalogia com a aproximação por série de Fourier finitada Equação 3.47. considere a seguinte integral em umintervalo finito de frequênda:

. I f+aD senwT. .wx(t)=- 2 I r- dw.21'1" -(O W

Então, como x(t) ~ quadraticamenre integráveL

r:lx(rl- x(r( dr ~ O.

considere a transformada inversa de Fourier para o sinalpulso retangUlar.

(4.17)

(4.14)

(4.16)

(4.IS)

JTI. senw'l

X(jw) = t~~dt=2===:J..-T, w

II. ~I<T,x(r) ~ ltI

O, >T1

como m0str3do na Figura 4.8(a). Aplicando a Equação 4.9.encontramos que a transformada de Fourier desse sinal é

xl~ - 61~·

Substituindo na Equaçio 4.9, temos

170 Sinais e sistemas

como esboçado na Pigura 4.8(b).

x(t)

_rnL--T1 T1

(.)

_1 fW 2 senwT\ ~dw.2'lr -w w

Quando W ..... 00. esse sinal converge para x(t). exceto nasdescontinuidades. Alim do mais. o sinal exibe ondula­ções próximo das descontinuidades. A amplitude de picodessas ondulações não diminui quando W aumenta. em·bora as ondulações se comprimam em direção à descon·dnuidade e a energia nas ondulações convilja para zero.

Xüw)

2T,

•Exemplo 4.5

Considere o sinal x(t) cuja transfonnada de Fourier é

. II. lwI<wXUw)~ .

o·lwI>w(4.18)

Essa transfoanada € Uustrada na rJgUIa 4.9(a). Usando aEquação de síntese 4.8, podemos determinaI

MIU" 4.8 lal Osinal IlJlso re~l,y do Exemplo oU e lbl suatransformada de Fourier.

•1 JW' seu 1+tx(t)=- ~dw=--.

21r -w :111

que ~ representado na Figura 4.9(b).

(4.19)

•Como discutimos no inído desta seção, o sinal dado

pela Equação 4.16 pode ser considerado uma onda quadradaperiódica no limi~ que o período se toma arbitrariamentegrande. Ponamo, podemos esperar que a convergênciada equação de síntese para esse sinal se comporte de ma·neira semelhante à que é observada no Exemplo 3.5 paraa onda quadrada. Isso de fato acontece. Espcdficamente.

Comparando as figuras 4.8 e 4.9 ou, de modoequivalente, as equações 4.16 e 4.17 com as equações4.18 e 4.19, vemos uma relação interessante. Em cadacaso, o par transformado de Fourier consiste em umafunção na forma (sen a9)lb9 e um pulso retangular.Porém. no Exemplo 4.4, é o sinal x(tl que é um pul­so, enquanto no Exemplo 4.5. a transfqrmadtz X(jml é

I

i

s1nc(9)

Atransformada de FoLrier de tEmpo cootrnuo 1711 Xljw)

I cbII

W W •(ol

>(li

WI.

figure 4.10 AfI.n;ão sin;.

1

3 •

(4.20)

Para determinar o sinal x(t) para o qual esta ~ a trans­

formada de Fourier. podemos aplicar a relaçãode transformada inversa. Equação 4.8, para obter

1 J- .x(t)=- 2~.(w-wo)e"'dwz. _

=""'.

do Exemplo 4.3. vemos que x{t) na Equação 4.19 convergepara um impulso à medida que W -4 00. O comportamentorepresentado na Figura 4.11 ~ wn exemplo da relaljào in­versa que existe mtrt os domínios de tempo e frtquênda epodemos ver um efeito semelhante na Fl:gUf3. 4.8. em queum aumento em TI alarga x(t), mas torna X(jCil) mais es­treito. Na Seção 4.3.5. forneceremos uma explicação dessecomportamento no contexto da propriedade de escalona­mento da transformada de Fourier.

(4.2\)X(}:.I) = 2ró(w - wo)'

4.2 Transfonnada de Fourier para sinais-- periódicos

Na seção anterior, apresentamos a representação datransformada de Fourier e demos vários exemplos. Em­

bora nossa atenção estivesse voltada para sinais aperió­dicos, tamb(m podemos desmvolver representações detransformada de Fourier para sinais periódicos. pennitin­do-nos assim considerar sinais periódicos e aperiódicosem um contexto unificado. De fato. como veTemos. po­demos construir de forma direta a transformada de Fau­rier de um sinal periódico a partir de sua representaçãoem série de Fourier. A transformada resultante consisteem um trem de impulsos no domínio da frequ~nda comas áreas dos impulsos propoToonais aos coeficientes dasérie de FourieT. Esta será uma representação muito útil.

Para sugerir o resultado geral. vamos considerar umsinal x(t} com transformada de Fourier X(j<o), que consis­te em um único impulso de área 2r em m= IDa-: ou ~ja.

que é. A relação especial que é aparente aqui é umaconsequênda direta da prupritdadt de dualidade para astransformadas de Fourier. que analisaremos com deta­lhes na Sef;ão 4.3.6.

As funções dadas nas equações 4.17 e 4.19 surgemfrequentemente na análise de Fourier e no estudo dos sis­temas LIT e são conheddas como funfÕtS sme. Uma defini­ção comwnt:Dte utilizada para a função sine é

sãnc(8) = ~nri ..e

Por fim. podemos observar outra propriedade datransfonnada de Fourier examjnando a Figura 4.9, quetraçamos novamente na Figura 4.11 para diIertntes valo­res diferentes de W. Apartir dessa figura, vemos que quan·do Waumenta, X(jOJ) toma·se mais largo. enquanto o picoprindpal de x(t) em t = Os«: toma mais alto e a largura doprimeiro lóbulo desse sinal (ou seja, a pane do sinal paraItt < .,../W) se toma mais estreita. De fato, no limite, emque W ..... 00, X(jm) =1para todo ID e, co~uentemente.

A função sine é esboçada na Figura 4.10. Os sinais nasequações 4.17 e 4.19 podem ser expressos em termos dafunção sine:

2senwT) _"VI"" [~J- "J I smew •

seu 1+"t :: W sinC[""]'1("1 11" 1f

--r/W 'ff/W

Ibl

Figlra 4.9 Par transformado de Fourier do Exemplo 4.5: lal TrclOs­formada de fourier do Exemplo 4.5. lbl Afunção de tempo cones­pondente.

,

II,I

IiI

I.,

172 Sinais e sistemas

-wfW, -,X,U...) X:zUaI)

'I rn-w, w, • -w, w, •

Ii

[.,II

(.) lb)

Figura 4.11 Par transformado de Fourier da Figura 4.9 para diferentes valores de W

,,

i.

II,.iI,i

I'I

JL

•

e sua transfonnada de Fourler do sinal é

que é esboçada na Figura 4.12 para T= 411, Em comparaçãocom a FIgura 3.7(a). as únicas diferenças são um. fator de

t": 2 senkw T.XUw)= LJ o '6{w-kwo).

-.., k

impulso na k-ésima frequência harmónica kmo~ 271" veztsok~o coefidente al da série de Fourier.

•Exemplo 4.6

Considere novamente a onda quadIada i1USbilda na Fi­gura 4.1. Os roe6ào.l«s da série de Fourla para esse sinal são

_ seu kwo1ia,-Tk

(4.22)

então aaplicação da Equação 4.8 resultará em-x(t)~ I: a,'-. (4.23)-...

Vemos que a Equação 4.23 corresponde exatamente àrepn:s(Dtação da sérit de Fourler de um sinal periódi­co, confOIme especificada pela Equação 3.38. Assim, aD'allSformada de Fourier de um sinal periódico com coe·fidentes da série de Fourier (ali pode su interpretadacomo um Irem de impulsos ocorrendo nas frequt:ndasharmonicamente reladonadas e para os quais a área do

Gmeralizando. S( XUwI ti~r a forma de uma combina·ção linear de impulsos igualmente espaçados em frequên­da. ou seja,

X(jw) = E 27rdt Ó(W - W o)',-

___----'ffi _

Atransfonnada de Fourier de tempo contfllJO 173

X1Jwl

•.. ,, ,, ,, ,, ,2 ' '2, ,, ,, ,, ,, •, •, •-- , ,

, , -.. .." , ,, ,- ,

Agura 4.12 TransforrMda de Fourier de lima onda~ periÓÓIC3 simétrica.

proporcionalidadf df 21r f o uso df impulsos fm vez de umgráfico de barras.

••úemplo4.7Seja

Xtild)

.11

-..O .. •

-~/J(~

Figure 4.13 Transformadas de Fourier de lal x(r):: sen wot:lbl x(r) .. CDS wat do Exemplo 4.7.

•..

X!/ol

_í,------I,----í_-.. O

x(t) "" st=n wrJ.Os CQf:ficimttS da série df FourifC para me sinal são

1ai = lj'

I.a =---I 2j

a,l:=O, k;o:l 00-1.

Assim. a transformada df Fouria é mamada na Figura4.13(a). De modo semelliante. para

x(t) = cos wot.

os coeficientes da série de Fourier são

Iai =Q-I ="2'

Q,,=O, k.",l ou-L

qUf t Pfriódico com período T. conforme indicado naFigura 4.14(a). Os codidentes da sme de Fouriupara essesinal foram caJrulados no Exfmplo ].8 f são dados por

A transformada df Fourier dfSSe sinal é represfntada na Fi·gura 4.13(b). Essas duas transformadas lfrão grandf impor­tânda quando analisarmos sistemas de modulação Sfooidal00 Capítulo 8.

••Exemplo 4.8

Um sinal que será fxtmnameme útil on nossa aná­lise dos sistemas de amostragem no Capítulo 7 t o Irem dfimpulsos

x{t)~ I: 6(t-kT).k.~

Ou seja. cada coefidmte de Fouriff do trem. de impulsosptri6dico tfm o mesmo valor. I1T. Substituindo ai por essevalor na Equação 4.22, resulta

. 2. ~ [ 2.k}X()w)=- LJ 6 w--T "_--00 T

Assim. a transformada de fourieT de um trem de 1m­pulsos pcriódico com período T no domútio df tmlpO é umtrem df impulsos periódico com pcríodo 2,,;IT no domírtiode frtqulncia. conforme esboçado na Figura 4.l4(b). Nova-

(1))

174 Sinais e sistemas

Rgu... 4.14 lal Trem de impulsos periódico: Ibl sua transformada de Fourier.

~i."lit~

"~IJ,

'I,II

I,!i!

I,

I

(4.24)

(4.25)f - .X(jw)= -1>:1 x(t)e-.J<o'I dt.

)f- ."l')~ - XUw)e'"' dw2~ -

Assim, em relação ao Exemplo 4.1,

Às vezes, será conveniente nos referirmos a XUm)com a notação fflx(t)) e a x(t) com a notação ff-I(X(i<o)J.Também iremos nos referir a x(t) e X(jco) como o partransformado de Fourier com a notação

ff Ie-<Olu(t)----,-,

a+)w

_1_, =ff{t-~u(I)}.a+Jw

'-~u(I)=ff-l(-I-·la+ JW

[Eq.4.91

[Eq.4.8J

,

Fouriet e será conveniente usarmos uma notação abre·viada para indicar a relação de um sinal e sua transformada.Conforme desenvolvemos na Seção 4.1. um sinal x(t)e sua transformada de Fourier X(j(o) são reladonadospelas equações de síntese e análise: da transformada deFourier,

,

>lll

t-'T -T , T 'T

(~

XII»)

... t t'; t

t t ...4. -'lf , 21r 4. •-1" T 1"

mente, vemos aqui uma ilustração da relação inversa entreos domínios do tempo e da frequ~nda. À medida que o es­paçamento entre os impulsos: no domínio do tempo (ou seja,o período) se toma maior, o espaçamento entre os impulsosno domínio da ~uência (a frequênda fundamental) setoma menor.

•4.3 Propriedades da transformada de-- Fourier de tempo contínuo

Nesta e nas duas seções seguintes, consideramosuma série de propriedades da transformada de Fourier.Uma listagem detalliada dessas propriedades f mostradana Tabela 4.1, na Seção 4.6. Como foi o caso para a re­presentação em série de Fourier dos sinais pe:riódicos, es­sas propriedades nos dão uma ampla visão sobre a ttans·fonnada e a relação entre as desai~ no domínio dotempo e da frequênáa de um sinal. Além disso, muitasdas propriedades são úteis para reduzir a complexidadedo cálculo das transformadas e transfonnadas invasas deFouriu. Mais ainda.. conforme descrevemos na seçãoanterior. existe uma relação próxima entre as represen­taçoo em série de Fourier e transfonnada de Fourierde um sinal periódico, e usando essa relação podemostransferir muitas das propriedades da transformada deFourier em propriedades correspondentes da série de Fou·riet. que discutimos independentemente no Capítulo 3.(Ver. em particular, a Seçâo 3.5 e a Tabela 3.1.)

Durante a análise nesta seção, frtquentememeataremos funções de tempo e suas transformadas de

4.11 Unearidade

s.

•li

y(r)~YUw),

então

li..(r)+by(r)~aX(iw)+bY(iw). (4.26)

A prova da Equação 4.26 segue diretameme da aplicaçãoda Equação de análise 4.25 a a(t) + by(t). Apropriedadede linearidade é fad1menle estendida para uma combina­ção linear de um número arbitrário de sinais.

4Jl Deslocamento no tempo

Se

lix(t)~XUw),

então

lx(r-rol~t-"'.x(jw).1 (4.27)

Para estabelecer essa propriedade. considere a Equação4.24:

1 Jro .x(t) = - X(jw)eJU dw,211" -00

Substituindo t por t- to nessa equação, obtemos

x(t _ to) = -'J+oo X(jw)e.iw{t-to}dw21r -00

= LJ':(e-jc.JIox(jw»)e-iu dw.

Reconhecendo esta como a equação de SÚltese parax(t- to)'concluímos que

lI{x(r-ro)}~t-""XUwl .

Uma consequênda da propriedade de deslocamentono tempo é que um sinal que é deslocado no tempo nãotem a t/Il2gnitude de sua transfonnada de Fourier alterada.Ou seja, se expressarmos X(jw) em fonna polar como

então

Atransformada de Fourier de tempo contínuo 175

Assim. o efeito de um deslocamento no tempo sobre umsinal é introduzir em sua transformada um deslocamentode fase. -fl)/ll' que é uma função linear de <o,

•ú.mplo 4.3

Para ilustrar a utilidade das propri~des de linearida­de e deslocamento no tempo da transformada de Fourier,.vamos considerar o cálculo da transformada de Fourier dosinalx(t) mostrado na Figura 4.15(a).

Primeiro. obstrvamos que x(t) pode ser expresso comoa combinação linear

xl') ~ ~xl(r - 2.5) +x,lr - 2,5),

sendo os sinais XI (t) e x~(t) são os pulsos retangularn mos­trildos na Figura 4.l5(b) e (c). Então. usando o resultado doEJ:emplo 4.4. obtemos

(.) 2..n(w/2) (.) 2..n(3<.>/2)

XI }W = e Xl }W = .w w

Por último, usando as propriedad(S de linearidade e desloca­mento no tempo da transformada de Fouri~ resulta

',;~------ 1 2 3 ..!----

1 x,(ll

_P=l-,I I

(<I

Figura 4.15 Oecunposição de 001 sinal em lITIa cunbinação li·nea' de dois mais mais sifr4lles.lal Osinal ,,(ri para o Exemplo 4.9;lbl e ltl os dois componemes dos sinais usados para repl'eSeI1tar "ltl

•

176 Sinais e sistemas

4.3.3 Conjugação e simetria conjugadaA propriedade de conjugação afuma que se

5'x(t)_ X(jw).

então

Essa propriedade decorre da aplicação do conjugadocomplexo na Equação 4.25:

X'(iw)~[L:X(IV"'" dlr

~J: X(I),J~ dr.

Substituindo CD por --CD. vemos que

X'(-jw)~ f:X(I)';"'d1. (4.19)

Reconhecendo que o membro direito da-Equaçjo 4.29 é aequação de análise da transformada de Fourier para X·(I).obtemos a relação dada na Equação 4.28.

A propriedade de conjugação nos permite mostrarque. se xtt) é real então X{iffi) tem simetriJ1 amjugad4; ou seja.

IX(-jw) ~ x'(iw) Ix(r) realO (4.30)

Especificamente, se xtl) é real, de modo que x·(t) = X(I).temos, pda Equação 4.29,

e a Equação 4.30 segue substituindo (j) por - 00.

Do Exemplo 4.1, comx(t) =rtu(t).

X(iw) =_1_.a+jw

<

X(_jw)~_l_. ~X·(iw).a- JW

Como uma consequênda da Equação 4.30, se ex­pressannos XUoo) em forma retangular como

XUw) ~ <ll€IXUw)J +j.9"m{X(jwII.

então. se X(I) é reaL

<ll€IXt.'u)J ~ <ll€IXI-MI

•gm{Xt.'u)J = -gmIXI-jw)J.

Ou seja, a parte real da transformada de Fourier é umafunção parda frequênoa, e a parte imaginária é uma fun·

ção ímpar da frequência. De modo scmdhanle. se expres·sannos XUoo) em forma polar como

XUw) ~ IXUw~ei<X""'.

então, segue·se da Equação 4.30 que lX{jCD)1 é uma fun­ção par de Cl) e dUm) é uma função ímpar de w. En·tão, ao se calrolar ou exibir a transformada de Fourier deum sinal real. as partes real e imaginária ou magnitu­de e~ da transformada só precisam ser tspedficadaspara frequências positivas. pois os valores para frequên·cias negativas podem ser detmnin.ados diretamente dosvalores para Q) > O usando as relações recém-obtidas.

Como uma consequência adioonaI da Equação 4.30,se x(t) for real e par, então X(i<o) também será real e par.Para ver isso. escrevemos

;rl-jw)~ f: x(t)';"'dl

ou. com a substituiçào de variáveis r =--t.

.f(-jw) = J_:x(-r) e-jf.;rd.,

Como x(--r) = X(T), temos

X(- jw) = J_:x (r) e-jwrdr

= X(;w).

Então, X(joo) é uma função par. Isso, junto com a Equa­ção 4.30, também requer que X·(jaI) = X(jco) [ou seja.que XUoo) seja real]. O Exemplo 4.2 ilustra essa proprie­dade para o sinal real e par ~. De modo semelhante,pode-se mostrar que, se X(I) é uma função real e ímparno tempo, de modo que x(r) =-x(-t), emão XljCll) é pura­mente imaginário e ímpar.

Por fim, como vimos 00 Capítulo L uma funçãoreal x(1) sempre pode ser expressa em termos da soma deuma funçào par x,(t) = &tltx(Z») e uma função ímpar xo(t)= Od{x(III; ou stja.

xlr) ~ X,(I) + X,(I).

Pela linearidade da transformada de Fourier,

5'iX{111 = 5'{x,lrll +5'lx,I'1I

e a panir da análise prro:dente. ::FIxt(tll é uma funçãoreal e ff{x~(t)l é puramente imaginária. Então, podemosconcluir que, com x(1) real.

5'x(t)~Xt.'uI.

5'&"jx(~I..-(Jl€IXt.'u)J.

5'Odlxl111~gmIX(jw)}.

I

~ aplicando a transformada de Fourier aos dois membros.obtemos

X(jw) ~ G(jw) +<G(O)6(w).JW

• em que usamos a propriedade de integração listada na Thb~la

4.1. Como Gljw) =L concluímos que

Uma utilização d~ssas propriedades de simetria é ilustra­do no ~xempl0 a s~guir.

•Exemplo 4.10

Considm novamente o cálculo da traDSfonnada <kFouri~r do Exemplo 4.2 para o sinal x(t) .. ~, sendol:l > O. D~sta nz.. usar~mosas propri~dades d~ sim.~tria datranSformada de Fouritt para auxiliar no proctSSO.

Pelo Exemplo 4.1, t~mos

5' I'-·U(I)~--..

a+Jw

Not~ qu~, para t > O, x{t) ~ igual art"(r). enquanto para t <0, x(t) assum~ valores espeJhados. Ou seja.

X(I) =,-i'I ='-"U(I)+t~U(-I)

= 2['-"U(I)+;-"U(-') 1

~2&.{e-·U(Il}.

Como t-li(r) assume valores r~ais. as propriedades de sim~­

uia da transformada d~ Pouri~r levam-nos a concluir que

&'('-.U(Il}2.<R~{.: jJSegu~-St qu~

X(i.» ~2<R~ l-I_) ~ laa+jw a2 +w2

que é a mesma r~sposla encontrada no Exemplo 4.2.

4.3.4 Diferenciação e integração

S~ja x(t) um sinal com transformada de FourierX(jw). Então. diferenciando os dois membros da Equaçãode síntese 4.24 da transformada de Fourier, obtemos

<Ix(I) I J- .~ - jwx(jw),"'" dw.

dt 21r-OO

Portanto,

(431)

Esta é uma propriedad~ partirularment~ importanle.pois substitui a opaação de diferendação no domínio dotempo pela multiplicação por j<o no domínio da ~uên­da. Veremos que a substituição é de grande utilidade emnossa discussão da Seção 4.7, no uso de transformadas

Atransformada de Fourier de tempo continuo 1n

de Fourier para a análise d~ sistrnlas LIT descritos porequações diferenciais.

Como a diferenciação no domínio do tempo cor­respond~ à multiplicação por jw no domínio da fr~quên­

da. pode-se concluir que a integIação deve envolverdivisãopor jw no domínio d~ frequência. De falo, es(~ é o caso,mas ~ apenas em parte. A relac;ão exata ~

o impulso no membro direito da Equação 4.32 ~etc: o va­lor de ou médio que pode resultar da intqração.

O uso das equações 4.31 ~ 4.32 ~ ilustrado nos pró­ximos dois exemplos.

•Exemplo 4.11

Vamos determinar a transformada de Pourie:r X(jW) dodegrau unitário X(I) .. Ii(I). utilizando a Equac;ão 4.32 ~ sa­bendoque

5'g(1) = 6(t)~GUw) ~ I.

Observando que

x(t) = J~g(1")d1"

X(jw)~..!...+.6(w). (4.33)JW

Obst:rv~ que podemos aplicar a propriedade de dife­rendição da Equação 4.31 para recuperar a transformadado impulso. Ou ~ja.

dU(I)ff.[, I6(l) =--~ JW -.+1f6(w) =1dr JW '

em qu~ a úhima igualdade St:gu~ do fato de que CIl6(Ol) .. o.

••Exemplo 4.12

Suponha que queir.unos calrnlar a ttansfonnada deFow1~r X(ic:o) para o sinal x(t) exibido na Figura 4.16(a). Emvez de aplicar a integral de Fouri~r dir~tamente a xtl). con­sideramos o sinal

(bJ

fII,f!

rI,!.,!

,

'ITI"..

(

I,X(jwl~

o,

Usando a substituição de variáveis T = aI. obtemos

[

I J- -J1""r-- X(T)t dT, a>O:J'{x(at)}~ a -~ ,

1J- -~""'r--- X(T)t dT,a<Oa ~

Ou seja. reve~r um sinal no tempo taJnbmJ. rn-erte suatransformada de Fourier.

Um o::emplo usual da Equação 4.34 é o efeito sob~

o conteúdo na úequênda que resulta quando uma fitade áudio é gravada em uma velocidade e reproduzida emuma velocidade diferente. Se a velocidade de reproduçãoror maior que a velocidade de gravação, corresponden­do a uma compressão no tempo (ou seja, a > 1). entãoo espeet.ro é expandido na frequência (ou seja, o efeitoaudível é que as frequêndas de reprodução são mais al·tas). Reciprocamente, o sinal reproduzido terá frequên­cias mais baixas se a velocidade de reprodução for menorque a veloddade de gravação (O < Q < 1). Por exemplo,se uma gravação do som de um pequeno sino tocandofor reproduzida em uma velocidade reduzida. o resultadosoará como o toque de um sino maior e mais profundo.

A propriedade de mudança de escala é outro exem·pio da relação inversa entre tempo e frequência, que jáencontramos em diversas ocasiões. Por exemplo. vimosque, ao aumentarmos o período de um sinal senoidaldiminuímos sua frequênda. Além disso, como vimos nO

Exemplo 4.5 (ver Figura 4.11). se considerarmos atuns·ronnada

que corresponde à Equação 4.J4. Assi.m, a menos do fa­tor de amplitude 1IIal. uma mudança de escala linear

no tempo por um fator a corresponde a uma mudan­ça de escala linear na frequência por um fator de lia, evice-versa. Além disso. considerando a = -1, vemos da

Equação 4.34 que

Ir--"-:J'--I ('-3S)x(-tl_X(-jw).

4.3.5 Mudança de escala no tempo e na frequênciaSe

Com G{O) = O.

X(jw) = 2~enw _ 2~w.}W2 JW

A expressão para X(jfIJ) é puramente imaginária e ímpar. oque é consistente com o (ato de que x(t) é real e ÚDpar.

•

então

:J'x(t)- X(jw),

d9(t) = dr x{tl·

Como ilusuadona Ftgura4.16(b).S(r) é a SOmi. d~ um pulsoretangular e dois impulsos. As transformadas de Fourierde cada um. desses sinais componentes podem ser determi­nadas pda Thbela 4.2:

GUW)=(2:W)_~'"- t-jw.

Obstrve que G(O) =O. Usando a propriedade de integração.obtemos

Figura 4.16 lal Um sinal xlII para o Qual a transformada de Fou­rier deve ser calctJlada.lblR~ da derivada de xltl COfOO ascrna de dois componentes.

178 Sinais e sistemas

sendo a um número real diferente de zero. Essa proprie­dade segue dirttameme da definição da aansformada deFouria - especificamente,

(4.34) então. quando aumentamos W, a transformada inversade X(jal) toma-se mais estreita e mais alta e aproxima·se deum impulso quando W --t ..... Por fim.. no Exemplo 4.8, vi·mos que o espaçamento no domínio de frequência entreos impulsos na uansformada de Fourier de um trem deimpuJsos periódico é inversamente propordonal ao espa­çamento no domínio do tempo.

1

A relação inversa entre os domínios de tempo e fre·quência é de grande imponânàa em diversos contextosde sinal c sistemas, incluindo a filtragtm e o projeto defilttO, e encontraremos mas consequênàas em diversasocasiões no restante deste livro. Além disso, o leitor podeperttbtt muito bem as implicações dessa propriedade noestudo de diversos outros tópicos na àência e na enge·nharia. Um exemplo é: o prinápio da incerteza na física:outro é: o ilustrado no Problema 4.49.

Ui DualidadeComparando as relações de transformada e as de

rransfonnada inversa dadas nas equações 4.24 e 4.25,observamos que essas equações são similares e:m forma,mas não lotalmente idênticas. Essa simetria leva a umapropriedade: da lranSformada de Fourier conherida comodualidadt. No Exemplo 4.5. aludimos a essa propriedadequando observamos o reladonameoto que existe entre ospares transformados de: Fourier dos exemplos 4.4 e 4.5.No primeiro desses exemplos ante:riore:s, deduzimos o partransformado de Fourier

(I. ~I<TI 5' . ,,.e wT,

X,(I) ~ 1,\ ~ X,Uw) ~ . (4.36)O, r >T1 W

enquanto, no segundo, consideramos o par

Atransfonnada de Fourier de temPJ cootít'UQ 179

A simetria exibida por esses dois exemplos estende·-se às transformadas de Fourier em geral. Especificamen­te, devido à simetria entre as equações 4.24 e 4.25, paraqualquer par transformado existe um par dual com asvariáveis de tempo e frequência trocadas. Isso é: melhorilustrado com um exemplo.

•Exemplo 4.13

Vamos considerar o uso da dualidade para encontrar atransIormada de Fourier G(jal) do sinal,

9(1)=--,.1+1

No Exemplo 4.2, encontramos um par transformado deFourier em que a uansformada de Fourier. como uma fun·ção de OJ, tinha uma forma stmelhante à do sinalg(t). Espe­cificamente, suponha que consideremos um sinal x(t) rujatransformada de Fourier seja

X(jW)=-'­l+w2 .

Então, do Exemplo 4.2,

-M" ,X(I) = e ...... X(jw) = --ol+w2

Esses dois pares transformados de: Fourie:r e a relaçãoentre eles são representados na Figura 4.17.

(4.37) Aequação de síntese para esse par tnnsfonnado de Fourier é

,-M =2- f"'( , ,1""dW.21f J -oo 1+w-

x,((l

~----~T, Tf-,-------. •

X2((l X2(/w}

WI. eb• • ![

W W

W W •Figu",4.17 Relação entre os pares transformados de Fourier das llQIJ3çõe5 4..36 e4.37.

180 Sinais e sistemas1I

+00 1 f+OO 'f IX(tf dt = - IX(jw1 dw. (4.43)-00 211' -00

4.11 Relação de Parseval~ .r(t) e X~) fomo um par transformado de Fou­

oer, então,----------:--,2..-1'1 = fm (_2_],-iUdW'

-«I 1+uiAgora. rrocando as variávds 1~ 00. ob[~mos qu~

Multiplicando essa eq\Lilção por 1'1" ~ substituindo t por -I.

obt~m~

•

De modo similar. podemos obl~r as propriedades duais dasequações 4.17 ~ 4.32:

O termo entre colchetes é simplesment~ a transformadad~ Fourier de X(I); assim.

f+oo'~ 1 f+OO '. [J+OO -iU I-00 \x<t1\ dt = 211' -00 X (jw) -DO x(l) t dt dw.

•Exemplo 4.14

Para cada uma das transformadas de Fourier mostra­das na Figura 4.18. que~os calcular as seguintes ~%pres­

sôes no domínio d~ tempo:

o termo no membro esquerdo da Equação 4.43 é aenergia toI:al no sinal x(t). A relação d~ Pmeval estabele­tt que essa energia total pode ser determinada calru.la.ndoa energia por unidade dt tempo (1x(t)P) ~ integrando so­bre todo o rempo ou calculando a energia por unidadede fr~quênda (lX(jQ))P/2:lr) e integrando sobre todas asfrequências. Por esse motivo, lX(i<oW é usualm~nte cha­mado tsptctro dt dt1lSidildt de entrgia do sinal x(t). (Vertambém o Problema 4.45.) Observe que a r~lação de Par·seval para sinais de energia finita é o correspond~nte di·reto da relação d~ Parstval para sinais periódicos (Equa­ção 3.67), que indica que a potinaQ média de um sinalperiódico é igual à soma das porências médias de seuscomponent~ harmônicos individuais. que. por sua vez.são iguais às magnitudes ao quadrado dos coeficientes dasérie de Fourier.

A relação de Pmtva! e outraS propriedades da ttans­

formada de Fouriersâofrequentement~ útris na detennina­ção d~ algumas das caract~rísticas d~ um sinal diretam~nteno domínio do tempo a partir de sua transformada de Fou­oer. O próximo ~xemplo é uma ilustração simples disso.

Trocando a ordem das integrais. temos

Essa expressão, conhecida como relação de Parseval.segue da aplicação direta da transformada de Fourier.Especificamente.

J':Ix(lf dt = J': x(11 x(I)dl

~J': x(t112~J':X'(jw),-iU dW]dt

(4040)_ftx(t)!... dX(jw) .dw

Ou seja,

1 ff f"-..,.x(tl + nIO)6(I)~ x(q)dq. (4042)Jt -

2~'~ = fm [-2.,],-Jw<dl. (4.38)-«I 1+1

O membro direito da Equação 4.38 é a equação d~ análiseda l:IiUlSformada dt Fourier para 1/(1 +P) ~, assim. condu·ímosqu~

A propri~dad~ de dualidade~pod~ ser usadapara determinar ou sugerir outras propriedades das trans­formadas de Fourier. Especificamente. se houver caraae­rísticas de uma função do tempo qu~ tenham implicaçõescom relação à transformada de Fourier. então as mesmascaraC1~risticas asscxiadas a uma função da frequência t~·

tão implicações duais no domínio do tempo. Por exemplo.na Seção 4.3.4, vimos qu~ a diferenciação no domínio dotempo corresponde à multiplicação por jfiJ no domínioda frequência.. Pda discussão anterior, pcxitriamos, então,suspdtar que a multiplicação por fi no domínio d~ lmlpocorrespond~ de modo g~Ia1 à difuendação no domínio defrequênda. Para determ.inar a fonna prtdsa dessa proprie­dade duaL podemos proceder d~ modo c:xatament~ aná­logo ao usado na Seção 4.3.4. Então. se diferenciannos aEquação de análise 4.15 em relação a OJ, obtemos

dX(jw) ~ f+OO -p(t) ,-iUdt, (4.39)dw -

A transfoonada de fourier de tempo corJtfooo 181

Ib)

XII-)

'---.,-)Ii

4.4 A propriedade da convoluçãoComo vimos no Capítulo 3. se um sinal periódico é

representado o:n wna sme de Fourier - ou seja, comouma rombinação linear de: expontndais complexas harmo·nicamente reladonadas, oorno na Equação 3.38 -, entãoa resposta de um sistema ur para essa entrada tambémpode ser representada por uma série de Fourier. Como asexponenciais complexas são autofunções de sistemas m.os coefidentes da série de Fourler da saída são aqueles daentrada multiplicados pela rtSpOSla em frequênda do siste~

ma. calculada nas frequêndas harmônicas correspondent~

Nesta seçâo. estendemos~ rtsultado para a situa­ção em que os sinais são aperiôdicos. Primeiro, deduzimosa propriedade de modo um tanto informal para aprooveitar a intuição que desenvolvemos para sinais perió.dicos no Capítulo 3, e depois fornecemos uma breve deduçãofonnaJ. começando dirttamenle da integral da convolução.

Aqui é nettSSário lembrar da nossa interprttação daequação de síntese da ttansfonnada de Pourier como umaexpressão para x(t) como uma combinação linear de expo­nenciais complexas. Esped.fic.ameme, referindo·se à Equa·ção 4.7,.1(1) é expresso como o limite de uma soma; ou seja.

x(r) = _1_J+<:O X(jw)tiwtdw21r -CC'

(U7)= lim _1_ E X(jkwo)?"'o'wo.

.... -0211" 1:__00

Podemos reconhecer a resposta fiD frequ~nciaHum), con·forme definido na Equação 3.121. como a transformadade Fourier da resposta ao impulso do sistema. Em ou­tras palavras, a transfonnada de Fourier da resposta

Conforme desenvolvemos nas st1';ÕeS 3.2 e 3.8, a resposta

de um sistema linear com resposta ao impulso h(l) a umaexponencial complexa~ é HUkwo)tl1o.ol, sendo

H(jkwo)= f_:h(l)e-ikJ.!oldt. (4.48)

próximas duas seções apresentamos duas propriedadesespeáficas que desempenham papéis partieuIarmenteimponantes no estudo dos sistemas ur e suas aplica­ções. A primeira delas, discutida na Seção 4.4. é. conhe·cida como prDpritdade dt amvoluflÜ'. que é. fundamentalpara muitas aplicações de sinais e sistemas. incluindo filotragem. A segunda, discutida na Seção 4.5, é conheddacomo propriedadt dt multiplicafdo e fome~ um alictrcepara nossa discussão da amostragem no Capírulo 7 e mo·dulação de amplitude DO Capítulo 8. Na Seçáo 4.6, resu­mimos as propriedades da transformada de Fourier.

('.'5)

('.44)

-

--1 -0,5 O 0,5

(.)

XIIO)

)Ii

-IO

E ~ _1J-lxUwf dw2. -

que vale ~ para a Figura 4.18(a) e I para a Figura 4.18(b).

Para calcular D DO domínio da frequência, primeirousam05 a propriedade da diferendação para observar que

if9lt) ~~x(1)- jwX(jw) = G{jwl·

dtSe notarmos que

IJ+~D ~ 9(0) = - G(jw)dw2 _

concluímos que

D = f: jwXUw)dw. (4.46)

-Ique vale zero para a Figura 4.18(a) e (2,J;) para a Figura

'.18{b).

•Existem muitas ourras propriedades da transfor­

mada de Fourier além daquelas que já disauimos. Nas

- 'E~ J_lxtt~ dI

D=~X(t'dt ~,=O

Para calcular E no domínio de frequênda. podemos usar arelação de Paneval. Ou seja,

Figura 4,18 As tnmsformadas de Fourier consideradas no Exem­plo 4.14.

182 Sillais e sistemas

podemos identificar rUro) da Equação 4.49, resultando em

Ii!iI

I

.,

.[.,'I'\i\,Ii

iiiI,.,i

'1,I

(4.56)

Ou seja,;----=-----

9'y(ll ~ h(1)<x(r)~Y(jwl ~ H(jw)X(jw).

A Equação 4.56 é de grande imponânda na análi­se de sinais e sistemas. Conforme expresso nessa equa­ção, a transformada de Fourier mapeia a convolução dedois sinais no produto de suas transformadas de Fourier.H(jo:J), a transformada de Fourier da resposta ao impulso,é a resposta em f~quênda definida na Equação 3.121 erepresenta a mudança de amplitude complexa da trans­formada de Fourier da entrada em cada frequência Q). Porexemplo, na filtragem seletiva em frequência. podemosquerer ter H(jCll) :::: I em um intervalo de frequências,de modo que os componentes de frequência nessa faixasofram pouca ou nenhuma atenuação ou mudança de­vido ao sistema. enquanto em outras faixas de frequên­das podemos querer ter Hum) ~ o. de modo que oscomponentes nessas faixas sejam eliminados ou significa­tivamente atenuados.

A resposta em frequência H/j<J» desempenha umpapel tão importante na análise de sistemas UT quantosua transformada inversa. a resposta ao impulso unitário.Como h(t) caracteriza completamente um sistema LIT,então o mesmo ocorre com H(jm). Além disso. muitas daspropriedades dos sistemas LIT podem ser convefÚente­mente interpretadas em termos de HUm). Por exemplo,na Seção 2.3, vimos que a resposta ao impulso da cascatade dois sistemas LIT é a convolução das respostas ao im­pulso dos sistemas individuais e que a resposta ao impul­so geral não depende da ordem em que os sistemas sãodispostos em cascata. Usando a Equação 4.56, podemosreformular isso em lermos das respostas em frequênda.Conforme ilustramos na Figura 4.19. como a resposta aoimpulso da cascata de dois sistemas ur é a convoluçãodas respostas ao impulso individuais, a propriedade deconvolução implica que a resposta em frequênda totalda cascata de dois sistemas é simplesmente o produto dasrespostas em frequêndas individuais. A partir dessa ob­servação, fica claro que a resposta em frequência totalnão depende da ordem da cascata.

Como discutimos na Seção 4.1.2, a convergênciada transformada de Fourier é garantida apenas sob certascondições e, consequentemente, a resposta em frequên­da não pode ser definida para todo sistema LIT. Porém..se um sistema LIT é estável, então. como vimos na Seção2.3.7 e no Problema 2.49, sua resposta ao impulso é ab­solutamente integrável: ou seja,

(455)

(4.52)

(4.51)

(4.50)

Y(jw) = X(jw)H(jwl.

1 f- .y(t) = - Y(jw)tlwtdw ,2~ _

f - .Y(jw) = _DQ x(T)e-Jwr H(jw)dT

f - .= H(jw) _DQ x(T)e-JwrdTo

A integral é X(jOl) e dai

Como uma dedução mais formal consideremos aintegral de convolução

y(t) = J_: x(T)h(t - T)dT.

Trocando a ordem das integrais e observando que X(T) nãodepende de t, temos

Desejamos Y(jw), que é

Y(jw)~9'{y(I)}~L:L:X(T)h(r-T)dT e-j~dl.(4.53)

1 +Oll . 1- L X(jkwo)eJkw,lwo __211' k",,--oo 211'...,

L: X(jkw,)H(jkw,~w"..-

Como y(t) e sua transfonnada de Pourier YUro) são relacio­nados por

Pela propriedade de deslocamento no tempo, Equação 4.27,o termo entre colchetes é cJ'MH(jw). Substituindo na Equa­ção 4.54, resulta

e assim, pela Equação 4.47, a resposta do sistema linear,x(11 é

y(ll~ lim _, EX(jkw,)H(jkw,)ei"'o'w,I0Io-0211" k",-oo

1 f- . (4.49)= - - X(jw)H(jw)tJ""'dw.

21r -00

ao impulso (calculada em Cll = kCllol é o fator de escalacomplexo que o sistema LIT aplica à autohmção ei~. Dasuperposição (ver Equação 3.124), temos, então,

Y(jml =HU"IXU"I· (4.57)

A transfoonada de Fourier de tempo cootlnuo 183

Y(jw) = H(jw)X(jw)

= ,-jwt, X(jw). ("60)

(.)

---"iH'UOl",(lO)I---' >9l

(b)

(o)

Ag.ra 4.19 Três sistemas UT equivalentes. Aqui. cada bloco rep-e.senta um sistema UT com a resposta em frequência indicada.

Esse resultado, de fato, é consistente com a propriedade dedeslocamento no tempo da SCção 4.].2. Especificamente.um sistema para o qual a resposta ao impulso ~ 6(t - tO) apli­ca um deslocamento DO tempo to à mtrada - ou srja.

Assim, a propriedade de deslocamento dada na Equação4.27 também resulta na Equação 4.60. Observe que, oupela nossa discussão na Seção 4.].2 ou diretamente prlaEquação 4.59, a resposta em úequê.nda dr llDl sistemaque ~ um simples deslocamento de tempo tem magnitudeunitária rm todas as frequt:ndas (ou srja, ci""G :: 1) e temuma característica de fase -filio que é uma função linearde m.

•

Consequentemente, da Equação 4.56, sque-se que a res­posta em frequênda de um diIertndador é

•Exemplo 4.16

Como um srgundo nemplo, vamos examinar um di­ferendador - ou seja, um sistema UI para o qual a entradax(t) e a saída y(t) sâo relaáonadas por

AEquação4.57 é uma das três condições de Dirichl~t que.juntas, garantem a existência da uansformada de FourierH(jw) de h(t}. Assim, supondo que h(t) satisfaça as ou­tras duas condições. como acontece com basicamente to­dos os sinais de importãncia física ou prática. vemos queum sistema LIT estável tcm uma resposta em frequên­da H(jw).

usando a análise de Fourier para estudar sistemasUI, ~t.rnos nos restringindo a sis~ cujas respostas

ao impulso possuem transfonnadas de Fourier- Para usartémiC3S de transfonnada para aaminar sistemas L11 instá­vris, desenvolveremos uma generalização da transformadade Fourier de tempo contínuo. a nansfonnada de Laplaet.

Vamos deixar essa disrussão para o Capírulo 9. Até lá vamosconsiderar os muitos problemas e aplicações práticas queIXXlemos analisar usando atransformada de Founa.

4.4.1 ExemplosPara ilumar a propriedade de convolução e suas

aplicaÇÓ('S. consideraremos os seguintcs exemplos.

Da propriedade de diIerenciação da ~o 4.3.4,

Y(jw) = jwX(jw).

H(jw) = jw.

•Exemplo 4.17

("61)

(4.62)

•

•Exemplo 4.15

Considere um sistema LIT de tempo contínuo com res­posta ao impulso

(0.58)

A~ em frequEnda~ sistema é a transfonnada drFourkr de h(t) e é dada por

(0.59)

Assim, para qualquer entrada x(1) com transformada deFourier X{jm), a tranSformada dr Fourier da saída é

Considere agora um integrador - ou seja, um sistemaLIT espedficado pela equação

y(l) = J~x(T)dT.

A resposta ao impulso para e:sst sistema é o degrau unilárioU(I), e portanto, do Exemplo 4.11 e da Equação 4.33, a res­posta em frequênda do sistema é

H(jw) = J...+ r6(w).JW

Então, usando a Equação 4.56, temos

'J,.184 Sinais e sistemas

•qu~ ~ consist~nte rom a p(opriedad~ d~ inlegração da Equa­ção 4.32.

Y(jw) ~ H(jw)X(jw)

= J... X(jw) +ü(jw).l(w)JW

~ J... X(jw) +ü(O)6(w).JW

(4.65)h(t) = t-tu(t).

A partir do Exemplo 4.18, podemos romeçar a veralgumas das questões que surgem no projeto de filtro,envolv~ndo aspectos tanto do domínio do t~mpo quan­to da frequência. Em particular, enquanto o filtro passa­-baixas ideal possui seletividade de frequência perfeita,sua resposta ao impulso tem algumas caraet~rirticas quepodem não ser desejáveis. Primeiro, observe que h(t) nãoé nula para r<O. Consequent~ente. o filrro passa-bai.x.asideal não ~ causal e. portanto. o filtro ideal não ê uma op­ção em aplicações que aigem sistemas causais. Além domais, como analisaremos no Capítulo 6. mesmo que a cau­salidade não seja uma restrição essend.al, obter aproxima­ções boas para o filtro ideal não ~ fácil. e filuos não ideaisque são mais facilmente impl~mentados g~ralm.ente sãopreferidos. Em algumas aplicações (romo o sistema desuspensão de automóveis. discutido na Seçâo 6.7.1 l. ocomponamento oscilatório na resposta ao impulso deum filtro passa-bai.x.as pode ser indestjáveL Nessas apli·caçOO. as características de domínio de tempo do filaopassa-baixas ideaL como mostra a Figura 4.21. podemser inaceitáveis. implicando que podemos ter um com­promisso entre características do domínio da frequência,como a seletividade em frequência ideal e propriedadesdo domínio do tempo.

Por exemplo. ronsidere o sistema l1f rom respostaao impulso

(4.64)

(4.63)

h(senwft

r)~ •~r

que ~ representada graficame:nte: na Figura 4.21.

[

I lwI<w,H(jw)~ I" .

O ....I>w'Agora que destnvolvemos a representação da transformadade Fourier, sab(mos que a resposta ao impulso h(t) desse: fil­tro ideal ~ a transformada inversa da Equação 4.63. usandoo resultado no Exemplo 4.5, t~mos. então,

•Exemplo 4.18

Como discutimos na Seção 3.9.2. a filtragem stletiva emfrequênda é r~alizada com um sistema LIT cuja resposta~m frequ~ncia HIjm) deixa passar o intervalo destjado defrnIu~ncias ~ atenua significativamente as fr~qu~ndas foradessa faixa. Por exemplo. ronsidere ofiliro passa·baixas idealapresentado na Seção 3.9.1. que tem a resposta em frequên­da ilustrada na FIgura 4.20 ~ dada por

(4.66)

H1io>I

~,----------,'I---.JL-"'" O "',,"

.......... de -+- Bonda do ----'---".-. de ­- .........,---'---.-Rgu'" 420 Resposta de frequência de um filtro passa-baixas ideal.

•

A resposta em frequência desse sistema é

H(J'w)~_l­jw+l'

Comparando as equações 3.145 e 4.66. vemos que(SSt sistema pode ser implementado rom o circ.uito RCsim­pIes. analisado na Seçáo 3.10. A resposta. ao impulso e amagnitude da resposta ~ frequência são mostradas na

Figura 4.21 Resposta ao impulso de um filtro passa-baixas ideal do Exemplo 4.18.I

i

1AtransfOlTTlada de fourier de tempo comi.... '85

-1

Mgllrl 4..22 tal Resposta ao i~lso do sistema lIT da Equação 4.65: tbl magnitude da resposta em frequência do sistema.

(4.67)

Figura 4.22. Embora o sistema não tenha a pronunciadaseletividade em frequência do filtro passa-baixas ideal. eleécausal e tem uma resposta ao impulso que decai monoto­nicamente. ou seja. sem oscilações. Esse filtro ou aquelesum pouco mais complexos. correspondendo a equaçõesdiferendais de ordem mais elevada. são frequentemen­te preferidos aos fihros ideais. devido à sua causalidade.fadlidade de implementação e flexibilidade nos compro­missos. com ounas considerações de projeto, como sele­tividade em frequênda e comportamento osdIatório nodomínio do tempo. Muitas dessas questões serão discuti­das com mais deWhes no Capítulo 6.

A propriedade de convolução comumentc é útil nocálrulo da integral de convolução - ou seja. no cálruloda resposta dos sistemas LIT. Isso é ilustrado no próximoexemplo.

•Exemplo 4.19

Considere a resposta de um sistema UT com respostaao impulso

h(t) = ("""""(t). a> 0,

para o sinal de entrada

xiI) ~ .....11). b > o.Em Vtt de calcular y(t) = x(1) • h(l) dimamente, vamostransformar o problema para o domínio da frequ~nda. DoExemplo 4.1, as transformadas de Fourier de x(t) e h(t) são

X(jw) ~ _1_._b+Jw

,H(jw)~_l_..

a+)w

Ponanto,

Y(jw)~ I .la + jw)(b + jw)

Para detenninar a saída y(t), precisamos obter a trans­formada inversa de Y(i<o). Isso é feito de forma simples expan­dindo-se Y(ia:l) em uma expansão em fiações pardais. Essasexpansões são exttonamente úteis no cálrulo de ttansfonna­das invmas, e o método geral para reali7ar expansão em fra·çôes parriais ~ aprtStntado no apêndice. Para este eXmlplo,supondo que h;oe a, a expansão em fraçOO; parciais para Y{je))tema forma

Y(jw)~~+~. (4.68)a+)w b+Jw

em que A e B são constantes a sen=m determinadas. Umaforma de encontrar A e B é igualar os membros direitos dasequaçõa 4.67 e 4.68, multiplicar os dois membros por (a +jo»(b +,iro) e resolver para A e B. Como a1tmIaOva. apresen­tamos no ap&ul.iet um método mais geral eefidente para cal·cular os c:odickntes das expansões em~ parciais, comoa Equação 4.68. Usando qualquer dmas téatic:as. obtemos

1A~--=-B

b-a

,

Portanto,

•'.l

I·11•.,".'

.,

.~

r

•4.5 A propriedade da multiplicação

A propriedade de convolução estabelece que a con­volução no domínio de tempo corresponde à multiplica­çâo no domínio de {rtquinda. Devido à dualidade entreos domínios do tempo e da frequênda, esperamos queuma propriedade dual também seja satisfeita (ou seja.que a multiplicação no domínio do tempo corresponda àconvolução no domínio da frequência). Especificamente,

r(11 s{t)P(t)~ RUw)

~f.:[s(iw)'P(iw)]. (4.70)

II I, J<wYUwl= 1"1- o

O casocoo.trário.

H(jwl=[~

. [1X(jw)~ O

sendo Glg o menor dos dois números Olj e coe" Por último. auansformada inversa de Fourier de Y(jco) é dada por

lsenwct se Wc ~ wj

y(/) = 1fl

senwj 'sewi~wc

~t

Ou seja. dependendo de qual dentre Ol< e Q)j é menor. a saídaserá igual a x(l) ou h(/).

seodo

•

Quando b = a. a expansão em fraçõt:s pardais da Equação 4.69não ( válida. Portm. com b = 11. a Equação 4.67 toma-se

podemos usar o dual da propriedade de diferendação. dada

pela Equação 4.40. Assim.

:f 1e-ortu(l) ............ --.­

o+)w

~ :f .dll I I" u(1)~J- --o ~ ,dw o+)w (a+ jw)2

•

e. portanto,

YUW)~_l_[_I I_I. ("09)b-a a+ jw b+ jw

A transformada inversa para cada uma das duas par.celas na Equação 4.69 pode: ser reconhedda por i.nspeção.Usando a propriedade de linearidade da Seçào 4.3.1. ~mos

y(t) = _1_le-1Uu(t)- e-bl U(l)].b-a

Recoo.heando que

I . d [ 1 I(a+jw)l =) dw a+jw'

YUwl~ 1(a + jw)'1.

e, co~queDtemeDte.

186 Sinais esistemas

m

Exemplo 420Como outro exemplo da utilidade da propriedade de

convolução. vamos considttar o problema da detmninaçàoda resposta de um filtro passa-baixas ideal a um sinal deentrada x(l) que tem a forma de uma função sine. Ou seja,

senw·lx(t)=--' ..,

Como sabemos. a resposta ao impulso do filtro passa-baixasideal tem wna forma similar, isto ~.

'( )_ senw<t,1---.~t

A saída do filtro y(t), ponanto, será a convolução das duasfunçôe; sine. que. como mostramos em squida. tamb(m éuma função sinc_ Uma forma pamrularmente convenientede obter~ resultado é. primeiro. observar que

YUw) ~ X(jw)HUwl,

Isso pode ser demoostrado explorando-se a dualidade. con·forme discutido na Seção 4.3.6, juntamente com a proprie­dade de convolução. ou diretamente usando-se as relaçõesda transformada de Fourier de uma maneira análoga aoprocedimento utilizado Da dedução da propriedade de con­volução.

A multiplicação de um sinal por outro pode ser com­preendida como o uso de um sinal para ponderar ou nuxfu­lar a amplitude do outro e, consequentemente. a multi·plicação de dois sinais é usualmente chamada modulaçãoem amplitudt. Por esse motivo, a Equação 4_70 às vezes édenominada propritdJztiL tiL modMlação. Como veremos noscapítulos 7 e 8, essa propriedade tem diversas aplicações

\

:.!'"-"'-

muito importantes. Para ilustrar a Equação 4.70 ~ sugeriruma das aplicações qu~ discutiremos nos capítulos su~­quentes. vamos considerar vários exemplos.

••exemplo 411

S~ja s(I) um sinal cujo ~spMrO SUmI é repr~sentado

na Figura 4.23{a). Além disso. consid~re osinal

p(t)=coswotXl.····XIl •

Então.

PUw) = :K6(w-wo)+ d(w +wol.

conIorm~ esboçado na Figura 4.23(b). ~ o esp«UO R{.iú:l) d~r(r) =S(f)p(t) é obtido por uma aplicação da Equação 4.70.

resullando ml

R(jw)--' f-S(i6)P(i(w-6))d6211" -00

_!s(i(W-w,»)+!s(i(w+w,»). (4.71)2 2

qu~ é~do na Figura 4.23(C). Aqui. consid~ramos que000 > (1)" de modo que as duas panes diferentes de zero d~

Rum) não se sobrepõem. Claram~Dle, o espectro de r(t) ,,?n­sistc da soma de duas versões deslocadas e escaladas de S(jul).

A panir da Equação 4.71 e da Figura 4.23. vemosque toda a informação contida no sinal s(Q é preservadaquando multiplicamos esse sinal por um sinal senoi~al.

embora a informação tenha sido deslocada para írequen­das mais altas. Esse fato forma a base dos sistemas de mo­dulação senoidal de amplitude ~m comunicações. No pró­ximo ~xemplo. veremos como podemos recuperar o sinaloriginal s(t) a partir do sinal modulado em amplitude r(/).

Atransformada de Fourier de tempo contínuo 187

Rg..,) - ...!... ISV-ol· PQ.o))

A_... ::t_J\...t:;;r G1.(-"'tI- ,..,1 (-"'o + w,) (Ctlo - "",) (-o +.,)

(01

Figura 4.23 Uso da propriedade de multiplicação 00 Exemplo411: lal Atransformada de Fourier de 001 sinal 51ft (bl a msfonna.da de foo"ier de p (rI .. toS '""of; tel a transformada de Fourier de r(rI

= ,Itlplll.

••Exemplo 4.22

Consideremos agora r(Q como obtido no EXCIlplo 4.21r:qu~

9(1) = ,(I)pll).

~ndo, novamente. p(tl =(OS 0001. Então, RUm). P(jm) e G(jOJ)têm a forma mosuada na Figura 4.24 (veja p. 188).

Apartir da Figura 4.24(c) e da lin~artdade da tranSfor­mada de Fourier. vemos que s(tl é a soma de (1/2)s(t) e umsinal com um espectro que é diferente de zero apenas em fre­quências mais aJlaS (centradas em :t20J0). Suponha. então.qur: apliquemos osinalS(t) como eorrada para um. filtro pas­sa-baixas seletivo em frequênda com resposta dr: írequên­da H/jCJl), que é constante em frequências baixas (digamos.para koI < oo.l ~ zero ml frequêndas altas (para kIi > 00.).Então, a saída desse sistana tr:rá como espr:mo HU1»)G(jm).que, devido à escolha em partkular dt: HUm), SC'rá uma ré­plica pondetada de S(jro). Ponamo. a própria saída será umaversão ponderada de s(t). No Capítulo 8. ~xpandimos signifi­cativamente essa id~ia quando desenvolv('mos com detalhesos fundamentos da modulação em amplitud~.

••exemplo 413

Outro ex~mplo da utilidad~ da proprieda~ d~ multi­plicação da transformada de Fourier é ilustrado na det~rmi­

nação da transformada de Fouri~r do sinal

•Achave aqui é t('conhecer x(t) como o produto de duas fun­~sinc:

X(') ~ w[ se~(I) J[sen;,' 2)J

11" pvw)

_1_1_1--:~...

X(I)senl') =(112)

w.'

188 Sinais e sistemas

"I.,,RUo!

A tM

-..(~

• P(J·I

t I-..(1))

G(j..)

AI' /k,../j"'-."'.. o, o,

101

A.. •

•

t.. o

AI,

,../j"'-.",., o

Figura 4.24 Espectros dos sinais considerados no Exemplo 4.22: la) R~}; (b) Plj.Jt (el GLWI.

Aplicando a propriedade de multiplicação da transformadade Fourie:r. obtemos

X(jw) ~ .!. :F /",n(t») *:F /sen(1/2»).2 1ft 1ft

Observando que a transformada de Fourier de cada funçãosine é um pulso Ietangular, podemos dttuar a convoluçãodcsstS pulsos para obter a função X(jal) exibida na Figura 4.25.

),:01

---~-~~---.222 Z

NgU" 4.25 A_.-moda de Fourierde 'Itl no Exemp. 4.13.

•4.5.1 Filtragem seletiv8 em frequência com

frequência central variável

Conforme sugerido nos exemplos 4.21 e 4.22 t

apresmtado com mais detalhes no Capítulo 8, uma dasimponantes aplicações da propriedade de multiplicaçãoé a modulação em amplitude nos sistemas de comunica·ção. OutIa imponante aplicação é na implementaçio de6lnos passa-faixa seletivos em frequência com frequên­cias <%Urrais sintonizáveis. que podem ser ajustadas por

um conuole. Em um fihro passa-faixa seletivo em frequên·tia. construído mm elemmtos como tts:istores. amplifi­cadores opc:radonais e capadtortS, a frequênda cc.ntraldepend~ dos valores dos componentes. todos d~veodo servariados simultan~ament~ da forma corr~ta se a fttquêndacenttal tiver d~ ser ajustada diretamente. Isso geralmerneé difícil e incômodo em comparação com a conmução deum filtro cujas características são fixas. Uma alternativa àvariação direta das caraet~rísticas do filtro é usar um filtrosel~tivo em frequênda fixo e deslocar o ~spectro do sinalde modo apropriado. usando os prinápios da modulaçãoem amplitude senoidal.

Por exemplo, observe o sistema mosrrado na Figura4.26. Nela. um sinal de m!TIIda xtt) é multiplicado pelosinal exponencial compltxo~. Osinal usulta.nre é entãoaplicado em um filtro passa-baixas com fr~uênda de cor­te 00g. e a saída é. multiplicada por t~. Os espearos dossinais x(t). y(t). m(t) e flt) são moscrados na Figura 4.27.Especificamente, a partir da propriedade de multiplicaçãoou pela propriedade de deslocamenw em frequênda. se·gue-se que a transformada de Fourier de y{t) = ti"t1x(t) é

Y(jwl~ J:Ó(9-W,)X(w-O) dO.

de modo que YUo>l é. igual a X(iw) deslocado para a direitalXlr w( e as frequê:ndas em X(jo» próximas de (J) = - ID(foram deslocadas para a banda de passagem do filtro pas.

,i.!II!I;I

Atransformada de Fourier de tempo contfnuo 1891

II

-baixas ideal

HjJwl

y(~

~w(Q

x x

-., ., •

'(Q

Figura 4.26 Implementação de um filtro passa-faixa usaodo modulação em amplitude com uma portadora eXlXlneocial complexa.

sa-baixas. De forma semelhante. a transformada de Fou·rier deftt) = t-i""lm(l) é

F(jw) = W (j(w +wc»,

portanto. a transformada de Fourier de f(t) ~ W(jm) des·locado à esquerda por 00... Da Figura 4.27, observamosque o sistema completo da Figura 4.26 é equivalente aum filtro passa-faixa ideal com frequência central -mee largura de banda 2«10, conforme ilustrado na Figura4.28. Amedida que a frequênda Wc do oscilador expo­nencial complexo varia. a frequência central do filtropassa·faixa também varia.

XUw)

-~--

No sistema da Figura 4.26 com x(t) real. os sinais y(t),00(1) e Rt) são todos complexos. Se mantivemos apenas aparte real de j{t), o espectro resultante é aquele mostradona Figura 4.29, e o filtro passa-faixa equivalente: deixapassar faixas de frequências cc:ntradas c:m tomo de blc e-wc' conforme indicado na Figura 4.30. Sob certas condi­ções, também é possível usar a modulação senoidaL emvez de c:xponendal complexa. para implementar o siste­ma da última figura. Isso é explorado com maior detalheno Problc:ma 4.46.

DI-~~2::~ ---o

Rgura 4.28 Filtro passa-faixa equivalente ao da Figura 4.26.

Y(Jwl,Resp061a em frequência 1- -

do filtro passa- ~

-baixas Ideal :

., -, w Figura 4.29 Espectro de (Re{fld) associado li Figura 4.26.

Figura 421 Espectros dos sinais do sistema da Rgura 4.26.

HjJwl

Figura 4.30 Filtro passa·faixa equivalente para cR.e{fldl da fi­gura 4.29.

4.6 Tabelas de propriedades de Fourier-- e de pares básicos da tranSformada

de FourierNas seções anteriores e nos problemas no final do ca·

pímlo. consideramos algumas das propriedades importantes

190 Sinais e sistemas

da transformada de Fourier. Elas são resumidas na Tabela4. I. na qual também indicamos a seção deste capítulo emque cada propriedade foi discutida.

Tabela 4.1 Propriedades da transformada de fauner

Na Tabela 4.2, apresentamos uma lista dos prin­cipais pares transformados de Fourier. Muitos delesserão encontrados em várias ocasiões à medida que

'1'1

yl'l

XI,(oI

Yl,(ol

4.3.1 Unearidade ""1,(01 t bY1,(o1

4.3.3 Simetria para sinais x{l) real eparleais epares

4.3.3 Simetria para sinais x(tl real e lmparreais e ímpares

4.3.3 Deco~ição par- \ltI~S.{'ItI} IxItlreall-impar pala sinais reais ~ltI~ed{'{'I} l'I'I.all

Relação de Parseval para sinais aperiódicos I,

e-i<do X{jwl

XU{m-'1I}

X1-,io1Xf-,iol

-'-x[iw)

1·1 •

XI,(oIYI»>I

-'-J-X(6) YU(w-6))d62. _

»>X1,(o1

()l€{XI,(oJ}

j~",{XI,(oII

XLWI ptllarnente imaginário e ímpar

j.!!....X(jwldw

X(jwl=X'(-jwl

()l€{Xliwl} ~ ()l€{X{-;u1}~'" {XVwl}~ - ~"'{XI-iwl}IXUw~=IXI-iw~

<Xljw)=-<X{-jw}

Xlj:d) real e par

~X(jwl+'II"XlDló(wlJW

ddt xttl

eiwlx(t)

x(tl real

tx{t)

x[t]. y(tl

xlt)y(tl

'11- t,I

Convolução

Multiplicação

Deslocamento emfrequência

Conjugação

Reflexão no tempo

Mudança de escala notempo ena frequência

Deslocamento no lempo

4.3.4 DiIl!l'M:iação no tempo

0.4 lmegração

4.3.6 Difereociação emfrBluência

4.3.3 Simetria conjugadapara sinais reais

4.3.7

01

4.3.6

4.3.3

4.3.5

4.3.5

4.4

4.5

+00 1 +00 2

J ~{,(dt = -J IXUwl1 dw---(Ill 2'11" -<Xl

i

I:1I

"~~

aplicarmos as ferramentas da aná~ de Fourier emnossa análise de sinais c sistemas. Todos os pares trans­formados, exeeto o último da tabela, foram considera­dos nos exemplos das seções anteriores. O último par

Tabela 42 Pares transformados Msicos da Foorier

Atransformada de Fwier de templ cootrrw 191

é considerado no Problema 4.40. Além disso, observeque diversos sinais na Tabela 4.2 são pttiódiros e para estestambém listamos OS coefidentes das séries de Fourier cor­respondentes.

2.61w-0;,)

,"61w- o;,) +61w - w,II

Onda quadrada periódica

.<11): 1\ ~< T,O. T,<~~t

ex~+T)=xlt)

4, .. 1

4t" O. caso ClWltrário

1111=4_1='2

I1t =0. casocontrário

111, = 11_1= 2j

I1t =0. C3S0ln'ltrário

40-1. 4t -O. k ... O

[esta éar~eserna~a em série de Fourier pare QUa~er

escolha de T> 01

~sin:(~l = sen iwg~.. .. i ..

-L ~I-nn

,(t)= 1\ ~ < T,O. Itl> ~

616

6It-~

-"'-e-O<uItl(~I,

(Rela} > O

2. I: 6(W- 2")T ta-<><> T

2sen w~

w

X("wl=!\ IwI<WJ O. IwI>W

1-;-+1fÓ{wlJW

e-;J,

l1+jw

111. = Tpara todok

192 Sinais e sistemas

:F[t., d'Y(I)\=:F[f> d'X(I)\. (4.74).t=O dl' .1:-0.1: di"

Apartir da propriedade da linearidade, Equação 4.26, temOS

H(jw) = Y(jw) (4.73)X(jw)'

sendo X{j<o), Y/jcilj e Hum) as transformadas de Fourierda entradax(t). da saiday(t) e da resposta ao impulso h(t),respectivamente. Em seguida, considere a aplicação datransformada de Fowier a ambos os membros da Equa­çâo 4.72 para obter

4.7 Sistemas caracterizados por- equações diferenciais lineares

com coeficientes constantesComo disanimos em várias ocasi~ uma dasse par­

ticularmente imponante e útil de sistemas LIT de tempocontínuo ~ aquela para a qual a entrada e a saída satisfa­zem uma tqU3ção diferencial linear com coeficientes cons­tantes. da forma

N dli:y(l) .w da,x(1)I>,-,-= L:b,-,-. (4.n)k-O dI 1:-0 dI

H'I11

1(

'II

íII

ii

!I

II•,I,

1

I,II!!

\I,I

1

(4.78)

(4.77)

(4.76)

H(jw) = _._1_.)w+a

Exemplo 4.24Considere um sistema LIT estável caracterizado pda

equação diferenda1

dy(l) +.,(1) = xi').dt

•

Comparando Isso com o resultado do Exemplo 4.1, vemosque a Equação 4.78 éa uansformada de Fourier de l!'-.l"u(I). Aresposta ao impulso do sistema é, então, detenninada como

h{1)=,-Mu{t).

Exemplo 4.25Considere um sistm'la lTI estáveL caracterizado pela

equação diferencial

d'y(I) +4 dy(r) + 3y(t) = dx(1) + lx(I).dl2 dI dI

•

N NL:.,(jw)'Y(jw)= L:b,(jw)' X(jw),- -Assim. a partir da Equação 4.73.

H(jw) = Y(jw) = ~:"b,(jwJ'X(jw) ~:"',(jwJ' .

Observe que H(jcl) ê uma função radonal; ou seja,

ela ~ uma razão de polinómios em (joJ). Os coe:firiemesdo polinómio do nllIDaador são os mesmos coe:fidernesque apartttm no membro direito da Equaçâo 4.72, e osroefirientes do polinómio do dalOminador são os mes­mos coeficientes que apa.rtct.rn no membro esquerdoda Equação 4.72. Logo, a resposta em frequência dada. naEquaçâo 4.76 para o sistema LIT caracterizado pela Equa·ção 4.72 pode ser escrita diretamente pela inspeção.

A Equação diferencial 4.72 ~ usualmente chamadade equação diferendal de ordem. N, pois a equação en­volve até a N-ésima derivada da saíday(t). A1im disso. odenominadordc: H{jm) na Equação4.76 éum polinómioden·ésima ordem de Uw).

com o. > O. A partir da Equação 4.76, a resposta em fre·quencia ~

•

ou, de fonna equivalente.

YUW)I~',(jw)' =X(jW)[~b'UW)'I·

e da propriedade de diferendação, Equação 4.31.

(4.75)N (d'Y(I)\ M (d'x(I)\L:.,:F -;::.-- =L:b,:F -,-.t-o ar· 1:-0 dI

Nesta seçáo, vamos considerar a questão de determinar aresposta em frequência desses sistemas ur. No decorrerda discussão, sempre assumiremos que a resposta em fre·quência do sistema existe, ou seja, que a Equaçâo 3.121converge.

Existem duas formas relacionadas entre si para sedeterminar a resposta em frequência H(jtJl) para um sisotema ur descrito pela Equação diferencial 4.72. A pri­meira delas. que se baseia no [atO de que sinais expo­nenciais complexos são amofunçõts dos sistemas r.n: foiusado na Seçáo 3.10, em nossa análise de filttos não ide·ais. Esped.ficamente. se x(t) =,!M. então a saída deve sery(1) = H(jco)ti"'t. Substituindo essas expressões na Equaçãodiferencial 4.72 e usando um pouco de álgebra. podemosobter H{jco). Nesta seção. usamos uma t~crtica alternativapara chegar à mesma resposta. urilizando a propriedadede diferenciação, Equação 4.31. das rransformadas deFourier.

Considere um sistema LIT caracterizado pela Equa­ção 4.72. A partir da propriedade de convolução.

YUQl) =HUQl)XUQlI.

ou, equivalentemente,

1

AtransfOlTTlada de Fourier de tempo contfnuo 193

(4.79)

(4.80)

YUw)=~+ A l2 +~. (4.82)Jw+l (jw+l)2 Jw+3

em que Ali' A12 e A21 são conStantes a serem determinadas.No Exemplo A.2 do apêndice, /I técnica de expansão em fra·çôes pardais é usada para determinar essas constantes. Osvalores obtidos são

1A I2 =-,

2

IAJI =-,

4

Então, usando a Equação 4.80, temos

Y(jW)=HUW)X(jW)=[. jw+2 1_._1_1(j.. + lllJ"+3) JW +l

~ j .. + 2 (4.81)(jw +1)2Uw +3)'

Como discutido noap€ndict. nesse caso, a apansão em fra·ções parciais tem a forma

RI ')- jw+2}W - •

(jw+ l)(j..+ 3)

Então, usando o método de expansão em frações pardais,encontramos

Apartir da Equação 4.76. a resposta em frequência ~

HU")- U"I+2U..)' +'U..)+3

Para determinar a resposta ao impulso correspondente. De­ttSS.itamos da transformada invusa de Foucier de H(jID).Ela pode sc=r enconrrada usando a thnica de expansão emtraçõe5 parciais, empregada no Exemplo 4.19 e discutidacom detalhes no apêndict. (Em particular. veja o Exem­plo A.L em que os detalhes dos cálrulos para a expansãode fração pardal da Equação 4.79 são dmlhados.) Comoum primeiro passo. fatoramos o denominador do membrodireito da Equação 4.79 como um produto de termos deordem menor:

iJ

, ,HUw) = ---L- +-,-o

jw+l jw+3

Atransformada inversa de cada termo pode sC'c obtida a par­tir do Exemplo 4.14, do qual resulta

h(t) = .!.e-ru(t)+!t-lt U(l).2 2

•o procedimento usado no Exemplo 4.15 para obter

a transformada inversa de Fourier geralmente é útil nainversão das transformadas que são razões de polinômiosem jw. Em particular. podemos usar a Equação 4.76 paradeterminar a resposla em frequência de qualquer sistemaLIT descrito por uma equação diferencial linear com coe·ficientes constantes e depois podemos calcular a respostaao impulso realizando a expansão em fraçães parciais quecoloca a resposta em frequênda em uma forma em quea transformada inversa de cada tenno pode ser obtidapor inspeção. Alim disso, Se a transformada de FourierXU:u) da entrada para tal sistema taIIlbém for uma ra·Ião de polinômios em jw. então o mesmo acontece comY(jw) = H(ju)X(;u). Nesse caso, podenlOS usar a m~alémica para solucionar a equação diferenda1- ou seja,encontrar a respostay(t) à entradax(t). Isso é ilustrado nopróximo exemplo.

•Exemplo 4.26

Considere o sistema do Exemplo 4.25 e suponha quea entrada seja

X(I) =ruIr).

de modo que , , ,Y(jw)=~+ 1 _~ (4.83)

)w+l Uw+I)2 )w+3

Novam~te, a rransfonnada inversa de Fouritr para cadalermo na Equação 4.83 pode ser obtida por inspeção. Oprimeiro e terceiro termos são do mesmo tipo que encon·tramos nos dois exemplos anteriores, enquanto a transfor·mada inversa do segundo termo pode ser obtida a partir daTabela 4.2 ou. como foi feito no EIernplo 4.19, aplicando·sea dualidade-da propriedade de diferenciação. dada na Equa­ção 4.40, para lI(ím + 1). A transformada inversa da EqUaçlo4.83 é. então,

y(t) = [.!.e-' + .!.te-l - .!.e- lt iU(t)­.2.•

A partir dos exemplos anteriores, vemos comoas témicas de análise de Fourier nos permitem redwiros problemas relacionados aos sistemas ur caIaeteriza·dos por equações diferenciais a problemas purameote al­gébricos. Esse falo importante é. ilustrado ainda mais emdiversos problemas ao final do capítulo. Além disso (verCapítulo 61, a estrutura algébrica das transformadas ra·cionais encontradas ao lidarmos com sistemas Lrr descri­[OS pelas equações diferenciais facilita substanàalm.entea análise de suas propriedades no domínio da frequênciae o desenvolvimento de compreensão das caraaeristicasno domínio do tempo e no domínio da frequência dessaimponante classe de sistemas.

4.8 ResumoNeste capítulo. desenvolvemos a representação por

transformada de Fourier para sinais de tempo contínuo e

194 Sinais e sistemas

também examinamos muitas das propriedades que tor­nam essa transformada tão útil Em particular. conside­rando um sinal aperiódico como o limite de um sinal pe­riódico à medida que o período se torna arbitrariamentegrande. deduzimos a representação da transfonnada deFourier para sinais aperiódicos a panir da representaçãopor série de Fourier para sinais periódicos desenvolvidano Capítulo 3. Além disso, os próprios sinais periódicospodem ser representados usando as transformadas deFourier. que consistem em trens de impulsos localizadosnas frequêndas harmônicas do sinal periódico e com áttaspropordonais aos coefiden~ correspondane5 da série deFouriu.

A transformada de Fourier possui uma grande va­riedade de propriedades imponantes que descrevemcomo diferentes características dos sinais ~ refletem emsuas lransformadas. e neste capítulo deduzimos e ex.ami­namos muitas dessas propriedades. Entre elas estão duasque possuem significado particular para nosso estudo desinais e sistemas. A primeira é a propriedade de convo­lução, que é uma consequência direta da propriedade deautofunção dos sinais exponenciais complexos e que levaà descrição de um sistema LIT em termos de sua respos­ta em frequência. Essa descrição desempenha um papelfundamental nas témicas no domínio da frtquwda paraa análise de sistemas UT, que cominuartmos a explorarnos capítulos squintes. A segunda propriedade da trans­formada de Fourier que possui implicações extremamen­te importantes é a propriedade de multiplicação. quefornece a base para a análise no domútio da frequênciados sistemas de amostragem e modulação. Examinamosmelhor esses sistemas nos capítulos 7 e 8.

Também vimos que as ferramentas da análise deFourier são particularmente adequadas para o exam.t:de sistemas UI caracterizados por equações diferenciaislineares com coefidentes constantes. Espedficamente,encontramos que a resposta em frequênda para esse tipode sistema pode str detem;tinada por inspeção e que atémica de expansão em fraçóes parciais pode ser usadapara farilitar o cá1rolo da resposta ao impulso do sistema.Nos capítulos subsequentes. constataremos que a esttu­tura algébrica convenit:nte das respostaS em frequênciadesses sistemas nos pennire obter uma compreensão con­siderável de suas características tanto nos domínios dotempo quanto da frequênda.

Capítulo 4 - ProblemasA primeira ~o de problemas pertence à categoria

básia, e as respostaS são fornecidas no 6nal do livro. As três~ posteriores- COntêm problmw que peneocem. m­peaívamente. às categorias básica. avançada e de: caensão.

Problemas básicos com respostas4.1 Use a Equação de análise 4.9 da transformada de Fau­

ria para calcular as transformadas de Fourier de:(a) c2(l-l)u(I_I)

(b)C211-11

Esboce e esped.fique a magnitude de cada transforma­da de Fourier.

4.2 Use aEquação de análise 4.9 da transformada de Fou­rier para calcular as transformada5 de Fourier de:

(a) 6(1+1)+6(1-11

(b) ~(w<-2-r)+u(1-2)j

Esboct e~que a magnitude de cada transforma­da de Fourier.

4.J Detmni.ne a transformada de Fourier de cada um dosseguintes sinais periódicos:

(a) sen(21rf +f)(b) 1+cos(67rt +t)

4.4 Use a Equação de síntese 4.8 da transformada de Fourierpara determinar as transformadas inversas de Fourier de:

(a) XJÜ0) :::r 2'1" 6(00) +d(m - 4'1") +'I" 6(1) + 411")

\

2. O$w$2

(b) X2UW) = -2, -2$w$O

O. f.i>2

4.5 Use a Equação de síntese 4.8 da tIanSformada de Fouritrpara determinar a transformada inversa de Fourier deXUw) ~lxUwM';<X""I. sendo

IX(jwH - 2{u(w+31-u(w-3)j.. 3

<X()w) =--w+ 'Il".2

Use 5ua resposta para determinar os valores de r paraos quais x(tl =O.

4.6 Dado que x(t) tem a trcmsfonnadade Fourier XÜw). ex­presse as ttansformadas de Fourier dos sinais listados al<gIlirem ramos de X(j<il). S< pmisaI; use as propri<da.des da transformada de Fourier listadas na Tabela 4.l.

(a) x,(~ =.ql-~ ...j-l-~

(b) x,(~ =x(31-6)

(e) x)(r)=-$-X(I-t)

4.7 Para cada uma das seguintes transformadas de Fou­rier, use propriedades da transformadade Fourier(Ta­bela 4.1) paradeterminarseo sinal no domínio do tem­po correspondente é (i) real imaginário ou nenhum dosdois e (ü) par, ímpar ou nenhum dos dois. Faça isso semobter a inversa das transformadas indicadas.

(a) XI (jUl) = u(o» - u(m - 2)

(b) X1UW) = COS(2w) sr.n("'f)

1

,

III

II1

1Atransformada de Fourier de tempo contínuo 195

e

4.11 Dadas as relações

(a) Determine 9(t) de modo que

<lO S1en(k I) 1rx(r)- L: • ó(t-k-).

1...__ (k~) 4

h(t) =ll(t) - ll(f - 2).

(a) x(t) é periódico?

(b) x(Q • hln é periódJco?

(c) Aconvolução de dois sinais apmódicos pode serpt­riódica?

4.14 Considere um sinal x(r) com transformada de FourierX(jw). Suponha que temos os squintes fatos:

1. x(r) ~ real e não negativo.

2. ~l((l+ jw)X(jw)l = Ae-2tll(t), sendo A inde­pendente de f.

3. J:IX(j..,'fdw ~ 2•.

Detennine uma expressão fechada para X(I).

4.15 Seja x(t) um sinal com transformada de Fourier X(jro).Suponha que temos os seguintes fatos:

L x(r) ~ real.

2. x{r) =Opara t:S: O.

3. 2~J:<R.e{XUw)Jtjwfdw = Itlt~

Dr:tennine uma expressão f«bada para x(t).

4.16 Considen= o sinal

(ii) Use as propriedades apropriadas da transfonnadade Fourier para encontrar a transformada de Fou­rier de 01.

(b) Use o resultado do item (a), juntamente com apropriedade da dualidade, para detenninar a trans­formada de Fourier de

4r

e seja

,-ItI.!..._2_.1+w2

l)iaz: Ver Exemplo 4.13.

4.13 Seja xl!) um sinal cuja transformada de Pourier é

X(jro) := 6(0) + 6(0) - T) + 6{Ql- 5),

4.U Considere o par transformado de Fouria

">1-I:5t:51.

t<-~,_l<t<l}- - 2'

r>',\

0,

Xll)= t+~.

1,

lo.x(r)~

(t+l)/2.

[ ]'seorx(t)=t -;r

slQ =xl3Q • h(3Q.

e dado que x(t) ttm transformada de Fourier X{,iul) eh(1) tem transformada de Fourier H{,iul), use proprieda­des da transformada de Fourier para mostrar que 9(!)(em a forma

(a) Use as propriedades de diferenciação e integraçãoda Tabela 4.1 e o par transformado de Fourier dopulso retangular da Tabela 4.2 para encontrar umaexpressão fechada para X(jal).

(b) Qual é attansfonnada de Pourier de 81r) ~ x(r)- t?4.9 Considere o sinal

(e) X}(jw) = A(w~,",I. sendo

A(w)~(sen2w)lwe B(W)~2w+~

(d) XUw)~ L:::'_lti"õlw-':'>

4.8 Consid~rc! o sinal

(b) Use a relação de Parscval e o resultado do item an­terior para determinar o valor num~rico de

Â= f:t1(se; tf dto

(a) Com a ajuda das tabelas 4.1 e 4.2, determine a ex­pressão fechada para X(jro).

(b) Tome a pane Tt:a1 da sua rrsposta do item (a) e ve·

rifiqueque da t a transformada de Fourierda pal­

te par de xll).le) Qual r a rransformada de Fourier da pane únpar

do(r)?

4.10 (a) Use as tabelas 4.1 e 4.2 para ajudá-lo a determinara transformada de Fourier do seguinte sinal:

sir) =AyIBt).

Detennine os valores de A e B.(sen ,]x{t) = --;;- S(r).

196 Sinais e sistemas

(b) Use apropriedad< "" multiplicaçio da _onnadade Fourirr para argumentar qur X(iuJ) é periódico.~qur X(jul} ~ um pt:IÍodo.

4.11 Detrnni.nr sr cada uma das seguintf5 afuma~ ~ vrr·dadeira ou falsa. lustifiqu~ suas respostas.(a) Um sinal ímpar ~ imaginário sempre tem uma uans·

formada dt Fourl~rímpar t imaginária..

(b) Aconvolução dr uma transformada d~ Fouritr ím­par com uma uansformada de Fourier par é sem~

pre ÍIIlpar.4.18 Encontre ar~ ao impulso de.um sistema mm res·

posta tm frequência

HUw) (sec1(~))COSw_w

2

-6 -5 -'" -3 -2 -1 O 1 2 3 '" 5 6 7 8 t

1·1.,

II

I!I

II

<xv.,)

figurlII PC.21

02 Detennint o sinal dr tempo conlÍDuo correspondrntt acada uma das st:guintes uansfonnadas.

(8) XUw) :zxn[3(.... -à)J(",,-2'11")

(b) X(jo») = cos(400 +11'/3)

(c) X(joJ) com magnitude e fase dadas na FiguraP422(a).

(d) X(j<o) = 21'(10- 1)- '(10 + I)) +3['{IO- 2r) + ó{1O +2r»)

(e) X(i<D) como na Figura P4.22(bl.

III

I.\.!l

•

-30>

0:St:5:lC3S0CODr:r:ádo•

Ibl

Filura P4.22

xgCII)

-t7_,I'~

IX""}

-,

4.23 Considttt o sinal

I'~"O(t)= •O.

4.19 Consid~re um. sistema lIT causal com resposta t'ID fre­quênda

Problemas básicos4.21 Calrole a transformada dr F<lurirr dr cada um dos se­

guintes sinais:

(8) (cm ces ooJ]u(t). Q > O

(b) c llll st:o 2l

[1+COS,..t. Itl<l

(e) x{r) = ltIO. >1

(d) ~:'o·'{r - kT). k>I <1

(e) [trlr st:n 4t}u(t)

(f) [$(:tfll[smr1~!(ll~I)1

(s) x(t) como mostrado na Figura P4.21(a).

(h) x(t) como mostrado na Figura P4.21(b).

(i) X(t l=!I-t1

, O<t<1O. caso coottário

til ~::..,..-'"

Para uma entrada Wl particular x(t). observa-se que~ssr sistona produz a saída

y{l) = rltu(t) - r'lu(t).

Dettrm.int x(!).

4.20 Encontre a resposta ao impulso do sfst~ma LIT cau­sal reprtstntado pelo drcuito RLC considtrado noProbltma 3.20. Faça isso tomando a transformada in·Vtrsa dr Fourirr da resposta em frrquênda do drroilo.Voei pode usar as tabelas 4.1 ~ 4.2 para ajudá-lo a ob­ter a nansfonnada innrsa d~ Fourkr.

HUw)=-._1_.]w+3

AtransfOfmada de Fourier de tempo continuo 197

(li

Figura P414

(d)

Jf(t) -8-~

(I) Esboce a transformada inversa de Fourier d~

<R~lxliooll.

Nota: Voei: deve realizar todos esses cálculos sem obter~xplidtamente X{jtil).

cM----, O 2 ,!---

4.2' Seja X(jco) a transformada de Fourier do sinal x(t) re·presentado na Figura P4.25.

la) X{joo) pode ser exp~so como A(joo)~l. ond~

A(jm) e 8(jm) sào reais. Encontre 8(10).

(b) EnconU~ X(jO).

(c) Encontre f :"X(jw)dw.

(d) Calcule f: X(jw) 1-:'" ti1"'dw.

J~ ,

(e) Calcule JX(jwj dw.

Figura P4.23

4.24 (a) Determine quais (se houver algum) dos sinais ~ais

~preswtados na Figura P4.24 possuem rransfor­macias d~ Fouri~r que satisfazem cada uma das se·guintes condições:(1) <R~IX(jw1l ~ O(2) Jm(Xljwll ~ O

(l) Existe um CE real tal que~ X(jm) seja real.

(4) f :"X(jw)dw = O

(S) f :"wX(jw)dw = O

(6) X(j<tl) é periódico.

(b) Construa um sinal que tenha as propriedades (I l.(4) ~ (5) ~ 1UIo tenha as outras.

, I~

,,~ A. /~4-'-~~

(o)

_'UL'__lbI',(li

Detennine a transformada de Fourier de cada um dos (continuação)sinais mostrados na Figura P4.23. Você deve ser capaz Jf t)

de faz~r isso calculando explidtament~ llpt1las a par·tir da transformada d~ Xa(E) ~ então usando proprie­dades da. ttansformada de Fourier.

(b)

(d)

'i~~t+1)

,,(li

'~}±{-1 O 1

,'"Figlltl PU4

•t

(continua)

Figura P4.2S

4.16 (a) Calrule a convolução de cada um dos seguintes pa.res de sinais x(t) ~ h(t) calculando X(j:o) ~ H(jol).usando a propriroade de convoluçi.o e fazendo atrilDSformação invtrsa.

-1

198 Sinais e sistemas

(I) x(t) =/l-ltU(t), h{t) =e-4t U(l)

(ii) X(l) = tt-21 u(t), h(t) = te-4tu(t)

(üi)x(t) = t-t u{t), h(t) = tI u(-t)

(b) Suponha que x(r) = f(ir-llu(t - 2) e h(t) seja comoesboçado na Figura P4.26. Verifique a propriedadede convolução para esse par de sinais mostrandoque a transformada de Fourier de y(t) = x(t) ... h(t)

é igual a H(jfJ»)X(fto).

~~~L3 I

Figura P4.26

4.27 Considere os sinais

x(t) = u(t- I) - 2u(t- 2) + u(t- 3)

•x(11 ~ L: x(1 - kTI.

~-.

sendo T> O. Sejam Qk os coefidentes da série de Fourierde x(t). e X(iro) a transformada de Fourier de x(t).

(a) Determine uma expressão fechada para X(jol).

(b) Detennine uma expressão para os coefidentes deFeurier Qk e verifique se Qk = t X(j ~;k) •

4.28 (a) Seja x(t) com a ttansfonnada de Fourier XUw) e sejap(t) periódico com frequênda fundamental Ola erepresentação em série de Fourier

Determíne uma expressão para a transformada de Fou­rier de

y(l) =x(llp(tl (pU8-l)

(b) Suponha que Xlj(o) seja conforme representado naFigura P4.28(a). Esboce o espectro de y(t) da Equa­ção P4.28-1 para cada uma das seguintes escolhasde pI'):

(i) p(t) = cos(t/2)

(ü) p(t) =cos t

(iii) p(t) = cos 2t

(Iv) p(l) = (sen t)(sen 2t)

(v) p(t) = ces 2t - cos t

(vil p(ll~ L:::_'(I-""I

(vill p(I)~ L:::_'(1-2""1

(vilil p(11~ L: :::.'(1- '''''1

(ix) p(t) = E'::""Ó(t - 2?f71l-12: '::.....,l5(t -1I7J)

(x) p(t) =a onda quadrada periódica mostradana Figura P4.28(b).

4.29 Uma função de tempo contínuo x(t) reallem uansfor­mada de Fourier XUm) cuja magnitude e fase são ilus­tradas na Figura P4.29(a).

As funções x~(t), x,,(t). xt{t) e x~(t) têm trans­fonnadas de Fourier cujas magnitudes são idênticasa XUm), mas cujas funções de fase diferem. como semostra nas figuras P4.29(b) a (e). As funções de fase<X~(j<l» e <Xb(jm) são formadas somando uma fast li­near a dUm). A função dtUm) é formada refledndo­se dum) em termo de OJ = 0, e <Xjf(jro) é obtido poruma combinação de uma reflexão e uma adição de umafase linear. Usando as propriedades das transformadasde Fourier, determine as expressões para xa(t), xb(t),xc(t) e x~(t) em termos de x(t).

X(i/ll)

~ii;1í,i,-,

II

I

I~

•

Ibl

Figura PUS

2. • 2. .. 5•

II,.j

..;L

1 Atransformada de Fourier de tempo contínuo 199

--------------"""- - d-----

•

• -- -yf2--_----- le)<xU<-»

-------------- ! Figura PU!!

i --------------

4.31 (a) Demonstrt que os três sistemas LIT com. respostasao impulso

(a) Determine xl!).

(b) Esp(dfique a transformada de Fowia XI (iw) deumsinalx.(t) tal que

g(t) = X.(I) C05 (~tl.

e

h,(t)~ «(IJ•

1<,(1) ~ -26(1)+ ,,-"U(I)

4.30 Suponha que 9(t) = x(t) cos t e que a transformada deFourier de 9(1) é

. II. .,<2G{Jw) = O. caso contrário'

•

•....._- ............." "

------ ....." ,

-.12

~}

têm todos a mesma resposta a x(t) = (OS t.

(b) Delennine a resposla ao impulso de outro sistema1lT com a mesma resposta a cos t.

Este problema ilustra o fato de que a resposta a ('OS t

não pode ser usada para especi.ficar unicamente umsistema LIT.

4.31 Considere um sistema LIT S comresposta ao impulso

h(t) _ "n('(1 -lnwjt-l)

<XcU-)'IfI2 ----------

----------- -.,,/2

(di

Figura P429

•

(rontinua!

Deten:nine a saída de S para cada uma das seguintesentradas:

(a) xl{t)=ros(61+t)

(b) x,(t)- L;'..Htsen(JkrI

(e) x (t)= sen(4(1+1») r(t+l)

(d) x (t)=[se02t)'. "J

200 Sinais e sistemas

4.3J A mIrada e a salda de um sistema LI! estável e causal5ão rtladonadas {Ida equação diItttndal

(a) Encontre a resposta ao impulso desse sistema.

(b) Qual r. a resposta desse sistema se x(t) = te1tu(r)?

(e) Repila o item (a) para o sistema LIT estável e cau-sal descrito pela equação

4.34 Um:listem.a ur causal e estávd S tem resposta em fre­quênda

HUw)= jw+4 .6_w1 +5jw

Problemas avançados4.37 Considere o sinal x(r} na Figura P4.J7.

(a) Encontre a transformada de Fourier X(jrD) de x(r).

(b) Esbocr o sinal

i(l) = x(11 • t 6(1-4k~-(e) Encontre outro sinalg(t) diferente de x(r) e tal que

i(I)=j{I)' t 6(1-4k).-(d) Argumenlt que. embora G(jal) seja diferente de

X(jul). G{j~) "" xu1) para todos os k inteiros.Você cão deve obter uplidwne:nte G{jUl) pararesponder a este item.

z(Q

(a) Determine uma equação diferencial relacionandoa entrada x(t) e a saída y(t) de S.

(b) Determine a resposta ao impulso h(t) de S.

(e) Qual i. a saída de S quando a enrrada i. -, o +1

x(11 = .....(1) - te".W4.35 Neste problema. fornra:mos aemplos dos deitas de

mudanças não lineares na ~.

(a) Considere o sistema ur de tempo contínuo comresposta em frequmda

HUw) = Q- ~w.a+}w

sendo II > O. Qual é a magnitude de Hum)? Qual é<t.H(jm)? Qual éa~ ao impulso desse sistema?

(b) Determine a saída do sistema do item (a) com a= 1quando a enttada é

C05{t1 ./3)+CC6 I +CC6JiEsboct a entrada e a saída.

4.36 Considere um sistema UI cuja resposta à entrada

y(l) = lU' - 2r"J.(11.

(a) Encontre a resposta em frequênda desse sistema.

(b) Determine a resposta ao impulso do sistema.

(e) Encontre a equação diferencial rtlacionando a m·nada e a saídad~ sistema.

figura PU7

4.38 Seja x(t) qualquer sinal com transformada de FourierX(j(o). A propriedade de d~locam.ento em frequênciada uansformada de Fourier pode ser enunciada como

. :F~J x(t)-X(j(w-wo))'

(a) Prove a propriedade do deslocamento em frequ~n·

da aplicando odeslocamento em frequência à equa­ção de análise

XUw) = J:x(t)t-~dt.

(b) Prove a propriedade do deslocamento cm frequát·da utilizando a transformada de Fourier de t j.JIfI

em conjunto com a propriedade de multiplicaçãoda transformada de Fourier.

4.39 Suponha que um sinal x(t) tenha transformada deFourier X(jm). Agora. considere outro sinalg(t) rujaforma é a mesma que X(jul); ou seja.

S(I) = XUI).

(a) Demonstre que a transformada de Fourier GUwIde g(t) tem a mesma forma que 2n(-t); ou seja,mostre que

G(joll = 2n(-Q1).

J

(b) Usando o lato d~ que

~16(r + BII =.-em conjunto com o resultado do item (a), demons·ue que

~I'''l = 2.. 1m - Bl·4.40 U~ proprlroades da transformada d~ Fourier para mos­

tn~ por indução. que a transformada de Fouriu de

,.-'x(t) = --t'-u(t). a> O

(n-III

I

(a+jwt

4.41 Neste problema. dedUlimos a propriedade de multipli­Qção da transformada de Fourier de tempo continuo.Sejam r(t) e y(1) dois sinais de tempo contínuo mmuansfonnadas de Fourier X(jm) e Y{jID). respectiva­mente. Além disso, considere que 9(1) indica a tJiIns­fonnada inversa de Fourier de 1; lX(jmj • Y(jcl»)).

(a) Demonstre que

9(1)=_1J- XU8l[_1 J-YU(W-8l)t'" dW!d9.2'11'" .... 2'11'" -o>

(b) Demons~ que

I J- ..~- YU(w - 911""dw = ~ y(/).2. _

(c) Cornbin~ os resultados dos itens (a) e (b) para con­cluir que

g(/) =x(t)y(t).

4.41 Sejam

91(t)= {(cos(wotl]x(t)} * h{t) e

92(/)= ([sen(wDt)Jx(t)J * h(t)

e'roque'

x(t) = Eakt';l:lCIOI

...-~ um sinal periódico real e h(t) ~ a resposta ao impulsode um sistema LIT estável.

Atransformada de Fcurier de tempo contlnuo 201

(a) Espedfique um valor para <00 e quaisquer rC'Stri­ções necessárias sobre H(,KD) para garantir que

gl(t) :z Gl-€{as} e 91(t) = 5m{a,}.

(b) Dê um exemplo de h{t) tal qu~ H(jw) satisfaça asrestriÇÓ(S que você~cou no itC'IJl (a).

4.43 Seja

2 Slenlg{I)=x(l)cos h-o

'"Supondo que x(1) seja real e X(jm) = Opara Id Õ!: l, de­monstte que aiste um sistema ur S tal que

sx(r)~9(r~

4.44 A saída y{t) d~ um sistema Lrr causal está rtlacionada àenrrada r(t) pda equação

dy(t) + IOy(t) = J-+OO x(T)Z(t - T)dT - x(t)dr _

S<Ddo Z(~ = r.(~ + 36(~.

(a) Encontre a resposta em frequr:ocia HUCiI) =Y(j<l»/X(juI) desse sistema.

(b) ~Iermine a rtSpOSta ao impulso do sistema.

4.45 Na discussão na ~ção 4.3.7 da relação de ParstVal parasinais de tempo contínuo. vimos que

Esta equação indica que a energia total do sinal pode serobtida integrando-se lX(jro)12 sobre todas as frequências.Agora. oonsidert um sinal real x(1) processado pelo filrropassa·faixa ideal H(jOJ) mOStrado na Figwa P4.45. Expres­se a energia do sinal de saída y(t) como uma integração nafrequrnda de lX(jmW Para a suficientemente pequeno,de modo que lX(jw)1 seja aproximadamente constanteem um intervalo de frequências de Iargura!1. demonstreque a energia da saída y(t) do filtro passa-faixa ~ aproxi­madamente propordonal a .ó.lXUO>o)12.

Com base no resultado anterior. tl.IXUmolI2 é pro­pordonal à energia 00 sinal em uma largura de banda.ó. em lomo da frequr:ncia 000. Por esse motivo, 1X(j<al)I~

frequentemente ~ chamado tspt'Ctro dt dmsidadt dt'rnujia do sinal.r(t).

HU-l

-101-

-·0 ·0 •figura PU5

Problemas de extensão4.48 Considere um sistema com uma resposta ao impulso

h(t) real e causal que não tem singularidades em t =O. No Problema 4.47, vimos que a pane real ou imagi­nária de HVm) determina completamente H(jw). Nes·te probkma, deduzimos uma relação explídta entreHRum) e H/Vm). as panes real e imaginária de HUm).

(a) Para começar, observe que, como h(t) é causaL

singularidade (6(1), u\(t), u2(t) etc.] em t = O, entãoa resposta em frequência

H(jw) "" f_:h(t) e-jo.1dt

não mudará se h(t) for definido como algum va­lor arbitrário finito no ponto isolado r = O. Assim,nesse caso. demonstre que H(jOl) também é com­pletamente especificado por sua pane imaginária.

exceto talvez cm t = O. Agora, como h(t) não con­tém singularidades em r = 0, as transformadas deFourier de ambos os membros da Equação P4.48-1devem ser idênticas. Use esse fato, juntamente coma propriedade de multiplicação. para mostrar que

HUw)~"!-J-HU'I d,. (p4."-2)pr -- W-l1

Use a Equação P4.48-2 para determinar uma ex~

pressão para HR(io:l) em termos de HNm) e urnapara H/Um} em termos de HR(jw).

(b) A operação

y(t) = ~J'- x(r) dr (P4.48-3)1f _ao. l-r

é chamada transfonmzda de Hilbat. Acabamos dever que as partes real e imaginária da rranslorma·da de uma resposta ao impulso h(t) real e causalpodem ser determinadas uma a partir de outrausando a ttansfonnada de Hllben.Agora, leve em conta a Equação P4.4S-3 e consi­dere y(t) como a saída de um sistema LIT com en­trada x(t). Demonstre que a resposta em frequên·ria desse sistema i

.I

~'I..

(P4.48-1)

",>0

w<O

h{11 = hlll'lll.

H(jW)~I-j·}.

xl~

4.46 Na Seção 4.5.1, discutimos o uso da modulação emamplitude com uma ponadora exponendal comple­xa para implementar um filtro passa-faixa. O sistemaespecífico foi mostrado na Figura 4.26, e se apenas apane real de .RI) lor conservada, o filtro passa-faixaequivalente é aquele mostrado na Figura 4.30.

Na Figura P4.46 mostramos uma implementaçãode um filtro passa-faixa usando modulação senoidale filtros passa-baixas. Demonstrt que a saída y(l) dosistema ~ idêntica àquela que seria obtida retendocseapenas (R~UltlJ na Figura 4.26.

4.47 Uma propriedade imponante da resposta em frequên­cia H(jw) de um sistema Ln' de tempo contínuo comuma resposta ao impulso h(t) real e causal ~ que HUm)é completamente especificado por sua parte real,<R~(H(jUl)J. Este problema trata da dedução e do exa­me de algumas das implicações dessa propriedade. quegeralmente é conhecida como sujidinci4 da parte rotai.

(a) Prove a propriedade da sufidênda da pane realexaminando o sinal ht(I). que é a parte par de h(I).Qual é a transformada de Fourier de ht(I)? Indiquecomo h(t) pode ser recuperado de ht(I).

(b) Se a pane real da resposta em frequênda de um­sistema causal for

CR«H{imIJ =ces w.

qual ~ h(I)?

(c) Demonstre que h(t) pode ser reruperado de ho(l), aparte ímpar de h(t), para qualquer valor de t, excetot '" O. Observe que, se h(t) não contém nenhuma

202 Sinais e sistemas

"'o "'o w

(c) Qual é a transformada de Hilben do sinal x(t) =cos 3f?

4.49 Seja H(jm) a resposta em frequência de um sistema UI'de tempo contínuo e suponha que H(jID) seja real pare positiva. Além disso. asssuma que

Figura P4.46 máx(HUwll = H(O).w

(a) Demonstre que:

(1) A resposta ao impulso h(t) é real.

(II) m.ix1~(I)11 =h(O).

1M4: St !(t, m) t. uma função complexa de duasvariáveis, enlào

(b) Um conctilo importante na aná1ise de sistemas ~ alargura dr. baruJIz de um sistmJa llT. Elislem muitasfom:laS matemáliOls difermtes de se definir a lar·gura de banda. mas todas das estão rdadonadas àideia qualilativa e inruitiva de que um sistana comrtspOSta de frtqutnda GUro) basicamente 'bloqueia'sinais da forma ;- para valorts de m, onde G(icD)desvanea: ou t. pequena e 'deixa passar' essas eI­

poncnda.is complexas na banda de frequência ondeG(jo» não I pequena. A!aJEura dessa bomda I. IM­gura de banda. Essas ideias serão expostas de formamuito mais dara no capírulo 6, mas por ora vamosconsiderar uma definição especial da largura debanda para os sistemas com respostas em frequên­cia que têm as propriedades especificadas anlerior·menle para H(jm). EspeQficamente, uma definiçãoda largura de banda B. de tal sistema é a largura doretângulo de alrura H(JU) que lenha uma área igualà área sob H{}:l:I). Isso t. ilustrado na Figura P4.49(a).Observe que, como H(JU) = máx. H(jm), as frequên­cias dentro da banda indicada na figura são aquelaspara as quais H(jm) t. maior. A escolha exata da lar­gura na figura é, narurahnenle, um tanto miuá­ria. mas escolhemos uma definição que nos permitacomparar dilerentes sistemas e tomar precisa umarelação muito importante entre tempo e frequência.

Qual é a largura de banda do sistema com respostaem frequênda

H(jW)~[l' bl<w ?O, U>W

(c) Determine uma expussão para a largura de bandaB. em lermos de H(jm).

Hy.,)

HPI--,\.--Án!la do retãnguIo '"I área sob H'JooI

,

Figanl PUSa

Atransformada de fourier de temlXl continuo 203

(d) Considere que s(~ indique a resposta ao d~u dosistema estabelecido no item (a). Uma. medida im­portante da vclocidade da rcsposIa de um slstema éo tt1rtpo dt subida, que, como a largura de banda, remuma ddinição qualitativa.. levando a muitas defini­ções mattmáticas passiveis, uma das quais usaronos.lntuitivamente, o rempo de subida de um sistema éuma medida da vdocidade com que a mposta aodegrau passa de zero para o saI valor final.

$(00) = Iim s(t)..-Assim, quanto menor o tcnpo de subida. mais rá­pida é a rtSpOSta do sistrota_ Para o sistrota onconsideraçâo neste problema. de=finire=mos o tc=m­pc de subida romo

r = $(00)• h(O) .

Como

,'(I) = h(l)

c= também devido à propriedade= dc= que h(O) '"máx, h(t), Ir é O tempo quc= Sttia predso para ir dezero a s(oo), mant.e.ndo-se máxima a taxa de mu·dança de $(t). Isso é ilustrado na Fígura P4.49{b).Encooue uma exprc=ssão para t, em ttllDOS de H(j<o).

(e) Combine os tesultados dos itens (c) e (d) paramostrar que

B.', =2.,.. (p4.49-1)

Assim. não podrmos especificar independc=ntemen­te o tempo de subida e a largura de banda de nossosistema. Por exemplo, a Equação P4.49-1 implicaquc=, sc= quisermos um sistema rápido (I, pequeno),o sistema precisa ter uma grande largura de ban­da. Este é um compromisso fundamental que temgrande importânda .em muitos problemas de pro­jeto de sistemas.

4.50 Nos problemas 1.45 e 2.67 definimos e examinamos vá­rias das propriedades e usos das funções de correlação.

(bI

Figu,.. PU9b

204 Sinais e sistemas

N~e problema. examinamos as proprinlad~ dessasfunções no domfnio da tmIumda. Sejam x(1) e y(1)dois sinais reais. Então, a função de correlação cruzadade x{t) ey(1) é definida como

~ (t)-=J- x(t+r)y(r)dr.. -De modo semelhante. podemos definir tP (E), tP",,{t) t:

,,,(t). [As duas últimas são mamadas fun$e:s de auto­oorrdação dos sinaisx{t) ey(I), rcspeaivammte·l Comi­d~ que fi Um), t,.(jm), t",,(jm) e 41 (Pj indicam.asttansfo~.z;; d. Fowier d. \Ó.IQ, \Ó,JQ, \Ó.lt) • \ÓwlQ,respeettvamente.(a) Qual ~ a relação entre 'Il:lJ'(jco) e ~p(jOJl?

(b) Encontre uma expm:são para iii..,U(I)) em tennosde X(jm) e Y{(I))).

Cc) Demonstre que ib",,{fal) é real e não negativa paratodo w.

(d) Suponha agor.a que x(t) seja ii filtrada para um.!iistcma UI' com -uma resposta ao impulso real ecom resposta em frequência. H(}») e que y(t) sejaii saída. Encontre expressões para ibq(jm) e ib (jo»)erD.lermosde41....(j(l))eH(jm). "

(e) Seja x(t) como ilustrado na Figura P4.S0 e sejah(t) =rt u(t), a > O. a resposta ao impulso do sis­tema Uf. Calcule ib",,(jOJ), ib.qUro) e fin(joJ) usandoos resultados dos itens (a) a (dI.

(f) Suponha que nos seja dada a seguinte transforma­da de Fourier de uma função ~t):

~w) w1

+1OO.l..i+25

Encontre as respostas ao impulso de dois sistemasUf causais, estáveis, que plmuam funções de au­tocorn:lação iguais a q,(t). Qual destes tem um in­verso causal e estável?

4..51 (a) Considere dois sislemas I.lT com respostas aoimpulso h(1') e J(t), respedivamente. e suponhaque esses sistemas sejam inversos um do outro.Suponha tambt:m que ambos tenham respos­tas em frequência indicadas por Hum) e G(jm).tesp«tiva.mente. Qual é a relação entre H(jtO) eG(j<o)?

(b) Considere o sistema LIT de tempo contínuo comresposta em frequêncta

1 ---

o 1

Figura P4.50

U· )_11, 2<1wi<3

H IV - .O, caso rontrário

(i) ti possível encontrar uma entrada x(t) para essesistema de modo que a saída R:ja como are·presentada na Figura P4.50? Em caso afinnati­vo, encontrt x(l). se não, explique por quê.

(U) Esse sistona ~ invt:rtívd? Explique sua resposta.

(c) Considere um audilóno mm um problt:ma de em.Conforme discutimos no Problema 2.64. podanosmode:1ar a aaíslica do auditório como um sistt:maLn: com uma rtSpOSta ao impulso coosistindo emum trem de impulsos, mm o k-6imo impulso dotrem. correspondendo ao k-ésimo eco. Suponha que,nesse caso em particuJ.ar. a resposta ao impulso seja

~

h(t)~ L:.-w6It-kT),-em que o fator ~T repr~ta a atenuação do k·~cc:o.

Pua poder fazer uma gravação de alta qualidadenesse: cenário, o efeito dos t:OOS ptteisa sn remo­vido por meio de algum procc:s.sa.mento dos sonscaptados pelo equipamento de gravação. No Pro­blema 2.64, usamos as técnicas de convolução paraconsider.ar um exemplo de projeto desse processa·dor (para um modelo de acústica diferente). Nesteproblema. usamos témiCilS DO domínio da frequên·da. Especificamente, considere que G(jm) indique aresposta em freqUÜlda do sistema ur a ser usadopara pI'OCeSSil1' o sinaJ acústico captado. EscDIhaOUro) de modo que os ecos sejam completamentettmovidos e osinal t~tante seja uma reproduçãofid dos sons originais.

(d) Encontre a equação diferencial para o inverso dosistema com resposta ao impulso

hlt) = 26(t) + u, (I).

(e) Considere o sistema ur inidalmente em repouso edescrito pela equação diferencial

d'y(t) +6 dy(1) +9y(I)~ d'x(t) + 3<Újt) +2«t).dr' di dr' dt

oinverso desse: sistema também está inida.lmt:nteem repouso e é desaito por wna equação diferen­cial. Encontre a equação diferencial descrevendoo inverso e as respostas ao impulso h(t) e 9(t) dosistema original e do seu inverso.

4.52 Os sistemas inversos frequentemente têm aplicaçãoem problemas que envolvem dispositivos de mediçãoimperfeitos. Por exemplo. considere um. dispositivopara medir a tem~tura de um líquido. Comumen·te, é razoável modelar tal dispositivo como um. sistemaur que. devido às caraeteristicas de resposta do de·memo de medição lPor exemplo, o mercl.rio em um

Atransformada de Fourier de tempo cootíooa 205

a uma mudança em degrau da temperatura. su­jeito à restrição de que a amplitude da parte dasaída devida ao ruído n(l) =sen 6t não seja maiorque 114.

_1-.0" r-COiI ....~

se O$tI SI ou

O~t, 9(ouambos)ca!D cuurário

I--------------~I

4.5J Conforme mendonado no texto, as témicas da análisede Fourier podem ser estendidas para sinais tendo duasvariáveis independentes. Essas técni.cas desempenhamum papel importante em outras aplicações, como oprocessamento de imagens, como sucede com seus cor­respondentes unidimensionais em algumas aplicações.Neste problema. apresentamos algumas das ideias ele­mentares da aná~ de Fourier bidimensional.

Seja ..r(tl • ~) um sinal que depende de duas variá­veis independentes ti e tr A transfOT11l1U1l1. dt Fauri« m·dimmsional de *,,~) é definida como

(a) Demonstre que essa integral dupla pode ser calcu·lada por meio de duas transformadas de Fourierunidimensionais sucessivas, primeiro em t, com ~

considerado como fixo e depois em ~_

(b) Use O resultado do itc:rn (a) para dr:unninar atransformação inversa. ou seja, wna expressãopara x(tl , t~) em termos de X(jrol'jw~).

(c) Dettnnine as transformadas de Fourier bidimen­siooais dos seguintes sinais:

(i) ..r(tl

, tJ)= t-~"'JI'U(tl-1)u(2- tJ)

(ii) ..r(t , t )= lt-fJ-U, se -I < ti ~ 1e -I ~ tI :5.11 J 0, ca!D contrário

Rgur. P4.52

:--::.~-~--~----~l+1 mdçio I*feilo II '0-·0 + II J.,

I ~de~_ II II I ......-..~

_UTdo~de~~

I ,..,- f-s(~ .. (1-.4lJ[l) UTdo_I I

do_!..._----------______ I

termómetro), não rrsponde instaotaneamrnte a mu­danças de temprratura. Em particular, suponha quea resposta desse dispositivo a um degrau unitário detrnlperarura seja

'(I) : (I - m)'(/). (p4.SH)

(a) Projete um sistema compen$õldor que, quando rt­

gism. a saída do dispositivo de medição, produzuma saída igual à temperatura instantânea do li­quido.

(b) Um dos problemas que com frequênda surgemDO uso de sistemas inversos como compensado­res para dispositivos de medição é que podemocorrer imprecisões significativas na temperatu­ra indicada se a saída detiva do dispositivo demedição produzir erros devido a pequenos fe·oómmos erráticos no dispositivo. Como sempreexistem essas fontes de erros nos sistemas reais,devemos levá-las em consideração. Para ilustrarisso, considere um dispositivo de medição cujasaída total -possa ser modelada como a soma daresposta do dispositivo de medição caracterizadopela Equação P4.52-1 e um sinal n(l) de 'ruído'de interferência. T.ll modelo é representado naFigura P4.52(a), em que também induímos o sis­tema inverso do item (a), que agora tem comosua entrada a saída total do dispositivo de medi­ção. Suponha que n(t) = seo Cllt. Qual é a contri­buição de n(t) para a saída do sistema inverso, ecomo essa saída muda quando CiI aumenta?

(e) A quwo Inantada 00 iton (b) é importante emmuitas aplicações de análise: de: sistt:ma LIr. Somosconfrontados. rsped.ficamente. com Ocompromissofundament.al enm: a veloddade de mposta do sisotema e sua capaddade de atenuar interferências dealta frequência. No item (b), vimos que esse com­promisso implica que, ao tentar acelerar a respos.ta de um dispositivo de medição (por mdo de umsistema inverso), produzimos um sistmta que podetambém amptifiau sinais srnoidais interferentts.Para ilustrar esse conccito. considere um dispositivode medição que rtSpOllde mstamaneamenle a mu­danças na temperatura. mas tam~m é corrompidopor ruído. A resposta de tal sistema pode ser mo­delada, confonne representado na Figura P452(b),como a soma da resposta de um dispositivo de me­dição perleilO e um sinal interfertnle n(r). Suponhaque desejemos projetar um sistema compensadorque tomará mais lenta a resposta para variações re­ais de: temperatuI'a, mas também atenuará Oruído"(t)o Suponhamos que a resposta ao impulsod~sistema de compensação seja

h(t) = at4u(I).

Escolha Q de modo que o sistema total da FiguraP4.52(b) responda o mais rapidamente possível

206 Sinais e sistemas

(iv) r(tl•~) conform~ representado na Figura P4.5 3.

(v) t .......J-+,-f:.I

(i) .r(ll - TI' ~ - TIl

(U) xt"'.. bt,)

(ili) ri's. 'I) = J:J: .l(TI•Tl)h(t, -1'1' t1 - Tz}dT,iTl

(d) Ik(~nnin~ o sinal X(ll" tIl cuja transformada deFouri~r bidimensional seja

(e) Sejam .r(t•• t2) ~ h(l•• ~) dois sinais com trans­formadas de Fouri~r bidim~nsionais X(jcD •• j~) ~

H~. ~l. respectivament~. Detetmin~ as trans­formadas dos seguintes sinais fiIl t~rmos d~

X(jm,. jaJ,) , H(jm,. jaJ,1:

-,

l} x(t1• t2J '" 1 na áree. sombreada1 e O fora dela

I,

-,