INTRODUÇÃO A ALGORITMOS NUMÉRICOSProf. Renata S.S. Guizzardi

2012/01

AGENDA Introdução Erros Detalhes da Disciplina:

Ementa Métodos de Avaliação Outros Detalhes

INTRODUÇÃO

O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS? São programas de computador capazes de

solucionar problemas matemáticos, fornecendo resultado numérico aproximado.

Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida em um grau crescente de exatidão.

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1) Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.

Ex.: solução de sistemas de equações lineares.

POR QUE UTILIZAR? (1/2)

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2) O problema não tem solução analítica.

Exemplos:

a) não representável por funções elementares;

b) não pode ser resolvido analiticamente;

dxex2

22 tyy

POR QUE UTILIZAR? (2/2)

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FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA

Solucionar problemas técnicos através

de métodos numéricos, usando um

modelo matemático

Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag. 117):

No nó 1, pela lei de Kirchhoff:

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2)

1

2

3

4

0432216

02

14

2

13

1

12

1

10

VVVV

VVVVVVV

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (2/2)

O problema é resolvido a partir de um sistema linear de quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.

0

254

0

0

4

3

2

1

3201

61323

0143

1126

V

V

V

V

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Problema Real

Levantar Dados

Construir Modelo

Matemático

Escolher Método

Numérico

Implementar Método

Computacionalmente

Solução Numérica

AnalisarResultados

EventualmenteRever

NO EXEMPLO ANTERIOR Problema real: determinar tensões nos nós dos

circuitos. Levantamento de dados: valores das resistências

e tensões nos pontos A e B. Construir modelo matemático: montar equações e

criar as matrizes a partir delas. Escolher método numérico: Decomposição LU,

Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de Jacobi etc.

Implementar Método Computacionalmente: criar e processar programa.

Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o método numérico precisam ser alterados.

ERROS

TIPOS DE ERROS (1/6)

Erro na Modelagem Devido à expressão matemática que não reflete

perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão.

Erro Grosseiro Devido a erro na elaboração ou implementação

do algoritmo ou a erro de digitação.

TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO

Erro de Truncamento: Devido à aproximação de uma fórmula.

expansão da função exponencial

em séries de potência

Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

TIPOS DE ERROS (3/6) - ARREDONDAMENTO

Erro de Arredondamento: Devido à forma de representação de números no

computador. Conversão de base (decimal→binário)

Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários).

Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 = 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).

TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTOARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: 5 = 0.5 x 101

0,007 = 0.7 x 10-2

35,42 = 0.3542 x 102

Representação no computador

TIPOS DE ERROS (5/6) - ARREDONDAMENTO

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Suponha uma mantissa de tamanho 4: Represente -8 Represente 37 Some 0,375 e 0,05 Qual o maior número que pode ser representado

nesse computador?

TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Formato IEEE de ponto flutuante

ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO

Duas formas de medir o erro.

Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.

Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real

OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES Complexidade computacional

Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema.

Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas.

Convergência Propriedade de gerar solução exata. Ordem de Convergência: rapidez com que a

sequência gerada por dado método converge para a solução exata.

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DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3)

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits)

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Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)

Erro de trajetória 36,7 sapós o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (2/3)

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (3/3)

Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima

(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner)

Rompimento de uma das Células que compunham a

parede

Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito

Prejuízo: U$ 700 milhões

DETALHES DA DISCIPLINA

EMENTA

1. Introdução2. Sistemas Lineares3. Interpolação Polinomial4. Ajuste de Curvas5. Equações Diferenciais Ordinárias6. Integração Numérica7. Raízes de Equações

LIVRO TEXTO

Frederico Ferreira CamposFilho. Algoritmos

Numéricos, 2 ed., Rio de Janeiro: LTC.2007. 428 p.

AVALIAÇÃO

Duas provas parciais 1ª prova: 4 primeiros itens da ementa –

data:25/05/2012 2ª prova: 3 últimos itens da ementa –

data:06/07/2012 Um trabalho computacional

Entrega: 18-06-2012 Duas listas de exercício (completa)

Entrega: uma aula antes das provas.

Cálculo da Média: (0,7 x Médias das provas) + (0,25 x Trabalho

Computacional) + (0,05 x Entrega das listas de exercício completas)

HORÁRIO DE ATENDIMENTO

Horário de Atendimento 5ªs – 14:00 às 17:00

PÁGINA DO CURSO

http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/an/civil20121.html