étodos uméricos - Universidade Federal de São João del-Rei .de equações diferenciais parciais

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Text of étodos uméricos - Universidade Federal de São João del-Rei .de equações diferenciais parciais

  • Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

    2015

    MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

    UNIVERSIDADE DE JOO DEL-REI

    PR-REITORIA DE PESQUISA

    CENTRO FEDERAL DE EDUCAO

    TECNOLGICA DE MINAS GERAIS

    DIRETORIA DE PESQUISA E PS-GRADUAO

    todos

    umricos

  • Contedo

    Apresentao do mtodo do mtodo dos elementos finitos de forma

    sucinta, baseado num exemplo de aplicao ao eletromagnetismo.

    Breve introduo das Equaes de Maxwell, Equao de Poisson

    para o caso particular da magnetosttica.

    Soluo desta pelo Mtodo dos Elementos Finitos.

  • Introduo

    O Mtodo dos Elementos Finitos tem suas origens nos anos 40, tendo

    sido entretanto vastamente utilizado apenas nos ltimos 20-30 anos,

    graas aos avanos dos computadores.

    Ele atualmente definido como um Mtodo Matemtico para a soluo

    de equaes diferenciais parciais tal como a Equao de Poisson e

    Laplace.

    Devido s suas caractersticas de flexibilidade e estabilidade numrica,

    ele pode ser facilmente implementado em um sistema computacional,

    fato que explica a sua grande popularidade nos dias atuais.

    Um grande impulso para o seu desenvolivmento e aperfeioamento foi

    dado pela indstria aeroespacial, onde o mtodo vem tendo larga

    aplicao desde os anos 50, sendo utilizado, entre outros para o projeto

    e anlise estruturas complexas de avies.

  • Introduo

    As principais reas de aplicao incluem: projeto e anlise de

    estruturas, anlise de escoamento de fluidos, distribuio de

    temperaturas e eletromagnetismo.

    Em muitos casos prticos, o Mtodo dos Elementos Finitos a nica

    ferramenta capaz de fornecer uma soluo aceitvel, ainda que

    aproximada.

  • Equaes de MaxwellOs fenmenos eletromagnticos so regidos pelas equaes de

    Maxwell, as quais so dadas abaixo na sua forma diferencial:

  • Equaes de Maxwell

    Relaes constitutivas:

  • Equaes de MaxwellPara o caso especial de fenmenos estticos as equaes se reduzem

    seguinte forma:

    As relaes constitutivas seguem vlidas e neste caso existe uma

    independncia entre o campo eltrico e o campo magntico.

    Assim para o estudo de campos magnticos estticos, por exemplo, pelo

    mtodo dos elementos finitos, necessita-se considerar apenas as

    seguintes equaes:

  • Equaes de Maxwell

    As equaes anteriores so as equaes fundamentais da

    magnetosttica. Para a derivao do Mtodo dos Elementos Finitos ser

    utilizado ainda o Teorema de Green no Plano, o qual estabelece que

    para duas funes u(x,y) e v(x,y) vale a relao:

  • Equao de Poisson no PlanoAs equaes de Maxwell so raramente solucionadas na forma em que

    esto colocadas nas expresses, pois implicaria encontrar uma soluo

    (analtica ou numrica) que satisfaa trs equaes simultaneamente, o

    que torna o processo de soluo em geral mais difcil, sobretudo quando

    se procura uma soluo numrica aproximada.

    Desta forma, costuma-se solucionar uma equao equivalente, a qual

    decorre das trs equaes citadas. Para tanto, introduz-se uma grandeza

    vetorial auxiliar chamada de "Potencial Vetor", o qual em princpio no

    possui um significado fsico, servindo apenas para facilitar a soluo

    numrica:

  • Equao de Poisson no Plano

    Logo:

    Substituindo na lei de Ampre:

    Considerando-se apenas materiais isotrpicos lineares pode-se escrever

    ainda:

  • Equao de Poisson no PlanoA expresso no lado esquerdo do sinal de igualdade pode ser expandida,

    resultando:

    A induo B obtida por meio de uma operao derivao do potencial:

    Existe, desta forma, um determinado grau de liberdade de escolha para

    o potencial vetor. A fim de simplificar, pode-se optar por um potencial

    vetor que atenda a seguinte condio:

    2

  • Equao de Poisson no PlanoCom esta condio:

    A equao acima conhecida como Equao de Poisson no espao,

    ela descreve no apenas os fenmenos eletromagnticos, mas

    tambm muitos outros, tais como a transmisso de calor, distribuio

    de temperaturas, escoamento de fluidos, etc... Para caso o especial em

    que S igual a zero, a equao assume a uma forma conhecida como

    Equao de Laplace:

    2

    2

  • Equao de Poisson no Plano

    Por meio da introduo do potencial vetor chega-se a uma nica

    equao que representa as equaes:

    O processo de soluo visa assim determinar o vetor A(x,y,z) , por meio

    do qual as grandezas eletromagnticas de interesse podem ser obtidas.

    2

    2

  • Equao de Poisson no Plano

    Para o caso particular em que o campo no varia segundo uma das

    variveis (por exemplo a varivel z), obtm-se um caso bi-dimensional. O

    vetor densidade de corrente perpendicular ao plano em que o campo

    descrito:

    Sendo o campo dependente apenas das direes x e y, a densidade de

    corrente ter apenas componentes segundo o eixo z. O potencial vetor

    ter igualmente apenas componentes segundo o eixo z:

  • Equao de Poisson no PlanoNo caso bi-dimensional:

    Ou para a equao de Laplace :

    As duas ltimas expresses representam uma equao diferencial parcial

    de segunda ordem, as quais descrevem problemas conhecidos como

    "Problemas de Valores de Contorno. Escrita na forma:

    A determinao do campo nas direes x e y se reduz determinao

    do potencial A(x,y) segundo estas direes.

  • Equao de Poisson no PlanoA soluo na forma analtica s possvel para casos com geometrias muito

    simples e sob certas aproximaes, as quais nem sempre so justificveis na

    prtica, fazendo com que a soluo analtica, embora possvel, no possua um

    valor inquestionvel para a grande maioria dos casos prticos.

    A vantagem da soluo analtica , todavia, o fato de que a influncia dos

    parmetros fsicos e geomtricos aparece explcita na soluo, facilitando a sua

    anlise.

    Por outro lado, o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) um mtodo de

    soluo numrica que pode ser aplicado para qualquer espcie de domnio, ele

    no fornece, entretanto, uma soluo na forma analtica. Uma anlise da

    influncia dos parmetros fsicos e geomtricos precisa ser obtida por variaes

    discretas de um grande nmero de casos semelhantes, fato que se torna cada

    vez mais irrelevante a medida que computadores cada vez mais potentes e

    sistemas de clculo por elementos finitos mais sofisticados vo surgindo.

    Outra vantagem importante do MEF a possibilidade de tratamento de casos

    no-lineares, o que por mtodos analticos praticamente excludo.

  • Equao de Poisson no Plano

    A figura a seguir mostra um problema de magnetosttica:

    O domnio onde a soluo procurada limitado por um contorno retangular

    em torno da estrutura magntica.

    Nas regies em que circula corrente (S diferente de zero) vale a equao:

    Por outro lado, onde no existe corrente (S igual a zero) vale a equao de

    Laplace:

    A soluo procurada para o potencial A deve, portanto, ser tal que as duas

    equaes sejam satisfeitas.

  • Equao de Poisson no Plano

  • Condies de ContornoComo no caso de equaes diferenciais ordinrias, a soluo completa

    da Equao de Poisson depende dos valores do potencial na fronteira do

    domnio em estudo. Os dois tipos mais comuns de condies de contorno

    (condies de fronteira) que ocorrem no eletromagnetismo so

    apresentados e discutidos a seguir.

    Esta condio de contorno vlida para segmentos do contorno em que

    o potencial constante (em geral igual zero). Neste caso, o campo

    paralelo ao segmento:

    Condio de Contorno de Dirichlet

  • Condies de Contorno

    A condio de Neumann se aplica a segmentos do contorno em que a

    variao do potencial na direo perpendicular ao contorno igual a

    zero. Nesta caso, a induo perpendicular ao segmento:

    Condio de Contorno Neumann

    A condio de Neumann tambm se relaciona com as

    linhas de simetria de uma dada estrutura. No exemplo

    mostrado existe uma linha de simetria indicada pela linha

    em tracejado. Assim, existe a possibilidade de se estudar

    apenas uma metade da estrutura, tornando a linha de

    simetria numa linha de contorno tipo Neumann.

  • Problemas de Potencial (Problemas de Valores de Contorno)

    Quadro 1 - Equaes de Potencial (Equaes de Campo)

    Problemas de potencial se compem sempre da equao de Poisson, a qual

    vlida para o interior do domnio e das condies de contorno impostas no

    contorno externo .

    A condio de Dirichlet imposta na parte do domnio designado por 1 ,

    enquanto que a condio de Neumann imposta no restante do domnio

    designado por 2.

  • Mtodo dos Elementos Finitos

    O problema um problema do tipo contnuo, uma vez que todos os pontos do

    domnio so includos tanto na descrio quanto na soluo do problema.

    O MEF transforma este domnio contnuo num domnio discreto, onde a

    soluo conhecida em pontos discretos do domnio de clculo, por exemplo

    em pontos de unio de uma malha triangular (ns).

    O MEF pode ser derivado basicamente por dois caminhos, as equaes

    discretas so obtidas:

    1. Por meio da minimizao de funes de energia, utilizando-se de princpios

    variacionais atravs do mtodo de Ritz.

    2. O caminho mais rpido para a derivao, a aplicao de mtodos

    residuais para a obteno das equaes discretas. Neste caso, o mtodo

    empregado na derivao o mtodo de Galerkin.

  • Mtodo dos Elementos Finitos

  • Mtodo dos Elementos Finitos

    Aproximao de Funes pelo Mtodo de Galerkin

    Multiplicando-