Discretização da Equação de Poissonpara Aplicação em Eletroosmose

Mario Luiz Previatti de Souza, bolsista PIBIC/CNPq da UFSCOrientador: Prof. Dr. Milton dos Santos Braitt

UFSC - Departamento de Matemática88040-900, Florianópolis, SC

E-mail: mariopreviatti@hotmail.com, msbraitt@mtm.ufsc.br.

Palavras-chave: Equação de Poisson, Condições de Contorno Mistas, Método das DiferençasFinitas, Eletroosmose.

Resumo: Desenvolvemos e implementamos um modelo discreto da Equação de Poisson e reali-zamos simulações para fins de aplicação em problemas de fluxos eletroosmóticos em micro-canais.Para isso utilizamos o método numérico de diferenças finitas de segunda ordem. Os resultadosindicaram taxa quadrática de convergência.

1 Introdução

O fluxo eletroosmótico ou fenômeno de eletroosmose ocorre quando uma solução aquosaeletrolítica em um micro-canal é submetida a um campo elétrico externo, através do posiciona-mento de eletrodos. A migração dos íons, cátions e ânions, constituem o fluxo eletroosmótico.Um modelo para o fenômeno de eletroosmose em micro-canais [1] contêm três tipos de equaçõesgovernantes: a Equação de Poisson, a Equação de Nernst-Planck e as Equações de Navier-Stokes.Uma das equações de Poisson que aparecem no modelo é a seguinte:

∆Ψ(x, t) = 0, (x, t) ∈ O × [0, T ] ,Ψ(x, t) = 0, (x, t) ∈ Γi × [0, T ] ,Ψ(x, t) = Ψ0 (x, t) , (x, t) ∈ Γs × [0, T ] ,

∂Ψ

∂y(x, t) = 0, (x, t) ∈ (Γe ∪ Γd)× [0, T ] .

O é o interior do retângulo [0, L1] × [0, L2], t ∈ [0, T ] o tempo, Ψ o potencial elétrico externo,

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2o operador laplaciano, x = (x, y) ∈ R2 e Γe,Γd,Γs e Γi os lados do retângulo

esquerdo, direito, superior e inferior, respectivamente.

2 Modelo Contínuo

Observe que na equação de Poisson acima temos condições de fronteira mistas: a condiçãode fronteira de Dirichlet, em que conhecemos os valores dos pontos numa parte da fronteira dodomínio e a condição de fronteira de Neumann, em que conhecemos os valores das derivadasnormais nos pontos da parte restante da fronteira.

Assim, com base no problema acima, consideramos o seguinte problema de condições defronteira: ∆u (x, y) = f (x, y), com (x, y) ∈ O, com L1 = L2 = 1. E condições de fronteira deDirichlet em Γd ∪Γe e condições de fronteira de Neumann em Γs ∪Γi. Este é o modelo contínuoque discretizamos, implementamos e realizamos simulações.

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3 Modelo Discreto

Utilizamos o método das diferenças finitas centradas e de segunda ordem pela simplicidadee facilidade na implementação. Usamos o espaçamento h = 1/N no eixo das abscissas e no eixodas ordenadas. Assim, temos uma malha no domínio [0, 1] × [0, 1] com (N + 1)2 pontos, comN ∈ N. Cada ponto é da forma (x, y) = (ih, jh), para i, j = 0, 1, 2, . . . , N. Usamos o stencil de 5

pontos para aproximar ∆u (x, y): ∆ui,j ≈ ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j

h2+

ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1

h2, com

j = 0, 1, 2, . . . , N e i = 1, 2, . . . , N − 1. Para i = 0 e i = N , temos condições de fronteira deDirichlet e para j = N e j = 0, os pontos das regiões da fronteira em que temos condições decontorno de Neumann, aproximamos as derivadas normais por um esquema de primeira ordem.

Com isso, obtemos uma matriz esparsa bloco tridiagonal para o operador ∆, A, com dimensão(N2 − 1

)×

(N2 − 1

)e cada bloco com dimensão (N − 1) × (N − 1). Para resolver o sistema

linear Ax = b, com x o vetor das variáveis e b o vetor com a fonte f e as condições de fronteira,ambos de dimensão

(N2 − 1

)× (1), utilizamos o método de eliminação gaussiana.

4 Resultados

Realizamos simulações para duas fontes f apresentadas nos casos I e II a seguir.Caso I:f (x, y) = (−2)π2cos (πx) cos (πy) , com condições de contorno:

u (1, y) = −cos (πy) , 0 ≤ y ≤ 1,u (0, y) = cos (πy) , 0 ≤ y ≤ 1,

∂u

∂y(x, 1) = 0, 0 ≤ x ≤ 1,

−∂u

∂y(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1.

A solução analítica deste problema é u (x, y) = cos (πx) cos (πy).Apresentamos abaixo os gráficos da solução numérica e do erro máximo para h = 0.020:

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

x

Solução Numérica

y

Figura 1: Gráfico da soluçãonumérica do Caso I.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10−4

x

Erro Máximo

y

Figura 2: Gráfico da erro do Caso I.

Os erros máximos absolutos para alguns valores de h:

× Erro Máximoh = 0.040 4.4228× 10−4

h = 0.020 1.1088× 10−4

h = 0.010 2.7732× 10−5

Tabela 1: Erros máximos absolutos do Caso I.

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Caso II:

f (x, y) = (−20) ex2+y2(−2x4y2 + 2x4y + 2x3y2 − 2x3y − 2x2y4 + 2x2y3 − 10x2y2 + 8x2y

−x2 + 2xy4 − 2xy3 + 8xy2 − 6xy + x− y2 + y), com condições de contorno:

u (1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1,u (0, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1,

∂u

∂y(x, 1) = 10xex

2+1 (x− 1) , 0 ≤ x ≤ 1,

−∂u

∂y(x, 0) = −10xex

2(x− 1) , 0 ≤ x ≤ 1.

A solução analítica para esse problema é u (x, y) = 10xy (x− 1) (y − 1) ex2+y2 .

Apresentamos abaixo os gráficos da solução numérica e do erro máximo para h = 0.020:

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

1−0.5

0

0.5

1

1.5

x

Solução Numérica

y

Figura 3: Gráfico da soluçãonumérica do Caso II.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

1−4

−3

−2

−1

0

1

x 10−3

x

Erro Máximo

y

Figura 4: Gráfico do erro do Caso II.

Os erros máximos absolutos para alguns valores de h:× Erro Máximo

h = 0.040 0.0140h = 0.020 0.0035h = 0.010 8.7572× 10−4

Tabela 2: Erros máximos absolutos do Caso II.

5 Conclusão

Observamos pelas Tabelas 1 e 2 que os resultados são quantativamente satisfatórios, apre-sentando uma taxa quadrática de convergência para estes dois casos, mesmo com aproximaçãode primeira ordem nas condições de fronteira de Neumann. Pretendemos, dando continuidadea este trabalho, desenvolver e implementar os modelos para as demais equações governantes dofenômeno de eletroosmose com o objetivo de realizar simulações e comparar com os resultadosobtidos em [1].

Referências

[1] J. Horno, J. J. López-García, M. J. Aranda-Rascón. –Excluded volume effect on the elec-trophoretic mobility of colloidal particles. Journal of Colloid and Interface Science 323, pág.146-152, 2008.

[2] John C. Strikwerda. – Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Segundaedição, SIAM, 2004.

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