Identificação por Métodos Não Paramétricosusers.isr.ist.utl.pt/~alex/micd0607/MICD3A_0607_CRA.pdfModelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 8

Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 1

A. Bernardino, J. Miranda Lemos IST-Secção de Sistemas e Controlo

Identificação por Métodos Não Paramétricos

Estimação da resposta impulsiva e da resposta em frequência

Análise espectral e métodos de correlação

A. Bernardino, J. Miranda Lemos.



Identificação de Sistemas

S u

w

v

y

u – entrada (actuação)

y – saída (medida de sensores)

w – perturbação conhecida (mensurável)

v – perturbação desconhecida

O objectivo da identificação de sistemas é obter modelos para o sistema S através de

conhecimento físico do sistema e da análise de dados experimentais. Pretende servir dois

propósitos:

• Análise e Simulação – obter modelos que descrevam o sistema na globalidade para

simular e analisar o seu comportamento.

• Controlo – obter modelos que sirvam para o projecto de controladores, em torno de

pontos de funcionamento especificados.



Métodos não paramétricos

Um sistema não linear pode ser completamente caracterizado pela resposta

impulsiva, resposta ao escalão, ou pelas suas curvas de resposta em

frequência.

Os métodos não paramétricos visam determinar estas respostas, não na

forma de uma expressão matemática, mas como uma tabela (ou gráfico) em

função do tempo (resposta impulsiva, resposta ao escalão) ou da

frequência (resposta em frequência).



Porquê métodos não paramétricos?

Os métodos não paramétricos são úteis numa fase inicial do processo de

identificação.

Permitem ter uma primeira ideia das principais características dinâmicas

do processo, como a presença de atraso puro, as constantes de tempo

dominantes (que influenciam a escolha do intervalo de amostragem) e os

ganhos estáticos.



Limitações dos Métodos Não Paramétricos

• A informação que fornecem é limitada e nem sempre adequada aos objectivos visados

(listas de números ou gráficos).

• Existem limitações ao nível dos sinais a aplicar. É necessário aplicar sinais “especiais” ou

aplicar métodos de pré/pós-processamento adequados.

• A identificação tem que ser feita com o processo em malha aberta, o que pode ser difícil de

obter nalguns sistemas.

• Estudaremos apenas métodos para sistemas lineares (discretos), embora sejam possíveis

generalizações para classes de sistemas não lineares.



Exemplo – Resposta no tempo de um sistema de 2ª ordem

Testar o sistema com entradas escalão e observar a resposta no tempo

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

tp

S

ts

tr

± 1%��

��

��

ωξω ++=

�

�� ω��≈

�� ξωπ−

=�

��

�

�� ξω��≈ �

�� ξ

ξπ

−−

= ��



10-

10 0

10 1 -40

-30

-20

-10

0

10

20

30

ω (rad/sec)

Amplitude (dB)

Bode Diagram

-3

Resonant Peak, M r

Bandwidth, B

Exemplo – Resposta na frequência de um sistema de 2ª ordem

Testar o sistema com entradas sinusoidais (ou chirp) e traçar a resposta na frequência

��

��

��

ωξω ++=

� ω≈ �� ξωω −= ��

��

�

ξξ −=�



Problemas

• Alguns sistemas não admitem a utilização de sinais escalão ou chirp.

• Quando o ruído e/ou perturbações não são desprezáveis, os resultados das

experiências são variáveis. Ao efectuar apenas uma experiência poderemos estar a

cometer erros importantes.

• Quase todos os sistemas apresentam não linearidades. Certas não-linearidades

podem ser invertidas mas outra não. É necessário escolher zonas de funcionameno

para o sistema que sejam o mais lineares possível.



Não-linearidades estáticas

Aplicar sinais “lentos” que permitam avaliar a forma da função f.

Casos típicos:

• Saturação

• Zona Morta

• Folgas (Backlash)

f G(s) u f(u) y



Efeitos de não linearidades estáticas comuns



Algumas não linearidades estáticas podem ser invertidas

Quando as não linearidades são estritamente monótonas, podemos obter um modelo linear global

para o sistema, multiplicando por f-1. Caso contrário teremos que obter modelos lineares locais

(para pequenas variações em torno de pontos de funcionamento).



Problema: Obter a Resposta ao Impulso na Presença de Ruído

Pretende-se estimar a resposta impulsiva de um sistema linear discreto, na

presença de ruído e perturbações.

� � � � � � � �� = +

� � � � � � ��

� � � � � � � �= −=

∞

��

u y

ν 0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0

3

3 . 5

4

4 . 5

5

5 . 5

6

6 . 5

Sistema a identificar



Estimação da resposta impulsiva por métodos convencionais

1. Aplicar um impulso � ��δ , à entrada do sistema. A saída do sistema � �� , é a sua

resposta impulsiva – Dificuldade: energia fornecida pode ser insuficiente.

2. Aplicar um escalão à entrada do sistema. Uma vez que o impulso pode ser

obtido do escalão a partir de � � � � � �� δ = − − , então a resposta impulsiva pode

ser obtida por � � � � � �� = − − - Dificuldade: diferenciar um sinal amplifica o

ruído.

3. Aplicar um sinal arbitrario x(k) e observar a saída y(k). O operador de

transferência do sistema H(q) pode ser calculado por divisão polinomial de Y(q)

por X(q) – Dificuldade : fraca robustez numérica de métodos de divisão

polinomial.



Estimação da resposta impulsiva por correlação

Os métodos indicados anteriormente funcionam mal no caso de existirem perturbações. A

resposta impulsiva vem afectada dos valores da perturbação naquela experiência.

Uma forma de atenuar isto seria fazer várias experiências e calcular a média das respostas

impulsivas. No entanto, há métodos em que basta efectuar uma experiência.

Um desses métodos consiste na análise de correlação descrita a seguir.

O resultado do método é uma lista de números que constituem as primeiras N amostras da

resposta impulsiva do sistema a determinar.



Princípio da Análise de Correlação

Considere-se o sistema discreto com resposta impulsiva { }�� .

A resposta deste sistema a um sinal { } �� é descrita pelo somatório de convolução:

� � � � � ��

�

� � � � � �= − +=

∞

� ν

Vamos, de seguida, analisar estatisticamente qual a relação entre a entrada e a saída deste

sistema.



Processos Estocásticos Discretos

Seja uma sequência discreta x = (x1, x2, ..., xn)T, indexada no tempo. Podemos

considerar a sequência discreta como a realização de n VAs X1, X2, ... Xn.

k

ξ

ki

ξi Várias

realizações

possíveis



Funções de Média e Covariância

Dada a estrutura indexada no tempo das variáveis aleatórias, definem-se as

seguintes funções do tempo:

• Função média: ( ) � �� = =

• Função de covariância: ( ) ( )( )� � �� = = − −� �

• Função de cov. cruzada: ( ) ( )( )� � �� = = − −� �



Processos estacionários

Um processo estocástico é chamado estacionário se a distribuição conjunta das suas

variáveis aleatórias, FX(ξξξξ), é invariante a translacções dos instantes de amostragem.

Isto implica:

• A sequência média é constante no tempo.

• As sequências de covariância só dependem da diferença entre os instantes de

amostragem:

� ��

� ��

��

��

� ��

� ��

= − = −= −

Abuso de

notação!



Variância e função de correlação de um processo estacionário

• Variância do processo X : rx(0)

o Indica quão grandes são as flutuações do processo.

• Função de correlação do processo X : � �

� ��

��

�

� ��

�ρ =

o Indica as interdependencias temporais do processo entre instantes de tempo

separados de k unidades:

� Valores próximos de 1 significam correlação forte

� Valores próximos de zero indicam correlação baixa

� Valores próximos de -1 indicam correlação negativa



Voltando ao nosso problema A análise de correlação baseia-se na função de covariância cruzada entre u e y, que é dada por

[ ] [ ] [ ]��

τντττ −+−−=−= �∞

=

� ��

��

Isto implica que { }�� , { }�� e { }� �� sejam realizações processos estacionários com média

nula e funções de covariância:

[ ]�� ττ −= � � ��

[ ]�� ττ −= ��

= − − − � � �� τ



[ ] [ ] ( )τττνττ −+−=−+−−= ��∞

=

∞

=

��

�

�

�

��

��

Poderemos calcular facilmente a resposta impulsiva de um sistema, a partir da sua função de

correlação cruzada entrada-saída, se:

• ( )τδτ ∝�� - sinal tipo ruído branco

• �� =τ� � - { } �� e { }� �� incorrelacionados (exigindo experiências em malha aberta).

Nestas condições a função de covariância cruzada será proporcional à resposta impulsiva!

�� ∝��



Ruído Branco

Define-se ruido branco como uma sequência de variáveis aleatórias independentes, de média

nula e identicamente distribuidas (processo estacionário).

A função de covariância do ruído branco é dada por:

��

� �

σ τττ

� == �

≠�

Assim, na análise de correlação, teremos:

�� ττ σ=



Estimação da Resposta Impulsiva

A função de covariância cruzada entre a entrada e a saída é desconhecida, mas pode ser

estimada por

( ) �=

−=�

�

�

� � ��

��

�� ττ

Analogamente pode-se estimar a covariância na origem do sinal de entrada:

� �

�

��

�

�

�

��

σ=

= �

A resposta impulsiva vem então dada por

�

� ��

� �

�

�

� �τ τσ

=



Filtro branqueador

No caso em que o sinal de teste u não é branco, podemos seguir o seguinte

procedimento:

Determinamos um filtro L(q) tal que o sinal � � � �� = seja branco.

Com este filtro determinamos o sinal � � � � � �� =

G(q)u(t) y(t)

u (t) y (t)FF

L L



Trabalhar com os sinais � e �� corresponde à situação

G(q)u(t) y(t)u (t) y (t)

FFL L

-1

Como o filtro � �� surge em série com o seu inverso, é válida a equação

�∞

=

+−=

��

�� ν

que pode ser empregue para estimar a resposta impulsiva.

O filtro L(q) denomina-se filtro branqueador (whitening filter). A sua

determinação pode fazer-se recorrendo a modelos paramétricos e ao método

dos mínimos quadrados.



Algoritmo CRA (Análise de Correlação)

1. Recolher os dados y(k), u(k), k=1, …, N

2. Subtrair as médias da amostra a cada sinal:

� � � ��

� ��

�

� � � � � �= −=�

�

� � �

� �

�

�

� � � � � �= −=�

�

�

3.Obter os sinais (L(q) é o filtro branqueador):

� � � � � �� = � � � �� =

(cont.)



Algoritmo CRA (cont.)

4.Calcular as estimativas

� � � � � � ��

� � ��

�

� �

�

�

� �τ τ= −

=�

�

�

� � �λ� �

�

�

� �=

=�

� �

�

5.Estimar a resposta impulsiva por

�

� � �

��

��

�

�

� �

τ

τλ

=



Implementação no MATLAB 5.3

(Control Syst. Toolbox)

O algoritmo CRA está implementado através da função cra

Formar uma colecção de pares entrada/saída (y é um vector coluna com

as amostras da saída, u da entrada):

z=[y u];

Calcular as primeiras 20 amostras da resposta impulsiva e pô-las no

vector ir (inclui branqueamento e gráfico);

ir=cra(z);



Exemplo

Estimar a resposta impulsiva de G(s)

amostrado com h = 0.1s.

O sistema real está sujeito a uma perturbação aditiva à saída do tipo ruído

branco com desvio padrão 0.01.

�

��

��

� �=

+ +



Método 1 – Introduzir um impulso à entrada do sistema

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06True Impulse Response

Discrete Time 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Impulse Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01

Discrete Time



Método 2 – Introduzir um escalão à entrada do sistema e diferenciar a saída

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01

Discrete Time0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Output Differentiation with Step Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01

Discrete Time



Método 3 – Introduzir ruído branco à entrada e usar a Análise de Correlação

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Impulse response estimate

lags0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Impulse response estimate

lags Com 900 pontos Com 9900 pontos



Conselhos Práticos

Na análise de correlação devem-se utilizar apenas pontos da experiência que

correspondam ao regime estacionário. Nas experiências anteriores anularam-se os

primeiros 100 pontos porque correspondem ao regime transitório do sistema.

A dimensão da resposta impulsiva a usar na função ‘cra’ não deverá ser superior a

cerca de 1/10 do número total de pontos para que os valores da função de covariancia

sejam calculados com um número suficiente de pontos.

Quanto maior amplitude tiver a perturbação à saída, maior número de pontos deverão

ser utilizados.



O Interface IDENT

Permite, de uma forma simples:

- Introduzir dados entrada-saída

- Visualizar os dados entrada-saída:

no tempo, na frequência).

- Pré-processar os dados: para retirar

média, escolher segmentos, filtrar.

- Efectuar a estimação por diversos

processos (não só análise de correlação).

- Visualizar os modelos obtidos: resposta

ao escalão, em frequência, mapas pólos-

zeros, fincões de transferência (quando

possível)

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