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coimix2
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Resolução de uma questão bem interessante.
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(IME) Se o número complexo é tal que , calcular o valor máximo de .
Solução do Coimbra (algébrica):
(I)
* Fazendo , com , vem:
* Note agora que foi colocado em função de . Note ainda que, como , então é máximo quando também for máximo. Assim, vem:
a)
b) Só existirá se o discriminante for positivo ou nulo, logo:
c) Sabendo da trigonometria que , o intervalo ao qual deve pertencer para satisfazer
a existência de é , destacado de preto na figura abaixo. Observe que o intervalo , destacado de
vermelho na figura abaixo, satisfaz a existência de , mas não a de . Note agora que, no
intervalo , a função dada por é monótona decrescente, o que nos
garante que seu valor máximo ocorrerá em .
(II)
(III) Como , vem:
(Obs.: implica em , e isto não pode ocorrer visto que está no denominador.)