Inferência Estatística para Duas Amostras.pdf

8/18/2019 Inferência Estatística para Duas Amostras.pdf

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Programa de Pós-Graduação em Engenharia MecânicaDisciplina de Estatística Aplicada à Engenharia

Prof. Anderson Clayton Alves de Melo

2015.1

Inferência Estatística para Duas Amostras

Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas

Hipótese Nula: 0210 :H

Estatística de Teste:

2

2

2

1

2

1

0210

nn

XXZ

Hipóteses Alternativas Valor P Critério de Rejeição paraTestes com Níveis Fixos

0211 :H Probabilidade acima de 0z e

probabilidade abaixo de

0z , 0z12P

2/0 zz ou 2/0 zz

0211 :H Probabilidade acima de 0z ,

)z(1P 0 zz0

0211 :H Probabilidade abaixo de 0z ,

)z(P 0 zz0

Exemplo 1 [pág. 233; Mont.]

Uma pessoa que desenvolve produtos está interessada em reduzir o tempo de secagem de um

zarcão. Duas formulações de tinta são testadas; a formulação 1 tem uma química-padrão e a

formulação 2 tem um novo igrediente para secagem, que deve reduzir o tempo de secagem. Da

experiência, sabe-se que o desvio-padrão do tempo de secagem é igual a 8 minutos, e essa

variabilidade inerente não deve ser afetada pela adição de novo ingrediente. Dez espécimes são


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pintadas com a formulação 1 e outras dez espécimes são pintadas com a formulação 2. Os vinte

espécimes são pintados em uma ordem aleatória. Os tempos médios de secagem das duas

amostras são 121x1 minutos e 112x2 minutos, respectivamente. Quais as conclusões que o

idealizador de produtos pode tirar sobre a eficiência do novo ingrediente, usando

= 0,05?


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Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas

Se 21 xx forem as médias de duas amostras aleatórias independentes de tamanhos 1n e 2n ,

provenientes de populações com variâncias conhecidas 21 e2

2 , respectivamente, então um

intervalo de confiança de %1100 para 21 é:

2

2

2

1

2

12/2121

2

2

2

1

2

12/21

nnzxx

nnzxx

sendo2/

z o ponto percentual superior /2 da distribuição normal padrão.

Limites Unilaterais

Limites unilaterais de confiança para 1-2 podem também ser obtidos. Um limite superior de

confiança de 100(1-)% para 1-2 é:

Limite Unilateral Superior de Confiança

2

2

2

1

2

1

2121nn

zxx

e um limite inferior de confiança de 100(1-)% é:

Limite Unilateral Inferior de Confiança

21

2

2

2

1

2

1

21nn

zxx


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Testes de resistência à tração foram feitos em dois tipos diferentes de estruturas de alumínio.

Essas estruturas foram usadas na fabricação das asas de um avião comercial. De experiências

passadas com o processo de fabricação dessas estruturas e com o procedimento de testes, osdesvios-padrão das resistências à tração são considerados conhecidos. Os dados obtidos são os

seguintes: 10n1 ; 6,87x1 ; 11 ; 12n2 ; 5,74x2 ; 5,12 . Existe alguma evidência de

que a resistência média da estrutura 1 realmente excede a resistência média da estrutura 2?


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Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas e Iguais

Hipótese Nula: 0210 :H

Estatística de Teste:

21

p

021

0

n

1

n

1S

XXT

Hipóteses Alternativas Valor P Critério de Rejeição para

Testes com Níveis Fixos

0211 :H Probabilidade acima de 0t e

probabilidade abaixo de 0t

2nn,2/0 21tt ou 2nn,2/0 21tt

0211 :H Probabilidade acima de 0t 2nn,0 21tt

0211 :H Probabilidade abaixo de 0t 2nn,0 21tt

Onde Sp é o Estimador Combinado de σ e dado por:

2nn

S)1n(S)1n(S

21

2

22

2

11p


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Dois catalisadoresestão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento

médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está correntemente em uso,

mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado,desde que não mude o rendimento do processo. Um teste é feito em uma planta piloto,

resultando nos dados mostrados na Tabela abaixo. Há alguma diferença entre os rendimentos

médios? Use = 0,05 e considere variâncias iguais.

Número da Observação Catalisador 1 Catalisador 2

1 91,50 89,19

2 94,18 90,95

3 92,18 90,46

4 95,39 93,21

5 91,79 97,19

6 89,07 97,04

7 94,72 91,07

8 89,21 92,75

255,92x1 733,92x1

39,2s1 98,2s2


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Estatística de Teste para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas e

Consideradas Não Iguais

Se H0: 1 – 2 = 0 for verdadeira, então a estatística

2

2

2

1

2

1

021*

n

S

n

S

XXT

0

será distribuída aproximadamente como t, com graus de liberdade dados por:

1n

n/s

1n

n/sn

s

n

s

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

Se não for um número inteiro, arredonde para o menor inteiro mais próximo.


A concentração de arsênio em suprimentos públicos de água potável é um risco potencial de

saúde. Um artigo no jornal Arizona Republic (Domingo, 27 de Maio de 2001) reportou as

concentrações, em partes por bilhão (ppb), de arsênio em água potável para 10 comunidades

metropolitanas de Fênix e 10 comunidades rurais do Arizona. Eis os dados:


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Fênix Metropolitana – PHX

)63,7s;5,12x( 11

Arizona Rural – AZ Rural

)3,15s;5,27x( 22

Fênix, 3 Rimrock, 48

Chandler, 7 Goodyear, 44Gilbert, 25 New River, 40

Glendale, 10 Apache Junction, 38

Mesa, 15 Buckeye, 33

Paradise Valley, 6 Nogales, 21

Peoria, 12 Black Canyon City, 20

Scottsdale, 25 Sedona, 12

Tempe, 15 Payson, 1

Sun City, 7 Casa Grande, 18

Há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre as comunidades

metropolitanas de Fênix e as comunidades rurais do Arizona?


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