Inferncia Estatstica
1 - IntroduoDiversos problemas da Engenharia e outras cincias
requerem que decidamos entre aceitar ou rejeitar uma afirmao acerca
de algum parmetro. Essa afirmao chamada de hiptese e o procedimento
de tomada de deciso sobre a hiptese chamado de teste de hipteses.
Para se realizar um teste de hiptese estatstica, retira-se uma
amostra da populao em estudo, com base nessa amostra e utilizando
um estimador no tendencioso do parmetro toma-se a deciso de
rejeitar ou aceitar a afirmao. De uma forma geral, a estrutura do
teste de hipteses :
(i) H0: = 0 (ou ) H1: < 0
(2) H0: = 0 (ou ) H0: > 0
(3) H0: = 0 H1: 0
Nessa estrutura, H0 chamado de hiptese nula e H1 chamada de
hiptese alternativa. Em (i), temos o teste unilateral esquerdo, que
ir testar desvios no parmetro que sejam inferiores ao valor a ser
testado. Em (ii), temos o teste unilateral direito, que ir testar
desvios no parmetro que sejam superiores ao valor a ser testado. Em
(iii), temos o teste bilateral, que testa diferenas no parmetro em
ambos os lados. Um conceito importante a ser definido o nvel de
significncia , que utilizado para se definir as regies de aceitao e
rejeio do teste de hipteses. O valor mais utilizado 5%, que o valor
a ser utilizado nesse curso. Outro importante conceito o P-value
(ou Valor P) que o menor nvel de significncia que conduz rejeio da
hiptese nula H0 com os dados fornecidos. Quando uma estimativa de
um parmetro no fornece informao suficiente interessante fazermos o
intervalo de confiana para um parmetro.
2 - Inferncia Estatstica para uma nica Amostra 2.1 - Inferncia
Estatstica sobre a MdiaSabemos que a mdia amostral um estimador no
tendencioso da mdia populacional , assim de posse de uma amostra,
deve-se calcular o valor da mdia amostral para se testar hipteses
sobre a mdia populacional.
2.1.1 - Uso da Distribuio NormalPara utilizar-se a distribuio
normal considera-se que a populao de origem seja normalmente
distribuda, ou que as condies do Teorema Central do Limite sejam
satisfeitas. Assim, a distribuio da mdia amostral aproximadamente
normal, com mdia e varincia 2/n. De acordo com a estrutura
apresentada anteriormente, podemos testar as seguintes hipteses:
(2)H0: = 0 (ou ) (3)H0: = 0 (1)H0: = 0 (ou ) H1 : < 0 H1: > 0
H1: 0 A estatstica de testes a ser utilizada :
Adotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos as seguintes
regies crticas: - Para o Teste Unilateral Esquerdo, a regio crtica
ser: Rc = {Z < - 1,645}; - Para o Teste Unilateral Direito, a
regio crtica ser: Rc = {Z > 1,645 }; - Para o Teste Bilateral, a
regio crtica sera: Rc = {Z> 1,96}.
(1) (2) (3) Figura 1 Grficos da estatstica de teste, com suas
respectivas regies crticas Se o valor observado da Estatstica de
Teste pertencer regio crtica, deve-se rejeitar a hiptese nula H0,
caso contrrio no rejeita-se a hiptese nula H0. A tomada de deciso
tambm pode ser feita utilizando-se o P-value: - rejeita-se a
hiptese nula se: P-value - no rejeita-se a hiptese nula se: P-value
> Para o teste bilateral teremos o seguinte intervalo de
confiana:
EXEMPLO 1 Proposta: Testar a mdia de uma populao, quando o
desvio padro da populao for conhecido. Problema: Considere que uma
indstria compra de um certo fabricante, pinos cuja resistncia mdia
ruptura especificada em 12 kgf (valor nominal da especificao). Em
um determinado dia, a indstria recebeu um grande lote de pinos e a
equipe tcnica da industria deseja verificar se o lote atende s
especifies. Considere o desvio padro como igual 4 e que a
resistncia ruptura normalmente distribuda. Adote um nvel de
significncia de 5%. Tem-se interesse em testar as seguintes
hipteses: H0: = 12 H1: 12 A regio crtica ser: Rc = {Z> 1,96}.
Ferramentas: 1-Sample Z
Fonte de dados: TH-1.mpj 1-SAMPLE Z 1. Abra o arquivo TH-1 2.
Selecione Static > Basic Statics > 1-Sample Z 3. Preencha o
quadro de acordo a figura seguinte:
4. Clique em OK SADA DO MINITABOne-Sample Z: Resistncia Mdia
Ruptura; Resistncia Mdia Ruptura Test of mu = 12 vs not = 12 The
assumed standard deviation = 4 Variable N P Resistncia Mdia 22
0,083 Mean 13,4773 StDev 3,1954 SE Mean 0,8528 95% CI (11,8058;
15,1487) Z 1,73
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Assim, vemos que a estatstica de
teste observada foi igual a 1,73. Esse valor encontrado no pertence
regio crtica, logo no rejeitamos a hiptese nula H0 e rejeitamos a
hiptese alternativa H1.
Tambm podemos utilizar o P-value para interpretar os resultados:
nesse caso, obtivemos um P-value igual a 0,083, que maior que o
nvel de significncia adotado (0,05). Logo no rejeitamos a hiptese
nula H0. CONCLUSO H evidncias estatsticas para considerarmos que a
resistncia mdia ruptura dos pinos produzidos pelo fabricante seja
realmente igual a 12, assim esses pinos esto dentro das
especificaes estabelecidas.
INTERVALO DE CONFIANA De acordo com a sada do MINITAB 14, temos
o seguinte Intervalo de Confiana: IC(; 0,95) = (11,8058; 15,1487) A
interpretao que temos 95% de chances de encontrarmos valores de
resistncia ruptura dentro do Intervalo de Confiana acima. Como o
Intervalo de Confiana acima contm o 12, podemos concluir ento que a
resistncia mdia ruptura dos pinos produzidos pelo fabricante seja
realmente igual a 12.
2.1.2 Uso da Distribuio T-StudentUtilizar-se a distribuio
T-Student quando o desvio-padro desconhecido e o tamanho da amostra
menor que 30. Se a populao for normalmente distribuda, podemos
utilizar o desvio-padro amostral s para estimar o desvio-padro
populacional . De acordo com a estrutura apresentada anteriormente,
podemos testar as seguintes hipteses: (1)H0: = 0 (ou ) H1 : < 0
(2)H0: = 0 (ou ) H1: > 0 (3)H0: = 0 H1: 0
A estatstica de testes a ser utilizada :
Adotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos as seguintes
regies crticas: - Para o Teste Unilateral Esquerdo, a regio crtica
ser: Rc = {T < - t 0,05; n-1}; - Para o Teste Unilateral
Direito, a regio crtica ser: Rc = {T > t 0,05; n-1}; - Para o
Teste Bilateral, a regio crtica sera: Rc = {T> t 0,025;
n-1}.
(i)
(ii)
(iii)
Figura 2 Grficos da estatstica de teste, com suas respectivas
regies crticas Se o valor observado da Estatstica de Teste
pertencer regio crtica, deve-se rejeitar a hiptese nula H0, caso
contrrio no rejeita-se a hiptese nula H0. A tomada de deciso tambm
pode ser feita utilizando-se o P-value: - rejeita-se a hiptese nula
se: P-value - no rejeita-se a hiptese nula se: P-value > Para o
teste bilateral teremos o seguinte intervalo de confiana:
EXEMPLO 2Proposta: Testar a mdia da populao, quando o desvio
padro da populao for desconhecido (no importando o tamanho da
amostra).
Problema: O exemplo o mesmo anterior, s que agora o desvio-padro
no conhecido. Tem-se interesse em testar as seguintes hipteses: H0:
= 12 H1: 12 A regio crtica ser: Rc = {T> t 0,025; 21} => Rc =
{T> 2,08}. Ferramentas 1-Sample T Fonte de dados: TH-1.mpj
1-SAMPLE T
1. Abra o arquivo TH-1 2. Selecione Static > Basic Statics
> 1-Sample T 3. Preencha o quadro de acordo a figura
seguinte:
4. Clique em OK SADA DO MINITABOne-Sample T: Resistncia Mdia
RupturaTest of mu = 12 vs not = 12 Variable N Resistncia Mdia 22
Mean 13,4773 StDev 3,1954 SE Mean 0,6813 95% CI (12,0605; 14,8940)
T 2,17 P 0,042
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Assim, vemos que a estatstica de
teste observada foi igual a 2,17. Esse valor encontrado pertence
regio crtica, logo rejeitamos a hiptese nula H0 e no rejeitamos a
hiptese alternativa H1. Tambm podemos utilizar o P-value para
interpretar os resultados: nesse caso, obtivemos um P-value igual a
0,042, que menor que o nvel de significncia adotado (0,05), logo
rejeitamos a hiptese nula H0. CONCLUSO
H evidncias estatsticas fortes para considerarmos que a
resistncia mdia ruptura dos pinos produzidos pelo fabricante seja
diferente de 12, assim esses pinos no esto dentro das especificaes
estabelecidas. UTILIZANDO O INTERVALO DE CONFIANA De acordo com a
sada do MINITAB 14, temos o seguinte Intervalo de Confiana: IC(;
0,95) = (12,0605; 14,8940) A interpretao que temos 95% de chances
de encontrarmos valores de resistncia ruptura dentro do Intervalo
de Confiana acima. Como o Intervalo de Confiana acima no contm o
12, podemos concluir ento que a resistncia mdia ruptura dos pinos
produzidos pelo fabricante no seja igual a 12. Como o intervalo de
confiana est um pouco acima do 12, podemos considerar que o valor
da resistncia mdia ruptura desses pinos seja superior ao valor
especificado.
2.2 - Inferncia sobre a Proporo de uma PopulaoFreqentemente,
necessrio testar hipteses e construir intervalos de confiana para a
proporo de uma populao. Se o nmero de sucessos e o nmero de
fracassos forem pelo menos iguais a 5, a distribuio de amostragem
de uma proporo ir seguir aproximadamente uma normal. As hipteses a
serem testadas so: (1)H0: p = p0 (ou ) H1: p < p0 (2)H0: p = p0
(ou ) H1: p > p0 (3) H0: p = p0 H1: p p0
Nesse caso, a estatstica de testes a ser utilizada :
Adotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos as seguintes
regies crticas: - Para o Teste Unilateral Esquerdo, a regio crtica
ser: Rc = {Z < - 1,645}; - Para o Teste Unilateral Direito, a
regio crtica ser: Rc = {Z > 1,645 }; - Para o Teste Bilateral, a
regio crtica sera: Rc = {Z> 1,96}. Se o valor observado da
Estatstica de Teste pertencer regio crtica, deve-se rejeitar a
hiptese nula H0, caso contrrio no rejeita-se a hiptese nula H0. A
tomada de deciso tambm pode ser feita utilizando-se o P-value: -
rejeita-se a hiptese nula se: P-value - no rejeita-se a hiptese
nula se: P-value > Para o teste bilateral teremos o seguinte
intervalo de confiana:
EXEMPLO 3Proposta: Testar a proporo de uma populao. Problema: Um
fabricante de semicondutores produz controladores usados em
aplicaes no motor de automveis. O consumidor requer que a frao
defeituosa em uma etapa crtica de fabricao no exceda 0,05 e que o
fabricante demonstre uma capacidade de processo nesse nvel de
qualidade, usando um nvel de significncia de 5%. O fabricante dos
semicondutores retira uma amostra aleatria de 200 aparelhos e
encontra que 4 deles so defeituosos. O fabricante pode demonstrar
uma capacidade de processo para o consumidor? Tem-se interesse em
testar as seguintes hipteses: Temos a seguinte Hiptese: H0: p =
0,05 H1: p Basic Statics > 1-Proportion; 3. Preencha o quadro de
acordo a figura seguinte:
4. Clique em Options; 5. Preencha o quadro de acordo a figura
seguinte:
6. Clique em OK; SADA DO MINITABTest and CI for One
ProportionTest of p = 0,05 vs p < 0,05
Sample
X
N
Sample p
95% Upper Bound
Z-Value
P-Value
1
4
200
0,020000
0,036283
-1,95
0,026
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Assim, vemos que a estatstica de
teste observada foi igual a -1,95. Esse valor encontrado pertence
regio crtica, logo rejeitamos a hiptese nula H0 e no rejeitamos a
hiptese alternativa H1. Obtivemos um P-value igual a 0,026, que
menor que o nvel de significncia adotado (0,05), logo rejeitamos a
hiptese nula H0 e no rejeitamos a hiptese alternativa H1. CONCLUSO
H evidncias estatsticas fortes para considerarmos que proporo
defeituosa do processo menor que 0,05. Assim o fabricante de
semicondutores demonstra uma capacidade de processo no nvel de
qualidade requerida pelo seu consumidor. UTILIZANDO O INTERVALO DE
CONFIANA De acordo com a sada do MINITAB 14, temos o seguinte
Intervalo de Confiana: IC(; 0,95) = ( 0,036283) A interpretao que
temos 95% de chances de encontrarmos propores de controladores que
sejam no mximo iguais a 0,036283.
2.3 - Teste de NormalidadeEm muitos casos importante testarmos a
normalidade da populao estudada. Nos teste anteriores, fazamos a
suposio de normalidade. Para o teste de Normalidade, as hipteses a
serem testadas so: Ho: X aproximadamente normal X ~ N(, 2) H1: A
Populao X no normalmente distribuda No MINITAB 14, podemos plotar
um grfico de Normalidade, se os pontos estiverem bem alinhados,
pode-se considerar que a populao seja normalmente distribuda. Esse
julgamento subjetivo, podendo se tambm calcular o valor de 3
diferentes Estatsticas de Teste: Anderson-Darling, Ryan-Joiner e
Kolmogorov-Smirnov. A tomada de deciso tambm feita utilizando-se o
P-value: - rejeita-se a hiptese nula se: P-value - no rejeita-se a
hiptese nula se: P-value >
EXEMPLO 4Proposta:
Problema: Teste se a Resistncia Media Ruptura normalmente
distribuda. Ferramentas: Normality Test Probability Plot
Fonte de dados: TH-1.mpj NORMALITY TEST 1. Abra o MINITAB 14 2.
Selecione Static > Basic Statics > Normality Test 3. Preencha
o quadro de acordo a figura seguinte:
4. Clique em OK SADA DO MINITAB
Grfico de Normalidade para a Resistncia Mdia RupturaNormal99
Mean StDev N KS P-Value 13,71 3,554 22 0,085 >0,150
95 90 80
Percent
70 60 50 40 30 20 10 5
1
5,0
7,5
10,0 12,5 15,0 17,5 Resistncia Mdia Ruptura
20,0
22,5
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Obtivemos um P-value ligeiramente
inferior a 0,15, que maior que o nvel de significncia adotado
(0,05), logo rejeitamos a hiptese nula H0 e no rejeitamos a hiptese
alternativa H1. CONCLUSO H evidncias estatsticas para se aceditar a
Resistncia Ruptura dos pinos seja normalmente distribuda.
3 - Inferncia Estatstica para uma Duas AmostrasAgora iremos
expandir os resultados anteriormente obtidos para comparaes entre
duas populaes independentes.
3.1 - Inferncia Sobre Diferena de MdiasNo MINITAB 14, temos
apenas 2 aplicaes: quando as varincias so desconhecidas e iguais e
quando as varincias so desconhecidas e diferentes. Devemos
considerar que as 2 populaes de interesse sejam normalmente
distribudas e independentes.
3.1.1 - Inferncia Sobre Diferena de Mdias com Varincias
Desconhecidas e Iguais= .2
Nesse caso, necessrio supor que as varincias das duas populaes
sejam iguais 12 = 22 De acordo com a estrutura apresentada
anteriormente, podemos testar as seguintes hipteses:
(1)H0: 1 2 = 0 (ou ) H1: 1 2 < 0
(2) H0:1 2 = 0 (ou ) H1: 1 2 = 0
(3) H0: 1 2 = 0 H1: 1 2 0
A estatstica de testes a ser utilizada :
ondeAdotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos as
seguintes regies crticas: - Para o Teste Unilateral Esquerdo, a
regio crtica ser: Rc = {T < - t 0,05; n+m-2}; - Para o Teste
Unilateral Direito, a regio crtica ser: Rc = {T > t 0,05;
n+m-2}; - Para o Teste Bilateral, a regio crtica sera: Rc = {T>
t 0,025; n+m-2}. Se o valor observado da Estatstica de Teste
pertencer regio crtica, deve-se rejeitar a hiptese nula H0, caso
contrrio no rejeita-se a hiptese nula H0. A tomada de deciso tambm
pode ser feita utilizando-se o P-value: - rejeita-se a hiptese nula
se: P-value - no rejeita-se a hiptese nula se: P-value > Para o
teste bilateral teremos o seguinte intervalo de confiana:
EXEMPLO 5Proposta: Testar a diferena entre as mdias de duas
poluaes. Problema: Dois catalisadores esto sendo analisados para
determinar como eles afetam o rendimento mdio de um processo
qumico. Especificamente, o catalisador 1 est correntemente um uso,
mas o catalisador 2 aceitvel. J que o catalisador 2 mais barato,
ele deve ser adotado se no alterar o rendimento do processo. Um
teste feito em uma planta piloto. H alguma diferena entre os
rendimentos mdios? Considere as varincias iguais. Nesse caso, as
hipteses a serem testadas so: H0: 1 2 = 0 H1: 1 2 0 H0: 1 = 2 H1: 1
2
A regio crtica ser: Rc = {T> t 0,025; 14} => Rc = {T>
2,145}. Ferramentas: 2-Sample T Fonte de dados: TH2.mpj 2-SAMPLE
T
1. Abra o arquivo TH-2 2. Selecione Static > Basic Statics
> 2-Sample T 3. Preencha o quadro de acordo a figura
seguinte:
4. Clique em OK SADA DO MINITABTwo-Sample T-Test and CI:
Catalisador 1; Catalisador 2Two-sample T for Catalisador 1 vs
Catalisador 2 N 8 8 Mean 92,26 92,73 StDev 2,39 2,98 SE Mean 0,84
1,1
Catalisador 1 Catalisador 2
Difference = mu (Catalisador 1) - mu (Catalisador 2) Estimate
for difference: -0,477500 95% CI for difference: (-3,373886;
2,418886) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0,35 Both
use Pooled StDev = 2,7009
P-Value = 0,729
DF = 14
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Assim, vemos que a estatstica de
teste observada foi igual a -0,35. Esse valor encontrado no
pertence regio crtica, logo no rejeitamos a hiptese nula H0 e
rejeitamos a hiptese alternativa H1.
Tambm podemos utilizar o P-value para interpretar os resultados:
nesse caso, obtivemos um P-value igual a 0,729, que maior que o
nvel de significncia adotado (0,05), logo no rejeitamos a hiptese
nula H0. CONCLUSO H evidncias estatsticas fortes para considerarmos
que o catalisador 2 no altere o rendimento mdio do processo qumico,
assim seu rendimento pode ser considerado como igual ao rendimento
mdio do catalisador 1. Logo, por ser mais barato, o catalisador 2
pode substituir o catalisador 1 nessa indstria. UTILIZANDO O
INTERVALO DE CONFIANA De acordo com a sada do MINITAB 14, temos o
seguinte Intervalo de Confiana: IC(1 2; 0,95) = (-3,373886;
2,418886) A interpretao que temos 95% de chances de encontrarmos
diferenas entre o rendimento dos catalisadores no processo qumico
que se encontrem dentro do intervalo de confiana acima calculado.
Como o Intervalo de Confiana acima contm o 0, podemos concluir os
rendimentos do processo qumico utilizando ambos catalisadores seja
aproximadamente iguais.
3.1.1 - Inferncia Sobre Diferena de Mdias com Varincias
Desconhecidas e DiferentesNesse caso, necessrio supor que as
varincias das duas populaes sejam iguais 12 22. De acordo com a
estrutura apresentada anteriormente, podemos testar as seguintes
hipteses: (1)H0: 1 2 = 0 (ou ) H1: 1 2 < 0 (2) H0:1 2 = 0 (ou )
H1: 1 2 = 0 (3) H0: 1 2 = 0 H1: 1 2 0
A estatstica de testes a ser utilizada :
ondeAdotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos as
seguintes regies crticas: - Para o Teste Unilateral Esquerdo, a
regio crtica ser: Rc = {T < - t 0,05; }; - Para o Teste
Unilateral Direito, a regio crtica ser: Rc = {T > t 0,05; }; -
Para o Teste Bilateral, a regio crtica sera: Rc = {T> t 0,025;
}. Se o valor observado da Estatstica de Teste pertencer regio
crtica, deve-se rejeitar a hiptese nula H0, caso contrrio no
rejeita-se a hiptese nula H0.
A tomada de deciso tambm pode ser feita utilizando-se o P-value:
- rejeita-se a hiptese nula se: P-value - no rejeita-se a hiptese
nula se: P-value > Para o teste bilateral teremos o seguinte
intervalo de confiana:
EXEMPLO 6Proposta: Problema: Considere o exemplo anterior, mas
agora temos varincias diferentes. Nesse caso, as hipteses a serem
testadas so: H0: 1 2 = 0 H0: 1 = 2 H1: 1 2 0 H1: 1 2 A regio crtica
ser: Rc = {T> t 0,025; 13} => Rc = {T> 2,16}. Ferramentas
2-Sample T Fonte de dados: TH-2.mpj 2 SAMPLE T 1. Abra o arquivo
TH-2; 2. Selecione Static > Basic Statics > 2-Sample T; 3.
Preencha o quadro de acordo a figura seguinte:
4. Clique em OK SADA DO MINITABTwo-Sample T-Test and CI:
Catalisador 1; Catalisador 2Two-sample T for Catalisador 1 vs
Catalisador 2 N 8 8 Mean 92,26 92,73 StDev 2,39 2,98 SE Mean 0,84
1,1
Catalisador 1 Catalisador 2
Difference = mu (Catalisador 1) - mu (Catalisador 2) Estimate
for difference: -0,477500 95% CI for difference: (-3,394928;
2,439928) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0,35
P-Value = 0,729
DF = 13
INTERPRETAO DOS RESULTADOS
Assim, vemos que a estatstica de teste observada foi igual a
-0,35. Esse valor encontrado no pertence regio crtica, logo no
rejeitamos a hiptese nula H0 e rejeitamos a hiptese alternativa H1.
Tambm podemos utilizar o P-value para interpretar os resultados:
nesse caso, obtivemos um P-value igual a 0,729, que maior que o
nvel de significncia adotado (0,05), logo no rejeitamos a hiptese
nula H0. Concluso
H evidncias estatsticas fortes para considerarmos que o
catalisador 2 no altere o rendimento mdio do processo qumico, assim
seu rendimento pode ser considerado como igual ao rendimento mdio
do catalisador 1. Logo, por ser mais barato, o catalisador 2 pode
substituir o catalisador 1 nessa indstria. UTILIZANDO O INTERVALO
DE CONFIANA De acordo com a sada do MINITAB 14, temos o seguinte
Intervalo de Confiana: IC(1 2; 0,95) = (-3,394928; 2,439928) A
interpretao que temos 95% de chances de encontrarmos diferenas
entre o rendimento dos catalisadores no processo qumico que se
encontrem dentro do intervalo de confiana acima calculado. Como o
Intervalo de Confiana acima contm o 0, podemos concluir os
rendimentos do processo qumico utilizando ambos catalisadores seja
aproximadamente iguais.
3.2 - Teste t Emparelhado um caso especial de testes t para duas
amostras onde X e Y so variveis que representam a primeira e a
segunda medio de uma caracterstica de interesse. Nesse caso,
espera-se que exista alguma correlao entre essas duas medies. Para
cada par de medies deve-se calcular a diferena entre as Y e X: Di =
Yi - Xi Supe-se que Di ~ N(D, D2), onde D = Y X e D2 a varincia de
Di (desconhecida). (1)H0: D = 0 (ou ) H1: D < 0 Que equivale a:
(1)H0: Y X = 0 (ou ) H1: Y X < 0 A estatstica de teste utilizada
: (2) H0: D = 0 (ou ) H1: D = 0 (2) H0: Y X = 0 (ou ) H1: Y X = 0
(3) H0: D = 0 H1: D 0 (3) H0: Y X = 0 H1: Y X 0
Adotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos as seguintes
regies crticas: - Para o Teste Unilateral Esquerdo, a regio crtica
ser: Rc = {T < - t 0,05; n-1}; - Para o Teste Unilateral
Direito, a regio crtica ser: Rc = {T > t 0,05; n-1}; - Para o
Teste Bilateral, a regio crtica sera: Rc = {T> t 0,025; n-1}. Se
o valor observado da Estatstica de Teste pertencer regio crtica,
deve-se rejeitar a hiptese nula H0, caso contrrio no rejeita-se a
hiptese nula H0. A tomada de deciso tambm pode ser feita
utilizando-se o P-value: - rejeita-se a hiptese nula se: P-value -
no rejeita-se a hiptese nula se: P-value > Para o teste
bilateral teremos o seguinte intervalo de confiana:
EXEMPLO 7Proposta: Testar a diferena entre as mdias de duas
populaes, quando as populaes forem dependentes. Problema: Um artigo
no Journal of Strain Analysis (1983, Vol.18, N2) compara vrios
mtodos para predizer a resistncia de cisalhamento para traves
planas metlicas. Dados para dois desses mtodos, os procedimentos de
Karlsruhe e Lehigh, quando aplicados a nove traves especficas, so
mostrados a seguir. Considere os dados como normalmente
distribudos. Nesse caso, as hipteses a serem testadas so: H0: K L =
0 H0: D = 0 H1: K L 0 H1: D 0 A regio crtica ser: Rc = {T> t
0,025; 8} => Rc = {T> 2,306}. Ferramentas Paired t Arquivo de
dados: TH-3.mpj PAIRED T 1. Abra o arquivo TH-3; 2. Selecione
Static > Basic Statics > Paired t; 3. Preencha o quadro de
acordo a figura seguinte:
4. Clique em OK;
SADA DO MINITABPaired T-Test and CI: Mtodo de Karlsruhe; Mtodo
de LehighPaired T for Mtodo de Karlsruhe - Mtodo de Lehigh N 9 9 9
Mean 1,34011 1,06622 0,273889 StDev 0,14603 0,04938 0,135099 SE
Mean 0,04868 0,01646 0,045033
Mtodo de Karlsr Mtodo de Lehigh Difference
95% CI for mean difference: (0,170042; 0,377736) T-Test of mean
difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 6,08
P-Value = 0,000
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Assim, vemos que a estatstica de
teste observada foi igual a 6,08. Esse valor encontrado pertence
regio crtica, logo rejeitamos a hiptese nula H0 e no rejeitamos a
hiptese alternativa H1. Tambm podemos utilizar o P-value para
interpretar os resultados: nesse caso, obtivemos um P-value
aproximadamente igual a 0, que menor que o nvel de significncia
adotado (0,05), logo rejeitamos a hiptese nula H0. CONCLUSO No h
evidncias estatsticas para considerarmos que dois os mtodos de
previso da resistncia no forneam resultados iguais. Os dados
indicam que o mtodo de Karlsruhe produz, em mdia, previses maiores
para a resistncia do que o mtodo de Lehigh. UTILIZANDO O INTERVALO
DE CONFIANA De acordo com a sada do MINITAB 14, temos o seguinte
Intervalo de Confiana: IC(D; 0,95) = (0,170042; 0,377736) A
interpretao que temos 95% de chances de encontrarmos diferenas nas
previses da resistncia dos que se encontrem dentro do intervalo de
confiana acima calculado. Como o Intervalo de Confiana acima no
contm o 0, podemos concluir que as previses de resistncia
utilizando os 2 mtodos so diferentes. Como o intervalo positivo,
conclumos que o mtodo de Karlsruhe produz, em mdia, previses
maiores para a resistncia do que o mtodo de Lehigh.
3.3 - Inferncia sobre as Varincias de Duas Populaes
NormaisDevemos supor que as duas populaes de origem sejam normais e
independentes distribudas, com mdias 1 e 2, com varincias 12 e 22.
De acordo com a estrutura apresentada anteriormente, podemos testar
as seguintes hipteses: H0: 12 = 22 H1: 12 22 H0: 12/ 22 = 1 H1: 12/
22 1
A estatstica de testes a ser utilizada :
Adotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos a seguinte
regio crtica: - Rc = { F > f 0,025; n 1; m -1 ou F < f 0,975;
n 1; m -1}.
Figura 3 Grficos da estatstica de teste, com suas respectivas
regies crticas Se o valor observado da Estatstica de Teste
pertencer regio crtica, deve-se rejeitar a hiptese nula H0, caso
contrrio no rejeita-se a hiptese nula H0. A tomada de deciso tambm
pode ser feita utilizando-se o P-value: - rejeita-se a hiptese nula
se: P-value - no rejeita-se a hiptese nula se: P-value > Para o
teste bilateral teremos o seguinte intervalo de confiana:
Onde
EXEMPLO 8Proposta: Problema: Considere os exemplos 6 e 7, agora
iremos testar se as varincias dos rendimentos ao se utilizar os
catalisadores 1 e 2 so iguais. Adote um nvel de 5% de significncia.
Nesse caso, as hipteses a serem testadas so: H0: 12 = 22 H1: 12 22
A regio crtica ser: Rc = { F < f 0,975; 7; 7 ou F > f 0,025;
7; 7 }. H0: 12/ 22 = 1 H1: 12/ 22 1
Rc = { F < 0,200204 ou F> 4,994909 } Ferramentas 2
Variances Fontes de dados: TH-2.mpj 2 VARIANCES 1. Abra o arquivo
TH-2 2. Selecione Static > Basic Statics > 2 Variances 3.
Preencha o quadro de acordo a figura seguinte:
4. Clique em Options 5.Preencha o quadro de acordo com a figura
seguinte
6. Clique em OK
SADA DO MINITABTest for Equal Variances: Catalisador 1;
Catalisador 295% Bonferroni confidence intervals for standard
deviations N 8 8 Lower 1,49210 1,86648 StDev 2,38502 2,98345 Upper
5,46285 6,83355
Catalisador 1 Catalisador 2
F-Test (normal distribution) Test statistic = 0,64; p-value =
0,569
Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic =
0,31; p-value = 0,589
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Assim, vemos que a estatstica de
teste observada foi igual a 0,64. Esse valor encontrado no pertence
regio crtica, logo no rejeitamos a hiptese nula H0 e rejeitamos a
hiptese alternativa H1. Tambm podemos utilizar o P-value para
interpretar os resultados: nesse caso, obtivemos um Pvalue igual a
0,569, que maior que o nvel de significncia adotado (0,05), logo no
rejeitamos a hiptese nula H0. CONCLUSO H evidncias estatsticas para
considerarmos as varincias dos rendimentos do processo utilizando
os catalisadores 1 e 2 sejam iguais. UTILIZANDO O INTERVALO DE
CONFIANA
Analisando o grfico dos intervalos de confiana para os
catalisadores 1 e 2, podemos ver que o ponto central do intervalo
de confiana do catalisador 1 est dentro dos limites do intervalo de
confiana do catalisador 2 e vice-versa, logo, podemos considerar
que as varincias dos catalisadores 1 e 2 sejam iguais.
3.3 Inferncia sobre Propores de Duas PopulaesFreqentemente,
necessrio comparar propores de duas populaes distintas, onde h 2
parmetros binomiais de interesse: p1 e p2. Para amostras grandes,
podemos fazer a aproximao da binomial pela normal. As hipteses a
serem testadas so: (2)H0: p1 - p2 = 0 (ou ) (1)H0: p1 - p2 = 0 (ou
) H1: p1 - p2 < 0 H1: p1 - p2 > 0 Nesse caso, a estatstica de
testes a ser utilizada : (3) H0: p1 - p2 = 0 H1: p1 - p2 0
Onde Adotando-se um nvel de significncia de 5%, teremos as
seguintes regies crticas: - Para o Teste Unilateral Esquerdo, a
regio crtica ser: Rc = {Z < - 1,645}; - Para o Teste Unilateral
Direito, a regio crtica ser: Rc = {Z > 1,645 }; - Para o Teste
Bilateral, a regio crtica sera: Rc = {Z> 1,96}. Se o valor
observado da Estatstica de Teste pertencer regio crtica, deve-se
rejeitar a hiptese nula H0, caso contrrio no rejeita-se a hiptese
nula H0. A tomada de deciso tambm pode ser feita utilizando-se o
P-value: - rejeita-se a hiptese nula se: P-value - no rejeita-se a
hiptese nula se: P-value > O Intervalo de confiana no caso
bilateral ser:
EXEMPLO 9Proposta: Problema: Dois tipos diferentes de soluo de
polimento esto sendo avaliados para possvel uso em uma operao de
polimento na fabricao de lentes intra-oculares usadas no olho
humano depois de uma operao de catarata. Trezentas lentes foram
polidas usando a primeira soluo de polimento e desse nmero, 235 no
tiveram defeitos induzidos pelo polimento. Outras 300 lentes foram
polidas, usando a segunda soluo depolimento, sendo 196 lentes
consideradas satisfatria. H qualquer razo para acreditar que a
primeira soluo de polimento seja melhor que a segunda? Adote =0,05.
Tem-se interesse em testar as seguintes hipteses: Temos a seguinte
Hiptese: H0: p1 - p2 = 0 H0: p1 = p2 H1: p1 - p2 > 0 H1: p1 >
p2 A regio crtica ser: Rc = { Z < 1,645} Ferramentas
2-Proportion Fonte de dados:
2 PROPORCION 1. Abra o MINITAB 14; 2. Selecione Static >
Basic Statics > 2-Proportion 3. Preencha o quadro de acordo a
figura seguinte:
4. Clique em Options; 5. Preencha o quadro de acordo a figura
seguinte:
6. Clique em OK
SADA DO MINITABTest and CI for Two ProportionsSample 1 2 X 253
196 N 300 300 Sample p 0,843333 0,653333
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: 0,19 95%
lower bound for difference: 0,133131 Test for difference = 0 (vs
> 0): Z = 5,36
P-Value = 0,000
INTERPRETAO DOS RESULTADOS Assim, vemos que a estatstica de
teste observada foi igual a 5,36. Esse valor encontrado pertence
regio crtica, logo rejeitamos a hiptese nula H0 e no rejeitamos a
hiptese alternativa H1. Obtivemos um P-value igual a 0,000, que
menor que o nvel de significncia adotado (0,05), logo rejeitamos a
hiptese nula H0 e no rejeitamos a hiptese alternativa H1. CONCLUSO
H evidncias estatsticas fortes para considerarmos que a primeira
soluo tenha um desempenho superior ao da segunda lente. A proporo
de lentes sem defeitos que foram polidas com a primeira soluo maior
que a proporo de lentes sem defeitos polidas com a segunda soluo.
UTILIZANDO O INTERVALO DE CONFIANA De acordo com a sada do MINITAB
14, temos o seguinte Intervalo de Confiana: IC(p1 p2; 0,95) = (
0,133131)
A interpretao que temos 95% de chances de encontrarmos diferenas
entre a proporo de lentes sem defeitos utilizando a primeira soluo
e a utilizando a segunda soluo sejam no mnimo iguais a
0,133131.
