INFLUÊNCIA DO TIPO DE NORMALIZAÇÃO NA OTIMIZAÇÃO DE

INFLUÊNCIA DO TIPO DE

NORMALIZAÇÃO NA OTIMIZAÇÃO DE

MODELOS WEIGHTED GOAL

PROGRAMMING: O CASO DO BAHREIN

hanser jimenez

[email protected]

CRISTIANO ALEXANDRE CAVALCANTE

[email protected]

Na programação por metas (GP), os pesos atribuídos aos critérios

precisam passar por um processo de normalização, com a finalidade

de alinhar a solução com as metas propostas, através da minimização

de uma função única (aglutinada) global de desvios. A literatura

confirma que alguns autores não aplicam normalização de pesos em

modelos weighted goal programming (WPG), e por tanto

desconsideram o efeito de fatores como inconsistência dimensional,

magnitude do nível de aspiração e dos coeficientes tecnológicos. Isto

traz como consequência soluções subótimas de problemas

multiobjetivo. Neste artigo é feita uma comparação de três tipos de

normalização a traves de um estudo de caso, para determinar o efeito

da normalização sobre o processo de otimização de modelos WPG. Os

resultados confirmam que o tipo de normalização aplicada tem efeito

sobre a solução encontrada no processo de otimização, mostrando que

a normalização percentual e combinada representam de uma forma

mais adequada as preferências e a atitude do decisor, ao considerar o

efeito do nível de aspiração na busca do melhor compromisso entre as

metas. Por outra parte, a normalização euclidiana e não normalização

mostraram ser inadequados, ao estabelecer ponderações ingênuas

(naive setting) aos desvios em relação ao seu nível de aspiração.

Palavras-chave: weighted goal programming, níveis de aspiração,

Normalização, desvios das metas, naive setting

XXXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

“A Engenharia de Produção e suas contribuições para o desenvolvimento do Brasil”

Maceió, Alagoas, Brasil, 16 a 19 de outubro de 2018.




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1. Introdução

A programação multiobjetivo (MOP) é uma área da Pesquisa Operacional que envolve a

otimização simultânea de funções objetivo normalmente conflitantes. Uma subárea da MOP

agrupa as técnicas baseadas em distância métrica, onde a distância entre a solução ideal ou

desejada e soluções que são factíveis é minimizada (JONES, 2011). Dentro deste grupo

encontra-se a programação de objetivos (GP), originalmente proposta por Charnes & Cooper

(1961), e desenvolvido por Lee (1972), Ignizio (1985), Tamiz; Jones; Romero (1998) e

Romero (2001), entre outros (FLAVELL, 1976; VITORIANO, 1999; CHANG, 2002).

Destaca-se que GP é uma técnica importante para os decisores (DMs) por considerar

simultaneamente vários objetivos na busca de um conjunto de soluções aceitáveis. Por várias

razões, como robustez, flexibilidade matemática e a possibilidade de introduzir muitas

restrições do sistema, pode-se dizer que GP tem sido, e ainda é, a técnica mais utilizada para

resolver problemas de decisão MOP (DHAHRI; CHABCHOUB, 2007; CHANG, 2007;

JOLAI et al., 2011). Em virtude disso, tal técnica é largamente aplicada a muitos problemas

de contabilidade, agricultura, economia, engenharia, transporte, finanças, gestão, no contexto

internacional e marketing (SCHNIEDERJANS, 1995; LAI; HWANG, 1994)

Dentro do campo de Decisão Multicritério; geralmente, atribui-se pesos a cada critério, que

representam algum tipo de informação ordinal ou cardinal sobre a importância dos critérios.

Tais pesos são geralmente estabelecidos subjetivamente com base nas experiências ou

opiniões dos especialistas (PAVLAČKA, 2014).

A esse respeito, evidencia-se a importância dos pesos passarem por um processo de

normalização, com a finalidade de se evitar alguns inconvenientes no processo de otimização,

tais como inconsistência dimensional na soma de desvios e a atribuição de pesos extra a

alguns critérios, e alinhar melhor o objetivo atingido (solução) com a meta proposta (JADIDI;

ZOLFAGHARI; CAVALIERI, 2014; ROMERO, 1991; SILVAA; MARINSB, 2015).

No contexto de goal programming, Romero (1991); Kluyver (1979); Widhelm, (1981); Jones

& Tamiz (2010); e Nakayama (1984) propuseram várias estratégias de normalização. Quais

sejam: normalização percentual, euclidiana, de soma zero-um, entre outras. Destaca-se que

cada estratégia de normalização apresenta vantagens e desvantagens em relação ao processo

de aglutinação na minimização de desvios.




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De forma mais particular, vários autores identificam um comportamento peculiar em modelos

WGP (Weighted Goal Programming) sem normalização dos pesos. Ustun & Demirtas (2008),

por exemplo, definiram uma função de realização aditiva combinando meta goal

programming (MGP) e WGP para resolver problemas multiobjetivo (MO). Jolai et al., (2011)

propuseram um modelo de programação linear inteira mista integrado para SSP (supplier

selection problem) e alocação de pedidos. Esses autores usaram WGP para resolver tal

modelo, minimizando de forma simultânea, os desvios ponderados em relação aos objetivos.

Em cada um desses estudos, identificou-se objetivos cujos desvios ponderados eram

dominados por outros desvios. Assim, evidencia-se que os modelos foram tendenciosos para

alguns objetivos, enquanto negligenciavam outros. Esse fenômeno evidencia uma das

principais críticas à eficiência de Goal programming.

De forma mais detalhada, Romero (1991) aponta que a qualidade da solução depende não só

da eficiência do método, mas também da habilidade do modelador. Desta forma, um mal

entendimento do problema ou uma modelagem incorreta em relação a atitude do decisor

(variáveis de desvio), metas redundantes, níveis de aspiração surreais ou normalização

aplicada aos pesos, podem resultar em soluções subótimas.

Nesse cenário, a revisão da literatura confirma que a otimização de modelos WGP, em muitos

casos, é feita sem considerar o efeito da não normalização dos pesos dos desvios sobre o

processo de otimização (CHOUDHARY & SHANKAR, 2014; DEMIRCI & BETTINGER,

2015; HISJAM et al., 2015; JAYARAMAN et al., 2017), e em outros casos, aplicando-se o

tipo de normalização percentual (FOOKS & MESSER, 2012; ZOGRAFIDOU et al., 2017) de

forma predefinida na formulação WGP.

Assim, para aplicar-se qualquer tipo de normalização na modelagem goal programming, é

necessário considerar em detalhe as limitações da abordagem adotada, assim como a natureza

do modelo em relação a magnitude dos níveis de aspiração, dimensões das metas e magnitude

de coeficientes tecnológicos, fatores que, segundo Romero (1991), tem influência sobre o

processo de otimização.

Na próxima secção, será apresentada a forma geral de um modelo WGP e os principais tipos

de normalização. Mais tarde, elas serão comparados através de um estudo de caso com a

finalidade de determinar seu efeito sobre o processo de otimização.




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2. Modelo

2.1. Modelo geral

O modelo explorado nesse artigo, conforme anteriormente anunciado, é o WGP. A variante de

programação de metas ponderadas (por vezes denominada programação de objetivos não-

preferenciais) permite compensações diretas entre todas as variáveis desviacionais

indesejadas, colocando-as em uma função ponderada e normalizada de realização única

(JONES & TAMIZ, 2010). Uma vez assumida linearidade da função de realização, pode-se

representar a programação de metas lineares ponderadas pela seguinte formulação:

𝑀𝑖𝑛 ∑(𝛼𝑖𝑛𝑖

𝑘𝑖+

𝛽𝑖𝑝𝑖

𝑘𝑖)

𝑚

𝑖=1

(1)

Sujeito a:

𝑓𝑖(𝑥) + 𝑛𝑖 − 𝑝𝑖 = 𝑏𝑖 𝑖 = 1, . . . . , 𝑚

𝑥 𝜖 𝐶𝑠

𝑥 ≥ 0, 𝑛𝑖 ≥ 0, 𝑝𝑖 ≥ 0 i = 1, . . . . , m

onde ni é a i-ésima variável de desvio negativa, αi é o fator de ponderação para a variável

desviacional negativa i, pi é a i-ésima variável desviacional positiva, βi é o fator de

ponderação para a variável desviacional positiva i, ki é o fator de normalização para a variável

desviacional i, x é o vetor das variáveis de decisão, fi(x) é a i-ésima função objetivo, bi é o i-

ésimo nivel de aspiracão, Cs é um conjunto de restrições rígidas que podem existir no modelo.

2.2. Tipos de normalização

O propósito de qualquer formulação GP é, em certo sentido, minimizar e/ou equiparar os

desvios das metas insatisfeitas. Para que isto ocorra, é necessário que cada desvio seja

geometricamente a distância ortogonal da distância correspondente ao objetivo hiperplano.

Eis aqui a finalidade da normalização: estabelecer uma escala associada às variáveis, para

garantir que o valor numérico da distância ortogonal seja analiticamente o valor da variável de

desvio positiva ou negativa na meta, conforme apropriado (WIDHELM, 1981). Com este




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procedimento, também se evita a influência de certos fatores no processo de otimização, como

colocado na seção introdutória.

A seguir são apresentados os tipos de normalização que serão comparados neste artigo. Para

um maior aprofundamento do leitor, recomenda-se consultar Romero (1991).

Normalização percentual: esta é a forma mais intuitiva e simples de normalizar os pesos,

expressando os desvios de forma relativa. Na função de minimização (equação 1), o

parâmetro ki, estaria definido por:

𝑘𝑖 = 𝑏𝑖 (2)

Onde, ki é o fator de normalização para a variável desviacional i, e bi é o i-ésimo nível de

aspiração.

Normalização euclidiana: esta abordagem procura associar a mesma mensuração de distância

euclidiana a cada variável de desvio, ajustando cada meta a normas euclidianas.

𝑘𝑖 = (∑ 𝑎𝑗𝑖2

𝑛

𝑖=1

)

1/2

(3)

Onde, ki é o fator de normalização para a variável desviacional i, e 𝑎𝑗𝑖2 é o coeficiente da

meta i, da função f(x), na equação 1.

Normalização combinada: esta abordagem é uma combinação da normalização percentual e

euclidiana, que procura solucionar suas desvantagens, ponderando o efeito conjunto dos

níveis de aspiração e os coeficientes dos objetivos.

𝑘𝑖 = 𝑏𝑖 (∑ 𝑎𝑗𝑖2

𝑛

𝑖=1

)

1/2

(4)

Onde bi é o i-ésimo nível de aspiração, e 𝑎𝑗𝑖2 é o coeficiente da meta i, da função f(x), na

equação 1.

3. Estudo de caso

Para determinar a influência do tipo de normalização sobre o processo de otimização de

modelos WGP, foi analisado um estudo de caso existente na literatura, a partir do qual se

estabeleceu um modelo de otimização, comparando-se, para tanto, a aplicação da

normalização percentual, euclidiana e combinada, e o modelo sem normalização, através das

variáveis de desvio. A pesar do autor ter estabelecido um modelo goal programming para o




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problema de sustentabilidade do Bahrain, neste artigo foi proposto um modelo WGP a partir

dos dados do autor a fim de ilustrar a comparação dos tipos de normalização.

3.1. O caso do Bahrain

Este estudo de caso está baseado em dados e previsões apresentados por Jayaraman (2017),

referente aos membros do Conselho de Cooperação do Golfo. A seguir, apresentam-se dados

históricos per capita de desenvolvimento econômico (tabela 1), consumo de eletricidade

(tabela 2), emissões de gases de efeito estufa (tabela 3), e número total de funcionários (tabela

4) do Bahrein, em termos da contribuição de oito setores econômicos.

Tabela 1-Produto interno bruto per capita

(referência de 2012)

Setor Produto

interno bruto

Agricultura 0.06285

Petróleo cru, gás natural e

mineração

0.23323

Fabricação e eletricidade 0.05118

Construção e imobiliária 0.01739

Comercio e transporte 0.02089

Restaurantes e hotéis 0.04577

Serviços bancários e financeiros 0.30844

Serviços governamentais, sociais

e personalizados

0.02656

Fonte: Adaptado de Jayaraman (2017)

Tabela 2-Consumo de eletricidade per capita


Setor Consumo de

eletricidade (Gwh)

Agricultura 0.03688


mineração

0.00505





Serviços bancários e

financeiros

0.30233

Serviços governamentais,

sociais e personalizados

0.02721


Tabela 3-Emissões de gás de efeito estufa per capita


Setor Emissões GEE (Ggr

CO2 equivalente)

Agricultura 0.02138


mineração

0.42291






financeiros

0.15673



0.01349


Tabela 4-Número de empregados


Setor Número de

empregados

Agricultura 1,418


mineração

26,948

Fabricação e eletricidade 89,156

Construção e imobiliária 185,668

Comercio e transporte 163,034

Restaurantes e hotéis 36,995


financeiros

16,371



194,364


Tabela 5-Metas estimadas para o ano 2030

Critério Número de

empregados

PIB 64347(5%)

Número de empregados 1337222(3.5%)

Consumo de eletricidade 90552(7.8%)

Emissões GEE 59237(3.3%)


A tabela 5 apresenta a previsão feita por Jayaraman (2017) de metas que o Bahrein deve

atingir ao final do ano 2030. De posse das taxas de crescimento correspondentes aos quatro

critérios, baseados em dados históricos, consultados no WORLD BANK, International Energy

Agency (IEA) e United Nations Framework Convention on Climate Change (UNFCCC),

pode-se estabelecer um modelo de goal programming para determinar a alocação ótima de

mão-de-obra em vários setores econômicos, com a finalidade de satisfazer simultaneamente o

consumo de energia, o crescimento econômico, o desenvolvimento trabalhista e a redução das

emissões de gases de efeito estufa no Bahrein.

Para isso, considerou-se que todas as metas têm a mesma importância para o decisor, e que

tanto os desvios negativos quanto os positivos são indesejáveis; a partir dessas considerações

o seguinte modelo WGP com a forma Mixed Integer Linear Programming foi estabelecido:

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 (𝐷11 + 𝐷12) + (𝐷21 + 𝐷22) + (𝐷31 + 𝐷32) + (𝐷41 + 𝐷42) (5)

Sujeito a:

Restrição GDP:

0.06285𝑋1 + 0.23323𝑋2 + 0.05118𝑋3 + 0.01739𝑋4 + 0.02089𝑋5 + 0.04577𝑋6

+ 0.30844𝑋7 + 0.02656𝑋8 + 𝐷11 + 𝐷12 = 64347

(6)

Restrição consumo de eletricidade:

0.03688𝑋1 + 0.00505𝑋2 + 0.05018𝑋3 + 0.03949𝑋4 + 0.02047𝑋5 + 0.04483𝑋6

+ 0.30233𝑋7 + 0.02721𝑋8 + 𝐷21 + 𝐷22 = 90552

(7)

Restrição emissão GEE:

0.02138𝑋1 + 0.42291𝑋2 + 0.09047𝑋3 + 0.02858𝑋4 + 0.01375𝑋5 + 0.02213𝑋6

+ 0.15673𝑋7 + 0.01349𝑋8 + 𝐷31 + 𝐷32 = 59237

(8)

Restrição número de empregados:

0.02138𝑋1 + 0.42291𝑋2 + 0.09047𝑋3 + 0.02858𝑋4 + 0.01375𝑋5 + 0.02213𝑋6

+ 0.15673𝑋7 + 0.01349𝑋8 + 𝐷41 + 𝐷42 = 1337222

(9)

𝑋1 ≥ 1418; 𝑋2 ≥ 26948; 𝑋3 ≥ 89156; 𝑋4 ≥ 185668; 𝑋5 ≥ 163034; 𝑋6 ≥ 36995; 𝑋7

≥ 16371; 𝑋8 ≥ 194364;

𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4, 𝑋5, 𝑋6, 𝑋7, 𝑋8 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜

𝐷11 ≥ 0; 𝐷12 ≥ 0; 𝐷21 ≥ 0; 𝐷22 ≥ 0; 𝐷31 ≥ 0; 𝐷32 ≥ 0; 𝐷41 ≥ 0; 𝐷42 ≥ 0

Onde Xi representa o número de empregados em cada setor econômico. Sendo X1 =

agricultura X2 = Petróleo cru, gás natural e mineração X3 = fabricação e eletricidade, X4 =




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Construção e imobiliária, X5 = Comercio e transporte, X6 = Restaurantes e Hotéis, X7 =

Serviços bancários e financeiros e X8 = serviços governamentais, sociais e personalizados.

D11, D12, D21, D22, D31, D32, D41 e D42, por sua vez, representam os desvios positivos e

negativos em relação a cada meta de sustentabilidade.

O modelo foi solucionado considerando a não normalização dos pesos, a normalização

percentual, normalização euclidiana e normalização combinada, previamente descritas.

4. Resultados e interpretação

O modelo WPG foi solucionado usando o software de otimização WinQsb 2.0©. Os resultados

sumarizados são apresentados na tabela 6.

Para analisar de forma objetiva os resultados da tabela 6, os desvios foram expressos de forma

percentual (tabela 7).

Tabela 6-Resultados do modelo WGP

Variável

Sem normalização Percentual Euclidiano Combinado

Valor Custo

reduzido Valor

Custo

reduzido Valor

Custo

reduzido Valor

Custo

reduzido

X1 1.418,00 0 1.418,00 0 1.418,00 0 1.418,00 0

X2 26.948,00 0 26.948,00 0 26.948,00 0 26.948,00 0

X3 89.156,00 0 89.156,00 0 89.156,00 0 89.156,00 0

X4 725.548,00 0 609.738,00 0 725.553,00 0 609.737,00 0

X5 163.034,00 0 163.034,00 0 163.034,00 0 163.038,00 -0,01

X6 37.001,01 0 165.590,00 0 36.995,00 0 165.591,00 0

X7 99.752,99 0 86.937,01 0 99.754,00 0,17 86.937,00 0,16

X8 194.364,00 0 194.401,00 0 194.364,00 0 194.397,00 0

D11 0 1,47 0 0 0 5,01 0 4,24

D12 0 0,53 0 0 0,12 0 0 3,53

D21 17.311,67 0 19.911,18 0 17.311,44 0 19.911,21 0

D22 0 2 0 0 0 6,32 0 0,7

D31 0 2 0 0 0 4,33 0 4,82

D32 2.541,16 0 0 0 2.541,34 0 0 2,48

D41 0 1 0 0 0 0,37 0,01 0

D42 0 1 0,01 0 0 0,34 0 0,05

Fonte: Esta pesquisa (2018)




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Na tabela 7, observa-se que a meta de consumo de energia apresenta um desvio negativo

(D21). Este valor é menor no modelo sem normalização e com normalização euclidiana

(19,1179 % e 19,1176 %, respectivamente) em relação aos modelos percentual e combinado

(21,9886% e 21,9887%, respectivamente).

Tabela 7-Desvios em forma percentual

Variável

Sem normalização Percentual Euclidiano Combinado

Valor (%) Valor (%) Valor (%) Valor (%)

D11 0 0 0 0

D12 0 0 0 0

D21 19,1179 21,9886 19,1176 21,9887

D22 0 0 0 0

D31 0 0 0 0

D32 4,2898 0 4,29012 0

D41 0 0 0 7,478E-07

D42 0 7,478E-07 0 0

Fonte: Esta pesquisa (2018)

Tal resultado é, aparentemente, bom dado que implica uma melhor satisfação da meta de

consumo de energia; contudo, nota-se que a meta de emissão de GEE apresenta um desvio

positivo (D32) maior no modelo sem normalizar e no modelo com normalização euclidiana

(4,2898% e 4,2901%, respectivamente) em relação ao modelo percentual e combinado (0% e

0%, respectivamente). Segundo Romero (1991), isso pode acontecer porque as duas primeiras

abordagens, não consideram a magnitude do nível de aspiração das metas na mensuração dos

desvios, tendendo a satisfazer de uma forma ingênua (naive Setting) as metas com níveis de

aspiração mais altos (metas 2 e 4), castigando as metas com níveis de aspiração mais baixos

(metas 1 e 3), em outras palavras, quando as metas tem valores numéricos de níveis de

aspiração muito diferentes, as metas com valores mais altos, recebem um peso extra artificial,

que não reflete as preferências do decisor. Ainda segundo Romero (1991), quando é aplicada




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normalização euclidiana, ou não é aplicado nenhum tipo de normalização aos pesos, a função

de minimização agrega desvios em diferentes unidades, trazendo como consequência falta de

significado da função objetivo.

Este fenômeno também foi demostrado por Jolai et al. (2011) e Ustun & Demirtas (2008),

quês concluíram que um modelo WGP sem normalização, não garante que os objetivos

atingidos sejam consistentes com os pesos. Já os modelos com ponderação percentual e

combinado parecem representar de forma mais adequada a atitude do decisor, uma vez que

consideram o efeito do nível de aspiração na normalização dos desvios (ROMERO, 1991). O

efeito disso pode ser observado com a determinação do desvio D21, maior, permitindo, assim,

um melhor compromisso das metas 1 e 3, com desvios D32 e D12 menores, demonstrando

também a prioridade extra que foi dada a este desvio nas normalizações já discutidas.

A limitação da normalização percentual e combinada, por sua vez, repousa no fato de que os

valores numéricos dos desvios do modelo não têm uma correspondência de um para um com a

distância geométrica da solução. Portanto, a função de minimização de desvios é uma

aproximação para encontrar a solução (ROMERO, 1991).

Além disso, a normalização combinada além de considerar o efeito do nível de aspiração,

também considera o efeito dos coeficientes tecnológicos de cada objetivo. Contudo, no caso

do Bahrein parece que o efeito na solução não é significativo, pois a solução é próxima a

encontrada com a normalização percentual. Isso pode ser confirmado ao observar a escala e as

magnitudes dos coeficientes tecnológicos das equações 6-9.

Assim, o compromisso estabelecido pelos modelos percentual e combinado poderiam ser mais

adequados para o problema de sustentabilidade do Bahrein, pois representam melhor a atitude

do decisor. Algumas dessas duas soluções cumprem as metas de emissão de GEE, bem como

o atendimento do aumento do PIB e do nível de emprego. A meta de consumo de energia

apresenta um desvio negativo D21=19.911,18 Gwh, o que significa que a energia consumida

será 22% a menos em relação à atual previsão de consumo para 2030. Este consumo de

energia é o melhor compromisso em relação ao nível de aspiração desejado, e garante não só

que o Bahrain diminua seu consumo de energia, mas que também se beneficie do consumo

interno da energia que o próprio país produz.




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5. Conclusões e recomendações

Conforme se viu, o tipo de normalização aplicada sobre os pesos dos desvios tem influência

no processo de otimização e, portanto, é necessário considerar o tipo de normalização usada,

de acordo com as limitações e características do problema.

Apesar das limitações de cada tipo de normalização, a normalização percentual e a combinada

demostraram representar de uma forma mais adequada as preferencias e a atitude do decisor,

ao considerar o efeito do nível de aspiração na busca do melhor compromisso entre as metas.

Por outro lado, a normalização euclidiana e a não normalização, demostraram ser inadequadas

para modelos goal programming, ao estabelecer ponderações ingênuas (Naive Setting) aos

desvios em relação ao seu nível de aspiração.

Além disso, para casos em que os coeficientes tecnológicos apresentam diferenças

significativas entre objetivos, é recomendada a utilização da normalização combinada, pois

segundo alguns autores, a magnitude destes coeficientes tem um efeito sobre a solução

encontrada.

Ademais, considerando as limitações dos modelos com normalização percentual e combinada,

recomenda-se estabelecer uma normalização que além de incluir o efeito da magnitude do

nível de aspiração e dos coeficientes tecnológicos dos objetivos, permita estabelecer que os

desvios das metas correspondam exatamente à distância geométrica do objetivo com a

solução, de tal forma que melhores soluções possam ser encontradas.

Faz-se um agradecimento à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior) por possibilitar o desenvolvimento desta pesquisa.

Referências

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INFLUÊNCIA DO TIPO DE NORMALIZAÇÃO NA OTIMIZAÇÃO DE