Informática Teórica Engenharia da Computação. REDUTIBILIDADE Uma redução é uma maneira de converter um problema em outro Uma redução é uma maneira de

Informática Teórica Engenharia da Computação

REDUTIBILIDADE

Uma redução é uma maneira de converter um problema em outro

FORMA 1 - REDUTIBILIDADE

A B ( A se reduz a B)

Resolver A não pode ser mais difícil que resolver B

Se B for decidível A tb será.

Se A for indecidível, B tb será.

REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO

O método da história de computação é uma técnica importante para provar que AMT é redutível a certas linguagens.

Esse método é muito útil quando o problema a ser mostrado como indecidível envolve testar a existência de algo.

Por exemplo, a indecidibilidade do 10º problema de Hilbert: testar a existência de raízes inteiras em um polinômio.


A história de computação para uma MT sobre uma entrada é a seqüência de configurações pelas quais MT passa a medida em que ela processa a entrada.

Registro completo da computação de MT.


DEFINIÇÃO: Seja M uma MT e w uma cadeia de entrada. Uma história de computação de aceitação para M

sobre w é uma seqüência de configurações, C1, C2,...,Cl, onde:– C1 é a configuração inicial de M sobre w, – Cl é uma configuração de aceitação de M, e – Cada Ci segue de Ci-1 conforme as regras de M.

Uma história de computação de rejeição para M sobre w é definida similarmente, exceto que Cl é de rejeição.


Histórias de computação são seqüências finitas. Se M não para sobre w, nenhuma história de

computação de aceitação ou de rejeição existe para M sobre w.

MTs determinísticas têm no máximo uma história de computação sobre qualquer entrada.


DEFINIÇÃO: Um autômato linearmente limitado (ALL) é um tipo

restrito de MT na qual a cabeça de leitura-escrita não pode se mover para fora da parte da fita contendo a entrada.

Se a máquina tentar mover sua cabeça para além de qualquer das extremidades da entrada, a cabeça permanece onde está.


Um autômato linearmente limitado (ALL) é uma MT com uma quantidade limitada de memória.

Ele só pode resolver problemas que requerem memória que possa caber dentro da fita usada para a entrada. Usar um alfabeto de fita maior que o alfabeto de entrada permite que a memória disponível seja incrementada de no máximo um fator constante.

Logo, dizemos que para uma entrada de comprimento n, a quantidade de memória disponível é linear em n.


ALLs são poderosos. AAFD, AGLC, VAFD e VGLC são ALLs. Toda LLC pode ser decidida por um ALL

AALL é o problema de se determinar se um ALL aceita sua entrada. Muito embora AALL seja o mesmo que o problema indecidível AMT onde a MT é um ALL, podemos mostrar que AALL é decidível.

AALL = {<M,w> | M é um AALL que aceita a cadeia w}


LEMA: Seja M um ALL com q estados e g símbolos no

alfabeto da fita. Existem exatamente configurações distintas de M para uma fita de comprimento n, já que:– M tem q estados. – O comprimento de sua fita é n,

então a cabeça pode estar em uma das n posições,– e cadeias posíveis de símbolos de fita aparecem sobre a

fita.


TEOREMA: AALL é decidível. IDÉIA DA PROVA: Para decidir se a ALL M aceita a

entrada w, simulamos M sobre w. Durante a simulação, se M para e aceita ou rejeita, aceitamos ou rejeitamos. A dificuldade ocorre se M entra em loop sobre w.

Precisamos ser capazes de detectar a entrada em loop de modo que possamos parar e rejeitar.

A idéia de detectar quando M está em loop é que, à medida em que M computa sobre w, ela vai de configuração em configuração.


TEOREMA: IDÉIA DA PROVA: Se M repetir uma configuração ela

continuaria a repeti-la e estaria em loop. Em razão de M ser um ALL, a quantidade de fita

disponível para ela é limitada. Pelo Lema mostrado, M pode estar em apenas um número limitado de configurações sobre essa quantidade de fita.

Consequentemente, apenas uma quantidade limitada de tempo está disponível para M antes que ela entre em alguma configuração previamente visitada.

Detectar que M está em loop é possível simulando M pelo número de passos dado pelo Lema.

Se M não parou então, ela tem que estar em loop.

REDUTIBILIDADETEOREMA 5.9: AALL é decidível.

L é um decisor para AALL : L = Sobre a entrada <M,w> onde M é um ALL, e w é

uma cadeia:1. Simule m sobre w por passos ou até parar;2. Se M parou :

1. aceite se aceitou, e 2. rejeite se rejeitou.

3. Se não parou, rejeite.


O Teorema 5.9 mostra que ALLs e MTs diferem de uma maneira essencial: Para ALLs o problema da aceitação é decidível, mas para MTs não.

Entretanto, certos outros problemas envolvendo ALLs permanecem indecidíveis.

Um deles é o problema da vacuidade: VALL = {<M> | M é um ALL onde L(M) =∅}. Para provar que VALL é indecidível, damos uma

redução que usa o método da história de computação.


TEOREMA: VALL é indecidível. IDÉIA DA PROVA: Essa prova é por redução a partir

de AMT. Mostraremos que se VALL fosse decidível, AMT também seria.

Suponha que VALL seja decidível. Para uma MT M e uma entrada w podemos determinar

se M aceita w construindo um certo ALL B e então testar se L(B) é vazia.

A linguagem que B reconhece compreende todas as histórias de computação de aceitação para M sobre w.

REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃOVALL é indecidível.

Se M não aceita w, essa linguagem é vazia. Se pudermos determinar se a linguagem de B é vazia, podemos determinar se M aceita w.

Agora descrevemos como construir B a partir de M e w. Note que precisamos mostrar mais que a mera

existência de B. Temos que mostrar como uma MT pode obter uma

descrição de B, dadas descrições de M e w. Construímos B para aceitar sua entrada x se x é uma

história de computação de aceitação para M sobre w. Uma HC de aceitação é a sequência de configurações,

C1, C2,...,Ci pela qual M passa quando aceita w.

REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.

Esta HC pode ser vista como uma só cadeia:

Funcionamento: quando ALL B recebe uma entrada x, espera-se que B aceite se x for uma computação de aceitação para M sobre w.

Primeiro, B quebra x, conforme os delimitadores, em cadeias C1, C2,...,Ci.


Então B determina se Ci satisfaz às 3 condições de uma HC de aceitação:

1. C1 é a configuração inicial para M sobre w. 2. Cada Ci+1 legitimamente segue de Ci. 3. Ci é uma configuração de aceitação para M. A configuração inicial C1 para M sobre w é a cadeia

q0w1w2... wn. B tem essa cadeia diretamente embutida, de modo

que ela é capaz de verificar a primeira condição. Uma configuração de aceitação é aquela que contem

o estado de aceitação qaceita, portanto B pode verificar a 3ª condição procurando por qaceita em Ci.


A 2ª condição é a mais difícil de verificar. Para cada par de configurações adjacentes, B verifica

se Ci+1 segue de Ci. Esse passo envolve verificar que Ci e Ci+1 são idênticas exceto pelas posições sob e adjacentes à cabeça em Ci. Essas posições têm que ser atualizadas conforme a função de transição de M.

Então B verifica se a atualização foi feita apropriadamente zigue-zagueando entre posições correspondentes de Ci e Ci+1. Para manter o registro das posições correntes durante o zigue-zague, B marca a posição corrente com pontos sobre a fita.


Finalmente, se as condições 1, 2 e 3 são satisfeitas, B aceita sua entrada.

Note que o ALL B não é construído para rodar sobre alguma entrada. Construimos B apenas para alimentar uma descrição de B no decisor para VALL .

Uma vez que esse decisor retorne sua resposta podemos invertê-la para obter a resposta se M aceita w.

Portanto, poderíamos decidir AMT, uma contradição!


PROVA: Agora estamos prontos para enunciar a redução de AMT para VALL .

Suponha que MT R decide VALL . Construa MT S que decide AMT da seguinte forma:

S = “Sobre a entrada <M,w>, com M MT e w cadeia: 1. Construa o ALL B a partir de M e w conforme

descrito na idéia da prova. 2. Rode R sobre a entrada <B>. 3. Se R rejeita, aceite; se R aceita, rejeite.”


Se R aceita <B>, então L(B) =∅. Portanto, M não tem nenhuma HC de aceitação sobre

w e M não aceita w. Consequentemente, S rejeita <M,w>.

Similarmente, se R rejeita <B>, a linguagem de B é não-vazia. A única cadeia que B pode aceitar é uma HC de aceitação para M sobre w.

Portanto, M deve aceitar w. Consequentemente, S aceita <M,w>.


REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃOO PROBLEMA DE CORRESPONDÊNCIA DE POST (PCP)

Suponha uma coleção de dominós como a seguinte:

Isto seria então um emparelhamento:

...pois são iguais em cima e embaixo:

REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃOO PROBLEMA DE CORRESPONDÊNCIA DE POST (PCP)

Há coleções sem emparelhamento possível, e.g.:

Uma instância do PCP é uma coleção P de dominós:

Um emparelhamento para P é uma sequência i1,i2,...,ii, onde ti1,ti2,...,tii = bi, bi2,...,bii . O problema PCP é determinar se P tem um emparelhamento.

PCP = {<P>| P é uma instância de PCP com um emparelhamento}

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