Instituto Tecnológico da Aeronáutica 1 DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE Prof. Airton Nabarrete Aula 1: Introdução e Modelagem Dinâmica EST - 56

Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica 1

DINÂMICA DE ESTRUTURAS E

AEROELASTICIDADE

Prof. Airton Nabarrete

Aula 1: Introdução e Modelagem Dinâmica

EST - 56


Programa

1. Problemas em dinâmica de estruturas.

2. Modelagem analítica.

3. Modelagem matemática: Métodos Newtonianos Métodos Lagrangeanos


Problemas em dinâmica de estruturas

Ensaio em túnel de vento

Ensaio em vôoEnsaio em solo


Projeto de estruturas e análise dinâmica


MODELAGEM ANALÍTICA E MATEMÁTICA


Modelagem analítica e matemática

• Modelagem Analítica – Metodologias que permitem a opção por representação contínua ou discreta

• Modelagem Matemática - Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento

txxxFxKxCxM ,,,


Análise de Estruturas Dinâmicas

• Modelagem analítica

Está representada quando:

• Fazemos o desenho de uma estrutura no papel,

• Adotamos hipóteses simplificadoras como:

− estrutura unidimensional ou bidimensional,

− propriedades de inércia, rigidez, amortecimento, etc.,

− carregamento equivalente aplicado à estrutura.


representação contínua

• Modelagem Analítica – Metodologias com opção por representação contínua ou discreta

representações discretas

t = pneus v = veículo

w = roda r = piloto

s = suspensão

eq = equivalente



• Modelagem Analítica – Representação em sistemas de massas e molas.



Fenômenos energéticos

Características energética em componentes estruturaisMeios elásticos - Armazenam energia potencialMassas e inércias - Armazenam energia cinéticaAtritos - Dissipam energia

energia de vibração : energia potencial energia cinética

pode diminuir : atritos

pode aumentar : esforços atuantes



• Modelagem Matemática – Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento

txxxFxKxCxM ,,,

2ª lei de Newton . princípio de D'Alembert . princípio dos deslocamentos virtuais . princípio da conservação da energia . equações de Lagrange . princípio de Hamilton .



2ª Lei de Newton ( 1687 em Principia )

“Vista de um referencial inercial, a resultante das forças aplicadas ao centro de massa de um sistema é igual à variação temporal da quantidade de movimento linear do mesmo”.

linear : vmdtdp

dtdF

rotativo :

Mecânica Newtoniana

Idtdh

dtdM

sendo a massa constante, amF

IM


equilíbrio : amFFtF ck

equação final :


)(tFkxxcxm

considerando o oscilador protótipo :

2ª Lei de Newton


Princípio de d’Alembert (1743 por Jean Ronde D'Alembert)

“Qualquer sistema de forças e/ou momentos está em equilíbrio se adicionarmos às forças e/ou momentos as forças e/ou momentos de inércia.”

linear : vmdtdFi

rotativo :


IdtdM i

forças : 0 iFF

momentos : 0 iMM

permite reduzir problemas de dinâmica em problemas de estática.


equilíbrio : 0 cki FFFtF

equação final :


)(tFkxxcxm


Princípio de d’Alembert

Fi


Princípio dos deslocamentos virtuais: (1717 - Johann Bernoulli)

a = aplicada ; i = inérciaiat WWW

no caso do sistema protótipo: )( )( txFFFtFW kcit

Mecânica Lagrangeana

“Para qualquer deslocamento virtual de um sistema, o trabalho virtual de todas as forças aplicadas ao mesmo, incluindo as forças de inércia, deve ser igual a zero”.

0)( tx 0)( kci FFFtF



Princípio da conservação da energia:

P incorpora as forças dissipadas e forças externas aplicadas ao sistema.

“A variação temporal da energia mecânica de um sistema é igual à potência instantânea absorvida ou dissipada pelo sistema”.

PVTdtd

dtd

)( )()( txtxctFP

)(21 2 txmT )(

21 2 txkV no caso do sistema

protótipo:

0)( txtkxtxctxmtF


Equação de Lagrange:energia cinética: energia potencial elástica:

)(21 2 txmT )(

21 2 txkV

Lagrangeano: )(21)(

21 22 txktxmVTL

trabalho das forças não conservativas:


)()(

)()()(txtQ

txtxctFW

x


)()()()( tFtxktxctxm

)(tQxL

xL

dtd

x

)()()()( txctFtxktxmdtd


Equação de Lagrange:



Princípio de Hamilton (1834)

“A variação da integral da função Lagrangeana adicionada à integral do trabalho virtual das forças não-conservativas de um sistema entre dois instantes de tempo é nula, desde que as configurações inicial e final do sistema sejam prescritas.”


matematicamente :

02

1

2

1

t

t

t

tdtWdtL




Princípio de Hamilton

Fi

Aplicando a variação na primeira integral:



Integrando por partes o primeiro termo:

Princípio de Hamilton

Por fim:

Considerando estados prescritos,

0)()()()( txktxctxmtF


ao considerar oscilações em torno do equilíbrio,

e

Posição de Equilíbrio

Equilíbrio estático na modelagem matemática:2ª Lei de Newton ou Princípio de d’Alembert:

00

MF ou

tFFtxxKxCxM rere

txxtx re tFFtF re

do problema estático, 0 ee FxK


CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS


(quanto ao número de graus de liberdade)

Sistema discretos

Sistema distribuídos

métodos de ______discretização

Sistemas com um grau de liberdade

Sistemas com n grau de liberdade

análise ___________modal

Classificação de Sistemas Dinâmicos


Sistema Linear x Não Linear Elemento elástico discreto: Mola comercial

F

x

+

-

-+

Mola de comportamento linear:

xkF

F

x

+

-

-+

Mola de comportamento não linear:

33

221 xkxkxkF

F

x

F = Força atuante

x = Deformação


(quanto a linearidade)

sistema

linearvale princípio de superposição

sistema

não linear

• grandes deformações

• movimento de corpo rígido

• equação constitutiva



(quanto ao tipo de excitação)

excitação determinística

• transiente

• periódica

excitação aleatória

• harmônica

• periódica qualquer




• sistemas lineares

• uso de superposição

• soluções analíticas

• métodos numéricos

)()()()( tFtxktxctxm

• sistemas não lineares

• métodos numéricos

• métodos de perturbação

)(...)()(...)()()( 221

221 tFtxktxktxctxctxm

(quanto ao tipo de solução)


(técnicas de solução – sistemas lineares)

• problemas transientes

• transformada de Laplace

• método numérico

• problemas periódicos

• transformada de Fourier

• método numérico (estado estacionário)



MODELOS DISCRETOS


Mola ideal:

• armazena energia potencial elástica

• não tem massa

• não dissipa energia (sem histerese)

• linear

Equação constitutiva: lei de Hooke)(txkF

Elementos Ideais


Elementos Ideais

Estrutura axial como mola ideal:

E = Módulo de Elasticidade [N/m2]

A = Área da seção transversal [m2]

L = Comprimento inicial [m]

L

m

x

A, E

F (t)

E

m

kx

F (t)

xL

AEF L

AEk LxE

AF


Elementos Ideais

Estrutura sob flexão como mola ideal:

I = Momento de inércia da seção transv. [m4]

y = Deslocamento da flexão [m]

m

y

a L - a

EILaLPay

3)( 22

m

k

x

yaLa

EILP 22 )(3

22 )(3

aLaEILk


Massa ideal:

• armazena energia cinética

• rígida

Equação constitutiva: lei de Newton

(válida apenas em um referencial inercial)

)(txmF

Elementos Ideais


Elementos Ideais

Mola de compressão ideal (sem massa):

m

kz

d zL

x

u

xlzzu )(

2)(21 zudmdE molac

dzl

mdm mola

2

321)( xmE mola

molaC

dzlxz

lmE l mola

molac

0

2

21


Amortecedor ideal:

• dissipa energia

• não tem massa

• não tem rigidez

• viscosoEquação constitutiva: atrito viscoso

)(txcF

Elementos Ideais


Dissipadores de energia: atrito

• atrito viscoso

• atrito seco

• atrito aerodinâmico

• histerese (atrito sólido)

)(txcFat

NFat

Elementos Ideais


Componentes ideais:

Elementos Ideais

c x

mk Força Constante Energia ou

Potência

Molas )(txkF ]/[ mNk 2

21 xkV

Massa )(txmF ][kgm 2

21 xmT

Amortecimento )(txcF ]/[ mNsc 2

21 xcD


CASO DE APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA


Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade

Caso : Suspensão veicular de eixo rígido e diferencial

KHE KHD

y2

y1

ZE ZD

KE KDCE CD

KHC KHC

KVE KVD

x2

x1

a a

b b

c

e

d

massa do eixo(mE)

massa da carroceria(mC)


Aplicando equações de Lagrange :

Energia cinética: 21

21

21

22

22

22 2

121

21

21 EECC JyxmJyxmT

KHE KHD

y2

y1

ZE ZD

KE KDCE CD

KHC KHC

KVE KVD

x2

x1

a a

b b

c

e

d

massa do eixo(mE)




Energia potencial

21122

211

211

211

211

21122

21122

212

21

2121212121

cxexK

dxKdxK

ZbyK

ZbyK

ayayK

ayayKV

HC

HDHE

DVD

EVE

D

E

KHE KHD

y2

y1

ZE ZD

KE KDCE CD

KHC KHC

KVE KVD

x2

x1

a a

b b

c

e

d

massa do eixo(mE)




Função de dissipação

211222

1122 21

21 ayayCayayCD DE

KHE KHD

y2

y1

ZE ZD

KE KDCE CD

KHC KHC

KVE KVD

x2

x1

a a

b b

c

e

d

massa do eixo(mE)




Escrevendo as equações de Lagrange :

)(111

txQxL

xL

dtd

)(111

tyQyL

yL

dtd

)(111

tQLLdtd

)(222

txQxL

xL

dtd

)(222

tyQyL

yL

dtd

)(222

tQLLdtd

VTL



Para o grau de liberdade x1 :

Para os outros graus de liberdade:

1. Deriva-se equação de Lagrange para cada grau de liberdade

2. As equações podem estar acopladas

3. Resolve-se o sistema de equações diferenciais

)(111

txQxL

xL

dtd

02222 21211 HCHCHDHEHCHCHDHEE KeKcdKKxKxKKKxm



Exemplo :

000

0

22

22

00202202

22

2

2

00

2022

02

0000

000000000

00000000

000000000000000000000000000000

2

2

2

1

1

1

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

22

22

2

2

2

1

1

1

bZKZKZKZK

yx

yx

Ke

aKKaKKeK

ecKaKK

aKKeK

aKKKKaKKKKeKKcKK

ecKaKK

aKKcK

Kc

dKK

bKK

aKK

bKKaKK

cKdKK

aKKKKbKK

aKKKK

KK

eKKcK

dKKK

KK

yx

yx

aCCaCCaCCaCCaCCCCaCCCC

aCCaCCaCCaCCaCCCCaCCCC

yx

yx

Jm

mJ

mm

DVDEVE

DVDEVE

HC

DEDEHC

HC

DEDEHC

DEDEDEDE

HCHCHCHC

HC

DEDEHC

HC

HDHE

VDVE

DE

VDVE

DE

HC

HDHE

DEDEVDVE

DE

VDVE

DE

HCHCHC

HDHE

HC

HDHE

DEDEDEDE

DEDEDEDE

DEDEDEDE

DEDEDEDE

C

C

C

E

E

E



EXERCÍCIOS PROPOSTOS


Ex.1- Determinar a equação diferencial do movimento do modelo analítico abaixo considerando o método de energia conservativa:

Grau de liberdade:

Considerar:a. Massa do cabo nula,b. Momento de inércia JO = mL2 c. Pode haver grande deslocamento em .

Exercícios propostos

y

L - L cos( )

L

1

2

3

mg

O

m


c k1

k2l1

l2

O

xm

l3

PJb

Ex.2- Determinar as equações dinâmicas do modelo analítico considerando método Newtoniano:

Graus de liberdade: (barra) e xConsiderar:k1=150 N/m k2=200 N/m c =15 Ns/m m=1,5 kg Jb=0,35 kg.m2 l1=0,15 m , l2=0,25 m , l3=0,4 m

Obs.: Considerar vibração c/ pequeno deslocamento da barra.



Neste modelo, a coordenada x descreve o deslocamento do C.G. e o ângulo a rotação da aeronave no plano da figura. A aeronave possui massa de 5500 kg, momento de inércia de massa igual a 1200 kg.m e comprimento igual a 7,5 m. A mesma está apoiada em 2 trens de rodas (cada suspensão tem rigidez 245.000 N/m ). Na cauda da aeronave há um esforço vertical F(t)= 250 cos( t ) proveniente do motor de propulsão. Neste exercício, considerar pequeno deslocamento em Obs.: Distância do C.G. ao trem dianteiro = 3,5 m (à esquerda da figura) .

x

F(t)4,5 m

CG

k k


Ex.3 - O modelo analítico representa a vista lateral de uma aeronave sobre os trens de pouso.

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