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Interacção entre instabilidade local-de-placa e distorcional
em colunas de aço enformadas a frio de secção em Z
Carlos Eduardo Aniceto de Serra Barreta
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil
Júri Presidente: Prof. Fernando Manuel Fernandes Simões
Orientadores: Prof. Pedro Manuel de Castro Borges Dinis Prof. Dinar Reis Zamith Camotim
Vogal: Prof. João Carlos Gomes Rocha de Almeida
Junho de 2011
Resumo
Apresentam-se e discutem-se os resultados de um estudo sobre o comportamento de pós-
encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, de perfis de aço enformados a frio com
secção em Z, quando afectados por fenómenos de interacção entre modos de instabilidade
local-de-placa e distorcional. As análises geometrica e fisicamente não lineares são efectuadas
através do método dos elementos finitos, utilizando o programa ABAQUS e adoptando
elementos de casca para discretizar os perfis. As colunas analisadas (i) exibem secções
extremas articuladas (local e globalmente) e com empenamento livre, (ii) têm secções
transversais com dimensões que asseguram tensões críticas local-de-placa e distorcional com o
mesmo valor, e (iii) contém imperfeições geométricas com várias configurações (combinações
lineares dos modos local-de-placa e distorcional) e uma amplitude comum. Os resultados
numéricos apresentados consistem em (i) trajectórias de pós-encurvadura elásticas e elasto-
plásticas, (ii) curvas que descrevem o modo como a configuração deformada da coluna evolui
ao longo das trajectórias elásticas e (iii) figuras que mostram a evolução da deformação
plástica e as características do modo de colapso das colunas elasto-plásticas.
Palavras-chave
Colunas de aço enformadas a frio de secção em Z
Instabilidade local-de-placa e distorcional
Interacção modal
Pós-encurvadura elástica e elasto-plástica
Método dos elementos finitos
Abstract
One presents and discuss the results of a study on the behavior of post-buckling in elastic and
elastic-plastic, steel cold formed Z-section affected by phenomena of interaction between
local-plate/distortional buckling modes. All geometric and physically nonlinear analysis are
carried out by finite element method using the program ABAQUS and adopting shell elements
to discretize the columns. The analyzed columns (i) exhibit extreme articulated sections
(locally and globally) and are warp free, (ii) have cross sections with dimensions that provide
similar local-plate/distortional stress values (iii) contains geometric imperfections with various
configurations (linear combinations of local-plate/distortional modes) and a common
amplitude. The numerical results consist of (i) elastic and elastic-plastic post-buckling
trajectories, (ii) curves that describe how the deformed configuration of the column evolves
along the elastic trajectories and (iii) figures showing the plastic deformation evolution and the
elastic-plastic columns collapse mode characteristics.
Keywords
Cold formed steel Z-section columns
Local-plate and distortional buckling
Mode interaction
Elastic and elastic-plastic post-buckling
Finite element method
I
ÍNDICE Índice de Figuras.............................................................................................................................................................................III
Índice de Tabelas .......................................................................................................................................................................... VII
CAPÍTULO 1 ....................................................................................................................................................................................1
INTRODUÇÃO
1.1. Considerações gerais ........................................................................................................................................................1
1.2. Motivação e âmbito do trabalho .....................................................................................................................................4
1.3. Organização do trabalho ..................................................................................................................................................6
CAPÍTULO 2 ....................................................................................................................................................................................9
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
2.1. Introdução ..........................................................................................................................................................................9
2.2. Conceitos básicos..............................................................................................................................................................9
2.3. Análises de estabilidade.................................................................................................................................................14
2.4. Estabilidade de perfis metálicos de parede fina .........................................................................................................16
2.4.1. Instabilidade global e local............................................................................................................................................16
2.4.2. Interacção entre modos de instabilidade .....................................................................................................................20
2.5. Métodos de análise .........................................................................................................................................................22
CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................................................................................25
MODELAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS
3.1. Introdução ........................................................................................................................................................................25
3.2. Discretização do perfil ...................................................................................................................................................25
3.2.1. Escolha do elemento finito ............................................................................................................................................26
3.2.2. Definição da malha .........................................................................................................................................................29
3.3. Condições de apoio.........................................................................................................................................................29
3.4. Carregamento ..................................................................................................................................................................32
3.5. Imperfeições iniciais .......................................................................................................................................................34
3.6. Modelação do material...................................................................................................................................................35
3.7. Técnicas de resolução numérica ...................................................................................................................................37
3.8. Exemplos de validação ..................................................................................................................................................38
3.8.1. Análise linear de estabilidade .......................................................................................................................................39
3.8.2. Análise de pós-encurvadura ..........................................................................................................................................40
CAPÍTULO 4 ..................................................................................................................................................................................43
ANÁLISE DE PÓS-ENCURVADURA COM INTERACÇÃO MODAL
4.1. Introdução ........................................................................................................................................................................43
4.2. Selecção da geometria dos perfis .................................................................................................................................44
II
4.2.1 Estudos paramétricos ..................................................................................................................................................... 46
4.2.2 Escolha do perfil em interacção modal ...................................................................................................................... 49
4.2.3 Análise por elementos finitos do perfil seleccionado .............................................................................................. 51
4.3. Imperfeições geométricas in iciais ............................................................................................................................... 53
4.3.1 Simetria ............................................................................................................................................................................ 55
4.4. Análise de pós-encurvadura ......................................................................................................................................... 56
4.4.1 Pós-encurvadura em regime elástico .......................................................................................................................... 56
4.4.2 Pós-encurvadura em regime elasto-plástico .............................................................................................................. 63
CAPÍTULO 5.................................................................................................................................................................................. 69
CONSIDERAÇÕES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
Referências ...................................................................................................................................................................................... 73
III
Índice de Figuras
Figura 1.1 (a) Perfis de secção aberta e fechada, (b) painéis e (c) laminagem a
frio de elementos estruturais de aço enformados a frio. 2
Figura 1.2
Configurações dos modos de instabilidade de uma coluna simplesmente apoiada com secção em C: (a) local de placa, (b) distorcional, (c) flexão-torção e (d) flexão.
3
Figura 1.3
Configurações dos modos de instabilidade (a) local, (b) distorcional e (c) combinado (com interacção entre os modos local e distorcional) de uma coluna simplesmente apoiada com secção em
Z.
6
Figura 2.1 Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo [29].
10
Figura 2.2
Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a)
Comportamento simétrico estável, (b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento
assimétrico [29].
12
Figura 2.3 Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada [29].
12
Figura 2.4
Trajectórias de pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos.
Comportamento (a) simétrico estável, (b) simétrico instável e (c) assimétricos estável e instável [29].
13
Figura 2.5
Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme
[25]. 18
Figura 2.6
Exemplos de configurações deformadas de uma viga com secção em Z: (a) modo local (b) modo distorcional e (c) modo
“combinado” local/distorcional.
18
Figura 2.7
Curvas λb vs. L ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a) Interacção local/global, (b) interacção distorcional/global
e (c) interacção local/distorcional/global [25].
21
IV
Figura 2.8 Discretização de uma barra de secção em C (a) em elementos finitos de casca, (b) em faixas finitas [1].
24
Figura 3.1
(a) Elemento com quatro nós. Localização dos pontos de integração da parcela de corte dos elementos (b) S4 (integração completa), e
(c) S4R, S4R5 (integração reduzida).
26
Figura 3.2 Influência do elemento finito no valor da tensão crítica em colunas de secção (a) em C e Z e (b) em “Rack” [35].
28
Figura 3.3 Influência do elemento finito nas trajectórias de pós-encurvadura distorcional de coluna de secção em C [36].
28
Figura 3.4 Ilustração da diferença entre as rotações de flexão globais e locais [35].
30
Figura 3.5 Influência da concentração de tensões no valor da tensão crítica em colunas de secção em (a) C, (b) Z e (c) “Rack” [35].
32
Figura 3.6 Perfil em Z submetido à compressão uniforme. 33
Figura 3.7
Perfil em Z submetido à flexão uniforme. Modo de instabilidade e momento crítico associado a dois carregamentos estaticamente
equivalentes [25].
34
Figura 3.8 Curvas tensão-deformação para dois tipos de aço [42]. 36
Figura 3.9
Alguns modelos de comportamento mecânico adoptados para o aço: modelo (a) elástico linear, (b) elasto-plástico perfeito e (c) elasto-
plástico com endurecimento.
36
Figura 3.10 Trajectória de equilíbrio não linear genérica. 37
Figura 3.11 Modo de instabilidade dos perfis: (a) C e (b) Z [25]. 40
Figura 3.12 Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da coluna C. 41
Figura 3.13 Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da viga Z. 41
V
Figura 4.1
Variação da carga Pb de bifurcação com o comprimento L de colunas de secção em Z. Perfil com valores mínimos PL e PD (a)
diferentes ou (b) semelhantes.
46
Figura 4.2 (a) Dimensões da secção transversal com variação da alma e (b) curvas σb vs L.
47
Figura 4.3 (a) Dimensões da secção transversal com variação dos banzos e (b) curvas σb vs L.
47
Figura 4.4 (a) Dimensões da secção transversal com variação dos reforços e (b) curvas σb vs L.
48
Figura 4.5 (a) Dimensões da secção transversal com variação da espessura e (b) curvas σb vs L.
48
Figura 4.6
(a) Geometria da secção transversal do perfil seleccionado, (b)
curva σb vs. L e (c) configuração deformada da secção transversal referente a três modos de instabilidade das colunas: I-Modo local; II-Modo distorcional; III-Modo global (flexão).
50
Figura 4.7
Análise de estabilidade do perfil seleccionado. (a) Curva σb vs. L e (b) configuração do modo de instabilidade “acoplado”
local/distorcional.
52
Figura 4.8 Imperfeição geométrica inicial dos perfis. Factores de participação dos modos L e D.
54
Figura 4.9 Configuração das imperfeições geométricas iniciais “puras” da coluna Z: locais (θ= 90º e 270º) e distorcionais (θ=0º e 180º).
55
Figura 4.10
Trajectórias de equilíbrio (a) P/Pcr vs. v/t e (b) P/Pcr vs. w/t das colunas com imperfeições distorcionais “puras” (θ=0º) e locais
“puras” (θ=90º).
58
Figura 4.11 Configuração deformada da coluna com imperfeições iniciais definidas por (a) θ=0º e (b) θ=90º.
58
Figura 4.12
Pós-encurvadura de colunas de secção em C com imperfeições iniciais θ=0º, 90º, 180º e 270º. Trajectórias de equilíbrio (a) P/Pcr
vs. v/t e (b) P/Pcr vs. w/t [45].
59
Figura 4.13a Trajectórias de equilíbrio P/Pcr vs. v/t das colunas Z com imperfeições caracterizadas por 0º ≤ θ ≤ 90º.
60
VI
Figura 4.13b Trajectórias de equilíbrio P/Pcr vs. w/t das colunas Z com imperfeições caracterizadas por 0º ≤ θ ≤ 90º.
60
Figura 4.14 Identificação das componentes distorcional (CD) e local (CL) de uma configuração deformada genérica da coluna.
61
Figura 4.15 Evolução do quociente de interacção modal CL /CD ao longo das trajectórias de equilíbrio.
62
Figura 4.16 Evolução do quociente de interacção modal CL /CD ao longo das trajectórias de equilíbrio para colunas de secção em C.
63
Figura 4.17
Trajectórias de pós-encurvadura elasto-plásticas P/Pcr vs. v/t das
colunas com imperfeições 0º 90º para (a) fy=355 MPa, (b) fy=460 MPa e (c) fy=550 MPa.
65
Figura 4.18
Diagramas de deformação plástica e configuração deformada no colapso de colunas com imperfeições geométricas iniciais (a) θ=0º
e (b) θ=90º (fy/σcr ≈ 2,08 – fy=460 MPa).
66
VII
Índice de Tabelas
Tabela 3.1 Geometria e características elásticas dos perfis analisados. 39
Tabela 3.2 Carga/momentos críticos e modos de instabilidade dos perfis. 40
Tabela 4.1 Dimensão do perfil, carga crítica e natureza do modo de
instabilidade do perfil seleccionado. 52
Tabela 4.2 Resistência última (Pu /Pcr) das colunas Z para diferentes
valores de θ e fy. 67
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1. Considerações gerais
Por razões de ordem económica e/ou estética, os engenheiros têm sido desafiados ao
longo dos tempos a conceber e dimensionar estruturas cada vez mais leves e resistentes. Esta
constante procura de uma maior eficiência deu origem a soluções estruturais muito variadas,
com a solução metálica a ser uma das mais vantajosas. De facto, a elevada resistência e a
considerável ductilidade dos metais, designadamente do aço, aliada à pré-fabricação e ao transporte
fácil dos elementos estruturais, à rapidez de montagem e desmontagem das estruturas, e à possível
reutilização dos materiais, tornam esta solução cada vez mais competitiva em termos estruturais,
originando elementos estruturais muito esbeltos. Contudo, a elevada esbelteza destes elementos
acaba por os tornar bastante susceptíveis a fenómenos de instabilidade, o que explica a
importância que a estabilidade tem no estudo do comportamento de estruturas de secção de
parede fina, em particular, quando constituídas por perfis de aço enformados a frio.
Os primeiros elementos estruturais de aço enformados a frio surgiram no início do
século XX, no âmbito da indústria automóvel, com o seu uso a ser rapidamente estendido a
outras indústrias, como a aeronáutica e a naval. A excelente resistência exibida por estes elementos,
aliada à reduzida quantidade de material utilizado (aspecto de particular importância devido à
diminuição da quantidade de aço disponível), esteve na origem do sucesso desta solução
estrutural, a qual foi inicialmente adoptada na indústria da construção civil em termos de
edifícios industriais [1].
Os elementos estruturais enformados a frio são obtidos tirando partido da grande
ductilidade que caracteriza determinados tipos de aços. De facto, esta característica material
2
permite obter a partir de chapas de reduzida espessura (entre 0,4 e 6 mm), e sem custos
significativos, perfis e painéis de elevada resistência e com secção transversal de geometria
muito variada (função das necessidades de aplicação) nas Figuras 1.1(a)-(b) apresenta-se um
conjunto de secções transversais de perfis e painéis utilizados no âmbito da engenharia civil, e
na Figura 1.1(c) ilustra-se um dos processos mais utilizados para “dar forma” aos perfis
(laminagem a frio ou “cold rolling”, na designação anglo-saxónica) [2].
(a)
(c)
(b)
Figura 1.1 – (a) Perfis de secção aberta e fechada, (b) painéis e (c) laminagem a frio de elementos estruturais de
aço enformados a frio.
Contudo, os perfis enformados a frio exibem (i) uma reduzida rigidez de torção, em
particular, os de secção aberta, e (ii) uma grande deformabilidade, com o empenamento das
secções a poder ser muito significativo. Por outro lado, a grande esbelteza dos perfis, aliada à
sua elevada resistência, torna-os bastante susceptíveis a fenómenos de instabilidade, os quais
podem ter natureza local ou global [1].
Os modos de instabilidade locais são caracterizados pelo facto de o eixo da barra
permanecer indeformado e de as secções transversais se deformarem no seu próprio plano, com
a instabilidade a poder ocorrer tanto em modos locais de placa (apenas ocorrem deslocamentos
de flexão das paredes do perfil), como (ii) distorcionais (a deformação da secção ocorre,
fundamentalmente, por distorção, com determinadas paredes a exibirem deslocamentos quase
de corpo rígido, flectindo as restantes por compatibilidade). Por sua vez, os modos de instabilidade
globais são caracterizados pelo facto de o eixo da barra se deformar e de as secções transversais
sofrerem apenas deslocamentos de corpo rígido no seu plano, podendo a instabilidade ocorrer
tanto por (i) flexão (as secções transversais sofrem translação), como por (ii) flexão-torção (as secções
sofrem simultaneamente translação e rotação) a título ilustrativo, na Figura 1.2 representa-se a
configuração deformada dos referidos modos para uma coluna de secção em C. Dependendo (i)
da geometria do elemento estrutural (e.g., configuração e dimensões da secção transversal,
3
comprimento), (ii) das suas condições de apoio (e.g., secções extremas apoiadas, encastradas),
e (iii) do carregamento a que está submetido (e.g., compressão, flexão, flexo-compressão),
qualquer um destes modos de instabilidade pode ser crítico. Além disso, chama-se a atenção para o
facto de que, para determinadas dimensões dos perfis, poder ocorrer uma bifurcação simultânea (ou
quase) em mais do que um modo de instabilidade de natureza distinta (i.e., envolvendo dois ou mais
dos mencionados anteriormente), facto que está na origem dos chamados fenómenos de interacção
entre modos de instabilidade (interacção modal), âmbito no qual este estudo se insere.
(a) (b) (c) (d)
Beams
Columns
Figura 1.2 – Configurações dos modos de instabilidade de uma coluna simplesmente apoiada com secção em C:
(a) local de placa, (b) distorcional, (c) flexão-torção e (d) flexão.
A determinação rigorosa do comportamento estrutural de perfis com secção de parede
fina, em particular na presença de fenómenos de instabilidade local, tem sido efectuada
recorrendo a métodos numéricos sofisticados (método dos elementos finitos, das faixas finitas,
etc.) e também a ensaios experimentais. Deste modo, tem sido possível obter um conhecimento
suficientemente sólido sobre o comportamento de pós-encurvadura de perfis de parede fina, o
qual permitiu desenvolver modelos com um adequado suporte físico para serem utilizados no
dimensionamento dos mesmos.
Os estudos efectuados sobre perfis de parede fina permitiram concluir que estes exibem
comportamentos de pós-encurvadura local de placa e global estáveis, com diferentes resistências
pós-críticas: elevada no primeiro caso e diminuta no segundo. Por outro lado, estudos recentes
mostraram também que o comportamento de pós-encurvadura distorcional se situa entre os dois
anteriores (em termos cinemáticos e de resistência), exibindo em alguns casos uma clara
assimetria em relação ao sentido do movimento dos banzos e.g., [1, 3].
Quanto aos fenómenos de interacção que podem afectar a pós-encurvadura e a
resistência última dos perfis, os devidos à quase coincidência entre as tensões críticas local de placa e
global são bem conhecidos – os seus efeitos são contabilizados nos regulamentos de estruturas
metálicas, através da “largura efectiva” ou do recente Método da Resistência Directa (“Direct
Strength Method”, em língua inglesa), o qual foi proposto por Schafer e recentemente
incorporado na regulamentação australiana e norte americana [4, 5]. Quanto aos fenómenos
que resultam da interacção do modo distorcional com os restantes dois, i.e., a interacção local
de placa/distorcional, distorcional/global e local de placa/distorcional/global, só mais
4
recentemente têm sido objecto de análise. Note-se que, o conhecimento sobre o efeito das
referidas interacções no desempenho dos elementos estruturais, designadamente em termos da
sua resistência última, é importante pois sem esse conhecimento não é possível garantir que as
fórmulas e/ou procedimentos incluídos nos códigos de dimensionamento (por norma,
estabelecidas na ausência de interacção) continuam a ser racionais, eficientes e seguros.
Das três interacções atrás mencionadas, sem dúvida que a primeira é a mais estudada,
como demonstram os trabalhos sobre colunas com secção em C e interacção local de
placa/distorcional realizados por Hancock et al. [6], Schafer e Peköz [7], Ungureanu e Dubina
[8], Yang e Hancock [9, 10], Dinis et al. [11, 12] e Silvestre et al. [13-15]. Chama-se também a
atenção para o facto de que alguns dos estudos mencionados terem permitido desenvolver e
calibrar novas aplicações do Método da Resistência Directa para ter em conta o efeito da
referida interacção no dimensionamento de perfis de aço enformados a frio (e.g., [10, 15]).
Os estudos sobre o efeito da interacção distorcional/global e local de placa/distorcional/global
na pós-encurvadura e resistência última de perfis são ainda mais recentes e em número mais
reduzido, sendo de destacar os elaborados por Dinis e Camotim [16-18] e por Rossi et al. [19], os quais
analisaram o efeito dessa interacção em colunas com secção em C, de aço carbono e de aço inoxidável,
com os primeiros estudos a identificarem as imperfeições iniciais mais desfavoráveis em
termos de resistência última destes perfis – no entanto, ainda está por verificar se as expressões
actuais do Método da Resistência Directa podem ser utilizadas no dimensionamento desses
perfis quando estes são afectados por tais interacções.
1.2. Motivação e âmbito do trabalho
Em face do exposto anteriormente, pode concluir-se que o estudo do comportamento de
perfis de parede fina, quando afectados por interacções envolvendo o modo distorcional,
constitui um tema bastante actual no âmbito dos perfis enformados a frio, sendo de destacar a
actividade de investigação que nos últimos anos tem vindo a ser desenvolvida no Instituto
Superior Técnico neste âmbito – em particular, refiram-se os estudos efectuados sobre a
interacção local de placa/distorcional [11, 12, 20, 21], distorcional/global [16, 17, 22] e local de
placa/distorcional/global [18, 22, 23]. Contudo, esta investigação tem-se centrado sobretudo em
perfis de secção em C (secções extremas apoiadas ou encastradas), quando submetidos a compressão
uniforme (colunas) – efectivamente, fora deste contexto, apenas foram estudadas (i) colunas de
5
secção em “rack”1 [24] e (ii) vigas de secção em C, i.e., perfis submetidos a flexão recta
(uniforme) em torno do eixo de maior inércia [25, 26].
O objectivo deste trabalho consiste em estudar o comportamento de pós encurvadura, em
regime elástico e elasto-plástico, de barras simplesmente apoiadas com secção em Z, quando
submetidas a compressão uniforme – nomeadamente, pretende-se verificar quais as semelhanças
e diferenças de comportamento em relação ao observado em colunas de secção em C [12, 13].
Os perfis seleccionados apresentam dimensões tais que originam a bifurcação nos modos local de
placa (por simplicidade, este modo passará a ser designado daqui para a frente apenas por local – L) e
distorcional (D) para valores de carga/tensão semelhantes – a título de exemplo, representa-se nas
Figuras 1.3(a)-(b) a configuração desses modos, com a Figura 1.3(c) a ilustrar um caso de
interacção entre os referidos modos de instabilidade.
A selecção dos perfis, i.e., a identificação de uma geometria que conduzisse a valores
semelhantes de carga/tensão de bifurcação nos modos L e D, fez-se recorrendo a análises de
estabilidade efectuadas por faixas finitas no programa comercial CUFSM [27]. Por sua vez,
estudou-se o comportamento de pós-encurvadura dos perfis seleccionados por elementos
finitos, recorrendo ao programa comercial ABAQUS [28] e discretizando as colunas por elementos
de casca de 4 nós. Analisou-se um grande número de colunas que apenas diferem na forma da
imperfeição inicial (as configurações consideradas são obtidas por combinação linear das
formas dos modos de instabilidade L e D, todas com uma amplitude igual a 10% da espessura
da parede t) com o objectivo de identificar, nomeadamente, (i) as características mais
importantes do fenómeno, (ii) os modos de colapso mais comuns e (iii) as imperfeições iniciais
“críticas”, i.e., as que conduzem a uma maior redução da resistência última dessas colunas, as
quais desempenham um papel importante no dimensionamento dos perfis afectadas por
interacção L/D. Efectivamente, o conhecimento dessas imperfeições é essencial para se poderem
efectuar estudos numéricos exaustivos envolvendo perfis com diferentes geometrias, condições
de apoio e tensões de cedência do material – esses estudos visam obter uma base de dados
suficientemente vasta sobre a resistência última de perfis afectados por interacção L/D que
possibilite avaliar se as expressões actuais do já referido Método da Resistência Directa
permanecem eficientes e seguras quando as colunas são afectadas pela referida interacção.
1 Esta designação deve-se ao facto de este tipo de perfis ser utilizado em estruturas de armazenamento (“storage
rack”, na língua inglesa).
6
(a) (b) (c)
Figura 1.3 – Configurações dos modos de instabilidade (a) local, (b) distorcional e (c) combinado (com
integração entre os modos local e distorcional) de uma coluna simplesmente apoiada com secção em
Z.
1.3. Organização do trabalho
O presente trabalho tem por base dois estudos anteriores de âmbito semelhante [20, 25],
dos quais se retém muito dos conteúdos relativos a conceitos básicos, caracterização dos métodos
numéricos de análise e organização do trabalho.
Assim, no presente capítulo faz-se uma apresentação de carácter introdutório ao tema
da dissertação, indicam-se as motivações que estiveram na origem do trabalho realizado e
descreve-se o conteúdo dos restantes quatro capítulos da dissertação.
No Capítulo 2 apresentam-se os principais conceitos subjacentes ao trabalho. De facto, neste
capítulo ilustram-se alguns conceitos básicos de estabilidade e caracterizam-se os fenómenos de
instabilidade que podem ocorrer em perfis metálicos de secção de parede fina. O capítulo termina
com a apresentação dos tipos de análises de estabilidade e com uma breve caracterização dos
métodos numéricos utilizados neste trabalho para efectuar as referidas análises.
No Capítulo 3 apresentam-se vários aspectos relativos à utilização e implementação
computacional do método dos elementos finitos, com vista a efectuar a análise linear de
estabilidade e a análise de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio. Abordam-se os
aspectos relacionados com (i) a discretização dos perfis, (ii) a modelação das condições de apoio e
do carregamento, (iii) as imperfeições iniciais a considerar nas análises de pós-encurvadura,
(iv) os modelos constitutivos adoptados para o aço e, finalmente, (v) as técnicas de resolução
de problemas de valores próprios (análise linear de estabilidade) e de sistemas de equações de
equilíbrio não lineares (análises de pós-encurvadura). O capítulo termina com alguns exemplos
de validação dos procedimentos adoptados.
No início do Capítulo 4 faz-se a selecção dos perfis de aço enformados a frio,
simplesmente apoiados e com secção em Z, submetidos a compressão pura, afectados por
interacção L/D, i.e., colunas que apresentam instabilidade num modo acoplado com interacção
entre o modo local e o modo distorcional. A identificação das dimensões dos perfis é efectuada
7
a partir da análise linear de estabilidade, recorrendo ao método das faixas finitas, sendo
escolhidas dimensões que conduzem a valores semelhantes das cargas de bifurcação nos dois
modos referidos. Seleccionados os perfis, o capítulo apresenta o conjunto de imperfeições
iniciais considerado na análise de pós-encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, das
colunas simplesmente apoiadas de secção em Z, afectadas por interacção L/D. Os resultados
que se apresentam e comentam, consistem em (i) trajectórias de pós-encurvadura relativas a
pontos significativos dos perfis, (ii) configurações de pós-encurvadura, (iii) gráficos que
ilustram a evolução da contribuição das componentes modais para a configuração deformada
dos perfis ao longo das trajectórias de equilíbrio, (iv) diagramas que ilustram a evolução das
deformações plásticas, e por fim, (v) as configurações deformadas dos perfis no colapso.
Finalmente, o Capítulo 5 inclui uma síntese dos principais resultados obtidos e as
conclusões mais importantes a que se chegou com este trabalho. Faz-se ainda alusão a alguns
tópicos que se julga de interesse a desenvolver em trabalhos futuros.
8
9
CAPÍTULO 2
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
2.1. Introdução
Este capítulo tem como finalidade apresentar os principais conceitos teóricos necessários à
elaboração da dissertação. De modo a fundamentar todas as considerações tomadas, ilustram-se
alguns conceitos de estabilidade, caracterizam-se os tipos de instabilidade que podem ocorrer
em perfis metálicos de secção de parede fina e, finalmente, mostram-se os tipos de análises de
estabilidade e caracterizam-se alguns métodos numéricos disponíveis para efectuar as referidas
análises.
2.2. Conceitos básicos
De acordo com Reis e Camotim [29], considere-se o modelo ideal2, representado na Figura
2.1, com apenas 1 grau de liberdade, constituído por duas barras rígidas e articuladas, em que o
nó articulado está impedido de se deslocar lateralmente por uma mola elástica de rigidez não
linear
k(u)=c1 u+c2 u2+c3 u
3 , (2.1)
o qual está submetido à acção de duas forças horizontais de valor P.
2 Sem imperfeições iniciais.
10
L LP P
L L
P P
u
(a) (b)
Figura 2.1 – Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo [29].
Na configuração indeformada (Figura 2.1(a)), não existe qualquer deslocamento do nó
central tendo-se, por isso, u=0. Nestas condições, o sistema está naturalmente em equilíbrio
sem qualquer reacção vertical nos apoios. Na configuração deformada (Figura 2.1(b)), o
deslocamento do nó é não nulo (u≠0), originando uma reacção vertical na mola de
3
3
2
21)( ucucucuR , (2.2)
Adoptando para grau de liberdade o parâmetro adimensional
L
uq , (2.3)
é possível estabelecer as equações de equilíbrio do modelo na configuração deformada
F 0 ;
M 0 , (2.4)
e obtém-se a equação
01)()(2
1 23
3
2
21 qqLcqLcqLcqP , (2.5)
que tem por solução
0q ou 223
3
2
21 12
1qqLcqLcLcP . (2.6)
Estas soluções definem as trajectórias de equilíbrio3 do sistema, que são respectivamente, a
trajectória fundamental e a trajectória de pós-encurvadura. As trajectórias intersectam-se num
ponto de bifurcação de coordenadas 0q e P=c1L/2, que identifica a designada carga crítica
do modelo. Esta carga corresponde ao menor valor de P para o qual ocorre um “ponto de
bifurcação” do equilíbrio. Para o sistema supra, a carga crítica, corresponde ao valor
2
1 LcPcr . (2.7)
Observe-se que este valor também podia ser obtido desprezando na equação 2.5 os termos
superiores aos lineares, procedimento que corresponde a efectuar o que se designa por análise
3 Por definição, uma trajectória de equilíbrio consiste num conjunto de pontos que relacionam a carga aplicada
com deslocamentos evidenciados pelo sistema em cada configuração de equilíbrio.
11
linear de estabilidade do sistema – num caso geral, esta análise aplica-se apenas a problemas
de instabilidade bifurcacional, permitindo identificar as cargas de bifurcação, assim como a
configuração dos modos de instabilidade das estruturas/elementos estruturais que lhes estão
associadas.
As configurações de equilíbrio traduzidas pela equação 2.6 podem corresponder a
configurações de equilíbrio estável ou instável do sistema. Diz-se que uma estrutura apresenta
uma configuração de equilíbrio estável se, depois de sofrer uma pequena perturbação, ela volta
à configuração de equilíbrio inicial. Caso a estrutura não regresse à referida configuração
inicial, então diz-se que a configuração de equilíbrio é instável.
Nos anos quarenta, Koiter provou que as características fundamentais do
comportamento de pós-encurvadura de uma estrutura são determinadas na sua fase inicial, i.e.,
na vizinhança do ponto de bifurcação. Sendo assim, supondo q<<1 e desprezando os termos de
ordem superior ou igual a três, obtém-se a partir da equação 2.6,
2
1
3
3
2
21
223
3
2
21 )(2
11
2
1qLcLcqLcLcqqLcqLcLcP . (2.8)
Substituindo nesta equação o valor de Pcr e simplificando, chega-se à seguinte expressão
2
321 qCqCPP cr , (2.9)
onde
1
22
c
LcC 1
1
2
33
c
LcC . (2.10)
Na Figura 2.2 representam-se três trajectórias de equilíbrio do modelo determinadas
considerando diferentes valores para os coeficientes C2 e C3. A observação desta figura permite
detectar diferentes características para as trajectórias de equilíbrio, podendo concluir-se o
seguinte:
(i) As trajectórias representadas nas Figuras 2.2(a) e 2.2(b), obtidas com C2=0 e C3≠0,
apresentam um comportamento simétrico, i.e., exibem uma evolução semelhante
independentemente do deslocamento ser positivo ou negativo. Contudo, dois casos são
possíveis: (i1) quando C3>0, o modelo apresenta bifurcação de equilíbrio simétrica e
estável (ver Figura 2.2(a)); (i2) quando C3<0, o modelo apresenta bifurcação de
equilíbrio simétrica, mas instável (ver Figura 2.2(b)).
(ii) As trajectórias representadas na Figura 2.2(c), obtidas com C2≠0 e C3=0, exibem um
andamento diferente consoante o sentido do deslocamento, estando, por isso, associadas
a comportamentos de pós-encurvadura assimétricos.
12
q q q
PP
cr
P
crP P
cr
P
(a) (b) (c)
Figura 2.2 – Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a) Comportamento simétrico estável,
(b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento assimétrico [29].
Na análise anterior considerou-se o modelo como perfeito, i.e., sem qualquer
imperfeição. Contudo, na realidade não existem sistemas ideais, exibindo estes imperfeições de
natureza geométrica (e.g., em termos da configuração inicial, eventuais excentricidades na
aplicação da carga) que vão alterar significativamente o comportamento dos sistemas. Para
ilustrar o que se acaba de dizer, considere-se de novo o modelo de um grau de liberdade, mas
admitindo agora uma imperfeição geométrica inicial dada por (ver Figura 2.3)
L
u0 . (2.11)
u0
L L
PP
L L
P P
u
(a) (b)
Figura 2.3 – Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada [29].
Nestas condições, o equilíbrio na configuração deformada conduz à seguinte equação
23
3
2
21 )(1)()(2
1 qLqcLqcLqcqP , (2.12)
pelo que, substituindo Pcr, C2 e C3 definidos nas equações 2.7 e 2.10, se obtém
q
qCqCqPP cr
3
3
2
2 )23( . (2.13)
13
Na Figura 2.4, representam-se as trajectórias de equilíbrio que se obtêm admitindo
valores de C2 e C3 semelhantes aos considerados para as trajectórias da Figura 2.2 – as linhas a
cheio indicadas na Figura 2.4 são relativas ao modelo perfeito e as a tracejado ao modelo imperfeito.
A observação destas trajectórias permite retirar algumas conclusões amplamente conhecidas
sobre o comportamento de pós-encurvadura de sistemas imperfeitos, designadamente que:
(i) A trajectória fundamental ( 0q ) deixa de ser solução do problema, quando o modelo
exibe imperfeições geométricas iniciais.
(ii) As imperfeições iniciais não têm uma influência significativa na resistência de pós-
encurvadura4 de sistemas reais estáveis (ver Figura 2.4(a)), com estes a resistirem a
cargas superiores à carga crítica.
(iii) Em sistemas com um comportamento de pós-encurvadura instável ou assimétrico, as
imperfeições podem dar origem a um ponto limite nas trajectórias de equilíbrio, ponto
esse associado a um valor da carga (Pmax) inferior à carga crítica (Pcr) – ver Figuras
2.4(b) e 2.4(c). Refira-se que estruturas que exibem este tipo de fenómeno são
habitualmente designadas por estruturas sensíveis às imperfeições.
q q q
PP
cr
P
crP P
cr
P
maxP
Pmax
(a) (b) (c)
Figura 2.4 – Trajectórias de pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos. Comportamento (a) simétrico
estável, (b) simétrico instável e (c) assimétricos estável e instável [29].
Apesar de o comportamento de sistemas elásticos imperfeitos (i.e., reais) poder ser
“previsto” tendo por base as trajectórias de pós-encurvadura dos sistemas perfeitos5, a
determinação destas trajectórias para sistemas de complexidade superior à deste problema
modelo envolve o recurso a técnicas numéricas muito sofisticadas (e.g., análise de perturbação),
nem sempre disponíveis. Por isso, é prática corrente proceder “apenas” à determinação das
trajectórias de pós-encurvadura de estruturas reais, de forma a determinar a possibilidade destas
4 Quando os sistemas podem suportar cargas superiores à sua carga crítica (e.g., é o caso do sistema da Figura 2.4(a)),
diz-se que estes exibem resistência de pós -encurvadura. 5 O conhecimento destas trajectórias permite antever a possibilidade dos sistemas reais exibirem (i) pontos limites
iniciais nas trajectórias de pós-encurvadura (só sistemas com trajectórias instáveis podem apresentar tais pontos),
(ii) alguma resistência de pós-encurvadura (só sistemas com trajectórias estáveis exibem tais resistências).
14
exibirem (i) alguma resistência de pós-encurvadura e (ii) eventuais pontos limites iniciais nas
trajectórias de equilíbrio.
As cargas máximas elásticas (Pmax) associadas a pontos limites de trajectórias de pós-
encurvadura semelhantes às da Figura 2.4 não correspondem, de um modo geral, às cargas
últimas ou de colapso das estruturas (ou elementos estruturais) reais. De facto, estas cargas são
também condicionadas por um segundo aspecto ainda não mencionado: a resistência dos
materiais (e.g., a plasticidade é muitas vezes determinante no colapso de estruturas ou
elementos estruturais metálicos). Assim sendo, compreende-se que a resistência de pós-
encurvadura de uma estrutura metálica real possa depender de dois factores: (i) do declive da
trajectória de pós-encurvadura e (ii) do valor da carga crítica face ao valor da carga
correspondente ao início da cedência. Por exemplo, placas comprimidas axialmente apresentam
trajectórias de pós-encurvadura em que o declive da curva é acentuado, pelo que, se a
plasticidade se manifestar apenas em estádios avançados de pós-encurvadura, exibem uma
resistência de pós-encurvadura significativa. Contudo, as trajectórias de pós-encurvadura de
colunas axialmente comprimidas que instabilizam por flexão (instabilidade de Euler)
apresentam declives suaves (muito menos pronunciadas que no caso das placas) –
naturalmente, a carga de colapso destes elementos estruturais não será muito diferente do seu
valor crítico, para valores da relação tensão cedência/tensão crítica superiores à unidade.
2.3. Análises de estabilidade
O estudo do comportamento geometricamente linear de uma estrutura (ou elemento
estrutural) envolve a determinação dos esforços, tensões e deslocamentos provocados pelo
conjunto de acções a que a estrutura está submetida – análise linear ou de 1ª ordem. Por sua vez, o
estudo do comportamento geometricamente não linear dessa estrutura faz-se (i) identificando o valor
do parâmetro de carga crítico e a forma do respectivo modo de instabilidade – análise linear de
estabilidade, e (ii) determinando o comportamento de pós-encurvadura da referida estrutura –
análise não linear de estabilidade ou de 2ª ordem [1,30]. Logicamente, o presente estudo sobre
colunas de secção em Z deverá envolver a execução de ambas as análises de estabilidade, i.e., a
análise linear e a análise de pós-encurvadura dos elementos estruturais que são objecto do
estudo.
A análise linear de estabilidade corresponde à mais simples das análises geometricamente
não lineares. Aplica-se unicamente a problemas de instabilidade bifurcacional e pressupõe um
15
comportamento elástico linear para o material. Em termos matemáticos, corresponde a um
problema de valores e funções próprios (vectores próprios, no caso de estruturas/barras
discretizadas que resultam da aplicação dos métodos numéricos), no qual (i) os parâmetros de
carga (no caso de elementos estruturais, tensões/esforços) de bifurcação são os valores próprios
e (ii) os correspondentes modos de instabilidade são as funções (sistemas contínuos) ou os
vectores (sistemas discretos) próprios – recorde-se que o parâmetro de carga é um factor
multiplicativo aplicado a um determinado carregamento de referência. O menor dos parâmetros
de carga de bifurcação e o correspondente modo de instabilidade são habitualmente designados
por “parâmetro de carga crítico” e por “modo de instabilidade crítico”.
No caso de perfis de aço, o valor da tensão/esforço crítico de bifurcação e a natureza do
correspondente modo de instabilidade dependem (i) da geometria do perfil (i.e., do seu
comprimento, forma e dimensão da secção transversal), (ii) das suas condições de apoio (i.e.,
das restrições aos deslocamentos existentes em secções interiores ou de extremidade), (iii) do
carregamento a que está submetido e (iv) das constantes elásticas adoptadas para o aço.
A análise não linear de estabilidade ou de pós-encurvadura de uma estrutura (ou
elemento estrutural), submetida a um determinado carregamento, corresponde a uma análise
muito mais complexa. O comportamento material do aço pode ser modelado através de leis
constitutivas elásticas ou elasto-plásticas e este tipo de análises (i) aplica-se a barras reais (i.e.,
com imperfeições iniciais e/ou tensões residuais) e (ii) envolve a determinação de (ii1) trajectórias
de equilíbrio não lineares, também designadas por trajectórias de pós-encurvadura (curvas que
relacionam o carregamento aplicado, habitualmente dependente de um único parâmetro de carga,
com componentes de deslocamentos criteriosamente escolhidas), assim como (ii2) a evolução das
tensões e/ou deformações na estrutura (ou elemento estrutural) ao longo da análise. Em termos
matemáticos, é necessário resolver o sistema de equações de equilíbrio não lineares que rege o
comportamento do elemento estrutural (discretizado), o que obriga à utilização de procedimentos
incrementais-iterativos adoptam-se frequentemente o método de Newton-Raphson e a técnica do
controle do comprimento de arco. O colapso da estrutura/elemento estrutural (i.e., a sua perda de
estabilidade) ocorre num ponto limite situado sobre a sua trajectória de equilíbrio os
correspondentes valores do parâmetro de carga e configuração deformada fornecem a resistência
última e o modo de colapso da estrutura/barra.
16
2.4. Estabilidade de perfis metálicos de parede fina
Embora, de um modo geral, o colapso de estruturas metálicas seja provocado por uma
combinação de fenómenos (e.g., plasticidade), a reduzida espessura das chapas de aço
utilizadas origina frequentemente perfis com secções de parede muito esbelta, o que os torna
muito susceptíveis em relação ao colapso por instabilidade. A determinação precisa do
comportamento de estabilidade desses perfis envolve a possibilidade destes exibirem
deformabilidades tanto de natureza local como global. Seguidamente, caracterizam-se os
fenómenos de deformabilidade global e local e indicam-se os correspondentes modos de
instabilidade que surgem associados ao comportamento de estabilidade de perfis metálicos de
secção de parede fina aberta [28, 1, 30].
2.4.1. Instabilidade global e local
Os fenómenos de deformabilidade global que podem afectar os perfis metálicos são
caracterizados pela ocorrência de deformação do eixo da barra, sofrendo as suas secções
transversais unicamente deslocamentos de corpo rígido no seu próprio plano (no caso geral,
duas translações e uma rotação). São exemplos deste tipo de fenómenos, (i) a instabilidade de
colunas (barras comprimidas) por flexão ou (ii) a instabilidade lateral de vigas (barras flectidas)
por flexão-torção – ver Figura 1.2(c). Normalmente, estes modos de instabilidade global (MG) são
críticos sempre que as barras sejam suficientemente “longas” e não estejam adequadamente
contraventadas, com a sua configuração longitudinal do modo a depender das condições de apoio
das barras, mas exibindo sempre um número muito pequeno de semi-comprimentos de onda
(apenas um).
Por sua vez, os fenómenos de deformabilidade local envolvem, essencialmente,
deformações das paredes da barra, permanecendo o seu eixo indeformado. Tal como já
referenciado no Capítulo 1, os fenómenos de instabilidade local que podem afectar os perfis
metálicos de parede fina são de dois tipos: (i) os modos locais (ML) e (ii) os modos
distorcionais (MD) – ver Figuras 1.2(a) e 1.2(b). De um modo geral, as “barras curtas” são
particularmente sensíveis a fenómenos de instabilidade local, enquanto que, as “barras
intermédias”, são mais susceptíveis a fenómenos de instabilidade distorcional. Seguidamente,
descrevem-se detalhadamente as características destes dois modos locais, que são de grande
17
importância no presente estudo – recorde-se que se pretende analisar o efeito da interacção
entre estes modos no comportamento de pós-encurvadura de colunas de aço enformadas a frio.
Modo local
Estes modos são caracterizados por os bordos longitudinais internos da barra (i.e., os
bordos que unem duas paredes adjacentes) permanecerem indeformados, com a deformação
das secções a dever-se, exclusivamente, à flexão das paredes interiores.
Os elementos estruturais de aço enformados a frio podem ser encarados como um
conjunto de placas longas, ligadas entre si ao longo dos respectivos bordos longitudinais. Do
ponto de vista estrutural, a estabilidade destas secções em relação ao ML e a estabilidade de
placas isoladas são fenómenos análogos, facto que explica que a instabilidade de uma secção
deste tipo seja, precisamente, condicionada e precipitada por a instabilidade da parede (placa)
mais esbelta que a constitui (as restantes deformam-se apenas por compatibilidade).
Os trabalhos iniciais sobre estabilidade de placas datam do século XIX, princípio do
século XX, devendo-se (i) a Saint-Venant, a determinação da equação diferencial de equilíbrio
de uma placa submetida à compressão uniforme, (ii) a Bryan, a determinação da solução dessa
equação para placas simplesmente apoiadas, e (iii) a Reissener e a Timoshenko, a solução para
placas com outras condições de apoio. Na equação (2.14) apresenta-se a expressão da tensão de
bifurcação para uma placa simplesmente apoiada nos quatro bordos, comprimida segundo a sua
maior dimensão (ver Figura 2.5)
2
2
2
2
bb
a
m
1m
a
D , (2.14)
onde D=Et3/12(1-2), E é o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material da
placa, t a sua espessura, m o número de semi-ondas do modo segundo a direcção x, e a e b as
dimensões da placa a expressão está particularizada para modos com uma semi-onda
segundo y, i.e., para placas em que a>b.
18
b
a
y
x
z
t
Figura 2.5 – Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme [25].
Naturalmente, o estudo rigoroso do comportamento de estabilidade de secções de
parede fina no ML tem por base os trabalhos referidos sobre placas isoladas, requerendo,
contudo, a consideração de outros aspectos resultantes da “presença” de várias placas,
designadamente quanto (i) à compatibilidade de deslocamentos e rotações entre placas e (ii) ao
equilíbrio de forças e momentos ao longo dos bordos longitudinais internos. A necessidade de
satisfazer estas condições adicionais, combinada com a não linearidade das equações de
equilíbrio que governam o comportamento de cada placa, dificulta a obtenção de soluções
analíticas gerais (apenas existem soluções analíticas para problemas simples em termos de
condições de apoio e/ou carregamento). Nestas condições, o estudo do comportamento de
estabilidade de secções de parede fina no ML faz-se, na prática, recorrendo a métodos
(aproximados) numéricos. Na Figura 2.6(a) ilustra-se a configuração de um ML (cinco semi-
ondas) obtido por elementos finitos para uma coluna de secção em Z, onde se observam
precisamente as características atrás indicadas para este modo local: os bordos longitudinais
internos da barra permanecem indeformados, com a deformação das secções a dever-se à
flexão das paredes, nomeadamente da alma.
(a) (b) (c)
Figura 2.6 – Exemplos de configurações deformadas de uma coluna com secção em Z: (a) modo local (b) modo
distorcional e (c) modo “combinado” local/distorcional.
Modo distorcional
Estes modos são caracterizados por a deformação da secção ocorrer fundamentalmente
por distorção, com determinadas paredes a exibirem deslocamentos “quase” de corpo rígido. A
19
deformação da secção tem origem na torção de um conjunto de paredes em torno de um bordo
interno, flectindo as restantes paredes de forma a garantir a necessária compatibilidade entre placas.
Os trabalhos iniciais sobre instabilidade distorcional são relativamente recentes (meados
do século XX) e devem-se a Lundquist e Stowell. Os estudos mais importantes neste domínio
foram efectuados nos finais dos anos setenta, princípios de oitenta, por dois grupos de
investigadores das Universidades de Cornell e de Sydney, os quais (i) detectaram a presença de
um segundo mínimo local nas curvas que fornecem a variação da carga crítica de certas colunas
com o seu comprimento e (ii) propuserem as primeiras expressões analíticas para estimar a carga
crítica distorcional de colunas com secção em C. Neste ponto em particular (i.e., expressões
analíticas para a determinação da carga crítica) devem salientar-se as fórmulas propostas por
Silvestre [1] para perfis de aço enformados a frio, obtidas tirando partido das propriedades
modais que caracterizam a Teoria Generalizada de Vigas (Generalised Beam Theory, GBT).
Essas fórmulas foram estabelecidas para barras (i) submetidas à compressão uniforme (colunas),
flexão pura (vigas) ou a uma combinação arbitrária de compressão e flexão (colunas-viga), (ii)
exibindo várias condições de apoio, e (iii) com secções em C, em Z e em “hat”6. Na equação
2.15 indica-se, a título ilustrativo, a expressão proposta para o esforço axial crítico distorcional
(Pb.min) para uma coluna de secção em C.
S
SBCSS
bX
GDBECP
2min. , (2.15)
onde E e G são os módulos de elasticidade e distorção do aço, CS, BS, DS e XS, são um conjunto
de coeficientes para os quais os autores forneceram expressões analíticas (função das dimensões
da secção transversal), dependendo os coeficientes C e B das condições de apoio da coluna.
Contudo, habitualmente, o estudo do comportamento de estabilidade no MD em perfis
de parede fina, faz-se recorrendo a métodos numéricos (e.g., métodos da faixas finitas ou
elementos finitos), ilustrando-se na Figura 2.6(b) a configuração de um modo distorcional
(uma semi-onda) obtida por elementos finitos para uma viga de secção em Z – nesta figura
podem observar-se as características atrás mencionadas sobre este modo de instabilidade,
designadamente, o facto dos bordos longitudinais internos da barra permanecerem
indeformados, com os banzos do perfil a exibirem deslocamentos “quase” de corpo rígido.
6 Designação anglo-saxónica para secções transversais que se assemelham a um “chapéu” – secção semelhante à
em C, mas com os reforços para o exterior.
20
2.4.2. Interacção entre modos de instabilidade
No presente contexto, a designação “interacção entre modos de instabilidade” aplica-se
a um conjunto de fenómenos que condicionam o comportamento de pós-encurvadura de
estruturas (ou elementos estruturais) e que têm como principal característica o facto de a
instabilidade estar associada à ocorrência simultânea (ou quase) de mais do que um modo de
natureza distinta – certamente esta ocorrência traduz-se em valores quase idênticos para o
parâmetro de carga de bifurcação associado aos modos em questão [1].
Os elementos estruturais com secção de parede fina aberta, nomeadamente, os perfis de
aço enformados a frio, têm uma maior susceptibilidade para exibirem fenómenos de interacção
modal devido ao facto de utilizarem chapas de reduzida espessura para os perfis. De facto, é
frequente encontrar, para um dado carregamento e determinadas características dos perfis (e.g.,
geometria e dimensões da secção transversal, comprimento, condições de apoio), valores próximos
para os esforços de bifurcação em vários modos de instabilidade de natureza diferente. Na Figura
2.6(c) ilustra-se precisamente uma situação onde ocorre um fenómeno de interacção deste tipo,
envolvendo a estabilidade de uma coluna simplesmente apoiada de secção em Z – observe-se que
a coluna instabiliza num modo “combinado” distorcional (uma semi-onda) e local (cinco semi-
ondas).
A identificação de potenciais situações de interacção modal para um perfil com uma
determinada secção de parede fina faz-se a partir da análise linear de estabilidade (i)
determinando curvas que ilustram a variação do esforço crítico de bifurcação com o
comprimento L do perfil, e (ii) identificando os valores de L para os quais se observa a coincidência
entre os esforços de bifurcação para dois ou mais modos de instabilidade de natureza diferente.
Na Figura 2.7 apresentam-se, esquematicamente, três curvas b vs. L (onde b é o parâmetro de
carga de bifurcação) para um perfil simplesmente apoiado (de secção arbitrária, mas exibindo
instabilidade distorcional), quando se admite apenas um semi-comprimento de onda para os
vários modos de instabilidade. A observação desta figura permite identificar os seguintes
fenómenos de interacção modal:
(i) Interacção entre os modos locais e globais7 (L/G). Esta interacção está associada ao
comprimento LL/G (ver Figura 2.7(a)), ao qual corresponde, normalmente, uma configuração
deformada do perfil com (i1) um semi-comprimento de onda global e (i2) “muitos”
7 Recorde-se que estes podem ser por flexão ou flexão-torção.
21
semi-comprimentos de onda locais – recorde-se que na figura apenas se representam as
curvas associadas à instabilidade com uma única semi-onda.
(ii) Interacção entre modos distorcionais e globais (D/G). Esta interacção apenas ocorre
quando o mínimo distorcional é inferior ao local e está associada ao comprimento LD/G
representado na Figura 2.7(b), para o qual corresponde, em geral, uma configuração
deformada do perfil com (ii1) um único semi-comprimento de onda global e (ii1)
“poucos” semi-comprimentos de onda distorcionais.
(iii) Interacção entre modos locais e distorcionais (L/D). Esta interacção está associada aos
comprimentos LL/D da Figura 2.7(c), para o qual corresponde, normalmente, uma
configuração deformada do perfil com (iii1) um único semi-comprimento de onda
distorcional e (iii1) “alguns” semi-comprimentos de onda locais.
(iv) Finalmente, interacção entre modos locais, distorcionais e globais (L/D/G). Esta interacção
está associada ao comprimento LL/D/G da Figura 2.7(c) e envolve uma configuração
deformada com (iv1) um semi-comprimento de onda global, (iv2) “poucos” semi-
comprimentos de onda distorcionais e (iv3) “muitos” semi-comprimentos de onda locais.
cr
LP-GL
LPL
b b
cr
LD
LD-G
LLP
LLP/D-G
L
cr
b
LP-D (a) (b) (c)
Figura 2.7 – Curvas b vs. L ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a) Interacção local/global, (b)
interacção distorcional/global e (c) interacção local/distorcional/global [25].
No presente trabalho, estuda-se um problema de interacção envolvendo os modos locais
L e D, i.e., um problema com características semelhantes às do item (iii). Em particular, procura
analisar-se o comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio, (i)
simplesmente apoiados e com secção em Z, (ii) submetidos a compressão pura, e (iii) exibindo
valores semelhantes da carga de bifurcação nos modos L e D. O estudo a efectuar procura
determinar o efeito da interacção na resistência de pós-encurvadura e identificar o modo de
colapso das colunas. Refira-se, por curiosidade, que durante algum tempo se julgou que o
“dimensionamento óptimo” de um sistema estrutural consistia em conseguir que a instabilidade
ocorresse, em simultâneo, nos vários modos de instabilidade relevantes – segundo esta filosofia
22
de dimensionamento, perfis como os considerados no presente estudo seriam considerados os
ideais. Contudo os estudos entretanto efectuados mostraram que a interacção tem um efeito
adverso na resistência dos elementos estruturais [e.g. 12, 25].
2.5. Métodos de análise
Os enormes progressos que ocorreram nas últimas décadas na área da mecânica
computacional e da análise numérica de estruturas, em conjunto com a disseminação de
computadores cada vez mais rápidos e com maiores capacidades, e de sofisticadas ferramentas
de cálculo, conduziram à utilização generalizada de vários métodos numéricos de análise em
engenharia de estruturas, os quais envolvem a discretização da estrutura, i.e., a sua
transformação num sistema (discreto) com um número finito de graus de liberdade. Dos
diversos métodos existentes para efectuar a análise de estabilidade de perfis de secção de
parede fina destacam-se, (i) o Método dos Elementos Finitos, sem dúvida o mais popular, [e.g.,
31], (ii) o Método das Faixas Finitas [e.g., 32] e (iii) as implementações numéricas de formulações
da Teoria Generalizada de Vigas [e.g.,33]. Em seguida apresentam-se, muito sumariamente, as
principais características dos dois primeiros, os quais foram utilizados nas análises de
estabilidade efectuadas no decurso desta dissertação [30].
Método dos Elementos Finitos (MEF)
Devido à necessidade de considerar na análise de elementos estruturais de secção de
parede fina, simultaneamente, modos de deformação/instabilidade locais e globais, torna-se
indispensável adoptar nessas análises uma modelação bidimensional para as barras, i.e.,
proceder à discretização da sua superfície média através de elementos finitos de casca (ver
Figura 2.8(a)). Em cada elemento finito, geralmente de forma triangular ou quadrangular, o
campo de deslocamentos é aproximado por meio de uma combinação linear de “funções de
forma” (em geral polinómios), cujos coeficientes são os deslocamentos nodais generalizados
(e.g., deslocamentos propriamente ditos ou rotações). “Somando” de forma conveniente a
rigidez dos vários elementos finitos (operação conhecida por assemblagem da matriz de rigidez
global) e impondo as apropriadas condições de apoio, é possível obter a rigidez discretizada do
elemento estrutural, a qual é necessária para efectuar as análises atrás referidas. Refira-se que a
larga maioria das análises actualmente efectuadas pela comunidade técnico-científica ligada às
estruturas metálicas são executadas, recorrendo a um dos vários programas comerciais
existentes no mercado (e.g., ABAQUS, ADINA ou ANSYS). De facto, dada a sua sólida
23
fundamentação matemática, versatilidade, eficácia e sofisticação, estes programas tornaram-se
num instrumento precioso para a realização de qualquer tipo de análise, designadamente, quando
se consideram comportamentos geométrica e fisicamente não lineares.
Método dos Faixas Finitas (MFF)
Este método pode ser encarado como uma variante do MEF (elementos de casca), tendo
sido desenvolvido de modo a superar os problemas relacionados com o elevado esforço
computacional necessário para efectuar as análises por elementos finitos de perfis de secção de
parede fina. O método (i) tira partido da natureza prismática dos referidos elementos estruturais
e (ii) discretiza a linha média da secção transversal num número finito de segmentos, (iii) com
cada segmento a corresponder a uma faixa com uma dimensão longitudinal igual à do
comprimento total da barra – ver Figura 2.8(b). No interior de cada faixa o campo dos
deslocamentos é aproximado (i) na direcção transversal, por funções de forma polinomiais que
asseguram a compatibilidade entre faixas adjacentes, e (ii) na direcção longitudinal, por funções
que, simultaneamente, devem ser capazes de descrever a variação longitudinal do campo de
deslocamentos e de satisfazer as condições de apoio da barra. A precisão dos resultados obtidos
por este método depende do nível de discretização da secção transversal, i.e., do número de faixas, e
da “qualidade” destas funções longitudinais (em geral, sinusoidais) – só será exacta quando os
elementos estruturais são simplesmente apoiados e estão sujeitos a esforço constante. Neste contexto,
é importante referir o desenvolvimento do Método das Faixas Finitas com Funções “Spline” [e.g.,
34], o qual permite alargar o domínio de aplicação do MFF a elementos estruturais com outras
condições de apoio e, de algum modo, o “combina” com o MEF (a variação longitudinal das
componentes dos deslocamentos é aproximada por meio de funções “B3-Spline”, as quais
substituem as funções analíticas adoptadas pelo MFF).
Apesar do enorme desenvolvimento que ocorreu na última década em termos de
computadores (particularmente em termos de computadores pessoais), o MFF ainda hoje
constitui uma alternativa bastante vantajosa ao MEF, nomeadamente, no âmbito da análise de
estabilidade de barras (prismáticas) simplesmente apoiadas, submetidas a carregamentos
simples (e.g., compressão, flexão uniformes) – não pode deixar de referir-se que estão actualmente
disponíveis dois programas de cálculo de muito fácil utilização para efectuar esse tipo de análises: (i)
THIN-WALL, desenvolvido na Universidade de Sydney, e (ii) CUFSM [27], elaborado por Schafer da
Universidade Johns Hopkins de Baltimore e que foi utilizado no decurso da presente dissertação.
24
(a) (b)
Figura 2.8 – Discretização de uma barra de secção em C (a) em elementos finitos de casca, (b) em faixas finitas
[1].
Por fim, refira-se que, a maioria das análises lineares de estabilidade realizadas no
decurso deste trabalho foram efectuadas por faixas finitas, recorrendo ao programa CUFSM
[27], e tiveram por objectivo seleccionar as dimensões dos perfis de secção em Z afectadas por
interacção modal L/D. As respectivas análises por elementos finitos foram em menor número e
tiveram por objectivo (i) confirmar e validar o modelo de elementos finitos adoptado, assim como
(ii) obter a configuração dos modos de instabilidade L e D, cuja combinação define a
imperfeição geométrica inicial a considerar nas análises não lineares de estabilidade com
interacção modal. Naturalmente, todas as análises de pós-encurvadura dos perfis foram
efectuadas por elementos finitos, recorrendo ao programa comercial ABAQUS [28],
descrevendo-se no capítulo seguinte as características do modelo adoptado.
25
CAPÍTULO 3
MODELAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS
3.1. Introdução
Neste capítulo apresentam-se e discutem-se os vários aspectos relativos à utilização e
implementação computacional do método dos elementos finitos (MEF) para efectuar a análise
linear de estabilidade e de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio. Todas as análises
são efectuadas utilizando o programa ABAQUS [28], referindo-se, em seguida, os aspectos mais
importantes relativos (i) à discretização dos perfis, (ii) à modelação das condições de apoio e
do carregamento, (iii) às imperfeições iniciais a considerar nas análises de pós-encurvadura, (iv)
aos modelos constitutivos adoptados para o aço e (v) às técnicas de resolução de problemas de valores
próprios (análise linear de estabilidade) e de sistemas de equações de equilíbrio não lineares
(análises de pós-encurvadura). Finalmente, apresentam-se alguns exemplos de validação dos
procedimentos adoptados.
3.2. Discretização do perfil
A discretização de um problema por elementos finitos envolve dois aspectos fundamentais: (i)
a escolha do elemento finito, e (ii) a definição do número de elementos (i.e., dos graus de liberdade)
do problema. Seguidamente, descrevem-se os motivos que estiveram na origem da escolha do
elemento finito e das discretizações adoptadas para os vários perfis analisados neste trabalho.
26
3.2.1. Escolha do elemento finito
Para analisar a instabilidade local e global de perfis de secção de parede fina é
necessário discretizar a superfície média das paredes, utilizando elementos finitos de casca. De
entre os vários elementos disponíveis na biblioteca de elementos do ABAQUS, os elementos
isoparamétricos com quatro nós (ver Figura 3.1) permitem uma adequada discretização das
placas rectangulares que constituem os perfis de aço enformados a frio, tendo a vantagem
adicional de simplificar bastante a geração automática das malhas. Foram, por isso, os
escolhidos para a realização deste trabalho.
1 2
3
4
Elemento com 4 nósElemento com 4 nós
4
3
21
1
1 2
3
44
3
21
2
1 2
3
44
3
21
1
43
1
1 2
3
44
3
21
2
1 2
3
44
3
21
1
43
(a) (b) (c)
Figura 3.1 – (a) Elemento com quatro nós. Localização dos pontos de integração da parcela de corte dos elementos
(b) S4 (integração completa) e (c) S4R, S4R5 (integração reduzida).
A biblioteca do ABAQUS dispõe de três elementos finitos de casca com quatro nós
designados, respectivamente, por S4, S4R e S4R5 (a letra “S” corresponde à inicial de shell).
Relativamente às características e ao domínio de aplicação destes elementos, o manual do
ABAQUS refere o seguinte:
(i) Os três elementos tomam em consideração a deformação por corte.
(ii) Os elementos S4 e S4R são elementos de casca, eventualmente espessa, cuja
formulação é válida para grandes deformações de membrana.
(iii) O elemento S4R5 deve ser preferencialmente utilizado na resolução de problemas que
envolvam cascas finas8 e pequenas deformações, i.e., deve evitar-se a sua utilização
quando as deformações são finitas. Note-se que o elemento permite, no entanto,
modelar comportamentos estruturais com grandes rotações, desde que estas estejam
naturalmente associadas a pequenas deformações.
8 De acordo com o manual do ABAQUS, uma casca diz-se fina se a sua espessura for inferior a cerca de 1/15 do
comprimento característico da respectiva superfície média, cuja natureza depende do tipo de problema em
análise (e.g., o comprimento de onda do modo de instabilidade, a distância entre apoios).
27
Para além destas diferenças na formulação, os elementos S4, S4R e S4R5 diferem entre
si também no número de graus de liberdade por nó e no número de pontos considerados na
integração da parcela devida ao corte da matriz de rigidez do elemento9. Os elementos S4 e
S4R consideram seis graus de liberdade por nó (três deslocamentos e três rotações), enquanto
que os elementos S4R5 consideram apenas cinco a rotação de eixo perpendicular à superfície
média do elemento é condensada. Quanto ao número de pontos envolvidos na integração
numérica da parcela da matriz de rigidez devida ao corte, cuja localização se apresenta na
Figura 3.1(b) e 3.1(c), o elemento S4 considera quatro pontos (integração completa), enquanto
que os elementos S4R e S4R5 consideram apenas um ponto (integração reduzida) 10.
A integração reduzida diminui consideravelmente o tempo de execução, sobretudo em
problemas tridimensionais, e evita o designado problema do “locking” da solução11. Por estas
razões, os elementos S4R e S4R5 (ou de tipo semelhante) são frequentemente adoptados na
análise de perfis de aço enformados a frio. Contudo, estudos recentes chamaram a atenção para
a necessidade de ter de haver algum cuidado na utilização deste tipo de elementos,
designadamente na análise linear de estabilidade e de pós-encurvadura distorcional de colunas.
No primeiro dos estudos [35], determinaram-se curvas que traduzem a variação da tensão
crítica e da correspondente natureza do modo de instabilidade em função do comprimento L do
perfil de colunas simplesmente apoiadas de secção em C, em Z e em “Rack”12 (ver Figura 3.2).
A observação dessas curvas mostrou que (i) o valor da carga crítica obtido quando as colunas
são discretizadas por elementos S4R e S4R5 é praticamente coincidente, (ii) os valores obtidos
utilizando elementos S4 e S4R são muito semelhantes nas colunas “curtas” (instabilidade num
modo local), e um pouco diferentes (ii1) nas colunas “intermédias” (instabilidade num modo
distorcional), e (ii2) nas colunas “longas” (instabilidade num modo global – por flexão ou
flexão-torção), (iii) no caso das colunas “intermédias” e nas colunas “longas”, os valores
obtidos com elementos S4R são sempre inferiores aos obtidos com elementos S4, e finalmente,
(iv) os elementos S4 apresentam um melhor desempenho quando comparados com os
resultados de referência (obtidos com base na Teoria Generalizada de Vigas GBT).
9 A determinação dos coeficientes das matrizes de rigidez elementares faz-se, de um modo geral, por integração numérica,
recorrendo a fórmulas do tipo
f (x,y,z)dxdydz f (xi,yi,zi)uiviwii1
N
i1
N
i1
N
, onde xi, yi e zi são as
coordenadas dos pontos de integração, ui, vi e wi os denominados pesos e N é o número de pontos (ou ordem) da
integração. 10
A integração numérica designa-se por completa quando o número de pontos considerado é suficiente para
garantir a exacta integração dos coeficientes e por reduzida quando esse número é inferior à da ordem de
integração exacta. 11
Problema da excessiva rigidez da solução quando se considera a formulação de cascas espessas e se faz tender
para zero a espessura da casca. 12
Esta designação, de difícil tradução, deve-se ao facto de este tipo de perfis ser utilizado com frequência em
estruturas de armazenamento (“storage rack”, na língua inglesa).
28
(a) (b)
Figura 3.2 – Influência do elemento finito no valor da tensão crítica em colunas de secção (a) em C e Z e (b) em “Rack”
[35].
O segundo estudo [36], respeitante ao comportamento de pós-encurvadura distorcional
de colunas simplesmente apoiadas de secção em C (ver Figura 3.3), mostrou que as trajectórias
de equilíbrio vs. v/t (onde é a tensão normal média, v o deslocamento vertical na ligação
banzo-reforço da secção de meio vão e t a espessura da chapa) que se obtêm quando se
discretiza o perfil (i) por elementos S4R e S4R5, também não se distinguem; (ii) com
elementos S4 são mais rígidas do que as determinadas com elementos S4R; e, finalmente, (iii)
com elementos S4 são praticamente coincidentes com as determinadas com base no MFF com
funções “Spline” (considerada como referência e indicada na figura como SFSM).
100
200
0 2 4
v / t
(MPa )
S4
S4R
SFSM
Figura 3.3 – Influência do elemento finito nas trajectórias de pós-encurvadura distorcional de coluna de secção em C
[36].
A menor rigidez dos resultados obtidos com os elementos de casca S4R e S4R5, tanto
na análise linear de estabilidade como na de pós-encurvadura, deve-se (i) à importância que o
corte tem no comportamento distorcional dos perfis (a distorção e o empenamento
desempenham um papel essencial nesse comportamento) e (ii) à sub-avaliação que estes
29
elementos fazem da rigidez de corte ao sub-integrarem a respectiva parcela da matriz de
rigidez elementar. Estudos posteriores dos mesmos autores mostraram que os resultados
obtidos com os referidos elementos S4R e S4R5 melhoram com uma maior discretização dos
reforços dos perfis (zona onde a distorção é mais acentuada no modo MD), continuando,
contudo, a ser mais vantajosa a utilização dos elementos S4 [36].
Em face deste comportamento, de entre os vários elementos finitos de casca de quatro
nós disponíveis no ABAQUS, escolheram-se os elementos S4 para analisar o comportamento de
estabilidade e de pós-encurvadura de todos os perfis de aço enformados a frio considerados no
decurso deste trabalho.
3.2.2. Definição da malha
O número de graus de liberdade e pontos de integração considerados numa análise por
elementos finitos influenciam bastante o esforço computacional e a precisão dos resultados
obtidos. Sendo estes efeitos antagónicos, é necessário identificar o número óptimo de
elementos para discretizar um determinado perfil. Com isto, assume-se o facto de nem sempre
uma grande quantidade de elementos conduzir a resultados precisos ou a uma boa discretização
i.e., a que consegue equilibrar o esforço computacional com a precisão dos resultados obtidos.
Neste trabalho, seguiu-se um conjunto de regras estabelecidas quanto à discretização
transversal e longitudinal a utilizar na análise linear de estabilidade e de pós-encurvadura de
perfis de aço enformados a frio [35,37]. Assim, para cada malha, consideram-se discretizações
em que (i) a dimensão dos elementos é mantida constate ao longo da direcção longitudinal do
perfil (i.e., não há um aumento do número de elementos junto aos apoios), (ii) o nível de
discretização é estabelecido mediante uma análise linear de estabilidade “preliminar” que
conduzisse a resultados próximos dos obtidos através do MFF e (iii) a dimensão dos elementos
quadrados é de aproximadamente 10mm de lado.
3.3. Condições de apoio
As condições de apoio têm uma grande importância no comportamento dos perfis de aço
enformados a frio, podendo a sua inadequada modelação influenciar significativamente os
resultados obtidos na análise linear de estabilidade ou de pós-encurvadura de perfis. Este facto
30
assume particular importância quando se pretende comparar resultados numéricos com os
obtidos em ensaios experimentais, sendo frequente encontrar na literatura referência a várias
situações em que essas diferenças são atribuídas (i) à inadequada modelação das condições de
apoio por elementos finitos ou (ii) à dificuldade em materializar, em termos experimentais,
condições de apoio ideais [37, 38].
Antes de proceder à modelação das condições de apoio dos perfis, é conveniente
clarificar alguns aspectos importantes, designadamente a distinção que é necessário fazer entre
condições de apoio globais e locais [35]:
(i) As condições de apoio globais dizem respeito aos deslocamentos de corpo rígido das
secções extremas das barras, i.e., deslocamentos e rotações do eixo da barra, existindo
6 condições de apoio deste tipo em cada extremidade do perfil.
(ii) As condições de apoio locais dizem respeito aos deslocamentos e rotações dos bordos
transversais das paredes que formam a barra, os quais têm que ser compatíveis (ii1)
com as condições globais e (ii2) entre si, ao longo da linha média de cada secção
extrema o empenamento consiste num exemplo de um deslocamento associado a
uma condição de apoio local.
Para ilustrar a diferença entre as rotações de flexão globais e locais, a Figura 3.4 mostra
três situações distintas e fisicamente possíveis, envolvendo a ligação entre o bordo transversal
da parede de um perfil e uma chapa de extremidade rígida (i.e., o empenamento está impedido
na secção extrema): (i) rotação global impedida e rotação local livre (Figura 3.5(a)), (ii) rotação
global livre e rotação local impedida (Figura 3.4(b)) e (iii) as duas rotações livres (Figura 3.4(c)).
G
L
parede
fina
chapa
rígida fixa
L
G
(a) (b) (c)
Figura 3.4 – Ilustração da diferença entre as rotações de flexão globais e locais [35].
Seguidamente, apresenta-se e descreve-se um conjunto de condições de apoio frequentemente
modeladas nas análises numéricas e/ou consideradas em ensaios experimentais:
(i) Secção livre. Todos os deslocamentos/rotações locais e globais livres.
(ii) Secção fixa. Todos os deslocamentos/rotações locais e globais impedidos. Esta é a
condição de apoio implementada na maioria dos ensaios experimentais com colunas
31
realizados, por exemplo, na Universidade de Sydney [38] obviamente, o
deslocamento axial da extremidade onde a carga é aplicada deverá ser considerado
livre.
(iii) Secção simplesmente apoiada. Os deslocamentos transversais e as rotações de torção
globais da secção (i.e., do seu centro de gravidade) estão impedidos, havendo várias
possibilidades quanto aos deslocamentos locais de flexão e membrana: (iii1) podem
estar todos impedidos (condição semelhante à considerada no MFF), (iii2) só alguns
impedidos ou (iii3) só um impedido apoio do tipo “forquilha”.
(iv) Secção localmente fixa e globalmente simplesmente apoiada. Os deslocamentos
transversais e as rotações de torção globais da secção estão impedidos, assim como os
deslocamentos de flexão e membrana e as rotações locais. Esta condição de apoio foi,
por exemplo, admitida num conjunto de ensaios experimentais efectuados na
Universidade Federal do Rio de Janeiro [39].
(v) Secção localmente rotulada e globalmente fixa. Os deslocamentos transversais e as
rotações de torção globais da secção estão impedidos, enquanto que os deslocamentos
de flexão e membrana e as rotações locais encontram-se livres.
Nas análises efectuadas, consideraram-se as secções extremas dos perfis como
simplesmente apoiadas, o que significa que estas secções estão articuladas e podem empenar
livremente. No que diz respeito ao modelo de cálculo, esta condição de apoio foi simulada (i)
impedindo os deslocamentos transversais e (ii) permitindo o deslocamento axial e as rotações
de flexão de todos os nós das extremidades da barra. De modo a evitar problemas numéricos
relacionados com movimentos de corpo rígido do perfil, impediram-se também (i) as rotações
de torção nas secções extremas e (ii) o deslocamento axial do nó situado a meia altura da alma
da secção de meio vão do perfil.
Importa referir que a modelação da condição de secção simplesmente apoiada, através
da imposição de deslocamentos transversais nulos em todos os nós da secção, provoca um
fenómeno de concentração de tensões nas extremidades que pode ter consequências na análise
de estabilidade dos perfis pelo MEF [35, 37] 13. As Figuras 3.5(a)(c) ilustram essa influência
para colunas de secção C, Z e “Rack”. Nesta figura apresentam-se pares de curvas cr vs. L/b1
(sendo cr a tensão crítica, b1 a altura da alma e L o comprimento do perfil) quando a referida
condição de apoio é modelada de duas formas: (i) impedindo todos os deslocamentos
13
Este fenómeno não surge nas análises através do MFF ou da GBT.
32
transversais ao longo dos bordos do perfil (procedimento adoptado neste trabalho e que gera o
referido estado não uniforme de tensão no perfil curva nun) ou (ii) libertando alguns deles,
de forma selectiva (procedimento que conduz a estados uniformes de tensão curva un). O
estudo permitiu concluir que (i) a concentração de tensões reduz o valor de cr apenas nas
colunas “curtas”, i.e., naquelas que instabilizam em modos locais, (ii) o efeito da concentração
de tensões diminui com o comprimento da coluna, mas só desaparece totalmente quando o
modo crítico passa a ser distorcional (isto se os valores mínimos dos dois modos forem
razoavelmente diferentes – caso da Figura 3.5(a)), (iii) os valores mínimos, relativos à
instabilidade em modos locais com um número crescente de semi-comprimentos de onda, vai
aumentando e tendendo para o “valor ideal”, i.e., o valor obtido com um estado de tensão
uniforme – caso das Figuras 3.5(b) e 3.5(c).
(a) (b) (c)
Figura 3.5 Influência da concentração de tensões no valor da tensão crítica em colunas de secção em (a) C,
(b) Z e (c) “Rack” [35].
3.4. Carregamento
Neste trabalho são analisados perfis submetidos à compressão simples, sendo os estados
de tensão obtidos por aplicação, nas secções extremas dos perfis, de um conjunto de forças
nodais segundo a direcção longitudinal e estaticamente equivalentes aos referidos estados de
tensão (ver Figura 3.6).
O carregamento consiste numa carga distribuída, de valor uniforme na secção, que gera
um estado de tensão de compressão de 1 MPa nos perfis. Deste modo, o valor do parâmetro de
carga fornecido pelo ABAQUS consiste na tensão média de compressão na coluna (em MPa),
sendo o valor da carga determinado multiplicando o parâmetro de carga pela área da secção
transversal do perfil.
33
Figura 3.6 – Perfil em Z submetido à compressão uniforme.
O ABAQUS não permite a introdução de cargas distribuídas actuando segundo a
superfície média do elemento finito de casca. Por isso, todos os carregamentos distribuídos
aplicados nesta direcção têm de ser transformados em “forças nodais” equivalentes, com estas
forças a serem (i) estaticamente equivalentes às tensões aplicadas.
Convém referir que não é conveniente a consideração de forças ou momentos
concentrados (e.g., aplicados no centro de gravidade de secções extremas) em perfis
simplesmente apoiados e com empenamento livre14. De facto, nestes casos, a consideração de
uma única força ou momento aplicado num nó origina concentração de tensões/deformações na
vizinhança do ponto de aplicação da carga que naturalmente altera o comportamento de
estabilidade do perfil, designadamente o modo de instabilidade e o valor da carga/momento
crítico15 [25].
Na Figura 3.7, ilustra-se este aspecto da modelação para o perfil de secção transversal
em Z, submetido a flexão uniforme (desviada) a ser aplicada por meio de forças distribuídas e
momentos concentrados, sendo possível concluir que (i) os dois tipos de carregamento
conduzem a diferentes configurações dos modos críticos de instabilidade (a aplicação de um
momento flector concentrado conduz a uma instabilidade local do perfil) e (ii) a concentração
de tensões que resulta da aplicação de um momento flector no centro de gravidade da secção
reduz significativamente o valor de Mcr (neste caso, para menos de 45%).
14
Este fenómeno não surge nas análises através do MFF ou da GBT (a introdução das forças aplicadas é distinta). 15
Este efeito não ocorre se a secção extrema estiver ligada a uma placa rígida, uma vez que esta acaba por
redistribuir a carga por os restantes nós da secção.
34
(a)
(b)
Figura 3.7 – Perfil em Z submetido à flexão uniforme. Modo de instabilidade e momento crítico associado a dois
carregamentos estaticamente equivalentes. [25]
3.5. Imperfeições iniciais
É habitual classificar as imperfeições dos perfis metálicos em:
(i) Imperfeições materiais, de que são exemplo (i1) as tensões residuais e (i2) a
variabilidade das propriedades mecânicas do material (tensão de cedência, módulo de
elasticidade, etc.).
(ii) Imperfeições geométricas, de que são exemplo (ii1) a curvatura inicial do eixo da
barra (flecha inicial), (ii2) a variabilidade das dimensões (incluindo a espessura da chapa),
(ii3) a existência de distorção e/ou (ii4) de empenamento da secção transversal do perfil.
Vários estudos mostram que a importância das tensões residuais (imperfeições
materiais mais significativas) depende do tipo de perfil metálico (e.g. [40]).
Nos perfis com secções laminadas a quente, os valores das tensões residuais
desenvolvidas no processo de arrefecimento são muito significativas, podendo ser superiores a
1/3 da tensão de cedência do material. Essas tensões (de componentes longitudinal e
transversal) ocorrem em zonas importantes da secção transversal, como as extremidades dos
banzos de secções em I ou C, devendo ser tidas em conta na previsão da resistência última dos
elementos de aço laminados a quente.
Nos perfis de aço enformados a frio, desenvolvem-se também tensões residuais durante
o processo de fabrico dos perfis, designadamente durante a dobragem. Contudo, as
Mcr = 851 Nm
Mcr = 372 Nm
35
componentes mais significativas destas tensões ocorrem segundo a direcção transversal do
perfil e não segundo a direcção longitudinal (direcção segundo a qual o carregamento gera as
tensões mais elevadas). Estudos efectuados por vários autores, (e.g. [40]), mostraram que as
tensões residuais não afectam de forma significativa a resistência dos perfis de aço enformados
a frio, razão pela qual não se considera a sua presença nos perfis analisados no decurso deste
trabalho.
As imperfeições geométricas, sempre presentes em qualquer elemento estrutural,
podem afectar significativamente a resistência de perfis metálicos. Torna-se, por isso,
indispensável contabilizar este tipo de imperfeições ao efectuar o estudo do comportamento de
pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio.
Sarawit et al. [41] propõem três possíveis abordagens para incluir as imperfeições
geométricas nas análises numéricas, designadamente (i) utilizar uma imperfeição que consista
na sobreposição dos vários modos de instabilidade, com uma amplitude a definir, (ii) utilizar o
espectro dos valores das imperfeições gerado a partir de medições (só viável se for possível
efectuar medições rigorosas), (iii) recorrer a técnicas estocásticas e gerar aleatoriamente a
forma da imperfeição geométrica.
No presente trabalho seguiu-se a primeira abordagem, i.e., as imperfeições geométricas
são consideradas como combinações lineares das configurações dos modos de instabilidade,
tendo o programa ABAQUS a possibilidade de incorporar tais imperfeições nas análises de pós-
encurvadura, bastando para tal (i) efectuar a análise de estabilidade dos perfis, (ii) seleccionar
os modos de instabilidade a combinar e (iii) definir o coeficiente de participação do modo na
configuração pretendida.
3.6. Modelação do material
Na Figura 3.8 apresentam-se dois diagramas tensão-deformação obtidos em ensaios de
tracção uniaxial para dois tipos de aço (carbono) [42]. De um modo geral, pode afirmar-se que
os diagramas apresentam (i) um troço inicial linear (até à tensão limite de elasticidade), troço
esse caracterizado pelas constantes elásticas E e , respectivamente, o módulo de elasticidade e
o coeficiente de Poisson, e (ii) um segundo troço não linear, onde ocorrem grandes
deformações plásticas e algum endurecimento, mais ou menos significativo, em função do tipo
de aço ensaiado. Este segundo troço, de difícil caracterização, envolve o conhecimento dos
valores da tensão de cedência (fy) e da tensão última (fu) do material.
36
Figura 3.8 – Curvas tensão-deformação para dois tipos de aço [42].
Têm sido considerados vários modelos constitutivos para descrever o comportamento
mecânico de um material com as características do aço. Na Figura 3.9 apresentam-se alguns
desses modelos, designadamente os modelos (i) elástico linear, (ii) elasto-plástico perfeito e
(iii) elasto-plástico com endurecimento.
1E E
1
E1
(a) (b) (c)
Figura 3.9 – Alguns modelos de comportamento mecânico adoptados para o aço: modelo (a) elástico linear, (b)
elasto-plástico perfeito e (c) elasto-plástico com endurecimento.
Neste trabalho, considerou-se o aço como um material homogéneo e isotrópico, com um
comportamento (i) elástico-linear ou (ii) elástico/perfeitamente plástico. No último caso,
utilizou-se o modelo Prandtl-Reuss, que considera o critério de cedência de von Mises e a
correspondente regra de escoamento plástico associada. Os dois modelos referidos estão
disponíveis na biblioteca dos materiais do programa ABAQUS e a sua utilização implica apenas
a definição dos valores de E, e fy.
37
3.7. Técnicas de resolução numérica
Seguidamente, referem-se algumas técnicas numéricas adoptadas neste trabalho para (i)
resolver os problemas de valores e vectores próprios (análise linear de estabilidade) e (ii)
determinar e caracterizar as trajectórias de equilíbrio não lineares (análise de pós-encurvadura).
As análises lineares de estabilidade envolvem a resolução de um problema de valores e
vectores próprios, o qual é definido pelas matrizes de rigidez elástica e geométrica do perfil
(discretizado). Os métodos de resolução deste tipo de problema disponíveis no ABAQUS são (i)
o método Lanczos, baseado no algoritmo com o mesmo nome, e (ii) o método de iteração em
sub-espaços. O primeiro é, em geral, mais eficiente quando se pretende determinar um número
elevado de modos e tem a vantagem adicional de permitir definir o intervalo de valores no qual se
pretende identificar as cargas/momentos. O método de iteração em sub-espaços é apropriado
quando se pretende determinar um número reduzido de modos (geralmente inferior a 20)
sendo, por isso, o utilizado no presente trabalho. Independentemente do método escolhido, o
programa identifica as configurações dos n modos de instabilidade e respectivos valores de
bifurcação (tensões/cargas), com o valor n a ser definido pelo utilizador.
A determinação da resistência última de elementos de aço enformados a frio implica
obter trajectórias de equilíbrio não lineares, que relacionam as forças/momentos aplicados com
um determinado deslocamento do perfil. Genericamente, estas trajectórias podem apresentar um
comportamento como o ilustrado na Figura 3.10, onde se mostra que, à medida que a solução
evolui, o incremento da carga e/ou deslocamento pode não ser monotónico.
Carga
Deslocamento
P
Figura 3.10 – Trajectória de equilíbrio não linear genérica.
Quando as trajectórias de equilíbrio exibem pontos limite (ponto P da Figura 3.10,
associados, por exemplo, à resistência última do perfil), a determinação do ramo descendente
obriga ao uso de estratégias específicas de resolução do sistema de equações não lineares (e.g.,
38
controle de deslocamento ou controle de comprimento de arco). Para analisar problemas
estruturais com estas características, o programa ABAQUS utiliza o método de Riks [43]. Este método
(i) utiliza uma estratégia de “comprimento de arco”, (ii) admite a amplitude da carga como
uma variável adicional e (iii) resolve o sistema de equações não lineares, considerando o
carregamento como proporcional (i.e., a magnitude das cargas varia com um parâmetro escalar
).
Deve ainda referir-se que os parâmetros de controlo do método (i.e., o comprimento inicial
de arco e os seus valores mínimo e máximo) podem ter um papel importante na “qualidade” da
trajectória de pós-encurvadura determinada para os perfis. O programa ABAQUS admite,
automaticamente, determinados valores para estes parâmetros que, de um modo geral, são
adequados a muitas das situações analisadas. Contudo, quando o comportamento estrutural é
“irregular” (e.g., quando ocorrem fenómenos com “snap back”) ou se pretende identificar o
início da plasticidade, pode ser necessário alterar (diminuir) o valor desses parâmetros de
forma a poder acompanhar adequadamente a trajectória de pós-encurvadura dos perfis.
Naturalmente, esta diminuição faz aumentar o número de incrementos dessas análises que, no
presente caso do estudo do comportamento de pós-encurvadura em perfis com interacção
modal, atingiu as várias centenas de incrementos.
3.8. Exemplos de validação
Com o intuito de validar as opções e os procedimentos indicados nos parágrafos
anteriores, consideraram-se alguns exemplos de validação relativos (i) à análise linear de
estabilidade e (ii) à análise de pós-encurvadura elástica de perfis de aço enformados a frio.
Apresentam-se os resultados obtidos com o modelo de elementos finitos atrás descrito e
comparam-se esses resultados com os determinados por outros autores, os quais analisaram os
perfis recorrendo, designadamente, (i) ao MEF [12] e (ii) à GBT [44].
Na Tabela 3.1 apresentam-se a geometria e as características elásticas do aço dos perfis
analisados. Consideraram-se perfis submetidos (i) a compressão uniforme (i.e., colunas), de
secção em C [12], e (ii) a flexão uniforme (i.e., vigas – compressão nas fibras superiores), de
secção em Z [44]. As dimensões dos perfis foram escolhidas por forma a estes instabilizarem
(na maioria dos casos) no modo distorcional, porque este desempenha um papel fundamental
nos estudos a efectuar no próximo capítulo, i.e., no estudo da pós-encurvadura de perfis com
interacção L/D. Nestas condições, é conveniente avaliar se o modelo de elementos finitos
39
permite reproduzir, de forma adequada, o comportamento distorcional de perfis de aço
enformados a frio, pois só assim poderá ser utilizado, com confiança, nos estudos de interacção
modal.
Tabela 3.1 – Geometria e características elásticas dos perfis analisados.
Secção b1 b2 b3 t L
[mm] [mm] [mm] [mm] [mm]
t
3b
1b
2b
4b
2b
1b
3b
t
b2
b3
b1
tt
3b
1b
2b
4b
2b
1b
3b
t
b2
b3
b1
t
C 100 50 5 1,0 270
Z 100 60 5 1,0 300
3.8.1. Análise linear de estabilidade
Apresentam-se agora os resultados relativos ao comportamento de estabilidade
(bifurcação), em regime elástico, da coluna de secção em C e da viga, de secção em Z.
Analisam-se perfis com secções extremas apoiadas e que podem empenar livremente, e
determina-se (i) o valor da carga/momento crítico, e (ii) a configuração do correspondente modo
de instabilidade. Na Tabela 3.2 indicam-se os valores da carga/momento crítico determinados
com este modelo e faz-se a sua comparação com os valores de referência, enquanto que na
Figura 3.11 se apresenta a discretização e a configuração dos modos críticos de instabilidade
obtidas com o modelo de elementos finitos descrito anteriormente. A observação destes
resultados permite retirar as seguintes conclusões:
(i) Nos dois casos, os perfis instabilizam em MD (ver Figura 3.11), com os modos a
exibirem apenas um semi-comprimento de onda e no caso da viga em Z a envolverem
apenas o banzo comprimido.
(ii) Independentemente do carregamento, verifica-se uma excelente concordância entre os
valores determinados com o presente modelo e os valores de referência – pequenas
diferenças (máximo de 0,5%) resultam das naturais diferenças entre os modelos e/ou
métodos de análise (MEF e GBT).
(iii) Nestas condições, considera-se validado o modelo de elementos finitos adoptado
neste trabalho, no que se refere à sua utilização no estudo do comportamento de
estabilidade de perfis de aço enformados a frio afectados por instabilidades
distorcionais.
E=210GPa
40
Tabela 3.2 – Carga/momentos críticos e modos de instabilidade dos perfis.
Perfil
MEF Valores de referência
Valor Crítico Modo Crítico Modo
C Pcr [kN] 715,5 MD 715 MD
Z Mcr [Nm] 785,9 MD 785 MD
(a) (b)
Figura 3.11 – Modo de instabilidade dos perfis : (a) C e (b) Z [25].
3.8.2. Análise de pós-encurvadura
Nesta secção apresentam-se os resultados das análises de pós-encurvadura, em regime
elástico, de colunas e vigas bi-apoiadas, cuja estabilidade (elástica) se analisou na sub-secção
anterior. Apresentam-se trajectórias de pós-encurvadura de perfis com imperfeições
geométricas iniciais que exibem a forma do modo crítico de instabilidade (MD), com
amplitudes de pequena dimensão, nomeadamente, (i) para a coluna C, com amplitude de ±10%
da espessura da parede do perfil (v0= 0,1 t), e (ii) para a viga Z, v0= 0,15 t. Note-se que (i) v
consiste no deslocamento vertical (máximo) do nó de ligação banzo-reforço da secção central
do modo MD, e (ii) v > 0 está associado à “abertura” das secções e v < 0 ao seu “fecho”.
Na Figura 3.12 apresentam-se as trajectórias de equilíbrio P/Pcr vs. v/t para a coluna C,
enquanto que, na Figura 3.13, se apresentam as trajectórias M/Mcr vs. v/t para a viga Z. As
trajectórias de pós-encurvadura determinadas com o presente modelo de elementos finitos e a
sua comparação com as curvas de referência (nas figuras representadas por círculos) permite
retirar as seguintes conclusões:
(i) A observação das trajectórias P/Pcr vs. v/t da Figura 3.12 permite confirmar a
existência de uma clara assimetria de pós-encurvadura distorcional, associadas a
valores de v0 positivos e negativos correspondendo a maior resistência pós-crítica a
v0<0 (fecho do perfil). Esta assimetria, é bastante mais acentuada para a viga Z, como se
pode ver na Figura 3.13. A título de exemplo, observe-se que, para v/t=10, o valor do
momento é cerca de 18% superior para v0 < 0 (“fecho” das secções).
41
(ii) Há uma concordância quase absoluta entre os resultados das análises baseadas no
presente modelo de elementos finitos e os de referência as diferenças não excedem 1%.
(iii) Assim sendo, considera-se validado o modelo de elementos finitos adoptado neste
trabalho também em termos do comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço
enformados a frio afectados por fenómenos de instabilidade distorcional.
Figura 3.12 – Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da coluna C.
Figura 3.13 – Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da viga Z
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
10 5 0 5 10
P/Pcr
ABAQUS
Dinis & Camotim 2005
v/t
10 15
| v | / t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 5
M/Mcr
Silvestre 2005
ABAQUS
v<0 “fecha”
v>0 “abre”
42
43
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DE PÓS-ENCURVADURA COM INTERACÇÃO
MODAL
4.1. Introdução
Como já se mencionou, a maioria dos perfis de aço enformados a frio apresenta secção
de parede fina aberta, muito esbelta, o que os torna bastante susceptíveis à ocorrência de
fenómenos de instabilidade. O objectivo do presente trabalho consiste em estudar o
comportamento de pós-encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, de perfis afectados
por fenómenos de interacção entre os dois modos locais, i.e., o ML e o MD. Para estudar o
referido comportamento é fundamental identificar perfis cujas dimensões conduzam a valores
semelhantes para as tensões/esforços de bifurcação nos dois modos, valores esses a determinar
(assim como as respectivas configurações dos modos de instabilidade) a partir da análise linear
de estabilidade dos perfis.
Como já foi referenciado, o valor do esforço crítico de um perfil e a natureza do
correspondente modo de instabilidade dependem (i) da geometria do perfil, (ii) das condições
de apoio, (iii) do carregamento e (iv) das constantes elásticas adoptadas para o aço.
No presente estudo, consideram-se perfis (i) de secção transversal em Z, (ii) com secções
extremas apoiadas e que podem empenar livremente, (iii) submetidos a compressão uniforme,
(iv) constituídos por aço com E=210 GPa e =0,3. Nestas condições, o valor do esforço e a
natureza do modo crítico de bifurcação só dependem das dimensões do perfil, i.e., das
dimensões da secção transversal e do comprimento.
A identificação das dimensões dos perfis é efectuada recorrendo ao método das faixas
finitas semi-analítico e, em particular, ao programa CUFSM [27]. Foram seleccionadas dimensões
44
que conduzem a valores semelhantes das cargas de bifurcação nos dois modos referidos,
posteriormente confirmados mediante a análise de estabilidade por elementos finitos dos perfis,
efectuada recorrendo ao programa ABAQUS [28]. Estas análises permitiram também determinar
a configuração dos modos de instabilidade, cuja combinação define o conjunto de imperfeições
geométricas iniciais dos perfis analisados.
Por sua vez, a análise de pós-encurvadura de um perfil real de aço (i.e., com
imperfeições geométricas e tensões iniciais) submetido a um determinado carregamento, envolve
a determinação de trajectórias de equilíbrio não lineares, também designadas por trajectórias de
pós-encurvadura, as quais consistem em curvas que relacionam o carregamento aplicado
(habitualmente dependente de um único parâmetro de carga) com determinados componentes
de deslocamentos escolhidos de modo a ilustrar convenientemente o comportamento dos
perfis.
Estas análises são complexas, envolvendo a resolução do sistema de equações de
equilíbrio não lineares que rege o comportamento do elemento estrutural, com o
comportamento material do aço a ser modelado através de leis constitutivas elásticas ou elasto-
plásticas. Contudo, quando os elementos estruturais são afectados por fenómenos de interacção
modal, a realização dessas análises apresenta dificuldades específicas, desde logo quanto às
imperfeições a considerar nas análises numéricas. De facto, os procedimentos correntes de
incluir imperfeições com a configuração do modo crítico de instabilidade, deixam de estar bem
definidos quando o valor do esforço de bifurcação associado a dois ou mais modos de
instabilidade é idêntico. Além disso, a determinação numérica das várias soluções de equilíbrio
torna-se mais difícil, podendo as trajectórias exibir pontos limites elásticos logo no início das
análises.
Seguidamente, faz-se a selecção dos perfis afectados por interacção local e explica-se o
procedimento para a inclusão das imperfeições geométricas iniciais, terminando o capítulo com
a análise de pós-encurvadura elástica e elasto-plástica dos perfis seleccionados.
4.2. Selecção da geometria dos perfis
A identificação da geometria da coluna que conduz a valores semelhantes das cargas de
bifurcação nos modos local e distorcional envolveu a análise linear de estabilidade dos perfis,
efectuada com o recurso ao programa CUFSM. Neste caso, a análise requer a discretização do
perfil ao longo da linha média da secção transversal, tendo sido efectuado um estudo prévio
45
para determinar o nível adequado – os perfis encontram-se simplesmente apoiados e, portanto,
as funções sinusoidais descrevem exactamente a variação longitudinal do campo de deslocamentos
e satisfazem as condições de apoio correspondentes. Seguidamente, descreve-se a forma como
foi seleccionada a geometria da coluna de secção em Z considerada nas análises de pós-
encurvadura.
(i) Determinaram-se várias curvas que traduzem a variação dos valores das cargas de
bifurcação e da natureza dos modos de instabilidade com o comprimento L das
colunas, as quais permitem detectar os valores mínimos dos esforços de bifurcação no
ML e MD (PL, PD) e os respectivos valores de L (LL, LD). Na Figura 4.1(a), apresenta-
se (i1) uma curva típica16 determinada pelo programa CUFSM (função sinusoidal com um
único semi-comprimento de onda) e (i2) a configuração da secção transversal de uma
coluna de secção em Z associada a bifurcação em ML, MD e MG.
(ii) Realizaram-se estudos paramétricos a partir dos quais se investigou a influência das
dimensões da secção transversal dos perfis na estabilidade local das colunas, i.e., no
valor da carga crítica e na natureza do modo de instabilidade local. Estes estudos
paramétricos procuraram identificar geometrias para as quais o valor dos esforços de
bifurcação em ML e MD é semelhante a igualdade dos valores mínimos (PL, PD)
potencia a ocorrência de fenómenos de interacção modal no comportamento de pós-
encurvadura dos perfis. Na Figura 4.1(b) apresenta-se uma curva típica P vs. L,
determinada pelo programa CUFSM quando esse objectivo é atingido, estando identificado
por LL/D o menor valor de L para o qual o valor mínimo do esforço de bifurcação
distorcional é semelhante ao local.
(iii) A selecção da geometria dos perfis foi também condicionada por outro aspecto: (iii1) a
conveniência do ML apresentar um número ímpar de semi-comprimentos de onda –
esta imposição visou apenas simplificar a identificação das participações dos dois
modos na configuração de pós-encurvadura elástica, uma vez que ambos apresentam
amplitudes máximas na mesma secção (a secção de meio vão).
16
Escala horizontal logarítmica.
46
ML MD MG
(a)
(b)
Figura 4.1 – Variação da carga Pb de bifurcação com o comprimento L de colunas de secção em Z. Perfil
com valores mínimos PL e PD (a) diferentes ou (b) semelhantes.
De seguida ilustram-se alguns estudos paramétricos efectuados para atingir o objectivo
referido anteriormente, i.e., para identificar geometrias com valores mínimos semelhantes dos
esforços de bifurcação em ML e MD.
4.2.1 Estudos paramétricos
Nos estudos paramétricos realizados, isolam-se as principais características geométricas
do perfil (alma, banzos, reforços e espessura), e analisa-se o efeito que a variação dessas
características tem na tensão e na natureza do modo crítico das colunas de secção em Z. De
seguida, apresentam-se os resultado de alguns desses estudos. Os resultados são obtidos de
forma iterativa, numa base de tentativa/erro, em que as características já mencionadas sofrem
alterações “positivas” ou “negativas” e o resultados dessas alterações é registado. Os dados são
manipulados de forma gráfica por forma a facilitar a análise e a conclusão a retirar sobre quais
as dimensões necessárias para que a interacção modal seja maximizada (mínimos L e D muito
próximos).
47
t
3b
1b
2b
4b
2b
1b
3b
t
b2
b3
b1
t
b1 [mm]
Za1 80
Za2 100
Za3 120
(a)
(b)
Figura 4.2 – (a) Dimensões da secção transversal com variação da alma e (b) curvas σb vs L
t
3b
1b
2b
4b
2b
1b
3b
t
b2
b3
b1
t
b2 [mm]
Zb1 40
Zb2 50
Zb3 60
(a)
(b)
Figura 4.3 – (a) Dimensões da secção transversal com variação dos banzos e (b) curvas σb vs L
b1 = variável
b2 = 50mm b3 = 10mm t = 0,4mm
E = 210GPa
b1 = 100mm
b2 = variável b3 =10mm t = 0,4mm
E = 210GPa
48
t
3b
1b
2b
4b
2b
1b
3b
t
b2
b3
b1
t
b3
[mm]
Zr1 10
Zr2 12,5
Zr3 15
(a)
(b)
Figura 4.4 – (a) Dimensões da secção transversal com variação dos reforços e (b) curvas σb vs L
t
3b
1b
2b
4b
2b
1b
3b
t
b2
b3
b1
t
t
[mm]
Ze1 0,4
Ze2 0,5
Ze3 0,6
(a)
(b)
Figura 4.5 – (a) Dimensões da secção transversal com variação da espessura e (b ) curvas σb vs L
b1 = 100mm b2 = 50mm
b3 = variável t = 0,4mm E = 210GPa
b1 = 100mm
b2 = 50mm b3 = 10mm t = variável
E = 210GPa
49
Nos gráficos das Figuras 4.2(b) a 4.5(b), observe-se que cada uma das curvas σb vs. L
apresenta dois mínimos locais, correspondendo o primeiro a um ML e o segundo a um MD.
Alem disto, é possível concluir que:
(i) O aumento da dimensão da alma conduz a uma descida da tensão de bifurcação
para os modos ML e MD, sendo ainda assim esse decremento maior para o ML.
(ii) A carga de bifurcação no modo ML é praticamente insensível à variação das
dimensões do banzo, o mesmo não acontecendo para o MD. Neste caso, reage
de forma antagónica ao aumento do banzo.
(iii)Aparentemente as dimensões dos reforços não influenciam em nada o ML, mas
a sua variação positiva faz variar o MD positivamente e vice-versa.
(iv) A espessura faz ambos os modos variarem, com os gráficos a sofrerem
translações no eixo das ordenadas e o MD a ter translações no eixo das abcissas,
estando o aumento da espessura relacionado com translações positivas em yy e
negativas em xx.
4.2.2 Escolha do perfil em interacção modal
Efectuaram-se estudos paramétricos semelhantes aos anteriores para encontrar um
conjunto de perfis cujas geometrias permitam obter resultados elucidativos acerca do fenómeno
de interacção L/D, com a instabilidade local precipitada pela alma da coluna. A secção
seleccionada encontra-se indicada na tabela da Figura 4.6(a), apresentando-se na Figura 4.6(b)
os resultados relativos ao comportamento de estabilidade que estiveram na origem da selecção
do comprimento do perfil. Na Figura 4.6(c) apresenta-se, de forma esquemática, a configuração
deformada da secção transversal da coluna referente a alguns modos de instabilidade – a sua
natureza depende do comprimento das barras.
50
t
3b
1b
2b
4b
2b
1b
3b
t
b2
b3
b1
t
b1 [mm]
b2 [mm]
b3 [mm]
t [mm]
100 60 10 1,5
(a)
0
500
1 1000
σb (MPa )
L (cm )
1000
10 LL/D
σb L/D I II
III
100
(b)
I
II
III
(c)
Figura 4.6 – (a) Geometria da secção transversal do perfil seleccionado, (b) curva σb vs. L e (c) configuração
deformada da secção transversal referente a três modos de instabilidade das colunas: I-Modo local; II-
Modo distorcional; III-Modo global (flexão).
Da observação da Figura 4.6(b), é possível retirar as seguintes conclusões:
(i) Para valores de L < 8,2 cm (LL), a coluna instabiliza num modo local, com a
instabilidade a ser precipitada pela alma (ver modo I da figura).
(ii) A curva apresenta um segundo mínimo para L 40,3 cm (LL/D), o qual está associado à
instabilidade distorcional – ver modo II. Observe-se a semelhança de valor das duas
tensões mínimas (σb L/ σb D=0,98).
(iii) Para L > 120 cm (valor associado a LL/D/G), a coluna instabiliza num modo global por
flexão ver modo III.
(iv) Para valores de L compreendidos entre 8,2 < L < 120 cm, as curvas obtidas com o
programa CUFSM não descrevem totalmente o comportamento das colunas, pelos
seguintes motivos: (iv1) o número de semi-comprimentos de onda poderá ser superior à
unidade e (iv2) o valor semelhante dos mínimos σbL e σbD faz com que, para
determinados valores de L, o modo de instabilidade corresponda a uma combinação
linear dos modos ML e MD (modos I e II representados na figura). De facto, para 8,2 <
L < 40,3 cm, a instabilidade pode ocorrer num modo local com um número de semi-ondas
E=210 GPa
=0.3
51
maior ou igual à unidade, enquanto que, para 40,3 < L < 120 cm, a instabilidade pode
ocorrer num modo acoplado L/D.
(v) Concretamente para L 40,3 cm, a coluna instabiliza para σb=221 MPa (Pb=79,56
kN), combinando um modo local com cinco semi-comprimentos de onda
(
n 40,38,2
5) e um modo distorcional com apenas um.
4.2.3 Análise por elementos finitos do perfil seleccionado
A análise linear de estabilidade por elementos finitos do perfil, com as dimensões
seleccionadas no parágrafo anterior teve vários objectivos, designadamente, (i) confirmar a
susceptibilidade desse perfil em relação a fenómenos de interacção ML/MD, (ii) determinar o
valor da carga crítica por elementos finitos, e (iii) obter a configuração dos dois modos locais
(ML e MD), cuja combinação define o conjunto de imperfeições geométricas iniciais admitidas
no estudo do comportamento de pós-encurvadura com interacção modal, a realizar na sub-
secção seguinte. Na modelação por elementos finitos, considerou-se o modelo descrito no
capítulo anterior, o que significa que (i) se discretizaram os perfis com elementos S4, (ii) se
adoptou uma relação comprimento/largura próxima da unidade para os elementos finitos, (iii)
se consideraram impedidos todos os deslocamentos transversais nas secções extremas dos
perfis e (iv) se aplicou nos nós de extremidade dos perfis um conjunto de forças longitudinais
estaticamente equivalentes a um estado uniforme de compressão.
A curva representada na Figura 4.7(a) mostra, novamente, a variação da tensão de
bifurcação σb com o comprimento L para a coluna, curva essa obtida através de uma análise
linear de estabilidade baseada no MEF e no MFF – a curva MFF é a da Figura 4.6(a), sendo
incluída para efeito de comparação com a solução por elementos finitos. Por outro lado, na Tabela
4.1 indicam-se os valores das cargas críticas obtidas em cada uma das referidas análises para a
coluna, cuja configuração dos modos críticos de instabilidade se indica na Figura 4.7(b). A
observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões:
(i) De novo, existe uma excelente concordância entre os resultados determinados com o
presente modelo de elementos finitos e os obtidos através do método das faixas finitas
com o programa CUFSM. Observe-se que, no caso onde aparentemente as diferenças
são mais acentuadas (mínimo local e mínimo distorcional), estas resultam, em grande
parte, das concentrações de tensões introduzidas pela restrição dos deslocamentos
transversais nas secções extremas do perfil (ver secção 3.3).
52
(ii) Apesar da dimensão superior das discretizações por elementos finitos, as análises
realizadas com o programa ABAQUS permitem a imediata caracterização do
comportamento de estabilidade da coluna: basta reter o valor do parâmetro de carga e
observar a respectiva configuração dos modos de bifurcação para identificar de forma
clara o número de semi-comprimentos de onda associado a cada modo crítico.
(iii) Finalmente, confirma-se a natureza e o número de semi-comprimentos de onda do
modo de instabilidade acoplado da coluna com L=40,3cm: este modo combina o
modo distorcional, com um semi-comprimento de onda, com modos locais com cinco
semi-comprimentos de onda (ver figura 4.7(b)) – observe-se que os dois modos
apresentam um número ímpar de semi-comprimentos de onda.
0
500
1 1000
σb (MPa )
L (cm )
1000
10 LL/D
σb L/D
MFF
MEF
100
(a)
(b)
Figura 4.7 – Análise de estabilidade do perfil seleccionado. (a) Curva σb vs. L e (b) configuração do modo de
instabilidade “acoplado” local/distorcional.
Tabela 4.1 – Dimensão do perfil, carga crítica e natureza do modo de instabilidade do perfil seleccionado.
MFF
MEF
b1 [mm] b2 [mm] b3 [mm] t [mm] L [mm]
Pcr [N] Pcr [N] Modo
100 60 10 1,5 403
79560 79224 ML(5)+ MD(1)
53
4.3. Imperfeições geométricas iniciais
As imperfeições de natureza geométrica desempenham um papel importante no
comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio, visto alterarem o
comportamento e a resistência última dos elementos estruturais. Para analisar o efeito da
interacção modal no comportamento de pós-encurvadura de perfis é necessário determinar
trajectórias de equilíbrio de barras com imperfeições iniciais que (i) cubram toda a gama de
possibilidades (i.e., combinem de forma variada os diferentes modos) e, simultaneamente, (ii)
tenham amplitudes comparáveis. Nesse sentido, considerou-se a seguinte metodologia na
definição das imperfeições iniciais das barras, a qual tem em conta o facto dos modos de
instabilidade terem um número ímpar de semi-comprimentos de onda:
(i) Determinar as configurações dos modos de instabilidade puros17 que exibem valores
unitários dos deslocamentos máximos na secção média dos perfis: (i1) no ML, o
deslocamento máximo de flexão (w) a ocorrer na alma do perfil18; (i2) no MD, o
deslocamento vertical do nó de ligação banzo-reforço (v).
(ii) Considerar imperfeições geométricas iniciais obtidas por combinação dos modos
puros multiplicados por certos factores, designados por factores de participação
modal (neste caso, CL0 e CD0), os quais indicam a contribuição de cada modo para a
configuração inicial do perfil.
(iii) Impor imperfeições iniciais da mesma dimensão a todos os perfis, sendo considerado,
neste caso, uma amplitude igual a 10% da espessura da parede t do perfil. Para
conseguir este objectivo, começa-se por normalizar os modos puros de forma a obter
w0=0,1t e v0=0,1t, respectivamente, para o modo ML e MD – o índice zero significa
valor inicial. Em seguida, impõe-se a seguinte condição
1)()( 2
0
2
0 LD CC . (4.1)
Para melhor visualizar esta condição, considere-se a circunferência de raio unitário
representada na Figura 4.8. As várias imperfeições geométricas iniciais consideradas
17
Nos casos em que o modo crítico fornecido pelo ABAQUS corresponde a um modo “combinado”, os modos
“puros” foram obtidos a partir da análise linear de estabilidade de um perfil com igual geometria, mas com uma
espessura ligeiramente alterada em relação à espessura do perfil com interacção modal. 18
Devido ao fenómeno de concentração de tensões resultante da modelação por elementos finitos da condição
“simplesmente apoiada”, a coluna considerada neste trabalho não apresenta modos locais com semi-ondas de
igual amplitude e.g., a semi-onda central do perfil tem um deslocamento máximo de flexão inferior ao valor
das semi-ondas de extremidade. Naturalmente, a referida normalização deste modo faz com que estas semi-
ondas (as de extremidade) apresentem deslocamentos de flexão superiores à unidade.
54
neste estudo encontram-se sobre esta circunferência, podendo ser identificadas
através do valor de um ângulo , medido a partir do eixo horizontal e no sentido
directo. Observe-se que, as configurações relativas a imperfeições puras, i.e., com
(iii1) CD0= 1 e CL0=0 (imperfeições distorcionais puras), e (iii2) CD0=0 e CL0 = 1,
(imperfeições locais puras), correspondem, nesta representação, a =0º, 180º e a
=90º, 270º, respectivamente – ver figura 4.9.
(iv) Considerar imperfeições de natureza geométrica com configurações a que correspondem
ângulos compreendidos entre 0º e 360º, com intervalos de 15º. Na verdade
consideraram-se apenas os ângulos referentes ao primeiro quadrante, tal como se
explica na subsecção 4.3.1 referente à simetria. Isto significa que, neste estudo, se
analisaram perfis com sete imperfeições geométricas iniciais diferentes.
Figura 4.8 – Imperfeição geométrica inicial dos perfis. Factores de participação dos modos L e D.
C L0
C D0
270
= 180
= 90
= 0 r=1
55
=90º =270º
=0º =180º
Figura 4.9 – Configuração das imperfeições geométricas iniciais “puras” da coluna Z: locais (= 90º e 270º) e
distorcionais (=0º e 180º).
4.3.1 Simetria
De modo a simplificar a elaboração do documento e aligeirar o número de análises,
observa-se a Figura 4.9, onde é possível concluir que as deformadas dos modos puros são
idênticas. De facto, tomando como exemplo a deformada do modo = 0º, observe-se que
quando invertemos a mesma, esta torna-se idêntica à deformada do modo = 180º - no caso do
modo ML essa simetria é ainda mais evidente. Nestas condições, uma coluna com uma
imperfeição inicial definida por CD.0= cos15º e CL.0= sen15º apresenta uma imperfeição
idêntica à da coluna com =165º e =345º.
Assim sendo, basta analisar colunas com imperfeições associadas ao primeiro quadrante
da circunferência dos factores de participação modal (0º ≤ ≤º) para obter todo o espectro
de resultados.
56
4.4. Análise de pós-encurvadura
Nesta secção analisa-se o comportamento de pós-encurvadura da coluna Z, simplesmente
apoiada, cujas dimensões (e propriedades elásticas do aço) se indicam na Tabela 4.1. A coluna
instabiliza em regime elástico para uma carga de Pcr=79,56 kN (cr=221 MPa), associado a um
modo de instabilidade “combinado” (ver Figura 4.7) com interacção entre o MD (uma semi-
onda) e o ML (cinco semi-ondas). Analisa-se o comportamento de pós-encurvadura, de sete
perfis exibindo diferentes imperfeições geométricas iniciais de pequena dimensão (amplitude
igual a 10% do valor da espessura da chapa), cuja configuração resulta da combinação dos
modos de instabilidade mencionados – recorde-se que, conforme o estabelecido na secção
anterior, a configuração inicial das colunas será identificada por um ângulo compreendido
entre 0º e 90º.
O estudo do comportamento de pós-encurvadura das colunas com interacção modal L/D
será efectuado em duas fases. Em primeiro lugar, procede-se à análise do comportamento de
pós-encurvadura dos perfis em regime elástico linear e, posteriormente, à sua análise em regime
elasto-plástico, considerando diferentes valores para a tensão de cedência do aço.
Recorrentemente, estes estudos são efectuados mediante o traçado de trajectórias de equilíbrio,
P/Pcr vs. v/t e P/Pcr vs. w/t, onde, Pcr é a carga crítica da coluna, t a espessura das paredes do
perfil e v e w os deslocamentos da ligação banzo-reforço e o meio da alma na secção média da
coluna.
4.4.1 Pós-encurvadura em regime elástico
Nesta sub-secção investiga-se o comportamento de pós-encurvadura, em regime
elástico, de sete colunas, as quais diferem entre si quanto à configuração das imperfeições
iniciais. O estudo será apresentado do modo seguinte. Inicia-se com a análise do
comportamento de colunas que exibem imperfeições geométricas “puras”, i.e., com a forma do
modo distorcional e do modo local. Posteriormente, analisa-se o comportamento das colunas
com imperfeições geométricas iniciais que combinam essas duas configurações puras.
Finalmente, estima-se a contribuição das componentes distorcional e local na configuração
deformada das colunas, a qual será obtida a partir dos deslocamentos v e w referentes à secção
de meio vão.
57
Trajectórias de equilíbrio
A Figura 4.10(a)-(b) apresenta a evolução das trajectórias de pós-encurvadura P/Pcr vs.
v/t e P/Pcr vs. w/t, para colunas com imperfeições iniciais puramente distorcionais (=0º) e locais
(=90º) – notar que as escalas horizontais das duas figuras não são iguais. Por sua vez, a Figura
4.11 apresenta a configuração deformada dessas colunas num estádio avançado de pós-
encurvadura elástica. A observação destas figuras permite concluir o seguinte:
(i) As colunas apresentam alguma resistência de pós-encurvadura, com as trajectórias de
equilíbrio a evoluírem no mesmo sentido.
(ii) Inicialmente, as quatro colunas exibem apenas componentes distorcionais ou locais
com a forma e dimensão da imperfeição inicial. A dimensão destas componentes
mantém-se praticamente invariável até valores próximos de P/Pcr0,4, começando
posteriormente a aumentar.
(iii) As colunas (i1) apresentam uma resistência de pós-encurvadura mais significativa e (i2)
exibem um comportamento distinto do evidenciado por colunas em C, no estudo com
interacção L/D: para imperfeições puramente locais (=90º) as colunas em C tendem
sempre a abrir para o interior do perfil, ocorrendo o fenómeno de “snap back”.
(iv) Para valores superiores da carga, a componente local aumenta de forma progressiva,
com a configuração da imperfeição inicial a determinar o sentido da flexão da alma,
observe-se que, para valores de P/Pcr>1,20, ocorre o fenómeno de “snap trough”.
(v) A componente distorcional aumenta essencialmente para valores de P/Pcr>1,0.
58
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 5
P/Pcr
10
v>0
=90º
=0º
w/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
-5
P/Pcr
0
w<0
=90º
=0º
(a) (b)
Figura 4.10 – Trajectórias de equilíbrio (a) P/Pcr vs. v/t e (b) P/Pcr vs. w/t das colunas com imperfeições
distorcionais “puras” (=0º) e locais “puras” (=90º).
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 5
P/Pcr
10
A
B
(a) (b)
Figura 4.11 – Configuração deformada da coluna com imperfeições iniciais definidas por (a) =0º e (b) =90º.
Estes resultados são de alguma forma esperados quando comparados com os obtidos em
estudos anteriores também relativos ao comportamento de pós-encurvadura distorcional
(elástico) de perfis simplesmente apoiados, de aço enformados a frio e com secção em C, também
afectados por interação L/D [45]. De facto, a observação da Figura.4.12 retirada do referido
estudo mostra que nas colunas de secção em C (i) o “sentido” da imperfeição distorcional
determina a evolução da configuração deformada de pós-encurvadura, (ii) esta evolui
B
B
A
=0º
=90º
59
predominantemente no sentido da “abertura” da secção e (iii) a imperfeição distorcional a abrir é a
mais desfavorável.
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
10 5 0
P/Pcr
5 10
=0
v<0 v>0
270 90
180
(a)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
4 2 0
P/ Pcr
w<0
4
w>0
2
w/ t
1
270 90
180
=0
(b)
(a) (b)
Figura 4.12 – Pós-encurvadura de colunas de secção em C com imperfeições iniciais =0º, 90º, 180º e 270º.
Trajectórias de equilíbrio (a) P/Pcr vs. v/t e (b) P/Pcr vs. w/t [45].
Finalmente, as Figuras 4.13(a) e 4.13(b) apresentam as trajectórias de pós-encurvadura
elásticas das restantes colunas analisadas, i.e., das que exibem imperfeições geométricas
iniciais cuja configuração resulta da combinação dos modos, MD (uma semi-onda) e ML
(cinco semi-ondas). A Figura 4.13(a) apresenta os troços superiores (P/Pcr0,8) das trajectórias
P/Pcr vs. v/t, enquanto que a Figura 4.13(b) apresenta troços semelhantes, mas agora referentes às
trajectórias P/Pcr vs. w/t. Em relação a estas figuras, deve notar-se o seguinte: (i) apesar de já
terem sido objecto de análise, representam-se também as trajectórias das colunas com
imperfeições “puras” (i.e., com =0º, 90º). Da observação desta figura pode concluir-se o
seguinte:
(i) Todas as trajectórias revelam uma significativa resistência de pós-encurvadura, mais
acentuada à medida que aumenta a componente local.
(ii) As várias curvas confundem-se numa fase avançada da pós-encurvadura.
(iii) As trajectórias de pós-encurvadura exibiram, na maioria dos casos, um
comportamento “irregular” (e.g., pontos limites, instabilidade por “snap-through”)
resultante do processo de adaptação da coluna à configuração final L/D.
(iv) As imperfeições de natureza geométrica mais desfavoráveis, i.e., as que conduzem às
menores resistências de pós-encurvadura elástica para as colunas Z, são as imperfeições
60
distorcionais =0º. Este facto é importante, confirmando o comportamento observado
em colunas de secção em C, também com interacção MD/ML: onde se constatou que as
imperfeições mais desfavoráveis eram as distorcionais a “abrir” (=180º) [45].
v/ t
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0 5
P/Pcr
10
90º 75º
60º 45º 30º 15º
0º
0.7
0.8
v>0
Figura 4.13a – Trajectórias de equilíbrio P/Pcr vs. v/t das colunas com imperfeições caracterizadas por 0º 90º.
w/ t
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
-5
P/Pcr
0
90º 75º 60º
45º 30º 15º 0º
0.7
w<0
Figura 4.13b – Trajectórias de equilíbrio P/Pcr vs. w/t das colunas Z com imperfeições caracterizadas por 0º 90º.
Factores de Participação Modal
Obtidas as trajectórias P/Pcr vs. v/t e P/Pcr vs. w/t para os sete perfis, determina-se agora
a contribuição relativa das componentes distorcional (CD) e local (CL) para a configuração
deformada de pós-encurvadura das colunas Z com interacção L/D. Concretamente, a estimativa
61
dessa contribuição baseia-se numa metodologia semelhante à já apresentada [45], ou seja, na
evolução de apenas dois deslocamentos da secção de meio vão: o deslocamento vertical do nó de
ligação banzo/reforço e o deslocamento de flexão a meio da alma. A Figura 4.14 mostra uma
configuração deformada genérica da coluna Z e a forma como foram identificadas as referidas
componentes de participação modal (CD e CL). A metodologia adoptada foi a seguinte:
(i) A configuração deformada da coluna pode ser decomposta em duas parcelas: (i1) a
distorcional, e (i2) a local.
(ii) As duas parcelas podem ser expressas como uma combinação linear dos modos de
instabilidade distorcional e local normalizados, i.e., com os deslocamentos máximos
na secção de meio vão iguais à unidade – recorde-se que esses deslocamentos
máximos correspondem ao deslocamento vertical do nó de ligação banzo/reforço
(MD) e ao deslocamento de flexão a meio da alma (ML).
(iii) Designando os deslocamentos desses pontos (iii1) na configuração deformada genérica, por
vmax e por wmax , (iii2) na configuração do modo distorcional normalizado, por vD e wD, e
(iii3) na configuração do modo local normalizado, por vL e wL, pode admitir-se os
deslocamentos nos dois pontos dados por
vmax= CD vD + CL vL wmax= CD wD + CL wL . (4.2)
(iv) Atendendo a que, nos modos normalizados, vD=1, wD=0,619 e wL=1, vL≈ 0, então
obtêm-se as seguintes expressões para os factores de participação modal
CD ≈ vmax CL ≈ wmax – 0,619 (vmax ) . (4.3)
Figura 4.14 – Identificação das componentes distorcional (CD) e local (CL) de uma configuração deformada
genérica da coluna.
wL =1
vL 0
+ CD CL +
wmax
vmax
wD -0.619
vD=1
=
62
A Figura 4.15 mostra a evolução, ao longo das várias trajectórias de equilíbrio, do
quociente de interacção modal definido pela relação CL/CD – razão entre os valores dos
factores de participação local e distorcional presentes na configuração deformada da coluna. A
observação das curvas CL vs. CD permite tirar as seguintes conclusões sobre o efeito da
interacção L/D no comportamento de pós-encurvadura das colunas Z:
(i) Todas as curvas começam em pontos situados a uma distância igual a 0,1t da origem
(ver pormenor) e exibem inclinações iniciais cujo valor depende da forma das
imperfeições iniciais – recorde-se que 0,1t corresponde ao valor da amplitude da
imperfeição geométrica inicial.
(ii) As várias curvas tendem para uma linha quase recta: (ii1) CL ≈ -0,167 CD
(0º90º). Parece razoável admitir que esta recta fornece a caracterização do modo
acoplado da coluna – note-se que, o modo distorcional é claramente predominante.
(iii) Refira-se que no caso das colunas de secção em C afectadas por interacção L/D as
várias curvas tendiam para duas rectas CL ≈ -0,34 CD e CL ≈ -0,25 CD [45] (ver
Figura 4.16).
Figura 4.15 – Evolução do quociente de interacção modal CL /CD ao longo das trajectórias de equilíbrio.
0
15
-2
2
CL
CD
90º
75º 60º 45º 30º 15º
0º
63
Figura 4.16 – Evolução do quociente de interacção modal CL /CD ao longo das trajectórias de equilíbrio para
colunas de secção em C.
4.4.2 Pós-encurvadura em regime elasto-plástico
Nesta subsecção estuda-se o comportamento de pós-encurvadura em regime elasto-
plástico das colunas Z, com o objectivo de determinar a resistência última e o modo de colapso
destas. Analisa-se o mesmo conjunto de colunas considerado no estudo elástico, i.e., sete perfis
exibindo imperfeições inicias (i) com uma amplitude igual a 10% da espessura da parede t, (ii)
cuja configuração resulta da combinação dos referidos modos de instabilidade ML e MD.
Admite-se um comportamento elástico perfeitamente plástico para o aço (i.e., sem ter em conta
o endurecimento) e analisa-se o efeito que o valor da tensão de cedência do material tem na
resistência última das colunas. Consideram-se três valores de tensão de cedência para o aço,
fy=355, 460 e 550 MPa, os quais correspondem os seguintes valores de relação com a tensão
crítica fy/cr ≈ 1,61; 2,08 e 2,49 (cr=220,93 MPa). A subsecção está dividida em duas fases.
Inicialmente, apresentam-se as trajectórias elasto-plásticas determinadas para os sete perfis
(admitindo diferentes valores de fy), com os resultados a serem apresentados numa sequência
idêntica à anterior, i.e., inicia-se com a análise das colunas que exibem imperfeições geométricas
“puras “ com a forma do modo MD e do modo ML, para, por fim, se analisarem as colunas com
imperfeições geométricas iniciais que combinam a forma dos dois modos. Numa segunda fase,
apresentam-se diagramas que ilustram a evolução das deformações plásticas ao longo de duas
trajectórias consideradas representativas do comportamento dos perfis, identificam-se os mecanismos
de colapso das colunas, terminando a sub-secção com a identificação dos valores de resistência
última para as vinte e uma colunas analisadas (i.e., sete perfis e três valores de tensão de cedência).
-8 -6 -4
1
2
2
-1
-2 4 6
CD
CLP
-2
8
64
Na Figura 4.17 representam-se as trajectórias de equilíbrio em regime elasto-plástico,
P/Pcr vs. v/t (significado das grandezas igual ao estudo elástico), determinadas para todos os
perfis analisados, i.e., para sete perfis exibindo diferentes imperfeições geométricas iniciais
resultantes da combinação de dois modos de instabilidade MD (uma semi-onda) e ML (cinco
semi-ondas), caracterizadas por um valor de compreendido entre 0º e 90º (valores espaçados
de 15º). A observação desta figura permite concluir o seguinte:
(i) Neste caso (i.e., para fy/cr ≈ 1,61; 2,08 e 2,49), a “separação” das trajectórias elasto-
plásticas relativamente às trajectórias elástica, (i1) dá-se de forma brusca (i.e., as curvas
“divergem” muito rapidamente), (i2) com a “separação” a precipitar o colapso
“abrupto” das colunas – ainda que as colunas exibam resistência elasto-plástica
significativa.
(ii) À semelhança do que acontece em regime elástico, pode afirmar-se que as várias
trajectórias de pós-encurvadura elasto-plásticas acabam por evoluir de forma
semelhante, com ligeiras discrepâncias durante a evolução, mas sem diferenças
significativas no que respeita à resistência última dos perfis.
(iii) As imperfeições de natureza geométrica mais desfavoráveis, i.e., as que conduzem a
menores resistências de pós-encurvadura elasto-plásticas, continuam a estar associadas
a imperfeições distorcionais “puras” =0º.
(iv) As colunas que exibem maior resistência estão associadas a imperfeições locais puras
=90º, confirmando-se assim o comportamento observado em colunas de aço
enformadas e frio e de secção em C, com interacção L/D [45].
65
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 5
P/Pcr
10
=90º
=75º
=60º
=45º
=30º
=15º
=0º
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 5
P/Pcr
10
=90º
=75º
=60º
=45º
=30º
=15º
=0º
(a) (b)
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 5
P/Pcr
10
=90º
=75º
=60º
=45º
=30º
=15º
=0º
(c)
Figura 4.17 – Trajectórias de pós-encurvadura elasto-plásticas P/Pcr vs. v/t das colunas com imperfeições
0º 90º para (a) fy=355 MPa, (b) fy=460 MPa e (c) fy=550 MPa.
Mecanismos de Colapso e Resistência Última das Colunas
Na Figura 4.18 apresentam-se dez diagramas de deformação plástica determinados pelo
programa ABAQUS, os quais ilustram a evolução e localização dessa deformação, assim como a
configuração deformada no colapso de duas colunas constituídas por aços com fy=460 MPa,
concretamente, (i) para a coluna =0º (diagramas A a C, à esquerda da figura), e (ii) para a
coluna =90º (diagramas D a F, à direita) – note-se que para os diagramas B, C, E e F se
apresentam duas perspectivas da coluna com o intuito de melhorar a percepção da localização
das deformações plásticas. A observação destes diagramas sugere os seguintes comentários:
66
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 5
P/Pcr
10
-Elástica -fy=460MPa
A
B
C
(a)
v/ t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 5
P/Pcr
10
-Elástica -fy=460MPa
D
E
F
(b)
Figura 4.18 – Diagramas de deformação plástica e configuração deformada no colapso de colunas com
imperfeições geométricas iniciais (a) =0º e (b) =90º (fy/cr ≈ 2,08 – fy=460 MPa).
(i) Para a coluna com =0º, as deformações plásticas têm início na extremidade dos
reforços, na zona de meio vão (i.e., típica origem distorcional – ver diagrama B),
originando a “separação” das trajectórias elasto-plásticas relativamente às elásticas. O
colapso fica a dever-se (i1) à formação de uma charneira plástica na ligação do banzo
à alma e (i2) à total plastificação do reforço (ver diagrama C).
(ii) As colunas com =90º exibem uma evolução semelhante das deformações plásticas.
(iii) O mecanismo representado é o “possível” para a coluna, no sentido em que todas as
colunas analisadas entram em colapso exibindo esse mecanismo.
D
E1
A
B1
F1 C1
B2
C2
E2
F2
67
Por sua vez, na Tabela 4.2 indica-se o valor da relação Pu/Pcr para cada uma das vinte e
uma colunas analisadas, onde Pu consiste no valor máximo do parâmetro de carga determinado
pelo programa ABAQUS. A observação dos resultados indicados na Tabela 4.2 permitem retirar
as seguintes conclusões:
(i) O aumento da tensão de cedência do aço faz naturalmente subir o valor da resistência
última das colunas, mas observe-se que esse aumento não é muito significativo – por
exemplo, para a coluna com =0º, aumentar o valor de fy de 355 para 550 MPa (i.e.,
55%) apenas dá origem a um aumento da resistência última de 3%.
(ii) As colunas que exibem maior resistência última estão associadas a imperfeições locais
“puras” =90º. Neste caso
(iii) À semelhança do verificado em regime elástico, as imperfeições de natureza
geométrica mais desfavoráveis, i.e., as que conduzem a menores resistências de pós-
encurvadura elasto-plásticas, continuam a estar associadas a imperfeições distorcionais
“puras” =0º.
Tabela 4.2 – Resistência última (Pu /Pcr) das colunas Z para diferentes valores de e fy.
fy [MPa]
º 355 460 550
0 0,95 0,98 0,98
15 0,97 1,01 1,02
30 1,02 1,07 1,09
45 1,05 1,11 1,13
60 1,07 1,15 1,17
75 1,06 1,18 1,19
90 1,06 1,21 1,22
As conclusões deste estudo, em particular as que dizem respeito às imperfeições mais
desfavoráveis e à resistência última das colunas, são importantes para o dimensionamento de
perfis de aço enformados a frio com secção em Z. Constituem um primeiro contributo para a
compreensão do comportamento destes elementos estruturais quando afectados por fenómenos
de interacção modal L/D, devendo naturalmente ser complementados por outros estudos para
poderem ser retiradas conclusões mais definitivas sobre o comportamento desses perfis.
68
69
CAPÍTULO 5
CONSIDERAÇÕES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS
FUTUROS
Apresenta-se seguidamente uma síntese da actividade de investigação desenvolvida no
âmbito da elaboração da presente dissertação, com o objectivo de (i) transmitir uma
perspectiva global do trabalho realizado e, simultaneamente, (ii) identificar os principais
resultados e conclusões a que este trabalho conduziu.
1. Antes de mais, convém referir que o âmbito desta dissertação se restringiu ao estudo do
comportamento de colunas simplesmente apoiadas, de aço enformadas a frio e com
secção em Z, quando submetidas a compressão uniforme. O estudo teve por principal
objectivo investigar o efeito da interacção entre modos de instabilidade local de placa (L) e
distorcional (D) no comportamento de pós encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico,
dos referidos perfis.
2. Inicialmente, abordaram-se alguns tópicos de carácter geral, tendo sido (i) apresentados
alguns conceitos e definições gerais de estabilidade estrutural, (ii) identificados os
fenómenos de instabilidade local e global que podem afectar o comportamento dos perfis de
parede fina, (iii) caracterizados os vários tipos de análises (linear de estabilidade e pós-
encurvadura) e métodos disponíveis para estudar a estabilidade desses elementos
estruturais, nomeadamente os métodos das faixas finitas (utilizado neste trabalho para
seleccionar a geometria dos perfis) e dos elementos finitos (adoptado para efectuar as
análises de pós-encurvadura das colunas).
3. Abordaram-se, com alguma profundidade, vários aspectos relacionados com a utilização
e implementação computacional do método dos elementos finitos, designadamente, os relativos
(i) à discretização dos perfis por elementos de casca, (ii) à modelação das condições de apoio
e do carregamento, (iii) à incorporação das imperfeições iniciais a considerar nas análises de
70
estabilidade no programa ABAQUS. Por fim, para validar o modelo de elementos finitos
adoptado neste trabalho, reproduziram-se alguns resultados publicados por outros autores
os resultados obtidos permitiram a validação do referido modelo.
4. Após tecer algumas considerações gerais relativas à análise linear de estabilidade, procedeu-
se à selecção da geometria dos perfis de aço enformados a frio (simplesmente apoiados e de
secção em Z) a considerar no estudo do comportamento de pós-encurvadura de colunas com
interacção modal. A selecção fez-se com o recurso ao programa de faixas finitas CUFSM v2.6,
tendo sido identificada a geometria que conduz a valores semelhantes para as tensões/cargas de
bifurcação nos modos L e D a escolha da geometria foi condicionada pela conveniência do
modo local apresentar um número ímpar de semi-comprimentos de onda. A análise linear de
estabilidade desse perfil efectuada por elementos finitos permitiu confirmar a referida
interacção modal e determinar a configuração dos modos de instabilidade L e D, cuja
combinação define o conjunto de configurações iniciais do perfil a considerar nas
análises de pós-encurvadura efectuadas posteriormente.
5. Após a explicação do modo como se definiu o conjunto de imperfeições geométricas iniciais
de pequena amplitude (10% da espessura t dos perfis) a incluir nas análises não lineares de
estabilidade efectuadas no programa ABAQUS, apresentaram-se e discutiram-se os
resultados do estudo sobre o comportamento de pós-encurvadura com interacção modal de
colunas com a geometria seleccionada no ponto anterior.
6. A apresentação e discussão desses resultados fez-se em duas fases. Iniciou-se com o estudo
do comportamento em regime elástico, onde se apresentaram (i) trajectórias de pós-
encurvadura de colunas com diferentes imperfeições geométricas iniciais (primeiro,
configurações iniciais puras, i.e., imperfeições iniciais apenas com componente L ou D;
depois, configurações iniciais que combinam estes dois modos), (ii) configurações
deformadas das colunas em várias fases da pós-encurvadura, e (iii) gráficos que
representam a evolução do quociente dos factores de participação local (CL) e distorcional
(CD) presentes na configuração deformada das colunas analisadas. Numa segunda fase,
procedeu-se ao estudo do comportamento de pós-encurvadura em regime elasto-plástico,
considerando diferentes valores para a tensão de cedência do aço. Apresentaram-se (i)
trajectórias de pós-encurvadura, (ii) diagramas de deformação plástica em vários pontos
dessas trajectórias para colunas com imperfeições iniciais representativas do
comportamento, e, finalmente, (iii) tabelas identificando a resistência última de todas as
colunas analisadas (i.e., sete perfis, cada um deles com três valores diferentes de tensão
de cedência para o aço).
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7. As principais conclusões que foi possível extrair da análise dos resultados obtidos neste
trabalho, relativamente ao efeito da interacção L/D no comportamento de pós-encurvadura de
colunas de aço enformadas a frio com a secção em Z, são as seguintes:
(i) As colunas analisadas exibem alguma resistência elástica de pós-encurvadura, e
evoluem para configurações deformadas de pós-encurvadura que combinam as formas
dos modos D (uma semi-onda), predominante, e L (cinco semi-ondas).
(ii) As trajectórias de pós-encurvadura exibiram, na maioria dos casos, um
comportamento “irregular” (e.g., pontos limites, instabilidade por “snap-through”)
resultante do processo de adaptação da coluna à configuração final L/D.
(iii) As imperfeições de natureza geométrica mais desfavoráveis, i.e., que conduzem às
menores resistências de pós-encurvadura elásticas e elasto-plásticas, são distorcionais.
(iv) As colunas exibem uma resistência elasto-plástica significativa, cujo valor aumenta
com a tensão de cedência do aço e depende da imperfeição geométrica inicial.
Tal como foi referido na introdução deste trabalho, o âmbito desta dissertação, i.e., o estudo
do efeito da interacção modal no comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço
enformados a frio, (i) está na “ordem do dia”, (ii) é muito vasto, e (iii) encontra-se muito longe de
estar “esgotado”. Nestas condições, é de prever que nos próximos anos o número de trabalhos
de investigação neste domínio seja significativo, listando-se seguidamente alguns dos possíveis
estudos a realizar na sequência do trabalho efectuado. Assim, há todo o interesse em abordar os
seguintes aspectos:
1. Analisar o comportamento de colunas de secção em Z, também afectadas por interacção
L/D, mas exibindo outras condições de apoio, designadamente, perfis com secções extremas
(i) encastradas ou (ii) globalmente apoiadas (i.e., com rotação global livre), mas fixas a
chapas que impeçam o empenamento (condição de apoio muito frequente em ensaios
experimentais). Tais estudos permitiam confirmar uma das conclusões importantes desta
dissertação em termos do dimensionamento destes perfis, i.e., o facto de serem as
imperfeições distorcionais puras as que conduzem a uma maior redução da resistência última
dessas colunas, as quais podem ser designadas por imperfeições “criticas”.
2. Efectuar estudos numéricos exaustivos, envolvendo perfis em Z com imperfeições
“criticas” e afectados por interacção L/D, mas com diferentes geometrias, condições de
apoio, tensões de cedência do material. Tais estudos permitiam obter, em conjunto com a
realização vários ensaios experimentais, uma base de dados suficientemente vasta sobre a
resistência última destes perfis, a qual possibilitará avaliar se as actuais expressões do
72
Método da Resistência Directa permanecem eficientes e seguras quando as colunas são
afectadas pela referida interacção.
3. Estudar o efeito da interacção L/D em colunas com outras secções transversais que não
em C, Z ou “rack” e.g., perfis de aço enformados a frio com secção transversal em
“hat”. Tais estudos permitiriam também identificar quais as imperfeições “criticas” para
tais perfis, as quais, como foi referido anteriormente, são indispensáveis para a realização
de estudos numéricos exaustivos envolvendo colunas com diferentes geometrias, condições
de apoio, tensões de cedência do material.
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![Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladaspaginas.fe.up.pt/~ldinis/porticos.pdf · Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 2 Analise-se o seguinte exemplo [9]:](https://img.document.onl/doc/110x75/5c5ef59109d3f2200e8bd3a0/analise-elasto-plastica-de-estruturas-ldinisporticospdf-analise-elasto-plastica.jpg)
![Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladasldinis/porticos.pdf · Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 2 Analise-se o seguinte exemplo [9]: uma viga simplesmente](https://img.document.onl/doc/110x75/5bb9a33509d3f2fd488c7f36/analise-elasto-plastica-de-estruturas-reticuladas-ldinis-analise-elasto-plastica.jpg)
