Intervalo de Confiança

Estatística Inferencial

Duas Fases da Estatística

• Estatística Descritiva: descrever e estudar uma amostra.

• Estatística Indutiva (inferencial): a partir de uma amostra inferir sobre as características de uma população.

População vs. Amostra

População: colecção de unidades individuais (pessoas ou resultados experimentais) com uma ou mais

características comuns, que se pretendem estudar.

Amostra: Conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de um subconjunto da população, que se estuda com o objectivo de tirar conclusões para a população de onde foi recolhida

Podemos inferir (deduzir) determinadas características de uma

população se extraímos uma amostra representativa desta

amostragem

Amostragem

• Amostragem Aleatória Simples: cada elemento da amostra é retirado

aleatoriamente de toda a população (com ou sem reposição)

cada possível amostra tem a mesma probabilidade de ser recolhida

• Amostragem Estratificada: subdividir a população em, pelo menos, dois

subgrupos distintos que partilham alguma característica e, em seguida,

recolher uma amostra de cada um dos subgrupos (estratos)

• Amostragem por clusters: dividir a população em secções (clusters);

seleccionar aleatoriamente alguns desses clusters; escolher todos os

membros dos clusters seleccionados.

Processo pelo qual se extraem dados de uma população

Existem vários tipos de amostragem:

Inferência Estatística

amostra

inferir certas características da população

distribuição conhecida/desconhecidae/ou parâmetros desconhecidos

n indivíduos (ou objetos) da populaçãoex: sortear n pixels de uma imagem

(com ou sem reposição)

n realizações de uma v.a. Xex: medir a reflectância de um objeto

n vezes

a amostra constitui um conjunto de n v.a.X1, X2, ..., Xn independentes e identicamente distribuídas com distribuição FX

Amostra Aleatória

• Parâmetro – Medida usada para descrever a distribuição da população.– a média μ e o desvio padrão σ são parâmetros de uma distribuição

Normal.

– a probabilidade de sucesso p é um parâmetro da distribuição Binomial.

• Estatística – Função de uma amostra aleatória que não depende de parâmetros desconhecidos – Média amostral

– Variância amostral

– Amplitude da amostra

Parâmetro vs. Estatística

Estimação de ParâmetrosPopulação Amostra

Distribuição da População

Parâmetros

Distribuição Amostral

Estatísticas(valor fixo)

estimar

(função da amostra)

pontual (estatísticas)

por intervalo (intervalos de confiança)Estimação

OBS: estatística: é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional)as vezes é chamada simplesmente de estimador

estimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica

Intervalo de Confiança

É uma faixa de possíveis valores em torno da média amostral, e a

probabilidade de que esta faixa realmente contenha o valor real da média

da população

O Intervalo de confiança terá uma certa probabilidade chamada de nível

de confiança (simbolizada por 1 – ) de conter a média da população.

x

1 – α/2 /2

Intervalo de confiança

1 – α = nível de confiança

α = nível de significância (probabilidade de erro)

Há uma probabilidade de 1 – da

média estar contida no intervalo

definido

Há uma probabilidade de a média

amostral estar fora do intervalo definido

(área hachurada)

Intervalo de Confiança

z2z1

Erro = z . Desvio padrão amostral

nz.e s

=intervalo

errox errox

(μ)

= 1)( exexP

α /2 α /2

s = desvio padrão da população

1 - α = grau de confiança

Distribuição das médias amostrais

x

1 – α

Intervalo de Confiança

exouexex =

Quando tem n > 30 e

s é conhecido

Quando tem n > 30 e

σ é desconhecido

Substitui o desvio padrão da

população s pelo desvio

padrão da amostra s

Região

CríticaRegião

Crítica

Z/2Z/2

ZcríticoZcrítico

1 - α

xn

X

ss =

XzX s .:

nzes

.=n

Sze X.=

n

SzX X.=

Intervalo de Confiança

X50403020 807060Amostra

1

2

3

...

45

46

47

...

98

99

100=50

Se em um estudo, forem

retiradas várias amostras

aleatórias de tamanho n da

população e que, para cada

amostra, seja construído

um intervalo de (1-) de

confiança para a variável

desejada.

Os intervalos obtidos

serão diferentes, mas

(1-)% destes intervalos

conterão entre os seus

intervalos o valor real do

parâmetro.

Ao nível de 95% de confiança espera-se que em 100 intervalos para as amostras, 95 deles contenham a média μ

Interpretação:

Exercícios

1) Determine o valor crítico que corresponde ao grau de

confiança indicado:

2/Z

a) 99%

b) 94%

c) 92%

d) 90%

Exercícios

1) Um dos principais produtos de uma indústria siderúrgica é a

folha de flandres. Havia uma preocupação com a possibilidade de

haver um número de folhas fora da faixa de especificação de

dureza (LIE = 58,0 HR e LSE = 64,0 HR). A partir desta

informação a empresa decidiu estimar a dureza média das folhas

de flandres () coletando uma amostra aleatória de 49 folhas.

61,0 60,2 60,3 60,3 60,0 61,0 60,3

60,0 60,0 60,9 61,0 61,2 59,2 60,9

60,0 60,5 59,8 59,3 61,0 59,6 59,8

59,6 60,1 58,0 59,8 58,9 57,6 58,0

60,5 60,1 61,6 61,1 59,7 58,3 61,6

59,5 59,0 60,3 58,7 59,6 54,2 60,3

61,0 59,7 59,9 59,9 60,0 58,6 59,9

Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas pela

siderúrgica

Para um grau de confiança de 95%, determine a margem de erro (E) e o

intervalo de confiança para média populacional ().

3) Uma máquina automática de suco industrial é regulada de modo

que a quantidade suprida de cada vez, tenha distribuição

aproximadamente normal com desvio-padrão de 35ml. Determine

um intervalo de 96% de confiança para a quantidade média de toda

produção, sabendo que uma amostra de 30 embalagens teve um

conteúdo médio de 290 ml.

Exercícios:

4) A Polícia Rodoviária faz mensalmente uma pesquisa para avaliar a

velocidade desenvolvida nas rodovias durante o período de 2 às 4

horas da madrugada. Num período de observação e em um trecho

específico, 100 carros passaram por um aparelho de radar a uma

velocidade média de 115 Km/h, com desvio padrão de 10 Km/h.

a) Construa um intervalo de 98% de confiança para a média da

população;

5) Uma amostra aleatória de 40 contas não-comerciais na filial de um

banco acusou saldo médio de R$140,00 com desvio-padrão de

R$30,00.

a) Construa um intervalo de 95% confiança para a verdadeira média.

b) Construa um intervalo de 99% confiança para a verdadeira média.

c) A que conclusão podemos chegar com os resultados das opções

anteriores?

Exercícios: