Introd Algebra - Resumo 2 - Lenimar N Andrade

7/31/2019 Introd Algebra - Resumo 2 - Lenimar N Andrade

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Introducao a AlgebraResumo (definicoes e exemplos) - Parte 2

Lenimar Nunes de Andrade

Universidade Federal da Paraba

30 de maio de 2010

Lenimar N. Andrade (UFPB) Introducao a Algebra 30 de maio de 2010 1 / 43
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Sumario

1 Aneis

2 Subaneis

3 Aneis comutativos4 Aneis com unidade

5 Aneis de integridade

6 Corpos

7 Homomorfismos de aneis8 Isomorfismos de aneis

9 Ideais

10 Aneis-quocientes

11 Polinomios

12 Grau de um polinomio

13 Notacao usual

14 Divisao de polinomios

15 Razes de polinomios

16 Polinomios irredutveisLenimar N. Andrade (UFPB) Introducao a Algebra 30 de maio de 2010 2 / 43
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Aneis

DefinicaoSeja A = um conjunto com duas operacoes: uma adicao (+) e umamultiplicacao (). Dizemos que (A, +, ) e um anel quando

A e um grupo abeliano com relacao a adicao:

x, y, z A, x + (y + z) = (x + y) + zx, y A, x + y = y + xExiste 0 A tal que x + 0 = x, x APara todo x A, existe (x) A tal que x + (x) = 0

A multiplicacao e associativa: x, y, z, (x y) z = x (y z)A multiplicacao e distributiva com relacao a adicao:x (y + z) = x y + x z e (x + y) z = x z + y z para quaisquerx, y, z A.

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Aneis

Exemplos

O conjunto dos numeros inteiros Z e um anel com relacao asoperacoes de adicao e multiplicacao de inteiros usuais.

Tambem sao aneis os seguintes conjuntos numericos: (Q, +, ),(R, +, ) e (C, +, ).Sendo n um inteiro positivo, O conjunto dos multiplos de n

nZ = {nk | k Z}

e um anel com as operacoes de adicao e multiplicacao usuais dos

inteiros.Dado n > 1 um inteiro, o conjunto Mnn(Z) das matrizes quadradasn n com elementos em Z e um anel com relacao a adicao e amultiplicacao de matrizes definidas de forma usual.

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Aneis

ExemploDado n um inteiro positivo, o conjunto das classes de restos modulo n,

Zn = {0, 1, , n 1},

e um anel com relacao as operacoes de adicao e multiplicacaodefinidas da seguinte forma:

x + y = x + y

ex y = x y,

para quaisquer x, y Zn.

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Subaneis

Definicao

Seja (A, +, ) um anel e S = um subconjunto de A. Dizemos que S e umsubanel de A quando (S, +, ) tambem for um anel com as operacoes de Arestritas ao conjunto S.

Exemplos

O conjunto dos multiplos de 2, 2Z, e um subanel de Z com asoperacoes de adicao e multiplicacao de inteiros usuais.

Em geral, (nZ, +, ) e um subanel de (Z, +, ) para qualquer inteiropositivo n.

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Subaneis

A proposicao a seguir fornece um criterio bastante util para se determinarse um conjunto S = e subanel de um anel A.Proposicao

Sejam (A, +, ) e S = um subconjunto de A. Entao, S e um subanel deA se, e somente se, S for fechado com relacao a subtracao e amultiplicacao de A, ou seja, se, e somente se, x y S e x y S paraquaisquer x, y S.

Observacao

Em um anel A, a diferenca x y de dois elementos x, y A e definidacomo sendo x y = x + (y).

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Subaneis

Exemplo

Consideremos no anel A = (M22(R), +, ) o conjuntoS =

x 0y 0

| x, y Q

.

E claro que S = porque, por exemplo,

1 0

2 0 S.Alem disso, dados dois elementos quaisquer de S, M =

x 0y 0

e

N = z 0

t 0 , temos que M N = x z 0y t 0 S e

M N =

x z 0y z 0

S.

Usando a Proposicao anterior, conclumos que S e um subanel de A.

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Aneis comutativos

DefinicaoUm anel (A, +, ) e denominado comutativo se a sua multiplicacao forcomutativa, ou seja, se x y = y x, x, y A.

Exemplos

O anel dos inteiros (Z, +, ) e um anel comutativo porquex y = y x, x, y Z.Tambem sao comutativos os seguintes aneis: Q, R, C, Zm com asoperacoes usuais de adicao e multiplicacao definidas em cada um

desses conjuntos.

Dado n > 1 um inteiro, o anel (Mnn(R), +, ) das matrizesquadradas n n com elementos em R nao e comutativo.

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Aneis com unidade

DefinicaoUm anel com unidade e um anel A cuja multiplicacao possui elementoneutro, denotado por 1A ou simplesmente por 1, e denominado a unidadedo anel.

Exemplos

O numero 1 e a unidade dos aneis (Z, +, ), (Q, +, ),(R, +, ) e(C, +, ). Logo, esses sao exemplos de aneis com unidade.Dado m

2 inteiro, (Zm, +,

) e um anel com unidade. Neste caso, a

unidade e a classe 1.Sendo n um inteiro maior do que 1, o anel (nZ, +, ) nao possuiunidade.

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Aneis de integridade

DefinicaoUm anel comutativo com unidade A e denominado anel de integridadequando

x, y A, x y = 0 x = 0 ou y = 0.

Definicao

Dizemos que x = 0 e y = 0 em um anel A sao divisores proprios de zeroquando x y = 0.

ObservacaoDe acordo com as definicoes anteriores, um anel de integridade e um anelcomutativo com unidade que nao tem divisores proprios do zero.

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Aneis de integridade

Exemplos

No anel dos inteiros Z, se x, y Z sao tais que x y = 0, entaotemos que x = 0 ou y = 0. Logo, Z e um anel de integridade.

Tambem sao aneis de integridade: Q, R e C.

Em Z8, os elementos 2 e 4 sao diferentes de 0, mas 2 4 = 8 = 0.Logo, 2 e 4 sao divisores proprios do zero em Z8 e,consequentemente, Z8 nao e anel de integridade.

Em A = M22(Z) consideremos os elementos X =

0 20 0

e

Y = 0 30 0 . X e Y nao sao matrizes nulas, no entantoX Y =

0 00 0

. Logo, X e Y sao divisores proprios do zero e A

nao e anel de integridade.

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Corpos

Definicao

Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todoelemento nao nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja,

x K, x = 0 x1 K tal que x x1 = 1.

Exemplos

Os aneis Q, R e C sao exemplos de corpos (com as operacoes deadicao e multiplicacao usuais).

Z nao e um corpo, porque nem todo elemento de Z possui inversomultiplicativo. Por exemplo, 2 Z e nao existe y Z tal que2 y = 1.Se p for um inteiro primo positivo, entao Zp e um corpo.



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Corpos

Proposicao

Todo corpo e um anel de integridade.

Observacao

A recproca da proposicao anterior nao e valida, ou seja, nem todo anel deintegridade e um corpo. O exemplo mais conhecido dessa situacao e o aneldos inteiros Z.

ProposicaoTodo anel de integridade finito e um corpo.

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Homomorfismos de aneis

Definicao

Uma funcao f : A B de um anel A em um anel B e denominadahomomorfismo de aneis quando forem verificadas as duas seguintespropriedades:

x, y A, f(x + y) = f(x) + f(y);x, y A, f(x y) = f(x) f(y)

Exemplo

Sejam A = R, B = R R e a funcao f : A B, f(x) = (0, x).Se x, y R, entao f(x + y) = (0, x + y) = (0, x) + (0, y) =f(x) + f(y)

Temos tambem: f(x y) = (0, x y) = (0, x) (0, y) = f(x) f(y).Logo, f e um homomorfismo do anel A no anel B.



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DefinicaoO nucleo de um homomorfismo f : A B, denotado por N(f) ou porker(f), e definido como sendo o conjunto de todos os elementos de A cujaimagem pela f e igual ao zero do anel B:

N(f) = {x A | f(x) = 0B}

Exemplo

Com relacao ao exemplo anterior, vamos determinar o seu nucleo.

Suponhamos a N(f). Entao pela definicao de nucleo, f(a) = (0, 0) =zero do anel B. Como f(a) = (0, a), temos que (0, a) = (0, 0) de onderesulta que a = 0. Assim, o nucleo de f e o conjunto N(f) = {0}.


H fi d i
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Propriedades

Seja f : A B um homomorfismo de aneis. Sao validas as seguintespropriedades:

f(0A) = 0B onde 0A representa o zero do anel A e 0B e o zero de B;

f(

x) =

f(x),

x

A;

f(x y) = f(x) f(y), x, y A;f e uma funcao injetora se, e somente se, N(f) = {0A};Se S e um subanel de A, entao f(S) e um subanel de B.

Se f for uma funcao sobrejetora e A possuir unidade 1A, entao omesmo acontece com B e a unidade de B e 1B = f(1A);

Se f for sobrejetora, A tiver unidade e x for invertvel (com relacao amultiplicacao), entao f(x) tambem e invertvel e f(x1) = [f(x)]1.


I fi d i


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Isomorfismos de aneis

DefinicaoUm isomorfismo de um anel A em um anel B e uma funcaof : A B que e um homomorfismo e bijetora.

Observacoes

Se existir um isomorfismo de aneis f : A B, entaof1 : B A tambem e um isomorfismo.Quando existir um isomorfismo de A em B, entao diremos que A e Bsao isomorfos e denotamos isso por A

B.

Se A e B forem aneis isomorfos, entao eles tem as mesmaspropriedades, a diferenca entre eles e basicamente os nomes doselementos.


Id i


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Ideais

Definicao

Em um anel comutativo A, um subconjunto nao vazio I A e um idealem A quando ele satisfizer as seguintes propriedades:

x y I, x, y I;a x I, x I e a A

Exemplo

Sejam A = Z e I = 2Z = conjunto dos inteiros pares.

E claro que I = , porque 0 I;Se x, y

I, entao x = 2m e y = 2n com m, n

Z. Da, temos que

x y = 2m 2n = 2(m n) I;Se a A, entao a x = a (2m) = 2(a m) I.

Portanto, 2Z e um ideal em Z.

Em geral, nZ = {nx| x Z} e um ideal em Z, n Z.


Id i


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Ideais

Definicoes

Sejam A um anel comutativo e a1, a2, , an A, onde n 1 e uminteiro. O conjunto formado por todas as combinacoes do tipox1 a1 + x2 a2 + + xn an, com x1, x2, , xn A e um ideal em Aque e denominado ideal gerado por a1, a2, , an e e denotado por

a1, a2,

, an

.

Quando I = a = {x a | x A} for um ideal geral por um unicoelemento a de um anel comutativo A, entao I e denominado idealprincipal gerado por a.

ExemplosO conjunto dos numeros pares e um ideal principal de Z porque egerado pelo 2 Z.Em geral, I = nZ e um ideal principal de Z e I = n.


A i i t


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Aneis-quocientes

Definicao

Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de A por Ie o conjunto

A/I = {x + I | x A}com as operacoes de adicao e multiplicacao definidas a seguir:

Adicao: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, x, y AMultiplicacao: (x + I)

(y + I) = (x

y) + I,

x, y

A


Aneis quocientes


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Aneis-quocientes

Exemplo

Consideremos o anel A = Z e o ideal I = 5Z = multiplos de 5 (operacoesde adicao e multiplicacao usuais). Temos que:

0 + I = { , 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, } = I1 + I =

{ ,

14,

9,

4, 1, 6, 11, 16,

}2 + I = { , 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, }3 + I = { , 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, }4 + I = { , 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, }5 + I =

{ ,

10,

5, 0, 5, 10, 15, 20, }

= I

Portanto, o anel-quociente de A por I e

A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}.


Aneis quocientes
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Aneis-quocientes

Exemplo (continuacao)Sendo A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, alguns exemplos de adicaoentre seus elementos sao (2 + I) + (1 + I) = (2 + 1) + I = 3 + I e(2 + I) + (4 + I) = (2 + 4) + I = 6 + I = 1 + I.

Todas as possveis adicoes entre seus elementos podem ser observadasna seguinte tabua:

+ I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I

I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I

1 + I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I I

2 + I 2 + I 3 + I 4 + I I 1 + I3 + I 3 + I 4 + I I 1 + I 2 + I

4 + I 4 + I I 1 + I 2 + I 3 + I


Aneis quocientes


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Aneis-quocientes

Exemplo (continuacao)

Sendo A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, alguns exemplos demultiplicacao entre seus elementos sao(2 + I) I = (2 + I) (0 + I) = (2 0) + I = 0 + I = I e(2 + I) (4 + I) = (2 4) + I = 8 + I = 3 + I.Todas as possveis multiplicacoes entre seus elementos podem serobservadas na seguinte tabua:

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + II I I I I I

1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I

2 + I I 2 + I 4 + I 1 + I 3 + I

3 + I I 3 + I 1 + I 4 + I 2 + I

4 + I I 4 + I 3 + I 2 + I 1 + I


Observacoes e teoremas
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Observacoes e teoremas

Observacao 1

Um ideal em um anel A e um tipo particular de subanel de A, mas nemtodo subanel e um ideal.

Observacao 2

Todo anel possui pelo menos dois ideais: o proprio anel e o conjunto

unitario formado so pelo zero; esses sao chamados os ideais triviais doanel. Em um corpo K, seus unicos ideais sao os triviais: {0} e K.

Teorema 1

O nucleo N(f) de um homomorfismo de aneis f : A

B e um ideal em

A.

Teorema 2

Se f : A B e uma funcao sobrejetora que tambem e umhomomorfismo de aneis, entao A/N(f) e B sao aneis isomorfos.


Polinomios
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Polinomios

DefinicaoSeja A um anel. Uma sequencia de elementos em A e uma funcaof : N A. que costuma ser representada na forma f = (a0, a1, a2, ),ou de forma mais simplificada f = (ai).Nesse formato, estamos representando f(k) por ak, para todo k

N. O

elemento ak A e denominado o k-esimo termo da sequencia.

Exemplos

f = (3, 0, 1, , 5, 6, 10, 3, 3, 5, ) e uma sequencia deelementos em Rg = (1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 0, 0, , 0, 0, ) e uma sequencia deelementos em Z5.

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Definicao

Consideremos duas sequencias f = (ai) e g = (bi).

Igualdade: Dizemos que f = g quando ai = bi para todo i

N.

Adicao: A soma de f com g e uma sequencia h = (ci) tal queci = ai + bi para todo i N.Multiplicacao: O produto de f por g e uma sequencia j = (di) tal

que di =

i

k=0 a

ikbk para todo i N.

Observacao

O produto das sequencias f = (ai) e g = (bi) e uma sequencia h = (di)

cujos termos sao: d0 = a0b0, d1 = a1b0 + a0b1, d2 = a2b0 + a1b1 + a0b2,d3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3,

dk = akb0 + ak1b1 + ak2b2 + + a0bk

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Definicao

Em um anel A, uma sequencia (a1, a2, a3, ) com ai A para todo i Ne denominada polinomio sobre A quando existir um ndice s

N tal que

ak = 0 para todo k > s. O conjunto de todos os polinomios comcoeficientes no anel A e denotado por A[x].

Observacao

Uma sequencia que e um polinomio tem todos os seus termos nulos apartir de certa ordem. Por isso, um polinomio tambem e denominadosequencia quase-nula. Os termos de um polinomio tambem saochamados de coeficientes.

Exemplof = (5, 6, 9, 3, 0, 0, , 0, ), onde ak = 0 se k > 3 e um polinomiosobre o anel Z.


Definicao
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Definicao

Consideremos f = (ai) um polinomio nao nulo. O grau de f e o maiorndice dos termos nao nulos de f, ou seja, e definido como sendo igual a n

se an = 0 e ak = 0 para todo k > n. Neste caso, o termo an e denominadocoeficiente dominante de f. O polinomio nulo o = (0, 0, 0, , 0, )nao tem grau definido.Notacao: O grau de um polinomio f e denotado por f ou por gr(f).

ExemplosO termo nao nulo de p = (5, 2, 1, 8, 0, 0, , 0, ) Z[x] que temo maior ndice e o a3 = 8; logo, o grau de p e 3, ou seja, p = 3.

O termo nao nulo de q = (2, 0, 0, 3, 1, 0, 0,

, 0,

)

Z5[x] que

tem o maior ndice e o a4 = 1; logo, q = 4.Em um anel A, se a A, entao o polinomio do tipoc = (a, 0, 0, 0, , 0, ) e um polinomio de grau 0 e e denominadopolinomio constante em A[x].


Notacao usual


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Notacao usual

Definicao

Seja A um anel com unidade. O polinomio

x = (0, 1, 0, 0, , 0, )

e denominado indeterminada sobre A.

Usando a definicao de produto de polinomios, temos:

x2 = x x = (0, 0, 1, 0, 0, 0, , 0, )x3 = x2 x = (0, 0, 0, 1, 0, 0, , 0, )x4 = x3 x = (0, 0, 0, 0, 1, 0, , 0, ), etc.

Dado um polinomio qualquer f = (a0, a1, a2, , an, 0, 0, ) de A[x]temos que f = a0 + a1x+ a2x

2 + + anxn. Essa notacao e considerada ausual para indicar um polinomio f.



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Exemplos

O polinomio p = (

3,

2, 3, 4,

5, 1, 0, 0, 0,

, 0,

)

R[x] e

denotado na forma usual por p = 3 + 2x + 3x2 + 4x3 5x4 + x6ou por p(x) = 3 + 2x + 3x2 + 4x3 5x4 + x6;O polinomio q = (4, 5, 3, 2, 7, 0, 0, 0, , 0, ) Z[x] e denotadona forma usual por q = 4 + 5x 3x2 + 2x3 + 7x4 ou porq(x) = 4 + 5x 3x

2

+ 2x3

+ 7x4

;O polinomio q = (2, 3, 0, 0, 1, 7, 0, 0, 0, , 0, ) Z8[x] e denotadona forma usual por f = 2 + 3x + x4 + 7x5 ou porf(x) = 2 + 3x + x4 + 7x5.

Os graus dos polinomios p(x), q(x) e f(x) anteriores sao: p = 6, q = 4e f = 5.


Proposicoes basicas


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p

A soma e o produto de dois polinomios de A[x] da como resultado umpolinomio de A[x].

Se A for um anel, entao A[x] tambem e.

Se A for um anel comutativo, entao A[x] tambem e.

Se A for um anel com unidade, entao A[x] tambem e.Se A for um anel de integridade, entao A[x] tambem e.

Em geral, A[x] nao e um corpo (mesmo que A seja um corpo).

Se p = f e q = g, entao (f+ g) = max(p, q) e (f g) p+ q.Se A for um anel de integridade ou um corpo, entao (f g) = p+ q.Todo anel A e isomorfo ao subanel de A[x] formado por todos ospolinomios constantes.


Divisao de polinomios


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p

Definicao

Sendo A um anel comutativo com unidade, dados dois polinomios f e gem A[x], dizemos que f divide g quando existir h A[x] tal que g = f h.Notacao: Denotamos f divide g por f | g e f nao divide g porf g.

Observacaof divide g e considerado o mesmo que: f e divisor de g ou g e divisvelpor f ou g e m ultiplo de f .

ExemploSejam f(x) = x 2 e g(x) = x2 5x + 6 = (x 2) (x 3).Considerando h(x) = x 3, temos que g(x) = f(x) h(x) e daconclumos que f(x) | g(x).




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p

Teorema (Algoritmo da Divisao)Seja K um corpo. Dados dois polinomios f, g K[x], existe um unicoq K[x] (denominado quociente) e um unico r K[x] (denominadoresto) tais que

f = g q+ r e r = 0 ou r < g.




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p

Exemplo

Dividir f(x) = 6x4 + 5x3

10x2 + 7x

8 por g(x) = x2

2x + 1.

Dividindo 6x4 por x2 obtemos 6x2. Multiplicamos 6x2 por g(x) esubtraimos o produto de f(x). Repetimos esse procedimento ate obtermosum polinomio de grau menor do que o grau de g(x).

Obtivemos quociente q(x) = 6x2 + 17x + 18 e resto r(x) = 26x 26.Observe que f(x) = g(x)

q(x) + r(x).


Razes de polinomios


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Definicao

Sejam A um anel comutativo com unidade,f(x) = a0 + a1x + + anxn A[x] e s A.

O valor de f em s, denotado por f(s), e o seguinte elemento de A:f(s) = a0 + a1 s + a2 s2 + + an sn.Quando f(s) = 0, dizemos que s e uma raiz do polinomio f.

Exemplo

Sejam f(x) = 4 + x2 x3, r = 2 e s = 3. Temos:f(r) = f(2) = 4 + 22 23 = 0f(s) = f(3) = 4 + 32 33 = 14

Portanto, r e uma raiz do polinomio f(x), mas s nao e.


Razes de polinomios


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Proposicao

Sejam A um anel comutativo com unidade, f A[x] e g = x s A[x].O resto da divisao de f por g e igual a f(s);

f e divisvel por g se, e somente se, f(s) = 0 (ou seja, s e raiz def(x)).

Exemplos

Em Z[x], dados f = x2 + 5x+ 3 e g = x 4, entao o resto da divisaode f por g e f(4) = 42 + 5

4 + 3 = 39.

Consideremos f(x) = x3 8 e g(x) = x 2. O resto da divisao def(x) por g(x) e igual a f(2) = 23 8 = 0. Isso significa que a divisaoe exata e que 2 e raiz de f(x)


Razes racionais


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Teorema

Seja anxn + + a2x2 + a1x + a0 = 0 uma equacao polinomial decoeficientes inteiros. Se p

qfor uma raiz racional dessa equacao com

p, q Z, entao p e um divisor de a0 e q e um divisor de an.

Exemplo

Consideremos a equacao 12x6 x5 + 23x4 2x3 + 58x2 5x 5 = 0.Os divisores do termo independente de x sao 1 e 5.Os divisores do coeficiente do termo de maior grau sao 1, 2 3,

4,

6 e

12.

Logo, as possveis razes racionais da equacao sao: 1, 12 , 13 , 14 ,16 , 112 , 5, 52 , 53 , 54 , 56 e 512 .Substituindo na equacao, verificamos que somente 13 e 14 sao razes.


Razes racionais


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Exemplo

Determine todas as razes da equacao

f(x) = 2x4 + 5x3 17x2 35x + 21 = 0.

Solucao

Os divisores de 21 sao: 1, 3, 7 e 21Os divisores de 2 sao: 1 e 2Dividindo-se os divisores de 21 pelos divisores de 2, obtemos aspossveis razes racionais da equacao dada: 1, 3, 7, 21, 12 ,

32 ,

72 e

212

Por substituicao direta, temos que somente 12 e 3 sao razesDa, temos que f(x) e divisvel por2(x 12 )(x (3)) = 2x2 + 5x 3.


Razes racionais
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Exemplo (continuacao)

Efetuando-se a divisao de

f(x) = 2x4 + 5x3 17x2 35x + 21

por

g(x) = 2x2 + 5x 3,obtemos quociente igual a (x2 7) e resto igual a zero.As razes de x2 7 sao 7Conclumos, entao, que todas as razes da equacao dada sao

7, 12

e 3, ou seja, seu conjunto-solucao e:

S = {

7,

7,1

2, 3}


Polinomios irredutveis


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DefinicaoSeja K um corpo e p K[x]. Dizemos que o polinomio p e irredutvel emK[x] (ou irredutvel sobre K) quando p nao e um polinomio constante e,se existirem f, g K[x] tais que p = f g, entao f e constante ou g econstante. Um polinomio que nao e irredutvel sobre K e denominadoredutvel sobre K.

Observacao

Os polinomios redutveis sobre K sao aqueles polinomios que podem ser

fatorados, ou seja, escritos como produto de dois polinomios naoconstantes de K[x].


Polinomios irredutveis


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Exemplos

Todo polinomio de grau 1 e irredutvel em R[x].

f = x2 9 e redutvel em R[x] porque e possvel escreve-lo comoproduto de dois polinomios nao constantes: f = (x + 3)(x 3). Noteque essa fatoracao nao e unica pois temos tambem

f = (2x + 6)( 12 x 32 ), entre outras possibilidades.Se K for um corpo e f(x) K[x] com f 2 possuir uma raizr K, entao f(x) e redutvel sobre K porque pode ser escrito naforma (x r)g(x) onde g(x) K[x] e g 1.

f(x) = x2

5 e irredutvel sobre Q mas e redutvel sobre R porquef(x) = (x 5) R[x]

(x + 5) R[x]

.


Criterio de Eisenstein


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Teorema (Criterio de Eisenstein)

Seja f(x) = anxn

+ + a2x2

+ a1x + a0 um polinomio de coeficientesinteiros. Se existir um inteiro primo p tal que

p | a0, p | a1, p | a2, , p | an1p an

p

2

a0entao f(x) e irredutvel sobre Z.

Exemplo

Seja f(x) = 7x5

+ 110x4

22x3

+ 44x2

11x + 66. Considerando oprimo p = 11 temos que p | 66, p | (11), p | 44, p | (22), p | 110, p 7e p2 66. Logo, f(x) e irredutvel sobre Z, ou seja, f(x) nao pode serfatorado como produto de dois polinomios nao constantes de coeficientesinteiros.


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Introd Algebra - Resumo 2 - Lenimar N Andrade