INTRODUÇAO - repositorio.eesc.usp.br

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

"' INTRODUÇAO ' A ,

ANALISE MATRICIAL DE

ESTRUTURAS

~· <0

•

JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA HE NA M. C. CARMO ANTIJNES

JULHO DE 1994

•

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

REITOR: FLAVIO FAVA DE MORAES

PRODUÇÃO: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DATILOGRAFIA: Rosi A. J. Rodrigues

DESENHO: Francisco Carlos Guette Brito

IMPRESSÃO: Serviço Grãfico da EESC

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

1.1 OBJETIVOS

Neste trabalho pretende-se apresentar as bases essenciais para o cálculo de estruturas lineares usuais utilizando computadores, desenvolvendo de forma introdutória a formulação matricial apropriada, sacrificando um pouco a generalidade das teorias matriciais com o objetivo de efetivamente tornar o assunto acessível a qualquer estudante de engenharia civil, ou a qualquer profissional entusiasmado com a informatização de seus processos de cálculo.

Essas limitações, que serão assumidas propositalmente, dizem respeito a se pensar apenas em efeitos. estáticos, com a teoria da elasticidade linear de primeira ordem, e a se encaminhar a análise de estruturas apenas pelo processo dos deslocamentos.

1

o processo dos des locamentos é um dos processos gerais da estática clássica; nesses processos gerais resolve-se uma determinada estrutura recorrendo a estruturas de cálculo conhecido, anulando esforços ou deslocamentos e posteriormente impondo esses esforços ou deslocamentos, incógnitos, no sentido de reproduzir o problema original. Esses esforços , ou deslocamentos, são determináveis a partir de condições de coerência, respectivamente, de deslocamentos \ e esforços. O processo dos deslocamentos corresponde à segunda alternativa colocada e será aplicado de uma maneira particular recaindo em barras, ou elementos, de cálculo conhecido.

1 • 2 CONTEÚDO

Com as limitações ~revistas em 1.1 procurou-se dar a este trabalho um cunho sequencial e didático, partindo de um desenvolvimento teórico simples, gerando um primeiro programa elementar e depois introduzindo sofisticações nesse programa elementar.

O capítulo II traz, então, um apanhado teórico, com diversos exemplos , conceituando sistemas de coordenadas, matrizes de rigidez e de incidência cinemática, e com isso desenvoLvendo a solução matricial de qualquer tipo de estrutura, ainda sem pensar em aplicações computacionais.

No capítulo III pensou-se em aplicar as teorias matriciais desenvolvidas, a um tipo particular de estrutura, mas que t ·ivesse complicaÇões as mais . gerais; optou-se pelo detalhamento do cálculo de pórticos planos, chegando-se, no fim do capítulo, a um detalhamento dos algoritmos para um PROGRAMA ELEMENTAR PARA PÓRTICOS PLANOS prevendÕ imposição de cargas em nós ou em barras, sobre pórticos planos só com vínculos rígidos, sem deslocamentos impostos.

2

Esses capítulos anteriores poderiam, perfeitamente , ser utilizados numa introdução à informática para alunos de graduação em engenharia civil, em disciplina

relacionada à Estática das Estruturas.

3

CAPÍTULO II

NOÇÕES FUNDAMENTAIS

2.1 PREMISSAS BÁSICAS

a) A estrutura pode ser definida como um conjunto de elementos unidos entre si.

b) Os pontos do elemento suscetíveis de se unirem a outros elementos são chamados extremidades desse elemento.

c) Os pontos de união dos elementos são chamados nós da estrutura.

d) A união de elementos é feita de forma a satisfazer as condições de equilíbrio e compatibilidade da estrutura.

4

2.2 SISTEMAS DE COORDENADAS

Para identificar e ordenar forças e deslocamentos, das extremidades dos elementos ou dos nós da estrutura, é interessante adotar "direções" , ou coordenadas, devidamente numeradas, que permitam estabelecer a correspondência com as variáveis envolvidas no problema. Essas coordenadas poderão ser caracterizadas como locais ou como globais.

2.2.1 Coordenadas Locais

As coordenadas locais estarão associadas às extremidades do elemento , e devem permitir que se associe a elas as forças e deslocamentos relevantes das extremidades dos elementos. Alguns exemplos de coordenadas locais constam da Fig.2.1.

Em relação às coordenadas locais , serão definidos os vetores:

~

{P} ~ vetor das forças nas extremidades do elemento

{ó} ~ vetor dos deslocamentos das extremidades do elemento

€ tL ct t

<!; •. c!;. tL V I G Ac PÓRT I CO PL AN O GREL HA

F i g . 2 .1- Coordenados Loca is

5

2.2.2 Coordenadas Globais

As coordenadas globais estarão associadas aos nós da estrutura e devem ser tais que se possa associar a elas as forças aplicadas a esses nós e os deslocamentos relevantes deles. Alguns exemplos de coordenadas globais constam da Fig. 2.2.

Em relação às coordenadas globais serão definidos os vetores:

{F} ~ vetor das forças nodais

{u} ~ vetor dos deslocamentos nodais

V I G A PÓRTICO PLANO GRELHA

Fig. 2.2 -Coordenados Globais

6

2.3 O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

O Princípio dos Trabalhos Virtuais, ou P. T. V. , é, também na organização matricial da Estática Clássica, uma ferramenta teórica extremamente valiosa, valendo a pena ressaltar alguns resultados intermediários, bastante interessantes, obtidos de sua aplicação.

Sejam definidas as coordenadas globais da Fig.2.3a, às quais possam ser associados os vetores {F} e {u}, das forças e deslocamentos nodais, respectivamente. Seja a estrutura constituída por um certo número de elementos e sejam as coordenadas locais, definidas para o i-ésimo elemento, as que constam da Fig. 2. 3. b, para as quais possam ser definidos os vetores {P}. e {ó}., das forças e

1 1

deslocamentos das extremidades do elemento.

l 2 3

@ € € CD (o) { b )

Fig. 2.3- Coordenados Globais e Locais

Seja um estado de forças, representado na Fig.2.4, onde se supõe que haja equilíbrio entre forças nodais,

7

cargas de barra e esforços internos, chamados estes genericamente por f.

Fig. 2.4- Estado de Forças

Seja um estado de deslocamentos compatíveis sobre a mesma estrutura, com deslocamentos linearizados {u} e {ó}., segundo as coordenadas globais e as locais do

1

elemento i, respectivamente; seja também d~ a deformação genérica "correspondente" ao esforço interno genérico f. Seja esse estado o representado na Fig.2.5.

Fig. 2.5 -Estado de Deslocamentos

Valendo o P.T.V., tem-se para a estrutura:

{F}t {u} + Ttotal cargas = J f d ~

estrutura

8

(2. 1)

mas

Valendo o P.T.V., tem-se para o elemento i:

{P}~ {õ}. +Ti 1 1 cargas

Tt o ta 1 cargas

Ti cargas

=J.fd>V 1

e também

J f d >V estrutura

I J. fd>V 1

(2.2)

(2- 3)

(2 .4)

Aplicando a (2.2) para todos os elementos, somando e levando em conta a (2.3) e (2.4) tem-se, com a (2.1):

{F}t {u} (2- 5)

Se se quiser organizar todos os {P} e todos os {õ} em dois vetores {P}_e {õ}, conforme (2.6) e (2.7):

1 i

9

{P} {P}. 1

(2. 6)

{P} n

{ô} (2. 7) {ô}. 1

{ô} n

ter-se-á, da (2. 5) :

{F}t {u} = {P}t {ô} (2.8)

Aplicações interessantes dos resultados (2.5) e (2.8) serão vistas nos itens subsequentes.

2.4 MATRIZ DE RIGIDEZ

2.4.1 Conceituação de Rigidez na Estática Clássica

Rigidez é definida, para estruturas geral, como a relação entre uma força e o

10

elásticas em deslocamento

elástico correspondente, ou como a "força" necessária para provocar um deslocamento unitário em sua direção e sentido.

Esse conceito será estendido no sentido de se procurar relacionar diretamente um vetor de forças, segundo certas coordenadas, a um vetor de deslocamentos, segundo as mesmas coordenadas; sejam, só para argumentar, essas coordenadas supostas como globais. Observe-se agora que a um deslocamento unitário segundo a i-ésima coordenada poderão corresponder forças, assimiláveis a rigidezes, segundo todas as coordenadas, isto é:

{u}

u n

o

1

o

-7 {F} (2. 9)

Nesse sentido, o que se pode verificar facilmente, é que o relacionamento de {F} com {u} poderá ser, feito através de uma matriz quadrada que se denominará "matriz de rigidez", determinável da maneira especificada nos itens seguintes.

11

2.4.2 Estrutura com uma Única Coordenada Global

Seja a estrutura da Fig. 2. 6. a, coordenada.

com uma única

( a l ( b)

Fig. 2.6 -Estrutura com Uma Coordenada Global

Para impor um deslocamento unitário segundo a coordenada 1 é necessária uma força F

1 = R

11, isto é:

{u} {1} {F}

{u}

ou

{F} [R] { u} (2 .10)

12

2.4.3 Estrutura com Duas Coordenadas Globais

Seja a estrutura da Fig.2.7.a, com duas coordenadas.

~:r-----~

(o} ( b} (c}

Fig. 2.7- Estruturo com Duas Coordenados Globais

{u} { lo} ~ {F}

{u} { 01} ~ {F}

13

Valendo a superposição de efeitos:

{u} = { :

1 } ~ {F} = { ::: :: }

{u} = { :, } ~ {F} = { ::: :: }

e portanto, para:

ou, ainda:

{F} = [R] {u} (2 .11)

14

2.4.4 Estrutura com n-Coordenadas

Analogamente aos itens anteriores:

l Rll

{u} o -7 {F} R i1

o R nl

o R li

{u} 1 -7 {F} = R i 1

o R n i

o R ln

{u} o -7 {F} R in

l R nn

15

e, portanto:

F. 1

F n

ou, também:

{F} [R] { u}

R nl

R .. 1 1

R. n1

R ln

R. 1 n

R nn

u n

( 2 . 12)

À matriz [R] de (2 .10), (2 .11) ou (2 .12) é dado o nome de matriz de rigidez da estrutura, para as coordenadas especificadas.

Observe-se que essa matriz [R] é quadrada, tem todos os elementos da diagonal principal positivos e é, pelo teorema de Betti, simétrica em relação a essa diagonal principal.

Para determinar a coluna k da matriz de rigidez, impõe-se um deslocamento unitário segundo a coordenada k, mantendo nulos todos os restantes deslocamentos, e determinam-se todos os "esforços" Rjk segundo as

coordenadas j, para j= 1,2 ... n. À particular estrutura, ou parte da estrutura, que se

chamará de elemento i, poder-se-á, de forma absolutamente idêntica, fazer corresponder uma matriz de rigidez [r].

1

associada às coordenadas locais matriz relacionará os vetores

16

desse {P}. ,

1

elemento. das forças

Essa nas

extremidades do elemento, { ó}. ' 1

dos ao vetor

deslocamentos de suas extremidades, na forma:

{P}. 1

[r]. {ó}. 1 1

(2 .13)

Para um conjunto de n elementos, com todos os {P}. e 1

{ ó} i organizados em dois vetores { P} e { ó}, conforme

(2.6) e (2.7), é possível também fazer:

{P} [r] {ó} (2 .14)

onde, explicitando {P}, [r] e { ó}, ter-se-ía, obviamente:

[O] [O]

{P}. 1

{ó}. 1

[O] [r). 1

[O] (2 .15)

{P} n

[O] [r] { ó} n n

[O]

17

2.4.5 Exemplos

2 ..4 • 5 . 1 Exemplo 1

Determinar a matriz de rigidez da Fig.2.8.a, assumida como um elemento, coordenadas da Fig.2.8.b.

EI = CONST.

@ A A l i L 1 1 ,

(a l ( b)

Fig.2.8- Exemplo 1

estrutura referida

â) 2

da às

Para gerar a la. coluna da matriz [r] impõe-se um deslocamento unitâ~io segundo a coordenada 1, mantendo nulo o deslocamento segundo a coordenada 2, conforme Fig.2.9.a, e determinam-se os esforços segundo ca~a uma das coordenadas, recorrendo, por exemplo, às tabelas elementares da Estática Clássica. Analogamente, com o auxílio da Fig. 2.9.b, determina-se a 2a. coluna.

<b;r,s-- i) ~ ~ r 11 r 21 r 12 . 22

(a l ( b l

Fig. 2.9- Geração Direta da Matriz de Rigidez do Exemplo 1

18

l

Assim:

4EI 2EI rll -e- r12 -e-

2EI 4EI r21 -e- r22 -e-

e com isso:

4EI 2EI -t- -e-

[r] {2.16) 2EI 4EI -e- -e-

2.4.5.2 Exemplo 2

Determinar a matriz de rigidez da estrutura da Fig.2.10.a, referida às coordenadas da Fig.2.10.b.

E1 = CONST.

A; A A A ~ Q L .e L Q,

I a l L

1 1 1 1

1 2 3 4

~ @: (% € ( bl

Fig 210 -Exemplo 2

19

É possível, também nesse caso, gerar as diversas colunas da matriz de rigidez recorrendo a tabelas elementares. Para gerar a la. , 2a., 3a. e 4a. colunas, calculam-se os esforços correspondentes às configurações deslocadas da Fig.2.ll.a, b, c e d, respectivamente.

(a l

ru

@~(i ( bl

r12 r22 r32

@ @~~ (c)

rl3 r23 r33 r43

@ @; ~ ~ (d)

. r'l4 r24 r34 r 44

F ig. 2.11 - Geração Di reta da Matriz de Rigidez do Exemplo 2

Assim, é fácil determinar:

4EI 2EI o Rl4 o Rll -.e- Rl2 -.e- Rl3

R21 2EI -l- R22

8EI -.-l- R23

2EI -l- R24 o

2EI 8EI 2EI R31 o R32 -l- R33 -.e- R34 -l-

2EI 4EI R41 o R42 o R43 -l- R44 -l-

20

e com isso se tem:

4EI 2EI -.e- -.e- o o

2EI SEI 2EI o [R]=

-.e- -.e- -.e-(2 .17)

2EI SEI 2EI o .e .e -.e-2EI 4EI o o .e -.e-

2.4.5.3 Exemplo 3

Determinar a matriz de rigidez do elemento da Fig.2.12.a, referida às coordenadas da Fig.2.12.b.

EI = CONST. & ct3 l l l 2 4 1 ~

{a) ( b)

Fig. 2.12- Ex.emplo 3.

21

Para gerar a la . , 2a . , 3a. e 4a. colunas , calculam-se os esforços correspondentes às configurações deslocadas da Fig.2.l3 . a, b, c e d, respectivamente.

t~ cE"~(t' ! ( o l ·r 41 r 22 ( b l 42 I

I

~ ~"-,~Ji&"4" ~ ~ . r24 r44

(c) ( d)

Fig. 2.13- Geração Direto Motr i z de Regidez do Exemplo 3

Com o uso de tabelas ele~entares é fácil determinar :

l2EI 6EI -l2EI -6EI r11 r12 /e2 r r14 ---

.,__e3 13 · t3 t2

~= ~t =4 -6EI ~24= 2:I ~ 21 t2 22 t r23 t2 ...____/

/

-l2EI -6EI l2EI -6EI r31 r32 --- r33 = r34 ---

t3 t2 t3 t2

6EI (r=~) -6EI f 4:I ] r41 t2 42 l r43 l2 r44

22

I

e com isso tem-se:

~ ~ ç '{\

12EI 6EI -12EI 6EI --- ---t3 t2 t3 t2

"(" ç 'tf' S?

6EI 4EI -6EI 2EI

[r]= t2 (

t t2 t (2.18)

-12EI -6EI 12EI -6EI ---t3 t2 t3 t2

':Í' ç 6EI 2EI -6EI 4EI

t2 t i t

2.4.6 Observações

2.4.6.2 Observação 1

É sempre possível, ~uaisquer que sejam as coordenadas, gerar a matriz de rigidez correspondente; entretanto, essa matriz só pode ser gerada diretamente se, para deslocamentos prescritos segundo as coordenadas, a estrutura resultar determinada, ou conhecida, a prior i. Assim, seja por exemplo a estrutura da Fig.2.14.a.

23

E,A,I

CONSTANTES

Fig. 2.14- Estrutura e Sistemas Alternativos de Coordenadas

Para as coordenadas da Fig. 2.14. b poder-se-ía gerar diretamente a matriz de rigidez [R] com um procedimento análogo ao utilizado nos itens anteriores, obtendo-se assim:

7EI 6EI 3EI --- ---e i e2

[R] 6EI 12EI

(2 .19) --- o e2 e3

3EI 3EI EA

e2 o

e3 + e

24

Isso só foi possível porque, com deslocamentos prescritos segundo as 3 coordenadas, recaiu-se sempre num conjunto de barras geometricamente determinadas, para as quais, em tabelas elementares, constavam os esforços para deslocamentos impostos.

Para as coordenadas da Fig.2.14.c, esse procedimento é inviável e a determinação da matriz de rigidez implicaria em "resolver" a estrutura. Se isso fosse feito ~bter-se-ía:

[ 7 -3 J~ 6EI

Ai2 t2

1 + --[R]

3I (2.20)

6EI 12EI --- ---t2 t3

É claro que desprezando a deformação axial das barras, isto é, fazendo A ~ oo, os deslocamentos prescritos segundo as coordenadas da Fig.2.14.c determinam a estrutura como um conjunto de barras para as quais se conhece tudo; poder-se-ia então obter diretamente:

7EI 6EI ---t t2

[R) (2 .21)

6EI 12EI --- ---

t2 t3

25


A matriz de rigidez permite conhecer as forças segundo as coordenadas a partir do conhecimento dos deslocamentos segundo essas coordenadas; o problema inverso, de conhecer os deslocamentos a partir das forças, só será exequível se a matriz de rigidez for inversível, ou não singular, isto é, se IRI ~ O ou lrl ~ O.

A matriz de rigidez só não será singular se existirem vínculos, segundo as coordenadas ou não, em número suficiente para determinar a posição da estrutura, ou elemento. Assim, as matrizes de rigidez dos exemplos 1 e 2, dos i tens 2. 4. 5. 1 e 2. 4. 5. 2, têm determinantes não nulos, sendo inversíveis; já a do exemplo 3 tem determinante nulo e não é inversível.


As matrizes de rigidez [r] ou [R] são simétricas em relação à diagonal principal, isto é, r .. = r ou R

1 J j i i j

R j i I

pelo teorema de Betti. Os termos da diagonal

principal são não negativos, isto é, r .. 1 1

~ O ou R .. 1 1

~ O.

2.5 MATRIZ DE INCIDÊNCIA CINEMÁTICA

2.5.1 Conceituação

com suas coordenadas Sendo definida uma estrutura, globais, como um conjunto de coordenadas locais, define-se a cinemática [~] como a matriz que deslocamentos {u}, referido às

elementos, com suas matriz de incidência

relaciona o vetor de coordenadas globais, ao

26

vetor de deslocamentos {ó} que inclue os deslocamentos de todos os elementos nas coordenadas locais, isto é:

{ó} [,6] {u} (2 .22)

Essa matriz [,6] pode ser gerada facilmente, desde que, para deslocamentos prescritos ·nas coordenadas globais a estrutura resulte determinada. Ela tem a função de posicionar os elementos, ou suas coordenadas locais, na estrutura, ou nas coordenadas globais.

Para gerar cada coluna de [,6], correspondente a uma coordenada global, impõe-se um deslocamento unitário segundo essa coordenada e determinam-se os deslocamentos segundo cada uma das coordenadas locais .

2.5.2 Exemplo

Determinar relaciona as

a matriz de coordenadas

incidência globais da

cinemática Fig.2.15.a

coordenadas locais dos elementos da Fig . 2 . 15 . b .

1 2 -~ ~~~ <5 CD @ ® ~ 0 (a l

1 2 5 6

(5 CD € @ 0 <b 3 4 ( b}

~ ® ~ F 1g 2 15 - Coordenadas Globa i S e Loca i s

27

que às

Para essas coordenadas:

(\ 1 o o o

02 o 1 o o ul

03 o 1 o o u2

04 o o 1 o u3

05 o o 1 o u4

06 o o o 1

ou então:

1 o o o

o 1 o o

o 1 o o [,8]

o o 1 o

o o 1 o

0 o o 1

2.5.3 Partição da Matriz de Incidência Cinemática

Se o vetor {o} for sub-dividido em sub-vetores contendo ordenadamente os deslocamentos de cada elemento, isto é, com:

28

{o} . 1

{o} {o}. 1

{o} n

é possível, evidentemente, subdividi r a matriz [,6] em submatrizes na forma:

[,6) [,6] i (2 .24)

[,6) ·n

Assim, no exemplo do item 2.5.2, com:

o 1

02 {o}1

o {o} 3

{o}2 04

o 5

{o} 3

O r;

29

ter-se-ia, em lugar da [~] de (2.23):

o o

1 o

1 o

o 1

o 1

o o

2.6 CONTRIBUIÇÃO DE UM ELEMENTO PARA A MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA

2.6.1 Obtenção da Matriz de Rigidez da Estrutura a Partir das Matrizes de Rigidez dos Elementos

Seja [R] a matriz de rigidez da estrutura, que relaciona os deslocamentos {ti} às forças {F} segundo as coordenadas globais:

que

{F} = [R] {u} (2. 25)

Seja [r]. a matriz de rigidez do elemento genérico i, 1

relaciona os deslocamentos {ó}. às forças {P}., 1 1

segundo as coordenadas locais:

30

{ p}. 1

[r]. {ó}. 1 1

(2.26}

Para um conjunto de n elementos, compondo vetores {P} e { ó}, que incluam sequencialmente todos os { P}. e os

1

{ ó} . , respectivamente, seria possível fazer, de acordo 1

com a ( 2. 14) :

{P} = [r] {ó} (2. 27)

com:

{P} 1 [r] 1 ... [O] ... [O] {ó}1

{P}. [O] [r] .... [O] { ó}. 1 1 . 1 (2 .28)

{P} [O] [O] ... [r] {ó} n n n

Da definição de matriz de incidência cinemática:

{ó} [,6] {u} (2. 29)

Partindo do pressuposto que exista equilíbrio entre os {F} e os {P} e que os deslocamentos {u} e {ó} sejam compatíveis, tem-se do P.T.V., conforme expressão (2.8):

31

{F} t {u} (2 .30)

Da (2.25) e (2.27) na (2.30) tem-se:

(2- 31)

Da (2.29) em (2.31), lembrando também que [R]t= [R] e t

[r] = [r], por serem essas matrizes simétricas:

{u}t [R] {u}={u}t [,B]t [r] [,8] {u} (2.32)

Da (2.32) se pode concluir que:

[R] [,8] t [r] [,8] (2- 33)

A expressão (2.33) já permit.e determinar a matriz de rigidez da estrutura a partir das dos elementos, embutidas em [r]; é extremamente interessante, entretanto, observar o que acontece se se particionar [,8]

em submatrizes correspondentes a cada um dos elementos e utilizar a definição de [r] implícita em (2.28).

32

Da ( 2 . 3 3 ) com ( 2 . 2 4 ) e ( 2 . 2 8 ) :

[r] 1

.. [O] . .. [O] [,6] 1

t t t [R]= [ [,6] .. . [,6] .... [,6] ] [O] . .. [r] .... [O] [,6]

1.

1 1 n 1

[O] ... [O] ... [r] [,6] n n

donde:

[r] 1 [,6]1

[R] = [ [,B] ~ t t [r] . [,BJ. ... [ ,B] . . . . [,B]

1 n 1 1

[r] [,B] n n

e, portanto:

n t 2: [,6] . [r] . [,B] . 1 1 1

(2.34) [R]

i=1

ou, fazendo:

[R] . [,6] t [r] . [,6) (2. 35) 1 1 1

33

tem-se a (2.34) como :

n [R] 2: [RJ.

1 (2. 36)

i =l

Da expressão (2.36) se observa que a matriz de rigidez [R] da estrutura pode ser obtida como uma soma de matrizes onde cada uma delas envolve parâmetros associados só a uma barra, conforme expressão (2. 35), caracterizando a contribuição de cada barra, ou de sua matriz de rigidez, para a matriz de rigidez da estrutura.

2.6.2 Exemplos

2.6.2.1 Exemplo 1

Determinar a matriz de rigidez da estrutura da Fig.2 . 16.a, para as coordenadas globais especificadas na Fig.2.16.b, a partir das matrizes de rigidez dos elementos com as coordenadas locais especificadas na Fig . 2.16 . c .

EI=CONSTANTE

A A AT A (o)

~ .t ~ t +- t ~ 1 1 1

1 2 3 4

@ CD (g ® @ 0 <! ( b)

1 2 1 2

@ CD (b <5 0 € (c)

1 2

<5 ® ~ F1g 2 16 - Ex em pIo 1

34

J

Do exemplo 1, do item 2.4 . 5 . 1 tem - se as matrizes de rigidez dos elementos:

4EI 2EI -t- -t-

[r]1 [r]2 [r]3

2EI 4EI -t- -t-

As matrizes de incidência cinemática, introduzidas no item 2.5 e particionadas conforme item 2 . 5.3, são:

o o

1 o

[00 [,8]2

1 o

:] o 1

[00 [,8]3

o 1

o o

A contribuição do elemento 1 para a matriz de rigidez . [R], é dada pela (2.35); assim:

[ R) t ( ) ,_, 1 r 1

35

ou:

1 o 4EI 2EI -f.- -f.-

[:

o o

:] [R] 1 o 1

o o 2EI 4EI 1 o -f.- -f.-

o o

Efetuando as operações matriciais:

..... . ................. - ....... .... 4EI 2EI

-f.- -f.- o o

2EI 4EI -f.- -f.- o o

[R] 1 ...................................

o o o o

o o o o

Analogamente pode-se obter:

o o o o

4EI 2EI o -f.- -f.- o [R] 2

2EI 4EI o -f.- -f.- o

o o o o

36

e também:

o o o o

o o o o [R] 3

4EI 2EI o o -.e- -.e-2EI 4EI o o -.e- -.e-

A matriz de rigidez [R] da estrutura seria obtida através da soma prevista em (2.36):

[R]=

4EI -.e-2EI

-f..-

o

o

2EI -f..-

SEI -.e-2EI

-f..-

o

o

2EI -f..-

SEI -.e-2EI -.e-

o

o

2EI -.e-4EI -.e-

Essa matriz é a mesma obtida diretamente no Exemplo 2, do item 2.4.5.2

37

2.6.2.2 Exemplo 2

Para a matriz de partir da Fig.2.17.c

barra biarticulada da Fig.2.17.a obter rigidez para as coordenadas da Fig.2.l7.b,

matriz de rigidez para as coordenadas

2

1

( b l (c l

F ig. 2.17 - Exemplo 2

a a

da

O que se pretende de fato é fazer uma transformação de coordenadas em algo que poderia ser sempre um "elemento". Como se verá em aplicações futuras,as coordenadas do tipo das da Fig. 2 .1 7. c são interessantes para o manuseio de dados e resultados correspondentes ao elemento; por outro lado coordenadas do tipo das da Fig.2.17.b se revelarão muito mais interessantes na automatização dos processos de cálculo. Poder-se-ia definir uma "matriz de transformação", que desempenhasse o mesmo papel de uma matriz de incidência cinemática, relacionando deslocamentos em ambos os sistemas de coordenadas; isso,entretanto, é desnecessário; basta encarar a barra da Fig. 2.17. c como um "elemento", com suas coordenadas locais, e a da Fig.2.17.b como uma "estrutura", com suas coordenadas globais. Com isso estabelecido, é fácil definir a matriz de incidência cinemática [~] :

38

;.

sena o

[,6]

o cosa

É imediato gerar a matriz de rigidez [r] do "elemento", obtendo:

[ 1 -1 l [r] EA -.e-

-1 1

Das expressões (2.36) com (2.35), para a "estrutura" com um único "elemento":

[R] [R] l = [,6] t [r] [,6]

donde, substituindo:

cosa O

[R] EA r

sena O

O cosa

sena O

O cosa se~] O sena

39

Efetuando as operações matriciais obtem-se:

2 2 c os Ci senacosa c os Ci -senacosa

2 2 senacosa sen Ci -senacosa -sen Ci

[R] EA r 2 2

-cos Ci -senacosa c os Ci senacosa

2 2 -cosasena -sen Ci senacosa sen Ci

2.7 PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS

2.7.1 For.mulação Geral

Pretende-se neste trabalho resolver estruturas lineares complexas mas que possam ser sempre colocadas como um conjunto de elementos unidos entre si; esser;; elementos são supostos conhecidos. Pretende-se considerar a estrutura resolvida quando forem conhecidos os esforços nas extremidades de todas as barras, os deslocamentos dos nós e as reações nos apoios para um carregamento qualquer na estrutura, composto tanto de cargas aplicadas aos nós quanto ao longo dos elementos.

Não havendo carga ao longo do elemento i, é possível determinar os esforços nas extremidades do elemento pela expressão (2.13):

{P}. 1

[r]. {ô}. 1 1

Essa expressão decorre da definição de

aqui suposta conhecida. Conhecidos então os

40

[r] . ; 1

{ ô} . 1

(2 .37)

[r] . é 1

saem os

{P}. provocados por eles. Havendo, entretanto, cargas ao 1

longo das barras, é possível existirem forças {P } o i

segundo as coordenadas locais sem que hajam deslocamentos {õ}., isto é, para deslocamentos assumidos nulos segundo

1

essas coordenadas. Uma forma mais geral para a ( 2. 3 7) seria então:

{P}. 1

{P} +[r]. {õ}. o i 1 1

(2. 38)

Os deslocamentos { ó} . , nas coordenadas do elemento, 1

podem ser determinados a partir dos deslocamentos nodais através da matriz de incidência cinemática, que serve para posicionar cada elemento na estrutura; assim:

{ ó}. 1

[,8]; {u} (2. 39)

Com a matriz de rigidez [R] da estrutura, obtida a partir das matrizes de incidência cinemática e das matrizes de rigidez das barras, se não houverem cargas ao longo das barras e se a matriz [R] for não singular, seria possível obter os deslocamentos dos nós, ou o vetor {u},da expressão (2.12), que permite calcular as forças segundo as mesmas coordenadas; assim:

{F} [R] { u}

Havendo cargas ao forças segundo as

(2 .40)

longo das barras, poderão existir coordenadas globais mesmo com

41

deslocamentos nulos segundo essas coordenadas; assim, uma forma mais geral para a (2.40) seria:

{F} = {F 0

} + [R] {u} (2 .41)

o vetor {F } o

corresponde às forças segundo as

coordenadas globais com todos os deslocamentos, nessas coordenadas, impedidos.

É comum passar esse {F } para o primeiro membro da o

expressão (2.41), caso em que o vetor -{F } teria a mesma o

condição do vetor de forças nodais {F}. A esse vetor será atribuído o nome de vetor de forças nodais equivalentes às cargas de barra, definido por:

-{F } o

Os vetores

relacionados aos

{F eq}

{P } .. o 1

(2 .42)

ou {F } o

serão oportunamente

A expressão (2.41), com (2.42) poderá ficar como:

{F} + {F } eq

[R] { u} (2. 43)

Para obter os deslocamentos incógnitos {u} a partir da expressão (2.43) é necessário ainda que [R] seja não-singular, caso contrário os deslocamentos serão indeterminados. Para que [R] seja não-singular é

42

necessário que a estrutura tenha vínculos que determinem geometricamente sua posição; esses vínculos poderão ter sido introduzidos a priori, ou poderão ser introduzidos como condições de contorno adicionais ao sistema de equação que resultou na expressão (2.43).

As reações {F }, correspondentes a vínculos r

introduzidos segundo as coordenadas globais, na forma de condições de contorno, serão calculados a partir de condições de equilíbrio dos nós.

2.7.2 Forças Nodais Equivalentes às Cargas de Barra

O vetor de forças {F } segundo as coordenadas globais o

e correspondente a deslocamentos nulos segundo coordenadas, pode ser facilmente relacionado ao {P } que contém numa sequência ordenada todos os

o

essas vetor

{P } . ' o 1

que são forças nas coordenadas locais correspondentes a deslocamentos nulos nessas coordenadas da barra i.

As forças {F } e {P } correspondem a um mesmo estado o o

de forças em equilíbrio. Sejam os deslocamentos virtuais {u} e {o} compondo um

estado de deslocamentos compatíveis e portanto relacionáveis por:

{o} [,6] { u} (2 .44)

Impondo o estado de deslocamentos ao estado de forças, tem-se do P.T.V., conforme (2.8):

{F } o

{P } o

(2 .45)

43

Da (2.44) em (2.45):

{F } o

donde:

{F } o

(2.46)

Da (2.42) com (2.46), então, tem-se:

t - [,8] {P }

o (2 .47)

É interessante observar, particionando [,8] e {P } da o

expressão ( 2. 4 7) , que {F } pode ser obtido como um eq

conjunto de contribuições isto é:

(F }" -[rpJ' t ... [,8] .

eq 1 1

de cada barra em separado,

{Po}l

. [p]: l n

{P o} i -2: [,8]~ {P o} i 1 i=l

{P o} n

44

ou então, separando as contribuições:

n

2: (2 .48)

i=l

com:

[,6]~ { } 1 p o i (2 .49)

2.J.3 Condições de Contorno

Existiriam diversos tipos de condições de contorno que poderiàm ser impostas ao sistema de equações em {u} formulado pela ( 2. 4 O) ou ( 2 . 43) ; a única a ser trata da neste capítulo será a correspondente à introdução de vínculos rígidos segundo as direções das coordenadas globais.

Para impor que o de·slocamento ut segundo a coordenada

t global deverá ser nulo, considere-se, com {Feq}, se existir, já adicionado a {F}, o sistema (2.40) ou (2.43) na forma:

F n

45

R ln

R nn

u n

(2.50)

Com ue = O tem-se em {u} uma incógnita a menos, e em

cada equação j um t'=rmo Rje. ue = O A e-ésima equação

terá em compensação uma incógnita a mais; essa

equação poderia servir para calcular a reação no vínculo adicionado, mas esse cálculo será feito de outra maneira, por equílibrio de nó, o que permitirá destruir essa e-ésima equação. Para não condensar o sistema, agora com uma incógnita a menos, substituir-se-à essa equação por uma que reproduza a condição de ue o, isto é,

anular-se-á a linha e e a coluna e de [R}, excetuando Rff

que será feito igual a 1, e se substituirá Fe por zero.

Com isso o sistema (2.50) ficará na forma:

o

F n

o

R nl

o

1

o

o

R nn

u n

(2. 51)

Aplicar-se-á esse artifício para cada vínculo que for adicionado. Com a eliminação da equação que permitiria o cálculo da reação em cada vínculo adicionado, resta agora o problema de determinar essa reação de outra maneira.

2.7.4 Cálculo de Reações

Prevendo a possibilidade de aplicar forças externas segundo quaisquer das coordenadas globais, mesmo aquelas

46

segundo as quais seriam introduzidos vínculos externos, seja o estado de forças, em equilíbrio, com {F} e {F }

r segundo essas coordenadas globais, e com {P} segundo as locais.

A esse estado de forças, pode-se aplicar um estado de deslocamentos, virtual, com { u} segundo as coordenadas globais e { ó} segundo as locais, e compatível, valendo portanto:

{ó} [(j] {u} (2. 52)

Do P.T.V., isto é, de (2.8):

{u}t {{F}+ {F}} r

(2. 53)

Da ( 2 . 53 ) com ( 2 . 52 ) :

{u}t {{F}+ {F}} r

donde:

{F} -{F}+ [{j]t {P} r

Evidentemente [(j] e {P} podem ser particionados, obtendo-se com isso:

n

{F } - {F} + l: [(j]~ { p}. (2. 54) r 1 1

i= 1

47

--)

Esse vetor de reações inclui, é claro, também as "reações" teoricamente nulas segundo as coordenadas sem vinculação.

2.7.5 Exemplos

2.7.5.1 Exemplo 1- Viga Continua

Determinar os deslocamentos nodais {u}, as forças {P}. 1

nos elementos e as reações {F } para a viga contínua da r

Fig. 2.18.a, a partir das forças nodais {F}, das forças {P }. nos elementos, e das matrizes de rigidez [r] .desses

o 1 1

elementos. Adotar as C0.9XQsm.adas- globais---El:a--Fig .. 2_,_18 .b e as locais da-Fig-:-:r~ia-:;-. -

.)!I \EI=960tfm2 J

(a J

Sm l l -+-- l 1 8m 6m 6m

1 1

1 2 3 4

~ 0 @; ® <5 0 €. ( b)

1 2 1 2

@; 0 € <5 0 € 1 2

(c)

(5 @ ~ Fig. 2.18 -Exemplo 1 Viga Contínuo

48

a) Matrizes de rigidez dos elementos

São obtidas diretamente; em partlcular, para as coordenadas locais da Fig. 2.18. c 1 já foram determinadas no item 2.4.5.1, expressas pela (2.16):

4EI 2EI -.e- -.e-[r].=

1 2EI 4EI -.e- -.e-

Substituindo-se os valores numéricos:

240

r

480

[r] 1 = 240 r

640

[r] =[r]= 2 3

320 480

b) Forças {P }. nos elementos o 1

320

640

São obtidas diretamente 1 com tabelas elementares da estática clássica.

{

51333

-5,333

+ 41219 } L:·::: } - 7,031

49

{

4,500}

-4,500

{ : } c) Forças nodais {F} aplicadas

o

-7,00

{F} o

o

d) Matrizes de incidência cinemática

São obtidas também diretamente, conforme item 2.5:

50

[ : o

1

o

o

1

o

o : l 1

o 1

o o

e} Matriz de rigidez da estrutura

A contribuição de cada barra é obtida com a expressão (2.35}; assim:

1 o 480 240 o o

o

o

240 480

o o 1 [4 8 o 2 4 o] [1 o o o] =

o 240 480 o 1 o o

o o

o o

o o o o o o

51

o o o o o o

1 o r6·0

320

r:

1 o

:1 =

o 640 320 o [R] 2

o 1 320 640 o 1 o 320 640 o

o o o o o o

o o o o o o

o o r640 3201 ro o 1 01= o o 320 640 o o o 1 o

o o o

1 o 640 320

o 1 o o 320 640

Com isso, somando, conforme expressão (2. 36) :

480 240 o o

240 1120 320 o [R]

o 320 1280 320

o o 320 640

f) Forças nodais equivalentes às cargas de barra

A contribuição de cada barra é obtida a partir dos {P } conforme expressão (2.48):

o i

52

1 o -9,552

o 1 { 9,552} 12,364

{F eq} 1 o o -12,364 o

o o o

o o o

1 o

{-4,500

} -4,500

{F eq} 2 o 1 4,500 4,500

o o o

o o o

o o o o

1 o o o

o 1 o

Somando, conforme expressão (2.48). tem-se:

53

-9,552 J

7,864 -I {Feq}

4,500 t J

o )

g) Condições de contorno

Com {F}, {Feq} e [R] o sistema de equações fica: (

-t- ).. ::= ,] 't

~

-9,552 480 240 o o ul

0,864 240 1120 320 o u2

4,500 o 320 1280 320 u3

o o o 320 640 u4 /)(

Impondo as condições de contorno, conforme item /

2.8.3:

o 1 o o o ul

0,864 o 1120 320 o u2

4,500 o 320 1280 o u3

o o o o 1 u4

54

h) Deslocamentos nodais {u}

Resolvendo o sistema de equações anterior chega-se a:

o

-Of000251 {u}

Of003578

o

i) Deslocamentos {ó}. nas extremidades dos elementos 1

Da expressão (2.39) f que define os [~]i

[: o

1

o

o :]

[:

1 o

o 1 :]

[: o

o

1

o :]

o

-Of000251

Of003578

o

o

-Of000251

Of003578

o

o

-0f000251

Of003578

o

55

{

-o f 000251}.

Of003578

j) Forças {P}. 1

nas extremidades do elemento

Tendo {P }. , [r]. e {ó}., obtem-se as {P}. com a o 1 1 1 1

expressão (2.38):

{P} = 2 {

4,500} + r640 320

1 -4,500 320 640 {

-0,000251}

0,003578 {

5,484}

-2,290

t) Reações {F } segundo as coordenadas globais r

As reações podem ser obtidas a partir das {F} e das {P}. com a expressão (2.54):

1

56

o 1 o o o

-7,00 o 1 { 9,492} + 1 o { 5,484} +

{F }= - + r o o o -12,484 o 1 -2,290

o o o o o

o o

+

o

: j:::::) 1

o 1

Efetuando:

9,492

o

{F } r o

1,145

5?-

2 .7.5.2 Exemplo 2 - Treliça Plana

Determinar os deslocamentos nodais {u}, as forças {P}. 1

nos elementos e as reações {F } para a treliça da Fig. r

2.l9.a, a partir das forças nodais {F} e das matrizes de rigidez [r]. dos elementos. Adotar as coordenadas globais

1

da Fig.2.l9.b e as locais da Fig.2.l9.c. Todas as barras têm o mesmo comprimento t = Sm e EA = 20000tf.

I o I I b I I c I

Fig. 2.19- Exemplo 2. Treliça Plano


É imediato obtê-las diretamente; como todas as barras são iguais:

58

[r] = [r] = [r) = [r] = 1 2 3 4

{F}

o

o

o

o

o

-6

o

o

~[ 1 -1]=[ 4000 t -1 1

-4000

-4000]

4000

c) Matrizes de incidência cinemática

o

o

o

o

o o o o

o o o 1

o

l 1

o o

0,500 o o o o o

o o o 0,866 0,500 o

59

r : o o o 0,866 -0,500 o

o 0,866 -0,500 o o o

-0,500 o o o o o

o o o o o 0,866

r: o o o o o 0,866

o 0,866 0,500 o o o

d) Matriz de rigidez da estrutura

o o

o o

o o

:] . [ 4000 ·4000 ]· [o o o o o o o [R] =

o o 1

-4000 4000 o o o o o o o 1 o

o 1

o o

1 o

60

Efetuando:

o o o o o o o o

o o o o o o o o

o o o o o o o o

[R] = o o o o o o o o

1 o o o o o o o o

o o o o o 4000 o -4000

o o o o o o o o

o o o o o -4000 o 4000

0,866 o

0,500 o

o o

o r 4000 -4000 1· [R] = o 2 o 0,866 -4000 4000

o 0,500

o o

o o

o o 001

o o 0,866 0,500 o

0,500 o o o o

61

Efetuando:

3000 1732 o o -3000 -1732 o o

1732 1000 o o -1732 -1000 o o

o o o o o o o o

[R] = o o o o o o o o 2

-1732 o o 3000 1732 -3000 o o

-1732 -1000 o o 1732 1000 o o

o o o o o o o o

o o o o o o o o

o o

o o

o 0,866

o -0,500 r 4000 -4000]. [R] = 3

-4000 4000 0,866 o

-0,500 o

o o

o o

. roo o o 0,866 -0,500

o o

62

Efetuando:

o o o o o o o o

o o o o o o o o

o o 3000 -1732 -3000 1732 o o

[R] = o o -1732 1000 1732 -1000 o o

3 o -3000 1732 o 3000 -1732 o o

o o 1732 -1000 -1732 1000 o o

o o o o o o o o

o o o o o o o o

0,866 o

-0,500 o

o o

o r 4000 -400"]-[R] =

o 4 . -4000 o o 4000

o o

o 0,866

o -0,500

-0,500 o o o o o

o o o o o 0,866

63

Efetuando:

3000 -1732 o o o o -3000 1732

-1732 1000 o o o o 1732 -1000

o o o o o o o o

o o o o o o o o [R] =

4 o o o o o o o o

o o o o o o o o

-3000 1732 o o o o 3000 -1732

1732 '-1000 o o o o -1732 1000

o o

o o

o 0,866

r 4000 -4000 1· [R] = o 0,500

5 o o -4000 4000

o o

0,866 o

0,500 o

- roo o o 0,866 0,500 o

o o 0,866 o o

o o

64

o o o o o o o o

o o o o o o o o

o o 3000 1732 o o -3000 -1732

[R] = o o 1732 1000 o o -1732 -1000

5 o o o o o o o o

o o o o o o o o

o o -3000 -1732 o o 3000 1732

o o -1732 -1000 o o 1732 1000

Com isso, somando, conforme expressão (2. 36) :

6000 o o o -3000 -1732 -3000 1732

o 2000 o o -1732 -1000 1732 -1000

o o 6000 o -3000 1732 -3000 -1732

[R]= o o o 2000 1732 -1000 -1732 -1000

-3000 -1732 -3000 1732 6000 o o o

-1732 -1000 1732 -1000 o 6000 o -4000

-3000 1732 -3000 -1732 o o 6000 o

1732 -1000 -1732 -1000 o -4000 o 6000

e) Imposição das condições de contorno

O sistema {F} [R] {u}, depois de impostas as condições de deslocamentos nulos segundo as coordenadas 1, 2, 3 e 4 fica:

65

o l o o o o o o

o o l o o o o o

o o o l o o o o

o o o o l o o o

o o o o o 6000 o o

-6 o o o o o 6000 o

o o o o o o o 6000

o o o o o o -4000 o

f) Deslocamentos nodais

Resolvendo o sistema anterior resulta:

{u}

o

o

o

o

o

-0,00l800

o

-0,00l200

66

o ul

o u2

o u3

o u 4

o u5

-4000 u6

o u7

6000 UB

g) Deslocamentos {õ}. das extremidades de 1

Da expressão (2.39):

o

o

o

{ó}l =[: o o o o o o

:] o

o o o o 1 o o

-0,001800

o

-0,001200

e, analogamente:

{ó}2 { o } -0,000900

{ó}3 {

o' 0000900}

67

{ó}4 { o } 0,000600

{ ó} 5 {

-0 1 000

0

600}

h) Forças {P}. nas extremidades dos elementos 1

Da expressão (2.37):

-4000

j {-0,001200} { 2,400}

-0,001800 -2,400 [

4000

-4000 4000

e, analogamente:

{P} 2 { 3,600}

-3,600

{P} 3 { 3,600}

-3,600

68

{~2,400} {P} 4

2,400

{P} 5 {~2,400}

2,400

i) Reação {F } r

Tendo {F} e os

{F }=-r

o

o

o

o

o

-6

o

o

+

o

o

o

o

o

o

o

1

{P}., da expressão (2.54) tem-se: 1

o

o

o

o

69

0,866

0,500

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

0,866

0,500

o

o

{

3,600}+

-3,600

o o 0,866 o

o o -0,500 o

o 0,866 o o

o -0 , 500 { 3,600}· o o {-2,400}· + 0,866 o -3,600 o o 2,400

-0,500 o o o

o o o o, 866 •

o o o -0,500

( o o 1,039

o o 3,000

o 0 , 866 -1,039

o 0,500 f2,40l 3,000 + o o 2 , 400 o

o o o

0,866 o o

0,500 o o

2.7.5.3 Exemplo 3 -Pórtico Plano

Determinar os deslocamentos nodais {u}, as forças {P} . 1

nos elementos e as reações {F } para o pórtico da r

Fig . 2. 20 . a, a partir das forças nodais {F}, das forças

70

c

{P } . nos elementos e das matrizes [r] desses elementos . o 1

Adotar as coordenadas globais da Fig.2.20.b e as locais da Fig _ 2 _ 2 o _ c _

E I = lO 00 O t f m2

EA = 30000 tf

(o)

l 3

( b) (c) 3

Fig 2.20- Exemplo 3 . Pórtico Plano


Com procedimento análogo aos do item 2.4 . 5 é possível determinar diretamente:

71

./

-r;,___Á c:)\) D\Jo

el =- 10DüO '

..(", \ EA

-e- o o -EA -e- o 0 /

o 12EI 6EI -12EI 6EI --- o ---

e3 e2 e3 e2

6EI 4EI - 6EI 2EI o o ---[r] .= e2 e e2 e ___ ,

-EA -e- o o EA

-e- o o

-12EI -6EI 12EI -6EI o --- o e3 e2 e3 e2

6EI 2EI - 6EI 4EI o o e2 e e2 e

Substituindo valores numéricos tem-se:

4286 o o -4286 O. o

o 350 1224 o -350 1224

o 1224 5714 o -1224 2857 [r] =

1 -4286 o o 4286 o o

o -350 -1224 o 350 -1224

o 1224 2857 o -1224 5714 .

72

7500 o o -7500 o o

o 1875 3750 o -1875 3750

[r] = o 3750 10000 o -3750 5000 2 o o -7500 o o 7500

o -1875 -3750 o 1875 -3750

o 3750 5000 o -3750 10000

b) Forças {P0

}1

nos elementos

De tabelas elementares da Estática Clássica:

../ ().

I _\, 'rl-:._ o

2,361 7._· -7,000

4,408 !Áv .

-4,000

{P } = o 1 o {P } =

o 2 o

3,639 / -3,000

-5,878 -0 2,667

73

c) Forças nodais {F} aplicadas

o

o

o

o {F} o.

-5,000

o

o

o

d) Matrizes de incidência cinemática

São obtidas facilmente, conforme item 2.5:

· 1 o o o o o o o o

o 1 o o o o o o o

[/J] = o o 1 o o o o o o

1 o o o o o o o o 1

o o o o 1 o o o o

o o o o o 1 o o o

74

o o o o o o o 1 o

o o o o o o -1 o o

o o o o o o o o 1

[/1] = 2 o o o o 1 o o o o

o o o -1 o o o o o

o o o o o 1 o o o

e) Matriz de rigidez da estrutura

A contribuição de cada barra é obtida com a (2. 35). Assim:

[R] = 1

[/1]t 1

[r] 1 [/1]1

ou:

4286 o o -4286 o o o o o

o 350 1224 o -350 1224 o o o

o 1224 5714 o -1224 2857 o o o

-4286 o o 4286 o o o o o

[R] = 1

o -350 -1224 o 350 -1224 o o o

o 1224 2857 o -1224 5714 o o o

o o o o o o o o o

o o o o o o o o o

o o o o o o o o o

[R] = 2 [/1]2 [r]2 [/1]2

75

OU:

o o o o o o o o o

o o o o o o o o o

o o o o o o o o o

o o o 1875 o 3750 -1875 o 3750

[R] = 2

o o o o 7500 o o -7500 o o. o o 3750 o 10000 -3750 o 5000

o o o -1875 o -3750 1875 o -3750

o o o o -7500 o o 7500 o

o o o 3750 o 5000 -3750 o 10000

Com isso, somando, conforme expressão {2.36):

4286 o o -4286 o o o o o

o 350 1224 o -350 1224 o o o

o 1224 5714 " o -1224 2857 o o o

-4286 o o 6161 o 3750 -1875 o 3750

[R]= o -350 -1224 o 7850 -1224 o -7500 o

o 1224 2857 3750 -1224 15714 -3750 o 5000

o o o -1875 o -3750 1875 o -3750

o o o o -7500 o o 7500 o

o o o 3750 o 5000 -3750 o 10000

I.__

76

f) Forças nodais equivalentes às cargas de barra

A contribuição de cada barra é obtida a partir das

{P } com a expressão (2.48): o i

1 o o o o

o 1 o o o

o o 1 o o

o o o 1 o

{F eq} 1 o o o o 1

o o o o o

o o o o o

o o o o o

o o o o o

o o o o o

o o o o o

o o o o o

o o o o -1

{F eq} 2 o o o 1 o

o o o o o

o -1 o o o

1 o o o o

o o 1 o o

77

o o

o o o

o 2,361

-2,361

o -4,000

-4,408

o o o

1 3,639

-3,639

o -5,878

5,878

o o

o o

o o

o o o

o -7,000

o

o -4,000

-3,000

o- o o

1 -3,000

-2,667

o 2,667

-7,000 .

o o

o 4,000

Somando, conforme expressão (2.48), tem-se:

{F }= eq

o

-2,361

-4,408

-3,000

-3,639

3,211

-7,000

o

4,000

g) Imposição das condições de contorno

Tendo {F}, e [R], depois de impostas as

condições de deslocamentos nulos segundo as coordenadas 1, 2, 7, 8 e 9, tem-se o sistema de equações em {u} na forma:

o 1 o o o o o o o o ul

o o 1 o o o o o o o u2

-4,408 o o 5714 o -1224 2857 o o o u3

-3,000 o o o 6161 o 3750 o o o u4

-3,639 o o -1224 o 7850 -1224 o o o us

-1,789 o o 2857 3750 -1224 15714 o o o u6

o o o o o o o 1 o o u7

o o o o o o o o 1 o u8

o o o o o o o o o 1 u9

78

i

h) Deslocamentos nodais

Resolvendo o sistema anterior chega-se a:

o

o

-0,0009763

-0,0005822

{u} -0,0005914

0,0001565

o

o

o

i) Deslocamentos {õ}. das extremidades das barras 1

Da expressão (2 .39):

o

1 o o o o o o o o o o

o 1 o o o o o o o -0,0009763 o

o o 1 o o o o o o -0,0005822 -0,0009763

{õ} = 1 o o o 1 o o o o o -0,0005914

-0,0005822

o o o o 1 o o o o 0,0001565 -0,0005914

o o o o o 1 o o o o 0,0001565

o

o

79

o o o o o o

o o o o o o

o o o o o o { ó} =

2 o o o o 1 o

o o o -1 o o

o o o o o 1

j) Forças { p} i

Com a expressão

{P} = 1

o 2,361 4,408

+ o 3,639

-5,878

o o

-0,0005914 -0,0005822 -0,0005914

0,0001565

o

o 1 o o o

-1 o o -0,0009763 o

o o 1 -0,0005822 o

o o o -0,0005914 -0,0005914

o o o 0,0001565 0,0005822

o o o o 0,0001565

o

o

nas extremidades dos elementos c

I ... (2. 3;7) :

4286 o o -4286 o o o 350 1224 o -350 1224 o 1224 5714 o -1224 2857

-4286 o o 4286 o o o -350 1224 o 350 1224 o 1224 2857 o -1224 5714

80

ou:

{P} = 1

{P} = 2

ou:

{P} = 2

2,495 1,565

o -2,495 4,435

-7,049

o -7,000

.-4' 000

7500 o

+ o -7500 -3,000 2,667

o o o

-0,0005914 0,0005822 0,0001565

4,436 -7,505 -5,401 -4,436 -2,495 -2,049

o o

o o -7500 o o 1875 3750 o -1875 3750

o o 7500 o o -1875 -3750 o 1875 -3750

3750 5000 o -3750 10000

81

f.) Reações {F } r

As reações, segundo as coordenadas globais, podem ser obtidas com a expressão (2 .54) 1 a partir das {F} e das {P}. :

1

o 1 o o o o o

o o 1 o o o o

o o o 1 o o o 2,495

o o o o 1 o o 1,565

{F }= o o - o + o o o o 1 + r -5,000 o o o o o 1

-2,495

o o o o o o o 4,435

o o o o o o o -7,049

o o o o o o o

o o o o o o 2,495

o o o o o o 1,565

o o o o o o 4,436 o

o o o o -1 o -7,505 o

o o o 1 o o -5,401 o +

o o o o o 1 -4,436 o

o -1 o o o o 2,495 7,505

1 o o o o o 2,049 4,436

o o 1 o o o -5,401

82

CAPÍTULO III

APLICAÇÃO DO PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS AO CÁLCULO DE PÓRTICOS PLANOS

3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Pretende-se neste capítulo, aproveitando o desenvolvimento teórico do capítulo II, desenvolver um programa tão simples quanto possível para resolver pórticos planos, assumindo um único tipo básico de elemento na composição da estrutura e prevendo como condições de contorno apenas a imposição de deslocamentos nulos segundo as coordenadas globais. Todos os passos utilizados na programação em computador, principalmente os relacionados à geração e ao possível não armazenamento das matrizes de incidência cinemática, serão semelhantes na programação de qualquer outro tipo de estrutura. Artifícios adicionais no sentido de versatilizar o programa, ou torná-lo mais eficiente, serão deixados para os capítulos seguintes.

3.2 SISTEMAS DE REFERÊNCIA

Antes de se pensar em definir a estrutura, nós, suas barras, e também as coordenadas

83

com seus locais e

globais com que se trabalhará extremamente interessante definir referência. Esses sistemas seriam de

a) Sistema global de referência

no problema, seria alguns sistemas de dois tipos:

É um sistema Oxyz dextrorso, em relação ao qual se poderia definir as posições dos nós e as direções das coordenadas globais. No caso de estrutura plana, em particular no caso de pórtico plano, pode-se, sem perda de generalidade, manter a estrutura no plano Oxy.

b) Sistema local de referência

É um sistema Oxyz, também dextrorso, e associado a cada barra; em relação a ele se poderia definir as características da barra, as cargas na barra e as direções das coordenadas locais para entrada e saída de resultados dessa barra. O eixo x terá a direção coincidente com a de uma orientação a ser definida para a barra e o eixo z, neste caso de estrutura plana, será coincidente com o eixo z do sistema global de referência.

3.3 DEFINIÇÃO DO ESQUELETO DA ESTRUTURA

Assumindo que se tratará neste item apenas com pórticos planos de nós rígidos, com n nós e m barras com numerações sequenciais a partir de 1, para definir o esqueleto da estrutura será necessário definir a posição dos n nós no plano da estrutura e a existência das m barras unindo alguns desses nós. A posição de cada um dos n nós estará definida pelas coordenadas segundo x e segundo y no sistema global de referência.

Para definir a existência das m barras ligando os nós já definidos, seria suficiente associar a cada uma delas os números dos dois nós que elas interligam; para viabilizar a definição do sistema local de referência, será definida também uma "orientação" para cada barra.

84

Assim, para uma barra genérica i, será definido um nó inicial j e um nó final k.

3.4 COORDENADAS GLOBAIS

O pórtico plano será composto pela unlao de elementos, ou barras, em nós rígidos i esses nós rígidos terão 3 deslocamentos possíveis e a eles é possível aplicar 3 forças independentes, sendo portanto interessante adotar 3 coordenadas por nó. Por mera questão de sistematização, sem que isso implique em perda de generalidade, a numeração dessas coordenadas manterá a mesma sequência de numeração dos nós, definida no item (3.3). assim, ao nó t genérico, corresponderão as coordenadas:

3t - 1 (3 .1)

Mais ainda, para sistematizar também a orientação, aproveitando a definição do sistema global de referência Oxyz do item (3.2), a coordenada t

1 terá a orientação do

eixo x, a t2

a do y e a t3

a do z, conforme Fig.3.1.

85

z X

Fig. 3.1- Estruturo e Coordenados Globais

3.5 COORDENADAS LOCAIS

Para uma barra genérica i, assumida como elemento, padronizado por opção, com um nó inicial j e um nó final k, conforme Fig.3.2.a, ter-se-á 3 esforços, ou 3 deslocamentos independentes por extremidade, sendo interessante criar, então, 3 coordenadas por extremidade.

86

CD CD 3

(o) ( b) (c)

F i g. 3. 2 - Elemento e Coordenados Locais

Um conjunto bastante interessante de coordenadas locais seria o esquematizado na Fig.3.2.b, onde se teria as 3 primeiras coordenadas associadas à extremidade inicial e as 3 outras associadas à extremidade final;relaciona-se, sequencialmente, as orientações de cada um desses conjuntos, também às orientações dos eixos x, y e z do sistema global de referência; com essa concordância de orientações entre as coordenadas globais e as locais, fica extremamente simples gerar as matrizes de incidência cinemática e mesmo substituir a sua interferência, nas formulações matriciais utilizadas, por algoritmos simples que permitam evitar sua geração explícita e seu armazenamento em computador.

Por outro lado, para introduzir dados resultados, seria muito mais natural e trabalhar com as coordenadas da Fig.3.2.c,

e manusear interessante

também com 3 coordenadas associadas à extremidade inicial e 3 à extremidade final. Cada um desses conjuntos de 3 coordenadas teria também sua orientação associada sequencialmente às dos eixos x, y e z do sistema local de referência associado à barra i.

Para tirar provei to de ambas as vantagens se trabalhará com os dois sistemas. Para evitar confusão de

87

notação se atribuirá aos vetores e matrizes, associados ao elemento, um índice adicional; assim, para as coordenadas da Fig.3.2.c, mais naturalmente associadas ao elemento, se atribuirá o índice e e se terá:

~ deslocamentos nas coordenadas locais

associadas ao elemento

~ forças nas coordenadas locais associadas ao

elemento

~ matriz de rigidez do elemento nas coordenadas

locais associadas ao elemento.

Para as coordenadas locais da Fig. 3 . 2 . b, mais diretamente relacionadas às direções do sistema global de referência, se atribuirá o índice g. Assim se terá:

~ deslocamentos nas coordenadas locais

associadas ao sistema global de referência

{P } ~ esforços nas coordenadas locais associadas ao g i

sistema global de referência

~ matriz de rigidez do elemento nas coordenadas

associadas ao sistema global de referência.

É extremamente simples relacionar as matrizes e vetores desses dois sistemas locais, utilizando a formulação matricial desenvolvida nos itens anteriores. Para isso poder-se-ia encarar o elemento com as coordenadas da Fig. 3 . 2. b como uma "estrutura" com um só "elemento" com as coordenadas da Fig.3.2.c.

88

Relacionando o vetor {6 } dos deslocamentos g i

da

"estrutura" ao vetor {6 } dos deslocamentos e i

do

"elemento" , cinemática

pode-se definir uma matriz de incidência [~e]i, conforme detalhado no item 2.5:

{ ó e} i = [~e] i { ó g} i

Essa matriz [~] tem sempre 36 elementos e facilmente:

cosa sena i i

o o o o

-sena. cosa o o o o 1 i

[~ ] . = o o 1 o o o

e 1 o o o cosa sena. o i l

o o o -sena. cosa. o 1 1

o o o o o 1

A matriz [r ] . é gerável diretamente e 1

procedimento utilizado no item 2.4, obtendo-se:

89

(3 .2}

é obtida

(3.3}

com o

EA -e- o o -EA

-e- o o

12EI 6EI -12EI 6EI o --- o e3 ez e3 ez 6EI 4EI -6EI 2EI o

ez o [r ] . = e ez e (3 .4) e 1

-EA -e- o o EA

-e- o o

-12EI -6EI 12EI -6EI o --- o ---e3 ez e3 ez

6EI 2EI -6EI 4EI o ez

o e ez e

Tendo [/3 ] . e [r ] . , com a (2.35), para a "estrutura" e 1 e 1

com um só "elemento". obtem-se:

t [r ] . = [/3 ] . [r ] . [/3e]

1.

g1 e1 e1 (3. 5)

Poder-se-ia efetuar as operações matriciais da expressão (3.5), o que entretanto não vale a pena, devido à resultante complexidade algébrica;é melhor efetuar essas operações em computador.

Da (2. 46), para a "estrutura" com um só "elemento", tem-se:

{ p } = [/3 ] ~ { } og i e 1 P oe i (3. 6)

As operações aí indicadas poderiam ser facilmente efetuadas:

90

p COSO!. - sena. o o o o ogl 1 1

p sena. COSO! o o o o og2 1 i

p o o 1 o o o og3

p o o o COSO!. -sena o og4 1 i

p o o o sena. COSO!. o og5 1 1

p o o o o o 1 og6

p oe

1 p

p oe

2

p oe

3

oe4 p

p oe

5

oe6

donde:

p p COSO! - p senO! og

1 oe

1 oe

2 p p senO! + p COSO!

og2 oe1

oe2

p p og3 oe

3 {3. 7) p p COSO! - p sena

og4 oe4

oe5

p p sena + p COSO! og5 oe

4 oe

5 p p

og6 oe6

91

Em termos de dados que precisam ser introduzidos nas coordenadas locais associadas aos elementos, tem-se apenas matriz a [r]. e as forças {P } ..

e 1 oe 1

Para as considerações posteriores, o elemento passará a ter, então, as coordenadas locais associadas às direções da Fig.3.2.b, e a estrutura corresponderá efetivamente ao pórtico, com as coordenadas globais definidas na Fig.3.1.

3.6 MATRIZ DE INCIDÊNCIA CINEMÁTICA

Seja considerada uma barra i, com extremidade inicial j e final k. É extremamente simples definir a matriz de incidência cinemática [.8 ] . que relaciona os

g 1

deslocamentos {u},nas coordenadas globais, aos deslocamentos {ó }. , nas coordenadas locais, recorrendo à

g 1

Fig.3.3.

4

( bl

z X

Fig. 3.3- Coordenadas Globais e Locais Rei acionáveis à Barra

92

As coordenadas globais associadas ao nó inicial j, conforme previsto no item 3 _ 4 e mostrado na Fig _ 3 _ 3 _a são:

jl 3j - 2

j2 3j - 1 (3- 8)

j3 3j

As correspondentes ao nó final são:

kl 3k - 2

k2 3k - 1 (3- 9)

k3 3k

Com isso é imediato gerar [,8 g] i tal que:

{ó }_= g 1

[,8 ] - {u} g 1

(3 .lO)

obtendo:

jlj2j3 kl k2 k3

o o o 1 o o o o o o o o

o o o o 1 o o o o o o o

[,8 g] i o o o o o 1 o o o o o o

o o o o o o 1 o o o o o (3 .11)

o o o o o o o 1 o o o o

o o o o o o o o 1 o o o

nó 1 nó j nó k nó n

93

É interessante observar que se se relacionar diretamente através de uma só incidência cinemática [jJ] os deslocamentos

i

pretendesse matriz de segundo as

coordenadas globais, {u}, aos deslocamentos segundo as coordenadas locais, {o } . , com as direções relacionadas

e 1

ao elemento, através de:

{o } . = [;3] . { u} e 1 1

(3 .12)

ter-se-ia, da (3.10) na (3.2), com (3.12):

(3 .13)

3.7 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA

A contribuição [RJ. 1

da barra i para a matriz de

rigidez (R] da estrutura expressão (2.35), onde se de notação, [j3) . por [;3 ] .

1 g 1

pode ser obtida a partir da substitui, devido à alteração e [r]. por [r J.

1 g 1

[R] . 1

t [;3 ] . [r ] . [jJg] 1. g 1 g 1

(3.14)

Vale a pena explicitar, e efetuar, os produtos matriciais da (3.14). Com isso é imediato obter:

94

1 o o o .. o o o .. o o o .. o o o

2 o o o .. o o o .. o o o .. o o o

3 o o o .. o o o .. o o o .. o o o

jl o o o .. r r r .. r r r .. o o o gll g12 g13 g14 glS g16

j2 o o O •• r r r .. r r r .. o o o g21 g22 g23 g24 g25 g26

j3 o o O •• r r r .. r r r .. o o o g31 g32 g33 g34 g35 9 36

[R] . = 1

k1 o o O •• r r r .. r r r .. o o o g41 g42 g43 g44 g45 g46

k2 o o O .• r r r .. r r r .. o o o gSl g52 g53 g54 gss g56

k3 o o o .. r r r .. r r r .. o o o g61 g62 g63 g64 g65 g66

nl o o o .. o o o o o o o o o

n2 o o O •• O o o o o o o o o

n3 o o o .. o o o o o o o o o

1 2 3 j1 j2 j3 k k k3 n n2 n3 1 2 1

(3 .15)

95

Como se pode observar da (3.15) não será necessária a geração explícita de todas as [,8 ] . ; essa é a grande

g 1

vantagem da utilização das coordenadas da Fig.3.2.b para o elemento, o que implicará numa enorme economia de memória em computador. Também não será necessar~o gerar cada uma das [R]. em separado; pode-se apenas trabalhar

1

com uma adição, em posições definidas, das contribuições de cada um dos elementos para a matriz de rigidez [R] da estrutura.

3.8 FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES

A contribuição do carregamento na barra genérica i para as forças nodais equivalentes poderia ser obtida a partir da (2.49), com uma simples adaptação de notação:

- [,8 ] ~ { } g 1 Pog i (3.16)

Vale a pena explicitar essa expressão (3.16) levando em conta a (3 .11) e também relacionar os {P } aos

og i

{P oe} i , conforme expressão (3. 7) . Esses {P oe} i são

facilmente obtidos através de tabelas elementares da Estática Clássica. Com (3.7) e (3.12) na (3.16) obtem-se:

96

o o o o o o

o o o o o o

o o o o o o

j1 l o o o o o p cosa - p sena oe

1 oe

2

j2 o l o o o o p sena + p cosa oe

1 oe

2 j3 o o l o o o p

{F } = -oe

3 eq i p cosa - p sena

k o 1

o o l o o oe4

oe5

k o p sena + p cosa o o o l o oe

4 oe

5 2 k o o o o o l p

3 o e 6

n 1 o o o o o o

n o o 2

o o o o

n o o 3

o o o o

donde:

97

{F eq} i

1

2

3

jl

j2

j3

kl

k2

k3

nl

n2

n3

-P oe

1 -P

oe1

-P oe

3

-P oe

4

-P oe

4

-P oe

6

o

o

o

COSO! +

sena -

COSO! +

sena -

o

o

o

p sena oe

2 p COSO! oe

2

(3 .17)

p sena oe

5 p COSO! oe

5

Com a (3.17)

cargas nodais pode ser facilmente gerado o vetor de

equivalentes de acordo com a expressão (2 .48).

98

3.9 ESFORÇOS FINAIS NAS COORDENADAS DO ELEMENTO

Determinados os vetores {F} e {F }, bem como a matriz eq

[R] , impostas as condições de contorno com o procedimento detalhado no item 2.8.3, é possível determinar o vetor de deslocamentos {u} relacionado às coordenadas globais. Com {u} determina-se {ó }. através da expressão (3.10) i com

g 1

{ó }. obtem-se {ó }. através da (3.2) e, com a (2.38), g 1 e 1

devidamente adaptada, obtem-se {P } .. e 1

Assim, da (3.10):

99

(3.18)

Explicitando a (3. 21)' levando em conta a (3 .14):

ul

u2

3 jl j2 j3 kl k2 k u3

1 2 nl n n 3 2 3

o o o ... 1 o o ... o o o ... o o o ujl

o o o ... o 1 o ... o o o ... o o o uj2

o o ,o .. o o ,1 ... o o o ... o o o uj3 { ô } . =

g 1 o o o ... o o o ... 1 o o ... o o o

o o o ... o o o ... o 1 o ... o o o ukl

o o o ... o o o ... o o 1 ... o o o uk2

uk3

u nl

u n2

un3

100

donde:

u. ]1

u. ]2

u.

{ ó g} i ]3

uk

(3 .19)

1

uk 2

uk 3

Da (3.2)

{ ó } . = [,B ] . { ó } . e1 e1 g1

(3. 20)

Explicitando a (3.20), utilizando a (3.3) e a (3.19), tem-se:

COSO! sena o o o o u.

-sena COSO! o o o o ]1

u.

o o o o ]2

{ ó e} i 1 o u.

]3 o o o COSO! sena o uk

1 o o o -sena COSO! o ~2

o o o o o 1 uk 3

donde:

101

Da

{P oe} i

forma:

u. cosa - u. sena ]1 ]2

-u. sena + u. COSO' ]1 ]2

u.

{ 0 e} i ]3 (3 .21)

uk COSO' - uk sena 1 2

-uk sena + Uk COSO'

1 2

uk 3

(2. 38), adaptada à nova notação, dispondo-se dos obtidos de forma elementar, tem-se os {P } na

e i

( 3 . 22)

Não vale a pena explicitar a (3. 22); as operações indicadas são facilmente executáveis em computador.

3.10 CÁLCULO DE REAÇÕES

As reações, calculadas por

conforme discutido no item 2. 8. 4, serão equílibrio de nó, segundo todas as

coordenadas, incluindo as não vinculadas, para as quais essas forças serão teoricamente nulas.

Da (2.54) adaptada à nova notação:

102

{F } r

n

-{F} + 2: i=l

(3. 23)

Os esforços {P } são facilmente relacionáveis aos g i

{P }. , com o procedimento utilizado no item 3.5, e 1

utilizando o P.T.V. para a "estrutura" da Fig.3.2.b com o único "elemento" da Fig.3.2.c. Assim, ao estado de forças composto pelos {P }. e {P }. , impõe-se um estado de

e 1 g 1

deslocamentos virtuais com {o } e i

e compatíveis,

e portanto relacionáveis por:

Do P.T.V., tem-se:

{ O }t {P } = {o }t {P } gi gi ei ei

Da (3.24) na (3.25)

{o } ~ [{3 ] ~ { } g1 e1 Pei

Valendo a (3.26) para qualquer {o }. tem-se: g 1

[{3 ] ~ { } e 1 P e i

Levando em conta a (3.3) é fácil obter:

103

(3 .24)

(3 .25)

(3. 26)

(3 .27)

p p COSO' - p sena gl el e2

p -P sena + p COSO' g2 el e2

p p

{P g} i g3 e3 (3. 28) p p COSO' - p sena

g4 e4 es p p sena + p COSO'

g5 e4 e5 p p

g6 e6

104

Levando-se a (3. 28) e a (3 .11) na ( 3. 23) :

1 o o o o o o

2 o o o o o o

3 o o o o o o

jl 1 o o o o o p cosa - p sena

el e2

j2 o 1 o o o o p sena + p cosa el e2

j3 o o 1 o o o n p

{F } -{F} + 2: e3 r

i=l p cosa - p sena

kl o o o 1 e4 e o o 5

k2 o o o o p sena + p cosa

1 o e4 e 5

k3 o o o o o 1 p e6

nl o o o o o o

n2 o o o o o o

n3 o o o o o o

105

e, efetuando:

n

{F }=-{F}+ L r

i=l

o

o

o

P· cosa - P sena el e2

P sena + P cosa el e2

P COSO! -e4

P sena es

P sena e4

+ P COSO!

es

o

o

o

Os {P }. seriam obtidos com a expressão (3.22). e 1

106

(3 .29)

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