INTRODUÇÃO RASTREAMENTO DE SINAIS CONSTANTES exemplosites.poli.usp.br/d/PME2472/seguidores.pdf · 2018-05-11 · Introdução 2 Até aqui estudamos o problema do Regulador, cujo

• I N T R O D U Ç Ã O

• R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S C O N S T A N T E S

• exemplo• R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S V A R I A N T E S N O

T E M P O

• exemplo• C A S O G E R A L : R A S T R E A M E N T O D E S I N A I S

V A R I A N T E S N O T E M P O E D I S T Ú R B I O .

Seguidores1

Introdução2

Até aqui estudamos o problema do Regulador, cujoobjetivo é levar o Estado para zero: x(tf)0. Osreguladores são capazes de rejeitar distúrbio muitobem, mas em geral, são ruins para seguir trajetóriasou sinais de referência na entrada. Para adicionaresta característica ao controlador é preciso modificara lei de controle. Os Seguidores de Referência sãotambém conhecidos como Rastreadores ouTraqueadores (“tracking”). Iniciaremos com osRastreadores de Sinais Constantes (tipo degrau).

Rastreadores de Sinais Constantes3

Até aqui:

Vamos introduzir no modelo a informação sobre osinal de referência xr(t) ou a trajetória descrita notempo que desejamos seguir (rastrear). A maneiramais direta para isso seria adicionar termosproporcionais a xr(t) na equação do controlador.Podemos tentar usar o erro de rastreamento

e=(x-xr) para gerar a ação de controle:

u = - K(x-xr)

xBKAx

Cx y

KxuBuxAx

Rastreadores de Sinais Constantes4

A equação de malha fechada ficaria:

Com uma escolha adequada dos autovalores de F podemoslevar o erro de rastreamento para zero. No entanto, quandoxr é um sinal constante, como um degrau, o sistemacontrolado apresenta erro em regime permanente.

r

BKxx

F

BKAx

t

r =1

Rastreadores de Sinais Constantes - SISO5

Para que não ocorra erro em Regime Permanente(RP) vamos calcular o Estado no RP (xRP) e a acão decontrole (uRP) que garanta que o erro na variávelobservada (y) seja nulo e vamos forçar o estado x e aação de controle a assumirem estes valores. Para issoa nova lei de controle será:

u = uRP - K(x-xRP) (3)

para evitar eRP para chegar a trajetória em RP

obs: 1) u = - Kx + KxRP + uRP

regulador chegar a trajetória sem erro

2) quando eRP =0 x = xRP e u = uRP

6

Rastreadores de Sinais Constantes - SISO

(6) :referência de

a trajetórià chegado tenhasistema o RP em queimpor

(5)

(4)

:RP aochegar sistema o Quando

r

RPRP

RPRP

xy

Vamos

uy

u

uy

u RP

DxC

BxA0

DCx

BxAx

0x

uRPxRP

xr

7

Também é razoável admitir que o Estado em RP (xRP) e a

ação de controle (uRP) ) sejam proporcionais à trajetória dereferência (xr), formalmente:


1

:é )0( trivialnão soluçãoCuja

:(5) e (4) em (8) e (7) (6),

(8)

(7)

u

u

r

rurr

rur

ruRP

rRP

x

xxx

xx

Pondo

xu

x

DNCN

BNAN0

DNCN

BNAN0

N

Nx

x

x

x

x

x

8

Ou na forma matricial:

Tendo Nx e Nu, de (7) e (8) temos xRP e uRP e usando(3) calculamos a nova lei de controle, que garante eRP

nulo para sinais de referência constantes.

(3) u = uRP - K(x-xRP) = - Kx + KxRP + uRP

u = - Kx + (KNx + Nu) xr = - Kx + N xr


.inversívelfor se

11

1

Λ

0

DC

BA

N

N0

N

N

DC

BA

Λ

xx

uu

rxu

uu

NKx

BxAxregulador pré-alimentação

9

Rastreadores de Sinais Constantes - MIMO

:é )( trivialnão soluçãoCuja

ux

ux

r

rurxr

rurx

ruRP

rxRP

DNCN I

BNAN0

0x

xDNxCN x

xBNxAN0

xNu

xNx

.inversívelfor seΛ

I

0

DC

BA

N

N

I

0

N

N

DC

BA1

u

x

u

x

Λ

Esquema de controle para este seguidor:10

K

Nu

Nx

xr

Reguladorpré-alimentação

Esquema de controle para este seguidor:11

K

Nxr

Reguladorpré-alimentação

Seguidor de degrau unitário12

A=[0 1;-1 0]; eig(A) B=[0 1]'; CT=ctrb(A,B); rank(CT) C=[1 0]; D=0; A1=[A B;C D]; A2=inv(A1); No=[0 0 1]'; Nxu=A2*No; % Regulador: p1=p2*=-1+j v=[-1+j -1-j]; K=place(A,B,v); F=A-B*K; eig(F) Nx=Nxu(1:2); Nu=Nxu(3); urp=Nu+K*Nx; B1=[0 urp]'; step(F,B1,C,D) hold on C1=[0 1]; step(F,B1,C1,D)

+-j

2

1

0

1 Nx

Nu


B=[0 1]’C=[1 0]

Sistema massa/mola


B=[1 0]'C=[0 1]

Sistema hipotético

Seguidor com referência variante15

x(t)

xr(t)


BuAexAAe

BuxAxeAe

xex

BuxAAxe

xxe

xxe

xAx

BuAxx

rr

rrr

r

rr

r

r

rrr

:(3)

(3) :

)2(

)1(

De

Seja

Vamos admitir por facilidade quex e xr

tenham a mesmadimensão.


Notação matricial:

u será calculado adiante.

uBxAx

u0

B

x

e

A0

AAA

x

e

rr

r

r

Seguidor com referência variante e distúrbio

18

r

w

r2

rr2wr

rrwr

rrw

r

r

r

rrr

www

w

x

xAABuBAee

xAuBxBAxAee

xAuBxBxeAe

xAuBxBAxe

xxe

xex

xxe

xAx

xAx

uBxBAxx

1

1

21

21

21

(5)

(4) :

)3(

)2(

)1(

Seja

sistema

referência

distúrbio


xxC C Cy

uB

x

e

A

FA

x

e

x

x

A

A

x

x

xAx

xAx

FxuBAee

x

xAABuBAee

rwe

2

ex0ex

r

w

r

w

r

w

rrr

www

2

r

w

r2

BxΛx

xAx

xF

exex 0

][

00

)7( 0

0

)3(

)2(

)6(

1

ex

ex


20

wx

Ar

Cw

Aw

A

B2

xw

B1

rx

e eu

A-Arxr

Ce

Cr

Sensor dedistúrbio

Sensor deerros de rastreamento

Sensor dereferência(guiagem)

y y

Cálculo de u21

taçãopré-alimenregulador

)(

oantecipaçã

tação-men

reali-

:

ex

ex

ex

Seja

xKBFeKBAe

FxxK KeBAee

xKxK Ke u

xK Ke u

FxuBAee

ex22

exex2

wwrr

exex

2


22

xr eK

Kr

Kw

xw

x

y

PLANTA

pré-alimentação

CC

realimentação

Cálculo de u

23

Em RP: e =0 e queremos e(t) 0

e(t) não pode ser anulado já que e = f (xex)

exex22

exex22

ex222

)xKB(FKBAe

)xKB(FeKBA

0xKBFeKBAFxuBAee

1

exex

O ideal seria escolher K e Kex para manter o erro em zero, masisso em geral não é possível. Temos que nos contentar com objetivos mais modestos e fazer uma combinação linear de e(t)ser anulada:

exx0z

C

0eCz

de tementeindependen

singular matriz

Cálculo de u24

inversa pseudo

temportanto e esquerda à inversa-pseudo é seja

111

inversívelfor

11

1

1

T

T

T

T

se

ou

onde

W

IWW

FWK

F

W

KBACBKBACK

KBKBACFKBAC

0)KB(FKBACeC

)xKB(FKBAe

ex

222ex

ex222

ex22

exex22

Observações : 1)

25

se j > m, mais incógnitas do que equações: sistema sobredeterminado => não há solução; (sistema sub-atuado)

se j < m, mais equações do que incógnitas : sistema subdeterminado => há múltiplas solução; (sistema sobre-atuado)

se j = m, solução única (sistema quadrado)

anular a erro de medidas

controle de entradas

)(

)(

1

)()(

)1()1(

j

m

jxn

nxmnxnjxn

nxjx

22 BKBAC

C

eCz

Inversibilidade de:

Poderíamos pensar que a existência desta inversadepende de K ou seja da malha fechada, mas não éverdade. A existência desta inversa depende apenas damalha aberta. A inversa não depende de K, porquê arealimentação não altera os zeros de um sistema. Casoescalar, por simplicidade:

26

Observações : 2)

22 BKBAC1

)(

)(

)(

)(

11

1

sN

sD

sD

sN

22

22

BKBAC

BKBAC

Se fosse possível, variaríamosK e alteraríamos N(s), e por-Tanto os zeros do sistema!

27

Podemos mostrar que

possui inversa se e somente se: 22 BKBAC

1

contínua) (corrente nula frequência :0s:obs

lim

:por asubstituídser pode 0

: inversívelfor se Ainda,

0

0s

1

2

1

2

1

2

1

2

BAC0BAIC

BAIC

A

KBAIC

s

s

independeabertamalhas

UBA)I(CZeCz

UBA)I(EuBAee

2

1

2

1

2

s

ss

Laplace

Laplace )(

Seja o erro em malha aberta, sem distúrbio externo:

Exemplo28

F

W

KBACBKBACK

x

x

A

A

x

x

xK xxKxK Ke u

x

x

x

F

AABuBAee

xxe

xAx

xAx

uBxBAxx

222ex

r

w

r

w

r

w

exexrexex

ex

r

w

r2

r

rrr

www

w

exexxAx

0

T

Seja

111

1

21

0

0

)(

(4) :

)3(

)2(

)1(

Exemplo29

)(

2212

2212

2212

21

ex0ex

exex

exex

x

r

w

exexrw

ex0ex

exexrw

xAx

xKBKBBxKBAx

xKBx

xKBBxKBAx

xKBKxBxBxKBAx

xAx

xK xxKBxBAxx

ex

Exemplo30

tet

ttt

A

ex0

A

ex

ex

xx

xAx

x

x

x

A

A0

KBKBBKBA

x

x

xy

)(

)()()(

01

2212


31

% Seguidor de sinal variante no tempoA=[0 1;-1 0]display('polos de sem controle')eig(A)B1=[0 1]'B2=[0 1]'CT=ctrb(A,B2);display('posto da matriz de controlabilidade')rank(CT)C=[1 0]D=0Aw=[0 1; -100 0 ]Ar= [0 1; -1 0]C1=[1 0] C


32

v=[-1+j -1-j];display('ganho de realimentaçao')K=place(A,B2,v)F=A-B2*K;F1=inv(F);F2=[ B1 (A-Ar)];Ke=inv(C1*F1*B2)*C1*F1*F2;Ax=zeros(2);Ao=[Aw Ax;Ax Ar];Ay=[B1 B2*K]-B2*Ke;

Ay=[Ay [ 0 0]'];AT=[(A-B2*K) Ay ; [0 0;0 0; 0 0;0 0] Ao];

xTo=[1 0 1 0 1 0]';sys=ss(AT,xTo,AT,xTo);[y,T]=step(sys,30);plot(T,y(:,1))

Kex

A


33

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