IV – O transformador...Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente O transformador – Sérgio Haffner Versão: 1 0/9/2007 Página 4 de 27 Exemplo IV.1 – No

Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente

O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 27

IV – O transformador

Os transformadores de força são os equipamentos utilizados para viabilizar a transmissão de energia elétrica em alta tensão. Desta forma, são instalados nas usinas de geração, para elevar a tensão em níveis de transmissão (no Brasil de 69 kV a 750 kV), nas subestações dos centros de consumo (subestações de distribuição ou subestações de grandes consumidores), para rebaixar o nível de tensão em níveis de distribuição (tipicamente 13,8 e 23 kV) e também nas subestações de interligação para compatibilizar os diversos níveis de tensão provenientes das diversas linhas de transmissão que aportam. Para se ter uma noção da importância destes equipamentos no setor elétrico, apresenta-se o Quadro IV.1 no qual a potência instalada em subestações corresponde aos equipamentos de transformação.

Quadro IV.1 – Potência instalada em subestações do setor elétrico brasileiro.

POTÊNCIA INSTALADA EM SUBESTAÇÕES - MVA Em 31.12 2001

1999 2000 2001 Entradas Retiradas25 kV/outras (1) 74.196,0 75.109,0 75.109,0 0,0 0,069 kV/outras 18.777,1 18.902,1 19.094,4 192,3 0,088 kV/outras 5.717,2 5.717,2 5.717,2 0,0 0,0138 kV/outras 46.251,6 46.707,1 47.384,0 676,9 0,0230 kV/outras 34.732,7 35.928,7 36.779,7 851,0 0,0345 kV/outras 33.610,4 34.480,4 34.480,4 0,0 0,0440 kV/outras 15.137,0 15.437,0 15.437,0 0,0 0,0500 kV/outras 47.636,9 49.538,9 53.510,9 3.972,0 0,0750 kV/outras 16.200,0 16.750,0 18.250,0 1.500,0 0,0

(1) Apenas transformadores elevadores de usinas

Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/).

O objetivo deste capítulo é a definição do modelo do transformador para estudos de transmissão de potência elétrica em regime permanente, ou seja, considerando tensões e correntes senoidais em freqüência industrial. Além disto, considera-se que os transformadores operam em condições equilibradas. Desta forma, os modelos e resultados apresentados a seguir não se aplicam a estudos de transitórios de alta freqüência, de curto-circuito ou de harmônicos. O modelo dos transformadores de força para estudos de fluxo de potência são similares aos transformadores de menor porte, desconsiderando-se os efeitos da corrente de magnetização.

IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos

Em um transformador ideal considera-se que a resistência elétrica dos enrolamentos é nula (logo não existe queda de tensão na espira em função desta resistência e a tensão induzida pela variação do fluxo é igual à tensão terminal) e que a permeabilidade do núcleo é infinita (portanto todo o fluxo fica confinado ao núcleo e enlaça todas as espiras). Levando em conta as polaridades indicadas na Figura IV.1, têm-se as seguintes relações entre as tensões terminais:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tdt

dNt

dt

dNtv

tdt

dNt

dt

dNtv

m

m

φφ

φφ

2222

1111

==

==

Assim, a relação entre as tensões terminais é dada por:

( )( ) 2

1

2

1

N

N

tv

tv = (IV.1)



( )ti1

( )tv1

+

–

N1 espiras ( )tmφ

( )φ

( )tv2

+

–

( )ti2

N2 espiras

Fluxo em 1:

( ) ( )tt mφφ =1

Fluxo em 2:

( ) ( )tt mφφ =2

Figura IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos. Como o transformador é ideal, a potência instantânea de entrada, ( )tp1 , é igual a potência instantânea de

saída, ( )tp2 pois as perdas são desprezíveis, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )titvtitvtptp 221121 ⋅=⋅⇒= logo,

( )( )

( )( ) 1

2

1

2

2

1

N

N

tv

tv

ti

ti == (IV.2)

As expressões (IV.1) e (IV.2) definem o modo de operação dos transformadores ideais. Os enrolamentos onde se ligam as fontes de energia e as cargas são geralmente denominados primário e secundário, respectivamente. De forma alternativa, as relações (IV.1) e (IV.2) podem ser obtidas levando-se em consideração que um transformador ideal constitui um caso particular de circuitos magneticamente acoplados no qual o coeficiente de acoplamento entre os enrolamentos é igual a unidade, ou seja, 1=K . Para as polaridades indicadas na Figura IV.2, são válidas as seguintes expressões:

( ) ( ) ( )tidt

dMti

dt

dLtv 2111 −= (IV.3)

( ) ( ) ( )tidt

dLti

dt

dMtv 2212 −= (IV.4)

( )dt

tdiM 2

1L

+

–

+

2L

+

–

•

( )ti1

( )tv1

+

–

•

( )ti2

( )tv2

+

–

K=1

( )tv1 ( )tv2

( )ti1 ( )ti2

( )dt

tdiM i

21

21

LLM

LLKM

=

=

+

• •

21 : NN

Figura IV.2 – Transformador ideal representado por circuito magneticamente acoplado.

Isolando ( )tidt

d2 em (IV.4) e substituindo em (IV.3), tem-se:

( ) ( ) ( )

−= tvtidt

dM

Lti

dt

d21

22

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvL

Mti

dt

d

L

MLtvti

dt

dM

LMti

dt

dLtv 2

21

2

2

1212

1111 +

−=

−−= (IV.5)



Como 1=K , pode-se escrever:

⇒=⇒= 212

21 LLMLLM 02

2

1 =−L

ML (IV.6)

⇒=⇒==22

21

22

1

2

21

2

222

211

N

N

L

M

L

L

L

LL

L

M NL

NL

αα

2

1

2 N

N

L

M = (IV.7)

pois as auto-indutâncias são proporcionais ao quadrado do número de espiras ( )

( )

=

ti

tNL

1

111

φ, com

( ) ( )tiNt 111 P=φ , sendo P a permeância do espaço atravessado pelo fluxo, então ( )[ ]

( )

== 2

11

1111 P

PN

ti

tiNNL .

Substituindo (IV.6) e (IV.7) na expressão (IV.5), chega-se a expressão (IV.1):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

1

2

12

2

12

2

111 0

N

N

tv

tvtv

N

Ntv

N

Nti

dt

dtv =⇒=+=

IV.1.1 – Transformador ideal em regime permanente s enoidal

A Figura IV.3 mostra um transformador ideal, em regime permanente senoidal.

•

1I 2I

Transformador Ideal

•

Ideal

1V

+

–

2V

+

–

21 : NN

Figura IV.3 – Transformador ideal em regime permanente senoidal. Considerando as polaridades indicadas na Figura IV.3 e as expressões gerais (IV.1) e (IV.2), o regime permanente senoidal do transformador ideal pode ser descrito por:

2

1

2

1

N

N

V

V = ⇒ 1

1

22 V

N

NV =

1

2

2

1

N

N

I

I = ⇒ 1

2

12 I

N

NI =

fazendo 1

2

N

Na = , a relação de espiras do transformador ideal, pode-se escrever:

12 VaV = ⇒ 211

Va

V =

121

Ia

I = ⇒ 21 IaI =



Exemplo IV.1 – No circuito da Figura IV.3, 20001 =N , 5002 =N , V 012001o=V e A 3051

o−=I ,

quando uma impedância 2Z é ligada ao secundário. Determinar 2V , 2I , 2Z e a impedância ref2Z que é

definida como sendo o valor de 2Z referido ao primário do transformador (impedância refletida). Solução Exemplo IV.1: Supondo que o transformador é ideal, tem-se:

V 0300012002000500

1

1

22

oo === VN

NV

A 30203055002000

1

2

12

oo −=−== IN

NI

Pela definição de impedância, tem-se:

Ω=−

== 30153020

0300

2

22

o

o

o

I

VZ

Ω=−

== 30240305

01200

1

1ref2

o

o

o

I

VZ

ou

Ω=

=

=

=== 302403015

500

20002

2

2

2

1

2

22

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1ref2

ooZN

N

I

V

N

N

IN

N

VN

N

I

VZ

A expressão obtida no Exemplo anterior

2

2

2

1ref2 Z

N

NZ

=

é empregada na reflexão de impedâncias, técnica que consiste em colocar no circuito primário uma impedância que produza o mesmo efeito que a impedância que está colocada no circuito secundário. Analogamente, é possível realizar a reflexão do primário para o secundário, ou seja,

1

2

1

2ref1 Z

N

NZ

=

Observar que o efeito produzido pela impedância em qualquer um dos enrolamentos deve ser o mesmo. Assim, quanto maior a tensão do enrolamento (portanto, maior o número de espiras) maior deverá ser o valor da impedância em ohms.

IV.1.2 – Modelo do transformador ideal em pu

Utilizando a magnitude das tensões terminais nominais como tensões de base tem-se, os seguintes valores de base para o primário e secundário, respectivamente:

pribaseV – Tensão de base do primário [kV]

secbaseV – Tensão de base do secundário: pri

base1

2secbase V

N

NV = [kV]



Sendo baseS a potência de base do sistema, as correntes de base para o primário e secundário, respectivamente, são:

pri

base

basepribase

V

SI =

pribase

2

1

pribase

1

2

basesec

base

basesecbase I

N

N

VN

NS

V

SI ===

Desta forma, os valores em pu serão dados por:

pri

base

1pu 1

V

VV =

⇒===pri

base

1

pribase

1

2

1

1

2

secbase

2pu 2

V

V

VN

N

VN

N

V

VV pu 1pu 2 VV = (IV.8)

pribase

1pu 1

I

II =

⇒===pribase

1

pribase

2

1

1

2

1

secbase

2pu 2

I

I

IN

N

IN

N

I

II pu 1pu 2 II = (IV.9)

Portanto, quando as grandezas estiverem em pu, o transformador ideal com relação nominal pode ser substituído por um curto-circuito, conforme mostrado na Figura IV.4, pois tanto a tensão quanto a corrente apresentam o mesmo valor em ambos enrolamentos – vide equações (IV.8) e (IV.9).

–

+

pu 1I pu 2I

pu 1V

+

–

pu 2V

+

–

Transformador Ideal

em pu

pu 2I

pu 2V

+

–

pu 1I

pu 1V

Figura IV.4 – Circuito equivalente do transformador ideal de dois enrolamentos em pu.

IV.2 – Circuito equivalente do transformador real d e dois enrolamentos

No transformador real de dois enrolamentos, as resistências dos enrolamentos não são nulas (serão notadas por 1r e 2r , respectivamente, para o primário e secundário), nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento enlaça o outro pois a permeabilidade do núcleo não é infinita, isto é, existem fluxos dispersos nos enrolamentos cujos efeitos são representados por intermédio das reatâncias de dispersão 1x e 2x , respectivamente, para o primário e secundário. Além disto, ocorrem perdas devido às variações cíclicas do sentido do fluxo (histerese) e também devido às correntes parasitas induzidas no núcleo. Assim, mesmo com o secundário em aberto, existe uma pequena corrente circulando no primário quando este é energizado, denominada corrente de magnetização – o efeito deste fenômeno é representado pela impedância de magnetização mr e mx , colocada em derivação no primário do transformador (ou no secundário).

Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente


Considerando os efeitos anteriormente mencionados, o transformador real de dois enrolamentos pode ser representado por um circuito composto por transformador ideal de dois enrolamentos e algumas impedâncias para representar o efeito das perdas ôhmicas, devido ao fluxo disperso e à magnetização, conforme ilustra a Figura IV.5

mjx

( )ti1

( )tv1

+

–

N1 espiras

( )tmφ

( )φ

( )tv2

+

–

( )ti2

N2 espiras

Fluxo disperso em 1:

( )tdisp1φ


( )tdisp2φ

•

1I 2I

Transformador Real

•

Ideal

1V

+

–

2V

+

–

21 : NN

(a) Transformador real de dois enrolamentos.

(b) Transformador real de dois enrolamentos em regime permanente.

11 jxr + 22 jxr +

mr

Figura IV.5 – Transformador real de dois enrolamentos.

Quando todos os parâmetros (1r , 1x , 2r , 2x , mr e mx ) e grandezas (1V , 1I , 2V e 2I ) estão em pu, o transformador ideal pode ser omitido (substituído pelo seu circuito equivalente em pu que é um curto-circuito), resultando no circuito da Figura IV.6.

mjx

1I 2I

Transformador Real em pu

1V

+

–

2V

+

–

11 jxr + 22 jxr +

mr

mI

Figura IV.6 – Circuito equivalente em pu do transformador real de dois enrolamentos.

Os parâmetros em série (resistência dos enrolamentos e reatância de dispersão: 1r , 1x , 2r , e 2x ) são determinados por intermédio do ensaio de curto-circuito no qual os enrolamentos são submetidos à corrente nominal. Neste ensaio, um dos enrolamentos é curto-circuitado enquanto aplica-se uma tensão variável em outro enrolamento até que a corrente que circule nestes dois enrolamentos do transformador seja igual ao seu valor nominal. Neste caso, a impedância de magnetização é desprezada pois a tensão empregada



neste ensaio é significativamente menor que o valor nominal e a corrente de magnetização corresponde a uma fração muito pequena do valor nominal. Considerando que o enrolamento secundário tenha sido curto-

circuitado e que a corrente que circula por este é igual ao seu valor nominal ( )pu 012 =I , o circuito

equivalente do ensaio de curto-circuito é dado pela Figura IV.7. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por:

22111

1 jxrjxrI

VZ +++==

mjx

pu 0121 =≈ II pu 012 =I

1V

+

–

02 =V

+

–

11 jxr + 22 jxr +

mr

0≈mI

Corrente nominal nos enrolamentos

Magnetização desprezada

Figura IV.7 – Ensaio de curto-circuito (circuito equivalente em pu).

A impedância de magnetização é determinada por intermédio do ensaio de circuito aberto no qual os enrolamentos são submetidos à tensão nominal. No ensaio de circuito aberto é aplicada tensão nominal a um dos enrolamentos e mede-se a corrente que circula neste enrolamento enquanto o(s) outro(s) enrolamento(s) permanece(m) em circuito aberto. Considerando que o enrolamento primário tenha sido energizado com

tensão nominal ( )pu 011 =V , o circuito equivalente do ensaio em vazio de um transformador é dado pela

Figura IV.8. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por:

mm

mm

jxr

jxrjxr

I

VZ

+⋅++== 11

1

1

mjx

mII =1 02 =I

pu 011 =V

+

–

2V

+

–

11 jxr + 22 jxr +

mr

mI

Tensão nominal nos enrolamentos

Figura IV.8 – Ensaio de circuito aberto (circuito equivalente em pu).

Como exemplo das características elétricas dos transformadores em nível de distribuição, têm-se os valores do Quadro IV.2. Em transformadores de maior potência e nível de tensão, as perdas em vazio e as perdas totais apresentam valores percentuais (em função da potência nominal) menores, sendo inferiores a 0,1 e 0,5%, respectivamente. Levando em conta as características reais dos grandes transformadores, as perdas nos enrolamentos1 (devido a 1r e 2r ) e no núcleo2 (devido a mr e mx ) são muito pequenas quando comparadas com a potência do transformador sendo, geralmente, desprezadas. Desta forma, o modelo equivalente do transformador fica bastante simplificado, conforme mostra a Figura IV.9.

1 Cujo valor nominal corresponde à diferença entre as perdas totais e as perdas em vazio. 2 Ou perdas em vazio.



1I

2I

1V

+

–

2V

+

–

jx

21 jxjxjx +=

Figura IV.9 – Circuito simplificado em pu do transformador real de dois enrolamentos.

Quadro IV.2 – Características de perdas, correntes de excitação e impedâncias.

TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÃO MÁXIMA 15 kV

Potência [kVA]

Corrente de excitação

máxima [%]

Perdas em vazio máximo [W]

Perdas totais máximas [W]

Impedância 75° C [%]

30 4,1 170 740 45 3,7 220 1.000 75 3,1 330 1.470

112,5 2,8 440 1.990 150 2,6 540 2.450

3,5

225 2,3 765 3.465 300 2,2 950 4.310

4,5

TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÕES MÁXIMAS 24,2 e 36,2 kV

Potência [kVA]

Corrente de excitação

máxima [%]

Perdas em vazio máximo [W]

Perdas totais máximas [W]

Impedância 75° C [%]

30 4,8 180 825 45 4,3 250 1.120 75 3,6 360 1.635

112,5 3,2 490 2.215 150 3,0 610 2.755

4,0

225 2,7 820 3.730 300 2,5 1.020 4.620

5,0

Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/) Exemplo IV.2 – Um transformador monofásico tem 2000 espiras no enrolamento primário e 500 no secundário. As resistências dos enrolamentos são Ω= 21r e Ω= 125,02r ; as reatâncias de dispersão são

Ω= 81x e Ω= 5,02x . A carga ligada ao secundário é resistiva e igual a 12 Ω. A tensão aplicada ao enrolamento primário é de 1200 V. Determinar o fasor tensão secundária e a regulação de tensão do transformador:

%100%Regulaçãocarga2

carga2

vazio2

V

VV −=

onde carga2V é a magnitude da tensão no secundário com plena carga e

vazio2V é a magnitude da tensão no

secundário em vazio.



Solução Exemplo IV.2: Utilizando uma potência de base de 7500 VA e as tensões nominais, tem-se: VA 7500base=S

V 1200pribase=V V 3001200

2000

500pribase

1

2secbase === V

N

NV

( ) Ω=== 192

7500

12002

base

2pribasepri

base S

VZ

( ) Ω=== 127500

3002

base

2secbasesec

base S

VZ 3

Desta forma, os valores das impedâncias do circuito equivalente em pu são dados por:

( ) pu 0417,00104,0192

125,02pribase

111 j

j

Z

jxrZ +=+=+=

( ) pu 0417,00104,012

5,0125,0secbase

222 j

j

Z

jxrZ +=+=+=

pu 112

1212secbase

carga2 ===

ZZ

e o circuito equivalente em pu desconsiderando a impedância de magnetização é dado pelo circuito a seguir.

Circuito secundário

Circuito primário

1I2I

pu 11 =V

+

–

2V

+

–

111 jxrZ += 222 jxrZ +=

Valores em pu

carga2Z

Com a carga conectada, a tensão nos terminais do secundário do transformador é dada por:

110417,00104,00417,00104,0

11carga

211

carga2carga

2++++

=++

=jj

VZZZ

ZV

pu 67,49764,0carga2

o−=V V 67,49,29267,49764,0300carga2

oo −=−×=V

Em vazio (sem a carga conectada), como não existe corrente circulando, não existe queda de tensão na impedância série e a tensão nos terminais do secundário do transformador é igual à tensão primária:

pu 11vazio2 == VV

Daí, a regulação percentual do transformador é:

%1009764,0

9764,01%100%Regulação

carga2

carga2

vazio2 −=

−=

V

VV %42,2%Regulação =

3 Observar que a potência de base foi previamente escolhida para que a impedância da carga fosse igual a 1 pu.



Solução alternativa Exemplo IV.2: A solução anterior poderia ter sido obtida sem transformar as grandezas para pu, utilizando reflexão de impedâncias.

A relação nominal do transformador é dada por: 4500

2000

2

1NOM ===

N

Na

Refletindo a impedância série do secundário para o circuito primário, tem-se a seguinte impedância série equivalente do primário e secundário:

( ) Ω=⋅+=+= 44125,02 22NOM21 arrR

( ) Ω=⋅+=+= 1645,08 22NOM21 axxX

( ) Ω=⋅== 192412 22NOM

carga2

cargaref aZZ

Assim, tem-se o seguinte circuito equivalente do ponto de vista do primário.

1I NOM

2

a

I

V 12001 =V

+

–

2NOMVa

+

–

jXR +

cargarefZ

Com a carga conectada, a tensão nos terminais do secundário do transformador é dada por:

V 67,46,11711200192164

1921carga

ref

cargarefcarga

2NOMo−=

++=

+=

jV

ZZ

ZVa

4

67,46,117167,46,1171

NOM

carga2

oo −=

−=

aV V 67,49,292

carga2

o−=V

Em vazio (sem a carga conectada), como não existe corrente circulando, não existe queda de tensão na impedância série e a tensão nos terminais do secundário do transformador é igual à tensão primária:

V 12001vazio2NOM ==VVa

4

12001200

NOM

vazio2 ==

aV V 300

vazio2 =V

Daí, a regulação percentual do transformador é:

%1009,292

9,292300%100%Regulação

carga2

carga2

vazio2 −=

−=

V

VV %42,2%Regulação =



Exemplo IV.3 (Provão 2000) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase Eletrotécnica).





Média (escala de 0 a 100) % escolha

Brasil Região Sul Instituição Brasil Região Sul Instituição 19,3 19,2 16,4 14,5



IV.3 – Transformador com relação não-nominal

Com o objetivo de possibilitar um melhor controle da tensão no sistema elétrico, muitas vezes os

transformadores operam com relação de transformação diferentes da nominal ( )NOM2

NOM1 : NN . Neste caso,

os transformadores apresentam um enrolamento especial provido de diversas derivações (taps), comutáveis sob carga ou não. Quando a seleção da derivação é realizada sob carga, o transformador apresenta um dispositivo denominado comutador de derivações em carga (ou comutador sob carga) que se encarrega de realizar as conexões necessárias para que seja selecionada a relação de transformação desejada. Para operar tais comutadores utilizam-se acionamentos motorizados, possibilitando comando local ou à distância, inclusive com controle automático de tensão. Quando a seleção da derivação é realizada sem carga o dispositivo é muito mais simples, sendo utilizada apenas uma chave seletora que opera quando o transformador está desligado. Por norma, as derivações são numeradas, sendo a derivação “1” a de maior tensão, conforme mostra o Quadro IV.3 no qual encontram-se exemplos de valores de derivações e relações de tensão para transformadores em nível de distribuição. Neste caso, no interior do tanque o transformador apresenta uma chave seletora que possibilita o ajuste do tap quando este estiver desligado.

Quadro IV.3 – Derivações e relações de tensões.

Tensão [V] Primário Secundário

Tensão máxima do equipamento

[KV eficaz]

Derivação N° Trifásicos e

Monofásicos (FF) Monofásicos

(FN) Trifásicos Monofásicos

1 13.800 7.967 2 13.200 7.621 15,0

3 12.600 7.275 1 23.100 13.337 2 22.000 12.702 24,2

3 20.900 12.067 1 34.500 19.919 2 33.000 19.053 36,2

3 31.500 18.187

380/220 ou

220/127

2 terminais 220 ou 127

ou 3 terminais 440/220 ou 254/127 ou 240/120 ou

230/115

(FF) - tensão entre fases (FN) - tensão entre fase e neutro

Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/)

Em nível transmissão de energia elétrica os transformadores podem possuir dispositivos para comutação sob carga, apresentando um maior número de derivações, conforme exemplifica a Tabela IV.1. Observar que as derivações são realizadas no enrolamento de maior tensão, visando operar com menores correntes no comutador sob carga.

Tabela IV.1 – Derivações típicas da regulação sob carga.

Tensão primária [kV] Tensão secundária [kV] 138 %875,18230 ×± 69 69 23 %875,18138 ×±

13,8 23 %875,1869 ×±

13,8



Considerando toda a impedância série concentrada em apenas um dos enrolamentos (refletida para o primário, por exemplo) e desprezando as perdas no núcleo, o circuito equivalente do transformador com relação não-nominal encontra-se na Figura IV.10. Observar, neste caso, que a relação de espiras dos

enrolamentos 21 : NN pode ser diferente da relação nominal, dada por NOM2

NOM1 : NN .

•

1I 2I

•

Ideal

1V

+

–

2V

+

–

a

NN

:1

: 21jXR +

1E

+

–

2E

+

–

Figura IV.10 – Circuito equivalente de um transformador com relação não nominal.

Para o transformador da Figura IV.10 são válidas as seguintes expressões:

1

2

N

Na = a

E

E =1

2

aI

I 1

1

2 =

Utilizando as magnitudes das tensões nominais do primário e do secundário com tensões de base

= pri

baseNOM1

NOM2sec

basepri

base e VN

NVV , define-se a relação nominal como sendo:

NOM1

NOM2

pribase

secbase

NOMN

N

V

Va ==

Considerando a potência de base baseS , as correntes de base para o primário e secundário são dadas por:

pri

base

basepribase

V

SI =

pribase

NOMpri

baseNOM

basesec

base

basesecbase

1I

aVa

S

V

SI ===

Assim, transformando as grandezas para pu, tem-se:

pri

base

1pu 1

V

EE =

pri

base

1

NOMpri

baseNOM

1

secbase

2pu 2

V

E

a

a

Va

Ea

V

EE === pu 1

NOM

pu 2 Ea

aE = (IV.10)

pribase

1pu 1

I

II =

pribase

1NOM

pribase

NOM

1

secbase

2pu 2

1

1

I

I

a

a

Ia

Ia

I

II === pu 1

NOMpu 2 I

a

aI = (IV.11)

Portanto, mesmo quando as grandezas estão em pu, o transformador com relação não nominal não pode ser substituído por um curto-circuito , pois tanto a tensão quanto a corrente apresenta valores distintos nos enrolamentos – vide equações (IV.10) e (IV.11).



IV.4 – Transformador de três enrolamentos

Em sistemas de energia elétrica é bastante comum a presença de um terceiro enrolamento nos transformadores de força, além dos enrolamentos primário e secundário. Este enrolamento é denominado terciário e é empregado para fornecer caminho às correntes de seqüência zero, para a conexão dos alimentadores de distribuição, para alimentar os serviços auxiliares das subestações de energia ou para conexão dos equipamentos empregados na compensação de reativos (normalmente bancos de capacitores). A Figura IV.11 mostra um transformador monofásico de três enrolamentos juntamente com o seu circuito equivalente em pu. Observar que o ponto comum O representado no circuito equivalente, mostrado na Figura IV.11(b), é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema.

mjx

( )ti1

( )tv1

+

–

N1 espiras

( )tmφ

( )tv2

+

–

( )ti2

N2 espiras


( )tdisp1φ


( )tdisp2φ

1I

3I

1V

+

–

3V

+

–

(a) Transformador de três enrolamentos.

(b) Circuito equivalente em pu.

111 jxrZ +=

333 jxrZ +=

mr

( )tv3

+

–

( )ti3

N3 espiras


( )tdisp3φ

2I

+

222 jxrZ +=

2V

–

O

Figura IV.11 – Transformador de três enrolamentos.

As impedâncias de qualquer ramo da Figura IV.11(b) podem ser determinadas através da impedância de curto-circuito entre os respectivos pares de enrolamentos, mantendo o enrolamento restante em aberto

(ensaio de curto-circuito). Desta forma, sendo 12z a impedância obtida no ensaio no qual é aplicada tensão no enrolamento primário suficiente para fazer circular a corrente nominal quando o secundário está em curto-circuito e o terciário aberto (vide Figura IV.12), tem-se (desprezando o ramo de magnetização):

2112 ZZZ +=



mjx

pu 0121 =≈ II

3I

1V

+

–

3V

+

–

111 jxrZ +=

333 jxrZ +=

mr

pu 012 =I222 jxrZ +=

O

0≈mI

02 =V

+

–

Figura IV.12 – Exemplo de ensaio de curto-circuito em um transformador de três enrolamentos. Para as demais combinações, tem-se:

3223 ZZZ +=

3113 ZZZ += As impedâncias de quaisquer ramos da Figura IV.11(b) podem ser determinadas resolvendo-se o sistema formado pelas três equações anteriores (três ensaios de curto-circuito), cuja solução é dada por:

( )23131212

1ZZZZ −+=

( )13231222

1ZZZZ −+=

( )12231332

1ZZZZ −+=

Notar que este modelo pode apresentar resistências e/ou reatâncias negativas. O significado físico de tais parâmetros pode parecer contrariar a natureza do equipamento, mas deve-se levar em conta que o circuito equivalente representa o transformador a partir de seus terminais (portanto, os componentes não precisam possuir individualmente ligação direta com um enrolamento específico). Diferentemente dos transformadores de dois enrolamentos, os transformadores de três enrolamentos geralmente apresentam enrolamentos com potências nominais diferentes.

IV.5 – Autotransformador

Um autotransformador é um transformador no qual, além do acoplamento magnético entre os enrolamentos, existe uma conexão elétrica conforme mostra a Figura IV.13. São duas as formas possíveis de conexão elétrica: aditiva ou subtrativa.

•

1I 2I

•

Ideal

1V

+

–

2V

+

– aN

N

I

I

aN

N

V

V

N

Na

==

==

=

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

•

•

Conexões Aditivas Conexões Subtrativas •

•

a

NN

:1

: 21

•

•

•

•

Figura IV.13 – Transformador ideal conectado como autotransformador.



Em geral utiliza-se a conexão aditiva nas duas formas de operação possíveis, ou seja, como autotransformador elevador ou rebaixador, conforme ilustra a Figura IV.14.

xI

yI

xV

+

–

yV

+

–

•

•

(a) Autotransformador elevador.

xI

yI

xV

+

–

yV

+

–

•

•

(b) Autotransformador rebaixador.

1I 1V

+

–

2V

+

–

2I

2V

+

–

1V

+

–

1I

2I

Figura IV.14 – Autotransformador elevador e rebaixador.

Para o autotransformador elevador da Figura IV.14(a), tem-se:

11

2

1121

11 I

aI

N

NIIII x

+=+=+=

222

2

121 1

1V

aVV

N

NVVV y

+=+=+=

Daí, as potências complexas de entrada, xS , e saída, yS , são dadas por:

*11

*11

*

11* 1

11

11

1 IVa

Ia

VIa

VIVS xxx

+=

+=

+==

11

1 Sa

S x

+=

*22

* 11 IV

aIVS yyy

+==

21

1 Sa

S y

+=

onde 1S e 2S são as potências complexas de entrada e saída obtidas na conexão como transformador ideal. Assim, como a é sempre positivo, para a ligação aditiva, o autotransformador permite a transformação de maior quantidade de potência elétrica do que a conexão como transformador. A desvantagem é a perda de isolação elétrica entre o primário e o secundário. Exercício IV.1 : Repetir o equacionamento da potência do autotransformador para a conexão rebaixadora da Figura IV.14(b). Exercício IV.2 : Determinar a magnitude da tensão secundária e a potência nominal de um autotransformador construído a partir de um transformador monofásico de 30 kVA, 120/240 V, conectado conforme a Figura IV.14(a) (autotransformador elevador). Sabe-se que a tensão nominal é aplicada ao enrolamento de baixa tensão e que a corrente que circula nos enrolamentos é a nominal.



IV.6 – O modelo do transformador em fase

A representação de transformadores em fase, mostrada na Figura IV.15, consiste de um transformador ideal

com relação de transformação kma:1 e uma impedância série kmZ . Observar que neste modelo as perdas no núcleo são desprezadas.

k kmI kmkmkm jxrZ += m

mkI

kkk VV θ=

p

pmIkma:1

kkkmkkmp VaVaV θ==mmm VV θ=

Figura IV.15 – Representação de um transformador em fase.

Da relação do transformador ideal em fase4:

kkmp

kmp

kVaV

aV

V =⇒= 1

pmkmkmkmkmpm

kmIaIaa

I

I =⇒== *

As correntes pmI , kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m ( kkk VV θ= ,

kkkmppp VaVV θθ == e mmm VV θ= , respectivamente) e do valor da admitância série km

kmZ

Y1= :

( ) ( )mkkmkmmpkmpm VVaYVVYI −=−=

( )mkkmkmkmpmkmkm VVaYaIaI −== mkmkmkkmkmkm VYaVYaI −= 2 (IV.12)

( )mkkmkmpmmk VVaYII −−=−= mkmkkmkmmk VYVYaI +−= (IV.13)

Deste modo, o transformador em fase pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π, conforme está ilustrado na Figura IV.16.

k

kmIm

mkI

kV mVA

B C

A, B, C admitâncias

Figura IV.16 – Circuito equivalente π de um transformador em fase.

Para o modelo π da Figura IV.16, onde A, B e C são as admitâncias dos componentes, as correntes kmI e

mkI são dadas por:

4 Lembrar que não há dissipação de potência ativa ou reativa no transformador ideal, logo:

*

*

***

=⇒=⇒=⇒=

k

p

pm

km

k

p

pm

kmpmpkmkpmkm

V

V

I

I

V

V

I

IIVIVSS



( ) ( ) mkkmkkm VAVBAVBVVAI −+=+−= ( ) ( ) mkkm VAVBAI −++= (IV.14)

( ) ( ) mkmkmmk VCAVAVCVVAI ++−=+−= ( ) ( ) mkmk VCAVAI ++−= (IV.15) Comparando as expressões (IV.12) com (IV.14) e (IV.13) com (IV.15), tem-se:

( )( ) kmkm

kmkmkm

kmkm

YaC

YaaB

yaA

−=

−=

=

1

1

Observar que o valor de a determina o valor e a natureza dos componentes do modelo π da Figura IV.15:

1=kma pu, ou seja, NOMaakm = : kmyA = , 0== CB

1<kma pu, ou seja, NOMaakm < : 0<B (capacitivo) e 0>C (indutivo)

1>kma pu, ou seja, NOMaakm > : 0>B (indutivo) e 0<C (capacitivo) NOTA IMPORTANTE: As grandezas de base utilizadas para fazer a conversão da impedância série do transformador para pu devem ser obrigatoriamente relativos ao enrolamento no qual esta impedância está ligada. Mais especificamente, no modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tensão de base do enrolamento conectado à Barra m. Exemplo IV.4 – Dado um transformador trifásico, 138/13,8 kV, 100 MVA, cuja reatância de dispersão vale 5% (na base do transformador), determinar o circuito equivalente do transformador se as bases do sistema são:

a) 138/13,8 kV, 100 MVA;

b) 169/16,9 kV, 200 MVA;

c) 169/15 kV, 250 MVA. Solução Exemplo IV.4: a) Como pu 05,0% 5 ==x , tem-se que:

pu 05,0jZ TR =

pu 20jY TR −= e o circuito equivalente é dado por:

1I

2I

1V

+

–

2V

+

–

20j−

Admitância em pu

b) Observar que 1,0138

8,13

169

9,16NOM ==== aa , então pu 1

1,0

1,0

NOMpu ===

a

aa .

( ) ( )( )

( )

( )

( )1 basepu 3

2 basepu 3

2

2 basepu

1 basepu 1 basepu 2 basepu

φ

φ

S

S

V

VZZ

L

L

=

pu 0667,0100

200

169

13805,0

2

jjZ TR =

=′

pu 15jY TR −=′



Solução Exemplo IV.4 (continuação): e o circuito equivalente é dado por:

1I 2I

1V

+

–

2V

+

–

15j−

Admitância em pu

c) Neste caso, tem-se 0888,0169

15NOM ==a e 1,0

138

8,13 ==a . Calculando em pu, tem-se:

pu 1267,1

169

13815

8,13

NOMpu ===

a

aa

( ) ( )( )

( )

( )

( )1 basepu 3

2 basepu 3

2

2 basepu

1 basepu 1 basepu 2 basepu

φ

φ

S

S

V

VZZ

L

L

=

Para o modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tensão de base do enrolamento conectado à Barra m, ou seja, a tensão do lado de média tensão do transformador, sendo o valor em pu na base 169/15 kV, 250 MVA dado por:

pu 1058,0100

250

15

8,1305,0

2

jjZ TR =

=′

pu 4518,9jY TR −=′

Os parâmetros do circuito equivalente π são dados por:

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) pu 198,14518,91267,111

pu 349,14518,911267,11267,11

pu 65,104518,91267,1

pu

pupu

pu

jjYaC

jjYaaB

jjYaA

TR

TR

TR

=−−=′

−=

−=−−=′

−=

−=−=′

=

e o circuito equivalente correspondente é:

1I 2I

1V

+

–

2V

+

–

65,10j−

Admitâncias em pu

349,1j− 197,1j

Exemplo IV.5 – Considerando que o transformador do Exemplo IV.4 alimenta uma carga de 50 MVA, com fator de potência 0,9 indutivo, no enrolamento de menor tensão e que este é representado pelos três modelos determinados na solução do Exemplo IV.4 (em função das bases adotadas para o sistema pu), determinar o valor da tensão no lado de alta tensão em pu e em kV quando a tensão na carga é igual a 13,8 kV. Solução Exemplo IV.5: a) Considerando os dados do problema, têm-se os seguintes valores em pu para a tensão, potência e

corrente secundária, para a base 138/13,8 kV, 100 MVA:

pu 18,13

8,132 ==V pu 84,255,02179,045,09,019,0

100

50 22

o=+=

−+= jjS

*

2

22

*222

=⇔==

V

SIIVS



Solução Exemplo IV.5 (continuação):

pu 84,255,02179,045,01

2179,045,0*

2o−=−=

+= jj

I

Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

( ) pu 28,10111,10225,00109,12179,045,005,01221o=+=−+=+= jjjIZVV TR

kV 28,154,13911,350,13928,10111,11381oo =+=×= jV

b) Para a base 169/16,9 kV, 200 MVA, tem-se:

pu 8166,09,16

8,132 ==V pu 84,2525,01090,0225,09,019,0

200

50 22

o=+=

−+= jjS

*

2

22

*222

=⇔==

V

SIIVS

pu 84,253062,01335,02755,08166,0

1090,0225,0*

2o−=−=

+= jj

I

Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

( ) pu 28,18257,00184,08255,01335,02755,00667,08166,0221o=+=−+=

′+= jjjIZVV TR

kV 28,154,13911,350,13928,18257,01691oo =+=×= jV

Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao do Item (a), mostrando que o resultado não depende das bases adotadas. c) Para a base 169/15 kV, 250 MVA, tem-se:

pu 92,015

8,132 ==V pu 84,252,00872,018,09,019,0

250

50 22

o=+=

−+= jjS

*

2

22

*222

=⇔==

V

SIIVS

pu 84,252174,00948,01956,092,0

0872,018,0*

2o−=−=

+= jj

I

Do circuito equivalente obtido na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

1I

2I

1V

+

–

2V

+

– Admitâncias em pu

SHI 2

65,10j−

349,1j− 197,1j

( ) ( )92,0197,10948,01956,065,10

192,0

112222221 ×+−

−+=++=

++= jj

jVCI

AVII

AVV

SH

kV 28,154,13911,350,13928,18257,01691oo =+=×= jV

Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao dos Itens anteriores, mostrando que o resultado não depende das bases adotadas.



Exemplo IV.6 – Dado um transformador trifásico, 230/69 kV, 50 MVA, cuja reatância de dispersão vale 5%, determinar: a) o circuito equivalente do transformador, se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA; b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento

de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 200 kV e são fornecidos 50 MVA, com fator de potência igual a 0,8 indutivo;

c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 250 kV e são fornecidos 10 MVA, com fator de potência igual a 0,8 capacitivo;

d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as perdas no transformador;

e) comentar as diferenças nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d). Solução Exemplo IV.6: a) Como pu 05,0% 5 ==x na base de 50 MVA, para a base de 100 MVA e tensões nominais tem-se:

pu 10,050

10005,0 jjZ TR == pu 10jY TR −=

e o circuito equivalente é dado por:

1S 2I

1V

+

–

2V

+

–

10,0j

Admitância em pu

Lado 230 kV Lado 69 kV

1I 2S

b) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por:

3,04,08,01100

508,0

100

50 221 jjS +=−+= pu

Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 8696,00230

2001 ==V pu, a corrente no

transformador é dada por:

*111 IVS = o87,365750,03450,04600,0

8696,0

3,04,0**

1

11 −=−=

+=

= j

j

V

SI

Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV:

( ) o15,38363,00460,08351,03450,04600,010,08696,0112 −=−=−−=−= jjjIZVV TR

o15,371,572 −=V kV

c) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por:

06,008,08,01100

108,0

100

10 221 jjS −=−−= pu

Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 0870,10230

2501 ==V pu, a corrente no

transformador é dada por:

*111 IVS = o87,360920,00552,00736,0

0870,1

06,008,0**

1

11 =+=

−=

= j

j

V

SI

Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV:

( ) o39,00925,10074,00925,10552,00736,010,00870,1112 −=−=−−=−= jjjIZVV TR

o39,038,752 −=V kV



Solução Exemplo IV.6 (continuação): d) A potência complexa fornecida para a carga nas situações dos Itens (b) e (c) são dadas por:

*12

*222 IVIVS ==

e as perdas no transformador são dadas por:

21perdas SSS −= ou 2

1perdas IZS TR=

Para o Item (b), tem-se:

( )( ) o72,334809,02669,04000,03450,04600,00460,08351,0 *2 =+=−−= jjjS

0331,0)2669,04000,0(3,04,0perdas jjjS =+−+= pu

0331,05750,01,02

perdas jjS == pu

31,3perdas jS = MVA Para o Item (c), tem-se:

( )( ) o26,371005,00608,00800,00552,00736,00074,00925,1 *2 =−=+−= jjjS

0008,0)0608,00800,0(06,008,0perdas jjjS =−−−= pu

0008,00920,01,02

perdas jjS == pu

08,0perdas jS = MVA e) Fasor tensão – No Item (b) a magnitude da tensão em pu no enrolamento de 69 kV é menor do que no enrolamento de 230 kV, pois este fornece potência ativa e reativa para a carga, havendo queda de tensão em sua impedância de dispersão. No Item (c) o fluxo de potência reativa ocorre do enrolamento de 69 kV para o enrolamento de 230 kV (carga capacitiva) e isto faz com que a tensão em pu do enrolamento de 69 kV apresente magnitude superior. Em ambos os casos, o fluxo de potência ativa é em direção ao enrolamento de

69 kV, sendo o ângulo de fase do fasor tensão 2V menor do que do fasor tensão 1V . Potência complexa na carga – Nos Itens (b) e (c) a potência ativa na carga é a mesma fornecida para o transformador, pois o modelo considera apenas a reatância de dispersão. A potência reativa difere, pois existe um consumo de potência reativa na reatância do transformador. Perdas ativas e reativas – Em ambos os casos não existem perdas de potência ativa e existe um consumo de potência reativa em função da reatância de dispersão do transformador ser percorrida pela corrente. No Item (b) as perdas são maiores, pois a corrente é maior. Exercício IV.4 – Dado um transformador trifásico, 230 (+4)(–8)×1,875%/69 kV, 50 MVA, cuja reatância de dispersão vale 5%, determinar: a) o circuito equivalente do transformador, indicando os valores mínimos e máximos da relação de

transformação em pu (a), se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA; b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento

de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 200 kV e são fornecidos 50 MVA, com fator de potência igual a 0,8 indutivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 13);

c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 250 kV e são fornecidos 10 MVA, com fator de potência igual a 0,8 capacitivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 1);

d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as perdas no transformador;

e) comentar as diferenças nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d).



Como para a linha de transmissão, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m:

[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )kmkmkmkmmkkmkmkmkkm

kmmkkmkmkmkmkmkkm

mkkmkmkmkkmmkmkmkkmkmk

mkmkmkkmkmkkmkkm

jjbgVVajbgVa

VVjbgajbgVa

VVYaYVaVYaVYaV

VYaVYaVIVS

θθθ

sencos2

2

***22****2

*2*

+−−−=

−−−=

=−=

−

=

=−==

Separando as partes real e imaginária, chega-se a:

( ) ( ) ( )kmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP θθ sencos2 +−= (IV.16)

( ) ( ) ( )kmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVabVaQ θθ cossen2 −−−= (IV.17) O fluxo de potência complexa da barra m para a barra k é dado por:

( ) ( )mkkmmkkmmkkmkmmmk bgVVagVP θθ sencos2 +−= (IV.18)

( ) ( )mkkmmkkmmkkmkmmmk bgVVabVQ θθ cossen2 −−−= (IV.19) Exercício IV.5 – Conhecidos os parâmetros que definem o transformador em fase e os fasores das tensões terminais, mostrar como é possível determinar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador.

IV.7 – O modelo do transformador defasador

Os transformadores defasadores são equipamentos capazes de controlar, dentro de determinadas limitações, a relação de fase entre o fasor tensão do primário e do secundário. Para um transformador defasador puro, a relação de transformação em pu é representada por um número complexo de módulo unitário e ângulo de

fase ϕ , ou seja, é dada por kmt:1 , com ϕjkm et = , ou seja, ϕ1:1 . A representação de um transformador

defasador puro está mostrada na Figura IV.15.

k kmI kmkmkm jxrZ += m

mkI

kkk VV θ=

p

pmI

mmm VV θ=

kmjkm et ϕ=:1

kmkkkj

p VVeV km ϕθϕ +==

Figura IV.15 – Representação de um transformador defasador puro.

Da relação do transformador ideal:

kmkkkkkmkj

kkmpjkmp

kVVVeVtV

etV

Vkm

kmϕθθϕϕ

ϕ +=⋅===⇒== 111

pmj

pmkmkmj

kmpm

kmIeItIet

I

Ikmkm ϕϕ −− ==⇒== **



As correntes pmI , kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m ( kkk VV θ= ,

kmkkppp VVV ϕθθ +== e mmm VV θ= , respectivamente) e do valor da admitância série km

kmz

y1= :

( ) ( )mkkmkmmpkmpm VVtYVVYI −=−=

( ) mkmkmkkmkmkm

I

mkkmkmkmpmkmkm VYtVYttVVtYtItI

pm

**** −=−==44 844 76

( ) mkmkmkkmkmkmkm VYtVYttI ** −+= (IV.20)

( ) mkmkkmkmmkkmkmpmmk VYVYtVVtYII +−=−−=−= ( ) mkmkkmkmmk VYVYtI +−= (IV.21) Assim, o transformador defasador não pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π,

conforme está ilustrado na Figura IV.15, pois o coeficiente de mV da expressão (IV.20), kmkmYt*− , é

diferente do coeficiente de kV da expressão (IV.21), kmkmYt− . Como anteriormente, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m:

[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkmk

kmmkkmkmkmkmkmk

mkkmkmkmkmkmkmkkmk

mkmkmkkmkkmkkm

jjbgVVjbgV

VVjbgjbgV

VVYtYVVYtVYV

VYtVYVIVS

ϕθϕθθϕ

+++−−−=−−−=

=−=

−=

=−==

sencos

12

2

***2****

***

Separando as partes real e imaginária, chega-se a:

( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkkm bgVVgVP ϕθϕθ +++−= sencos2 (IV.22)

( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkkm bgVVbVQ ϕθϕθ +−+−−= cossen2 (IV.23) Exercício IV.6 – Determinar a expressão do fluxo de potência complexa da barra m para a barra k. Utilizando esta expressão equacionar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador.

IV.8 – Expressões gerais dos fluxos de corrente e d e potência

As expressões dos fluxos de corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, podem ser generalizadas de forma tal que seja possível utilizar sempre a mesma expressão, fazendo algumas considerações para particularizar o equipamento em questão. Assim, os fluxos de corrente nestes equipamentos obedecem às seguintes expressões gerais:

( ) ( ) mkmkmkshkmkmkmkmkm VYtVjbYttI ** −++= ( ) ( ) mkm

jkmk

shkmkmkmkm VYeaVjbYaI kmϕ−−++= 2 (IV.24)

( ) ( ) mshkmkmkkmkmmk VjbYVYtI ++−= ( ) ( ) m

shkmkmkkm

jkmmk VjbYVYeaI km ++−= + ϕ (IV.25)

De acordo com o tipo de equipamento, as variáveis kma , kmϕ e shkmb assumem valores particulares, mostradas

na Tabela IV.2.

Tabela IV.2 – Parâmetros para os diferentes equipamentos nas expressões gerais dos fluxos.

Equipamento kma kmϕ shkmb

Linha de transmissão 1 0 Transformador em fase 0 0 Transformador defasador puro 1 0 Transformador defasador 0



Os fluxos de potência ativa e reativa em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, obedecem às seguintes expressões gerais:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP ϕθϕθ +++−= sencos2 (IV.26)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmshkmkmkkmkm bgVVabbVaQ ϕθϕθ +−+−+−= cossen2

(IV.27) Assim, as expressões (IV.24) a (IV.27) podem ser utilizadas indistintamente para o cálculo dos fluxos de corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, bastando utilizar os parâmetros conforme a Tabela IV.2.

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IV – O transformador...Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente O transformador – Sérgio Haffner Versão: 1 0/9/2007 Página 4 de 27 Exemplo IV.1 – No