UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FíSICA E QUíMICA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FíSICA E CI~NCIA DOS MATERIAIS ~•• -1t •••••••: •••.•. '

I\.._'

GRUPO VE RENORMALIZAÇÃO E RE­

SULTAVOS EXATOS EM MOVELOS

Z(N) UNIVIMENSI0NAlS

J. C. CRESSONI·

Dissertação apresentada ao Ins. -tituto de Física e Química de

são Carlos, para obtenção dotitulo de Mestre em Física Bá-

sica.

Orientador:

Prof. Dr. Roland Kôberle

Sao Carlos

1981

••

MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA DISSERTACAO DE MESTRADO DE

JOSf CARLQS CRESSONI

APRESENTADA AO INSTITUTO DE FrSICA E nuTMICA DE SAO CARLOS, DA

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO, EM 07 DE dezembro

I

COMIssAO JULGADORA:

Or. ~oland K8berle

~l, J!~ ~ 1/t.~

~«.~ Jose Fernando Perez

DE 1981

- Orientador

A meus pais

À Marina, Carolina e

ao Franz Eric

AGRADECIMENTOS

- Aos Professores F.C. Alcaraz e J.R.D. de FelIcio

pelas criticas e sugestões que muito contribui­

ram para a realização deste trabalhoi

- Ao colega Fernando Dantas Nobre pelo estímulo e

amizade constantes;

- Â Marina, Carolina e ao Franz Eric pela compre­

ensao;

- A Marta Regina pelo excelente trabalho de datilo

grafiai

- A todo o Departamento de Física do Instituto de

Física e Química de são Carlos pelo carinho e

prestatividade;

- A FAPESP e CNPq pelo auxflio financeiro.

Ao Prof. Roland Kõberle meus agra

decimentos pela orientação segura

e eficiente, pelos ensinamentos e

sobretudo pela amizade.

!NDlCE

LISTA DE ILUSTRA,ÇOES •..•.••••....•..••.•..•...•••..•...••.•.•• ILISTA DE TABELAS ..•.•...•...................................... 11

RE SUMO •••..••.••••.••••.••••••••.••••••••.•••••••••.•••••••••• I I I

ABSTRACT ., , . IV

CAPíTULO I INTRODUÇ.l\.O ••••••.••••••••••••••••••••••••••••• 1CAPITULO II SISTEMAS D~ SPINS UNIDIMENSrONAIS COM SI-

METRIA GLOBAL Z (N) •••••...•.••••.••••.••..•..• 5

11.1 - Descrição dos modelos •...•.••.••....••. 5

II.2 - Matriz de transferência e função. -

de partlçao 8

II.3 - Funções de correlação spin-spin e

susceptibilidade magnética a campo

zero 13

CAPiTULO 111 - FORMALISMO DA TEORIA DE GRUPOS DE RENORMA

LI ZAÇAO •••.••••••••••••.•••••••••••••••••••••• 2 O

111.1 - Idéias gerais ...•...•.•••.••..••..••••• 20

111.2 - Formalismo da teoria •....•••..•.•••••• 24

CAPiTULO IV GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO (DEDECORAÇÃO) 33

..................................

IV.2 - Busca de novas variáveis (N = 4)........IV.2.1 -

Relações derecorrência

e linhas de fluxo do Z(4) ••••.IV.2.2 -

Cálculo da energia livre.....IV.3 - Variáveis mais adequadas para

N

IV.l - Transformações de dedecoração

b=2

com

33

37

38

39

qualquer 42IV.3.1 - Transformações com b> 2 •....• 45- ~

IV.4 - Relaçoes de escala e expoentes crl

ti co s •••••••••••••••••••••••••••••••••• 4 9

IV.5 - Casos particulares ••••••••..•.•...•..•. 59

IV.S.! - Z(2) 59

IV.5.2 - Z(3) 62

IV.5.3 - Z(4) 64

AP~NDICE A

AP~NDICE B

AP~NDICE C

IV. 5. 4 - Z (5) ................•........• 73

rv. 5', 5 - Z ( 6) •••••• , •• , •••••••••••••••• 76

IV "5'. 6 - Z (7) •••••••••••••••••••••••••• 82

IV, 5•. - Pontos fixos' para N > 7 •••••••• 84

IV.6 - Cam~os de escala nao lineares •••••••••• 54

IV.6.l - Determinação dos cam-

pos não lineares para

Z (N} •.•.••.••••••••••••••••••• 88

IV,7 - Conclus8es e conjecturas ••••••••••••••. 89

DIAGONALIZAÇÃO DE UMA MATRIZCíCLICA

N xN 91

CÂLCULO DE FUNÇÔES DE CORRELAÇ~O DOr

TIPO «SLSL') > ••••••••••••••••••••••••••••• 94

TRANSFORMAÇÃO DE DEDECORAÇÃO COM b

INTEIRO QUALQUER •••••••••••••••••••••••••••••• 96

ENERGIA LIVRE PARA Z (N) ••••••••••••••••••••••• 99

REFEREN CIAS B IBL IOGRÁF ICAS .•••.••••••••••••••••••••••••••••••••• 102

I

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIGURA 11.1 - Rede de sp1ns de Ising unidimensional 5

FIGURA 11.2 - Subsistemas escolhidos para estabele-

cer a matriz de transferªncia •••••..•••••••••• 10

FIGURA 111.1 - Superfície critica e caminho termodi-

namico'no espaço de parâmetros ••.•.....•...... 22

FIGURA 111.2 - Pontos fixos típicos numa superfície

crítica bidimensional ..•••.•••••••••••••••• ~•• 22

FIGURA 111.3 - Sistema de eixos locais usado na li-

nearização da teoria •••••••• , ..••••••.•••••.•• 23

FIGURA IV.l - Transformação de dedecoração com fa­

tor de reescala espacial (b) igual a

2 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33

FIGURA IV.2 - Trajetórias e pontos fixos do grupo

de dedecoração (b=2) do modelo Z(4) •..•••..•. 39

FIGURA IV.3 - Transformação de dedecoração com b = 3 45

FIGURA IV.4 - Transformação de dedecoração com b in

teiro qualquer 48

FIGURA IV.5 - Diagrama esquemático (trajetórias,~

tos fixos, etc) do modelo Z (2) .•••.•..•...•.•. 60

FIGURA IV. 6 - Diagrama esquemático (trajetórias, pon

tos fixos, etcJ do modelo Z(3) ..••.•.•..•...•. 64

FIGURA IV.7 - Diagrama esquemático (trajetôrias,po~

tos fixos, etc) do modelo Z(4) ......••..•••.•• 66

FIGURA IV.8 - Caminhos termodinfimicos do modelo

Z(4) para os quais existe um valor

zero para o comprimento de correlação 73

FIGURA IV.9 - Diagrama esquemático (trajetorias,pon

tos fixos, etc) do modelo Z (5) •.••.•.•••.•... 75

FIGURA IV.IO - Região flsica do modelo Z(6) no espa-

ço dos parâmetros 78

FIGURA IV.II - Região física do modelo Z(7) no espa-

ço dos-

parametros . 83

11

Ll~TA DE TABELAS

TABELA IV.l - Pontos fixos do modelo Z(4) nos dois es-

p~ços de parâmetros usados ••.•.••.••.•.••...•• 67

TABELA IV.2 - Pontos fixos do modelo Z(6) nos dois es-

paços de parâmetros usados •••.••.••••••.•••..• 79

TABELA IV.3 - V~riãvel Z(6) expressa em termos de V~-

riâveis ZC2} e 2;(3) ••••••••••••••••••••••••••• 80

.,

111

o conportamentocritico de sisterrasunidinensionaisde spin do

tipo Z(N)na ausência de canpos magnéticos, é estudado sob a luz. da

teoria do grupo de renormalização. Os modelos são resolvidos exa

tamentepelo método da matriz de transferência e expressões para

as funçoes de correlação e susceptibilidade (a campo zero) por si

tio são também calculadas.

As transformações do grupo de renormalização são efe­

tuadas através de um traço parcial na função de partiçao; obten­

do-se um conjunto de relações de recorrênci~ que podem ser escri

tas de maneira simples para qualquer valor inteiro do·fator de

reescala espacial, mediante o uso de campos de escala convenien-

teso

Tirando vantagem de um ponto fixo inteiramente atrati

vo, calculamos urna expressão para a energia livre por sítio, exa

ta.para T~O. Analisamos o comportamento de nossos modelos no

espaço de parâmetros, onde identificamos em particular as xegiees

ferro e antiferromagnéticas. O problema de correções às previ­

sões de escala em termos de campos de escala não lineares é dis­

cutido. Aventamos também a possibilidade .de ~alcular os auto va-

lores da matriz de transferencia através dos campos não

ares.

line-

IV

ABST;R.ACT

In this work we study the critical behaviour of one

dímensional Z(N) spin systems in zero magnetic fields, using

the approachof the renormalization group lRG) theory. The

módels are solved by the transfer matrix method and expressions

for the correlation functions and zero fíeld susceptibility per

siteare:f;ound.

The RG transformations are carried out via a partial

trace over the partition function and one obtains a set of

recursion relations which, with the 'use of a convenient set of

scaling fields, are written out in a simple manner for any

integer value of the spatial rescaling factor.

Using a totaly attractive fixed point we calculate an

expression for the free'ener9Y per site, valid exactly for non

zero values of the temperature. We analyse the behaviour of our

models in the space of parameters, identifying in particular

ferro and antiferromagnetic reg1ons. The problem of corrections

to scaling in terms of nonlinear scaling fields is discussed

and a possibility of finding the eigen values of the transfer

matrix from suchfields is contemplated.

rB:8C;:;-iE~'" [):) HSflTUTO DE Fl~l("E O'-!íM:C" DE SÃO CARlOS· USP. FI S I C A .- I

1

CAPITULO I

INTRODUÇÃO

A teoria do grupo de renormalização já vinha sendo uti

lizada com bastante sucesso em teoria de campos quando seus con-

ceitos fundamentais, em uma.versao ligeiramente diferente, foram

introduzidos por Wilson, em 197115. Após esse trabalho várias

áreas da física têm sido beneficiadas, como a mecânica estatísti-

d ~l'd t .. d 16 t~ 1 -ca, esta oso 1 o, e c, eX1st1n o a e mesmo especu açoes

a possibilidade de aplicação da teoria na ciência como um

sobre

todo

(e.g. ciências sociais). Não h~ duvida alguma sobre quão frutífe-

ra tem sido sua utilização no estudo de fenômenos críticos em

transições de fase, particularmente no que diz respeito a compor­

tamentos críticos magnéticos. Apesar disso a teoria do grupo de

renormalização não possui ainda fundamentos matemáticos firmemen-

te estabelecidos e, por outro lado, ainda que suas idéias básicas

sejam relativamente f~ceis de se compreender, sua utilização na

prática constitui. tarefa em geral bastante complicada. Mesmo os

exemplos mais simples de sua aplicação são, em geral, difícies de

serem executados, sendo necessário efetuar cálculos perturbativos

como expansões E (E=4-d, onde d é a dimensionalidade do espaço)

e l/n (onde n é o numero de graus de liberdade internos do siste-

ma) •

Torna-se, assim, necessário e importante testar as pre

visões da teoria em sistemas exatamente solúveis e, se possível,

com soluçoes exatas também para as equações do grupo de renormali

zação. O modelo de Baker, por exemplo, é um caso em que o grupo

de renormalização ê realizável exatamente, mas nem o modelo, nem

as equaçôes do grupo de renormalização foram resolvidos de manei­

17ra exata •

2

5 -Em 1975, Nelson e Fischer efetuaram transformaçoes de

dedecoraçãoll em sistemas de spins de Ising em uma dimensão, para

os quais as equações de grupo de renormalização puderam ser cons­

truÍdas exatamente, sob a forma de relações de recorrência. Dessa

maneira uma série de previsões da teoria puderam ser testadas uma

vez que o sistema é exatamente solúvel, e vários de seus aspectos

foram compreendidos com maior nitidez, dada a simplicidade do mo­

delo (V. também ref. 21).

Nosso trabalho consiste, de uma certa maneira, em uma

generalização de alguns tópicos do trabalho de Nelson e Fischer ,

uma vez que consideramos uma rede unidimensional populada não por

spins de Ising, mas por variáveis de spin do tipo Z(N). Esse sis-

tema é invariante por uma rotação de todas as variáveis de spin

de um ângulo igual a 2mr/N, i.e., o si.stema exibe uma simetria

global e discreta do tipo Z(N), a qual não pode ser quebrada es -

pontaneamente em uma dimensão. Não se espera, portanto, uma tran­

sição de fase a T:j. O. Entretanto, a T = O o sistema possui uma

"transição de fase" (com invariança por transformações de escala,

singularidade na energia livre e nos comprimentos de correlação ,

etc) que pode ser estudada dentro do formalismo da teoria do gru­

po de renormalizaçao, permitindo que urna série de fatos e caracte

rísticas da teoria sej am analisados e comparados com a solução. ex~

ta do modelo, a qual pode ser facilmente obtida em uma dimensão.

O trabalho está dividido em 4 capítulos. O Capítulo

11 trata da solução exata, onde se obtém a função de partição (me

diante a diagonalização da matriz de transferência - Apendice A)

e as funções de correlação (Apêndice B) para campo magnético igual

a zero. Um caso particular do Z(N), o modelo N-Potts escalar com

valores especiais dos campos magnéticos, é também resolvido exata

mente.

3

No CapItulo III fazemos uma revisao dos principais as-

pectos da teoria de grupos de renormalização a serem utilizados

no decorrer do trabalho. Algumas referências bibliográficas utili. -

- ~ 18zadas para a elaboraçao desse cap1tulo foram: Ma , Pfeuty e

T I 16 K . t19 P' h 20 N I . h 5ou ouse , ogu , 1SC er e e son e P1SC er •

o Capftulo IV trata das transformaç6es propriamente di

tas onde se discute, entre outras coisas: transformaçoes com fa-

tor de reescala espacial b = 2 e b = 3, energia livre para o Z (4) ,

variãveis mais adequadas para descrever a transformaç~o para b in

teiro qualquer, transformação com b qualquer lApendice C), ener­

gia livre para Z(N) (Apêndice D), pontos fixos ferro e antiferro-

magnéticos, pontos de temperatura zero que não são fixos, expoen­

tes cr!ticos, dois comportamentos diferentes para uma funçao de

correlação ao longo de um caminho termodinâmico, campos não line-

ares, propriedade de semi grupo da teoria, etc.

As transformaçoes que efetuamos sao apenas com campo

magnético igual a zero. Isso porque para H:fO o sistema de ~qua-

çoes que se obtém não é compatível, sendo necessário adicionar

mais constantes de acoplamento na Hamiltoniana renormalizada, oo~

tantes essas que não existiam na Hamiltoniana original. Portanto

as transformaçoes com campo magnético tiram o sistema do espaço

de parâmetros considerado originalmente se N > 2 (para N = 2 isso

não aconteceS), o que nos levou a fazer H = O a fim de obter equa-

ções de transformação exatas.

Também, e finalmente, o problema de correçoes

visões de escala, consideradas originalmente por wegnerl4,

~as pre

foi

tratado por Nelson e Fischer no caso de valores discretos do fa-

tor de reescala espacial (o tratamento dado por Wegner era _para

valores contínuos desse fator). As expressoes obtidas por eles no

modelo de Ising para os campos de escala não lineares (em forma

de série de potências) não foram colocadas em forma fechada, o

4

que deixou em aberto o problema da convergência de tais expres­

s~es. No nosso caso, graças ãs variãveis utilizadas, as relaç6es

de recorrência se desacoplam e os campos não lineares podem ser

"vistos" de imediato em forma fechada, sem a necessidade de uso

de qualquer mêtodo aproximativo na sua obtenção. Portanto o méto

do utilizado e desenvolvid~ por Nelson e Fischer pode ser testa­

do e sua eficiência comprovada.

5

CAPiTULO 11

SISTEMAS DE SPINS UNIDIMENSIONAIS COM SIMETRIA GLOBAL Z(N)

11.1 - nesc'rição dos modelos

Consideremos uma rede unidimensional (d = 1), com N sí-

tios e parâmetro de rede constante e unitário, e coloquemos em ca

da sítio i uma variável de "spin" a, que pode assumir os valores~

a, = +1 (spin para cima) e a. = -1 (spin para baixo) •1 1

--- . • • •

FIGURA II.l - Rede de spins de Ising para d = 1

A Hamiltoniana (ou Ação) a campo zero, com

apenas entre os' primeiros vizinhos, será dada por

H = -J L ai ai +1i

interação

(II.l)

Este modelo foi proposto por Lenz em 1920 1 e resolv~

do por Ising6, em 1925, para o caso unidimensional, e por Onsager2,

em 1944, para o caso bidimensional. Apesar disso é usualmente cha

mado, mesmo para d = 2, de modelo de Ising.

Neste trabalho vamos considerar uma generalização desse

modelo, que consiste em colocar em cada sitio i da rede unidimen-

sional, uma variável de spin, S., que pode assumir os valores das1N raizes da unidade, ou seja:

(II.2a)

6

ou equivalentemente,

S. = exp {27Ti n.jN }1 1 (II.2b)

onde introduzimos variáveis de valores inteiros, n., para cada sí1t:Lo.

A Hamiltoniana mais geral possível para esses modelos,

com interaç~o apenas entre os primeiros vizinhos e construída de

forma a ser Hermitiana ê

H = E

<i,j>

NE

m=l ! rJ (S.s~)m + J*(S~s.)mJ2 Lm 1 J m 1 J(11.3)

onde <i,j> indica que a soma deve ser efetuada apenas entre os

vizinhos mais próximos e N é o maior inteiro menor ou igual a N/2.

o motivo de não se estender a somatória em m para potências maio­

res que N decorre de

= (s~s)N-n1 .J (11.4)

o que implicaria apenas numa redefinição das constantes de acopl~

mento.

Usando as partes real J(R) e imaginária J(I).m m

podemos escrever:

1 ~ (S.s~)m + J* (S~S .)m]=2 m 1 J m 1 J

= J (R)

2nm(n.-n.)

_J(I)

2nm(n. -n.)

cos 1 Jsen

1 J

m

NmN

de Jm ,

(11. 5)

Por questões de simplicidade operacional, vamos consi-

derar apenas o caso particular de (11.3) em que Jm é real. Então

ficamos com:

H = - L

<i,j>

NL

m=1

7

(II.6a)

L

<i,j>

NL

m=l

Jm

{cos

2nm(n.-n.)~

N - I} (11. 6b)

onde omitimos o R de J(R) e acrescentamos constantes de maneira am

fazer a energia do estado fundamental ferromagnético igual a zero.

A Hamiltoniana assim particularizada exibe uma sime-

tria global do tipo Z(N), i.e., se girarmos todos os spins de um

ângulo igual a 2nn/N (o que corresponde a fazer n. -+- n. + lln) a ex-1 1pressão não se altera. Somando-se a isso o fato de que a intera -

ção é de curto alcance, não devemos esperar ,que o sistema aprese~

te transição de fase a T f O.

Naturalmente, para N = 2 recupera-se o modelo de Ising

com Jl =J e uma constante fisicamente irrelevante. Outros modelos

englobados pela Hamiltoniana geral acima? são, por exemplo, os mo

delos Potts vetorial ("clock model") e Potts escalar. No primeiro

a ação é dada por:

A =-Jvt tE {S.S. + S.S.}

<i,j> 1 J 1 J(11.7)

. que é o caso particular Jm = Jôm, l' No segundo

~ =-E E ô.. S., S.<l,J> 1 J

(11.8)

o que confere ao sistema uma energia -E quando as variáveis es-

tão alinhadas e zero quando não estão. Devido à propriedade

N-lE {s.S~}n =

n=O 1 JN Os S.i J

(11.9)

8

vemos que este modelo é o caso particular de (II.6a) quando:

JI = J = - ° "3 + °(°-°1°) N2 ••• - 20J_ = 2E/N

N(11.10)

11.2 - Matrloz deo transferência e funoçãoode partição

Para resolver o sistema descrito pela _Hami1toni ana

(11.6) vamos utilizar o método da matriz de transferência, uma po

derosa técnica operacional formulada originalmente por várias

. 8 9 10pessoas: Kramersand Wann1er , Montroll , Lasettre and Howe en

tre outros. O formalismo independe da dimensionalidade da

mas esse fator poderá limitar os cálculos.

rede,

A eficiência do método reside na possibilidade de divi

dir o sistema dado em um certo número M de subsistemas idênticos,

que denotaremos por Y., de tal maneira que a energia do1como um todo possa ser decomposta em uma soma

sistema

ES(Yi) (11.11)

onde EI(Yi'Yi+l) é uma energia de interação entre os subsistemas

y. e Y'+l e E (y.) é a energia do subsistema y .•1 1 S 1 1

Usando condições periódicas de contorno YM+I =YI, pode

mos escrever a função de partição como:

Z = L exp{-B E (Y)} ={Y}

=M

••• L TI e xp {- B [E I (Y i 'Yi +1) +Y i=l

M

(11.12)

onde 8 =

9

(KBT)-1, KB= constante de B01tzmann e {y} indica uma so-

ma sobre todas as configurações possíveis do sistema.

~ express~o acima pode ser interpretada corno um produ-

to de matrizes cujos elementos são:

onde T é chamada matriz de transferência. Naturalmente T é urna ma

triz quadrada de dimensão n x n onde n é o número de configurações

possíveis do subsistema y .•1Efetuando a sorna em (11~12) teremos:

2L: (T ) (Y 1 ' Y 3 ) T ( Y 3 ' Y 4) ••• T (YM ' Y 1 )YM

(11.14)

Se E1(yi,yi+l) =E1(yi+l, yi), a matriz de transferên ­

cia será simétrica o que possibilitará sua diagonalização por urna

transformação de semelhança. Então existe urna matriz U tal que

-1(U T U) ., = À. o ..1J 1 1J (11.15)

Corno o traço é invariante por tal transformação, tere-

mos:

Z = L: ÀM

i i

onde À. sao os auto valores de T.1

(11.16)

No limite termodinâmico em que o número de graus de

liberdade vai para infinito, apenas o maior auto valor será rele-

vante para o cálculo da energia livre por spin, f(8), dada por:

f (8) = lim ~ ~n Z (8,N)N+oo

(11.17)

10

onde N é o número de graus de liberdade do sistema e . absorvemos

um fator de (-8) na definição de f(8) por comodidade de notação.

o problema consiste, então, na escolha dos subsistema~

o que é bastante flexível, e na diagonalização da matriz de trans

ferência. Para nossos sistemas unidimensionais com interação ape-

nas entre primeiros vizinhos, vamos adotar como subsistemascada

um dos sítios da rede (fig. 11.2). Como em cada sítio vive uma va

riãvel que pode tomar N valores, T serã uma matriz NxN.

•r.---, 1.----,: Yi I 1Yi+l I" • I I • II I I S II Si I I i+l IL -l L -l

• •

FIGURA 11.2 - Os subsistemas Yi e Yi+l escolhidos

para estabelecer a matriz de trans­

ferência no sistema Z(N) unidimen ­

sional.

Como nao haverá campos externos atuando sobre os sis-

temas, o segundo termo em (11.11) será igual a zero. Portanto te-

mos apenas o termo que descreve a interação entre os subsistemas,

e, de (I1.6b) vemos que os elementos da matriz de

sao:

transferência

onde K = J /KBT. Em termos dos pesos estatísticosm m

(11.18)

xn= exp [. ~ K Icosm=l ml

2nmnN - lJ] ; x = x (MJD.N)

n N-n(11.19)

11

a matriz de transferência se escreve:

xxlx2.........~-2~-lo

xl

xxl

.........~-3~-2o

x2

xlx'I' .", ..~-4~-3

T =

Io

I(11.2D)

~-2

~-l

~-3

~-2

~ _ 4 ••• ~•••••••• x o

~-3 ..••.•.•...• xl xo

De x = x_ (11.19) reconhecemos em T duas proprieda-n N-n

des importantes 3

1) os elementos de matriz são da forma x = x (os elementosm,n m-n.

de cada diagonal sio iguais};

2) transpondo a primeira linha para o fundo e a primeira

para a extrema direita, a matriz não se altera.

coluna

Matrizes que possuem a primeira propriedade sao chama­

das matrizes de Toeplitz3; acrescentando-se a segunda a matriz é

denominada cíclica. No apêndice (A) mostramos como a diagonaliza-

çio de uma matriz cíclica pode ser efetuada. De acordo com o re-

sultado (A.IDa) os auto valores sio:

N-lL

m=D

k=l,2, ••• ,N

exp [2TI ikm/N J (A. IDa)

Note-se que, como x = xN ' estes termos se compoem nam -m

expressao acima resultando

ros 2TIkmN

(11.21)

12

o que mostra que os auto valores sâo reais, como esperãvamos. Pa

ra valores pares de N, XN/2 ficaria sozinho mas exp(2rrik/2)=±l.

Dê (II.17) a ênergia livre por spin, que passaremos a

chamar apenas de energia livre, se escreve:

(11. 22)

onde

e o maior dos auto valores de T. A somatória se estende

~II.23)

desde

n = O até n = N-l, convenção que adotaremos daqui para a frente p~

ra os índices de sorna, a menos que esteja explicitamente indica-

do de outra maneira.

No caso de existir um campo magnêtico externo, pode-

mos escrever a Hamiltoniana (11.6) genericamente corno

H=- E [~ .!. J {(s.stlIn+ (S:S.lIn I}<i,j> m=l 2 m 1 J 1 J

[ N

1 H {SIn + (St l In ) ]E E

(11.3')i m=l

2 m 1 1

o que faz com que a.matriz de transferencia deixe de ser cíclica

dificultando sua diagonalização no caso mais geral. Entretanto o

modelo Potts·(II.8) com campos tais que

H = H =1 2

reduz (11.3') a

N

3+ (-1) H= N2

(11.10')

H = - J E

<i,j>°n n.i' J

- H E o + NH/N. n. O1 1,

(11.8')

13

onde J = N J1/2 , H = N Hl/2 e usamos

L

ns~ =1 N ês i,l

(11.9')

Neste caso particular, trabalhando as linhas e colunas

do determinante característico, obtivemos os seguintes auto va10-

res definidos a menos do termo constante em (11.8'):

À = '(eK+L+ éK + N-2) ± v(eK- eK+L +N-2) 2 t4(N"';l)eL J+2

(A.15' )K

À =e -1n

n=1,2 ... N-2(A.1511)

onde L = H/ (KBT) •

Para grandes valores de N a energia livre (II.l?) pode

ser escrita corno

f (S , L) = .timN+oo

1 R.n [e-NL/N (À+) N ]N

~ + R.n À+N (II.22')

~ fácil ver que a magnetização média por sitio,

M = - (af/ClH)T'. é igual a zero para H = O, o que ·era esperado urna

vez que sistemas de spins com simetria global discreta e intera -

çao de curto alcance não podem experimentar quebra espontânea de

simetria em urna dimensãol3.

II.3 - Funções de 'correlação spin-spine susceptibilidade magnéti

ca a campO zero

o próximo objeto a ser calculado é, naturalmente, a

14

função de correlação spin-spin, G(L,L'), definida por:

G(L,L') = R,im <8L 8~, >N-+oo

(11.24)

onde 8L e 8L, são variáveis de spin localizadas nos sítios L e L',

respectivamente, e o valor esperado < ••• > é definido como

He (11.25)

{n.} indicando uma soma sobre todas as configurações possíveis do1

sistema e a Hamiltoniana reduzida, H , sendo dada por

(II.26)

com K = J /KBT já definidos anteriormente.m m

Vamos reescrever (II.25) da seguinte maneira:

(II.27)

onde usamos condições períodicas de contorno e o elemento de ma-

= exp{ ~ Km[COSm=l

(II.28)

que coincide com a definição (II.18) (introduzimos esta nova nota

ção unicamente por razões de conveniência).

15

Efetuando os produtos de matrizes em (II.27) obtemos:

< s st 1L LI > = Z

onde R = L I - L e M± são matrizes definidas por

M± = r InL> exp{±2TIinL/N}<nLInL

sendo InL> os vetores coluna

(II.29)

(lI. 30)

I nL = o> =

1O

"

o Nxl

;Nxl

(IIo3l)

e assim por diante, com nL = 0,1,2 .•. N - 1.

Podemos, agora, reescrever (II.29) da seguinte maneira

(IIo32)

onde U é a matriz que diagonaliza T por uma transformação de seme

lhança (ver apêndice A) .

-1Vamos chamar A± = U M± U, ou seja:

(IIo33)

onde I é a matriz com elemento unitário na linha n e coluna n en

zero nas outras posições:

(I ) i' = ô. Ô.n J ~n Jn

16

(II. 34)

.... 1Lembrando que os elementos de U sao da forma -- u kIN n

com unk = exp[27Tink/N] , podemos obter os elementos das matrizes

A±

1+ --aij - N

NE

n=l±27Ti(n-l)/N u*e ni (II.35)

Uma vez que U-l TU é diagonal, ou seja,

(U-l T U)ij =À. ô ..

~ ~J(II.36)

onde os À's são os auto valores de T dados por (A.lOa), .podemos

escrever (II.32) como

• • N-RO ••.•••••• ~

,o

o .... O

N-RÀ2 •

ÀR 0 ••• 01A+\ ~

R

À2 •.. • RO ••••••• ÀN

(II.37)

Como ÀN é o.maior dos auto valores e Z=E À~ ' quando

tomarmos o limite termodinãmico (com R fixo), o único termo que

sobreviverá será aquele que contém À~-R no numerador. t fácil ver

que esse termo será À~-R bNNonde bNN é elemento da matriz

ÀRO •••• O1

B = A+ I ~

ÀR: I A (II.38)2 .. ÀR. O N.JNxN

Portanto

De (11.35) obtemos:

17

(11.39)

+~k

= !N N 2rri(r-l)/N u* U kE e nN n

n=l

.-2rri/NN2rri(k+l)n/N

e L= e

Nn=l

-2rri/N °

(11.40a)= e k,N-l

e

-1

~ -2rri(n-l)/N u* uakN = N

e nk nNn=l

.21Ti/N

N-21Ti(k+l)n/N

e L= eN

n=l

z1Ti/N

°k N-l(11.40b)= e .,

Então bNN fica R _ R

(11.41)b =

L Àk 0k,N-l - ÀN-lNN k

e a expressao final para G(R) pode ser escrita como

18

onde usamos ÀN-l = 1.1 •

Naturalmente, para N >3 existirão funções de correlação

do tipo < (SL S~,) r > com r =1,2 ••.N que calculamos genericamente

no apêndice B. O resultado, de acordo com (B.8), se escreve

(B.8)

Vamos definir o comprimento de correlação ~r associado

a G (R) como:r

(11.43)

Portanto, se l/s fO, a função de correlação decai co­rmo exp(-R/s ) quando R vai para infinito. Entretanto esta defini­rção é suficientemente geral para incluir funções que decaem como

P(Rin) exp(-R/sr) onde P(Rin) é um polinômio de grau n em R e

R-I (12)

De (B.8) obtemos

(11.44)

Esta expressão tem a forma geral obtida por Fischer e

Campl2 para inversos de comprimentos de correlação em sistemas

com graus de liberdade discretos e camadas de tamanho finito (peg

samos no sistema d-dimensional como sendo construido por camadas

interagentes e sobrepostas, por exemplo, na direção ~), sendo a

correlação calculada entre spins situados em camadas distintas.

Esta última condição pode, na verdade, ser relaxada para incluir

correlações na direção das camadas de um grande, mas finito, hipeE

cubo no caso de interações de curto alcance. Evidentemente, no

nosso caso, as camadas seriam cada um dos sitios da rede.

19

Apesar de' não possuirmos a solução com campo magnéti -

co, podemos calcular a susceptibilidade inicial (acampo" zero)

usando o teorema da flutuação-dissipação4, i.e.:

Xr(T)= ""1 L < (S St r

L,L' L L') >(II.45)

t r IL'-LIComo «SL SL I) > = (Àr/ÀN) , teremos,

Àr/ÀN = x e olhando para um único sítio:

a) à direita do sItio considerado (inclusive ele)

21+ x + x + ••• = li (1- x)

b) à esquerda

x + x2 + ••• = xl (1 - x)

De a e b :

E x ILI -L I = N (1+ x) I (1- x)L,L'

chamando

(II.46a)

(II.46b)

(II~47)

onde o fator N é devido ao número de pontos.

Portanto a susceptibilidade inicial por sítio se es-

creve:

Xr (T)= "1 " .ÀN +À. r

À - ÀN r(II.48)

20

CAPITULO 111

FORMALISMO DA TEORIA DE GRUPOS DE RENORMALIZAÇÃO

111.1 - Teo'ria degrupo's derenormaliz'ação - idéias gerais

A Hamil toniana de um sistema de spins, e.g. (11.3) , mos

tra claramente corno os graus de liberdade interagem a distâncias

da ?rdem do espaçamento da rede, mas não deixa transparecer as ca­

racterísticas de longa distância da teoria, particularmente impor-

tantes na região crítica, onde o comprimento de correlação é enor­

me dada a ocorrência de efeitos cooperativos. Para estudar tal re-

gião podemos fazer médias sobre alguns graus de liberdade do siste

ma mediante a construção de blocos de spins substituindo, em segui

da, cada um desses aglomerados por um único spin definido, por exem-

pIo, corno a média dos spins em um bloco e localizado no centro do

bloco correspondente. Os spins são então re-rotulados de a parax

L , mediantex

L ,=f(a)x x (111.1)

onde x' = x/b, b sendo o tamanho de urna das arestas do bloco. Clara

mente este último passo encolhe o tamanho do sistema por um fator

b. Quanto a f(a ), em geral é escolhida corno sendo igual a c-I ax x

onde C[H] é chamado fator de reescala dos spins, dependente dos

acoplamentos existentes na Hamiltoniana. Essa escolha classifica o

grupo de renormalização corno sendo linear urna vez que relaciona li

nearmente o spin renormalizado com o spin original.

Evidentemente o procedimento de substituir um bloco

por um único spin empobrece a resolução espacial do sistema, urna

vez que os spins de bloco podem descrever variações desde urna dis-

tância mínima da ordem de b, o tamanho do bloco, que é de algumas

21

vezes o parâmetro da rede. Isso não vai, entretanto, alterar o

comportamento de longas distâncias em que estamos interessados.

A fim de definir alguns conceitos, vamos voltar nossa

atenção para o espaço de parâmetros. Mantendo fixos os valoresdas

constantes de acoplamento, à medida que a temperatura varia o sis

tema descreve uma curva nesse espaço, a qual denominaremos cami­

nho termodinâmico do modelo. A cada ponto do espaço de parâmetros

corresponde uma Hamiltoniana a uma certa temperatura; escolhendo

um deles como ponto de partida, e ~terando o processo de constru

ção de blocos esquematizado acima, geraremos uma sequência de Ha­

miltonianas que por sua vez definirá uma trajetória no espaço de

parâmetros,que será chamada linha de fluxo (ou simplesmente traj~

tória) do grupo de renormalização. Vamos denotar por r~ a superfí

cie no espaço de parâmetros sobre a qual o comprimento de correIa

ção se mantém constante. A superfície r~ (superfície crítica) se-

rá de interesse especial, essencialmente por dois motivos:

a) o ponto P (Fig. III.~) onde um determinado caminho termodinâmi

co intercepta r~ corresponde ao ponto crítico e define a tempe

ratura crítica (T ) do modelo;c* ~ -

b) pontos fixos (P ) i.e., pontos que nao mudam por transforma~s

de grupo de renormalização, estão necessariamente sobre r~ (ou

r ).o

E fácil de compreender o ítem (b) se lembrarmos que,

uma vez que os spins que efetivamente se acoplam entre si estão

contidos num volume com dimensões lineares da ordem do comprimen-

to de correlação, o processo de construção de blocos (ou seja, de

redução do número de graus de liberdade do sistema) estabelece uma

correspondência entre Um problema com um certo comprimento de cor

relação e outro com um comprimento de correlação menor. Dessa ma­

neira pontos pertencentes a r permanecerão nessa superfície.~

22

CT

FIGURA 111.1 - Superficie critica e caminho teE

modinâmico (CT) mostrando um po~

to fixo p*e o ponto critico P.

Os pontos fixos são de interesse crucial na teoria de

grupos de renormalização. Na figura 111.2 mostramos urna superfi­

cie critica bidimensional com os três casos possiveis de pontos

fixos (note-se que as trajetórias que se iniciam em pontos perte~

centes a roo permanecem inscritas nessa superficie): totalmente es,

tável (fundo de cavidade), de estabilidade menor (ponto de sela)

e instável (pico).

FIGURA 111.2 - Tipos de pontos fixos: A é um

fundo de cavidade, B um ponto de

sela e C um pico.

BIBL;,::~A DO J:,S;ÚUTO DE FJSICA E aulMICA DE SÃO CARLOS· USP

fls I CA

23

Perto de um dado ponto fixo poderroslinearizara. teoria estu

dando apenas os pontos que diferem pouco do valor do ponto fixo.

Dessa maneira definimos um sistema de eixos locais (ver Figura

111.3) através da diagonalização de uma matriz de transformação

linear. Nessa região linear o efeito da transformação é simples-

mente multiplicar as variáveis (ou campos) de escala h. definidasÀ. J

pelos eixos locais, por números b J, onde b é o fator de reescala

espacial, i.e., a dilatação da unidade de comprimento, e À. a di­J

À. > O a trajetória aoJ

hl ê chamada variável

para À. = O a variá­J

vel h. é chamada marginal. Nesse último caso o campo h. não mudaJ J

por transformaçoes do grupo de renormalização e o eixo correspon-

longo do eixo h. tende a se afastar de p* eJ

relevante; para À. < O a trajetória caminha em direção a p* e h. éJ J

denominada variável irrelevantei e finalmente

mensão anômala da variável de escala h .. SeJ

dente se constitui, até onde é válida a aproximação linear, em um

contínuo de pontos fixos. Em geral os eixos locais, e portanto as

variáveis de escala, são diferentes para diferentes pontos fixos.

FIGURA III.3 - Sistema de eixos locais na proxi

midade de um ponto fixo mostran­

do três eixos, um dos quais cor­

responde a um campo relevante e

os dois outros a campos irrele ­

vantes.

24

A cada ponto fixo corresponde um comportamento crítico

governado pelas variáveis de escala locais e suas dimensões anôma

Ias. Todo sistema cujo caminho termodinâmico intercepte a área de

captação de um dado ponto fixo p* (esta definida cornoa região

constitulda por pontos que convergem para P*), apresenta o compor

tamento crítico associado a esse ponto fixo.

Em termos das variaveis h. definidas pelos e~s locais,J

a teoria de grupos de renormalização fornece previsões de escala

que s~o v~lidas apenas na regi~o linear em torno do ponto fixo,À.

onde as variáveis renormalizadas h ~ são dadas por h ~~ b J h .. Es-J J J

sa regiã~ de validade pode ser ampliada através da introdução de

termos não lineares nos campos de escala. Os novos eixos corres -

pondem a um sistema de coordenadas curvilíneas e as novas variá-

veis, chamadas variáveis (ou campos) de escala não lineares queÀ.

denotaremos por g. (h.), se transformam como g ~(h.)= b J g. (h.) eJ 1 J 1 J 1se reduzem a h. em primeira ordem. Como os campos de escala linea

J

res, os campos g's dependem, em geral, do particular ponto fixo

em torno do qual são calculados sendo, portanto, não únicos sob

esse ponto de vista. Entretanto, mesmo para apenas um ponto fixo,

os campos não lineares não são únicos. De fato, Nelson e Fischer5

exibiram um contínuo de campos não lineares, calculados em torno

do ponto fixo ferromagnético de urnacadeia de 1sing, campos esses

associados a grupos de renormalização distintos. Na aproximação

linear todos os campos g's se reduziam aos mesmos campos line-

ares, i.e.,gj (h±)~ hj + O(h~).

111.2 - Formalismo da teoria

Vamos rever o formalismo geral da teoria de grupos de

renorma~ização de maneira mais quantitativa, embora bastante sin­

tética, e com enfoque voltado para nossas necessidades futuras.

A Hamiltoniana reduzida, translacionalmente invariante

25

(111. 2)

graus de liber

dade locais ou variáveis de campo, é transformada, por uma trans­

formação do grupo de renormalização R, em uma nova Hamiltoniana

H' (omitiremos o termo reduzida daqui para a frente) e escrevemos

H'= R[S] (111.3)

exibeonde :~upomos que a Hamiltoniana renormalizada RI também

invariança translacional.

O operador R age no sentido de diminuir o número de

graus de liberdade do sistema, ou seja

NI = N/bd (111.4)

onde b é o fator de reescala espacial e d a dimensionalidade do

sistema. Existe uma grande flexibilidade na construção de R, sen

do que para nós esse operador será definido via um traço parcial

sobre N - N I das N variáveis de campo, definindo a Hamil toniana re­

normalizada por

exp HI = TrN_NI {exp li} (111.5)

onde TrN denota a operação de traço, soma, integração, etc, apr~

priada às variáveis de campo {s}N .

A condição essencial a ser satisfeita pelo operador de

grupo é que a função de partição zNCliJ= TrN eH seja preservada,

ou seja:

o que é garantido simplesmente efetuando o traço sobre as variá-

26

veis restantes em (111.5).

Com o intuito de preservar a densidade espacial dos

graus de liberdade, todos os vetares espaciais devem ser reescala

dos pelo fator b, isto é:

-t -t -tx+ x' = x/b (111.7)

ê, finalmente, os vetores de spln sao reescalados de acordo com

(III. 8)

De (111.4) e (111.6) vemos que a energia livre (11.17)

satisfaz a uma relação de recorrência básica

f[E' J = bd f[E] . (III.9)

Analogamente a função de correlação spin-spin, para

grupos de renormalização lineares, se transforma corno:

(111.10)

Estas últimas relações levarão a propriedades de homo­

geneidade e escala no ponto critico.

Definido o grupo de renormalização, a teoria toma o se

guinte rumo:

a) lteração - A transformação é iterada:

(111.11)

onde o fator de reescala espacial associado a R2 é:

2b2 =b . (111.12)

27

Em geral

b~ = b~

satisfazendo a propriedade de semi grupo

(111.13)

~+~'IR =

com

(III.14a)

bQ,+Q,' = b~b~' (IIL14b)

b) Ponto fixo - Variando os parâmetros da Hamiltoniana inicial

procura-se um ponto fixo da transformação definido por

,

lR[li*] =H* (IILIS)

c) Linearização - Presume-se que a seguinte expansao possa ser

feita:

li' = lR[li* + wQ ] = H* + W L Q + O (w2)

onde w é um parâmetro escalar e L um operador de

linear que age sobre Hamiltonianas.

d) Diagon'alização - Em face de um operador linear,

(III.16)

renormalização

pergunta-se

por seus auto-operadores Q. e auto valores À. tais queJ J

LQ.=A.Q.J J J

(III.I?)

Da propriedade de semi grupo, espera-se que os auto va

lores A. tenham a forma:J

À.

A. (b) = b JJ

(IILI8)

28

onde À. independe de b.J

e) Expansão em torno do 'ponto fixo - Supondo a completeza do con-

junto de auto operadores Q. para o ponto fixo H* teremos:J '

H = H* + E h. Q.. J JJ

(IIL19)

,

onde {h.} = {h ,hl •••} são chamados campos críticos ou campos de] o

escala. (Na verdade a completeza suposta acima pode perfeitamente

ser questionada, mas algum tipo de "completeza assint6tica" com

respeito a valores esperados termodinâmicos par~ Hamiltonianas a-

proximadamente críticas, deve ser esperada). Um dos auto operado-

res, por exemplo Ql' pode ser identificado com a densidade de ener

gia e outro, Q2' com o parãmetro de ordem, 'a magnetização; os cam

pos de escala correspondentes seriam a temperatura (T-T /T ) ~c c

t c:C hl e o campo magnético H a: h2 ' respectivamente. Para transições

ocorrendo a T = O outras escolhas poderão ser maisc convenientes

para hl• O termo constante na Hamiltoniana pode sempre ser identi

ficado com um auto operador, digamos Q , com campo de escala cor­o

respondente h . Como este termo pode ser removido para fora doo

traço na função de partição, segue-se que ele sempre se transfor-

ma de tal maneira que seu auto valor À. seja igual a bd.o

Inserindo (III.19) em (III.16) obtém-se:

RI = !R[li] =H~+ L h. A. Q. +O{h2). J J JJ(III.20)

que se pode expressar na forma de relações de recorrência

h~=A.h. [1+O{h ,hl ..•)]J J J o(III.21)

ou, iterando ~ vezes e desprezando termos não lineares ( portanto

perto do ponto fixo):

:::: 1\.~~) h.J J

(111.22)

29

A esta altura podemos classíficar os campos de escala

lineares em:

1) relevantes quando A. > 1 (À. > O):J J

2) irrelevantes quando A. < 1 (À. < O); eJ J

3) marginais quando A. = 1 (À. = O)J J

cujo significado físico foi discutido no início do capítulo.

f) Energia livre - Usando a relaç~o b~sica de recorr~ncia (111.9)

obtém-se:

(III.23)

onde parametrizamos a energia livre em termos dos campos de esca-

Ia. Esta é uma relação de homogeneidade assintótica que implica

em escala. Basta escolher ~ tal que, quando um campo relevante,

e.g. hl = t, estiver próximo do ponto fixo (portanto bastante ~'pe­~ÀI

queno) se tenha b t = I • Dessa maneira (III. 23) pode ser escri-

ta na forma de escala

onde

<1>.=À./ÀIJ J

e a função de escala é dada por

(III.24)

(III.25)

(III.26)

Para campos irrelevantes o expoente <1>. em (III.25) (chaJ cp. -

mado expoente de "crossover")é negativo e portantohj/t J -)-O quando t~. E~

peramos então poder ignorar a dependência da energia livre em h.J

fazendo o argumento correspondente y. em (III.26) igual a zero naJ

-_._------_.,---~--....

30

regiao crítica. Podemos obter correções às previsões de escala ex

pandindo em potências de y .• Note-se que ê tambêm necessário le­J

. ~var em conta termos nao lineares nos campos de escala relevantes

(termos esses oriundos de (111.22)), os quais podem perfeitamente

ser mais importantes que as correções de irrelevância5•

Comparando (111.2~) com a previsão de escala

vemos que

e

2-a = d/Àl

(111.27)

(111.28)

(111.29)

onde /:"(expoente de gap) :é determinado em termos de a.e y por

/:,,= (2-a.+y)/2 (111.30)

y'sendo o expoente crítico associado à susceptibilidade, i.e.:

X (T)o: t-y (111.31)

g) Função de correlação - A propriedade de semi grupo só é válida

se C[H] tiver uma dependência em b do tipo

Kc=b (111.32)

onde K. independe de b. Então, usando (111.10) no ponto fixo tere-

mos:

+ 2 +G (R)= c* G (R/b)

-2w += b G (R/b)

Escolhendo b = R vem que

+ 2wG(R) o: D/R

(111.33)

(111.34)

31

identificando, dessa maneira, o expoente critico n através da re-

lação

d - 2 + n = 2w *Rnc

= - 2 ---in--'-b-

Isso mostra que, em geral, c[a] deve ser

convenientemente a fim de que o ponto fixo obtido de

(111.36)

escolhido

IR[H*] = H*

descreva o comportamento critico sob interesse. Na verdade o va­

lor de C[H*] está ligado à existência· de um fonto fixo, i.e., a

escolha do fator de reescala dos spins deve ser tal que IR[H*]=H*

tenha solução não trivial.

Por outro lado, perto do ponto fixo ternos, ainda de

(111.10) :

(111.37)

1Àl 1e es colhendo 1 tal que b t = 1 e b tal que b = R vem que

l/À A..:t: ,-2w -+ 1 "'J

G(.l<,h,hl•••):::R D(lVt ,•••,h./t ,•••)o J(111.38)

identificando assim l/À~=v o que em combinação com (111.28) im­

plica em

2 - a = dv (111.39)

h) Campos de escala não lineares - são campos para os quais rela­

çoes do tipo (111.22) são válidas exatamente. Portanto tais cam ­

pos, que chamaremos g's, diagonalizam as relações de recorrência

mesmo longe do ponto fixo. A relação linear (111.21) ou (111.22),

em termos dos campos nao lineares devem ser lidas

g~l) =A ~1) g.J J J(111.40)

sem termos de correção. Parametrizando H em termos dos g's, as re

lações de homogeneidade para a energia livre e função de correla-

32

ção tornam-se exatas e validas mesmo em regi8es afastadas do pon~

to fixo. Por exemplo, a relação para a energia livre se escreve:

(IIr. 41)

•Para finalizar, notemos que a idéia de universalidade

entra de maneira muito natural no contexto da teoria de grupos de

renormalização. Se adicionarmos a uma Hamiltoniana próxima de H*

um operador QK para o qual ÀK< 1 (ou seja, um operador irrelevan­

te), devido ao fato de o correspondente campo crítico hK decair

rapidamente por iteração, os expoentes críticos e as funções de

escala não mudarão. Em outras palavras, a classe de universalida-

de engloba todas as Hamiltonianas cujo caminho termodinâmico .in~

... - -*tércepta a area de captaçao do ponto fixo H •

j3

CAP!':['ULOXV

•

GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO (DEDECORAÇÃO)

IV.l - Trah'sfo'rnla'ço'e's'de' dedeco'ra'ça'o'conrb:::: 2

A transformação de grupo dê rênormali2ação qUê vamos

utilizar é uma transformação essencialmente algébrica conhecida

(ou iteração) desenvolvida genecomo transformação de dedecoração

. t F' h 11 ,rlcamen e por lS er para splns d I' A 'd~' ~eSlng. 1 ela e substituir

um spin central, 50' acoplado a dois spins vizinhos, SI e 52' por

uma única ligaçao (ver figura IV.I) acoplando os spins externos.

A transformação, na verdade, é mais geral podendo existir, em vez

de so' um sistema físico mais complicado acoplando Sl e 82• Efe -

tua-se a transformação mediante um traço pa~cial sobre os graus

de liberdade internos do sistemafisico. No caso desse sistema ser

um único spin teremos

s.• s.• S2•

FIG; IV.l - Transformação de dedecoração no ca

so mais simples de um único spin

acoplado aos spins externos.

'K_} são as constantes de acoplamento entre osN

spins.

Vamos trabalhar com a Hamiltoniana introduzida no Capí

tulo 11 acrescida de algumas constantes que se mostrarão conveni-

entes no futuro:

(IV.l)

34

onde E ({K}) representa uma contribuição despin zero para a ener-

gia. Na forma reduzida teremos:

IKT= LH =- H'-B <i,j>

(IV. 2)

onde C({K}) = E/KBT. A fim de que a Hamiltoniana assuma u"m aspecto

de nosso interesse, vamos reescreve-Ia como:

H = L

<i,j> ~ I K [(S .S~)m + (S!S .)m _ 21+m=l 2 m 1 J 1 J j

+ N [c + KI + K2 + ••• + KN ](IV.3a)

= L

<i,j> N [ 27Tm(ni-n.) ]

L K cos J - I +m=l m N

onde apenas somamos e subtraímos constantes.

Os pesos estatísticos

(IV.3b)

Xe = exp [ ~m=l

(MOD. N)

- 1JJ(IV. 4)

já definidos no Capítulo 11:, desempenharão um papel importante nas

expressões que estão por vir.

Quando se efetua o traço parcial mencionado acima, fi­

camos com uma função de partição condicional, W2({K}'SI,S2)' que

depende das variáveis de spin externas. ~ fácil ver que no nosso

caso:

35

N [[ hm(n -n ) ]1/12 ({K},n1,n2) =

rexp im=1 Krn oos- N1 o - I +n

o

[ 2nm(nz-no) J]

+ Km cos N - 1 +

+ 2 [c + KI+ K2 + .,. + Kli] }= exp[2(C+K1 + ••• +K_ )] l: xI _ I xI - I

. N n1 n n2 nin o oo

(IV.5)

onde o índice 2 lembra o fator de reescala espacial b = 2.

A fim de que pos$amos expressar a transformação na for

ma de relações de recorrência entre os parãmetros das Hamiltonia

nas inicial e final, faremos o seguinte "ansatz":

(IV. 6)

Podemos agrupar C({K}) e C' ({K}) definindo

</>2 ({K})

exp [C' + Ki + ••• + K~ ]_ N

exp ~ [C + K1 + ••• + KJJ

(IV. 7)

o que nos deixa com as relações de recorrência

(IV.8)

As expressoes (IV.5) e (IV.6) geram o sistema de equa-

ções (IV.8) com as novas constantes de acoplamento K' (K) corno in-

cógnitas o qual, esperamos, seja compatível e tenha solução úni-

..numero

36

ca. Com tais aspectos do problema em mente, vamos olhar o

de configuraçBes posslveis do sistema a ser dedecorado, ou seja ,

o número de valores possíveis que ~({K},nl,n2) pode assumir. ~ fá

cil ver que a soma em (IV.5) depende apenas da diferença In1-n21

pois o que se faz é somar todos os produtos possíveis x x comp q

diferença Ip-ql constante e isso, evidentemente, depende apenas

de !p-ql . Como após N todos os pesos estatísticos começam a se

repetir, teremos N + 1 possibilidades para ~ ({K} ,nl ,n2). Por outro

lado, de (IV.6) vemos que existem N+ 1 incógni-l::as.Tantas possibi

lidades quantas incógnitas não é uma garantia de compatibilidade,

principalmente num sistema não linear, mas constitui-se em uma

grande esperança nesse sentido. Devemos salientar que quando tra-

tamos o mesmo problema com campo magnético, encontramos um número

maior de equações do que de incógnitas, o que nos levou a conside

rar o fato de que a expressão obtida, correspondente a (IV.6), po

deria não ser uma identidade válida para todos os valores de nl e

n2 {com certeza o "ansatz" (IV. 6) não foi suficientemente ge­

ral, isto é, deveríamos considerar, além dos campos magnéti­

cos, mais termos quebrando a simetria Z(N) ). E realmente, corno

pudemos notar para o Z{3) e um caso particular do N-potts, as e-

quaçoes levavam a informações não compatíveis o que nos forçou a

abandonar as transformações com campo magnético.

Se, dessa maneira, dedecorarmos os spins alternadamen-

te, estaremos gerando um exemplo de uma transformação de grupo de

renormalização com fator de reescala espacial b = 2. Note-se que

estamos, na verdade, efetuando uma soma sobre spins pares e o

efeito desse traço parcial na função de partição é

(IV. 9)

K~ } representa o conjunto de acoplamentosN

37

efetivos entre os spins remanescentes. A transformação de dedeco-

ração mapeia o ponto {K} em outro ponto {K'} no espaço de parâ-

metros.

o objeto removido pela dedecoração poderia, corno obser

vamos, ser algo mais complicado do que um único spin. Mais tarde

veremos o caso em que removemos um número qualquer de spins situa-

dos entre dois spins externos 81 e 82,

O sistema de equações implicito em (IV.8), pode ser co

locado em forma mais adequada agora que sabemos que a soma do la-

do direito depende apenas da diferença Inl - n2/ . Basta fazermos

nl = O e variarnos_n2 desde O até N. Assim ficamos com as seguintes

relações de recorrência:

<P2({K}) =E x

2

n

n

E xn xIn-8 I

Xl = n e2r

xn

n

(IV.IOa)

(IV.IOb)

e = 1,2, ••• , N

onde fizemos n2 = e

IV.2 - Busca de novas variáveis (N = 4)

Apesar de as variáveis XiS serem inegavelmente úteis

para descrever a transformação (note-se que as relações de recor-

rência foram facilmente obtidas em virtude da parametrização em

termos dos XiS), existe outro conjunto de variáveis que se adapta

melhor nesse sentido, simplificando enormemente as relações (IV.IOb).

Corno percebemos sua existência, quase que acidentalmente, no Z(4),

vamos ilustrar como isso ocorreu antes de prosseguirmos com o es-

quema geral da teoria de grupos de renormalizaçao do C~pítulo Irr~

3tl

N

IV.2.1 -"R~la~bes de ~ecor~gncia ~ linhas de fluxo do

, Z(4)

Para N = 4 as relações de recorrencia (IV.10) se escre-

vem:

onde

e

-K -2K

xl = e 1 2

(IV.lla)

(IV.llb)

(IV.llc)

(IV.lld)

-2KI {IV.lle)x = e •2

Urnavez que os parâmetros xl e x2 movem-se no plano

(xI,x2) independentemente do termo independente de spin, C, ~mplí

cito em ~2(KI,K2)' podemos pesquisar os pontos fixos da transfor~

mação usando. apenas "asduas primeiras relações, {IV.lla)e (IV.llb).

Encontramos os seguintes pontos fixos:

(xi ' X2) = (U, O), (0,1) e (l, 1) (IV.12)

onde (0,0) é ferromagnético e (1,1) paramagnético correspondendo

a T = ° e T = cx>, respectivamente, enquanto que em (0,1) temos um mo

delo de Ising (a temperatura zero) na variável 52, uma vez que

x2 = 1 implica em J1 = O. À medida que a transformação é iterada

uma Hamiltoniana inicial especificada por (xiO) ,X~O» descreve uma

trajetória no plano (xl,x2). À guisa de ilustração mostramos na

figura IV.2 algumas dessas trajetórias (ou linhas de fluxo) traça

39

das como se fossem cont!nuas, no caso J1 >- O.

FIGURA IV.2 - Pontos fixos e trajetórias para o

grupo de dedecoração com b = 2. Os

pontos fixos são (xi,x~)= (0,.0>', (0,1)e (1,1) ~ As trajetórias, têm o sen­

tido indicado pelas setas sobre

as curvas contInuas, onde estâo

mostrados pontos representando a­

plicações sucessivas da transfor~

mação a partir de um ponto inicial.

Evidentemente pode-se concluir que a transição de fase

do Z(4) ferromagnético se dá a temperatura zero, como já esperava

mos de resultados mais gerais13

Não queremos entrar em maiores detalhes e também nao

efetuaremos o passo seguinte do esquema geral das transformações'

de grupo de renormalização, i.e., linearizar as relações de recor

rência em torno dos pontos fixos de temperatura zero, uma vez que

o Z(4) será discutido extensivamente mais adiante.

IV.2.2 - Cálculo da energ~~ livre

O ponto (1,1) é totalmente atrativo, isto é, completa­

mente destitu1do de operadores relevantes e assim não pode descre

40

ver um comportamento verdadeiramente crítico. Entretanto o fato

de todas as trajetórias levarem a ele, pode servir como ponto de

partida na busca de uma expressão para a energia livre, exata pa-

ra 1':f O. Para isso vamos usar a Hamiltoniana (IV.2) no caso espe­

cifico de N = 4, ou seja:

[ t t J K2S.S. + S.S. +-21 J 1 J

(IV .13)

Agora olhamos para a funçao de partição e fazemos uma

expansão a altas temperaturas. Obtemos:

Portanto,

(IV .14)

onde

~ -JI,n (IV.15J

(IV.16)

Da relação básica de recorrencia para a energia livre

f( (O) (O) (O» = 2-.l/,f( (JI,) (JI,) (JI,»w ,xl ,x2 w ,xl ,x2

e notando que no lim .l/, + 00, K (JI,) + O, encontramos:

. f(w(O) (O) (O» _ . -.l/, (w(JI,) )1/4,xl ,x2 - -11m 2 Jl,n -----'---JI,+oo 4

que e exata para T f. O.

(IV .17)

(IV.18)

41

Par~ calcular este limite, teremos que iterar as rela­

ções de recorrencia (IV.11) • Se, em lugar de ~2' xl e x2 usarmos,

respectivamente, u, VI e v2 dados por

u = 1/4 exp [-c - Kl - K2 ]

as relações de recorrência se escreverão

2 2 2 2u'=u (1+2vl+v2) !(1+2vl+v2)

2v' = v1 12v' = v2 2

Iterando (IV.20a) t vezes, teremos

(IV.19a)

(IV.19b)

(IV.19c)

(IV.ZOa)

(IV.20b)

(IV.20c)

e usando novamente o fato de que no lim t +00, K(t) + O, (IV .18) fi

ca:

f(w{O) ,xiO) ,x~O) =-lim 2-t tn u(t)t+oo

Notando que

teremos, afinal:

válida para T I- o.

(IV. 22)

(IV. 23)

(IV. 24)

Note-se que essa expressão concorda com aquela calcula

da no Capítulo II usando atecnica de transferencia (a menos,

42

.-.

e

claro, da constante que não existia na Hamiltoniana

naquela ocasião).

considerada

As variáveis definidas em (IV.19) são evidentementemais

adequadas para descrever a transformaçao de dedecoração com b = 2

do Z(4), como se pode ver comparando (IV.20) com (IV.II). Confor-

me veremos em seguida, a generalização dessas variáveis para N

qualquer permitira obter uma expressao para a energia ·livre do

Z(N), facilitará o trabalho de pesquisa dos pontos fixos, levará

a uma expressao extremamente simples para transformações com b

qualquer o que por sua vez fornecera também pontos fixos antifer-

romagnéticos, etc.

IV.3 - Variáveis mais adequadas para N qualquer

Uma vez que nosso objetivo neste trabalho não é unica-

mente resolver o sistema e comparar com os resultados oriundos da

teoria de grupos de renormalização, mas sim, e principalmente,

aprender a manipular essa teoria, vamos nos permitir, a esta alt~

ra, olhar também para a solução exata já obtida, na tentativa de

reconhecer as variáveis "naturais" do sistema. Veremos que· .dessa

maneira poderemos, de uma certa forma, extrapolar as idéias de ma

neira interessante e significativa.

Se olharmos para as funções de correlação do Z(4) cal-

culadas genericamente no Apêndice B, ou seja:

Gl (R) = 0'1/À4) R

= [(1- x2)/(1 + 2xl + x2)] R

(IV.25a)

e

RG2 (R) = 0'2/À4)

= [( 1 - 2xl + x2) / (1 + 2xl + x2)] R

(rV.25b)

43

onde, lembramos, G (R.) = lim.:: (SLS~,) r> reconheceremos nas razoes_ .r N-+oo

Àl/À4 e À2/À4 as expressões para vI e v2 dadas por (IV.19b) e

(IV.19c) ,respectivamente. Serâ que para N>4 as razões v = À /ÀN.. r r-- • I 2

r = l,2 ••• N se transformarao como vI e v2' ou seJa, vr = vr' no caso N= 4? Para verificar vamos definir as variaveis..

vr = Àr/ÀNr=l,2 ••• N (IV. 26)

e· calcular v'. Teremos (lembramos que os índices de soma assumemrvalores desde O até N- 1 quando não especificado diferentemente):

L x' exp(2~inr/N)n nv' =À '/À I =r r N

Ln

x'n

L xx/n -nln

no oL I

o2n

Lxnn oo

L xLXI no-n/nn exp(2~inr/N)

=

oon

L

x Ln

nx/no-n/

(IV.27)

o

on

Portanto podemos escrever v' comor

L xn exp(2~imo/N) L xln -nl exp(2~ir(n-no)/N)n o n oov' =----------------------r =

44

exp(27Tirn/N)2

(IV. 28)

E

x2

n

= v

h

r

= I

~ xnn

o que confirma nossa expectativa.

Para completar a transformação precisamos escrever

~2({K}) em termos dos ViS. Para isso vamos mostrar que ~2({K}) =

= L x2 pode ser escrito comonn

o numerador fica

(IV.29)

NL

n=l

2

exp (2nimn/N)] ..

= LLxexp(27Timn/N)L xexp(27Tinp/N)m p pn m

N

=Lxx Lexp [27Tin(m+p)/N ]mpm,p

n=l

N

L2=x

mm

E o denominador, por sua vez,fornece

N

NNL

À= L Lxexp (27Timn/N)n=l

nn=lm=lm

N

= L xLexp(27Timn/N)

m

mn=l

= N L x

<5 = Nm m

m,N

completando assim a demonstração.

(IV. 30)

(IV. 31)

Então as relações de recorrencia (IV.IOa) e (IV.lOb)

45

ficam, em termos das novas variáveis:

<P2({ir:}) = N E v2; tE v )2n n

2Vi =vr r

(IV.32a)

(IV.32b)

n=1,2 •••N e r=I,2 •••N

onde (IV.32a) ê obtida multiplicando e dividindo (IV.29) ,por À~'

A presença do fator númêrico 2 em (IV.32b) nos lembra

fortemente que estamos fazendo transformações com fator de reesca

Ia espacial b = 2 ~ Isso sugere tentarmos transformações com b > 2 o

que será feito a seguir.

IV. 3.1 - T'ransformações com b > 2

Inicialmente faremos transformações com b = 3. Portanto

o objeto a ser dedecorado consiste, agora, em dois spins (figura

IV.3)

s.• So.• IR

===>s.•

FIGURA IV.3 - Transformação de dedecoração com

b=3.

A função de partição condicional W3({K},nl,n2), a me­

nos da exponencial (ver (IV.5» que será englobada futuramente em

<P3({K}) como fizemos em (IV.?), agora se escreve:

t 2rrm(nOI-n02) ]

+ K cos ------ I '.+m N

46

+Km

(IV. 33)

onde x(,l) _ I = E xI _ I xI -n I depende a~enas denl n02 n nl nOl ~Ol 0201

Inl-n02' e, como é fácil ver, xe = ~-e (MOD. N).

Portanto concluímos que VJ3 ({K},nl ,n2) T cx:mo VJ2({K},nl,n2),,

depende apenas da diferença Inl-n2' com Inl-n21 =O,l ••. N.

Analogamente ao que fizemos no caso b = 2, escrevemos

[ N í. 2mn (nl-n2) 11]VJ3 ({K},nl,n2) = cl>3({K})exp ~l ~~ LooS N - lJ .

onde

exp [C" + K' + ••• + K~ ]= l-~

exp [3 (C+ Kl + ••• + K_)]- N

(IV.34)

(IV.35)

Novamente, como VJ3({K},nl,n2)depende apenas da dife­

rença Inl-n21 , fazemos nl = O e variamos n2 desde O até N, resul­

tando as seguintes relações de recorrênciao

cl>31{K}) = (IV.36a)

X' =e

E

nOl,n02 (IV.36b)

e=1,2 ••• N

47

Vamos tentar, novamente, as variáveis v. = À IÀN utili­r . rzadas no caso b = 2. A variável transformada, v', ficará:r .

n

v· = À • I'A' =r . r N

1: x'n n.

exp(21Tinr/N)

1: x'n(IV. 37)

o numerador pode ser escrito

e o denominador

= À 3r (IV.38a)

L x· = Lnn n

= (L x )3m m

= (ÀN)3 (IV.38b)

Para escrever_ ~3({K}) em termos dos v's, vamos calcu-

NL À3 =

r=l r N [N-l J3L 1: xn exp(21Tinr/N)

r=l n=O

=NL L x

r=l m mL xnn exp [21Tir(m+n+p) I~

= N Lm,n,p

x xm n

xp

<S

m+n+p,O

= N E

m,n

48

(IV. 39)

Como, de (IV.3l) L\ = N, teremos:n

(IV. 4 O)

De (IV.38) e (IV.40), podemos escrever as relações de

recorrência para o grupo de dedecoração b = 3:

3VI =vr r

n=I,2 N

r=I,2 N

(IV.4Ia)

(IV.4Ib)

No apêndice C calculamos as relações de recorrência pa

ra b inteiro qualquer, i.e., no caso em que o objeto a ser remov!

do pela dedecoraçãoé constituido de b-l spins situados entre dois

spins externos (Fig. IV.4).

S, SOlS02 So(b-llS2••• ---••

{k}{k} { k}

IR

SIS2===:>

••{ k'}

FIGURA IV.4 - Dedecoração com b inteiro qualquer.

49

o resultado é

(IV.42a)

bVi = Vr "r

n=1,2 ••• N .I r = 1,2. ',' N

(IV. 42b)

como era de se esperar em vista dos resultados anteriores

b = 2 e b = 3, sendo ~b dado por

para

exp [ C I + Ki + ... + K~ ]

exp [ b (C + Kr + •.. +K N]J

(IV. 43)

IV.4 - Relações de escala e expoentes críticos

Note-se que o termo constante C({K}) = E({K })/KBT, ana­

logamente ao que ocorreu quando escrevemos as relações de recor ­

rência para o Z(4) usando os pesos estatísticos como variáveis,

não participa das relações (IV.42b) que descrevem as transforma­

ções dos termos de interação. Dessa forma podemos pesquisar pon­

tos fixos através do estudo dessas relações apenas~

Naturalmente o espaço de parâmetros é um hiperespaço

N dimensional e as variáveis v assumem valores que vão desde -1raté +1. Portanto tais variáveis "vivem", nesse espaço, dentro da

regiao delimitada externamente por um hipercubo com centro na

origem das coordenadas e "arestas" que vão desde -1 até +1 e cujos

vértices e centros das faces, juntamente com a origem (0,0..•0) ,são os pontos fixos da transformação, como podemos ver de (IV.42b).

Evidentemente, para valores pares de b, os vértices e faces com

50

uma ou mais coordenadas negativas deixam de representar pontos fi

xos. Além disso, no interior desse hipercubo existem, em geral,

regiões correspondendo a acoplamentos imaginários (valores negati

vos dos x's) e portanto não físicas. Tais regiões devem ser excluí

das de nosso estudo o que implicará, naturalmente, na exclusão tam

bém dos pontos fixos situados em seu interior.

Se invertermos a relação (IV.26) para obter xCv) tere-

mos:

r v exp(2ninr/N)n nx =r

r Vn

r=1,2 •••N

(IV. 44)

e portanto o ponto fixo (vl,v2 ••. v.,..) = (1,1 ••• 1), que denotareNmos por {v}= {I} , pertence à região física uma vez que correspon

de a (xl,x2••.•x_) = (0,0.••0), (ou {x} = {O}). Das relações (IV.42b)Nvemos que perto desse ponto todas as variáveis v·, r = 1,2•..••.Nrsao relevantes já que as trajetórias se afastam dele à medida

que a transformação ê iterada,dirigindo-se para {v} = {O} (ou, no

espaço dos x's, {x} = {I} ). Uma vez que {v} = {I} corresponde a

T = a concluímos que a transição de fase dos modelos Z (N) em estu-

do se dá a temperatura zero. O ponto fixo {v}= {a} para o qual

convergem todas as trajetórias do interior do hipercubo represen

ta T = CCl e o fato de ser completamente destituído de operadores

relevantes pode ser usado, como no caso N= 4, para se obter uma

expressão para a energia livre, exata para T # a (ver apêndice D),

que concorda como resultado do CapItulo II.

Vamos expandir as relações de recorrência (IV.42b) em

torno de {v} = {I} (os outros pontos fixos serão vistos mais tarde

para valores particulares de N). Chamando

l-v r (IV.45)

51

vemos que

!J.v' ~ b !J.vr r

perto do ponto fixo. Portanto os auto valores são

(IV.46)

A = br ., À = 1r (IV. 47)

existindo N campos criticas relevantes, como dissemos acima. Um

tal número de parâmetros relevantes era esperado se lembramos que

o Z(N) possui N funções de correlação distintas, cada uma origi ­

nando um comprimento de correlação os quais são capazes de, inde-

pendentemente, tirar o sistema da criticalidade.

Se agora olharmos a expressão (IV.42a) veremos que, per

to do ponto fixo acima, <Pb ~ 1 e portànto, definindo

teremos, de (IV.43);

z' ~ zb

Tomando o logarítmo vem que:

o que confirma nossa observação acerca do auto valor do

dconstante ser da forma b o

( IV. 48)

(IV. 49)

(IV. 50)

,termo

Se interpretarmos a relação acima pensando na tempera­

tura corno não sendo afetada pela transformação, teremos, por ite--

raçao

(E+JI + 000 +J_) (i)~ bi(E(o)+ JiO).+N

(IV o 51)

e escolhendo E(O) = -(JiO) + J~O) + .. o +J~O» o que equivale a fa­N

52

zer o estado fundamental igual a zero, obteremos

(IV. 52)

o que mostra que, perto do ponto fixo, a energia do estado funda-

mental permanecerá nula na região linear. Dessa maneira evitamos

considerações sobre o termo constante na energia livre naquela r~

gião. Com essa escolha e usando as relações básicas de recorrên -

cia, equações (111.9) e (111.10), para a energia livre e função

de correlação, respectivamente, podemos escrever, parametrizando'

essas funções em termos de {~v } :r

(IV.53a)

e

(IV.53b)

onde iteramos t vezes a transformação.

tEscolhendo t ta.l quQ-. ~-l1v = k« 1, de forma a per-mane....p

cer dentro do regime linear, vem que

~v..,E:l!J.vp

,!J.vp+l !J.vN}

!J.v , ••• !J.vP P

(IV.54a)

e

[ !J.vl

••• !J.v) ~ D .R!J.v,-;:---,•••- p p uVN P!J.vp-l!J.vptl!J.v' !J.v,•••

p p

(IV.54b)

onde as funções de escala são dadas por

(IV.55a)

e

(IV.55b)

Identificando,em (IV.54b) a combinação de escala Mv = R/t;p p

obtemos os comprimentos de correlaç~o:

t;p ~ 1/ f1v p , p = 1,2, •.• , N

que, perto de b.v = O, podem ser aproximados porp

1F,:pZ Q,n (l/vp)

que concorda com a expressão exata (II.44).

(IV. 56)

(IV. 57)

No que diz respeito aos expoentes críticos, notemos

que a definição usual

I1f= f - f cc t 2-ac

X (T) cc"t-Y

F,: cct-V

(IV.58a)

(IV.58b)

(IV.58c)

onde t = (T - T )/T , não é adequada para transições ocorrendo ac ctemperatura zero. Por isso vamos definir expoentes críticos redu-

5 . d 1 - .zidos em termos do comprlmento e corre açao, l.e.:

X(T) ccF,:Y/V

(IV.59a)

(IV.59b)

Note-se que se substituirmos t por T - T = T nas expresc -

54

sões (XV.58) , chegaremos à conclusao de que 2-~, y e v são iguais

a 00 •

De (IV.56) , (IV.54a) e (IV.59a) obtemos

2-ae

v .p

= 1 (IV.60)

e reescrevendo (11.48) em termos de ~v ou seJa

IX (T)= -(l+v )/(l-v)

P K T P PB

1= -(2-/:"v )/(/:"v)

K T . P PB

chegaremos a y = vp pPortanto, de (IV.60):

2-a =y =vp p p

p=I,2 ..•N

(IV.61)

(IV. 62)

Como na transformação que estamos efetuando o fator de

reescala dos spins c[n] é constante e unitário, podemos obter de

(111.36) o valor do expoente critico n

n = IP

(IV. 63)p=I,2 ... N

que concorda com o resultado exato para a função de correlação,

G •.crltico ~ I/Rd-2+n (IV.64)

Os resultados (IV.62) e (IV.63) foram obtidos por

Nelson e Fischer5 no caso N = 2 (p= I) .

Note-se que as relações acima para os expoentes cri ti-

cos concordam com as relações de escala dv = 2-a. e y:= (2-n)v •

55

o fato de existirem N possibilidades para cada um dos

índices crIticos estg, naturalmente, ligado às diferentes orien-

tações das variâveis de spin. Se for possível construir um campo

de temperaturas que faça distinção entre essas orientações, cer­

tamente seremos capazes de obervar N valores de u. Quanto aos ou

tros expoentes será necessário um feixe de neutrons que possa

sentir diferentemente as diferentes orientações dos momentos ma~

néticos daquelas variáveis.

As previsões de escala da teoria de grupos de renorma

lização devem ser comparadas com as soluções exatas do Capítulo

11_ Para isso vamos escrever a energia livre, equação (11.22) co

mo:

f({y }) =r .Q.n (IV. 65)

onde usamos (11.23) e (1V.44).

Note-se que em (11.22) está implícito que o termo cons

tante foi escolhido de maneira a fazer o estado fundamental igual

a zero, como se pode ver de (11.6a) e (I1.6b).

A energia livre, parametrizada em termos dos

de escala ~v , fica:rcampos

f({~vr}) = R.n

N

( N~vN')

3-(-)N-2~vl + 2~v2+ ••• + 2

( N

~vN )

1 3-(-) (IV.66)::: N 2~v1+ 2~v2+ ••• + 2

onde a última passagem é válida perto do ponto fixo. Dessa manei

ra identificamos a função de escala em (1V.54a) como

} _ I ( 3- (_) NYP ({u ) - N 2ul + 2u2 + ••• + 2 + ••• + --2--

Só

Por outro l~do, ÀS funções de correlação são dadas por

(B.8) e podem ser escritas

G = (v ) Rr r_ (1 - I1v ) Rr

ou, perto do ponto fixo:

G :: R f1vr r

Entao

D (s , { u }) = RsP

(IV.68)

(IV. 69)

(IV. 70)

Para identificar, dentro do formalismo da teoria de

grupos de renormalização, a função de correlação à qual ~ estáp

associado, vamos fazer uma mudança de variáveis, desta vez nas va

riáveis de spin:

S.S~+1 = 0-v (IV.7Ia)111S. =

TI 0- (IV.7Ib)J

. nn:;:J

Vamos considerar N muito grande de maneira que nao pre

cisaremos nos incomodar com os spins situados nas extremidades do

sistema. Em termos de 0. a Hamiltoniana1

se escreve:

(IV. 72)

H.= L:

i (IV. 73)

onde omitimos o til nos índices das novas variáveis. Como 0. assu1me os N valores das raizes da unidade, ou seJa,

57

(IV.74)

teremos

ni = 0,1 ... N-l

H= Ei (IV. 75)

Portanto a função de correlação pode ser escrita como

_ 1-Z I:

{a.}.1.

(IV.76)

Agora faremos a transformação somando sobre b-I spins

situados entre dois spins externos, supondo que aqueles localiza-

dos nos .sitios O (zero) e R não são removidos pela dedecoração. No

denominador teremos

(1 + xl + •.. + }C ) N (b-l)/b =,N-lÀN(b-l)/bN (IV. TI)

onde a potência indica o ntimero de spins que são dedecorados. No

numerador existem dois casos:

a} os spins removidos não se localizam entre os sítios O (zero) e

R. Teremos:

(1 + xl + •.• + ~-l) (N-R) (b-l)/b = À~N-R} (b-l)/b (IV. 78)

b} os spins removidos estão localizados entre aqueles sítios. Te-

remos:

= . [~ e2nipn/N

= (À }R(b-l}/bp (IV.79)

58

- - -Entao a funçao de correlaçao fica

G (R I { V }) = (À / ÀN) R (b-l) jb G (R/b I { V } )p p p

e iterando ~ vezes vem que

Agora escolhemos ~ tal que b~ = R e ficamos com

Gp (R I {v}) = (v ) R (l-li R) G (1 , f v } )p p

(IV.80)

(IV.81)

-R [l-l/R]=exPI ---~

[~n(l/v)]-lP

G (1, {v})P

G (l,{v})P

(IV.82)

onde o til timo passo é válido perto de T = O (lembramos que nessa

região [.R.n(l/v )J-l diverge). Como toda a dependência em R estáp

na exponencial, podemos identificar o comprimento de

associado a G (R,{v}) como sendop .

l; ~ l/.R.n(l/v )p p

correlação

(IV. 83)

o que completa o quadro de informações oriundos da teoria de gru-

pos de renormalização na região crítica em torno de {v} = {I}.

59

IV.5 - Casos Particulares

Vamos estudar o fluxo do grupo de renormalização no es

paço dos parâmetros dos modelos Z(N) com Hamiltoniana dada por

(IV.3), para valores particulares de N em termos dos pesos estatís

ticos Xe e das variáveis vr (-l~vr~ +1) definidos por (11.19) e

(IV.26) respectivamente.

IV.5.l - Z(~)

o cas'O N = 2 já foi objeto de estudo5 inclusive com

po magnético. Vamos incluí-Ia aqui apenas por completeza.

cam

o espaço de parâmetros ê unidimensional com peso esta-

tístico-2K

xl = e I (IV. 84)

e o modelo mais geral é o Potts escalar Z(2) (modelo de Ising). A

variável VI é dada por

(IV. 85)

e existe urna regiao ferromagnética (O < xl< I ou VI > O) e urna an­

tiferromagnética (Xl> I ou VI < O). As relações de recorrência são

bVi =v1 1 (IV.86a)

(IV.86b)

ondecl + KI

<Pb=e 1 / (IV. 87)

e existe um ponto fixo ferromagnético vi = +1 (T = O, J1 > O) , um

antiferromagnético (para b ímpar) vi = -1 (T = O, Jl < O) e um para ­

magnético vi = O (T= ()()ou, equi valentemente, J1 = O). À medida que a.transformação é iterada, a Hamiltoniana descreve urna trajetória cu

60

Ja direç~o est~ mostrada na Figura IV.5.

• t>

y"=-l

•l=o

<l •y. = + 1

FIG. IV.5 - Diagrama de fluxo do Z(2) em ter

mos de vI = (l-xl) / (l+xl).A re­

gião vI > O é ferromagnética e

vI < O antiferromagnética. Os pon

tos indicados são pontos fixos e

as setas indicam a direção do

;fluxo.

Note-se que para valores pares de b, se começarmos com

um ponto na região antiferromagnética (vI < O), tal ponto será ma­

peado na região ferromagnética (vI> O) após a primeira iteração.

Isso ocorre porque, mesmo no caso não'ferromagnético, a interação

entre spins distando um número par de parâmetros da rede um do ou-

tro tem caráter ferromagnético.

A região próxima de vi = +1 foi estudada genericamente

na seçao anterior em termos de ~vl = 1 - vI onde obtivemos que o com

primento de correlação diverge como

l;=:: l/~vl2Kl

=:: e

com expoentes críticos tais que

2-a=y=v

T) = 1

(Iv.88)

(IV.89a)

(IV.89b)

resultados que já eram de nosso conhecimentoS. Perto de vi=-l (b

61

ímpar) vemos que ~b+w .e portanto o termo constante deveria, em

princípio, ser levado em conta na relação de recorrência para a

energia livre. Entretanto, se em (IV.8?) fizermos

C'-K'2K'e 1

1~ =

e

b b(C-Kl)2bKle

e

C'-K'

b1 xl-e =

b(C-Kl)x'e1

C'-K'1e

= b (C-Kl)e

teremos, usando (IV.86b),

C'-K'e 1b(C-K ) ~ 1

e 1

[<l-VI) / (l+vl)] b

. b b(l-vl) / (l+vl)

(IV. 90)

(IV.91)

perto de vi = -1. Então, analogamente ao que fizemos para Z (N) em

geral, escolhendo

(IV. 92)

vem que

na regiao linear. Note-se que a Hamiltoniana (IV.l) se escreve, com

essa escolha:

H=- 1::i (IV.94)

Como Jl < O, o estado fundamental é antiferromagnético

(corresponde a ni - ni+l = 1) e (IV.93) implica em fazer a energia

62

desse estado igual a zero. Dessa maneira n~o teremos que nos pre-

ocupar com o termo constante na energia livre. Ao que parece o

valor da energia do estado fundamental, mesmo para N > 2 (testamos

também para N = 4), se mantém nulo na região linear se o fizermos

nulo antes da transformação mediante uma escolha apropriada do

termo constante. Por isso esse termo não mais será analisado da-

qui para a frente.

Usando

teremos, perto de vi = -1,

!::.v'~b/1v1 1

(IV. 95)

(IV.96)

e portanto seguem-se, para esta regiio, os mesmos resultados obti

dos para a regiio linear próxima de vi=+l, os quais concordam oom- ~

a soluçao exata do Capltulo 11.

A redefiniçio da variável de escala da maneira acima

nio afeta as relações entre os expoentes críticos, que continua -

rio sendo dadas por (IV.89a) e (IV.89b). Em geral, se para um da-

do ponto fixo alguma coordenada, digamos v , é negativa (i.e.,qv =-1), definimos /1v =l+v e as relações (IV.62) e (IV.63) se-q q qrio obtidas para p = q. Por isso situações análogas não serio dis-

cutidas nos próximos exemplos.

Note-se que quando VI < O, G (R) se aIterna entre valo­

res positivos (R par) e negativos (R ímpar), o que é natural numa

região antiferromagnética.

IV.5.2 - Z(3)

Para N = 3 o modelo mais geral é ainda um Potts escalar

com espaço de parâmetros unidimensional e peso estatístico

63

(IV. 97)

A variável vI é dada por

e existe uma regi~o ferromagnêtica (O < xl < 1 ou vI> O) e uma anti

ferromagnética (xl> 1·ou vI < O). As relaçoes de recorrência são

com

exp (C' +K').. 1expQ:>(C+K)]

(IV.99)

(IV.IOO)

A Figura IV.6 mostra o espaço de parâmetros (em termos

de vI) cuja região física se situa entre -1/2 e +1, implicando na

não existência de ponto fixo antiferromagnético. Isso acontece

porque no Z (3), mesmo a T = O, as interações 'entre segundos, ter -

ceiros vizinhos, etc, não têm, necessariamente, caráter antiferro

magnético. Para ver isso basta fixar um spin e olhar para o segun

do, terceiro vizinho, etc; estes podem estar apontando no mesmo

sentido que o spin fixado. Portanto uma transformação com b = 2

b = 3, etc, não levaria a um sistema com interações de caráter to-

talmente antiferromagnético como o original, e assim T = O não

ponto fixo da transformação.

~e

'V = -1/2I+1I1111111111~ ~

-1 -1/2

V~ =+ I•+1

64

FIG. IV.6 - Diagrama de fluxo do Z(3). A re­

gião fisica está entre -1/2 e +1. -

e os pontos fixos são vi:= tI(T=O) e vi=O (T=oo). Não há

ponto fixo antiferroma~nético,

A reg±~o pr~x:lma de v! = +1 J~ foI estudada (ver

geral) e fornece,

caso

(IV.IOl)

para o comprimento de correlação; os expoentes críticos se rela -

cionam como no Z(2), equações (IV.89a) e (IV.89b), resultados que

concordam com a solução exata.

IV.5.3 - Z (4)

Neste caso temos um espaço de parâmetros bidimensional

com pesos

-K -2K

xl = e 1 2-2K

x2 = e 1

e variáveis vI e v2 dadas por

(IV .10 2a)

(IV.l02b)

(IV.l03a)

(IV.l03b)

6S

As relações de recorrência sao

bv' = v1 1

bv' = v2 2

(IV.I04a)

(IV.I04b)

b b(1+2v1+v2)

(1 + 2v 1 + v 2) b

(IV.104c)

onde

exp [C' + Ki + KzJ

exp[b(C + Kl + KZ)]

. (IV.IO~)

Da solução exata vemos que as funções de correlação as

sociadas a <sos; > e «SoS;)2 > são, respectivamente,

(IV.I06a)

e

e, de (IV.I02), os caminhos termodinâmicos são dados por

x2 = xi

onde

(IV.I06b)

(IV.I07a)

p =2

1 - 2J 2/ JI(IV. 1 08b)

Na figura IV.7 mostramos a região física do Z(4) no

plano (vl,v2), bem como indicamos os pontos fixos da transformação

para b ímpar (ver Tab. IV.I). Com exceção da origem (0,0) onde

T = 00 esses pontos fixos representam T = O. Algumas linhas de fluxo

no caso b = 3 estão também indicadas na figura.

Os eixos coordenados da figura IV.7 separam as regloes

ferro e antiferromagnéticas que definimos através dos sinais dos

v's: se um ponto possuir ambas as coordenadas positivas, nesse po~

to o sistema e ferromagnetico; se pelo menos uma das coordenadas

66

FIG. IV.7 - Diagramade fluxo do Z(4) no plano (vl,v2).

O triângulodelimita a região física onde e~

tão indicadasas regiões ferro (F) e antifer

romagnéticas (A) separadaspelos eixos. Algu

mas linhas de fluxo para b=3 e os pontos fi­

xos (@) estão indicados.Na origem T=ooe nos

pontos fixos restantesT = O.

for .negativa ocorre antiferromagnetismo. Esse critério nos parece

adequado uma vez que v < O significa que G (R) = (v )R se aI terna,r r r

entre valores positivos (R par) e negativos (R ímpar) indicando I

que vizinhos ímpares tendem a se orientar de maneira não ferromag

n~tica. Por exemplo, lembrando que G ~ (S SR)r , se Gl(R» O par o -

ra todo R e G2(R) oscila com R (portanto vI> O e v2< O), então

dois vizinhos próximos (R ímpar) se orientarão de maneira a desfa

vorecer, em média, a formação de um ângulo de 1800 entre eles (po~

que SosI < O se So e SI formam um ângulo de 1800 entre si). Assim,

em m~dia, spins vizinhos oscilam apenas num hemisf~rio. A esta e

outras situações análogas damos o nome de antiferromagnetismo uma

vez que diferem do caso ferromagnêtico (v > O, r = 1,2) onde ambasras funções de correlação são positivas de maneira que vizinhospri

67

xinos tendema se alinhar na mesmadireção (ângulo de 00 entre si). Esse cri té

rio para separar as regiões ferro e antiferromagnéticas se adapta aos rrode10s

Z(2) e Z(3) (Le., para esses rrode10sG(R»O para todo R na região ferromagné-

tica e oscilante can R na região antiferrornagnética) onde ferro e antiferroma5,i

netisno são bemdistinguidos urra vez que existe apenas urnaconstante de acop1a

nento. Por outro lado poderrosverificar se o critério é adequadotambém nos

pontos onde T=Oo Nesses pontos não é necessário considerar o fator de entropia

e assim. considerações energéticas (emtenros dos pesos estatísticos) são sufi

cientes para determinar a configuração do sistema o Noterrosinicialmente que pa

ra spins vizinhos que se orientam fonnando umângulo igual a 2mn,14(m=O,1,2) o

peso estatístico associado é xmoDessa maneira Xl (X2)é o peso quando spins

vizinhos fonnamumângulo igual a 1T/2 (1T) entre si (o peso estatístico X .foio

nonna1izado a 1 - Ver e:;IUaçãoII 019)o Então, por exerrp10no ponto fixo

(Vi,vi) = (1,1) o peso Xo= 1 predomina sobre os outros ('1. = ~ = O conforma

Tab. IV.V e spins vizinhos apontamna mesmadireção (ângulo igual a zero) o Daí

o sistema ser ferranagnético nesse ponto, o que está de acordo cemnosso crité,

rio que prevê ferromagnetisrro para todo o 19 quadrante da figura IV. 7o Nopon_

to (vi,vi) = (-1,1), ~ = CIO predanina e o sistema aCk}uireurnaconfiguração do

tipo antiferromagnética comspins vizinhos formandoumângulo de 1800 entre

si, ajustando-se tàrrbémao critério escolhido. Assim, uma umIX'derros testar

todos os pontos de T = O e vererros que não há desacordo nenhumcomnossa por_

posta de classificação de ferro e antiferrana.gnetisno para o node10.

TABEIA IV.1

Pontos fixos do Z(4) para ~ores.irrpar~ de b.

* * **(v1,v2) (x1,x2)

(O, O)

(1,1)

(1,1)

(0,0)

(-1,1)(O ,00) , (1 ,(0) ou (00,(0) p/ x2/xl -+ 00

(O ,-1)

(00,0), (00,1) ou (00,00) p/ xl/x2-+00

(0,1)

(0/1)

68

Uma vez que para R par as f;unç8es de correlação Gr (R)=

= (v )R, r=1,2 s-ão sempre positivas, os vizinhos pares terão semrpre a tendência de se orientarem de maneira ferromagnética. Por

esse motivo transformaç8es com valores pares de b sempre mapeiam

pontos das regi8es antiferromagneticas em pontos na região ferro-

magnética, como se pode ver das relaç8es de recorrªncia.

A vizinhança linear do ponto fixo ferromagnético* *

(vI i v2) = (1,1), já foi estudada e fornece para os comprimentos I

de correlação:

-2K -K -2K~ 1/ (e 1 + e 1 2)

e

~2 ~ 1/llv2

RI + 2K2 '~ e

onde Vp = 1- vp' p = 1,2 (K1,K1 + 2K2 -+- +00).

Quanto aos expoentes críticos teremos:

2-(1 =y =vP P P

Tl = 1P

(IV .10 8a)

(IV.108b)

(IV.108c)

(IV.108d)

* *Perto de (VI' v2) = (-1, +1) (onde -K1 -+- 00, x2/x1 -+- 00),mu

dando a definição de llv1 para

(IV.109)

- como fizemos no Z(~), obtemos

e

~ x _ 12KlI2-e

69

(IV.lIDa)

(IV.110b)

* *

Nos pontos fixos restantes o::::'evI = O e v2 = ±1 devemos

notar que (ver tabela IV.l):

* *. * *1) (vI' v2) = (O, +1) <=> (xl' x2) = (O, +1). Neste caso Jl = O, J2 > O

e portanto vI = O enquanto a temperat~a* *

(levando o sistema para (vI' v2) = (O,:)

varia desde O até + 00

* *ou seja, (xl,~)=(l,l»;

2)* *

(xl' x2) = (00,0),(=,1) ou (00,00),estedes-

de que x2/xl+0. Aqui a vari~vel VI n~~ est~ vinculada ao va-*

lor crítico VI =0 à medida que T vai ~ara infinito. Entretan

to haver~ sempre a tendência de "puxa=w o sistema para o eixo

vI = O urna ve z que vi = v~ (e IvII .< 1) •

Neste ultimo caso não achamos ~onveniente classificar

o campo VI corno irrelevante j~ que ele s= pode assumir valores

diferentes de zero se v2 também se a=~5tar do seu valor críti-

co. Entretanto, irrelevante ou não, o fê~~ de ir a zero rapidamen

te nos permite usar o argumento delineac= após (111.26) resultan-

do:

CASO 1 - J1 = O, J2 > O, /).v2 = =--v2

Ç;2~1//).v2

= (1+2xl+x2) / (4xl,

(IV.lll)

70

CASO 2 - J1+ 2J 2 < O ,

= (1-+-2xl-+-x2)) (2 -+-2x2)

1Kl+2K21~ x = e1 nV.112)

Quanto aos expoentes criticos, as relaçoes (IV.108c) e

(IV.108d) sao ainda válidas mas apenas para p = 2 uma vez que sornen

te a variável v2 é relevante.

Se agora escrevermos as variáveis Z(4) em termos de va

." . dI' 7 .rlavelS e slng, l.e.,:

(IV.113)

a Hamiltoniana do modelo Z(4) pode ser escrita corno

(IV.114)

e quando J1 = O a transformação O"T + O" I fornece

(IV.115)

mostrando que o sistema se comporta corno um modelo de Ising na

variável di = S2. Portanto devemos esperar um comportamento críti-

co tipo Ising perto dos pontos onde que

pode ser confirmado através de (IV.lll).

Quando J2=O vemos que, de (IV.114) , ternos dois mode­

los de Ising não interagentes com constante de acoplamento igual

a Jl/2. O caminho termodinamico correspondente será definido por

71

p = 2, ou seja,

(IV .116)

o que implica em

(IV .117)

Note-se que se começarmos com um ponto sobre essa curva a trajetõ

ria (descontínua) descrita pela Hamiltoniana quando iteramos as

transformações de dedecoraç~o andará sobre tal curva, como é natu

ral uma vez que as transformações são exatas e n~o levam o Z(2)

Kla outros modelos. Também E;1~E;2~e. (de (IV.I08a) e (IV.I08b»

para J2 = O, como se espera para um modelo de Ising com constante

de acoplamento Jl/2.

Quando J2 + 00 (Xl = O), devemos ter

(IV.118)

pois seria preciso·uma quantidade infinita de energia para violar

tal condição. Nesse caso a Hamiltoniana (IV.114) pode ser escrita

H (J + 00) - -J1: 0i 0i+l2 - 1i

- -J

1: Ti Ti+l- 1 i

que é equivalente a um modelo de Ising. O caminho

(IV.119a)

(IV.119b)

termodinãmico

* * * *correspondente sai de (vI' v2) = (1,1) ou (vI' v2) = (-1,+1) e anda

sobre a reta v2 = 1 enquanto J2/T + 00. Quando J2/T + O o sistema* *imediatamente jogado em (VI' v2) = (0,0).

No caso Xl =x2 (modelo Potts), teremos

-e

vI = v2 = (1-xlJ(1+3x) (IV.120)

-2Konde x = e 1

-4K2 N 1 . -. - b= e • atura mente a traJetor~a estara so re o

caminho termodin~mico do Potts se o ponto inicial estiver

72

sobre

ele, como se pode ver das relaçbes de recorrência. Neste caso te-

remos

2Kl~1 ~ ~2 ~ e (IV .121)

Queremos tambªrn salientar que, como ocorreu no Z(3),

existem pontos de temperatura zero (( xl' x2) = (1, O) e xl = x2 = 00

i.e., (vl,v2) = (1/3, -1/3) e (v1,v2) = (-1/3, -1/3), respectivame~

te), que n~o s~o pontos fixos de transformaç~o. Podemos

isso elaborando um pouco mais o argumento apresentado

entender

no Z (3)

lembrando qUê X !!!! 1 ê qUê êm T!!!! O não ê prêciso se preocupar como

o fator de entropia, se olharmos por exemplo para (xl,x2) = (1,0)

veremos que nesse ponto as únicas configurações proibidas-

sao

vizinhos

aquelas em que vizinhos mais próximos estão orientados antiparale

lamente (pois x2=0) o que nao impede, entretanto, que

mais distantes, e.g. segundos, terceiros vizinhos, etc., se orien

tem dessa maneira. Assim um traço parcial que remova as variáveis

situadas entre tais spins (o que equivale a efetuar uma transfor-

mação de dedecoração com um valor apropriado de b) levará a um es

tado com x2 > O uma vez que o acoplamento efetivo entre as variá­

veis remanescentes favorece tal· configuração, tirando o sistema

do ponto onde x2=0. O mesmo argumento se aplica, com algumas mu-

danças ,a xl = x2 = 00 bem como a outras situações semelhantes

encontraremos mais adiante.

que

Finalmente queremos chamar a atenção para o seguinte

fato: existem caminhos termodinãmicos que, a TfO, cruzam a fron-

teira entre duas regiões, cada urna exibindo um tipo de comporta -

- - ( t)2mento para a funçao de correlaçao G2 (R) = lim N -+ 00 < SoSR > • Por

exemplo, para p >2 (ver equação (IV.I07», variando a temperatura* * * *

desde T = O (xl = x2 = O) até T = ro (xl = x2 = 1), os caminhos termodi-

n~micos cruzam a reta 1 - 2xl + x2 = O para algum valor fini toda

temperatura (ver figura IV.8). Portanto a funç~o de

73

correlaç~o

G2(R) passa de G2(R) = qv2pR para G2(R) = (-1)Rqv21)R (o que lem­

bra o modelo XY bidimensional onde também não há quebra espontâ -

nea de simetria mas existe uma transiç~o de fase devido a compor-

tamentos diferentes da funç~o de correlaç~o a baixas e altas tem-

peraturas) •

+1

FIG. IV.8 - Caminhos termodinamicos (CT) do

Z (4) para p > 2 cruzando a reta

1 - 2xl + x2 = O (onde G2 (R) = O) •

Entretanto, uma vez que o comprimento de correlaçãoper

manece finito (na verdade Ç2=O) no ponto de fronteira, não exis­

te correlação de longo alcance e portanto não há possibilidade de

transição de fase no sentido usual (com invariança por transforma

ções de escala, singularidades, expoentes críticos, etc.).

IV.5.4 - Z(5)

o espaço de parametros é bidimensional, corno no Z(4) ,

com pesos

[ 4n 2n ]x =exp -K (cos --1) - K (cos --1)

2 1 5 2 5

(IV.122a)

(IV.122b)

74

e variáveis VI e v2 dadas por

v =1

2TI 4TI

I + 2x1 cos 5 + 2x2 cos "5

1 + 2xI + 2x2

(IV.123a)

v =2

4TI

I + 2x1 cos 5" + 2x2

I + 2x1 + 2x2

cos2TI""5

(IV.123b)

As funções de correlaç~o se escrevem

GIO<,)= (vI)R

(IV.124a)

e G2 (R) = (v2)R

. (IV.124b)

Podemos obter a região fisica no espaço dos VIS (ver

figura IV.9) impondo Xl ,x2 ~ O.Os caminhos termodinâmicos 0-

bedecem a uma expressão do tipo x2 = xi (comparar com (IV.IO?)) on

de

(cos ~TI- I) +J2 (cos 2STI_ I)(IV.12S)

JI

p=

(cos 2STI- I) +J2 (cos 4; _ I)JI

e as regiOes ferro e antiferromagnéticas do Z(S) têm o mesmo aspec-

to das regi5es an~logas do Z(4). A diferença essencial, na verda-

de, entre esses dois casos, -reside no fato de que aqui, como no

Z(3), existem apenas dois pontos fixos qualquer que seja o valor* * * *

de b: (vI' v2) = (I,I) onde T = O e (vI' v2) = (O,O) onde T = 00 •

Não existem pontos fixos antiferromagnéticos com sime-

tria Z(5) pelas mesmas razões j~ discutidas anteriormente (ver por

exemplo o caso N = 3). Por outro lado o Z (S) não pode ser subdivi-

dido, ou seja, não existem pontos no espaço de parâmetros que cor

75

-1

FIG. IV.9 - Diagrama de fluxo do Z(5). Existem

apenas dois pontos fixos (pontos* * * *cheios): (vl,v2) = (1,1) e (vl,72)==(0,0). As linha de fluxo corres­

pondem a b = 2 e as regiões ferro e

antiferromagnéticas estão separa ­

das pelos eixos. Náo hã ponto.fixo

antiferromagnético.

respondem a sistemas com simetria Z (N), N < 5 (subsimetrias), o

que 2xplica o fato de não existirem outros pontos fixos (ferro e

antiferromagnéticos) associados a essas subsimetrias.* * * *

Perto de (vl,v2)= (1,1), Le., (xl,x2) = (0,0)

(ver caso geral):

1

e

ternos

(IV.125a)

1

76

(IV.125b)

com expoentes críticos obedecendo às relações (IV.62) e (IV.63)

para p = 1,2.

IV.5.5 - Z(6)

Neste caso ( e no Z(7) a seguir) vamos apenas identifi

car os pontos fixos existentes fazendo a devida associação com as

subsimetrias eventualmente englobadas pelo modelo. Cálculos no

sentido de determinar as divergências apresentadas pelos compri ­

mentos de correlação perto de um dado ponto fixo podem ser facil-

menteefetuados nos mesmos moldes dos casos anteriores; os expoen

tes críticos sempre obedecerão às relações (IV.62) e (IV.63) onde

p é o índice da variável relevante correspondente.

Para N = 6 o espaço de parâmetros é tridimensional com

pesos

Xl = expt [Kl/2 + JK2/2 + 2KJ ] }

x2 = expf ~~l + K2 J}

xJ = eXP{-2h+ KJ]}

e as variáveis v , p = 1,2 e 3 dadas porp

(IV.127a)

(IV.127b)

(IV.127c)

v =1

v =2

1 + xl - x2 - x3

1 + 2xl + 2x2 + x3

1- xl - x2 + x3

1 + 2xl + 2x2 + x3

(IV.128a)

(IV.128b)

v =3.1- 2xl -+- 2X2 - x3

1 + 2xl -+- 2x2 + x3

77

(IV.128c)

que se transformam como

As funções de correlação se escrevem

(IV.129)

e invertendo as relações (IV.128) podemos obter x (v):p

x =1

x =2

x =3

1 + vI - v2 - v3

1+2Vl+2V2+v3

l-Vl-V2+v3

1+2vl+fv2+v3

1 - 2v1 + 2v2 - v3

1+2vl+2v2+v3

(IV.13la)

(IV.13lb)

(IV.13lc)

Como sempre, impondo x > O encontramos a região físicap-

no espaço (vl,v2,v3) mostrada na Figura IV.lO onde nao .aparecem

os pontos fixos e linhas de fluxo para não sobrecarregar a figu -

ra.

Os pontos fixos, naturalmente, são os vértices e cen-

tros das faces do cub~ devendo ser considerados apenas aqueles

situados na região física. Tais pontos fixos estão relacionados

na tabela IV.2 juntamente com os pesos estatísticos corresponden~

tes; como anteriormente, a origem corresponde a T = co (inteiramen

te atrativo, como se po~e ver das relações de recorrência) e os

,\,,

""",

" ,,...•.• --...•.. ,' •.... ~

." "­

/' "­."../ ---,-~------- .".

FIG. IV.IO - Região fisica do Z(6) no espaço

(vl,v2,v3): os pontos interio­res ao tetraedro, bem como os

de sua superficie. Os pontos fi

xos (não indicados na figura

são os vértices'e centros das

faces do cubo, o qual está cen­

trado na origem das coordenadas.

78

79

TABELA IV.2

Pord:c~ fi~o~ no caso N~ b (vêr figura IV.10). O ponto* -r *(v1,·J::,v3) = (0,0,0) corresponde a T=oo e os restantesa T= O. Naturalmente rontos com coordenadas negativas

132 fixos ~<~ 2nas para valores ímpares de b.

*** ***

\Vl'V2'VJ~(Xl'X2'XJ~

(0,0,0)

(1,1,1)\

(1,1,1)

(0,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

(0,0,1)

(0,1,0)

(O f

,-I) (1) x =x =00x3/x2 -+ 003 1 '

(-1,+1,-1) (2)x3/x1-+00, x3/x2 -+ 00

---

Poderemos entender melhor o significado dos pontos fi­

xos da Tabela IV.2 se colocarmos? em cada ponto da rede urna vari~

vel Z(2) (cr = ±l) e urna variável Z(3) (~= ei27Tn/3 , n = 0,1,2). A

variável Z(6) pode então ser escrita em termos das variáveis Z(2)

e Z(3) conforme Tabela IV.3 abaixo.

(2) Aqui

80

TABELA IV.3

Variável Z(4) expressa em termos de variáveis

Z(2) e Z(3)

S 1 i:rr/3i27T/3i7Ti47T/3iS7T/3eeee e

c~

+1 i47T/3+ei27T/3-1

+ei47T/3i27T/3-e-e

l I

vê-se.então que:

S. = a. ~.]. ]. ].

o que permite escrever a Hamil toniana para N = 6 como

(IV.132)

H'= -J /21

- J /22

Vamos considerar os seguintes casos limites:

(IV.133)

a) J1 = J3 = O (Xl = x2' .x3 = 1); a Hamil toniana acima torna-se ana-

Ioga a um Potts Z(3) com variáveis v dadas porp

VI =v3=0

v2 = (2-2x)/ (2+4x)

(IV.134a)

(IV.134b)

L./-p.....~ -3K /2

onde\ e 2 (= Xl = x2). Existe um ponto fixo ferromagnético ,* * *

(vl,v2,v3) = (0,1,0) correspondente

xo antiferromagnético, como era de

a J > O, T = O; não há ponto fi2

se esperar.

81

b) J 1 = J2 = O (xl = x3 ' x2 = 1) i a Hamil toniana (IV .132) torna-se anã

Ioga a um il.Gdel0 de Ising com vari~veis v dadas porp

v =v =01 2

V 3 = (3- 3x) I (3+ 3x)

(IV.135a)

(IV.135b)

-[1\

de x = e 3 (=x1 = x2). Existe um ponto fixo ferromagnético1C *

2' v3) = (0,0,1)* *

v2 ' v3) = (0,0 ,-I)

onde J 3 > O, T = O

para J3 < O, T = O.

*(vI'*

e um antiferroma~nético, (VI '

c) J3 + 00 (xl = x3 = O); neste caso as variáveis Z(2) ficam congela ­

das (o-. 0-. +1 = +1) urna vez que seria necessário uma energia infini11-ta para virar um dado spin a .•1 Assim a Hamiltoniana (rV.132) se es

creve de maneir2 dn~loga a um Potts Z(3), ou seja:

As variáveis v ficamp

VI = v2 = (l-x)/(1+3x)

v -13-

(IV .136)

(IV.137a)

(IV.137b)

- ~ (K.+K2)onde x = e J.. (=x2). O ponto fixo ferromagnético (J1+J 2 > O,.* * * .T= O) tem coordenadas (vl,v2,v3) = (l,l,l) e não há ponto fixo anti

ferromagnético.

d) J2+oo (xl =X2=0)i agora as variáveis Z(3) é que se congelam

(l1i ~1+1 = +1) e ficamos com um modelo de Ising com Hamiltoniana

(IV .138)

82

e variáveis v dadas· porp

vI = v3 = (l-x)/ (1+x)

v = 12

(IV.139a)

(IV.139b)

-2 (Kl+K3)com x = e C=x3). Existe um ponto fixo ferromagnético com

.* * * .-coordenadas (vl,v2,v3) = (1,1,1) e um antiferromagnetico com coorde* * *nadas (vl,v2,v3) = (-1,+1,-1).

Naturalmente os pontos fixos não estão associados unica

mente aos modelos com subsimetrias; na verdade eles correspondem a

uma ampla gama de valores das constantes de acoplamento (entre os

quais se incluem os casos particulares acima) que descrevem o com-

portamento crítico do modelo mais geral com simetria global Z(6).

IV.5.6 - Z (7)-o espaço de parametros é tridimensional, como no Z(6) ,

com pesos

(IV.140)

p=1,2,3

e variáveis vI' v2 e v3 dadas por

vI -

2~ 4~ 6~1 + 2xl cos 7 + 2x2 COS T+ 2x3 COS 7

1 + 2xl + 2x2 + 2x3

(IV.14la)

v =21 + 2xl cos

4~ 6~ 2~7+ 2x2 COS T+ 2x3 COS T1 + 2xl + 2x2 + 2x3

(IV.14lb)

1 + 2x cos §~ + 2x cos ,?'IT + 2x cos _4'IT., 1 7 J2· 7 3 7v = ---------- ..- -------------

3 1 + 2x1 + 2x2 + 2x3

83

(IV.141c)

P. figura IV.l1 mostra a região física no espaço (v1,v2,v3).

o que quc~emos salientar é que a.qui exisLem apenas dois pontos* * *

fixos (como em N = 3 e N= 5): um ferromagnético, (v1,v2,v3)= (1,1,1)* * *onde T = O e um paramagnético, (VI ,v2' v3) = (O,O,O) onde T = 00 cor

* * * * * *re~'~ondendo, respectivamente, a (x1,x2,x3) = (0,0,0) e (x1,x2,x3)=

=(1,1,1). A não existência de outros pontos fixos pode ser enten­

dida através dos mesmos argumentos dados anteriorrrlente (ver Z(3)

e Z(5».

" ,I "I "I "I I. "-

/ . I "-'''"----------- ...• "-/ I 'I '7 ,I '1-.. . __ // ,.I', __//I I /

' , I I /I , I

I , I / / _/ 'J--I---r/ ,/ I // I / / ~// (/ / .,.,./ / / -

/ /, 1// ,./,.// /, I __/ / , 1 / _....

/ 'l. / ....-/ .~I' -".,.,./( .,.,.-/ "" .,.,.i'

FIG. IV.l1 - Região física do Z(7) no espaço (v1,v2,v3):pontos do interior e da superfície do tetraeÓ-o, Note-se que o ,lado inferior. desse te­traedro (que não pode ser visto) está conti

do no plãno 1+2Vl+2v2+2V3=O'definido pelosseg:rrentosda reta traçados na superfície docubo. Dessa maneira o tetraedro "toca" dita* * *superfície apenas no ponto (v1,v2,v3)=(1,1,1)

84

IV. 5 •7 - Pontos fixos para N > 7

Dos casos estudados podemos fazer algumas previsões a

respeito da existencia de pontos fixos para um dado N. Por exem-

pIo:

(1) o ponto fixo ferromagnetico {v} = {I} e o paramagnetico {v}={O}

existem sempre;

~2) valores primos de N possuem apenas os dois pontos fixos acima

(exceçâo feita a N=2 que, por ser par, admite ainda um ponto

fixo antiferromagnético associado a xN/2 = xl = 00 );

(3) existe sempre um ponto fixo (ou mais) associado a cada uma

das subsimetrias englobadas pelo modelo mais geral (para veri

ficar quais sao essas subsimetrias basta decompor N em

fatores primos);

seus

(4) modelos N-Potts escalares (N)2) nao possuem pontos fixos ant~

ferromagnéticos. Para N ímpar existem apenas os pontos fi-

xbs mencionados em (1) ie assim por diante.

IV.6 - Campos de escala nao lineares

Até agora estudamos a renormalizaçâo de parâmetros que

diferem pouco do seu valor no ponto fixo, o que trouxe como conse

quência previsões de escala que sâo válidas apenas na regiâo li-

near próxima daquele ponto. Nesta seção vamos fazer algumas dis-

cussões a respeito da introdução de termos nâo lineares nos cam­

pos de escala o que irá aumentar a regiâo de validade de tais pre

visões.

Vamos definir as variáveis

v.=l-v.J J

(IV.142)j=1,2 •• ·• N

85

em ~c~mos das quais as relaç6es de recorr~ncia t~m a seguinte ex

~ansão em série de Taylor

-2

_, _ . v.v j = bv. - b ( -I) -.lJ 2 ~

-3v.+ b (b-l) (b-2) -1

3 ~+ ....

,JDae

= ov. +J

'fi

L

n=2

1n~

-na. v.Jn J

(IV. 143)

a =jn

~:(b-n) ~

(IV.144)

Perto do ponto fixo ferromagnético {v}= {I} o termoÀ.

mais importante é o linear, cujo coeficiente é da forma b J (com

À. = 1), resul tado que já era de nosso conhecimento (também esperaJ -

do da propriedade de semi-grupo da teoria de grupos de renormali

zação). O que queremos é encontrar campos não lineares, que cha­

maremos g. (y.), os quais se reduzem a v. perto do ponto fixo e1 J 1que sob a ação do operador de grupo de renormalização se trans-

formam como

lR(g.)1 - (g~)1À.

= (b 19i) (IV .145)

com À. =1. Isso implica em que todas as previsoes de escala es­1critas em termos dos campos lineares v., podem ser escritas em1

termos dos g's fazendo a substituição v. 7g., com o que passam a1 1ser válidas para todos os valores dos campos g. e nao apenas nas1

proximidades do ponto fixo onde g. =0. Dada a simplicidade das1

relações de recorrência que, além de desacopladas estão escritas

em forma fechada, não é preciso ir muito longe para encontrar os

~ - bg's; tomando o logarltmo dessas relaçoes (lembrar que v~ = (v.) )1 1vem que

(IV.146)

86

e poderían,Qsconclui;resta seção neste ponto. Entretanto, J a que

es~-~os de posse dos campos não lineares escritos em forma fecha

a, o que não é comum, podemos testar os métodos de aproximação

conhecidos e que agem no sentido de determinar uma express~o em

série de potências para esses campos, expansão essa cUJa conver-

... - 5gencia nao pode, em geral, ser provada

o problema de corrigir as previsões de escala assintó

f . d 14 ~ . -_cas, 01 trata o por Wegner atraves da 1ntroduçao de termos

.lãolineares no~ campos de escala, termos esses que podem ser

obtidos se forem conhecidas as relações de recorrência (dadas em

forma diferencial) para os campos lineares. O método apresentado

por Wegner, no entanto, envolve derivadas, em relação a b, dos

coeficientes dos termos da expansão dessas relações, e uma vez

que os grupos de renormalização que vimos discutindo são defini-

dos apenas para valores discretos de b, não podemos utilizar es-

se procedimento. Em vez disso vamos recorrer a um método desen ­

volvido por Nelson e Fisher5, seguindo a linha geral de Wegner,

e adaptado para tratar grupos de renormalização discretos.

o método supõe conhecidas as relações de recorrência

diagonalizadas até primeira ordem, i.e.,

À.

h~=b Jh. +J J

00

L:

n=2

1n~ L:

I(n)(IV .14 7)

onde o multi-índice I(n) representa ili2 ...in e

hI (n) = hil hi2h.l n

(IV .14 8)

Supõe-se também que g. (h.) pode ser escrito da seguinJ. l -te maneira

00

9 . (h.) = h . + L:

J l J n=2

1n~ L:

I(n)(IV.149)

87

o que é bastante plausível uma vez que g. deve se reduzir a h.J' J

p~ ~~imeira ordem. Os coeficientes cJI(n) nio devem depender de

b, uma vez que g. (h.) independe desse fator. Formando o produtoJ J.

onde

(IV. 150)

+ •.• + À.J.n

(IV.15l)

podemos construir a combinaçio linear

12"

r c h'I (2) j I (2)! (2)

_ 1- 2"

r1(2)

que adicionada a (IV.147) fornece

(IV.152)

hj + ~ ;rf2) cjI(2) hjI(2)

=

À ~

[ -Âj ÀI(2)-À. ] J= b j hj+ ~ I f2) b 'ajI(2)+b J cjI(2) hI(2)

00

+L 1

L(3)

hI (n)(IV.153)n~ ajI (n)

n=3I(n)

onde a~i~3) vem da adiçio dos termos de terceira ordem

(IV.152) aos termos correspondentes em (IV.147).

Portanto, a quantidade

em

g~2) (h.) =h. + 12J J. J(IV.154)

satisfaz (IV.145) até segunda ordem se

88

(IV.155)

(3)

gj (hi)

Dessa maneira podemos gerar uma sequéncia g~2) (h,)J 1.

onde

,

. ·1·(n+1) _ (n) (h ) + r9j (hi) - gj i (n+l)~. I(n+1) CjI (n+l)hI (n+l)

(IV.156)

satisfaz (IV.145) até (n+l) ésima ordem desde que

c. = (n+l) (.À1ÀJI (n+l) ~jI (n+l) / b -·b I (n+l_)](IV .15 7)

Note-se que se em algum estigio ÀI(n)=Àj, o lado di­

reito da expressão para cjI(n) pode divergir. Não pretendemos nos

aprofundar nesse aspect~ do problema, mas queremos mencionar que

justamente nesse caso Wegner precisou introduzir correções loga-

rítmicas.

IV.6.l - Determinação dos campos não linearespara Z (N)

Evidentemente, o método apresentado acima é bastante

·geral para incluir casos em que as relações de recorrência estão

acopladas, como geralmente acontece; daí a necessidade de intro-

duzir o multi-índice I (n)para levar em conta termos do tipo h.h.,1. J

i~j (e de ordem mais alta) em (IV.147) e (IV.149). No nosso

caso as relações de recorrência não possuem termos desse tipo ,de ver que, como consequência ,

verdade, apenas de v. (ver porJ

cjI(2)' de (IV.155), é zero quando

(Jer equação (IV.142» e é ficil

... (n)-tambem os g. (v.) dependem, naJ 1.

exemplo g~2) em (IV.154) ondeJ

iFj).

89

Com isso osc~lculos ~icam bastante simples e fornecem

- - Ig.(v.)=v.+ -J J J 2

+ .•• (IV.158)

independente do fator de reescala espacial, como esperávamos.

Vemos que até a ordem calculada gj(v~) concorda com o

resultado exato (IV.146), o que comprova a eficiência do método

de Nelson e Fischer para a obtenção desses campos.

IV.7 - Conclusões e conjecturas

o que possibilitou analisar o modelo para N qualquer

foi, naturalmente, o fato de termos conseguido encontrar as vari~

veis vr= Àr/ÀN em termos das quais as transformações se expressam

de maneira trivial. Essa descoberta permitiu escrever as relações

de recorrência para b qualquer, o que por sua vez tornou possível

o estudo de pontos fixos antiferromagnéticos (nesse sentido b = 3

teria sido suficiente) e facilitou o trabalho de procura dos pon-

tos fixos do modelo (note-se que, em termos dos XiS as relações

de recorrência não deixam claro, à primeira vista, quais sao os

pontos fixos, mesmo para b = 2, como se pode ver de (IV.11) no ca­

so N = 4); devido à simplicidade das relações de recórrência foi

também possível obter uma expressão exata para a energia livre do

modelo (Apêndice D). Além disso, com os ViS, notamos que os casos

b = 2 e b = 3 (em geral, par e ímpar) cobrem todas as situações pos

síveis, i'.e., nenhum ponto fixo diferente aparecerá para b > 3. Tam

bém, a propriedade de semi grupo (111.14) da teoria de grupos de

renormalização pode ser provada neste tipo particular de transfor

mação (dedecoração) para os modelos Z(N). De fato:

(IV.159)-

90

Portanto

;;; V (b ~b~ ' )

= lR~+~' (v)

de onde podemos identificar

(IV.160)

b~+~ '

(IV.lbla)

(IV.161b)

~onde b~ = b ,.

De caráter mais geral, de (II.44) e (IV.146) vemos que

gr a: l/i;:r (IV.162)

o que podia ser previsto de antemão usando (III.37) para os cam-

pos g's; corno existe urna relação entre ç: e os auto valores da ma-

'd f - . 12 -l'd 1 I d'trlz e trans erenCla va 1 a para urna amp a c asse e slstemas,

podemos obter os auto valores de T a partir dos campos não linea-

res. Urna vez que estes últimos podem ser obtidos de urna maneira

natural pelo grupo de renormalização, ternos aqui urna forma de cal

cular os auto valores da matriz de transferência através da teo-

ria de grupos de renormalização, método este que talvez possa vir

a ser estendido a outros rrodelos.Note-se que os comprirrentosde correlação sao

sempre candidatos a campos não lineares. Isso porque o processo de redução do

número de graus de ,liberdade seguido de urra.mudança de escala.faz com que o com

prirrento de correlação do sistema.mude por um fator igual a b.

Também, a possibilidade de inclusão dos ternos proporcionais..a

parte imaginária de J na Harniltoniana (11.6) e/ou a adição de campos rnagnéti­m

cos externos ao sistema.,p:>derãoser abordados no futuro, o que fecharia o pro-

blernaem urradimensão.

AP~NDICE A

DIAGONALIZAÇÃO DE UMA MATRIZ C1CT,ICA N x N

Consideremos a 3atriz cíclica abaixo:

91

xxlx2·.....xN-2~-:lo

~-i

xxl

·....."N-3~-2e~-2

~-lXo ~-4 .~-3X = I

-I

(A.l)

x2x3x4·.....x

xlo

J

xl

~x3·.....~-lx

o

.A equação de au~o valores

XVk = Àk

Vk •(k=I,2, ••• ,N) (A.2)

com

(A. 3)

escreve-se explicitamente =omo

.+ xovN-l,k + xlvN,k = \ vN-I,k

(A.4)

92

Usando o seguinte 11 ansatz"

(A. S)

com

(A. 6)

e em seguida dividindo a primeira equação por vI,k' a segunda por

v2,k e assim por diante, as N equações do sistema ficam idênticas.

Para ver isso basta enumerar as linhas e as colunas da matriz X

de zero a N-I. Então a n-ésima equação do sistema (A.4) será, apÕs

a divisão por vn+l,k :

N-II:

m=O

~-·(h-nl)· .vm+l k-------,- =

vn+l,k

(A.7)

Como, de (A.6) ,

CXk = exp (27fikjN);

teremos, usando (A.S)

k=I,2, •••N (A.8)

ou

N-I [ ]Àk = I: . x _ exp{ 27fik(m-n)/N}m=O m n

(A.9a)

(A-9b)

Esta soma, evidentemente, independe de n e assim toman

do n = O teremos para os auto valores {Àk} e auto vetores· {Vk} cor

respondentes:

Àk =N-I

I:m=O

x exp{27fikm/N}m

(A.IOa)

onde

93

rV1kV~k

(A. 1Gb)

v, = • IK

I.

vNk

vnk = exp{ 21TlnkJN } (A..11)

Então a matriz U que diagona1iza. X mediante a transfor

- -1 .. 1 -maçao U X U tera elementos - v k onde v k sao dados por

YN n nN t U .• · t'" ..• t -1 do e-se que e un1. ar1.a, l.sto e, U = U on e

adjunta de U pois utu fornece

t 1N

t(u u) =-l:(u )* u

pq N n=lpn nq

1

l:u*1

l:27Ti(q-p)n/N

u Ne

N npnq

= Ô

pq

(A.II) •

ut é a

(A.12 )

Evidentemente o mesmo resultado é obtido para Uut de

onde se segue

-1 tU = u

Para o modelo Potts escalar (11.8) onde

(A.IDa) fica:

e:IKB T _ I + N Ô k , NÀ = ek

k=1,2, ••• , N

(A.13)

(A.14a)

(A.14b)

(A. 15)

94

APENDICE B

CÁLCULO DE FUNÇOES DE CORRELAÇÃO DO TIPO «SL S~,)r>

Basta generalizar algumas das expressões obtidas no

cálculo para r = 1. Por exemplo, (11. 29) se generaliza para

< (8L Sr,) r > =! Tr{TN-R Mt TR M_ }

onde agora

M± = L InL> exp [±27TirnL/N]<nL InL

Naturalmente (11.33) será escrita como

(B.I)

(B.2)

±27Tir(N-l)/Nu-l L_ U+e ~

(B.3)

e (11. 35) ,por sua vez,ficará

+

1Na-:-.

NLexp{27Tir(n-l)/N} u*. u .

1Jn=l

n1 nJ

(B.4)

Agora precisamos apenas de bNN onde B é a matriz

ÀRO •••••• O1

B=A 10

ÀROI A (B.5)+ .2

. .O

R

••••••••• ÀN

sendo os elementos das matrizes A± dados por (B.4). Portanto,

NL

k=l(B.6)

)

95

o cálculo dos elementos de matriz a~k e akN é imedia-

to;

+ . 1~k = N

N

L exp{2nir(n-l)/N} u*N U k1 n nTI;

. ,-,2.n,ir(N N 2n i (k+r) nJ~- ê . L: e- N n=l

- -2nir/N Ô (B.7a)- e k,N-r

e

N

a - 1 L: exp{-2nir(n-l)/N} u~k unNkN N n=l

2nir/N N -2ni(k+r)n/N= e L: eN n=l

2nir/N o (Bo7b)= e k,N-r o

Portanto ficamos com

Gr (R) = (ÀN-r/ÀN)R

(Bo8)

onde usamos ÀN = À , r = 1,2, o o N, -r r

96

TRNASFO&~ÇÃO DE DEDECORAÇAO COM b INTEIRO QUALQUER

Neste caso queremos remover b-l spins situados entre

gl e ~2 (figura !v.4). A !unç~o de partiç:o condicional, neste ca

50, assume a forma

= Ex(l)x

... xn02,n03•••no(b-l) jnl-n02j·InO2-nO3 II~-no (b-l)I

=

Ex(2)x

... xn03,n04·••nO(b-I) Inl-n031 jn03-n041In2-nO(b-I)I

= x (b-l)

. (C.I)

Inl-n21

Portanto, seguindo a mesma linha de raciocínio dos ca-

sos ,anteriores, concluímos que também ~b({K},nl,n2) depende ape­

nas da diferença Inl-n21 •

A generalização de (IV.34) é imediata

com

(C.2)

exp{C'+Ki + .••+K~ }N

exp{b (C + KI + ..• +K_) }N

(C.3)

e, de (C.2), vemos que possuímos um sistema com N+I equaçoes e

N + I incógnitas, como ,antes. Novamente, como ~b depende apenas da

diferença Inl-n21 = O,I, ..N, fazemos nl = O e variamos n2 desde O

97

ate N. Então (C.2) fica

(C.4)

Assim as relações de recorrencia em termos de XIS se

escrevem:

(c.5a)

e queremos tais relações em termos dos VIS. Para tanto vamos pro-

curar escrever a variável transformada VI, ou seja:r

_[N-l,..,..L

n=O ~ N-l

Xl exp(2rrinr/N)/ L. Xln n=O n

(C.6)

o numerador pode ser escrito como:

L xn exp{2rrin01r/N} L xln -n I exp{2rri(n02-n01)r/NL.n01 01 n02 01 02

L xI I expGrri(n -n ) -J. nO(b-2)-nO(b-l) L o (b-l) O(b-2)no (b-l)

~ xl'1l (b-ll-nl ex{21f+-'1l (b-ll J IN]

= (À )br· (c.7)

98

A soma no denominador é imediata (idêntica à do numera

dor mas sem a exponencial) e fornece O: xn)b = (ÀN)b • Portanto:

, r = 1,2 ••N . (C.8)

A transformação do termo constante representado por

ct>btambém não

Nl: (À )b ­

n=l n -

oferece dificuldades. Basta olhar para

N-l= l: l:

n lI].=O

••• I L

~

= N l:

lI]....

Ôl:m. ,O1.

= N l: x 'l: xIn:t In:t ~ I~ -lI]. I

(C.9)

Comparando com (C.l) (no caso nl = n2 = O) e consideran

do· que l: Àn =N (IV.31), podemos escrever, para ct>b:

n =1,2, •• ,N

(C.IO)

Esta expressão, ao lado. de (C.8), completa a busca das

relações de recorrência que estavamos procurando.

99

APt:NDICE D

ENERGIA LIVRE PARA Z(N)

Os cálculos são análogos àqueles que levaram à expres-

são da energia livre para o Z(4) •

•Uma expansao a altas temperaturas fornece, para a fun-

ção de partição:

(D .1)

onde usamos a Hamiltoniana (IV.2) para Z(N).

Iterando ~ vezes vem

e a energia livre fica

f (C ( ~) ,{ K ( $1,)}) ~ $l,n N + C ( $I,) + O ({ (K ( $1,)) 2 } )

Definindo

w ($I,) = exp [-N C ($I,) ]

podemos escrever

f(w($I,) ,{K($I,)}) ~-$I,n r(w($I,»l/N]L N

(D.2)

(D.3)

(D.4)

(D. 5)

Se usarmos a relação básica de recorrência para a ener

gia livre

(D.6)

notando que no lim $1,+00, K ($I,) + O, teremos

f (w (O) { (O)}) _ ' - ~ "[(W(~J")l/N ], X - -11m b R,n ---

R,-HX) N

Definindo

e usando (rv.43) vem que

100

(D.7)

(D.8)

(D.9)

Portanto as relações de recorrência (IV. 42a) e (IV.42b)

podem ser escritas da seguinte maneira:

u' = (D.10a)

bv' =vr r r=1,2, •• N (D.10b)

Iterando (D.10a) 9- vezes obtemos

(D.ll)

Novamente, como no lim ~+oo, {K(~) }+O, podemos escre ­

ver (D.7) em termos de u{~):

e afinal

f(w(O) ,{x(O)}) = -lim b-~ ~n u(~)~+oo

(D.12)

f (w(O),{x (O)}) = C (O) + KiO) + .•• + K~O) + ~n o: xn)N

(D.13)

onde usamos

e

lim,Q,+oo

~b -.Q, ,Q,n L: (v ( O) ) b = On

101

(D.14)

~ v = NJ rxn n (D.IS)

A expressão (D.13), válida para T f O, concorda com o

resultado exato do Capítulo 11.

102

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