JOÃO CARLOS MOREIRA · João Carlos Moreira { Um número inteiro a∉−1,0,1}, pode ser decomposto de modo único, a menos da ordem dos fatores, na forma: ±p1 n1p 2 n2⋯p i ni,

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

BANCO DE QUESTÕES Funções Polinomiais

JOÃO CARLOS MOREIRA

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO

2 Todos os direitos reservados

João Carlos Moreira

NÚMEROS REAIS: NÍVEL 1 Complete, usando a propriedade indicada e calculando a soma ou produto.

𝒂) (15)6 + (4)6 = + = ( )6 (Comutativa) 𝒃) (21)3 + ((12)3 + (10)3) = = + = ( )3 (Associativa) 𝒄) (125 + 76) + 27 = = + = (Associativa) 𝒅) (15)8 + (−7)8 = + = (Comutativa)

𝒆) (−15, 1̅) ∙ 7 = ∙ = (Comutativa)

𝒇) 23, 3̅ + (54, 21̅̅̅̅ + (−12, 534̅̅ ̅̅ ̅)) = = + = (Associativa)

𝒈) 23, 3̅ ∙ ((−54, 21̅̅̅̅ ) ∙ (−12, 534̅̅ ̅̅ ̅)) = = ∙ = (Associativa)

𝒉) √2 +1

3= + = (Comutativa)

Calcule os divisores de 1, 2, 18, 20 e 50. Determine o máximo divisor comum entre 1, 2, 18, 20 e 50. Calcule os múltiplos de 2, 3, 4 e 5. Determine o mínimo múltiplo comum entre 2, 3, 4 e 5. Determine quais elementos do conjunto dos trinta primeiros números naturais {1, 2, 3, … ,30} são primos ou compostos. Exercício 3 Elabore um esquema recursivo para testar se um número natural qualquer é primo. Decomponha em fatores primos os números:

a) 12; b) 120; c) 1246; d)13968.

Ordene os números reais -10, 2, 10

7, 5

3, √2 ,-√101 ,-2, 1 e -1, numa sequência

crescente.

NÚMEROS REAIS: NÍVEL 2 Mostre que os elementos neutros, com relação à adição e multiplicação, são únicos em (ℤ, +, ∙). Quem são eles? Mostre que os elementos simétrico e inverso, com relação à adição e multiplicação, são únicos em (ℤ, +) e (ℤ∗,∙) , respectivamente. Quem são eles?

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 1

Exercício 2




Mostre que a fórmula 𝑎 = 2 ∙ 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ, gera todos os números pares. Mostre que a soma e o produto de dois números pares é um número par. Mostre que a fórmula 𝑎 = 2 ∙ 𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ, gera todos os números ímpares. Mostre que a soma de dois números ímpares é um número par. Exercício 3 Mostre que o produto de dois números ímpares é um número ímpar. Mostre que se 𝑝2 é um número par então 𝑝 é um número par. Mostre que a soma de um número irracional com um racional é um número irracional.

Mostre que √𝑝, onde 𝑝 é um número primo, é um número irracional.

Mostre que 1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 3) + (2𝑛 − 1) = 𝑛2, ∀ 𝑛 ∈ ℕ.

(Desigualdade de Bernoulli) Mostre que (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥, ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑥 ≥ −1, 𝑥 ∈ ℝ.

Mostre que 𝑥𝑛 − 𝑥0

𝑛 = (𝑥 − 𝑥0)(𝑥𝑛−1 + 𝑥0𝑥

𝑛−2 +⋯+ 𝑥0𝑛−2𝑥 + 𝑥0

𝑛−1), ∀ 𝑛 ∈ ℕ.

Defina 𝑎 < 𝑏 e 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Prove que:

a) 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ+ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 ≤ 𝑏 ∙ 𝑐 b) 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ− ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 ≥ 𝑏 ∙ 𝑐 c) 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 , ∀ 𝑐 ∈ ℝ d) 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒 𝑏 ≤ 𝑐 ⇒ 𝑎 ≤ 𝑐 e) 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ≤ 𝑑 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑 f) 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒 0 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 ≤ 𝑏 ∙ 𝑑 g) 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎2 ≤ 𝑏2

h) 0 < 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 1

𝑏≤

1

𝑎

i) |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿, 𝛿 ∈ ℝ+∗ ⟺ 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 ⟺ 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿)

j) |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| k) |𝑥| − |𝑦| ≤ ||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦|

l) −|𝑥| ≤ 𝑥 ≤ |𝑥| m) |𝑥 ∙ 𝑦| = |𝑥| ∙ |𝑦| n) |𝑥 − 𝑧| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 − 𝑧|

Obs.: |𝑥| = { 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

= 𝑚𝑎𝑥 {𝑥, −𝑥}

Elabore um algoritmo para ordenar uma sequência finita de números reais.

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15




Um número inteiro a ∉ {−1, 0, 1}, pode ser decomposto de modo único, a menos da ordem dos fatores, na forma:

±p1n1p2

n2⋯pini ,

onde p1, p2, ⋯, pi são números primos e n1, n2, ⋯ , ni, i ∈ ℕ.

NÚMEROS REAIS: DEFINIÇÕES Defina números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Dê exemplos. Defina sequência de números reais. Dê exemplos. Defina limite de sequência de números reais. Dê exemplos.

NÚMEROS REAIS: PROPRIEDADES Enuncie as principais propriedades do conjunto dos números naturais, inteiros, racionais e reais. Dê exemplos.

LIMITES: DEFINIÇÕES Defina todos os conceitos de limites de função de uma variável real à valores reais. Interprete geometricamente os conceitos.

DERIVADAS: DEFINIÇÕES Defina todos os conceitos de derivadas de função de uma variável real à valores reais. Interprete geometricamente os conceitos.

INTEGRAIS: DEFINIÇÕES Defina todos os conceitos de integrais de função de uma variável real à valores reais. Interprete geometricamente os conceitos.

FUNÇÕES POLINOMIAIS: DEFINIÇÕES

Exercício 16

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 1

Exercício 1

Exercício 1

Exercício 1




Defina função polinomial de grau n de uma variável real à valores reais. Defina domínio de uma função polinomial de grau n de uma variável real à valores reais. Defina imagem de uma função polinomial de grau n de uma variável real à valores reais. Defina gráfico de uma função polinomial de grau n de uma variável real à valores reais.

LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 1 Assinale a alternativa que descreve o valor de lim

𝑥→23:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim

𝑥→1

2

2𝑥 − 1:

a) 2 b) -1

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.


𝑥→03𝑥2 − 4𝑥 + 1:

a) 1 b) 0 c) 3 d) -4 e) N.D.A.


𝑥→3−𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 12:

a) 12 b) 9 c) -9 d) 2 e) N.D.A.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4




Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1

−𝑥4 +3

2𝑥2 + 1:

a) 3

2

b) 1

12

c) 5

12

d) 11

2

e) N.D.A.

DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 1

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo 𝑓(𝑥) = 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈

ℝ:

a) 2 b) 3 c) 1 d) -1 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=−1

, sendo 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 +

1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ:

a) 10 b) 3 c) -10 d) -4 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=2

, sendo 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥2 −

4𝑥 + 12, ∀ 𝑥 ∈ ℝ:

a) 2 b) 3 c) -1 d) 12 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=−1

, sendo 𝑓(𝑥) = −𝑥4 +3

2𝑥2 +

Exercício 5

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5




1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ:

a) 2 b) -3 c) 1

d) 3

2

e) N.D.A.

INTEGRAIS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 1

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, sendo

𝑓(𝑥) = 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 = 1, 𝑏 = 2:

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) N.D.A.


𝑎, sendo

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 = −1, 𝑏 = 0:

a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) N.D.A.


𝑎, sendo

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 = 1, 𝑏 = 1:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝑎, sendo

𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 12, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 = −1, 𝑏 = 1:

a) -1

b) 76

3

c) 12

d) 1

2

e) N.D.A.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5





𝑎, sendo

𝑓(𝑥) = −𝑥4 +3

2𝑥2 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 = 0, 𝑏 = 1:

a) −1

10

b) 1

10

c) 3

10

d) 31

10

e) N.D.A.

IMAGEM DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 1 A imagem da função polinomial 𝑓(𝑥) = 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ é:

a) {2} b) 2 c) ℝ d) {ℝ} e) N.D.A.

A imagem da função polinomial 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, , ∀ 𝑥 ∈ ℝ é:

a) {2} b) 2 c) ℝ d) {ℝ} e) N.D.A.

A imagem da função polinomial 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ é:

a) ]−∞,−1

3]

b) [−1

3, +∞[

c) ℝ

d) [−1

3, 0]

e) N.D.A. A imagem da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 12, ∀ 𝑥 ∈ ℝ é:

a) (0,+∞) b) (−∞, 0) c) (−∞,+∞) d) {ℝ} e) N.D.A

A imagem da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 +3

2𝑥2 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ é:

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5




a) ]−∞,25

16]

b) [25

16, +∞[

c) ℝ

d) [−25

16, 0]

e) N.D.A.

GRÁFICO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 1 Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Exercício 3 Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 8, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 8, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 4𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 16




Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.



Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Exercício 17

Exercício 18

Exercício 19

Exercício 20

Exercício 21

Exercício 22

Exercício 23

Exercício 24

Exercício 25

Exercício 26

Exercício 27

Exercício 28

Exercício 29

Exercício 30

Exercício 31

Exercício 32

Exercício 33

Exercício 34






Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 +

139

256, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 − 8, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + (325√65+2587512

) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.


Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.


Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 11, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Exercício 35

Exercício 36

Exercício 37

Exercício 38

Exercício 39

Exercício 40

Exercício 41

Exercício 42

Exercício 43

Exercício 44

Exercício 45

Exercício 46

Exercício 47

Exercício 48

Exercício 49

Exercício 50

Exercício 51

Exercício 52




Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 4𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4,∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥2 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥2 + 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.



Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.



Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 3𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 − 1,∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Exercício 53

Exercício 54

Exercício 55

Exercício 56

Exercício 57

Exercício 58

Exercício 59

Exercício 60

Exercício 61

Exercício 62

Exercício 63

Exercício 64

Exercício 65

Exercício 66

Exercício 67

Exercício 68

Exercício 69

Exercício 70




Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 2,∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 −

139

256, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 + 8,∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.


Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − (325√65+2587

512) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.


Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.


Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥3 − 8𝑥2 + 5𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.


FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL 2 Mostre que o domínio de 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥

𝑖𝑛𝑖=0 é o conjunto dos números reais, ∀ 𝑛 ∈ ℕ.

Mostre que se 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖𝑛

𝑖=0 , então:

a) lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥0

+𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

b) lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = {+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0

c) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = {

+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 +∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0 𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0 𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟

Exercício 71

Exercício 72

Exercício 73

Exercício 74

Exercício 75

Exercício 76

Exercício 77

Exercício 78

Exercício 79

Exercício 80

Exercício 81

Exercício 1

Exercício 2




d) 𝑑𝑗𝑓

𝑑𝑥𝑗(𝑥) = {

∑ 𝑖(𝑖 − 1)… (𝑖 − (𝑗 − 1))𝑎𝑖𝑥𝑖−𝑗𝑛

𝑖=0 , 𝑗 ≤ 𝑛0, 𝑗 > 𝑛

e) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎∑

𝑎𝑖

𝑖+1𝑏𝑖+1 −𝑛

𝑖=0 ∑𝑎𝑖

𝑖+1𝑎𝑖+1𝑛

𝑖=0

f) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =+∞

𝑎{+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0

g) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

−∞{

−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0 𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0 𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

h) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =+∞

−∞

{

+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 −∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0 𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛−1 > 0 𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛−1 < 0 𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟0, 𝑠𝑒 𝑎𝑛−1 = 0, 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑛−1)−2𝑗 = 0, ∀ 𝑗 = 0,… , 𝑖, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 − 1 = 2𝑖

+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛−1 = 0, 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑛−1)−2𝑗 > 0 𝑠𝑒 ∃ 𝑗 = min{1,… , 𝑖}|𝑎(𝑛−1)−2𝑗 ≠ 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑛−1 = 0, 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑛−1)−2𝑗 < 0 𝑠𝑒 ∃ 𝑗 = min{1,… , 𝑖}|𝑎(𝑛−1)−2𝑗 ≠ 0

Obs.: 𝑆𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑛 − 1 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑑𝑎í 𝑛 − 1 = 2𝑖.

Determine a equação geral da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖𝑛

𝑖=0 , no

ponto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)).

Elabore um algoritmo para o estudo do sinal das funções polinomiais. Elabore um algoritmo para o estudo do crescimento e decrescimento das funções polinomiais e de seus possíveis pontos de máximo e mínimo locais. Elabore um algoritmo para o estudo da concavidade das funções polinomiais e de seus possíveis pontos de inflexão. Exercício 3 Elabore um algoritmo para determinar a imagem de uma função polinomial

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖𝑛

𝑖=0 . Faça um esboço geral do gráfico de uma função polinomial de grau par. Faça um esboço geral do gráfico de uma função polinomial de grau ímpar.

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

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JOÃO CARLOS MOREIRA · João Carlos Moreira { Um número inteiro a∉−1,0,1}, pode ser decomposto de modo único, a menos da ordem dos fatores, na forma: ±p1 n1p 2 n2⋯p i ni,