JOÃO CARLOS MOREIRA · 2017-09-30 · UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 3 LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL

JOÃO CARLOS MOREIRA Funções Polinomiais de várias variáveis reais

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO


Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 2

FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL I

Defina limite de uma função de várias variáveis reais à valores reais. Interprete geometricamente, quando possível, esse conceito.

Defina derivadas parciais, derivada direcional e derivada total de uma função de várias variáveis reais à valores reais. Interprete geometricamente, quando possível, esses conceitos.

Defina integral de Riemann de uma função de várias variá- veis reais à valores reais. Interprete geometricamente, quando possível, esse conceito.

Defina função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais. Dê exemplos. Defina domínio de uma função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais. Defina imagem de uma função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais. Defina gráfico de uma função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7



LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim𝑥→(2,6)

8:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim𝑥→(

1

2,1)2𝑥𝑦 − 1:

a) 2 b) -1

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→(0,1)

3𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 1:

a) 1 b) 0 c) 3 d) -4 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,−1,0)

𝑥3𝑧 + 𝑦𝑧2 − 4𝑥𝑦2 + 12:

a) 12 b) 8 c) -8 d) 2 e) N.D.A.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4




lim(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)→(1,2,…,𝑛)

𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛:

a) 1 b) 𝑛 c) 𝑛! d) 2 e) N.D.A.

DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Assinale a alternativa que descreve o valor de

𝜕𝑓

𝜕𝑥(1,0),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝑦(1,2),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 1:

a) 2 b) 3 c) 1 d) -1 e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝑧(1,0,1),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦𝑧 − 4𝑥𝑧2 + 1:

a) 8 b) 3 c) -8 d) -4

Exercício 5

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3



e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de

𝜕𝑓

𝜕𝑤(1,2,1,0),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = −𝑥3𝑦 + 2𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑧𝑤 + 12𝑥𝑤3:

a) 2 b) 3 c) -4 d) 12 e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛(1,1, … ,1),

sendo 𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛:

a) 2 b) -3 c) 1

d) 3

2

e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝑒2(1,0),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝒖(1,2),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 1, 𝒖 = (1,−1) ∶

a) 2 b) 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7



c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝒖(1,0,1),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦𝑧 − 4𝑥𝑧2 + 1 e 𝒖 = (−1,2,1):

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝒖(0,0,0,0),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = −𝑥3𝑦 + 2𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑧𝑤 + 12𝑥𝑤3 e 𝒖 = (−1,2,1,2):

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑓

𝜕𝑒𝑛(1,1, … ,1),

sendo 𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.

INTEGRAIS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Assinale a alternativa que descreve o valor de

∫ 2 + 𝑥𝑑𝑥1

0:

Exercício 1

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10



a) 5

2

b) 2

5

c) −5

2

d) −2

5


∫ ∫ 2𝑥𝑦 − 11

0𝑑𝑥𝑑𝑦

1

−1:

a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) N.D.A.


∫ ∫ 2𝑥𝑦 − 11

0𝑑𝑦𝑑𝑥

1

−1:

a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) N.D.A.


∫ ∫ ∫ 3𝑥2𝑦𝑧 − 4𝑥𝑧2 + 10

−1

1

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

0

−1:

a) 6

3

b) 7

12

c) 5

12

d) 1

2


∫ ∫ …∫ 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛1

0

1

0𝑑𝑥1𝑑𝑥2⋯𝑑𝑥𝑛

1

0:

a) 1

2

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5



b) (1

2)𝑛

c) 1 d) 0 e) N.D.A.

IMAGEM DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II A imagem da função polinomial

𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ é:

a) {2} b) 2 c) ℝ d) {ℝ} e) N.D.A.

A imagem da função polinomial

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 é:

a) {2} b) 2 c) ℝ d) {ℝ} e) N.D.A.


𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 é:

a) ]−∞,−1

3]

b) [−1

3, +∞[

c) ℝ

d) [−1

3, 0]

e) N.D.A. A imagem da função polinomial

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = 𝑥2 + 𝑦2+𝑧2, ∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ4 é:

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4



a) [0, +∞[ b) (−∞, 0) c) (−∞,+∞) d) {ℝ} e) N.D.A


𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛, ∀ (𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 é:

a) ]−∞, 1] b) [1, +∞[ c) ℝ d) [−1,0] e) N.D.A.

GRÁFICO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Antes de esboçar o gráfico das funções polinomiais abaixo, determine

caso existam, 𝐷(𝑓); os domínios de crescimento e decrescimento; os pontos e valores máximos e mínimos locais e globais; 𝐼𝑚(𝑓) ; os domínios onde a concavidade é voltada para baixo ou para cima, bem como os possíveis pontos de sela.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. 𝑓(𝑥) = −2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 − 3𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Exercício 3 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

Exercício 5

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7



𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 8, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑦2 + 4𝑦 − 8, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 4𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥2 − 3𝑦2 + 3𝑥 + 3𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦3 + 𝑦2 + 𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥3−𝑦3 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 16

Exercício 17

Exercício 18

Exercício 19

Exercício 20

Exercício 21



𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 − 5𝑦2 + 4, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 𝑥2 − 𝑦2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 + 𝑦3 + 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑥 + 𝑦, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

Exercício 22

Exercício 23

Exercício 24

Exercício 25

Exercício 26

Exercício 27

Exercício 28

Exercício 29

Exercício 30

Exercício 31

Exercício 32

Exercício 33

Exercício 34

Exercício 35



𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 3𝑥3 + 3𝑦3 + 4𝑥2 + 4𝑦2 + 3𝑥 + 3𝑦 + 1,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 .

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 + 5𝑦3 + 6𝑦2 − 4𝑦 +

139

256, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 − 8, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 − 4𝑥2 − 4𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + (325√65+2587512

) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 − 𝑦3 − 𝑦 + 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

Exercício 36

Exercício 37

Exercício 38

Exercício 39

Exercício 40

Exercício 41

Exercício 42

Exercício 43

Exercício 44

Exercício 45

Exercício 46

Exercício 47

Exercício 48

Exercício 49



𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 − 4𝑥2 − 4𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 + 11, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 + 4𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥2 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 5𝑦2 + 4, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4−𝑦4 + 2𝑥2 + 2𝑦2 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥2 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 2𝑦3 − 2𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4−𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑥 + 𝑦, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

Exercício 50

Exercício 51

Exercício 53

Exercício 54

Exercício 55

Exercício 56

Exercício 57

Exercício 58

Exercício 59

Exercício 60

Exercício 61

Exercício 62

Exercício 63

Exercício 52



𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 3𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 − 1,∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥) = −𝑥4−𝑦4 − 𝑥3 − 𝑦3 + 𝑥 + 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 2,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 −

139

256, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 − 5𝑦3 − 6𝑦2 + 4𝑦 + 8,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4−𝑦4 − 𝑥3 − 𝑦3 + 4𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 − 11, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − (325√65+2587

512) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

Exercício 64

Exercício 65

Exercício 66

Exercício 67

Exercício 68

Exercício 69

Exercício 70

Exercício 71

Exercício 72

Exercício 73

Exercício 74

Exercício 75

Exercício 76

Exercício 77



𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 𝑦3 + 𝑦 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥3 − 8𝑥2 + 5𝑥 − 1,∀ 𝑥 ∈ ℝ.

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 − 𝑦4 − 𝑥3 − 𝑦3 + 4𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 − 11, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.

FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL III Mostre que o domínio de

𝑓(𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1

𝑖1 ∙ 𝑥2𝑖2 ⋯𝑥𝑛

𝑖𝑛𝑚𝑛𝑖𝑛=0

𝑚2𝑖2=0

𝑚1𝑖1=0

é o conjunto ℝ𝑛 . Mostre que se

𝑓(𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1𝑖1 ∙ 𝑥2

𝑖2 ⋯𝑥𝑛𝑖𝑛𝑚𝑛

𝑖𝑛=0

𝑚2𝑖2=0

𝑚1𝑖1=0

,

∑ 𝑚𝑖 = 𝑚,𝑛𝑖=1 então:

a) lim(𝑥1,𝑥2…,𝑥𝑛)→(𝑥1

0,𝑥20,…,𝑥𝑛

0)𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1

0, 𝑥20, … , 𝑥𝑛

0)

b) lim𝑥1→+∞

𝑓(𝑥1) = {+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0

c) lim𝑥1→−∞

𝑓(𝑥1) = {

+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 +∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟

d) 𝜕𝑗𝑓

𝜕𝑥𝑙𝑗(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) =

{∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑖𝑙(𝑖𝑙 − 1)…(𝑖𝑙 − (𝑗 − 1))𝑥1

𝑖1⋯𝑥𝑙𝑖𝑙−𝑗⋯𝑥𝑛

𝑖𝑛𝑚𝑛𝑖𝑛=0

𝑚2𝑖2=0

𝑚1𝑖1=0

, 𝑗 ≤ 𝑚𝑙

0, 𝑗 > 𝑚𝑙

e) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =𝑏

𝑎∑

𝑎𝑖

𝑖+1𝑏𝑖+1 −𝑛

𝑖=0 ∑𝑎𝑖

𝑖+1𝑎𝑖+1𝑛

𝑖=0

f) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =+∞

𝑎{+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 78

Exercício 79

Exercício 80

Exercício 81



g) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =𝑏

−∞{

−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

h) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =+∞

−∞

{

+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 𝑝𝑎𝑟 −∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 > 0 𝑒 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 < 0 𝑒 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟0, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 = 0, 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑚−1)−2𝑗 = 0, ∀ 𝑗 = 0,… , 𝑖, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 − 1 = 2𝑖

+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 = 0, 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑚−1)−2𝑗 > 0 𝑠𝑒 ∃ 𝑗 = min{1, … , 𝑖}|𝑎(𝑚−1)−2𝑗 ≠ 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 = 0, 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑚−1)−2𝑗 < 0 𝑠𝑒 ∃ 𝑗 = min{1, … , 𝑖}|𝑎(𝑚−1)−2𝑗 ≠ 0

Obs.: 𝑆𝑒 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑚 − 1 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑑𝑎í 𝑚 − 1 = 2𝑖. Determine a equação geral do plano tangente ao gráfico de

𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1𝑖1 ∙ 𝑥2


𝑖𝑛=0

𝑚2𝑖2=0

𝑚1𝑖1=0

,

∑ 𝑚𝑖 = 𝑚,𝑛𝑖=1 no ponto ((𝑥1

0, 𝑥20, … , 𝑥𝑛

0), 𝑓((𝑥10, 𝑥2

0, … , 𝑥𝑛0))).

Elabore um algoritmo para o estudo do sinal das funções polinomiais. Elabore um algoritmo para o estudo do crescimento e decrescimento das funções polinomiais e de seus possíveis pontos de máximo e mínimo locais. Elabore um algoritmo para o estudo da concavidade das fun- ções polinomiais e de seus possíveis pontos de sela. Exercício 3 Elabore um algoritmo para determinar a imagem de uma função polinomial

𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1𝑖1 ∙ 𝑥2


𝑖𝑛=0

𝑚2𝑖2=0

𝑚1𝑖1=0

, ∑ 𝑚𝑖 = 𝑚.𝑛𝑖=1

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7



Faça um esboço geral do gráfico de uma função polinomial de grau par, quando possível. Faça um esboço geral do gráfico de uma função polinomial de grau ímpar, quando possível.

Exercício 8

Exercício 9



COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp – São José do Rio Preto, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é análise aplicada. Fundou em 2014 a primeira escola de cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA Funções Polinomiais de várias variáveis reais

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