JOÃO CARLOS MOREIRA Funções Polinomiais de várias variáveis reais
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL I
Defina limite de uma função de várias variáveis reais à va- lores reais. Interprete geometricamente, quando possível, esse conceito.
Defina derivadas parciais, derivada direcional e derivada total de uma função de várias variáveis reais à valores reais. Interprete geometricamente, quando possível, esses conceitos.
Defina integral de Riemann de uma função de várias variá- veis reais à valores reais. Interprete geometricamente, quando possível, esse conceito.
Defina função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais. Dê exemplos. Defina domínio de uma função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais. Defina imagem de uma função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais. Defina gráfico de uma função polinomial de grau m de n variáveis reais à valores reais.
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
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LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→(2,6)
8:
a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→(
1
2,1)2𝑥𝑦 − 1:
a) 2 b) -1
c) 1
2
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→(0,1)
3𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 1:
a) 1 b) 0 c) 3 d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,−1,0)
𝑥3𝑧 + 𝑦𝑧2 − 4𝑥𝑦2 + 12:
a) 12 b) 8 c) -8 d) 2 e) N.D.A.
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
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Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)→(1,2,…,𝑛)
𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛:
a) 1 b) 𝑛 c) 𝑛! d) 2 e) N.D.A.
DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝑥(1,0),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝑦(1,2),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 1:
a) 2 b) 3 c) 1 d) -1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝑧(1,0,1),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦𝑧 − 4𝑥𝑧2 + 1:
a) 8 b) 3 c) -8 d) -4
Exercício 5
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
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e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝑤(1,2,1,0),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = −𝑥3𝑦 + 2𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑧𝑤 + 12𝑥𝑤3:
a) 2 b) 3 c) -4 d) 12 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛(1,1, … ,1),
sendo 𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛:
a) 2 b) -3 c) 1
d) 3
2
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝑒2(1,0),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝒖(1,2),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 1, 𝒖 = (1,−1) ∶
a) 2 b) 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
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c) 1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝒖(1,0,1),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦𝑧 − 4𝑥𝑧2 + 1 e 𝒖 = (−1,2,1):
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝒖(0,0,0,0),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = −𝑥3𝑦 + 2𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑧𝑤 + 12𝑥𝑤3 e 𝒖 = (−1,2,1,2):
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
𝜕𝑓
𝜕𝑒𝑛(1,1, … ,1),
sendo 𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
INTEGRAIS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ 2 + 𝑥𝑑𝑥1
0:
Exercício 1
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
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a) 5
2
b) 2
5
c) −5
2
d) −2
5
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ 2𝑥𝑦 − 11
0𝑑𝑥𝑑𝑦
1
−1:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ 2𝑥𝑦 − 11
0𝑑𝑦𝑑𝑥
1
−1:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫ 3𝑥2𝑦𝑧 − 4𝑥𝑧2 + 10
−1
1
0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
0
−1:
a) 6
3
b) 7
12
c) 5
12
d) 1
2
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ …∫ 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛1
0
1
0𝑑𝑥1𝑑𝑥2⋯𝑑𝑥𝑛
1
0:
a) 1
2
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
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b) (1
2)𝑛
c) 1 d) 0 e) N.D.A.
IMAGEM DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II A imagem da função polinomial
𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ é:
a) {2} b) 2 c) ℝ d) {ℝ} e) N.D.A.
A imagem da função polinomial
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 é:
a) {2} b) 2 c) ℝ d) {ℝ} e) N.D.A.
A imagem da função polinomial
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 é:
a) ]−∞,−1
3]
b) [−1
3, +∞[
c) ℝ
d) [−1
3, 0]
e) N.D.A. A imagem da função polinomial
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = 𝑥2 + 𝑦2+𝑧2, ∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ4 é:
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
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a) [0, +∞[ b) (−∞, 0) c) (−∞,+∞) d) {ℝ} e) N.D.A
A imagem da função polinomial
𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛, ∀ (𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 é:
a) ]−∞, 1] b) [1, +∞[ c) ℝ d) [−1,0] e) N.D.A.
GRÁFICO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL II Antes de esboçar o gráfico das funções polinomiais abaixo, determine
caso existam, 𝐷(𝑓); os domínios de crescimento e decrescimento; os pontos e valores máximos e mínimos locais e globais; 𝐼𝑚(𝑓) ; os domínios onde a concavidade é voltada para baixo ou para cima, bem como os possíveis pontos de sela.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. 𝑓(𝑥) = −2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 − 3𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Exercício 3 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
Exercício 5
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
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𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 8, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑦2 + 4𝑦 − 8, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 4𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥2 − 3𝑦2 + 3𝑥 + 3𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦3 + 𝑦2 + 𝑦 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥3−𝑦3 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 12
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 15
Exercício 16
Exercício 17
Exercício 18
Exercício 19
Exercício 20
Exercício 21
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𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 − 5𝑦2 + 4, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 𝑥2 − 𝑦2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 + 𝑦3 + 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑥 + 𝑦, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
Exercício 22
Exercício 23
Exercício 24
Exercício 25
Exercício 26
Exercício 27
Exercício 28
Exercício 29
Exercício 30
Exercício 31
Exercício 32
Exercício 33
Exercício 34
Exercício 35
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𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 3𝑥3 + 3𝑦3 + 4𝑥2 + 4𝑦2 + 3𝑥 + 3𝑦 + 1,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 .
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 + 5𝑦3 + 6𝑦2 − 4𝑦 +
139
256, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 − 8, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 − 4𝑥2 − 4𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + (325√65+2587512
) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥 + 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4 − 𝑦3 − 𝑦 + 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
Exercício 36
Exercício 37
Exercício 38
Exercício 39
Exercício 40
Exercício 41
Exercício 42
Exercício 43
Exercício 44
Exercício 45
Exercício 46
Exercício 47
Exercício 48
Exercício 49
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𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 − 4𝑥2 − 4𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 + 11, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 + 4𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥2 − 4, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 5𝑦2 + 4, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4−𝑦4 + 2𝑥2 + 2𝑦2 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥2 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 2𝑦3 − 2𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4−𝑦4 + 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑥 + 𝑦, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
Exercício 50
Exercício 51
Exercício 53
Exercício 54
Exercício 55
Exercício 56
Exercício 57
Exercício 58
Exercício 59
Exercício 60
Exercício 61
Exercício 62
Exercício 63
Exercício 52
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𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 3𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 − 1,∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥) = −𝑥4−𝑦4 − 𝑥3 − 𝑦3 + 𝑥 + 𝑦 + 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 2,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 −
139
256, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 − 5𝑦3 − 6𝑦2 + 4𝑦 + 8,∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4−𝑦4 − 𝑥3 − 𝑦3 + 4𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 − 11, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − (325√65+2587
512) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 1, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
Exercício 64
Exercício 65
Exercício 66
Exercício 67
Exercício 68
Exercício 69
Exercício 70
Exercício 71
Exercício 72
Exercício 73
Exercício 74
Exercício 75
Exercício 76
Exercício 77
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𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 − 2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦4 + 𝑦3 + 𝑦 − 2, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥3 − 8𝑥2 + 5𝑥 − 1,∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥4 − 𝑦4 − 𝑥3 − 𝑦3 + 4𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 − 11, ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2.
FUNÇÕES POLINOMIAIS: NÍVEL III Mostre que o domínio de
𝑓(𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1
𝑖1 ∙ 𝑥2𝑖2 ⋯𝑥𝑛
𝑖𝑛𝑚𝑛𝑖𝑛=0
𝑚2𝑖2=0
𝑚1𝑖1=0
é o conjunto ℝ𝑛 . Mostre que se
𝑓(𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1𝑖1 ∙ 𝑥2
𝑖2 ⋯𝑥𝑛𝑖𝑛𝑚𝑛
𝑖𝑛=0
𝑚2𝑖2=0
𝑚1𝑖1=0
,
∑ 𝑚𝑖 = 𝑚,𝑛𝑖=1 então:
a) lim(𝑥1,𝑥2…,𝑥𝑛)→(𝑥1
0,𝑥20,…,𝑥𝑛
0)𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1
0, 𝑥20, … , 𝑥𝑛
0)
b) lim𝑥1→+∞
𝑓(𝑥1) = {+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0
c) lim𝑥1→−∞
𝑓(𝑥1) = {
+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 +∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟
d) 𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑙𝑗(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) =
{∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑖𝑙(𝑖𝑙 − 1)…(𝑖𝑙 − (𝑗 − 1))𝑥1
𝑖1⋯𝑥𝑙𝑖𝑙−𝑗⋯𝑥𝑛
𝑖𝑛𝑚𝑛𝑖𝑛=0
𝑚2𝑖2=0
𝑚1𝑖1=0
, 𝑗 ≤ 𝑚𝑙
0, 𝑗 > 𝑚𝑙
e) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =𝑏
𝑎∑
𝑎𝑖
𝑖+1𝑏𝑖+1 −𝑛
𝑖=0 ∑𝑎𝑖
𝑖+1𝑎𝑖+1𝑛
𝑖=0
f) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =+∞
𝑎{+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 78
Exercício 79
Exercício 80
Exercício 81
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g) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =𝑏
−∞{
−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
h) ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1 =+∞
−∞
{
+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 > 0 𝑒 𝑚 𝑝𝑎𝑟 −∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚 < 0 𝑒 𝑚 𝑝𝑎𝑟+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 > 0 𝑒 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 < 0 𝑒 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟0, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 = 0, 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑚−1)−2𝑗 = 0, ∀ 𝑗 = 0,… , 𝑖, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 − 1 = 2𝑖
+∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 = 0, 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑚−1)−2𝑗 > 0 𝑠𝑒 ∃ 𝑗 = min{1, … , 𝑖}|𝑎(𝑚−1)−2𝑗 ≠ 0
−∞, 𝑠𝑒 𝑎𝑚−1 = 0, 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎(𝑚−1)−2𝑗 < 0 𝑠𝑒 ∃ 𝑗 = min{1, … , 𝑖}|𝑎(𝑚−1)−2𝑗 ≠ 0
Obs.: 𝑆𝑒 𝑚 í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑚 − 1 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑑𝑎í 𝑚 − 1 = 2𝑖. Determine a equação geral do plano tangente ao gráfico de
𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1𝑖1 ∙ 𝑥2
𝑖2 ⋯𝑥𝑛𝑖𝑛𝑚𝑛
𝑖𝑛=0
𝑚2𝑖2=0
𝑚1𝑖1=0
,
∑ 𝑚𝑖 = 𝑚,𝑛𝑖=1 no ponto ((𝑥1
0, 𝑥20, … , 𝑥𝑛
0), 𝑓((𝑥10, 𝑥2
0, … , 𝑥𝑛0))).
Elabore um algoritmo para o estudo do sinal das funções po- linomiais. Elabore um algoritmo para o estudo do crescimento e decres- cimento das funções polinomiais e de seus possíveis pontos de máximo e mínimo locais. Elabore um algoritmo para o estudo da concavidade das fun- ções polinomiais e de seus possíveis pontos de sela. Exercício 3 Elabore um algoritmo para determinar a imagem de uma função polinomial
𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥1𝑖1 ∙ 𝑥2
𝑖2 ⋯𝑥𝑛𝑖𝑛𝑚𝑛
𝑖𝑛=0
𝑚2𝑖2=0
𝑚1𝑖1=0
, ∑ 𝑚𝑖 = 𝑚.𝑛𝑖=1
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
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Faça um esboço geral do gráfico de uma função polinomial de grau par, quando possível. Faça um esboço geral do gráfico de uma função polinomial de grau ímpar, quando possível.
Exercício 8
Exercício 9
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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp – São José do Rio Preto, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é análise aplicada. Fundou em 2014 a primeira escola de cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.
JOÃO CARLOS MOREIRA Funções Polinomiais de várias variáveis reais