JOÃO CARLOS MOREIRA · Direitos reservados, 2016 por João Carlos Moreira Página 2 DEFINIÇÕES Defina função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina domínio

JOÃO CARLOS MOREIRA FUNÇÕES RACIONAIS DE VÁRIAS

VARIÁVEIS REAIS

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO


Direitos reservados, 2016 por João Carlos Moreira Página 2

DEFINIÇÕES Defina função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina domínio de uma função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina imagem de uma função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina gráfico de uma função racional de várias variáveis reais à valores reais. Sendo 𝑓(𝑥) uma função racional de várias variáveis reais à valores reais, defina lim

𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) = 𝐿.

Sendo 𝑓(𝑥) função racional de várias variáveis reais à valores reais, defina:

a) (𝜕𝑛𝑓

𝜕𝑥𝑛)|𝑥=𝑥0

, ∀ 𝑛 ∈ ℕ;

b) (𝜕𝑛𝑓

𝜕𝑥𝑛) (𝑥), ∀ 𝑛 ∈ ℕ;

c) (𝜕𝑓

𝜕𝑢)|𝑥=𝑥0

, ∀ 𝑢 ∈ ℝ𝑛;

d) ∇𝑓(𝑥0) e 𝐻(𝑓)(𝑥0). Sendo 𝑓(𝑥) uma função racional de várias variáveis reais à

valores reais, defina ∫ ∫…∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥B

, sendo 𝐵 = [𝑎1, 𝑏1] × …× [𝑎𝑛, 𝑏𝑛].

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7



a) Sendo 𝑓(𝑥) uma função racional de várias variáveis reais à valores reais, defina:

a) plano tangente e reta normal ao gráfico de 𝑓(𝑥) no ponto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)); b) ponto de máximo local e global de 𝑓(𝑥); c) ponto de mínimo local e global de 𝑓(𝑥); d) ponto de sela de 𝑓(𝑥).

LIMITES : NÍVEL I N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores

Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim(𝑥,𝑦)→(−2,1)

𝑥+1

−2𝑥+3:

a) −1

14

b) 2

14

c) 1

14

d) −2

14

e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

2𝑥+𝑦

−2𝑥+3𝑦:

a) ∄ b) +∞ c) −∞ d) −1 e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

−2𝑥−𝑦

6𝑥+3𝑦:

a) ∄ b) +∞ c) −∞

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 8

Exercício 3



d) −3 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→(0,0)

𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2:

a) −1

2

b) ∄ c) +∞ d) −∞ e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→(0,0)

𝑥2−𝑦2

𝑥+𝑦:

a) 0 b) ∄ c) +∞ d) −∞ e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(

1

2,1)

2𝑥−1

4𝑥2−1:

a) −1 b) 4

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(2,1)

𝑥𝑦3−𝑥

𝑦−1:

a) −1 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.D.A.

Exercício 6

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 7




lim(𝑥,𝑦)→(1,0)

𝑥𝑦+2𝑥−𝑦−2

𝑥𝑦+3𝑥−𝑦−3:

a) −2

3

b) 2

3

c) −3

2

d) 3

2

e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,−1,1)

𝑥2𝑦𝑧

𝑥+2:

a) 1

3

b) −1

3

c) 0 d) −1 e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)

𝑥2𝑦𝑧

𝑥2+𝑦2+𝑧2:

a) 1

3

b) −1

3

c) 0 d) −1 e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)→(0,0,0,0)

𝑦2𝑧(1+𝑥)𝑤

𝑥2+𝑦2+𝑧2+𝑤2:

a) 1

3

b) −1

3

c) 0 d) −1 e) N.D.A.

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 8

Exercício 11



Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞

2𝑥−1

4𝑥2−1:

a) −1 b) 4

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞

2𝑥−1

4𝑥2−1:

a) −1 b) 4

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+

𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−

𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞

Exercício 14

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 15

Exercício 16



d) 0 e) N.D.A.


𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞

Exercício 18

Exercício 19

Exercício 17

Exercício 20

Exercício 21



b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞

Exercício 22

Exercício 23

Exercício 25

Exercício 24



b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞

Exercício 26

Exercício 27

Exercício 28

Exercício 29



b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1+

3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2

e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1−

3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2

e) N.D.A.


3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2

e) N.D.A.


3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2

e) N.D.A.

Exercício 30

Exercício 31

Exercício 32

Exercício 33




−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 2 d) −2 e) N.D.A.


−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 2 d) −2 e) N.D.A.


−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 0 d) −3 e) N.D.A.


−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 3 d) 0 e) N.D.A.


1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

4

d) -1

4

Exercício 34

Exercício 35

Exercício 36

Exercício 37

Exercício 38



e) N.D.A.


1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

3

d) -1

3

e) N.D.A.


1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞ c) 0

d) -1

3

e) N.D.A.


1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

3

d) 0 e) N.D.A.


1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

3

d) -1

3

e) N.D.A.


1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

Exercício 39

Exercício 40

Exercício 41

Exercício 42

Exercício 43



a) −∞ b) +∞

c) 1

3

d) -1

3


lim𝑥→+∞

1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.

Exercício 46

Exercício 47

Exercício 44

Exercício 45




−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞

Exercício 48

Exercício 49

Exercício 50

Exercício 51

Exercício 52



d) 0 e) N.D.A.


𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞

Exercício 53

Exercício 54

Exercício 55

Exercício 56

Exercício 57



b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞

Exercício 58

Exercício 59

Exercício 60

Exercício 61



b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.

DERIVADAS : NÍVEL I

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓

𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(1,0)

,

sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥 + 1

−2𝑥 + 3:

a) -2 b) 3 c) 1 d) 5 e) N.D.A.


𝜕𝑦|(𝑥,𝑦)=(0,0)

,

sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) =2𝑦 − 1

4𝑦2 − 1:

a) -2 b) 3 c) 1 d) 5 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∇𝑓(−1,−1), sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥 + 1

𝑥2 + 𝑥 − 2−

𝑦 + 1

𝑦2 + 𝑦 − 2:

a) (−1

2,1

2)

b) (−1

4,1

4)

c) (−1

3,1

3)

d) (−1

5,1

5)

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3



e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de ∂f

∂u(2,2),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−1

𝑥+2+

𝑦2−1

𝑦+2 𝑒 𝑢 = (1,0):

a) 12

15

b) 13

16

c) 11

16

d) 11

15

e) N.D.A.


𝜕𝑢|(𝑥,𝑦)=(−1,2)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2 𝑒 𝑢 = (1, −2):

a) 1

2

b) 1

4

c) 1

3

d) 1

5

e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo

𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) 5

2

b) 5

4

c) 5

3

d) 1

3

e) N.D.A.


𝜕𝑦|(𝑥,𝑦)=(0,0)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑦2+1

𝑦4−𝑦3−3𝑦2+5𝑦−2:

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7



a) −5

2

b) −5

4

c) −5

3

d) −1

3

e) N.D.A.


𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,0)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =3𝑥

𝑦2+1:

a) 3 b) −3 c) 0 d) −2 e) N.D.A.


𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,1)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−2𝑦

𝑥2+𝑥+1:

a) −2 b) 2 c) 0 d) 1 e) N.D.A.


𝜕𝑢|(𝑥,𝑦,𝑧)=(0,1,1)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑦𝑧

𝑥4+2𝑥2+1 e 𝑢 = (0,1,0):

a) −1 b) 1

c) 1

2

d) −1

2

e) N.D.A.

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10




𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(−1,0)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦+1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) −2

8

b) 2

8

c) 3

8

d) −3

8

e) N.D.A.


𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,1)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑥2+𝑥−1

𝑦𝑥−𝑦:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑦|(𝑥,𝑦)=(0,1)

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦2−𝑦+1

𝑦−1(2𝑥 + 1):

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,1)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑦 − 1)𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 11



a) -2 b) -3 c) -1 d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(1,1)

,

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑦𝑥−𝑦:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.

INTEGRAIS : NÍVEL 1 Assinale a alternativa que descreve o valor de

∫ ∫𝑥 + 1

−2𝑥 + 3

1

0

𝑑𝑥2

1

𝑑𝑦:

a) −1

4(log(243) − 2)

b) 1

4(log(243) − 2)

c) 1

4(ln(243) − 2)

d) −1

4(ln(243) − 2)


∫ ∫2𝑦 − 1

4𝑦2 − 1

1

0

𝑑𝑦2

1

𝑑𝑥:

a) 1

2log (

5

3)

b) 1

2ln (

3

5)

c) 1

2log (

3

5)

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 15



d) 1

2ln (

5

3)


∫ ∫ ∫4𝑦𝑧𝑥 + 4𝑦𝑧

𝑥2 + 𝑥 − 2

3

2

1

0

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧1

0

:

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥+1

𝑥2+𝑥−2, 𝑎 = 2, 𝑏 = 3:

a) log (5

3)

b) log (3

5)

c) ln (5)

3

d) ln (3)

5


∫ ∫ ∫(𝑥2 − 1)

(𝑥 + 2)

(𝑦2 − 1)

(𝑦 + 2)2𝑧

1

0

1

0

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧1

0

:

a) (log (27

8) −

3

2)2

b) (log (27

8) +

3

2)2

c) (ln (27

8) +

3

2)2

d) (ln (27

8) −

3

2)2


∫ ∫ ∫−𝑥 − 1

𝑥2 + 𝑥 − 2

5

4

0

−1


0

:

a) ln (3)

2

b) ln (2)

3

c) log (3)

2

d) log (2)

3

e) N.D.A.

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5




∫ ∫ ∫𝑧2 − 1

𝑧4 − 𝑧3 − 3𝑧2 + 5𝑧 − 2

5

4

1

0


−1

:

a) 1

9(log 4 − 3)

b) 1

9(ln 4 − 3)

c) 1

9(3 − log 4)

d) 1

9(3 − ln 4)


∫ ∫ ∫−𝑥2 + 1

𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 2

3

2

1

0


1

:

a) −1

9(log (

8

5) + 3)

b) −1

9(log (

8

5) − 3)

c) 1

9(log (

8

5) + 3)

d) 1

9(log (

8

5) − 3)


∫ ∫ ∫12𝑥𝑧

𝑦2 + 1

3

2

1

0


1

:

a) 𝜋

4

b) 𝜋

2

c) 3𝜋

4

d) 𝜋

3


∫ ∫ ∫−2

𝑦2 + 𝑦 + 1

3

2

0

−1

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥2

1

:

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 9

Exercício 8



a) −4𝜋

3√3

b) 4𝜋

3√3

c) 2𝜋

3√3

d) −2𝜋

3√3


∫ ∫ ∫4𝑦𝑧

𝑥4 + 2𝑥2 + 1

1

0

1

0


0

:

a) −𝜋+2

8

b) 𝜋+2

2

c) −𝜋+2

2

d) 𝜋+2

8


∫ ∫ ∫1

𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1

4

3

1

0


0

:

a) −1

4(ln (

45

34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))

b) 1

4(ln (

45

34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))

c) −1

4(ln (

45

34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))

d) −1

4(ln (

45

34) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))


∫ ∫ ∫−𝑦2 + 𝑦 − 1

𝑦 − 1

1

0

0

−1


1

:

a) 1

2−ln

1

2

b) 1

2+ln

1

2

c) 1

2−log

1

2

d) 1

2+log

1

2

e) N.D.A.

Exercício 12

Exercício 10

Exercício 11




∫ ∫ ∫𝑧2−𝑧+1

𝑧−1

4

3

1

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

3

2:

a) 5

2−ln 2

b) 5

2+ln 2

c) 5

2−log 2

d) 5

2+log 2


∫ ∫ ∫𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1

0

−1

1

04𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

1

0:

a) 7

3−log 2

b) 7

3+log 2

c) 7

3+ln 2

d) 7

3−ln 2


∫ ∫ ∫−𝑦3+3𝑦2−3𝑦

𝑦−1

0

−1

1

0𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦

3

2:

a) 7

3−log 2

b) 7

3+log 2

c) 7

3+ln 2

d) 7

3−ln 2

e) N.D.A.

DOMÍNIO E IMAGEM : NÍVEL 1

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1

−2𝑥+3 é:

a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −3

2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠ −

1

2}

Exercício 1

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15



b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −3

2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠

1

2}

c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1

2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠

3

2}

d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠3

2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠ −

1

2}

e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =2𝑥−1

4𝑥2−1 é:

a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠1

2 e x ≠ 0} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠ −

1

2 e w ≠

1

2}

b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 0 e x ≠1

2} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠ −

1

2 e w ≠ 0}

c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 0 e x ≠1

2} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠

1

2 e w ≠ 0}

d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1

2 e x ≠

1

2} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠

1

2 e w ≠ 0}

e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1

𝑥2+𝑥−2 é:

a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = ℝ+ b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ −2} × ℝ e Im(f) = ℝ c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ −2} × ℝ e Im(f) = ℝ− d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = ℝ e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−1

𝑥+2 é:

a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −2} ×ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≤ −4 − 2√3 ou z ≥ −4 + 2√3}

b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|−4 − 2√3 ≤ z ≤ −4 + 2√3}

c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|−2√3 ≤ z ≤ 2√3}

d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≤ −2√3 ou z ≥ 2√3}

e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2 é:

a) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ 2} e Im(f) = ℝ+ b) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ −2} e Im(f) = ℝ c) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ −2} e Im(f) = ℝ−

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5



d) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ 2} e Im(f) = ℝ e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional

𝑓(𝑧, 𝑥) =1

𝑥−𝑦 é:

a) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2|x ≠ y} e Im(f) = ℝ∗ b) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2| x ≠ −y} e Im(f) = ℝ∗ c) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2| x ≠ y} e Im(f) = ℝ+ d) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2| x ≠ −y} e Im(f) = ℝ+ e) N.D.A.


𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+𝑦

𝑥2+𝑦2 é:

a) D(f) = ℝ2 − {(0,0)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ b) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2|x ≠ y} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2|x ≠ y}e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ d) D(f) = ℝ2 − {(0,0)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =3

𝑦2+1 é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ|0 < 𝑤 ≤ 3} b) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑦 ∈ ℝ|0 < 𝑦 ≤ 3} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ|−3 < 𝑤 ≤ 0} d) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|0 < 𝑤 < 3} e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =−2

𝑥2+𝑥+1 é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−8

3≤ 𝑧 ≤ 0}

b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|−8

3≤ 𝑥 < 0} × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ

c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−8

3≤ 𝑧 < 0}

d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|−8

3≤ 𝑥 ≤ 0} × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9



e) N.D.A. O domínio e a imagem da função racional

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =1

𝑥4+2𝑥2+1 é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ| 0 < 𝑤 ≤ 1} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 < 1} × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ| 0 ≤ 𝑤 < 1} d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 ≤ 1} × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.


𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) =1

𝑤3−𝑤2+𝑤−1 é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ d) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ e) N.D.A.


𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1 é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑧 ≥ 1} b) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑧 ≥ 1} c) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−3 ≤ 𝑧 ≤ 1 } d) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−3 ≤ 𝑧 ≤ 1 } e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥) =𝑥2−𝑥+1

𝑥−1 é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1} c) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 3} d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|−3 ≤ 𝑦 ≤ 1 } e) N.D.A

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 10

Exercício 11




𝑓(𝑦, 𝑧) =𝑧3−3𝑧2+3𝑧

𝑧−1 é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ −1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ −1 𝑒 𝑧 ≠ −2} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥) =−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1

é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 𝑒 𝑥 ≠ −2} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.

GRÁFICO : NÍVEL 2

Antes de esboçar o gráfico das funções racionais abaixo, determine caso existam, os pontos e valores máximos e mínimos locais e globais; bem como os possíveis pontos de sela e as curvas de nível de 𝑓.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1

−2𝑥+3.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑦, 𝑥) =2𝑥−1

4𝑥2−1.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1

𝑥2+𝑥−2.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑦, 𝑥) =𝑥2−1

𝑥+2.

Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) =−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 15



Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2.

Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2.

Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =3

𝑥2+1.

Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−2

𝑥2+𝑥+1.

Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =−1

𝑥+𝑦.

Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =−2

𝑥𝑦.

Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =2

4𝑥2+9𝑦2.

Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =1

𝑥2−𝑦2.

Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1.

Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1.

Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =

𝑦

𝑥−1.

Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =1

𝑥−1.

Esboce o gráfico da função racional

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 16

Exercício 17

Exercício 18



𝑓(𝑦, 𝑥) =1

(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)𝑛, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ.

Esboce o gráfico da função racional

𝑓(𝑦, 𝑥) =1

(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2)𝑛, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ..

FUNÇÕES RACIONAIS: NÍVEL 3

Mostre que se 𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0},

então lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) será:

{

∑ 𝑎𝑙𝑥0𝑙𝑛

𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥0𝑙𝑚

𝑙=0

, 𝑠e∑ 𝑏𝑙𝑥0𝑙 ≠ 0

𝑚

𝑙=0

𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0), se 𝑓(𝑥, 𝑦) =

(𝑥 − 𝑥0)𝑖𝑝(𝑥)

(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)

, 𝑝(𝑥0) ≠ 0, 𝑞(𝑥0) ≠ 0, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0}, 𝑖 = 𝑗 ≠ 0

0, se 𝑓(𝑥, 𝑦) =(𝑥 − 𝑥0)

𝑖𝑝(𝑥)

(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)

, 𝑝(𝑥0) ≠ 0, 𝑞(𝑥0) ≠ 0, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0} 𝑒 𝑖 > 𝑗

∄, se 𝑓(𝑥, 𝑦) =(𝑥 − 𝑥0)

𝑖𝑝(𝑥)

(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)

, 𝑝(𝑥0) ≠ 0, 𝑞(𝑥0) ≠ 0, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0} 𝑒 𝑖 < 𝑗

Mostre que se

𝑓(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)

𝑖𝑝(𝑥)

(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)

, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0}, 𝑝(𝑥0) ≠ 0 e 𝑞(𝑥0) ≠ 0,

então:

a) lim𝑥→𝑥0

−𝑓(𝑥) =

{

+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒

𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)> 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)> 0

+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)< 0

+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)> 0

b) lim𝑥→𝑥0

+𝑓(𝑥) = {

+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0 𝑒𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)> 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0 𝑒𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)< 0

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 19



Mostre que se 𝑓(𝑥) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}, então:

a) lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) =

{

+∞, 𝑠𝑒 𝑛 −𝑚 > 0 𝑒

𝑎𝑛

𝑏𝑚> 0

𝑎𝑛

𝑏𝑚, 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑚

0, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 < 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑛 −𝑚 > 0 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚< 0

;

b) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) =

{

+∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒

𝑎𝑛

𝑏𝑚> 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚< 0

+∞, 𝑠𝑒 𝑛 −𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚< 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 −𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚> 0

;

c) 𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑥) =

(∑ 𝑙𝑎𝑙𝑥𝑙−1𝑛

𝑙=0 )∙(∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0 )−(∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛

𝑙=0 )∙(∑ 𝑙𝑏𝑙𝑥𝑙−1𝑚

𝑙=0 )

(∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0 )2.


𝑙𝑛𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚, ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚, então 𝑓(𝑥, 𝑦)

pode ser expressa na forma

∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1

𝑙=0

(𝑥−𝑥1)𝑚1 ∙ … ∙(𝑥−𝑥𝑖)

𝑚𝑖∙((𝑥−𝑎1)2+𝑏1

2)𝑚𝑖+1∙… ∙((𝑥−𝑎𝑗)

2+𝑏𝑗

2)𝑚𝑖+𝑗

,

onde 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são raízes reais de ∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0 e não são raízes de ∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1

𝑙=0 ; 𝑎1 ± 𝑖𝑏1,… , 𝑎𝑗 ±

𝑖𝑏𝑗 são raízes complexas conjugadas de ∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0 e não são raízes de ∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1

𝑙=0 e 𝑚1 +⋯+

𝑚𝑖+𝑗 ≤ 𝑚 e 𝛿(𝑝) ≤ 𝑛.


𝑙𝑛𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚, ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚, então 𝑓(𝑥, 𝑦)

pode ser expressa na forma

∑ ∑𝑎𝑘𝑙

(𝑥−𝑥𝑘)𝑙

𝑚𝑘𝑙=1

𝑖𝑘=1 + ∑ ∑

𝑏𝑘𝑙𝑥+𝑐𝑘𝑙

((𝑥−𝑎𝑘)2+𝑏𝑘

2)𝑙

𝑚𝑘𝑙=1

𝑗𝑘=1 ,

onde 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são números reais e 𝑎1 ± 𝑖𝑏1,… , 𝑎𝑗 ± 𝑖𝑏𝑗 são números complexas

conjugados. Sugestão: Use o exercício 5.


𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚, então

∫ ∫𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 é obtida por:

𝑦 (∑ 𝑎𝑘1ln (|(𝑥 − 𝑥𝑘)|𝑖𝑘=1 +∑ ∑

𝑎𝑘𝑙𝑙−1

(𝑥−𝑥𝑘)𝑙−1𝑚𝑘𝑙=2

𝑖𝑘=1 +∑ 𝑏𝑘1arctg(

𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘)

𝑗𝑘=1 −

𝑎𝑘𝑏𝑘1+𝑐𝑘1

𝑏𝑘𝑙𝑛 (|cos(arctg (

𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘))|) + +∑ ∑ −

𝑏𝑘𝑙

(2𝑙−2)𝑏𝑘2𝑙−2

𝑚𝑘𝑙=2

𝑗𝑘=1 cos2𝑙−2 ( arctg (

𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘)) +

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 3

Exercício 7



𝑎𝑘𝑏𝑘𝑙+𝑐𝑘𝑙

𝑏𝑘2𝑙−1 (∫ cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢)),

onde ∫ cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢 é obtido recursivamente por:

∫cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢 =1

2𝑙 − 2cos2𝑙−3 (arctg (

𝑥 − 𝑎𝑘𝑏𝑘

)) +2𝑙 − 3

2𝑙 − 2∫cos2𝑙−4(u)𝑑𝑢,

onde 𝑢 = arctg (𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘), 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são números reais e 𝑎1 ± 𝑖𝑏1, … , 𝑎𝑗 ± 𝑖𝑏𝑗 são

números complexos conjugados. Sugestão: Use o exercício 6.


𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 ≥ 𝑚, então

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑐𝑙𝑥

𝑙𝑛−𝑚𝑙=0 +

𝑎0


𝑙=0

.

Determine a equação geral da reta tangente ao gráfico de

𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥

𝑖𝑦𝑗𝑛2𝑗=0

𝑛1𝑖=0

∑ ∑ 𝑏𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗

𝑚2𝑗=0

𝑚1𝑖=0

, 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑛,𝑚1 +𝑚2 ≤ 𝑚,∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0} , no ponto

(𝑥0, 𝑦0 , 𝑓(𝑥0, 𝑦0)), (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷(𝑓).

Elabore um algoritmo para o estudo do sinal das funções racionais. Exercício 3 Elabore um algoritmo para determinar a imagem de uma função racional

𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}.

Faça um esboço geral do gráfico de uma função racional

𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}.

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 8



COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é análise aplicada. Fundou em 2014 a primeira escola de cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA FUNÇÕES RACIONAIS DE VÁRIAS

VARIÁVEIS REAIS

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JOÃO CARLOS MOREIRA · Direitos reservados, 2016 por João Carlos Moreira Página 2 DEFINIÇÕES Defina função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina domínio