Jorge A. Bertolotto, Ernesto Farías de la Torre, Graciela B. Roston

Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,Universidad Nacional de La Pampa, Santa Rosa (LP), Argentina

ECUACIÓN DE FOKKER-PLANCK APLICADA AL EATUDIO DE LAS PROPIEDADES ELECTROÓPTICAS

DEL ADN

BirrefringenciaBirrefringencia elelééctricactrica

La birrefringencia eléctrica se define

como la diferencia ente los dos

índices de refracción n// y n⊥

Las moléculas de ADN son ópticamente anisotrópicas. En soluciones diluidas tales

moléculas adoptan una distribución con su orientación al azar y el medio es

isotrópico. La aplicación de un campo eléctrico externo induce orden y la anisotropía

inherente a las moléculas se manifiesta, como birrefringencia del sistema.

Para un haz de luz con el campo eléctrico E// (E⊥⊥⊥⊥) el índice de refracción será n//

(n⊥⊥⊥⊥).

⊥−=∆ nnn //

Cuando a una solución macromolecular se le aplica un pulso eléctricorectangular, la birrefringencia cambian con el tiempo como se muestra en la figura. La birrefringencia aumenta hasta que alcanza un estado estacionario y decae al cortar el campo eléctrico.

A través de las medidas de birrefringencia eléctrica en el estado estacionario en función de la intensidad del campo eléctrico, y del estado transitorio cuando se suprime el campo eléctrico, y usando modelos y teorías adecuadas, se obtienen parámetros eléctricos, ópticos e hidrodinámicos. Estos parámetros son muy útiles para analizar la estructura y dinámica de macromoléculas y coloides en solución.

Transitorios de birrefringencia y dicroísmo eléctricos

Dicroísmo lineal eléctrico reducido para solución acuosa de fragmentos de ADN de 179 pb

Modelos para fragmentos de ADN

Z

Y

X

R

Modelo de varilla arqueada

Las moléculas de ADN con longitud mayores que 500Å y menores que 2000Å, se puede representar mediante un modelo de arco con radio de curvatura variable.

( )321 ,, µµµµ =r

=E

E

E

E

33

22

11

00

00

00

α

α

α

αt

Tensor Polarizabilidad Óptica

Tensor Polarizabilidad Eléctrica

Parámetros molecularesÓptico, eléctricos e hidrodinámico

Tensor de Difusión Rotacional

Tensor de DifusiónAcoplamiento Traslación-Rotación

=

00

00

000

32

23

P

PPt

Momento dipolar eléctrico permanente

=O

O

O

O

33

22

11

00

00

00

α

α

α

αt

=

33

22

11

00

00

00

R

R

R

Rt

Mecanismos de orientación en experimentos electro-ópticos de fragmentos de ADN en solución acuosa:

1. Interacción entre el momento inducido en la molécula y el campo eléctrico aplicado.

2. El debido a la electroforesis de moléculas con carga eléctrica. El movimiento de las moléculas bajo la acción del campo eléctrico producen torques en moléculas con un tensor de Difusión Acoplamiento Traslación-Rotación no nulo.

El mecanismo de orientación por electroforesis puede explicarse con un simple ejemplo.

Mecanismo de orientación por Electroforesis

• La partícula se traslada y rota simultáneamente. Porque el Tensor de Difusión Acoplamiento Traslación-Rotación es no nulo.

• Tiende a una velocidad terminal sin spin con la bisectriz paralela a E

Cuando una varilla quebrada macroscópica, con una distribución uniforme de carga se arroja en un fluido en reposo, y forma un cierto ángulo con la dirección del campo eléctrico:

Ecuación de Fokker-Planck

• Escribimos la ecuación de Fokker-Planck para el

sistema con el fin de obtener la función de distribución

orientacional.

• Esta función es independiente de las coordenadas de

posición y puede escribirse como f(θ,φ,ψ,t).

• El campo eléctrico introduce una simetría cilíndrica

en el sistema tal que f se hace independiente de la

coordenada φ.

• Omitiendo detalles de cálculo, la ecuación diferencial

relativa al sistema del laboratorio resulta:

( )( )( ) ( )+

∂

∂+−

θ

ψθθψθψθψθθ

tfqPdREdER

kT

E ,,sinsinsincossinsincossin 23

2

2311

222

3122

( )( )( )

+∂

∂++−

θ

ψθψθθθψψθ

tfdRRdEdER

kT

E ,,sinsincossinsincossin 23112231

23

1233

( )( ) ( )−

∂

∂−+

θ

ψθθψθ

tfqPPPq

kT

E ,,coscossin 323223

2 ( ) ( ) ( ) ++− tfPPqkT

E,,sinsin 2332

3 ψθψθ

( ) ( )( ) ( ) )1(,,sincoscossincos21sinsin 222

2311

23

1233

2

+−++− tfdRdRkT

Eψθθψθθψθθ

( )( ) ( ) ++− tfdRkT

E,,sinsincossinsin 222

3122

2

ψθψθθθθ ( )( )

+∂∂

∂∂

+θθ

ψθ

ψψθ

tf

RR

,,

sincossin 2

22

2

11

2

( )

( )

+∂

∂

∂∂

++ψ

ψ

ψθ

θψθψθ

tf

RRR

,,

sincoscossincos 33

2

22

22

11

22 ( ) ( )−

∂

∂+

θ

ψθψψθθ

tfRR

,,cossincossin

2

22

2

11

( )( ) ( ) ( )

( )( )

t

tf

tf

RRtf

RR∂

∂=

∂∂

∂∂

−+∂

∂+−

,,

,,

sincoscossin2,,

1coscossin 1122

2

1122

ψθ

ψθ

ψθ

ψψθθψ

ψθθψψ

Donde k es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta, Rii para i = 1, 2, 3 son los términos del

tensor difusión rotacional, P23 y P32 son los términos no nulos del tensor de difusión de acoplamiento rotación-

traslación,

d12 = aE11 – aE

22, d23 = aE22 – aE

33 y d31 = aE33 – aE

11 , siendo los aEii para i = 1, 2, 3, los términos

principales del tensor polarizabilidad eléctrica.

Ecuación de Fokker-Planck

Aplicamos un método de perturbación [8] con un parámetro ε en los términos que involucran al

campo eléctrico E y suponemos que la solución puede desarrollarse en potencias de ε

),,(),,(8

1),,( 2

2tsthtf ψθεψθε

πψθ ++=

A fin de satisfacer las condiciones de normalización tenemos

0sin),,(

0sin),,(

1sin),,(

2

0

2

0 0

2

0

2

0 0

2

0

2

0 0 0

=

=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

φψθθψθ

φψθθψθ

φψθθψθ

π π π

π π π

π π π

dddts

dddth

dddtf

(2)

(3)

Cuando ε =1 tenemos la ecuación diferencial original. Por otro lado, cuando ε = 0, tenemos la

ecuación diferencial sin perturbar, que describe la diffusion rotatoria de la particular en ausencia de

campo eléctrico E. En este caso, la partícula tiene una orientación aleatoria y la función de

distribución ),,(0 tf ψθ es independiente de θ y ψ , dando el resultado 20

8

1

π

f = .

MMéétodotodo de de ResoluciResolucióónn

A fin de obtener la solución para ),,( th ψθ usamos resultados de trabajos previos [1,2,4,5] donde ambas

funciones ),,( th ψθ y ),,( ts ψθ fueron obtenidas para el caso del estado estacionario empleando

métodos por desarrollos en serie de Fourier. En el presente trabajo permitimos a los coeficientes variar

como una función del tiempo. Por lo tanto podemos escribir para

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψθθψψθψθ 2cos2cos2cos2cossinsin),,( 22200211100 tatatatbtath hhhh ++++= (6)

ψθψθψθθ

ψψθθψψθ

4cos4cos)(2cos4cos)(4cos2cos)(4cos)(

4cos)(2cos2cos)(2cos)(2cos)()(),,(

44422440

0422200200

tatatata

tatatatatats

ssss

sssss

+++

+++++=

(7)

Reemplazando le Ec.(2) en la Ec.(1) e igualando los coeficientes de ε y ε2 obtenemos las

ecuaciones diferenciales correspondientes

( )t

tsQtLs s

∂

∂=+

),,(sin),,( 2 ψθ

θψθ

( )

t

thQtLh h

∂

∂=+

),,(sin),,( 2 ψθ

θψθ (4)

(5)

Reemplazando las Ec. (6) y (7) en Ec. (4) y después de hacer las respectivas diferenciaciones

involucradas (Ver Ecuación (4)) podemos agrupar los términos de acuerdo a las funciones

trigonométricas. Así obtenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas de primer

orden para

y )(),(),(),(),(),(),(),(),( 444224400422200200 tatatatatatatatata sssssssss

Una vez obtenidos todos los coeficientes, podemos escribir ),,( th ψθ y ),,( ts ψθ y entonces

reemplazar en la Ecuación (2).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tatatatbta hhhh 22200211100 ,,,,

Teniendo la función de distribución orientacional podemos calcular la birrefringencia eléctrica

usando la siguiente expresión

∫ ∫ −−−−=∆π π

ψθθψθθψθπ 2

0

22020

0

1 sin))1sin2)(cos1(4

3)1cos3(

2(),,(

2dd

BAtf

n

cn (13)

con

( ) ( )2

cos2 200

//

0

11

0

220

χαααα ⊥−−=−=B

y (14)

( ) ( )

−−=−−= ⊥ 1

2sin3

2

1 200

//

0

22

0

11

0

330

χαααααA

siendo 0

ijα las componentes del tensor polarizabilidad óptica, n el índice de refracción de la

solución y c1 el número de moléculas por unidad de volumen.

Crecimiento de la birrefringencia eléctricaDatos característicos del ADN en solución acuosa pero sin

polarizabilidad eléctrica, L= 100nm, c=145º, Carga 12% de los grupos fosfatos ionizados.

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004tês

-2.¥ 10-8

-1.¥ 10-8

1.¥ 10-8

2.¥ 10-8

3.¥ 10-8Dn

Modelo de arco

q

kTb

q

εξ

2

=

θ

sR =

2

aR

Ri

−

= ξξ

2.4=ADNξ

Densidad de carga adimensional

a

2

aR

Re

−

= ξξ

×= −

iib

ξ

ξ8104.3

×= −

ieb

ξ

ξ8104.3

Radio de curvatura

Densidad de carga adimensional de los dos arcos

Distancias entre cargas contiguas en cada varilla

Teoría de condensación de contraiones de G. Manning

( ) ( )eb

eee egelκξθ −−−= 1ln1

2

Trabajo de cargar los grupos fosfatos contra la repulsión electrostática mutua. Se obtiene sumando la energía repulsiva amortiguada entre los grupos fosfatos en un arreglo lineal.

( ) ( )ib

iii egelκξθ −−−= 1ln1

2

=

cVpgmix

e

eee

θθ

310ln

=

cVpgmix

i

iii

θθ

310ln

Energía libre dependiente de q dada por la mezcla de cationes libres, cationes ligados y moléculas del solvente. La magnitud Vp es el volumen de la región que rodea el poli nucleótido dentro del cual los cationes están ligados

q Es el número de contraiones condensados por grupo fosfato

La última energía libre describe el acoplamiento electrostático de las dos varillas.

( )( ) ( )aKg iee κθθξ 0112int −−=

Finalmente se obtiene la energía libre total y se minimiza

intggmixgmixgelgelg ieie ++++=

0=∂

∂

e

g

θ0=

∂

∂

i

g

θy

Para s = 600Ǻ , a=24 Ǻ , q =116º se obtiene qi =0.816 y qe =0.668.

Cálculo del momento dipolar eléctrico permanente

i

i

i

i

iq

R

s

R

s

Rxi

2

2sin

=

R

s

R

s

RxM

2

2sin

=

e

e

e

e

eq

R

s

R

s

Rxe

2

2sin

=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ie

qMiqMeoxxexxe

A

s−−−−−

= θθµ 11

4.3

Se calcula el momento con respecto al centro de masa del sistema.

Con respecto al centro de curvatura el centro de masa se escribe

Los centros de carga de los dos arcos resultan

Y el momento dipolar eléctrico se expresa

Se obtiene el siguiente resultado m = 4.2 10-27Cm

Referencias

1. J. A. Bertolotto, G. B. Roston, M. E. Ascheri, M. G. Campo. Birefringence due to

free electrophoresis. Physica A 327 (2003)185-189.

2. J. A. Bertolotto, G. B. Roston, M. E. Ascheri. Electo-optical properties of DNA.

Prog. Colloid Polym Sci 128 (2004) 25-29.

3. J. A. Bertolotto. Electric birefringente and dichroism of DNA fragments in aqueous

solutions. Physica A, 373 (2007) 29-42.

4. J.A. Bertolotto, G. B: Roston, M. E. Ascheri, G. M. Corral, Reduced electric linear

dichroism of DNA fragments in aqueous solutions, XV Conference on Nonequilibrium

Statistical Mechanics and Nonlinear Physics, AIP Conference Proceedings, (2007) pág.

151-156.