Juros Compostos e Taxas

Matemática FinanceiraJuros Compostos - Taxas : Equivalentes , Nominais , Efetivas e Aparentes - Descontos Racionais e Comerciais

JUROS COMPOSTOSOs juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao capital, a cada cálculo. Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os juros são incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse montante e assim sucessivamente. No caso dos juros compostos, o resultado é o próprio Montante. A fórmula é: FV = PV (1 + i) n

OBS: A unidade de tempo utilizada para o período (n) deve ser a mesma da taxa de juros (i), ou seja, se o período (n) é dado em: Dia – taxa em dia (i% ad)Mês – taxa em mês (i% am)Ano – taxa em ano (i% aa).Analisando a fórmula utilizada nos cálculos de juros compostos, note que n sobre o capital (PV) existe a incidência de um fator (1 + i) n que produz um montante (FV). A este fator (1 + i) n damos o nome de fator de capitalização.Fórmula para cálculo dos juros ( J ) J = FV – PV Fórmula para o cálculo do capital( PV )

PV=

J = PV Fórmula para o cálculo da taxa ( i ) i =

FV 1/n - 1x100

Fórmula para cálculo do Montante ( FV )

Fórmula para o cálculo do período ( n )

n=

Exemplo :

Uma aplicação bancária está oferecendo juros fixos de 3% ao mês, por 6 meses, sobre um valor mínimo de R$ 10.000,00. Quanto renderá ao final desse período?

Aplicando a fórmula:FV = o que você quer saber (incógnita)PV = R$ 10.000,00i = 3% a.m. – 0,03n = 6 m Logo: FV = 10.000 x (1+0,03) FV= R$ 11.940,52

Taxa EquivalenteTaxas equivalentes são taxas que, aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante.

- 1 x100

iq = taxa equivalenteic = Taxa conhecidanq = unidade de tempo da taxa equivalentenc = unidade de tempo da taxa conhecidaExemplo :O capital de R$ 10.000,00 aplicados à taxa de 10% ao mês produziu o montante de R$ 31.381,28 no fim de um ano. Qual a taxa semestral capaz de fazer esse mesmo capital produzir esse mesmo montante nesse mesmo espaço de tempo?

Is = -1 x100

is = 1,771561 – 1is = 0,771561is = 77,16% ao sem

Taxa Efetiva

É aquela em que a unidade de tempo da taxa coincide com o da capitalização .ex : 12% am com cap m 15% at com cap triQuando não se coloca a capitalização da taxa , pressupõem-se que ela é a mesma da taxa , não é usual usar a capitalização nas taxas efetivas pelo motivo citado.

1Professor João Carlos


Taxa nominal

É aquela em que a unidade de tempo da taxa de juros não coincide com o da capitalizaçãoex : 20%aa com cap m 15%as com cap bimDevemos sempre transformar as taxas nominais em taxas efetivas ex = 72%aa com cap mTaxa efetiva mensal

m=

m= 12/1 =12 = = 6%am

Taxa efetiva anual

= -1x100 m=

ia = (1 + 0,72/12 ) 12 – 1 x 100ia =101,2% aa

Taxa de juros Aparente e taxa RealPor taxa aparente entende-se aquela que vigora nas operações correntes .Quando temos um regime inflacionário devemos distinguir na taxa aparente duas componentes : a inflação e os juros realmente recebidos .Por taxa real entende-se que é a taxa aparente menos a inflação e os juros realmente recebidos .ia: taxa aparenteir : taxa realii : taxa de inflação( 1 + ia ) = ( 1 + ii ) x ( 1 + ir )

Exemplos :

Calcular a taxa aparente anual que deve cobrar uma financeira para que ganhe 8% aa de juros reais sabendo-se que a taxa de inflação é de 5% aa.ii = 5%aa 0,05aair = 8%aa 0,08 aaia = ii + ir + ( ii x ir ) ia = 0,05 + 0,08+( 0,05 x 0,08)

ia = 0,1340 aa ia = 13,40% AA

Calculara taxa de juros real ganha , por um capital de R$ 6.000,00 aplicado por 2 anos , que rendeu R$ 5.179, 35 de juros no período, com taxa de inflação de 30%aa .PV= 6.000,00 Calcular iaJ = 5.179,35 J = PV( ( 1 + i )n – 1)n = 2 anos 5179,35 = 6000 ( 1 + i)2 -1 ia = 36,5%aa( 1 + ia ) = ( 1 + ii ) x ( 1 + ir ) (1+0,365)= (1+0,30) x (1+ir)Ir = 0,05 ir= 5%aa

Desconto Racional ou “ por dentro”O conceito de desconto em juros compostos é similar ao de desconto em juros simples.

As fórmulas s

Ar =

Dr = N –ArDesconto Comercial ou “ por fora”Fórmulas :

Ac = N

Dc = N - AcEquivalência entre as taxas de desconto( 1 + ic) x ( 1 + ir) = 1Exemplo :Suponhamos que você quer descontar um título de R$ 25.000,00, usando o desconto racional, 2 meses antes do vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m. Calcule o valor atual do título. Aplicando a fórmula:

A: o que você quer saber (incógnita)N: R$ 25.000,00i = 3% a.m. = 0,03n = 2 meses

Logo: Dr= N -

Dr= 25000-25000/1,0609Dr=1435,10Dr = N –Ar A = R$ 23.564,9

Ar = = 25000/1,069=23564,9

Exercícios de Concursos 2

Professor João Carlos


Complete o quadro abaixo com as taxas equivalentes: Diária Mensal Bimestral Trimestral0,10%

5,0%

10,0%

15,0%

Calcular a taxa efetiva anual com 3 casas decimais das taxas abaixo:27%aa com capitalização semestral

27%aa com capitalização quadrimestral

27%aa com capitalização trimestral

27%aa com capitalização mensal

27%aa com capitalização diária

Complete o quadro abaixo ,calculando as taxas efetivas correspondentes as nominais , com 2 casas decimais:Taxas Nominais

Taxas Efetivas

35 dias Bim

Trim

Sem

24%aa com cap mensal36%as com cap trimestral

6%am com cap diária

Calcular o montante (FV) produzido pelo capital de R$ 1500,00 aplicado nas condições abaixo : n i

2 m 5%am

1a e 3m 10%at

18m 15%as

3m 96%aa

Calcular o capital ( PV ) , que nas condições abaixo produziu o montante( FV ) de R$3000,00

n i PV

3m 4,5%am

9m 18%at

18m 20%as

5m 36%aa

O capital (PV) de R$ 10000,00 produziu no fim dos prazos abaixo, o montante(FV) de R$15000,00 . Calcular a taxa de juros(i) em cada caso.

n i

4m15 t

3 s

1s

Calcular o prazo de aplicação (n) abaixo: FV PV i n

R$ 64323,31 R$ 50000,00 6,5%am



R$ 106480,00 R$ 80000,00 10%ab

R$ 248832,00 R$ 100000,00 20%aq

R$ 579217,08 R$120000,00 30%at

Você dispõe de R$100000,00 e pode optar em aplicar esse capital (PV) a juros simples ou compostos à taxa de 10%am .Qual a opção mais vantajosa considerando os prazos abaixo ?

n FV = ? Opção “s” ou “c”

Juros simples Juros compostos

20d

30d

Uma aplicação de R$ 5.000 rendeu juros de $ 1.500,00 no prazo de 1 ano. Sabendo-se que neste período a taxa de inflação foi de 25%, pergunta-se qual foi a taxa de juro real obtida pelo aplicador?Resposta : 4%aa

João aplica R$ 500,00 em uma Caderneta de Poupança e após 4 anos verifica que possui o montante de R$ 1.660,75. Qual foi a taxa de correção monetária anual, uma vez que a Caderneta de Poupança rende juros reais de 6% a.a.?

Resposta : 27,365a

Um terreno é posto a venda por R$ 50.000,00 a vista ou por R$ 57.000,00 a prazo, sendo que no segundo caso o comprador deverá dar R$ 20.000,00 de entrada e o restante em 1 ano. Se a taxa de inflação prevista for de 25% a.a., qual será a taxa de juros real recebida pelo vendedor?Resposta : -1,33%aa

O preço a vista de um carro é de R$ 20.000,00.

Caso um comprador ofereça 50% como entrada e o restante após 6 meses, de quanto deve ser esta segunda parcela, se o vendedor quiser 7% a.a. de juros reais? Considerar uma inflação prevista de:a-30%aab-36%aa Respostas : R$11797,0 e R$ 12063,1

Um título de R$ 2000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento , pelocritério de desconto comercial à taxa de 6%am .Qual o valor do desconto ? Resposta : R$ 232,80

Um título de R$ 3000,00será resgatado 3 anos antes do seu vencimento pelo critério do desconto comercial a taxa de 20%aa com capitalização semestral . Qual será o valor liquido do título ? Resposta :R$ 1479,11

Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto racional é de 3,5% ao me

Resposta: R$ 6.314,00

Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto racional de 24% ao ano.Resposta: R$ 30.026.00


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