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ISABEL FERREIRA DO NASCIMENTO
WANDANDA MBANZA JOÃO
Colaboração e Revisão
CUNGATIQUILO CANO
6.a
Classe
MatemáticaMatemática
k_mat6_2010:Layout 1 9/4/10 6:48 PM Page 1
Ficha TécnicaTÍTULO: Matemática 6ª Classe
AUTORES: Isabel Ferreira do Nascimento,
Wandanda Mbanza João
EDITORA: Árvore do Saber, S.A
COLABORAÇÃO E REVISÃO: Cungatiquilo Cano
IMPRESSÃO: Imprensa Nacional S.A
TIRAGEM: 600.000 exemplares
Luanda, 3.ª EDIÇÃO, Agosto 2011
2011 Árvore do Saber
Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio ( fotocópias,
offset, fotografias, etc) sem o consentimento escrito da Editora, abrangente esta proibição o texto,
a ilustração e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimentos judicial.
c
Registado na Biblioteca Nacional de Angola sob o n.º 9197/10
ficha tecnica 6 classe
ter a-feira, 2 de Agosto de 2011 13:02:51
INTRODUÇÃO
Os conteúdos seleccionados para esta classe visam adaptar o alunoao desenvolvimento e progresso com diferentes motivações, interes-ses, capacidades e conhecimentos; criando condições para a sua inser-ção num mundo em mudança.
Para melhor compreensão, iremos tratar os seguintes conteúdos:
1Números e operações
Multiplicação de números inteiros e números decimais; decompo-sição de números naturais em factores primos na forma potencial;critérios de divisibilidade por 10, 5 e 2; cálculo de m.m.c. e de m.d.c.de dois ou mais números naturais; números racionais, adição e sub-tracção de fracções; divisão de números em forma de fracções; ex-pressões numéricas e respectivas propriedades.
2Geometria
Paralelogramo; triângulo; eixo de simetria; bissectriz de um ângu-lo; área de círculo; medição de volumes cilíndricos; área do triângulo;área do paralelogramo.
3Proporcionalidade
Proporções, percentagens, gráficos circulares, escala. Esclarece-seque, nesta classe, a ordem de apresentação dos conteúdos é linear; istoquer dizer que os conteúdos se encontram em «blocos» e essa é a or-dem lógica por que devem ser tratados.
4Estatística
Noções elementares de estatística: a moda, a média aritmética, amediana, tabelas e gráficos.
ÍNDICETema 1
Números e operaçõesMultiplicação de números inteiros e de números decimais ................................................ 8Multiplicar um número inteiro por um número decimal ..................................................... 8Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtracção................ 11Números primos e números compostos .................................................................................. 14Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência ........... 14Critérios de divisibilidade por 2 ............................................................................................... 15Critério de divisibilidade por 10 e 5 ......................................................................................... 16Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum ............................................................ 17Ampliação de fracções................................................................................................................ 19Simplificação de fracções ........................................................................................................... 20Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções ...................................... 22Operações com números racionais ........................................................................................... 23Adição e subtracção de fracções................................................................................................ 23Fracções com denominadores diferentes ................................................................................. 25Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista ..................................... 27Propriedades da adição de números fraccionários ................................................................ 28Propriedade associativa.............................................................................................................. 28Propriedade comutativa ............................................................................................................. 29Existência de elemento neutro................................................................................................... 29Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais ................................ 30Adição de fracções decimais...................................................................................................... 30Adição escrita dos números decimais ...................................................................................... 31Subtracção de fracções decimais ............................................................................................... 31Multiplicação de números fraccionários.................................................................................. 33Multiplicação de uma fracção por um número inteiro.......................................................... 35Inverso de um número ............................................................................................................... 39Divisão de números fraccionários............................................................................................. 40Multiplicação de números decimais......................................................................................... 43Divisão de números fraccionários representados por números decimais.......................... 44
Tema 2Geometria
Triângulos ..................................................................................................................................... 48Construção de triângulos ........................................................................................................... 48Construção de triângulos segundo os lados ........................................................................... 48Construção de triângulos segundo os ângulos e lados ......................................................... 53Quadriláteros................................................................................................................................ 58Propriedades dos quadriláteros ................................................................................................ 58
ÍNDICEPropriedades dos paralelogramos ............................................................................................ 60Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo......................................................................... 63Eixo de simetria ........................................................................................................................... 63Bissectriz de um ângulo ............................................................................................................. 64Área do paralelogramo............................................................................................................... 67Área do triângulo ........................................................................................................................ 68Área do círculo............................................................................................................................. 69Cálculo da medida da área do círculo...................................................................................... 69O volume do prisma ................................................................................................................... 71Prisma cuja base é um paralelogramo ..................................................................................... 71Volume dos prismas triangulares rectos .................................................................................. 71Volume de prismas rectos não triangulares ............................................................................ 72Volume do cilindro...................................................................................................................... 72
Tema 3Proporcionalidade
Sucessões numéricas ................................................................................................................... 76Sucessões numéricas proporcionais.......................................................................................... 76Proporcionalidade directa .......................................................................................................... 77Sistema de coordenadas rectangulares .................................................................................... 79Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa .......................................................... 79Proporções .................................................................................................................................... 81Noção de proporções .................................................................................................................. 81Designação dos termos de uma proporção ............................................................................. 82Propriedade fundamental das proporções .............................................................................. 82Percentagens................................................................................................................................. 84Percentagens e cálculo mental................................................................................................... 84Conversões de fracções ordinárias em percentagens............................................................. 85Gráficos circulares ....................................................................................................................... 86Percentagens................................................................................................................................. 86Escala ............................................................................................................................................. 87
Tema 4Estatística
Noções elementares de estatística............................................................................................. 92Medidas de tendência central.................................................................................................... 92A moda.......................................................................................................................................... 92A média aritmética ...................................................................................................................... 93Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• Multiplicação de números inteiros e números decimais
• Propriedade distributiva da multiplicação em relaçãoà adição e à subtracção
• Números primos e números compostos
• Decomposição de números inteiros em factores primossob a forma de potência
• Critérios de divisibilidade por 2
• Critérios de divisibilidade por 10 e por 5
• Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
• Ampliação de fracções
• Simplificação de fracções
• Uso do máximo divisor comum para a simplificaçãode fracções
• Cálculo com números racionais
• Adição e subtracção de fracções representadassob a forma mista
• Propriedade de adição de números racionais
• Cálculo com números decimais envolvendo as fracçõesdecimais
Númerose operações
TEMA 1
TEMA 1Multiplicação de números inteiros e de números decimais
Observa a conversa entre amigos.
Repara: 4 × 0,3 = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3Se 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1,2
então, 4 × 0,3 = 1,2.
E se fosse 3 × 4,5 = 4,5 + 4,5 + 4,54,5 + 4,5 + 4,5 = 13,5
então, 3 × 4,5 = 13,5.
Multiplicar um número inteiro por um número decimal
1. Quantos metros de tecido terá de comprar a Dona Anita para fazer 2 vestidos,se cada vestido levar 1,5 m?
R.: ________________________________________________________________________________________________________
Multiplicam-se os números como se fossem inteiros.O produto tem tantas casas decimais como o número decimal.
8
Oh! João,é muito simples.
Mário,sabes calcular
4 × 0,3?
2. Calcula mentalmente.
6 × 2,5 = 2,8 × 10 =
5,5 × 2 = 19 × 0,5 =
2,5 × 4 = 0,15 × 5 =
3. A Dona Maria colocou uma renda à volta de uma toalha com a configuração dafigura abaixo apresentada.
Quanto gastou ela, se cada metro de renda custou 15 000 kz?
R.: ______________________________________________________________________________________________________________________
Observa os produtos.
0,6 × 3 = 1,8 5,2 × 8 = 41,6
3 × 0,6 = 1,8 8 × 5,2 = 41,6
Certamente observaste que o produto não se altera se trocarmos a ordem dosfactores. A isto chama-se Propriedade Comutativa da Multiplicação.
1. Resolve.
4,5 × 6 = 5 × 8,3 =
6 × 4,5 = 7,9 × 2 =
8,3 × 5 = 2 × 7,9 =
2. Completa utilizando a propriedade comutativa da multiplicação.
16,6 × 4 = 4 × ________
25,1 × ________ = 5 × 25,1
3,15 × 2 = ________ × 3,15
________ × 9,6 = 7 × ________
2,50 m
1,20 m
9
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1Já conheces também outra propriedade: a Propriedade Associativa.
Observa: (1,6 × 8) ________ = ________ × (8 × 4)
(2,3 × ________) × 5 = 2,3 × (10 × ________)
O cálculo de produto torna-se mais simples se utilizarmos a propriedade associa-tiva da multiplicação
Observa e completa, como nos exemplos.
1,5 × 1,2 × 4 × 2 =
= (1,5 × 2) × (1,2 × 4)
= 3 × 4,8
= 14,4
3,1 × 3 × 0,2 × 5 = (3,1 × 3) × (0,2 × 5)
= 9,3 × 1
= 9,3
8 × 7 × 9 × 5 = (8 × 5) × (________ × ________)
= ________ × ________
= ________
18 × 6 × 9 × 3 = (________ × ________) × (________ × ________)
= ________ × ________
= ________
10
Propriedade distributiva da multiplicaçãoem relação à adição e à subtracção.
A Mónica tem 2 irmãos.Deu a cada um deles 3 rebuçados e 4 pastilhas.Ao todo, quantas guloseimas deu a Mónica?
1.° ProcedimentoObserva como é fácil calcular.Número total de guloseimas
3 + 4 = ________
2 × (3 + 4) = ________ × ________
= ________
2.° ProcedimentoNúmero total de guloseimas para os dois irmãos
2 × 3 = ________
Número total de pastilhas para os dois irmãos
2 × 4 = ________
Número total de guloseimas e de pastilhas para os dois irmãos
2 × 3 + 2 × 4 = ________ + ________
Concluímos então que:
A Mariana comprou 5 bananas e 3 maçãs para levar para o hospital.Cada fruta custou 200 kwanzas.Quanto pagou a Mariana pelas frutas?
1.° ProcedimentoO número total de frutas
5 + 3 = ________
Quantia a pagar
(5 + 3) × 200 = ________ × ________
2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4
11
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1Quantia total a pagar pelas bananas
5 × 200 = __________
Quantia total a pagar pelas maçãs:
3 × 200 = __________
Quantia total a pagar pelas frutas:
5 × 200 + 3 × 200 = __________ + __________ = __________
Concluímos então que:
Será que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção?
Observa
A Nanda comprou 4 cadeiras no Super África, cujo preço era de 15 000 kz cada. Noentanto, foi feito um desconto de 200 kz por cada cadeira. Quanto pagou a Nanda?
«Contas» feitas pela Nanda.Quantia a pagar por cada cadeira: 15 000 kz – 200 kzQuantia a pagar pelas 4 cadeiras:
4 cadeiras = 4 × (15 000 – 200) = ____________ × ____________ = ____________
Super ÁfricaPreços das cadeiras sem descontos: 4 × 15 000 = ______________
Total dos descontos: 4 × 200 = ______________
Total a pagar: 4 × 15 000 – 4 × 200 = ______________ – ______________ = ______________
Conclusão
4 × (15 000 – 200) = 4 × 15 000 – 4 × 200
Esta propriedade chama-se Propriedade Distributiva da Multiplica-ção em Relação à Adição.
(5 + 3) × 200 = 5 × 200 + 3 × 200
12
Concluímos que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção.
Calcula como no exemplo:6 × (9 – 5) = 6 × 9 – 6 × 5= 54 – 30 = 24
16 × (10 – 7) = (________ × ________) – (________ × ________)= ________ – ________ – ________
= ________
5,2 × (6 + 4) = (________ × ________) + (________ × ________)= ________ + ________
= ________
2,7 × (13 – 10) = (________ × ________) – (________ × ________)= ________ – ________
= ________
6,7 × (9 + 7) = (________ × ________) + (________ × ________)= ________ + ________
= ________
Completa usando a propriedade distributiva:
5 × (13 + 6) = ________ × 13 + ________ × 6
Verificas que há um factor comum aos dois produtos. Este factor é o 5. Então, tam-bém podemos escrever:
5 × 13 + 5 × 6 = 5 × (13 + 6)
Põe em evidência o factor comum.
6 × 9 + 6 × 5 5,2 × 6 – 5,2 × 4 12 × 3 + 1,2 × 3 7 × 93 + 16 × 7
8 × 3 + 8 × 7 7,6 × 9 + 9 × 3 2,5 × 5 + 0,8 × 5 3 × 24 + 9 × 24
17 × 4 + 4 × 8 4,8 × 2 + 4,8 × 4 10 × 2,3 – 3 × 2,3 32 × 8 + 14 × 8
13
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1Números primos e números compostos
Estudámos o conjunto de divisores de alguns números naturais.
Divisores de 3 = {1; 3}Divisores de 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}Divisores de 17 = {1; 17}Divisores de 9 = {1; 3; 9}Divisores de 8 = {1; 2; 4; 8}
Verificamos que os números 3 e 17 só têm dois divisores, o número 1 e o próprionúmero. Esses números chamam-se números primos.
Os restantes números chamam-se compostos porque admitem mais de dois divi-sores.O número 1 nem é primo nem é composto porque admite apenas um divisor: elepróprio.
Indica todos os números primos compreendidos entre os seguintes números:a) 10 e 20 b) 50 e 60c) 30 e 40 d) 0 e 20e) 40 e 50 f) 70 e 80
Qual é o maior número primo inferior a 20?Diz o maior número primo compreendido entre 13 e 17.
Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência
Decomposição em factores primos
Repara:
30 = 2 × 15 ou 30 2 28 = 2 × 14 ou 28 215 3 14 2
5 5 7 71 1
2 × 3 × 5 2 × 2 × 730 = 2 × 3 × 5 28 = 2 × 2 × 7
Um número chama-se primo se admitir dois e só dois divisores, o nú-mero 1 e o próprio número.
14
Número
Resto dadivisão por 2
7 16 23 39
1
72 92 45 144
0
60 113 40 17 98
O que verificaste?
Ao fazermos a decomposição de um número inteiro em factores de maneira quetodos os factores sejam números primos, efectuamos uma decomposição em fac-tores primos.
Decompõe como no exemplo:108 = 2 × 54
= 2 × 2 × 27= 2 × 2 × 3 × 9= 2 × 2 × 3 × 3 × 3108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
128 =
50 =
162 =
Decomposição sob a forma de potência
Observa o exemplo anterior.108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Nesta decomposição em factores primos, aparecem repetidos factores comuns quepodemos escrever sob a forma potencial.
2 × 2 = 22 (lê-se dois ao quadrado)3 × 3 × 3 = 33 (lê-se três ao cubo)
Esta forma de escrever chama-se potência. Numa potência «an» em que «a» é abase e «n» é o expoente, o expoente indica o número de factores iguais à base.Escreve os números dos exercícios anteriores sob a forma de potência.
Critérios de divisibilidade por 2
Observa o quadro seguinte e completa.
15
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1Diz quais são os números que, ao serem divididos por 2, dão resto zero.Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em 0, 2, 4, 6 e 8.
Critério de divisibilidade por 10 e 5
Observa e completa o quadro seguinte.
Diz quais os números que, ao dividirmos por 10, dão resto zero.Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em zero.
Tal como na divisão por 10, 30, 660 e 810, os números também dão resto zero.Realizamos o mesmo raciocínio para encontramos um critério para a divisibilidadepor 5.
Utilizando os critérios de divisibilidade, escreve quais dos seguintes números sãodivisíveis por 2, por 5 ou por 10.
Número92496 50045863670265 300
2 5 10
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for 0.
Número
Resto dadivisão por 10
25 96 10 15 30 105 600 810
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidadesé 0, 2, 4, 6 e 8, se o número for par. Os outros números não sãodivisíveis por 2.
16
Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
Para conhecermos o m.d.c. e o m.m.c., podemos começar a organizar conjuntos dedivisores.
Observa:Escreve o conjunto de divisores comuns de 9 e 15.
D9 = {1; 3; 9}
D15 = {1; 3; 5; 15}
{divisores comuns de 9 e 15} = {1; 3}
Certamente irás perguntar qual será o m.d.c.Formamos, para cada um dos números dados, o conjunto dos respectivos divisorese, com base neste, determina-se o conjunto dos divisores comuns, sendo o seu ele-mento máximo o m.d.c.
No exemplo precedente, 3 é o m.d.c. de 9 e 15.Mas como calcular o máximo divisor comum?
Consideremos os números 18, 48 e 72.
17
NÚMEROS E OPERAÇÕES
18 = 2 × 3 × 348 = 2 × 2 × 2 × 2 × 372 = 2 × 2 × 2 × 3 × 318 = 2 × 32
48 = 24 × 372 = 23 × 32
2 e 3
2 × 3 = 6m.d.c. (18, 48, 72) = 6
1. Decompor em factores primos
2. Escrever os produtos sob a forma potencial
3. Seleccionar os factores primos comuns (de menor expoente)
4. Formar o produto das potências seleccionadas
TEMA 1
Consideremos agora os múltiplos comuns de 3 e 5.Múltiplos de 3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; …; 30; …}Múltiplos de 5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
Consideremos agora os múltiplos comuns dos números 3 e 5 = {15; 30; 45; …}Entre todos os múltiplos de 3 e 5, existe o menor múltiplo comum, que é 15.Assim, m.m.c. (3; 5) = 15
Como calcular o mínimo múltiplo comum?Consideremos os números 27 e 40.
1. Determina o m.d.c. dos seguintes números:a) 4; 9; 24 b) 6; 34; 221
2. Determina por meio de decomposição em factores primos o m.m.c. dos seguin-tes números:a) 8; 10; 12 b) 44; 78; 143 c) 15; 18; 24
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números éo produto de factores comuns e não comuns de maior expoente.
O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais númerosé igual ao produto de factores comuns de menor expoente.
18
27 = 3 × 3 × 340 = 2 × 2 × 2 × 5
27 = 33
40 = 24 × 523; 33 e 5
23 × 33 × 5 = 1080m.d.c. (27, 40) = 1080
1. Decompor em factores primos
2. Escrever os produtos sob a forma potencial
3. Seleccionar os factores primos comuns (de maior expoente) e não comuns
4. Formar o produto das potências seleccionadas
Exercíc ios
Ampliação de fracções
Observa as seguintes fracções:
As fracções resultam da ampliação da fracção .
Essas fracções chamam-se fracções equivalentes.
Amplia as seguintes fracções por 2, 3 e 4:
a)
b)
c)
Vamos representar as fracções seguintes na semi-recta numérica: .
Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo pontoda semi-recta numérica.
0 321
32
64
128
2416
; ; e
Se multiplicarmos os dois termos da fracção pelo mesmonúmero, obteremos uma fracção ampliada.
32
26
12
32
64
128
2416
= =
3 22 2
6 24 2
12 28 2
2416
××
= ××
= ××
= …
33
64
128
2418
; ; e
19
NÚMEROS E OPERAÇÕES
32
64
128
2416
; ; ;
TEMA 1
20
Exercíc ios
1. Amplia a fracção sucessivamente pelos números seguintes.a) 4b) 2c) 12d) 7
2. Representa as fracções na semi-recta numérica.
Simplificação de fracções
Observa as seguintes fracções:
As fracções resultam da simplificação da fracção por 2.
Simplifica as seguintes fracções:
a) b) c)
d) e) f)
Se se efectuar a simplificação sucessiva às fracções por 2, obteremos a
fracção .32
2416
128
64
; ;
140200
6090
1218
3648
1624
24
2416
128
64
32
; ;
2416
22
128
22
64
22
32
÷ = ÷ = ÷ =
2416
128
64
32
; ; ;
12
34
0 5 76
63
; ; , ; e
34
21
NÚMEROS E OPERAÇÕES
35
27
49
34
; ; ;
2416
128
64
32
; ; ;
A fracção não pode mais ser simplificada, pois é uma fracção irredutível.
As fracções representam o mesmo número , portanto, são chamadas
fracções equivalentes.
Vamos representar as fracções na semi-recta numérica.
Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo pontoda semi-recta numérica.
1. Representa as fracções na semi-recta numérica.
2. Escreve algumas fracções equivalentes a:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i)1415
2122
39
1315
126
29
510
45
13
0 3 765421
128
12
43
568
; ; e
0 321
2416
128
64
32
; ; ;
32
2416
128
64
; ;
Uma fracção chama-se irredutível se os seus termosforem primos entre si.
32
TEMA 13. Demonstra por meio do desenho que:
a) b) c)
4. Completa as equivalências.
a) b) c) d)
e) f) g)
5. Simplifica.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
6. Determina as fracções equivalentes a cujos numeradores estão compreendi-
dos entre 34 e 95.
Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções
A simplificação de fracções cujos termos são muito grandes torna a divisão suces-siva dos termos mais fastidiosa. Vamos usar o máximo divisor comum para sim-plificar as fracções.
Exemplo: para simplificar a fracção , decompomos em factores primos:
105 = 21 × 5 = 3 × 7 × 5 = 3 × 5 × 7
140 = 14 × 10 = 2 × 7 × 2 × 5 = 22 × 5 × 7
m.d.c. (105; 140) = 5 × 7 = 35
104140
79
90900
=72360
=4896
=1428
=
1618
=3672
=1248
=515
=
1514 28
=99
19
=16
82
=
1 1236
=25 40
=14 12
=23
8=
14
312
=25
410
=13
39
=
22
105 335 57 71
140 270 235 57 71
105 = 3 × 5 × 7 140 = 22 × 5 × 7
Dividimos os termos da fracção pelo m.d.c. (105; 140 = 35)
Simplifica as seguintes fracções (usando o m.d.c.):
a) b) c) d)
Operações com números racionais
Adição e subtracção de fracções
Fracções com o mesmo denominador
A Isabel comprou uma tablete de chocolateque dividiu em 5 partes iguais.
No primeiro dia comeu e no segundo dia . Qual é a parte de chocolate que a
Isabel comeu nos dois dias?Para resolver este problema, vamos adicionar as duas fracções.
Conhecendo a parte de chocolate que a Isabel comeu, podemos calcular a parte queficou.
Já se sabe que o chocolate foi dividido em 5 partes iguais ou .
A parte de chocolate que ficou é igual a .
Para adicionar fracções de igual denominador, somam-se os numeradores, man-tendo-se o denominador comum.
Para subtrair fracções de igual denominador, subtraem-se os numeradores, man-tendo-se o denominador comum.
1522
922
15 922
622
––= =4
525
4 25
25
––= =
18
38
28
1 3 28
68
+ + = + + =37
27
3 27
57
+ = + =
55
45
15
– =
55
15
35
1 35
45
+ = + =
35
15
300180
600630
153432
3690
105140
3535
34
÷ =
23
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1
1. Calcula as somas ou diferenças das fracções seguintes.A B
a) g)
b) h)
c) i)
d) j)
e) l)
f) m)
2. Completa com a fracção que falta.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i) + =929
2229
–311
1111
=615
215
1515
+ + =
14
14
44
+ + =49
19
– =1915
715
– =
139
59
– =1825
825
= +97
157
+ =
13819
10219
1419
– –17
27
37
+ +
3263
1763
–8 215
415
+ +
101344
99344
–1715
1815
+
2212
1112
1012
– –1513
413
+
2953
2053
–1513
413
–
2325
1225
–24
14
–
24
Exercíc ios
a)
b)
c)
c)
d)697173
45173
28173
– +
106
96
166
+ +
205120
150120
90120
+ –
106
96
166
+ –
135
25
45
+ +
Fracções com denominadores diferentes
Como adicionar ou subtrair fracções com denominadores diferentes.
Exemplo:
Já aprendeste a transformar as fracções noutras equivalentes.
Vamos transformar essas fracções em fracções equivalentes, ampliando-as, demodo a obter fracções com denominadores iguais.
As fracções são equivalentes.
De modo igual, é equivalente a têm o mesmo denominador.
Assim, .
De modo igual, .
Para adicionar fracções com denominadores diferentes, deve-se:
– reduzir as fracções ao mesmo denominador;
– calcular a soma dos numeradores, mantendo o denominador comum.
De igual modo, para subtrair fracções com denominadores diferentes, deve-se:
– reduzir as fracções ao mesmo denominador;
– calcular a diferença dos numeradores, mantendo o denominador comum.
810
25
810
410
8 410
410
– ––= = =
32
57
2114
1014
21 1014
+ = + = +
1014
2114
1014
; e57
32
2114
e
32
64
96
128
1510
1812
2114
57
1014
= = = = = = …
=
32
57
810
25
+ = =; –
25
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1
1. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
i) j)
Calcula a soma das seguintes fracções:
Se os denominadores tiverem grandes números, temos de achar o m.m.c. dos de-nominadores.
m.m.c. (21, 35) = 105Assim:
De modo igual, para calcular , procedemos como no caso anterior.
m.m.c. (21, 35) = 105, logo:
1621
80105
1235
36105
1621
1235
805 3( ) ( )× ×
= =
=–
e
110536
10544
105– =
1621
1235
–
1621
80105
1235
36105
1621
1235
805 3( ) ( )× ×
= =
+ =
e
110536
105116105
+ =
1621
1235
+ =
158
69
+ =34
27
– =
105
67
– =56
38
– =78
512
– =25
34
12
+ + =
14
56
+ =34
12
– =57
814
+ =23
12
+ =
26
Exercíc ios
Utilizando o m.m.c., calcula a soma ou a diferença dos dois números seguintes.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista
Exemplo:
a) b)
c) ou 9 138
5 47
858
397
595 31256
28356
– –
–
=
=
=
9 138
5 47
9 5 138
47
4 91 3256
4 5956
– – –
–
= ( ) +
= +
=
7 34
5 45
7 5 34
45
12 15 1620
12 3120
13 112
+ = +( ) + +
= + +
=
=00
3 12
10 35
3 10 12
35
2 5 10
13
+ =
+( ) + + ( ) =
+
. . . ,m m c
112
35
13 510
610
13 5 610
14 110
5 2×( ) ×( )
+ = + + = + =
1766
344
233
755
+ – –47
16
514
1621
13
178
+ + + + +1124
1736
781
+ +
3940
4930
+3591
2565
–1220
815
–
427
536
–116
221
+512
138
+
27
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
TEMA 1
1. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
i) j)
Propriedades da adição de números fraccionários
Propriedade associativa
A soma pode calcular-se da seguinte forma:
ou25
34
512
25
34
512
25
9 512
25
+ + = + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ++
= +
=
1414
24 7060
9460
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
= +
= + =
8 1520
512
2320
512
69 2560
9460
25
34
512
25
34
512
+ + = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + =
25
34
512
+ +
7 4550
5 1428
+21 910
+
3 15
2 16
–4 74
3–9 6 35
–18 575
20 35210
+
10 615
8 1260
+1 14
15
–6 59
7 27
–5 13
2 17
+
28
Exercíc ios
Logo, .
Esta igualdade traduz a propriedade associativa de adição dos números racionais.
De modo geral, se com são números fraccioná-
rios, temos:
Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é associativa.
Propriedade comutativa
Esta igualdade traduz a propriedade comutativa da adição dos nú-
meros fraccionários.
De modo geral, se com são números fraccionários, temos:
Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é comutativa.
Existência de elemento neutro
. 0 é o elemento neutro da adição dos números fraccionários.
Em geral, sendo um número fraccionário qualquer, tem-se:
ab
ab
ab
+ = + =0 0
ab
710
0 0 710
710
+ = + =
ab
cd
cd
ab
+ = +
b e d≠ ≠0 0ab
e cd
27
58
58
27
+ = +
ab
cd
ef
ab
cd
ef
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + = + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
b d e f≠ ≠ ≠0 0 0,ab
cd
e ef
;
25
34
512
25
34
512
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + = + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
29
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1
1. O tio André comprou um terreno a prestações. Na primeira prestação, pagoua quantia correspondente à metade do terreno. Na segunda prestação
. Que parte do terreno falta pagar?
2. Um bolo foi dividido em 15 partes iguais. O pai comeu de bolo, a mãe
comeu . Que parte de bolo ficou?
3. O senhor Dias resolveu de exercícios de matemática de manhã. No perío-
do da tarde, resolveu . Que parte de exercícios fez no total? Que parte
de exercícios ficou por fazer?
4. Um auditório com 430 cadeiras está lotado com homens, mulheres e crian-ças. O número de mulheres é igual ao de crianças e o número de homens é
do número de mulheres. Quantas crianças estão no auditório?
5. As turmas A e B da 6.a classe têm no total 105 alunos. A turma A tem donúmero de alunos da 6.a B. Quantos alunos tem cada turma?
Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais
Adição de fracções decimais
José e Isabel estavam a pintar o pavimentoda sala, que se apresenta da seguinte forma:
No fim o pavimento ficou com este aspecto.
O José assinalou com J os quadrados que por ele foram pintados e com I os queforam pintados pela Isabel.Determina a parte pintada pelos dois.
47
25
15
13
415
315
13
30
Problemas
J J I I
J I I
O José pintou 0,3 ou 3/10 do pavimento e a Isabel pintou 0,4 ou 4/10.
Os dois pintaram: 0,3 + 0,4 = 3/10 + 4/10
Outro exemplo de adição:
Adição escrita dos números decimais
Com o mesmo número de casas decimais, pode ser efectuada a adição escrita dosnúmeros naturais.Colocam-se unidades por baixo de unidades, décimas por baixo de décimas, cen-tésimas por baixo de centésimas de forma que as vírgulas fiquem no mesmo ali-nhamento.
0,3 13,005+ 0,4 2,346
0,7 0,008+ 112,239
127,598
Subtracção de fracções decimais
No exemplo precedente sobre o pavimento, pode calcular-se a parte da sala quenão foi pintada.Já sabemos que a parte pintada representa os de pavimento.Que fracção representa a restante parte?Sabemos que a sala foi dividida em 10 partes.
As 10 partes são representadas pela fracção .
foram pintadas. É claro que podemos calcular a parte que resta.710
1010
710
13 005 2 346 0 008 112 239
130051000
234610
, , , ,+ + +
= +000
81000
1122391000
13003 2346 8 112239100
+ +
= + + +00
1275981000
127 598
=
= ,
= +
=
=
3 4107100 7,
31
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1Assim, teremos:
Outro exemplo de subtracção:
A subtracção escrita dos números decimais com o mesmo número de casas deci-mais pode ser efectuada do mesmo modo que a adição escrita dos números natu-rais, respeitando as condições dadas na adição escrita.
1,0 15,269– 0,7 – 10,385
0,3 4,884
1. Calcula sob a forma fraccionária.
1. a) 3,5 + 2,18 + 21,009 e) 0,7 + 0,25 + 4,008 + 1,572b) 5,19 + 4,2 f) 3,5 + 6,01 + 0,8c) 6,4 + 10 + 1,38 g) 0,008 + 0,014 + 1,006d) 12 + 3,106 + 0,004 h) 6,4 + 1,25 + 0,425 + 1,4
2. a) 13,5 – 11,06 e) 5 – 0,03b) 9,86 – 5,998 f) 1,4 – 0,76c) 0,8 – 0,567 g) 2,412 – 1,367d) 3,2 – 1,289 h) 0,763 – 0,397
15 269 10 385 152691000
103851000
15269 103
, – , –
–
=
= 8851000
488410004 884
=
= ,
1010
710
10 710
310
––=
=
32
Exercíc ios e Problemas
2. Calcula sob a forma de números decimais.
1. a) 5,7 +9,09 + 10,21 e) 18,23 – 7,615b) 3,4 + 5,23 f) 12 – 0,09c) 2,3 + 5,6 + 0,004 g) 3 – 0,003d) 26,206 – 12,14 h) 75,2 – 68,54
3. Um motorista percorreu no 1.° dia 15 km, no segundo dia 19 km e 7 m e no ter-ceiro 25 km e 8 m. Calcula a distância percorrida pelo motorista durante os trêsdias.
4. A Ana preparou um bolo que comeu da seguinte forma:
No primeiro dia comeu do bolo, no segundo dia comeu e no terceiro dia
comeu . Qual foi a parte do bolo que sobrou?
5. Quanto tenho de juntar a 15,7 para obter 20,5?
6. O José comprou 3,50 m de tecido para fazer duas calças, uma com 1,25 m e outracom 1,75 m. Quantos metros de tecido sobraram?
Multiplicação de números fraccionários
A Cecília cultivou de da área do seu quintal. Qual é a área total destinada à
plantação?
Para responder, precisamos de calcular de , ou seja, .
Considera o rectângulo seguinte, querepresenta a área total do quintal daCecília dividida em 3 partes iguais.
23
56
×56
23
56
23
210
510
510
33
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios e Problemas
23
TEMA 1Considera o mesmo rectângulo, dividido em 6 partes iguais.
Sobrepõe os dois rectângulos: obténs um rectângulo dividido em 18 partes iguais.
Assim, ou .
Calcula:
Para multiplicar dois números representados por fracções, mul-tiplicam-se os numeradores e os denominadores entre si.
12
53
1 52 3
56
× = ××
=
23
56
2 53 6
1018
× = ××
=23
56
1018
× =
34
56
56
23
Multiplicação de uma fracção por um número inteiro
Exemplo 1:
Já sabes que todo o número inteiro pode escrever-se sob a forma de uma fracçãocom denominador 1. Assim:
Exemplo 2:
Usando a regra:
Podes também calcular deste modo:
1. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)16
0 36× ,23
1 5× ,34
0 5× ,1
189×
15
35×2530
414
×12
64
×57
19
×
12
1 5 0 5 1 5 0 75 75100
75 25100 25
× = × = = ÷÷
=, , , , ou 334
12
1 5 12
1510
1 151 10
1520
34
× = × = ××
= =,
12
1 5× =,
Para multiplicar uma fracção por um número inteiro, multipli-ca-se o número pelo numerador, mantendo o denominador.
25
8 25
81
2 85 1
165
25
8 2 85
165
× = × ××
= × = × =, logo, ou
25
8× =
35
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
TEMA 1
2. Faz os cálculos indicados e simplifica os resultados obtidos para expressões sim-ples (fracções irredutíveis).
a) b) c) d)
e) f) g) h)
3. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
4. Calcula.a) 15,2 × 14,8 × 5,3 b) 4,02 × 5,4 × 6 c) 12,8 × 13,2 × 4,7d) 1,2 × 1,5 × 3,9 e) 3,02 × 1,51 × 3,1 f) 1,6 × 4,1 × 5,07
Propriedades da multiplicação de números fraccionários
Completa a tabela seguinte.
Com base nos resultados obtidosna tabela, completa e tira uma con-clusão.
1 5 54
54
1 5, ,× = × =e
1512
3 163
× ×153
12 822
× ×12
29
15× ×512
3 45
× ×
512
3 45
× ×53
47
2120
× ×58
8 415
× ×37
56
23
× ×
15 3 15
×3 15
10×5 415
×35
15×
3 34
8×12 74
×2 13
6×415
3×
36
Exercíc ios
×
0
12
1,5
54
1
4567
0
0
0
0
0
0
0
0
12
0
1,5
0
54
0
1
0
45
0
67
0
A multiplicação dos números fraccionários é comutativa. Se a e b são númerosfraccionários, temos a × b = b × a.
0 é o elemento absorvente da multiplicação dos números fraccionários. Se a é umnúmero fraccionário, temos: a × 0 = 0 × a = 0
. 1 é o elemento neutro da multiplicação dos números frac-
cionários.
Se a é um número fraccionário, temos: a × 1 = 1 × a = a.
Considera a seguinte expressão:
Calcula este produto. É óbvio que obténs ou . Calculamos esta expressãoda seguinte forma:
Podes concluir que:
Já conheces esta propriedade: Propriedade Associativa.Se a, b e c são números fraccionários, temos:
a × (b × c) = (a × b) × c
25
37
34
27
37
34
× ×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ×⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ ×
25
37
54
25
37
54
25
1528
× ×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ×⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ ×
= × =
ou
6635
54
30140
×
=
314
30140
25
37
54
× ×
1 12
12
1× = × =e
0 67
67
0× = × =e
37
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1O Pedro e o André estiveram a fazer o seguinte cálculo:
Vejamos como os dois procederam:
Finalmente, os dois chegaram ao mesmo resultado.O André utilizou um procedimento. Como se chama esta propriedade? Logo, a propriedade que o André utilizou é a propriedade distributiva.Tu também vais utilizar os dois procedimentos, procurando chegar ao mesmoresultado.
Com certeza que nos dois procedimentos chegaste ao mesmo resultado: ou .
Podes concluir o seguinte:
A multiplicação dos números fraccionários é distributiva emrelação à adição e à subtracção.
Se a × (b ± c) = a × b ± a × c
1415
2830
45
53
12
× ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =–
André32
15
46
32
15
32
46
310
1212
31
× +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= × + ×
= +
=00
1
310
1010
3 1010
1310
+
= +
= +
=
Pedro32
15
46
32
6 2030
32
2630
3 262
× +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= × +
= ×
= ×××
=
÷÷
=
307860
78 669 6
1310
32
15
46
× +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
38
Inverso de um número
A São e a Laura estavam a fazer perguntas em Matemática.A Laura perguntou à São: Qual é o número que, multiplicado pelo número dado,dá 1?Exemplo: 7 × ? = 1
A São responde o seguinte: É , pois .
A São, por sua vez, fez a pergunta à Laura.
Se o número for a fracção :
A Laura respondeu que este número é , pois .
Assim, os números e são chamados inversos de 7 e .
O inverso de um número fraccionário é o número cujo produto com este éigual a 1 ou o inverso de um número fraccionário é a fracção obtida, permu-tando os seus termos.
O recíproco de .
Se é um número fraccionário diferente de zero, então temos:
. Todo o número tem inverso, excepto o 0.
1. Calcula, aplicando a propriedade distributiva.
a) b) c)
d) e) f) 57
75
5 14
–⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ×8
1323
35
–⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ×7
11211
2325
–⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ×
75
34
1545
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ×3
424
53
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ×3 5
225
× +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ab
ba
a b× = ≠ ≠( )1 0 0;
ab
ab
é ba
57
75
17
57
75
1× =75
57
1× =57
7 17
1× =17
39
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
TEMA 1
2. Calcula, aplicando a propriedade comutativa.
a) b) c)
d) e) f)
3. Completa.
a) b) c)
d) e) f)
4. Aplica a propriedade associativa.
a) b) c)
d) e) f)
Divisão de números fraccionários
Determinação do quociente de dois números fraccionários
• Divisão de um número natural por uma fracção
O Diogo comprou 7 laranjas e quer dividir cada uma em três partes. Quantos
terços terá o Diogo?
O problema consiste em dividir as 7 laranjas em três partes iguais.
Seja .7 13
21 7 31
21÷ = × =ou
3 1 2 5 4, ,× ×35
12
87
× ×23
15
49
× ×
1113
32
13
× ×32
610
4× ×15
27
12
× ×
1510
1× =314
1× =1 13
= ×
1 916
= ×5322
1× =169
1× =
15
9× =1213
25
× =32
68
× =
6 43
× =73
97
× =14
5× =
40
Exercíc ios
• Divisão de uma fracção por um número natural
Se dividirmos um terço da laranja por dois alunos, cada um receberá:
(um sexto da laranja)
• Divisão de dois números fraccionários
A divisão de
Para dividir dois números fraccionários diferentes de zero, multiplica-se odividendo pelo inverso do divisor.
• Cálculo mental da divisão de números fraccionários
O quociente de dois número fraccionários iguais, diferentes de zero, é 1.
Sabes que .
Qual é o valor de ?
Qualquer número dividido por 1 dá um resultado igual ao próprio número.
35
1 35
÷ =
35
1÷
7 13
21÷ =
13
13
1÷ =
35
92
35
29
645
215
÷ = × = ou
13
12
13
12
13
21
23
por é: ÷ = × =
13
2 16
13
12
16
÷ = × =ou
41
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1
1. Calcula.
a) b) c)
d) e) f)
2. Faz o cálculo indicado e verifica o resultado.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
3. Calcula mentalmente.
a) b) c) d)
e) f) g) h)219
1100
÷12
11
÷610
1÷7 17
÷
3 15
÷1 14
÷15
16
÷25
25
÷
5 43
199
÷6 35
2210
÷4 35
4615
÷8113
1813
÷
4523
946
÷058
38
÷34
25
÷14
13
÷
32
14
÷15
12
÷24
13
÷
17
115
÷14
5÷3 12
÷
42
Exercíc ios
Multiplicação de números decimais
• Multiplicação de um número natural por um número decimal
Já aprendeste a multiplicar um número inteiro por uma fracção e também a trans-formar números decimais em fracções decimais. Utiliza esta transformação paramultiplicar o que se segue.
Mais simplificado:
• Multiplicação de números naturais reduzidos a fracções decimais
Exemplo a)
Exemplo b)
0 721 5 1 7211000
5110
3677110000
3 6771, , ,× = × = =
4 6 2 7 4610
2710
1242100
12 42, , ,× = × = =
5 2 3 5 2310
11510
11 5
× = ×
=
=
,
,
5 2 3 2310
2310
2310
2310
2310
23 23 23 23
× = + + + +
= + + + +
,
22310
11510
11 5
=
= ,
43
NÚMEROS E OPERAÇÕES
TEMA 1
1. Escreve os seguintes produtos em fracções decimais e calcula.a) 0,12 × 5 b) 0,125 × 8 c) 33,2 × 0,072d) 0,24 × 0,25 e) 0,0084 × 13,7 f) 0,3 × 0,4 × 0,5g) 33,2 × 0,072 h) 81,4 × 0,6 × 0,5 i) 0,01 × 0,01 × 0,01
2. Sabendo que 172 × 35 = 6020, escreve o valor dos seguintes produtos, sem efec-tuares cálculos.a) 0,172 × 3,5 b) 1,72 × 0,35 c) 1,72 × 3,5d) 17,2 × 3,5 e) 17,2 × 0,35 f) 0,172 × 0,35
3. Ordena os produtos seguintes do menor para o maior, sem efectuares os cálcu-los.a) 2,5 × 3,36 b) 25 × 3,36 c) 0,25 × 0,336d) 2,5 × 33,6 e) 0,025 × 0,336 f) 25 × 336
Divisão de números fraccionários representados por números decimais
• Divisão de fracção decimal por um número natural
A Mimi comprou 12,25 m de tecido, com os quais quer fazer 5 saias iguais paravender.Quantos metros utilizou a Mimi para cada saia?Para saber quantos metros a Mimi utilizou, dividimos 12,25 por 5.
Transformamos 12,25 em fracção decimal.
12 25 1225100
1225100
5 1225100
51
1225100
1
, =
÷ = ÷
= ×55
2451002 45
=
= ,
44
Exercíc ios
• Divisão de dois números decimais
Exemplo 1:
Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.
Exemplo 2:
Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.
1. Efectua as seguintes divisões, transformando os números decimais em fracçõesdecimais.a) 15,03 : 6 b) 5 : 0,2 c) 3,5 : 1,7d) 13,09 : 10,5 e) 0,5 : 0,001 f) 0,75 : 3,9g) 98,6 : 0,6 h) 2,31 : 1,35
2. A mãe da Amélia comprou uma caixa de morangos de 350 kg. A caixa contémcaixinhas de 0,25 kg. Quantas caixinhas contém a caixa?
3. Com 1 kg de ouro, quantos anéis de 0,01 kg se podem fabricar?
4. Quantas tabletes de chocolate de 0,020 kg se podem fabricar com 30 kg de choco-late?
525100
1015
52510 1535103 5
×
=×
=
= ,
5 25 1 5 525100
1510
, ,÷ = ÷
122 5 4 9 122510
4910
122510
1049
122549
25
, ,÷ = ÷
= ×
=
=
122 5 4 9, ,÷
45
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
• Triângulos
• Construção de triângulos particulares. Construçãode triângulos segundo os ângulos e os lados
• Quadriláteros
• Propriedade dos quadriláteros
• Propriedade dos paralelogramos
• Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo
• Área do paralelogramo
• Área do triângulo
• Volume do prisma
• Volume do cilindro
• Volume do prisma e volume do cone
Geometria
TEMA 2
TEMA 2Triângulos
Construção de triângulos
Construção de triângulos segundo os lados
1.° caso: Construção de um triângulo equilátero dado o comprimento de um lado.Vamos construir o triângulo [ABC], conhecendo a medida do lado AB
____.
Dado: AB____
= 3 cm
Construção
1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta AB____
de comprimento3 cm.
2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento (AB____
= 3 cm).
A B
A B
Sim! É maisfácil!
Ó Bela, na 5.ª classe, aprendemos a classificaros triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados.Agora, vamos aprender a construção dos triângulos.
48
3.° Com o bico do compasso no ponto A do segmento de recta AB____
, traça o arco dacircunferência de raio 3 cm.
4.° Faz o mesmo na outra extremidade B. Assinala o ponto de intersecção C.
5.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].
2.° caso: Construção de um triângulo isósceles dado o comprimento de dois ladosiguais.Vamos construir o triângulo [QRP], conhecendo as medidas dos lados PQ
____, PR
____e QR
____.
Dados: PQ____
= 4 cm; PR____
= 4 cm; QR____
= 2 cm.
Construção
1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta QR____
de comprimento2 cm.
Q R
A B
C
A B
C
A B
49
GEOMETRIA
TEMA 22.° Com o compasso, mede o segmento traçado (QR
____= 2 cm).
3.° Com o bico do compasso no pontoQ do segmento de recta QR
____, traça o
arco da circunferência de raio 4 cm.
4.° Faz o mesmo na outra extremidade R.Assinala o ponto de intersecção P.
5.° Une os pontos Q, R e P e obténs otriângulo [QRP].
3.° caso: Construção de um triângulo escaleno, dado o comprimento de três lados.Vamos construir o triângulo [MRA], conhecendo as medidas dos lados MR
_____, RA
____e
MA_____
.Dados: MR
_____= 4 cm; RA
____= 6 cm; MA
_____= 8 cm.
Q R
50
Q R
Q
P
R
Q
P
R
Construção
1.° Começa por traçar o segmento de recta MR_____
com 4 cm.
2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento RA____
= 6 cm.
3.° Com o bico do compasso no pontoR do segmento de recta MR
_____, traça o
arco da circunferência de raio 6 cm.
4.° Faz o mesmo colocando o bico docompasso no ponto M. Traça oarco da circunferência de raio8 cm e assinala o ponto deintersecção por A.
M
R A
R
M R
51
GEOMETRIA
M R
M R
A
TEMA 25.° Une os pontos A, M e R e obténs
o triângulo [MRA].
1. Completa, indicando o nome dos triângulos com as seguintes medidas.
2. Com o auxílio da régua, mede, em centímetros, o comprimento dos lados dotriângulo [ABC] e completa.
AB____
= ________________________
BC____
= ________________________
AC____
= ________________________
O triângulo [ABC] é um triângulo __________________________________________________ .
a3 cm4 cm3 cm5 cm
b5 cm4 cm2 cm5 cm
c2 cm4 cm3 cm2 cm
Nome do triângulo
52
Exercíc ios
A
B C
M R
A
Construção de triângulo segundo os ângulos e lados
1.° caso: Construção de um triângulo acutângulo com os comprimentos de doislados e a amplitude do ângulo por eles formados.
Vamos construir um triângulo [ABC], conhecendo as medidas dos lados AB____
== 4 cm, AC
____= 3,5 cm e a amplitude do ângulo BAC^ = 60°.
Construção
1.° Traça o lado AB____
= 4 cm.
2.° Com o auxílio do transferidor, marca o ângulo de 60° com vértice em A.
3.° Marca o ponto C, medindo o comprimento AC____
com a régua, AC____
= 3,5 cm.
4.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].
A
C
B60°
A
C
B60°
A B60°
A B
53
GEOMETRIA
TEMA 22.° caso: Construção de um triângulo obtusângulo [MRA], conhecendo a medidade um lado e a amplitude dos ângulos adjacentes a esse lado MR
_____= 4 cm.
RMA^ = 45° e MRA^ = 30°
Construção
1.° Traça o segmento de recta MR_____
= 4 cm.
2.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo RMA^ de modo que RMA^ = 45°.
3.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo MRA^ de modo que MRA^ = 30°.
4.° Prolonga as semi-rectas, com origens em M e R, até que se encontrem. No pontode intersecção, escreve A.
M
A
R45° 30°
M R45° 30°
M R45°
M R
54
5.° Une os pontos M, R e A e obténs o triângulo [MRA].
3.° caso: Construção de um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida deJK___
= 5 cm e a amplitude do ângulo LJK^ = 35°.
Vamos construir um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida do ladoJK___
= 5 cm e a amplitude do ângulo LJK^ = 35°.
Construção
1.° Marca o segmento de recta KJ___
= 5 cm.
2.° Com a ajuda do transferidor, ou com umesquadro, marca o ângulo JKL^ de modoque JKL^ = 90°.
3.° A partir do ponto J, marca o ânguloKJL^ = 35°.
K J
M
A
R45° 30°
55
GEOMETRIA
K J
90°35°
K J
90°
TEMA 24.° Marca o ponto L, intersecção de KL
____e JL
___.
5.° O triângulo [JKL] é o triângulo procurado.
1. Completa e indica o nome dos triângulos formados.
Tipo de ângulosÂngulo recto
Ângulo obtusoÂngulo agudo
Nome do triângulo
K J
L
90°35°
K J
L
90°35°
56
Exercíc ios
2. Sendo o ângulo CAB^ = 40° e CBA^ = 30°, com ajuda da régua e do transferidor,constrói e classifica o triângulo [ABC], sendo AB
____= 4 cm.
3. Sendo um dos ângulos de um triângulo igual a 90° de amplitude:a) Que tipo de triângulo se poderá construir?b) Constrói-o.
4. Dado o comprimento do lado EF____
= 6 cm, constrói o triângulo [EFG] tal que osângulos EFG^ e GEF^ meçam, respectivamente, 110° e 40°. Classifica-o.
5. Constrói e classifica o triângulo [MNP]. MN_____
= 3,5 cm; MP_____
= 4 cm; PMN^ = 90°.
6. Constrói e classifica quanto aos lados os seguintes triângulos.a) O triângulo [ABC]
AB____
= 4 cmBAC^ = 50°ABC^ = 50°
b) O triângulo [MNP]MN_____
= 4,5 cmMP_____
= 5 cmPMN^ = 90°
c) O triângulo [RST]RT____
= 3 cmSRT^ = 45°ATR^ = 45°
d) O triângulo [XOP]XP____
= 5 cmXO____
= 3 cmOXP^ = 45°
57
GEOMETRIA
Exercíc ios
TEMA 2Quadriláteros
Propriedades dos quadriláteros
Observa as figuras.
Quantos lados têm as figuras A, B, C, D, E, F e G?As figuras A, B, C, D, E, F e G têm 4 lados: são quadriláteros.
No conjunto dos quadriláteros, há diferenças.Poderás «arrumar» os quadriláteros tendo em conta algumas características co-muns.
AB
EF
C
G
D
Na 5.ª classe aprendemoso que eram linhas paralelase linhas perpendiculares.Agora vamos estudara classificação dosquadriláteros.
E agora?
58
Observaste certamente que há quadriláteros que têm, pelo menos, dois lados para-lelos. São trapézios.
Mas também há quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos. São paralelo-gramos.
No conjunto de paralelogramos, também há diferença.Quais são os que não têm os ângulos rectos?São os paralelogramos não rectângulos.
O paralelogramo F tem os seus lados geometricamente iguais, então, é um losango.
Os paralelogramos E e G têm os quatro ângulos rectos, são paralelogramos rectân-gulos.
No conjunto dos paralelogramos rectângulos, também há diferença.Uns têm os quatro lados geometricamente iguais: são quadrados. É o caso do para-lelogramo G.Outros têm os seus lados paralelos geometricamente iguais, dois a dois: são rectân-gulos. É o caso do paralelogramo F.
E G
D F
D E F G
B C
59
GEOMETRIA
TEMA 2Propriedades dos paralelogramos
Paralelogramoobliquângulo
• lados opostos
• paralelos dois a dois
• lados opostos iguais dois a dois
• ângulos opostos iguais dois a dois
Rectângulonão
quadrado
• lados opostos paralelos dois a dois
• lados opostos iguais dois a dois
• quatro ângulos rectos
Losangonão
quadrado
• lados opostos paralelos dois a dois
• lados opostos iguais dois a dois
• ângulos opostos iguais dois a dois
Quadrado
• lados opostos paralelos dois a dois
• quatro lados iguais
• quatro ângulos rectos
60
61
GEOMETRIA
Exercíc ios
1. Completa o quadro, escrevendo o nome de cada paralelogramo na primeira co-luna e «sim» ou «não» nas outras colunas, atendendo às propriedades.
Paralelogramos 4 lados 1 par de ladosparalelos
2 par de ladosparalelos 4 ângulos 4 lados iguais
TEMA 2
2. Observa os polígonos.
Indica:a) Os quadriláteros.b) Os trapézios.c) Os rectângulos.d) Os paralelogramos rectângulos.e) Os paralelogramos não rectângulos.f) Os quadrados.
3. Diz se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:a) Os losangos têm lados iguais.b) Os losangos são quadrados.c) Os quadrados são rectângulos.d) Todos os quadriláteros são trapézios.e) Todos os trapézios são quadriláteros.f) Todos os paralelogramos são quadriláteros.g) Todos os quadriláteros são paralelogramos.h) Os rectângulos são paralelos.i) Os trapézios são paralelogramos.j) Os rectângulos não são quadrados.
4. Com ajuda da régua e, esquadro, desenha:a) Um paralelogramo.b) Um quadrado.c) Um rectângulo.
A B C D E F
62
Exercíc ios
Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo
Eixo de simetria
Despeja uma porção de tinta numa folha de papel.Dobra a folha de modo que a tinta se espalhe do outro lado do vinco da dobra,como mostra a imagem.
As duas figuras obtidas sãoiguais.
O vinco da dobra representao eixo de simetria.
Reproduz as figuras simétricas, dando o eixo de simetria.
63
GEOMETRIA
Exercíc ios
TEMA 2Bissectriz de ângulo
Representa um ângulo numa folha de papel.Mede a sua amplitude e regista-a.
Dobra a folha de papel, sobrepondo os lados de um ângulo, e assinala o eixo desimetria.
Com um transferidor, mede a amplitude de dois ângulos.Com certeza constataste que o ângulo AOB^ ficou dividido em dois ângulos com amesma amplitude; a semi-recta OC
____é o eixo de simetria.
O eixo de simetria de um ângulo chama-se bissectriz.A bissectriz divide o ângulo em duas partes iguais.Usa o transferidor para representar o eixo de simetria dos seguintes ângulos:
OB
A
C
OB
A
64
a)
b)
Bissectrizes de um ângulo
Sabes que o triângulo tem três ângulos. Podes traçar a bissectriz de cada ângulo.
Verificaste que as bissectrizes se intersectam num ponto.Este ponto chama-se unicentro.
65
GEOMETRIA
c)
d)
TEMA 2
66
Exercíc ios
1. Traça a bissectriz de cada ângulo dos triângulos seguintes.
2. Traça o eixo de simetria das figuras seguintes.
Recorda: Os pontos e figuras do plano que coincidem quando se dobram pelarecta de dobragem estão situados simetricamente em relação a essa recta.
Área do paralelogramo
Nas classes anteriores, já aprendeste a calcular a área do rectângulo.Recordas também que as figuras equivalentes são as que têm a mesma área, em-bora tenham formas diferentes.Vamos calcular a medida da área do paralelogramo, usando papel ponteado.Constrói um rectângulo equivalente. Cortamos o triângulo à direita e juntamos àesquerda, obtendo um rectângulo equivalente.O rectângulo obtido e o paralelogramo têm a mesma base (b) e a mesma medidada altura (h).
Como sabes, a medida da área do rectângulo é b × a. Portanto, a medida da áreado paralelogramo será também A = b × a. A área do paralelogramo é igual ao pro-duto da base pela altura.
1. Calcula a área dos paralelogramos seguintes.
2. Se a área de um paralelogramo é igual a 17,68 cm2
e se a medida da altura é 3,4 cm, determinaa medida da base do paralelogramo.
3. Traça a altura dos paralelogramosapresentados à direita.
5 cm
10 cm
2,5 cm
5 cm
base
base
base
altura altura
67
GEOMETRIA
Exercíc ios
TEMA 2Área do triângulo
Vais agora aprender como se obtém a área de um triângulo.Conta o número de quadrículas do rectângulo.Quantas quadrículas tem o triângulo colorido?
Observaste que há 180 quadrículas no rectângulo e 90 no triângulo. Como a áreado rectângulo é igual a b × a (b é a base e a é a altura), logo, a área do triângulo é
igual a ou (h é a altura).
1. Calcula a área de cada uma das superfícies coloridas.
2. Desenha no teu caderno vários triângulos de diferentes dimensões. Tira as di-mensões e calcula a área de cada um.
5 cm
7 cm
8 cm
9 cm
3 cm
2,5 cm
A b h� = ×
2A a b
� = ×2
68
Exercíc ios
Área do círculo
Cálculo da medida da área do círculo
Traça um círculo numa cartolina e divide-o em 12 sectores idênticos. Recorta essessectores e coloca-os, como se vê na figura à direita, de modo a obteres aproximada-mente um paralelogramo.
Podes concluir que:• o comprimento da figura é aproximadamente metade do perímetro do círculo;• a sua altura é aproximadamente idêntica ao raio do círculo;• a área da figura é aproximadamente idêntica à área do círculo.
A r○ = ×Π 2
Área do círculo P r
r r
r r
r
= ×
= ×
= × ×
=
22
2
2
Π
Π
Π
A área do círculo = metade do perímetro × raio
Metade da circunferência
Raio
69
GEOMETRIA
TEMA 2
1. Calcula a área de um círculo cujo diâmetro mede 3 cm.
2. Completa a tabela seguinte.
3. Calcula a área da superfície colorida cujas circunferências que a limitam têmcomo medida de raio 16 cm e 46 cm, respectivamente.
4. De uma tábua de madeira com 32 cm de largura e 2 m de comprimento, foramrecortados discos com 16 cm de raio.a) Qual é o número máximo de discos que foram recortados?b) Qual é a área da tábua de madeira que foi desperdiçada?
5. Determina a área da superfície colorida.
12 cm
14 cm
18 cm
Raio em cm5
Diâmetro em cm 13
124
Área em cm2
13
124
Perímetro
87,92
70
Exercíc ios
O volume do prisma
Prisma cuja base é um paralelogramo
Sabes que um paralelepípedo rectângulo é um prisma rectangular.Sabes também calcular o volume de um paralelepípedo rectangular e de um cubo.Podes aplicar a mesma fórmula para calcular o volume do prisma recto cuja baseé um paralelogramo.
V = a × a × a V = a × b × c
área da base altura área da base altura
O volume do prisma (cuja base é um paralelogramo) calcula-se multiplicando amedida da área da base pela altura.
Volume dos prismas triangulares rectos
A figura mostra um paralelepípedo rectangular(prisma quadrangular recto) decomposto emdois prismas triangulares iguais. Ora, o volu-me do paralelepípedo = a × b × c.
Assim, o volume de cada prisma triangular é a medida de a × b × c, ou seja,
e, como é a medida da área da base (triângulo) do prisma trian-
gular, podemos escrever:
Volume do prisma triangular V A hb:! = ×
a b×2
V a b c= × ×2
ab
c
a
a
a
71
GEOMETRIA
a b
c
TEMA 2Volume de prismas rectos não triangulares
Qualquer prisma recto pode ser considerado uma composição aditiva de prismastriangulares rectos que têm a mesma altura que o prisma inicial e as bases cujasáreas somam a área da base do mesmo prisma.
O volume de qualquer prisma recto calcula-se multiplicando a medida de área debase pela altura.
1. Calcula o volume de um prisma recto cujas bases são triângulos rectângulos ecujos catetos medem, respectivamente, 4,2 cm e 3,8 cm. A altura do prisma é de5 cm.
2. Calcula o volume de um prisma quadrangular cuja área da base mede 25 cm2 ea sua altura 8 cm.
Volume do cilindro
base
base
altura
72
Exercíc ios
Vamos inscrever prismas nesses cilindros.
Observaste que, à medida que o número de lados do polígono da base aumenta, oprisma inscrito se aproxima cada vez mais do cilindro.Para calcular o volume do cilindro, aplica-se a fórmula do cálculo da medida dovolume do prisma. Como as bases do cilindro são círculos, o cálculo da medida dovolume do cilindro é dado por .A medida do volume de um cilindro é igual ao produto da medida da área da basepela medida da altura.
Exemplo: calcula o volume do cilindro seguinte.
1. Calcula o volume de um cilindro que tem 10 cm de diâmetro e 10 cm de altura.
2. Completano quadroos dadosem falta.
V A h
A r cm
cm
c b
b
= ×
= × = × ( )⎡⎣ ⎤⎦= =
Π 2 2 2
2
3 14 1 5
7 065
, ,
, 00 70650 7065 6 4 239
2
2 3
,
, ,
cmV cm m mc = × =
V r hc = × ×Π 2
V r alturac = × ×Π 2
73
GEOMETRIA
6 cm
3 cm
Exercíc ios
Diâmetro13 cm
Raio
6 cm
Área
7,85 cm2
Volume
8,635 cm3
424,116 cm3
Altura3,5 cm4 cm
2,1 cm
• Sucessões numéricas
• Sucessões numéricas proporcionais
• Proporcionalidade directa
• Sistema de coordenadas rectangulares
• Proporções
• Noções de proporção
• Propriedade fundamental das proporções
• Percentagens
• Percentagens e cálculo mental
• Conversão de fracções ordinárias em percentagens
• Gráficos circulares
• Escala
Proporcionalidade
TEMA 3
TEMA 3Sucessões numéricas
Um camponês cultivou durante seis dias as seguintes áreas:No 1.° dia cultivou 2,5 ha.No 2.° dia cultivou 2 ha.No 3.° dia cultivou 3 ha.No 4.° dia cultivou 1 ha.No 5.° dia cultivou 2,5 ha.No 6.° dia cultivou 3 ha.
Representamos numa tábua os dias e as áreas cultivadas.
2,5; 2; 3; 1; 2,5; 3 é uma sucessão. Cada número natural 1, 2, 3, 4, 5, 6 correspondea um só número da sucessão. Cada número da sucessão chama-se termo.1 é o quarto termo da sucessão.
Indica o 2.° e o 5.° termos da seguinte sucessão:
Completa as sucessões seguintes:a) 2, 4, 6, 8, …, …, 14, …, …, …, 22b) 0, 5, 10, 15, …, …
Sucessões numéricas proporcionais
Comparemos as seguintes sucessões:
a) 1.a Sucessão 1 2 3 4 5
2.a Sucessão 3 5 6 7 10
b) 1.a Sucessão 1 2 3 4 5
2.a Sucessão 2 4 6 8 10
13
23
33
43
53
63
73
; ; ; ; ; ;
Dias 1 2 3 4 5 6
76
Mediante comparação, verificamos:
• Nos dois exemplos, cada termo da segunda sucessão é maior do que o seu cor-respondente na primeira.
• No exemplo b), obtemos cada termo da segunda sucessão multiplicando por 2 otermo correspondente da primeira ou, vice-versa, cada termo da primeira sucessão
obtém-se multiplicando por o termo correspondente da segunda.
• Isto não se verifica nas sucessões do exemplo a).
A relação que existe entre as duas sucessões do exemplo b) tem o nome de propor-cionalidade.
Definição: Duas sucessões numéricas são proporcionais, se cada termo de umasucessão se obtiver multiplicando por um factor constante o termo correspondenteda outra. Este factor denomina-se factor de proporcionalidade.
Para investigar se duas sucessões numéricas são proporcionais, formamos os quo-cientes de cada dois termos correspondentes. Se todos estes quocientes são iguais,então as sucessões numéricas são proporcionais.
Proporcionalidade directa
Um automobilista percorre 30 km por dia. Quantos quilómetros percorre o auto-mobilista em dois, quatro, cinco, oito e dez dias?Colocamos os resultados numa tabela.
Obtemos assim duas sucessões: a sucessão representada pelo número de dias e adistância correspondente percorrida.
a) 2 4 5 8 10
b) 60 120 150 240 300
Dias 2 4 5 8 10
12
77
PROPORCIONALIDADE
TEMA 3Repara que em dois dias o automobilista percorreu 60 km:
2 × 30 km = 60 km.
Em 4 dias, o automobilista percorreu 120 km:4 × 30 = 120 km.
As duas sucessões são proporcionais.
Porque, para obter a sucessão b), terá de se multiplicar cada termo da primeirasucessão por uma constante (neste caso por 30) e, vice-versa, para obter a primeirasucessão, terá de se multiplicar cada termo da segunda sucessão por uma constante
(neste caso por ).
As duas sucessões são chamadas proporcionalidades directas.
Duas sucessões são ditas proporcionalidades directas se os quocientes entre ostermos correspondentes dessas sucessões forem iguais.
1. Dos quadros seguintes, quais são proporcionalidades directas e porquê?
B 6 12 18 24 30
A 1 2 3 4 5
D 2 3 4 5 6
C 10 15 20 24 30
F 10 20 30 40 50
E 1 2 3 4 5
H 7 8 9 10 11
G 14 16 18 20 22
7
35
12
24
602
1204
1506
2408
30010
30= = = = =
130
78
Exercíc ios
Sistema de coordenadas rectangulares
Dois termos correspondentes de duas sucessões numéricas formam um par numé-rico.Sejam as duas sucessões numéricas proporcionais.
Se se determinar qual dos números de um par numérico se deve nomear primeiro,então o par denomina-se par numérico ordenado.Assim, os pares ordenados (x,y) são: (1,3); (2,6); (3,9); (4,12); (5,15); (6,18); (7,21);(8,24); (9,27). E os pares ordenados (y,x) serão: (3,1); (6,2); (9,3); (12,4); (15,5); (18,6);(21,7); (24,8); (27,9).
Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa
Sabes representar números fraccionários mediante pontos numa semi-recta numé-rica e podes representar graficamente pares numéricos ordenados numa parte deplano. Para os representar,traçam-se duas semi-rectasnuméricas perpendicula-res entre si e de origem 0.Estas duas semi-rectas nu-méricas formam o sistemade coordenadas rectangu-lares (sistema cartesiano).Cada uma delas chama-seeixo de coordenadas. Oseixos de coordenadas re-presentam-se frequente-mente por x e y. O eixo decoordenadas representadopor x denomina-se eixodas abcissas; o eixo repre-sentado por y designa-sepor eixo das ordenadas.
x 1 2 3 4 5
18
6
21 24
7 8
27
9
79
PROPORCIONALIDADE
0 1 9 x8765432
27y
24
21
18
15
12
9
6
3
TEMA 3Representamos os pares ordenados das sucessões precedentes num sistema decoordenadas.Todos os pontos da representação gráfica desta proporcionalidade estão situadosnuma mesma recta, que passa pela origem 0.Se não existe proporcionalidade directa, então os pontos da representação gráficanão estarão situadas numa recta.
Exemplo: o gráfico seguinte não representa o gráfico da proporcionalidade directa.
1. A tabela seguinte refere-se a duas sucessões.
a) Diz se nas duas sucessões há proporcionalidade directa.b) No caso de serem proporcionalidades directas, calcula a constante de pro-
porcionalidade.
2. Nas duas sucessões numéricas dadas a seguir, indica os 5 primeiros termos.a) A cada número natural faz-se corresponder o seu duplo.b) A cada número natural faz-se corresponder o número que se obtém ao mul-
tiplicá-lo por .
c) A cada número natural faz-se corresponder o seu triplo, diminuído em 2,5.d) A cada número natural faz-se corresponder o seu quadrado.
32
Distância (km) 120 300 150 360 540 660
Tempo (h) 2 5 2,5 6 9 11
y
x
80
Exercíc ios
3. Investiga as sucessões numéricas (I) e (II) e verifica se são proporcionais. Funda-menta as tuas afirmações. Indica em cada caso a constante de proporcionalidade.a) (I) 1; 2; 3; 4; 5; 6.
(II) 3; 6; 12; 15; 18.b) (I) 2; 4; 6; 8; 10;12.
(II) 3; 5; 7; 9; 11; 13.c) (I) 48; 42; 36; 30; 24; 18.
(II) 24; 21; 18; 15; 12; 9.d) (I) 3; 5; 7; 9; 11
(II)
4. Representa num sistema de coordenadas rectangulares a relação entre suces-sões numéricas (I) e (II).
5. Determina o factor (constante) de proporcionalidade para as sucessões numéri-cas proporcionais.a) 1; 2; 3; 4; 5; 6
3; 6; 9; 12; 15; 18b) 2; 3,5; 5; 6,5; 8
3; 5,25; 7,5; 9,75; 12c) 2; 4; 6; 8; 10
18; 9; 6; 4,5; 3,6
Proporções
Noção de proporções
Numa turma da 6.a classe, há duas alunas para um total de 9 alunos, isto é, duasalunas para cada 9 alunos ou ainda 2 para 9 ou 2 : 9 ou ou (2 : 9). Representa umquociente que permita comparar dois números.O quociente indicado entre dois números a e b (em que b =/ 0) chama-se razão entreeles, a : b ou .
Na razão, a é o antecedente e b é o consequente.
ab
29
2 103
113
6 223
; ; ; ;
81
PROPORCIONALIDADE
Exercíc ios
TEMA 3A Joana comprou 8 kg de carne a 80 kz num supermercado e a sua irmã comprou5 kg no talho e pagou 50 kz.Exprimimos esses dados sob a forma de quocientes e comparamos.
As fracções são equivalentes porque as razões que apresentam são iguais.
Logo, podemos escrever ou 80 : 8 = 50 : 5.
Esta igualdade lê-se: 80 está para 8 como 50 está para 5.
Uma igualdade entre duas razões a : b = c : d ou chama-se proporção.
Designação dos termos de uma proporção
Consideremos, por exemplo, a proporção.
a, b, c e d são termos da proporção. O antecedente da primeira razão (a) e o conse-quente da segunda razão (d) são chamados extremos da proporção. O consequenteda primeira razão (b) e o antecedente da segunda razão (c) são chamados meios daproporção.
ou
Na proporção , 5 e 6 são extremos, 3 e 10 são meios.
Propriedade fundamental das proporções
Seja a proporção .
Multiplicamos os meios: 5 × 12 = 60Multiplicamos os extremos: 3 × 20 = 60
35
1220
=
53
106
=
ab
cd
=ab
cd
=a b c d: :=
ab
cd
ou a b c d= =: :
ab
cd
=
808
505
=
808
505
e
808
10 505
10= =e
82
meios
extremos
extremos meios
Assim, 5 × 12 = 3 × 20Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.Isto verifica-se para todas as proporções.
Se (b, d =/ 0), então b × c = a × d.
1. Forma duas razões iguais dos quatro números dados.a) 14, 26, 28, 13 b) 4, 12, 6, 18c) 5, 4, 10, 8 d) 5, 3, 25, 15
2. A partir da propriedade fundamental das proporções, resolve as seguintes equa-ções.
a) b) c)
d) e) f)
3. Comprova se as seguintes proporções são proposições verdadeiras.
a) b)
c) d)
4. Uma escola do ensino primário tem turmas da 5.a e 6.a classes. O número dealunos da 5.a classe é dois terços do número de alunos da 6.a classe.a) Escreve a razão entre os alunos da 5.a classe e os da 6.a classe.b) Como estão matriculados 360 alunos na 6.a classe, quantos alunos tem a es-
cola?
23
32
15
310
÷ = ÷10 1 2 25 3÷ = ÷,
2 41 5
2 11 4
,,
,,
=34
1 1 12
2÷ = ÷
92
97
57
÷ = ÷x0 63 6, = x8 24
3x=
0 40 8
3,,
=x
x15
724
=x12
936
=
ab
cd
=
83
PROPORCIONALIDADE
Exercíc ios
TEMA 3Percentagens
Já certamente ouviste falar muitas vezes em percentagens.
Exemplos:
Aumento do salário de 10%; o preço da gasolina aumentou 3%; durante o mês deDezembro fizemos um desconto de 30% sobre os nossos preços.Mas o que é que significa tudo isto?10% de aumento de salário significa que em cada 100 kz aumentam 10 kz. 3% deaumento do preço da gasolina significa que em cada 100 kz que se pagava devemaumentar 3 kz.30% de desconto significa que em cada 100 kz gastos há um desconto de 30 kz.Uma percentagem é uma razão expressa em centésimas, isto é, uma razão cujo con-sequente (denominador) é 100.
Notação ou 10% = 0,10 (lê-se dez por cento).
ou 5% = 0,05
Completa:
a) 56% =
b) 130% =
c) 19,6 =
d) 1,04 = _______ = _____%
Percentagens e cálculo mental
Exemplo:
Calcula 15% de 300.
Tu já sabes: 15% = e de 300 é o mesmo que × 300 = 45,
ou seja, 0,15 × 300 = 45.
15100
15100
15100
196
5100
10100
84
Calcula:
a) 12% de 20b) 5% de 8c) 25% de 40d) 70% de 1000e) 85% de 50
Conversões de fracções ordinárias em percentagens
Exemplo:
Converte em percentagem.
Escreve a fracção em fracção decimal. Para termos 100 no denominador, temos
de multiplicar os dois termos da fracção por 20.
Assim, , logo, = 40%.
Converte em percentagem.
Transformamos em número decimal = 0,625.
Transformamos o número decimal em fracção decimal .
Reduzimos a um denominador 100.
Assim,625
100062 5100
62 5= ,, %.ou
6251000
0 625 6251000
, =
58
58
58
40100
25
2 205 20
40100
= ××
=
25
25
85
PROPORCIONALIDADE
Exercíc ios
TEMA 3
1. Reduz as seguintes fracções ordinárias a percentagens.
a) b) c) d) e) f) g) h)
2. Numa turma de 30 alunos, 10% reprovaram em Matemática. Quantos alunospassaram?
3. Um livreiro comprou 50 cadernos a 75,00 kz. Se vendeu os 50 cadernos a100,00 kz, calcula o lucro em percentagem.
4. A Deolinda obteve uma redução de 20% no custo de uma calça que custava350,00 kz. Quanto custou a calça?
5. O Pedro obteve um desconto de 15% que corresponde a 30.000,00 kz na aquisi-ção de 25 sacos de açúcar. Quanto pagou afinal?
Gráficos circulares
Percentagens
As percentagens podem ser representadas por gráficos circulares.
Um círculo corresponde a 100%, ou seja,
Numa escola há 40% de alunos do sexo feminino.Representa num gráfico circular os alunos de ambos os sexos.
Como se representa 40% num gráfico circular? Um círculo tem 360°, tal como umângulo giro.
40%Meninas
60%Meninos
100100
1=
56
125
23
35
15
34
12
18
86
Exercíc ios
Calcula-se 40% de 360°:
Traça um raio, por exemplo [OA], com vértice em 0 e com um lado sobre [OA].desenha-se um ângulo de 144° de amplitude.Um inquérito efectuado a 360 pessoas indicou que:
• 49% são assalariados;
• 35% têm profissões liberais;
• 15% são agricultores;
• 10% são desempregados.
a) Calcula o número de pessoas dentro de cada categoria.
b) Constrói um gráfico circular referente às percentagens indicadas em 1.
Escala
– Ó Mimi, podes desenhar a tua casa numa folha?– Não posso, Sandra, pois as dimensões da minha casa são maiores do que as da
minha folha.– Podes sim, reduzindo as dimensões.Se a tua casa tem 9 m de comprimento e 7 de largura, podes representar essas
dimensões no desenho da seguinte maneira:
Dimensões reais Dimensões do desenho9 m de comprimento 9 cm de comprimento
7 m de largura 7 cm de largura
Assim, posso desenhar a minha casa numa folha.
A Mimi desenhou a sua casa numa escala de , isto significa que, se no dese-
nho ela tem 10 cm, na realidade tem 100 cm ou 1 m.
Chama-se escala à razão entre as dimensões do desenho e as correspondentesdimensões reais.
Escala Dimensões no desenhoDimensão real
=
1100
40100
360 144× ° = °
87
PROPORCIONALIDADE
TEMA 3
1. Um quarto tem as seguintes medidas: 6 m de comprimento e 4 m de largura.No desenho, estas medidas estão representadas por 3 cm e 2 cm.Calcula a escala em que foi feito o desenho.
2. Um mapa está feito à escala de .
A distância entre as duas cidades é de 60 km.Qual é a distância que separa as duas cidades no mapa?
3. Duas cidades estão distanciadas 250 km.
Qual é a distância entre estas duas cidades em mapas cujas escalas são de
e ?
4. Observa a planta da casa do senhor Dias.
Quais as dimensões reais dos quartos, se foram feitos com a escala ?1
500
15 000 000
11 000 000
1500 000
88
Exercíc ios
5. Que comprimentos têm na realidade os seguintes segmentos com a escala de
, se no mapa têm:
a) 5 cm, 8 cm e 10 cm?b) 1 mm, 4 mm e 8 mm?
6. Traça a planta duma sala de aula na escala . A sala tem forma rectangular,com 9 m de comprimento e 6 m de largura.
7. Que comprimento devem ter os segmentos que representam na escala as distâncias 1 km, 5 km, 700 m, 5 km e 300 m?
8. Duas aldeias estão situadas a uma distância de 9 cm uma da outra num mapa
de escala . Calcula a distância real entre as duas aldeias.
9. Calcula o comprimento num mapa de escala cuja distância real é de250 km.
10. Um terreno é representado numa planta com 10 cm de comprimento e 7 cmde largura.Sabendo que as dimensões reais são na ordem de 50 km e 35 km, calcula aescala em que foi representado o terreno.
1100 000
150 000
1100 000
1100
11 000 000
89
PROPORCIONALIDADE
Exercíc ios
• Noções elementares de estatística
• A moda
• A média aritmética
• A mediana
Estatística
TEMA 4
TEMA 4Noções elementares de estatística
Medidas de tendência central
Na 5.a classe, aprendeste algumas noções elementares de estatística. Já sabes orga-nizar os dados numa tabela de frequências e também apresentar os resultados nográfico de barras. Agora vais estudar a moda, a média e a mediana.
A moda
A Cátia estava a brincar no passeio da estrada Comandante Valódia. De repente,mudou de ideias e começou a contar as marcas das viaturas que passavam nestarua. Como havia muitas marcas, conseguiu reter só as seguintes: Mazda, Hyundai,Toyota, Mercedes e Volkswagen. Escrevia-as numa folha de cada vez que elasapareciam. Mazda, Hyundai, Toyota, Toyota, Hyundai, Mercedes, Volkswagen,Toyota, Mercedes, Toyota, Toyota, Toyota, Hyundai, Mercedes, Volkswagen, Mazda,Toyota, Toyota, Hyundai, Hyundai, Mercedes, Mazda, Toyota, Toyota, Hyundai,Toyota, Mazda, Toyota, Hyundai, Toyota e Mazda.
Ela queria saber qual é a marca da viatura que passou mais na rua.Organizou a contagem do seguinte modo:
Ajuda a Cátia a completar a tabela.
MarcaMazda
HyundaiToyota
MercedesV. W.
Número de vezes que ela passou na rua
713
MazdaHyundaiToyota
MercedesV. W.
IIIIIIII IIIIII IIII IIIIIIIII
92
93
ESTATÍSTICA
Agora a Cátia pode facilmente dizer que a marca Toyota é a marca da viatura quepassou mais na estrada neste dia e naquele momento. A viatura Toyota é a viaturaque passou mais vezes. A Toyota é a moda das marcas de viaturas que foram con-tadas pela Cátia.
A média aritmética
A Jamira teve as seguintes notas em Língua Portuguesa:
14, 13, 11, 15, 10, 16, 12, 15
A professora deve dar a nota média para decidir a sua passagem.
A nota média da Jamira em Língua Portuguesa é dada por:
A média aritmética é o quociente entre a soma do total dos valores
e o seu número
Por vezes, os valores repetem-se, por exemplo. As notas da Laura em Matemáticaforam as seguintes:
15, 14, 14, 16, 13, 17, 14, 15
Para calcular a média, podes simplificar os cálculos:
O número de vezes que o valor se repete é designado por peso ou coeficiente deponderação, daí o nome de média ponderada ou média pesada.
2 15 3 14 16 17 138
1188
14 75 14 8× + × + + + = = , ,ou
x x x xn
n= + + ……1 2
x( )
14 13 11 15 10 16 12 158
1068
13 25+ + + + + + + = = ,
A moda (Mo) é o acontecimento que, numa distribuição, se repete o maiornúmero de vezes.
TEMA 4Mediana
Numa turma de 25 alunos, obtiveram-se as seguintes notas em Língua Francesa.Não há lugares para os valores intermédios e as únicas classificações possíveis são1, 2, 3, 4 e 5.
2, 1, 1, 3, 4, 5, 2, 1, 5, 4, 4, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 1, 4, 5, 5, 2, 3, 3, 2
Para calcular a mediana, devemos ordenar os dados.
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3 , 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5
A mediana (Md) é o valor que ocupa a posição central num conjunto de valoresdispostos por ordem crescente ou decrescente.
Se o número de dados for par, não há valores centrais. Neste caso, a mediana é amédia dos dois valores centrais.
Exemplo: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 , 3 , 4, 4, 4, 5, 5, 5
Neste caso, a mediana
1. Numa campanha de vacinação contra a poliomielite, foram vacinadas criançasnum bairro da capital, Luanda, com a idade seguinte:
2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 5, 1
a) Calcula a idade média das crianças que foram vacinadas.
b) Indica a moda.
c) Calcula a mediana.
2 32
2 5+ = ,
94
Exercíc ios
2. O serviço meteorológico registou as seguintes temperaturas numa semana:
26°, 27°, 28°, 29°, 25°, 29°
Determina a média, a moda e a mediana das temperatura registadas.
3. Para fazer as batas dos alunos duma turma da 6.a classe, mediu-se a altura dealguns alunos e registou-se os seguintes em centímetros:
137, 138, 140, 140, 145, 120, 145, 141, 139, 151, 135, 154
a) Calcula a média aritmética das alturas destes alunos.
b) Qual é o valor que mais se afasta da média?
c) Determine a mediana.
d) Com os teus colegas de turma, procura saber qual é a altura média dos alu-nos da tua turma.
e) Faz um gráfico de barras para representar as alturas dos alunos da tuaturma.
95
ESTATÍSTICA
Exercíc ios
