MATEMTICA PROF.: LUCIANO LIMA INTERVALOS
Naretareal,umsegmentoouumasemi-retachamam-seintervalos.Hdiferentesmaneiraspara
represent-los, como descrevemos abaixo: Sejam, ento, a e b reais,
com a < b; temos: 2 374 Fica convencionado, tambm, que
escreveremos: INCLUSO Vimos que todo nmero inteiro um nmero
racional; por exemplo, o inteiro 21 racional pois pode ser escrito
na forma, de um quociente entre inteiros. Em outras palavras:-todo
elemento do conjunto um elemento do conjunto Traduzimos uma tal
situao dizendo que est contido no conjunto, e escrevemos.De um modo
geral, temos: DEFINIO Todos os conjuntos A e B, diz -se que A est
contido em B (ou que A um subconjunto de B), e indicamos A B, se
todo elemento de A tambm um elemento de B.Note que : 3 374
INTERSECO E UNIO Voc se lembra de que um crculo D o conjunto de
pontos interiores a uma circunferncia C mais a prpria
circunferncia.Na figura representamos dois crculos D1 e D2 e
colorimos os pontos comuns a D1 e D2. Esse conjunto (de pontos),
assim destacado, chama-se interseco de D1 e D2; o que se nota com
D1D2
equesel:"D1interD2."Podemostambmconsideraroconjuntodospontosque
pertencemaomenosaumdosdoisconjuntos,isto,pertencemaD1,pertencemaD2,
pertencem a D1 D2:
Diz-sequeesseconjuntoconstitudopelospontosquepertencemaD1ouaD2.chamadode
unio de D1 e D2; o que se nota com D1D2,que se l: "D1 unio D2."
Definio Sejam os conjuntos A e B. A interseco desses conjuntos o
conjunto de todas os elementos comuns a A e a B.A interseco de A e
B notada com A B. 4 374 Definio Sejam os conjuntos A e B. A unio
desses conjuntos o conjunto de todos os elementos que pertecem a A
ou a B (a pelo menos um dos conjuntos A e B ) A unio de A e B
notada com A B. TEORIA DOS CONJUNTOS Conjunto e elemento
Soconceitosprimitivos(nosedefinem).ParaindicarqueumelementoadeumconjuntoA
escrevemosa
A.Oconjuntoquenotemelementoschamadoconjuntovazio,eindicado porou {
}. Se todos os elementos de um conjunto B so elementos de um
conjunto A, dizemos que B um subconjunto de A e indicamos B A.
Demonstra-se que A A e A, qualquer que seja A. Ex: A = { a, e, i,
o, u }. B = { x } = { 0, 1, 2, 3 } (l-se: x tal que x pertence ao
conjunto dos naturais e x menor que 4). Unio/Interseco Entre dois
conjuntos A e B podem ser definidas as seguintes operaes: (1) UNIO:
A B = { X | X A ou X B} (2) INTERSECO: A B = { X | X AeX B} Ex: Se
A B = dizemos que A e B so disjuntos. 5 374 Diferena de 2 conjuntos
(3) DIFERENA: A - B = { X | X Ae X B } Ex: A = { 0, 1, 2, 3, 4 } B
= { 2, 3 } A B = { 0, 1, 4 } Conjunto Complementar Quando B A, o
conjunto A B tambm conhecido como conjunto complementar de B em
relao a A e para tal usamos a notao: Exemplo: A = { 1, 2, 3, 4 } B
= { 2, 3, 4 } = A - B = {1} Representao pelo diagrama de Venn Euler
Observao: 6 374 Se x um elemento de um conjunto A, temos: Igualdade
de conjuntos Dizemos que o conjunto A igual ao conjunto B
quando,Exemplo: A = { 1; 2; 5} ; B = { 2; 5; 1 } Vemos que A e B tm
os mesmos elementos:A B e BA A = B TESTES PROPOSTOS T.1 - Em um
pesquisa realizada para se traar o perfil de participantes de
gangues de rua, na qual 1000 jovens responderam a um questionrio,
observando-se o seguinte quadro: -18% no estudavam, mas
trabalhavam; -15% estudavam e trabalhavam; -38,5% estudavam, mas no
trabalhavam. Considerando as observaes acima, pode-se afirmar que,
entre os pesquisadores, o nmero de jovens que no estudavam nem
trabalhavam era igual a: a)285d) 605 b)345e) 525 c)715
T.2-Uminstitutodeopiniopblicapesquisou800alunosdeumafaculdadesobreapreferncia
pela leitura das revistas A, B e C, obtendo o seguinte resultado: O
nmero de leitores das trs revistas a) 50 c) 70 b) 60d) 80 ESTE
ENUNCIADO REFERE-SE AOS TESTES T.3 e T.4 No ptio P de concessionria
de automveis, esto estacionados vrios tipos de carros, conforme a
figura, em que A representa o conjunto dos carros com ar
condicionado, B, o dos carros brancos e I, o dos carros importados.
7 374 T.3 - A parte sombreada no grfico representa o conjunto dos
carros a)Importados brancos. b)Importados brancos com ar
condicionado. c)Com ar condicionado que no so brancos. d)Importados
com ar condicionado que no so brancos. e)Importados que no so
brancos e no tm ar condicionado. T.4 - Um carro importado branco
sem ar condicionado elemento do conjunto a)(I B) Ad) (A B) I b)A (I
B) e) A (BI)c) (B I ) A T.5 - (UERN) Sendo A = {x e N;x 2 s1 } e B
= { x e N; x 4 e R }, ento o nmero de subconjuntos de (B A) x A
igual a: a) 25 d) 27 b) 26 e) 28 c) 29 T.6 - (Fuvest) Uma pesquisa
de mercado sobre o consumo de trs marcas A, B e C de um determinado
produto apresentou os seguintes resultados: A - 48%A e B - 18% B -
45%B e C - 25% C - 50%A e C - 15% nenhuma das 3 - 5% a) Qual a
porcentagem dos entrevistados que consomem as trs marcas A, B e
C?b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas
uma das trs marcas? T.7 - (PUC RJ/2011) Considere o conjunto A =
{3,5}. Sabendo que B A = {3} e BA = {1,2,3,4,5} , determine o
conjunto B. a)B = {1,2,3} d)B = {1,2,3,5} b)B = {1,2,4} e)B =
{1,2,3,4,5} c)B = {1,2,3,4} T.8 - (UEL PR/2010) Dados os conjuntos
X e Y , a diferena entre X e Y o conjuntoX Y = {x e X : x e Y}.
Dados os conjuntos (intervalos) A = [2 , 5] e B = [3 , 4] temos:
a)A B = {2, 5} e B A = {1,2} d)A B = (2, 3] [4, 5) e B A = b)A B =
B A e)A B = [2, 3) (4, 5] e B A = c)A B = e B A = [2, 3] [4, 5] T,8
- (UFT TO/2010) Foi aplicado um teste contendo trs questes para um
grupo de 80 alunos. O grfico abaixo representa a porcentagem de
acerto dos alunos por questo. 8 374
Suponhaque52alunosacertarampelomenosduasquestese8alunosnoacertaram
nenhuma. O nmero de alunos que acertaram as trs questes :a)44 b)40
c)12 d)20 e)30
T.9-(FATECSP/2009)ParaaidentificaodepacientescomsintomasdegripeinfluenzaA,a
Anvisa (Agncia Nacional de Vigilncia Sanitria) informou hoje que os
voos procedentes do Reino
Unido,EspanhaeNovaZelndiatambmseroinspecionadosporumaequipedaagnciaepor
mdicosdaEmpresaBrasileiradeInfraestruturaAeroporturia(Infraero).Inicialmente,apenasos
voos vindos do Mxico, Canad e Estados Unidos eram inspecionados. A
deciso foi tomada durante
reuniodaAnvisacomrepresentantesdascompanhiasareas,daAgnciaNacionaldeAviao
Civil(Anac)edaInfraero,noAeroportoInternacionaldeCumbica,emGuarulhos,naGrandeSo
Paulo. (Adaptadode:http://noticias.uol.com.br/cotidiano
/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)
EmumvooprovenientedeMiami,aAnvisaconstatouqueentretodasaspessoasabordo
(passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do
Mxico.
Nodiagrama,Urepresentaoconjuntodaspessoasqueestavamnessevoo;Poconjuntodos
passageiros;MoconjuntodaspessoasquehaviampassadopelacidadedoMxicoeAo
conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A.
Considerandoverdadeiroessediagrama,conclui-sequearegiosombreadarepresentao
conjunto das pessoas que, de modo inequvoco, so aquelas
caracterizadas como a)passageiros com sintomas da gripe que no
passaram pela cidade do Mxico. b)passageiros com sintomas da gripe
que passaram pela cidade do Mxico. c)tripulantes com sintomas da
gripe que passaram pela cidade do Mxico. d)tripulantes com sintomas
da gripe que no passaram pela cidade do Mxico. e)tripulantes sem
sintomas da gripe que passaram pela cidade do Mxico. T.10 - (UFOP
MG/2009)A respeito dos nmeros. 0,499999.. =ae0,5 =b , correto
afirmar: a)b = a + 0,011111 b)a = b c)a irracional e b racional d)a
< b T.11-(UEPB)Sefumafunodadapor =racional x seirracional x sex
f, 3,21) ( asoma ...) 333 , 0 ( ) ( ) 0 ( f f f + + t igual a:
a)9c) 5,5e) 0,5 b)6,5d) 1,5 9 374 RELAES E FUNES Parordenado
umpardeelementos(x ; y)ondeaordemimportante,demodoqueopar ordenado
(x ; y) considerado diferente do par ordenado (y ; x).
PlanoCartesianoSobreumplano,podemosadotardoiseixosperpendicularesOXeOY,de
origemcomumO,demodoqueacadapontodoplanopodemosassociarumparordenadode
nmeros reais. Por exemplo, na figura abaixo, o ponto P pode ser
representado pelo par ordenado (3 ; 15) onde 3 a abscissa e 15 a
ordenada do ponto: Relao
DadosdoisconjuntosAeB,umarelaodeAemBumconjuntodeparesordenados(x;y)
ondexAeyB.Ex:ConsiderandoosconjuntosAeBabaixopodemosconsideraras
seguintes relaes de A em B: Uma relao pode ser representada por um
diagrama de flechas. Para as relaes de exemplo acima podemos fazer
os seguintes diagramas:
Asflechasunemoprimeiroaosegundoelementodecadaparordenado.Osegundo
elementodoparordenadochamadodeimagemdoprimeiro.Assim,emrelaoappar
ordenado (1 ; 7), pertencente relao R1, dizemos que 7 imagem de 1.
Funo
UmarelaofdeAemBchamadadefunodeAemBse,esomenteseforemsatisfeitasas
condies: 1) Todos os elementos de A possuem imagem; 2) Cada
elemento de A tem uma nica imagem. 1 2 3 7 8 6 5 R1 = { (1 ; 7) ;
(2 ; 5) ;(2 ; 7) ; (3 ; 6)} R2 = { (2 ; 7) ; (2 ; 8) ;(3 ; 5)} 10
374 Ex: Consideremos as relaes f, g e h representadas pelos
diagramas de flechas: A relao de f no funo pois o nmero 1
(pertencente a A) no possui imagem. A relao g no funo pois o
elemento a possui duas imagens: 4 e 8. A relao h uma funo de A em B
pois cada elemento de A possui umanica imagem. Observe que no
conjunto B pode haver elementos
quenosoimagens(17e20).Observetambmquepodemosterdoiselementoscomamesma
imagem (9 e 11). Domnio e Conjunto Imagem
DadaumafunodeAemB,oconjuntoAchamadodomnio(D(f))dafuno.Oconjuntode
todasimagenschamadoconjuntoimagem(I(f))dafuno.Porexemplo,paraafunof
esquematizada a seguir temos: A = D(f) = domnio def = {1; 2; 3}
I(f) = conjunto imagem de f = {7; 8}TESTES PROPOSTOS T.1 - Sejam os
conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relao R, de A em
B, definida porR = {(x,y) e A x B | x divisor de y}. Nestas
condies, R o conjunto a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9),
(2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8),
(3,9), (4,8) c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8, 4), (9,1), (9,3)}
d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)} T.2-(UFRN1999)Sej am9 9 : f
afunodefi ni dapor1 ) (2 = x x f e) ( f G o grfi co def , i sto ,{
} ) ( | ) , ( ) ( x f y y x f G = 9 9 e = . Assi nal e a opo
correta.A) { } ) ( ) 0 , 1 ( ), 1 , 0 ( f G c C) ) ( ) 3 , 2 ( f G
eB) { } ) ( ) 1 , 0 ( ), 0 , 1 ( f G c D) ) ( ) 2 , 3 ( f G e
ODefinio: Dados os conjuntos A e B, dizemos que uma relao y = f(x)
uma funo de A em B se, e somente se, a cada elemento x, x contido
em A corresponder por f um nico y, y contido em B. Os conjuntos A e
B so chamados respectivamente de domnio e contra domnio. 11 374
Notao : f: AB Sejam A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a funof: A
B, f(x) = x Logo temos que:Dm(f) = {0,1,2} Im(f) = {0,1,4} CD(f) =
{0,1,2,3,4} NOTA: Numa funo, quando no so fornecidos o domnio e o
contradomnio, subentende-se que o
domniooconjuntodetodososvaloresreaisdextaisquef(x)sejarealeocontradomnioo
conjunto dos nmeros reais. OFuno definida por uma frmula: Toda funo
definida por uma lei de formao, dessa forma que relacionamos dois
conjuntos A e B. As funes servem para expressar situaes com base na
lgebra, generalizando os problemas atravs das frmulas: Vejamos
alguns exemplos: Ex: y = f(x) = 2x + 1 Y = x2 + x OTIPO DE FUNES:
FunoSobrejetora:Umafunof:ABsomenteconsideradasobrejetoraquandooseu
conjunto-imagem for igual ao contradomnio (B). Funo Injetora: Uma
funo f : A B considerada injetora se os elementos distintos de A
tiverem imagens distintas em B. Funo Bijetora: Uma funo f : A B ser
considerada bijetora se f for sobrejetora e injetora. Funo Par: A
funo f : A R ser considerada par, sef ( x) = f (x) for para todo x
de A. A funo f : A R ser considerada par, em um grfico cartesiano
se ele for simtrico em relao ao eixo Oy. 0 . 1 . 2 . . 0 . 1 . 2 .
3 . 4 AB 12 374 Funo mpar: A funo f : A R ser considerada mpar sef
( x) = f (x) for para todos x de A. Afunof:A
Rserconsideradamparemumgrficocartesianoseeleforsimtricoem relao
origem. Funocomposta:Considereasfunesf:A Beg:B C,estassofunes
compotas das funes de g e f funo h: A C tal que h (x) = g [f (x)].
A funo composta faz sozinha o que f e g fazem juntas. Ex:F(x) =
2x+1 G(x) = 3x - 5 (F . G)(x) = 2.(3x-5) + 1 = 6x -10 + 1 = 6x - 9
(G . F)(x) = 3.(2x+1) - 5 = 6x + 3 - 5 = 6x - 2
FunoInversa:ConsiderefforumafunodeAemB.A funo f 1 : B A considerada
a inversa de f quando: f = {(1, 4) , (2, 5) , (3, 6)} f-1 = {(4,1),
(5, 2), (6, 3)} 13 374 Observao. Para se obter a inversa de uma
funo, devemos proceder da seguinte forma: - isola-se o x - troca-se
x por y e y por x Exemplo: Dar a inversa da funo: Resoluo: FUNO DE
1 GRAU DEFINIO
Chama-sefunopolinomialdo1grau,oufunoafim,aqualquerfunofdeIRemIRdada
porumaleidaformaf(x)=ax+b,ondeaebsonmerosreaisdadosea 0.Nafunof(x)
= ax + b, o nmero a chamado de coeficiente de x e o nmero b chamado
termo constante. Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1
grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a =
-2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 GRFICO O grfico de uma
funo polinomial do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos
eixos Ox e Oy. Vamos construir o grfico da funo y = 3x - 1: Como o
grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o
auxlio de uma rgua: a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1;
portanto, um ponto (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1;
portanto,e outro ponto . Marcamos os pontos (0, -1) eno plano
cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 14 374 xy 0-1 0 J vimos
que o grfico da funo afim y = ax + b uma reta. O coeficiente de x,
a, chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a
est ligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox. O termo constante,
b, chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 +
b = b. Assim, o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a
reta corta o eixo Oy. ZERO E EQUAO DO 1 GRAU Chama-se zero ou raiz
da funo polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a 0, o nmero real x tal
que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos:
1.Obteno do zero da funo f(x) = 2x - 5: f(x) = 02x - 5 = 0 2.Clculo
da raiz da funo g(x) = 3x + 6: g(x) = 03x + 6 = 0x = -2 3.Clculo da
abscissa do ponto em que o grfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo
das abicissas: O ponto em que o grfico corta o eixo dos x aquele em
que h(x) = 0; ento: h(x) = 0-2x + 10 = 0x = 5 15 374 TESTES
PROPOSTOS T.1 - (FGV /2011) O grfico de uma funo polinomial do
primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y) dados
abaixo. k 714 68 m5 0y x Podemos concluir que o valor de k + m :
a)15,5 d)18,5 b)16,5 e)19,5 c)17,5 T.2 - (FGV /2010) Para fabricar
400 camisas, uma fbrica tem um custo mensal de R$17 000,00; para
fabricar 600 camisas, o custo mensal de R$23 000,00. Admitindo que
o custo mensal seja funo do 1 grau da quantidade produzida, o custo
de fabricao de 750 camisas : a)R$27 100,00 d)R$27 400,00 b)R$27
200,00 e)R$27 500,00 c)R$27 300,00 T.3 - (FGV /2010) No final do
ano 2000, o nmero de veculos licenciados em uma cidade era 400 e,
no final de 2008, esse nmero passou para 560 veculos. Admitindo que
o grfico do nmero de veculos em funo do tempo seja formado por
pontos situados em uma mesma reta, podemos afirmar que, no final de
2010, o nmero de veculos ser igual a: a)580 d)610 b)590 e)620 c)600
T.4 - (IBMEC RJ/2011) Considere a figura seguinte, onde um dos
lados do trapzio retngulo se encontra apoiado sobre o grfico de uma
funo f. Sabendo-se que a rea da regio sombreada 12 cm2, a lei que
define f : a)y = 2x 1 b)y = 2x + 1 c)y = (2x/3) + 1 d)y = (5x/2) +
1 e)y = 2x + 1 16 374 T.5-(UFG GO/2009) Para fazer
traduesdetextosparaoingls,um tradutorAcobraum valor inicial de R$
16,00 mais R$ 0,78 por linha traduzida e um outro tradutor, B,
cobra um valor inicial de
R$28,00maisR$0,48porlinhatraduzida.Aquantidademnimadelinhasdeumtextoaser
traduzido para o ingls, de modo que o custo seja menor se for
realizado pelo tradutor B, : a)16 d)48 b)28e)78 c)41 T.6 - (UNISC
RS/2009) Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 2,40 por
unidade. Alm disso, h uma despesa fixa de R$ 8.000,00,
independentemente da quantidade produzida.
OpreodevendadesseobjetodeR$4,00porunidade.Onmerodeunidadesqueo
fabricante deve vender para no ter lucro nem prejuzo igual a a)500.
d)2500. b)5000. e)550. c)5500.
T.7-Oclimapassapelasmudanasmaisaceleradas da Histria, e a principal
causa a atividade humana. A
queimadecombustveisfsseis:petrleo,gs,carvo, inundou a atmosfera com
dixido de carbono (CO2), que retm o calor, elevando a temperatura
da Terra. Se no houverreduonasemissesdeCO2,oplanetadeve
seaquecercomrapidezmaior,ocasionandomudanas
radicaiseprejudicandoacapacidadedesobrevivncia demuitasespcies.O
grficodado mostraosregistros dosnveisdeemissesdeCO2de1957a2007e,a
partir da, feita uma previso supondo um crescimento linear at
2057.National Geographic Brasil, out. 2007. (Adaptado.) No ano de
2030, segundo essa previso, o nvel de emisso de carbono, em bilhes
de toneladas, ser de a) 11,40 d) 12,40 b) 11,68e) 12,80 c) 13,71
T.8 - (UFPR/2011) Um telhado inclinado reto foi construdo sobre trs
suportes verticais de ao, colocados nos pontos A, B e C, como
mostra a figura abaixo. Os suportes nas extremidades A e C medem,
respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. A altura do suporte
em B , ento, de: a)4,2 metros. b)4,5 metros. c)5 metros. d)5,2
metros. e)5,5 metros. 17 374 T.9 - (UNICAMP SP/2010) Segundo o
IBGE, nos prximos anos, a participao das geraes mais velhas na
populao do Brasil aumentar. O grfico mostra uma estimativa da
populao brasileira
porfaixaetria,entreosanosde2010e2050.Osnmerosapresentadosnogrficoindicama
populaoestimada,emmilhesdehabitantes,
noinciodecadaano.Considerequeapopulao varia linearmente ao longo de
cada dcada.
a)Combasenosvaloresfornecidosnogrfico,calculeexatamenteemqueanoonmerode
habitantescom60anosoumaisirultrapassaronmerodehabitantescomat17anos.
(Ateno: no basta encontrar um nmero aproximado a partir do grfico.
preciso mostrar as contas.)
b)Determinequalser,emtermospercentuais,avariaodapopulaototaldopasentre
2040 e 2050.
T.10-OndicedeDesenvolvimentoHumano(IDH)umamedidacomparativaentreospasesdo
mundo de fatores como riqueza, alfabetizao, educao, esperana de
vida e natalidade. As tabelas abaixo apresentam o IDH do Brasil no
contexto mundial. Fonte: PNUD (Programa Nacional das Naes Unidas
para o Desenvolvimento)
AdmitindoqueoIDHbrasileirovarielinearmentecomavariaodotempo,essendicenoBrasil
atingir 0,863 no ano: a) 2020 c) 2040 e) 2021 b) 2028 d) 2035
