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Fernando Gonçalves, Renan Moura e Thieplo Bertola | Eng1418 | 11 dedezembro de 2015

Controle de um levitadormagnético

LABORATÓRIO DE SERVOMECANISMO



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Objetivo

Este relatório tem como objetivo fazer um estudo de um levitador magnéticoe, utilizando os conceitos aprendidos na disciplina controle e servomecanismo,fazer o controle de tal sistema.



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Sumário

Objetivo ............................................................................................................. 1

Introdução ......................................................................................................... 3

Desenvolvimento ............................................................................................... 4

Sistema de um levitador magnetico ........................................................ 4

Controle ..................................................................................................... 6

LQR ................................................................................................ 6

Realimentação + observador de estados ..................................... 7

Controle PID .................................................................................. 9

Controle adaptativo .................................................................... 11

Equivalente ZOH ........................................................................ 12

Considerações Finais ...................................................................................... 13



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Introdução

O método mais comum de levitação magnética é baseado na utilizaçãode um eletroímã. O eletroímã é um ímã controlado por corrente elétrica, capaz

de suspender um determinado objeto metálico a uma determinada altura(distância de operação) no eixo vertical, apenas com o campo magnéticogerado pela corrente elétrica que circula no solenoide. O sistema de controle éa parte fundamental do dispositivo, pois a levitação depende do equilíbrioentre as forças magnética e gravitacional. Na Fig.1, observa-se o esquema

básico de um levitador magnético.

O atuador do sistema de controle no levitador magnético é o eletroímã. Paraque o objeto metálico, utilizado como corpo a ser levitado (esfera), possaatingir o estado de equilíbrio, a corrente elétrica que circula pela indutância doeletroímã (solenoide) deverá variar conforme a força eletromagnéticanecessária para compensar a força gravitacional que atua sobre o objeto.Assim, qualquer erro no sistema de compensação de forças (eletromagnética egravitacional) poderá fazer com que o objeto venha a cair no solo, ou colidircom o eletroímã, perdendo a estabilidade da levitação. Neste relatório seráapresentado o controle para um levitador magnético utilizando diversos tipos

de controle (LQR, realimentação, PID e adaptativo).

Figura 1-Esquema levitador magnético



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1. Desenvolvimento

Nesta seção serão apresentados os aspectos da modelagem de um levitadormagnético, seu controle e resultados.

1.1. Sistema de um levitador magnético

O modelo em equação espaço estados é obtido através da análise das forçasmagnética e gravitacional que a esfera sofre e também da análise da bobinaque será modelada por uma indutância em série com uma resistência econsiderando a posição da bola como saída, tem-se então, o seguinte sistemaem espaço-estado:

Este relatório utilizará, então, os seguintes valores: g=10 m/s2, L=0,01 H. R=2,M=1 kg e X1=0,5 m.

Com isso, pode-se estudar se o sistema é controlável e observável utilizando osoftware matlab.

Observando-se, então, o posto da matriz de controlabilidade e deobservabilidade foi verificado que ambos possuem posto completo, logo osistema é controlável e observável:



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Através do matlab também é possível achar a função de transferência e os pólos do sistema:



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Assim, como o sistema apresenta um pólo positivo, ele não será estável e,assim, fica-se necessário controla-lo a fim de estabilizá-lo e, também, alcançarvalores ideais de overshoot, erro em regime permanente e etc. Isso pode servisto na resposta ao degrau do sistema que demonstra que o mesmo precisa dealgum tipo de controle.

1.2. Controle

Como foi percebido que sem nenhum controle adicional, o sistema não éadequado, pois o tempo aumenta a resposta aumenta infinitamente, este tópicoirá tratar de controlar o sistema através de alguns métodos de controle.

1.2.1. Controle LQRPara fazer o controle LQR precisamos de uma matriz Q e um escalar R. Essa

matriz e o escalar foram adquiridos heuristicamente a fim de se obter uma boaresposta para o sistema:

Com isso, basta utilizar o comando lqr do MATLAB e, assim, encontrar amatriz K. A seguir, modela-se o novo sistema cuja matriz de estados é A'=A -BK. A fim de controlar melhor o sistema e o mesmo alcançar a resposta final

desejada modificou-se também a matriz B a fim de chegar à seguinte saída:



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Pode-se verificar que o controle alcançou os resultados almejados e, também,o sistema já apresenta estabilidade.

Para uma entrada senoidal:

1.2.2.

Realimentação + observador de estados

Para este tópico deve-se escolher os polos para a realimentação e também os polos para o observador de tal forma que o sistema fique estável e possua asespecificações pedidas e, além disse, observar que polos muito rápidos oumuito lentos podem se perder de uma vez para um lado ou para o outro.

O novo sistema terá nova matriz A dada por



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Assim, para descobrir os valores de K e L basta utilizar o matlab (place) paracada um separadamente, escolhendo-se um conjunto de polos, isso pode serfeito já que, como foi visto, o sistema é controlável e observável. Isso foi feitoheuristicamente e também se aproveitando do resultado do LQR, chegou-se,então na seguinte resposta:

Logo, também obteve resultados satisfatórios com relação as especificações do

trabalho.



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1.2.3.

Controle PID

Para o controle PID faremos uso do Simulink. Primeiramente, devemosencontrar a função de transferência em malha aberta para podermos criar o

diagrama de blocos. Utilizando o comando ss2tf do MATLAB, isso se tornasimples.Uma forma de verificar o controle do sistema é através do reference tracking.Para isso, utilizaremos o PID da seguinte forma:

O próximo passo é configurar o PID. Através do comando tune, nós podemos verificar a resposta do sistema e ajustá-la da forma que quisermos.Desta forma, podemos chegar ao seguinte resultado:

Como podemos ver, o resultado é praticamente da forma que desejávamos: osistema está bem-comportado, tendendo para o valor 1 no regime permanente,rise time e settling time bastante pequenos e um overshoot não muito grande,da ordem de 10%. Desta forma, nosso sistema está controlado conformequeríamos.



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Com os valores de kp,ki e kd obtidos na figura acima, temos a seguinte saída para um degrau unitário como entrada:

Para uma entrada em seno:

Logo, a partir dos resultados pode-se dizer que o sistema final tevealgumas especificações alcanças, porém overshoot grande o que não éinteressante para o projeto visto que se trata de um levitador magnético e um

pico pode fazer com que a esfera sai da rota do levitador e caia.



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1.2.4.

Controle adaptativo

Por fim, tentaremos também aplicar ao sistema um controle adaptativo daforma MRAC, isto é, com o uso de um modelo de referência. Para tal, deve-se

estipular uma função de transferência para o modelo de referência. Para que ocontrolador funcione corretamente, é importante que a função de transferênciado modelo de referência tenha o mesmo grau relativo da função detransferência da planta. Para a planta, utilizamos a função de transferênciaestipulada no início deste trabalho, que tem grau relativo 3.Chegou-se então, as seguintes respostas para degrau e senoide:

A resposta ao degrau, abaixo, possui um overshoot incômodo de mais de60%, o que não é bom para o controle de um levitador. O erro em RegimePermanente, porém, é zero e o tempo de assentamento é de cerca de 70segundos. A resposta a uma senóide unitária, também abaixo, possui

problemas semelhantes.



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1.2.5.

Equivalente ZOH

Existem diversas formas de transformar um sistema a tempo contínuo em umsistema a tempo discreto. A que utilizaremos aqui é a aproximação Zero Order

Hold (ZOH).Queremos mostrar que continuaremos conseguindo controlar o sistema,mesmo após discretizado.A questão crucial, com qualquer tipo de amostragem, é definir o tempo deamostragem corretamente.

Logo, para um tempo de amostragem de 0,01s pode-se perceber que a respostaé a mesma encontrada do controle adaptativo.

Isso também funciona para os outros controles efetuados neste relatório.

2. Considerações Finais

Da realização deste trabalho, bem como do estudo dos diversos tipos decontroladores usados na vida real durante as aulas de Controle eServomecanismos, podemos concluir acerca da enorme diversidade de

aplicações e da elevada importância tecnológica de mecanismos eficientes decontrole e atuação. Neste trabalho, vimos aplicações do conteúdo estudado emum problema real e complexo da engenharia: o controle da posição de umaesfera em um levitado magnético.

Neste problema específico, após a análise dos quatro tipos de controladorestudados, conclui-se que, em virtude de atributos como tempo deassentamento, overshoot e erro em Regime Permanente que todos osresultados obtidos algum sucesso em relação a esses parâmetros.

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