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Lema de Gauss
LEMOS, Ana PaulaPILCO RUEDA, Analıa
2015
Indice
1. Introduccion 1
2. Preliminares 2
2.1. Cuerpo de Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Lema de Gauss 12
4. Problemas 17
5. Bibliografıa 26
Introduccion
1. Introduccion
Este trabajo tiene como objetivo centrarse en el Lema de Gauss y en el desarrollo dealgunas consecuencias del mismo.Un resultado importante para el Algebra es aquel que dice que si R es un dominio deintegridad con factorizacion unica, tambien lo es el anillo de polinomios R [X] . Esteresultado es consecuencia del Lema de Gauss, que se ocupa de lo que ocurre con elmaximo comun divisor de los coeficientes cuando uno multiplica dos miembros de R [X].
El Lema de Gauss tiene varias otras consecuencias que relacionan la factorizacion enR [X] con la factorizacion en F [X], donde F es el cuerpo de fracciones de R. Otra conse-cuencia es el criterio de irreducibilidad de Eisenstein, el cual da una condicion suficientepara que un miembro de R [X] sea irreducible .
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Preliminares
2. Preliminares
Antes de comenzar con el lema de Gauss , debemos introducir cierta terminologıa, yprobar algunos resultados.
Definicion 2.1. Un grupo es un conjunto G que tiene una operacion binaria
· : GxG→ G
que satisface las siguientes tres condiciones:
(a) a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ G
(b) Existe un elemento e ∈ G tal que ae = ea = a para todo a ∈ G (exitencia de unelemento identidad)
(c) Para cada a ∈ G existe b ∈ G tal que ab = ba = e (existencia del elemento inversopara cada a ∈ G)
Definicion 2.2. Si G tiene una operacion binaria y cumple a), b), c) y
(d) ab = ba para todo a, b ∈ G
el grupo es abeliano.
Definicion 2.3. Sea G un grupo y H ⊆ G un subconjunto de G. H se llama subgrupo deG si H con la operacion binaria de G es un grupo.
Definicion 2.4. a ∈ R es unidad si ∃b ∈ R : ab = 1 = ba.
Definicion 2.5. Se define el grupo de unidades como R∗ = {a ∈ R : a es unidad}.
Observacion. R∗ es un grupo.
En efecto,
cerrado: sean a, b ∈ R∗, queremos ver que ab ∈ R∗, es decir, ∃c ∈ R tal que abc =1 = cab. Si a ∈ R∗, ∃a′ ∈ R tal que aa′ = 1 = a′a. Si b ∈ R∗, ∃b′ ∈ R tal quebb′ = 1 = b′b. Luego proponemos c = b′a′. Tenemos:abc = abb′a′ = a1a′ = aa′ = 1.cab = b′a′ab = b′1b = b′b = 1.
asociativa: sean a, b, c ∈ R∗ entonces
(ab) c = a(bc) vale por ser elementos en R dominio de integridad.
elemento neutro: Sea a ∈ R∗. Como 1 ∈ R por ser dominio de integridad y 1 esunidad ya que 1 · 1 = 1, entonces 1 ∈ R∗. Luego, existe neutro tal que a1 = a.
elemento inverso: Sea a ∈ R∗, entonces ∃b ∈ R : ab = 1 = ba. Siendo ası, b elelemento inverso de a.
Definicion 2.6. Un anillo (R,+, ·) es un conjunto R con dos operaciones binarias
+ : RxR→ R (adicion)· : RxR→ R (multiplicacion)
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Preliminares
que satisfacen las siguientes propiedades:
(a) (R,+) es un grupo abeliano. Escribimos el elemento identidad como 0.
(b) a(bc) = (ab)c (· es asociativa)
(c) a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba + ca ( · es distributiva con respecto a derecha y aizquierda).
Definicion 2.7. Un anillo con identidad o unidad es un anillo (R,+, ·) que tiene unelemento identidad respecto a la operacion multiplicativa. Esto es, ∃ ε ∈ R : aε = εa = apara todo elemento a de R
Definicion 2.8. Un anillo R se dice un conmutativo si la operacion multiplicacion satis-face:
ab = ba para todo a, b ∈ R
Definicion 2.9. Sea R un anillo, a ∈ R, a 6= 0, a es un divisor de cero por la izquierdasi ∃b 6= 0 tal que ab = 0. Los divisores de cero por la derecha se definen analogamente.Un elemento que es tanto un divisor de cero por la derecha y por la izquierda, recibe elnombre de divisor de cero.
Definicion 2.10. R es un dominio de integridad si es un anillo conmutativo con identidady no tiene ningun divisor de 0.
Definicion 2.11. Un cuerpo F es un anillo conmutativo con identidad tal que F 6= 0 ytal que para cada a 6= 0 en F le corresponde un elemento a−1 en F tal que aa−1 = 1.
En otras palabras, FX = F − {0} es un grupo abeliano bajo la multiplicacion.
Definicion 2.12. Sea R un dominio de integridad, decimos que dos elementos a y b seasocian si a = b ε, para algun ε en el grupo de unidades R∗.
Observacion. La propiedad de ser asociativos es una relacion de equivalencia ya que R∗
es un grupo.
En efecto,
reflexividad: Sea a ∈ R∗. Como 1 ∈ R∗ y a = a 1, entonces a se asocia a a.
simetrıa: Sean a, b ∈ R∗ tal que a esta asociada a b. Entonces ∃ε ∈ R∗: a = bε.
Y como ε ∈ R∗ entonces ∃ε1 ∈ R: ε ε1 = 1 = ε1 ε. Pero entonces, ε1 ∈ R∗ tambien.
Luego, aε1 = bεε1 = b1 = b.
Por lo tanto, b esta asociado a a.
transitividad: Sean a, b, c ∈ R∗ tales que a esta asociado a b y b esta asociado a c.Entonces ∃ε1, ε2 ∈ R∗ tales que a = bε1 y b = cε2.
Luego, a = bε1 = cε2ε1. Y como ε2ε1 R∗, entonces a es asociado a c.
Definicion 2.13. Siguiendo con R 6= 0, definimos Maximo Comun Divisor (MCD) dedos elementos a y b distintos de 0 como un c perteneciente a R tal que c divide a ambosa y b, y cualquier otro divisor de a y b divide tambien a c.
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Preliminares
Observacion. Cualquier asociacion del MCD de a y b es otro MCD de a y b. En efecto,sea c un MCD de a y b, y c′ un asociado a c. Entonces, c | a y c | b, y ∃d ∈ R : d | a yd | b, entonces d | c, y ∃ ε ∈ R∗ : c = c′ε. Luego, como ∃ε1, ε2 ∈ Z : a = ε1c y b = ε2c,a = ε1c
′ε y b = ε2c′ε, entonces a = ε1εc
′ y b = ε2εc′, por lo que c′ | a y c′ | b. Notemos que,
como d | c entonces ∃ l ∈ Z : c = ld. Reemplazando, c′ε = ld, y como ε ∈ R∗, sabemosque ∃ε′ ∈ R : εε′ = 1. Entonces c′ = ldε′.Inversamente, si a y b tienen un MCD, entonces dos MCD cualesquiera de a y b sonasociados. De hecho, si c y c′ son MCD, entonces cada uno de ellos dividen a a y b, y ladefinicion implica que uno divida al otro y viceversa. Entonces c′ = εc, y tambien c′ = c′
ε′ ε y 1 = ε′ ε. Por lo tanto, ε es una unidad, y c y c′ son asociados.
Definicion 2.14. Sea R un anillo e I ⊆ R. Decimos que I es un ideal de R si y solo si
(1) I es un subgrupo aditivo de R
(2) rI ⊆ I para todo r ∈ R, y
(3) Ir ⊆ I para todo r ∈ R
Definicion 2.15. Sea R un anillo conmutativo. Un ideal I de R (I 6= R), se dice idealprimo, si para todo a, b ∈ R tales que ab ∈ I, entonces a ∈ I o b ∈ I.
Observacion. El ideal I = R no es primo por convencion.
Proposicion 2.16. Un elemento p distinto de cero en un dominio de integridad R esprimo si y solo si el ideal < p > en R es primo.
Demostracion. Supongamos p primo. Luego, el ideal < p > no es R; de hecho, si < p >=R entonces 1 tendrıa que ser de la forma 1 = rp para r ∈ R, por lo tanto r deberıa ser elinverso multiplicativo de p, y p tendrıa que ser una unidad, lo cual contradice la definicionde primo en un dominio de integridad.Ahora, supongamos que el producto ab esta en el ideal < p >. Entonces ab = pr parar ∈ R y p divide a ab. Como p es primo, p | a o p | b. Por lo tanto, el ideal < p > es primo.Inversamente, supongamos que < p > es un ideal primo con p 6= 0. Como < p >6= R, pno es una unidad. Si p | ab, entonces ab = pc para c ∈ R. Por lo tanto ab ∈< p >. Como< p > se supuso primo, ya sea a ∈< p > o b ∈< p >. En el primer caso, p | a y en elsegundo caso, p | b. Luego, el elemento p es primo.
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Proposicion 2.17. Un ideal I en el anillo conmutativo R es primo si y solo si R�I esun dominio de integridad.
Recordemos la definicion de grupo cociente:
R�I = {aI : a ∈ R} = {a : a ∈ R}
siendo R un grupo e I un subgrupo de R.
En notacion aditiva: R�I = {a+ I : a ∈ R} = {a : a ∈ R}
Demostracion. Sea I un ideal no primo, elegimos ab ∈ I tal que a 6∈ I y b 6∈ I. Entoncesa+I y b+I son no nulos en R�I, ya que de serlos estarıan en I, y tienen el producto 0+I,dado que (a+ I)(b+ I) = ab+ aI + Ib+ II, ab ∈ I por lo que ab = 0 y (aI + Ib+ II) ∈ I.Entonces R�I es distinto de cero y tiene un divisor de cero; por definicion, R�I no esdominio de integridad.
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Preliminares
Inversamente si R�I es distinto de cero y tiene un divisor de cero, elegimos a + I yb + I no nulos con producto 0 + I. Entonces ni a ni b estan en I pero ab pertenece a I.Luego,I es sin duda adecuado, I no es primo.
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Definicion 2.18. En un dominio de integridad R, un elemento no nulo r tal que no esunidad se dice irreducible si cada factorizacion r = r1r2 en R tiene la propiedad de que r1o r2 es una unidad.
Definicion 2.19. Un dominio de integridad R es un dominio de factorizacion unica si Rcumple:
(DFU1) cada elemento no nulo y no unidad de R es un producto finito de elementosirreducibles.
(DFU2) la factorizacion en (DFU1) es siempre unica salvo el orden y la multiplicacionde los factores por unidades.
Definicion 2.20. Sea R un dominio de factorizacion unica. Si A(X) es un elemento nonulo de R[X], decimos que A(X) es primitivo si el MCD de sus coeficientes es una unidad.
Definicion 2.21. Una funcion ϕ : R → R′ entre dos anillos es un homomorfismo deanillos si ϕ cumple las siguientes dos condiciones:
ϕ(a+ b) = ϕ(a) + ϕ(b), cualesquiera que sea a, b ∈ R
ϕ(a.b) = ϕ(a).ϕ(b), cualesquiera que sea a, b ∈ R
Definicion 2.22. Se dira que una aplicacion entre anillos ϕ : R→ R′ es un epimorfismode anillos si ϕ es una aplicacion suryectiva.
Proposicion 2.23. Sea R un anillo conmutativo con unidad no nulo y sea ι : R −→ R[X]la identificacion de R con polinomios constantes. Sea T cualquier anillo conmutativo conunidad, siϕ : R −→ T es un homomorfismo de anillos que envıa 1 a 1 y si t esta en T , entoncesexiste un unico homomorfismo de anillos Φ : R[X] −→ T llevando el elemento identidadal elemento identidad tal que Φ(ι(r)) = ϕ(r) ∀r ∈ R y Φ(X) = t.
Observacion. El mapeo Φ es llamado el homomorfismo sustitucion, se extiende ϕ y sesustituye t por X, y el mapeo se escribe P (X) 7−→ Pϕ(t). La notacion significa que ϕes para ser aplicada a los coeficientes de P y luego X va a ser reemplazado por t. Undiagrama de este homomorfismo como una propiedad de mapeo universal aparece en lasiguiente figura:
Homomorfismo sustitucion para polinomios en una indeterminada
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Preliminares
Demostracion. Definimos Φ(a0, a1, ..., an, o, ...) = ϕ(a0) + ϕ(a1)t + ... + ϕ(an)tn. Es in-mediato que Φ es un homomorfismo de anillos que envıa la identidad ι(1) = (1, 0, 0, ...) deR[X] a la identidad de ϕ(1) de T . Si r esta en R, entonces Φ(ι(r)) = Φ(r, 0, 0, ...) = ϕ(r).Tambien Φ(X) = Φ(0, 1, 0, 0, ...) = t. Esto prueba la existencia. La unicidad se sigue apartir de que ι(R) y X generan R[X] y a partir de que un homomorfismo definido en R[X]es determinado por su evaluacion en ι(R) y X.
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Proposicion 2.24. Si R es un dominio de integridad, entonces R[X1, ..., Xn] es un do-minio de integridad.
Demostracion. Sean P y Q polinomios homogeneos distintos de cero con gradoP = dy gradoQ = d′. Tenemos que probar que PQ 6= 0. Introducimos un ordenamiento en elconjunto de todos los miembros j de Jn, diciendo j = (j1, ..., jn) > j′ = (j′1, ..., j
′n) si
hay algun k tal que ji = j′i para i < k y jk > j′k. En el monomio expansion de P comoP (X) =
∑|j|=d ajX
j , sea i la mayor n-upla j en el ordenamiento tal que aj 6= 0. Similar-
mente con Q(X) =∑|j′|=d′ bj′X
j′ , sea i′ la mayor n-upla j′ en el ordenamiento tal quebj′ 6= 0. Entonces:
P (X)Q(X) = aibi′Xi+i′ +
∑j,j′con(j,j′)6=(i,i′)
ajbj′Xj+j′ ,
y todos los terminos en la suma∑
j,j′ en el lado derecho tienen j + j′ < i + i′. De esta
forma aibi′Xi+i′ es el unico termino en el monomio expansion de P (X)Q(X) que involucra
el mononio Xi+i′ . Como R es un dominio de integridad y ai y bi′ son no nulos por el gradode P y Q, aibi′ es distinto de cero. Luego, P (X)Q(X) es distinto de cero.
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Proposicion 2.25. En un dominio de integridad R con (DFU1), la condicion (DFU2) esequivalente a la condicion: cada elemento irreducible es primo (DFU2’).
Demostracion. Teniendo (DFU2), supongamos que p es un elemento irreducible y quep divide a ab. Tenemos que probar que p divide a a o p divide a b. Podemos asumir queab 6= 0. Escribimos ab = pc y sea a =
∏i pi, b =
∏j p′j , y c =
∏k qk las factorizaciones
como (DFU1)en productos de elementos irreducibles.Entonces
∏i,j pip
′j = p
∏k qk. Por (DFU2) uno de los factores de la izquierda es εp para
alguna unidad ε. Entonces p es de la forma ε−1pi y entonces p divide a a, o es de la formaε−1p′j por lo que p divide a b. Lueog, se cumple (DFU2’).Inversamente, supongamos que se cumple (DFU2’). Sea r 6= 0, no unidad, con dos fac-torizaciones en elementos irreducibles r = p1p2p3...pm = ε0q1q2...qn con m 6 n y ε0 unaunidad. Probemos la unicidad por induccion sobre m. El caso m = 0 es trivial y el casom = 1 se sigue de la definicion de ”irreducible”. Inductivamente, por (DFU2’) sabemosque pm divide a qk para algun k. Como qk es irreducible, qk = εpm para alguna unidad ε.Luego, podemos cancelar qk y obtener p1p2...pm−1 = ε0εq1q2...qk...qn, el sombrero indica elfactor que se omite. Por induccion, los factores en ambos lados son iguales, excepto por elorden y las unidades. Ası, la misma conclusion es valida cuando comparamos los dos ladosde la igualdad p1p2...pm = ε0q1q2...qn. La induccion esta completa y se cumple (DFU2).
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Definicion 2.26. Un ideal principal es un ideal generado por un unico elemento.
Si R es un anillo conmutativo y a un elemento de R, el ideal principal generado por aes el conjunto < a >= {ra : r ∈ R}.
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Preliminares
Definicion 2.27. Un dominio de integridad R se dice dominio ideal principal si cadaideal en R es principal.
Definicion 2.28. Sea R un anillo conmutativo. Un ideal I ⊂ R de R es un ideal maximalsi I 6= R y el unico ideal de R que contiene a I es el propio R.
Definicion 2.29. Sea A un subconjunto de un conjunto X. La inclusion canonica de Aen X, es la aplicacion iA : A→ X tal que: iA(a) = a, ∀a ∈ A.
Definicion 2.30. Sea R un anillo con identidad, no necesariamente conmutativo. Sedefine:
un R modulo izquierdo o (modulo izquierdo sobre R) es un grupo abeliano M con-juntamente con un mapa de multiplicacion escalar
· : R x M →M
que satisface los siguientes axiomas (se acostumbra a escribir am en lugar de ·(a,m)para el escalar de multiplicacion m ∈ M para a ∈ R). En estos axiomas, a, b sonelementos arbitrarios de R y m,n son elementos arbitrarios de M .
(al) a(m+ n) = am+ an
(bl) (a+ b)m = am+ bm
(cl) (ab)m = a(bm)
(dl) 1m = m
un R modulo derecho o (modulo derecho sobre R) es un grupo abeliano M conjun-tamente con un mapa de multiplicacion escalar
· : M x R→M
que satisface los siguientes axiomas (nuevamente, a, b son elementos arbitrarios deR y m,n son elementos arbitrarios de M).
(ar) (m+ n)a = ma+ na
(br) m(a+ b) = ma+mb
(cr) m(ab) = (ma)b
(dr) m1 = m
Observacion.
(1) Si R es un anillo conmutativo, entonces cualquier R modulo izquierdo tambien tienela esctructura de un R modulo derecho definido por mr = rm.El unico axioma que se requiere chequear es el (cr). Pero
m(ab) = (ab)m = (ba)m = b(am) = b(ma) = (ma)b.
(2) Mas en general, si un anillo R es un homomorfismo aditivo φ : R → R tal queφ(ab) = φ(b)φ(a), luego cualquier R modulo izquierdo tiene la estructura de un Rmodulo derecho definida por ma = φ(a)m. De nuevo, el unico axioma que se necesitachequear es el (cr):
(ma)b = φ(b)(ma)
= φ(b)(φ(a)m)
= (φ(b)φ(a))m
= φ(ab)m
= m(ab)
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Preliminares
Definicion 2.31. Sea R un anillo y M un R modulo. Un subconjunto N ⊆M se dice quees un submodulo o (R submodulo) sobre M si N es un subgrupo del grupo abeliano Mque es tambien un R modulo usando la multiplicacion escalar en M . Lo que quiere decir,por supuesto, es que N es un submodulo de M si es un subgrupo de M que es cerradobajo la multiplicacion escalar.
Lema 2.32. Si R es un anillo conmutativo con identidad distinto de cero, entonces R esun cuerpo si y solo si el unico ideal apropiado en R es 0.
Demostracion. Si R es un cuerpo e I es un ideal distindo de cero en R, sea a 6= 0 en I.Luego, 1 = aa−1 esta en I y consecuentemente I = R. Inversamente, si los unicos idealesen R son 0 y R, sea a 6= 0 dado en R, y forma el ideal I = aR. Ya que 1 esta en R, aesta en I. Ası I 6= 0. Luego, I tiene que ser R. Entonces, existe algun b en R con 1 = ba,y a se exhibe teniendo la inversa b.
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Proposicion 2.33. Si R es un anillo conmutativo con identidad, entonces un ideal I esmaximal si y solo si R/I es un cuerpo.
Se puede dar facilmente una prueba directa, pero parece instructiva dar una pruebareduciendo el resultado al lema anterior.
Demostracion. Consideremos a R y R/I como R modulos, los ideales para cada unode los R y R/I son R submodulos. El anillo cociente homomorfo R → R/I es un Rhomomorfismo. Por el primer teorema del isomorfismo para modulos (Teorema 2.36 oTeorema 2.37), hay una correspondencia uno a uno entre los ideales en R que contienena I y los ideales en R/I. Entonces, el resultado se sigue inmediatamente del Lema queaparece en la observacion anterior.
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Corolario 2.34. Si R es un anillo conmutativo con identidad, entonces cada ideal maximales primo.
Demostracion. Si I es maximal, entonces R/I es un cuerpo por la Proposicion 2.33. Porlo tanto, R/I es un dominio de integridad, e I tiene que ser primo por la Proposicion 2.17.
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Teorema 2.35. Cada dominio ideal principal es dominio de factorizacion unica.
Observacion. Sea R un dominio ideal principal. La Proposicion 2.25 muestra que estoes suficiente para demostrar (DFU1) y (DFU2’) en R.
Demostracion. Probemos (DFU1): Sea a1 una no unidad de R. Si a1 no es irreducible,puede escribirse a1 = a2b2 donde ninguno a2 o b2 es una unidad. Si a2 no es irreducible,puede escribirse como a2 = a3b3 donde ni a3 ni b3 es una unidad. Continuamos de estamanera hasta donde sea posible. Este proceso no continua indefinidamente. Asumamos locontrario. La igualdad a1 = a2b2 con b2 no unidad, dice que a1 esta en el ideal < a2 > ya2 no esta en el ideal < a1 >. Siguiendo esta logica:
< a1 >$< a2 >$< a3 > ....
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Preliminares
Sea I =⋃∞
n=1 < an >. Entonces I es un ideal. Como R es dominio ideal principal,I =< a > para algun a. Este elemento a tiene que estar en < ak > para algun k, y luegotenemos < ak >=< ak+1 >=< ak+2 >= ... =< a >. Esto es una contradiccion y por lotanto el proceso tiene un lımite.Luego, algun elemento irreducible c1, llamado el elemento ak en el argumento anterior,divide a a1. Escribamos a1 = c1a2, repitiendo el argumento con a2. Por construccioniterada, obtenemos an = cnan+1, para cada n con cn irreducible. Este proceso tiene unlımite. Asumiendo lo contrario, nos lleva a
< a1 >$< a2 >$< a3 > ....
Una vez mas, no podemos tener una cadena infinita de tales inclusiones en un dominioideal principal, y debemos tener < an >=< an+1 > en algun momento. Entonces cn tieneque ser unidad, lo cual es una contradiccion. De esta manera an no tiene una factorizacionno trivial y a1 = c1...cn−1an es la factorizacion deseada. Esto prueba (DFU1).
Probemos (DFU2’): Si p es un elemento irreducible, probemos que el ideal < p > esmaximal. El Corolario 2.34 muestra que < p > es primo, y la Proposicion 2.16 muestraque p es primo.
El elemento p, siendo irreducible, no es una unidad. De esta manera< p > es apropiado.Supongamos que I es un ideal con I %< p >. Como R es dominio ideal principal, I =< c >para algun c. Entonces < p >= rc para algun r en R. Como I 6=< p >, r no puede serunidad. Por lo tanto, la irreducibilidad de p implica que c sea unidad. Entonces I =<c >=< 1 >= R, y concluımos que < p > es maximal.
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Teorema 2.36. (Primer Teorema del Isomorfismo)Sea R un anillo, ϕ : M1 → M2 un Rhomomorfismo entre los R modulos a izquierda, y supongamos que ϕ esta en M2 y tienecomo nucleo a K. Luego, el mapeo N1 7→ ϕ(N1) da una correspondencia uno a uno entre:
a) los R submodulos N1 a M1 contienen a K
b) los R submodulos de M2
Bajo esta conrrespondencia, el mapeo m + N1 7→ ϕ(m) + ϕ(N1) es un R isomorfismo deM1/N1 sobre M2/ϕ(N1).
Teorema 2.37. (Primer Teorema de Isomorfismo) Sea M y N modulos sobre el anilloR y sea f : M → N un homomorfismo R modulo. Luego, M/Ker(f) ∼= Im(f).
Demostracion. Sea K = Ker(f). Por el Primer Teorema de Isomorfismo para grupos,sabemos que f : M/K → Im(f) se define como f(m + K) = f(m), es un isomorfismobien definido de un grupo abeliano. Solo queda por chequear que f es un homomorfismoR modulo. Perof(a(m+K)) = f(am+K) = f(am) = af(m) = af(m+K), para todo m ∈M y a ∈ R.
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2.1. Cuerpo de Fracciones
Para esta subseccion asumiremos que todos los anillos son conmutativos.
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Preliminares
Veamos como un dominio de integridad puede incluirse canonicamente en un cuerpo.Esta incorporacion es practica para conocer ciertos hechos acerca de dominios de integri-dad como consecuencia de propiedades de cuerpos.
Por ejemplo, la proposicion: Si R es un dominio de integridad, entonces un miembrono nulo de R[X] de grado n tiene a lo sumo n raıces. En efecto, sea P (X) polinomiode grado n con al menos n + 1 raıces distintas r1, ..., rn+1. Podemos escribir P (X) =(X − r1)P1(X) (1) con gradoP1 = n − 1. Tambien 0 = P (r2) = (r2 − r1)P1(r2). Comor2 − r1 6= 0 y R no tiene divisores de cero, P1(r2) = 0. Tambien P1(X) = (X − r2)P2(X)y sustituyendo P (X) = (X − r1)(X − r2)P2(X). Continuando de este manera, obtenemosP (X) = (X − r1)(X − r2)...(X − rn)Pn(X) con gradoPn = 0. Como P 6= 0, Pn 6= 0.Entonces Pn es un polinomio constante distinto de cero, Pn(X) = c 6= 0. Evaluandoen rn+1, obtenemos 0 = (rn+1 − r1)...(rn+1 − rn)c con cada factor distinto de cero, encontradiccion con el hecho de que R es un dominio de integridad. Dado que los coeficientesdel polinomio pueden ser considerados como miembros del cuerpo mas grande que contienea R, este resultado es consecuencia inmediata correspondiente al hecho de ser cuerpo.
Probemos (1), es decir, que si R es un anillo conmutativo no vacio con identidad yP(X) un miembro de R[X] con una raız r, entonces P(X)=(X-r)Q(X) para algun Q(X)en R[X]. Por induccion sobre el grado de P. El caso base de la induccion es el de grado≤ 0. Si la conclusion fue probada para el grado < n, con n ≥ 1, dejemos que el terminoprincipal de P sea anX
n. Entonces, P (X) = an(X − r)n + A(X) con el grado de A < n.La evaluacion en r nos da, por la Proposicion 2.23, 0 = 0 +A(r). Por hipotesis inductiva,A(X) = (X − r)B(X). Luego, P (X) = (X − r)Q(X) con Q(X) = an(X − r)n−1 +B(X),y la induccion esta completa.
El prototipo es la construccion del cuerpo Q de racionales desde el dominio de integri-
dad Z de enteros, en el cual pensamosa
bcomo el par (a, b) con b 6= 0 y luego identificamos
pares diciendo quea
b=c
dsi y solo si ad = bc.
Ahora procederemos de la misma manera pero para el caso general. Dado R dominio deintegridad distinto de cero, se forma el conjunto
F = {(a, b) | a ∈ R, b ∈ R, b 6= 0},
y se impone la relacion de equivalencia (a, b) v (c, d) si y solo si ad = bc. La relacion ∼es ciertamente reflexiva y simetrica. En efecto, (a, b) v (a, b) pues ab = ba, a, b ∈ R ysupongamos que (a, b) v (b, a) entonces aa = bb, que es lo mismo que bb = aa, por lo que(b, a) v (a, b). Para ver si es transitiva, supongamos (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f). Luegoad = bc = cf = de y juntas forman adf = bcf = bde. Esto implica que af = be ya que Res dominio de integridad y d se toma distinto de cero. De esta manera, ∼ es transitiva yresulta una relacion de equivalencia. Llamemos F al conjunto de las clases de equivalencia.
La definicion de la adicion en F es (a, b) + (c, d) =a
b+c
d=ad+ cb
bd= (ad + bc, bd),
y queremos ver que es consistente con la relacion de equivalencia. En esta comprobacionnecesitamos cambiar solo uno de los pares a la vez. Por lo tanto, supongamos que(a′, b′) ∼ (a, b) y que (c, d) es dado. Sabemos que a′b = ab′ y queremos ver que (ad +bc, bd) ∼ (a′d + b′c, b′d), es decir, que (ad + bc)b′d = (a′d + b′c)bd. En otras palabras,tenemos que ver que adb′d = a′dbd. Inmediatamente vemos que esta igualdad es valida yaque ab′ = a′b. Luego, la adicion es consistente con la relacion de equivalencia y desciendepara ser definida en el conjunto F de las clases de equivalencia.Teniendo en cuenta las propiedades que cumplen los miembros de un dominio de integridad,
10
Preliminares
la adicion sera conmutativa y asociativa en F . Ciertamente,
(a, b) + (c, d) = (ad+ bc, bd)
= (bc+ ad, bd)
= (cb+ da, db)
= (c, d) + (a, b)
y
((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (ad+ bc, bd) + (e, f)
= ((ad+ bc)f + bde, bdf)
= (adf + bcf + bde, bdf)
= (adf + b(cf + de), bdf)
= (a, b)(cf + de, df)
= (a, b) + ((c, d) + (e, f))
Para F el elemento (0, 1) es el neutro para la adicion en F y, por lo tanto, la clase(0, 1) es el elemento neutro para la adicion en F . Denotamos esta clase como 0. El par(a, b) esta en la clase del (0, 1) si y solo si 0b = 1a, es decir, si y solo si a = 0. En otraspalabras, la clase del (0, 1) consiste en todos los (0, b) con b distinto de cero.En F , tenemos (a, b) + (−a, b) = (ab+ b(−a), bb) = (0, b2) ∼ (0, 1) y, por lo tanto la clase(−a, b) es un inverso de la clase (a, b) para la adicion. Como consecuencia, F es un grupoabeliano con la adicion.La definicion de multiplicacion en F es (a, b)(c, d) = (ac, bd) y es consistente con la rela-cion de equivalencia. En efecto, sean (a, b) ∼ (a′, b′) y (c, d) ∼ (c′, d′) queremos ver que(a, b).(c, d) ∼ (a′, c′)(b′, d′), es decir, ac(b′d′) = bd(a′c′). Desarrollando ac(b′d′) = ab′(cd′) =ba′(dc′) = bd(a′c′). Entonces la multiplicacion desciende para ser definida en F .
Chequeamos que la multiplicacion es conmutativa y asociativa en F . Ciertamente,
(a, b)(c, d) = (ac, bd)
= (ca, db)
= (c, d)(a, b)
y
((a, b)(c, d))(e, f) = (ac, bd)(e, f)
= (ace, bdf)
= (a, b)(ce, df)
= (a, b)((a, d)(e, f))
Se sigue que en F es asociativa y conmutativa.
El elemento (1, 1) es el neutro para la multiplicacion en F y la clase del (0, 1) es elneutro para la multiplicacion en F . Llamamos a esta clase como 1.Si (a, b) no esta en la clase 0, entonces a 6= 0. Luego, ab 6= 0 y tenemos(a, b)(b, a) = (ab, ab) ∼ (1, 1) = 1. Por lo tanto, la clase (b, a) es un inverso para la clase de(a, b) en la multiplicacion. En consecuencia, los elementos no nulos de F forman un grupoabeliano con la multiplicacion.Para una de las distributivas:
11
Lema de Gauss
(a, b)((c, d) + (e, f)) = (a, b)(cf + de, df) = (a(cf + de), bdf) == (acf + ade, bdf) ∼ (acbf + bdae, b2df) = (ac, bd) + (ae, bf) = (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f)
muestra que las clases de (a, b)((c, d) + (e, f)) y de (a, b)(a, d) + (a, b)(e, f) son iguales. Dela otra distributiva se sigue que F es conmutativo con la multiplicacion. Luego, F es uncuerpo.El cuerpo F es llamado cuerpo de fracciones del dominio de integridad R. La funcionη : R −→ F diciendo que η(r) es la clase de (η, 1) es un homomorfismo de anillos quemanda 1 a 1. La llamamos inclusion canonica de R en F .
3. Lema de Gauss
Teorema 3.1. (Lema de Gauss)Si R es un dominio de factorizacion unica entonces elproducto de polinomios primitivos es primitivo.
Demostracion 1. Por contradiccion. Sea A(X) = amXm+...+a0 y B(X) = bnX
n+...+b0polinomios primitivos tales que cada coeficiente de A(X)B(X) es divisible por algun primop. Como A(X) y B(X) son primitivos, podemos elegir k y l tan chicos como sea posiblede manera tal que p no divida a ak ni bl. El coeficiente de Xk+l en A(X)B(X) es
a0bk+l + a1bk+l−1 + ...+ akbl + ak+lb0
y es divisible por p. Luego, todos sus terminos individuales y su suma son divisibles porp excepto posiblemente por akbl, y concluımos que p divide a akbl. Como p es primo ydivide a akbl debe dividir a ak o bl, lo cual es una contradiccion.
4
Demostracion 2. Por contradiccion. Sea A(X) y B(X) polinomios primitivos tales quecada coeficiente de A(X)B(X) es divisible por un primo p. El ideal < p > es primo yR′ = R� < p > es un dominio de integridad, como probamos con anterioridad. Seaϕ : R[X] −→ R′[X] la composicion del homomorfismo cociente R −→ R′ y la inclusionde R′ en los polinomios constantes de R′[X], y sea ϕ : R[X] −→ R′[X] el homomorfismosustitucion que lleva X a X. Como A(X) y B(X) son primitivos, Φ(A(X)) y Φ(B(X))no son cero. Su producto Φ(A(X))Φ(B(X)) = Φ(A(X)B(X)) es 0 ya que p divide cadacoeficiente de A(X)B(X). Esto contradice la Proposicion 2.24 ya que R′[X] es un dominiode integridad por lo tanto no tiene divisores de cero.
4
Sea F el cuerpo de fracciones de un dominio de factorizacion unica R. Las consecuenciasdel Lema de Gauss muestran una relacion entre R[X] y F [X], la cual daremos debajo en laProposicion 3.2. Con esa proposicion, podemos establecer las consecuencias del Teorema3.1. Si A(X) es un polinomio no nulo en R[X], sea c(A) el maximo comun divisor de loscoeficientes, es decir
c(A) = MCD(an, ..., a1, a0) si A(X) = anXn + ...+ a1X + a0.
El elemento c(A) esta bien definido hasta un factor de una unidad. En esta notacion vemosla definicion de primitivo: A(X) es primitivo si y solo si c(A) = 1.Si A(X) no es necesariamente primitivo, entonces c(A) divide al menos a cada coeficientede A(X) y, por lo tanto c(A)−1A(X) esta en R[X], con coeficientes bn, ..., b1, b0. Entoncestenemos:
12
Lema de Gauss
c(A) = MCD(an, ..., a1, a0) = MCD(c(A)bn, ..., c(A)b1, c(A)b0) =
= c(A)MCD(bn, ..., b1, b0)
= c(A)c(c(A)−1A(X))
hasta un factor de unidad, y por lo tanto c(c(A)−1A(X)) es una unidad. Concluimos queA(X) ∈ R[X] implica que c(A)−1A(X) es primitivo.
Proposicion 3.2. Sea R un dominio de factorizacion unica y F su cuerpo de fracciones.Si A(X) es un polinomio no nulo perteneciente a F [X], entonces existe α en F y A0(X)en R[X] tal que A(X) = αA0(X) con A0(X) primitivo. El escalar α y el polinomio A0(X)son unicos hasta la mutiplicacion por unidades de R.
Observacion. Llamamos A0(X) polinomio primitivo asociado de A(X) y es unico hastaun factor de unidad en R.
Demostracion. Sea A(X) = cnXn + ... + c1X + c0 con cada ck en F . Podemos escribir
cada ck como ak(bk)−1 con ak y bk en R y bk 6= 0. Quitamos las fracciones. Esto es,definimos β =
∏nk=0 bk. Luego el k-esimo coeficiente de βA(X) es ak
∏l 6=k bl y esta en R.
Por lo tanto, βA(X) esta en R[X]. La observacion anterior muestra que c(βA)−1βA(X)es primitivo. Ademas A(X) = αA0(X) con α = β−1c(βA) y A0(X) = c(βA)−1βA(X),siendo A0(X) primitivo. Esto prueba la existencia.Si α1A1(X) = α2A2(X) con α1 y α2 en F y con A1(X) y A2(X) primitivos, elegimosr 6= 0 en R tal que rα1 y rα2 estan en R. Hasta factores de unidad en R, tenemosrα1 = rα1c(A1) = c(rα1A1) = c(rα2A2) = rα2c(A2) = rα2. Por lo tanto, hasta factoresde unidad en R, tenemos que α1 = α2. Esto prueba la unicidad.
4
Corolario 3.3. Sea R un dominio de factorizacion unica, y sea F su cuerpo de fracciones.
a) Sea A(X) y B(X) polinomios distintos de 0 pertenecientes a R[X], y supongamos queB(X) es primitivo. Si B(X) divide a A(X) en F [X], entonces divide a A(X) en R[X].
b) Si A(X) es un polinomio irreducible en R[X] de grado > 0, entonces A(X) es irreducibleen F [X].
c) Si A(X) es un polinomio monico perteneciente a R[X], y si B(X) es un factor monicode A(X) en F [X], entonces B(X) pertenece a R[X].
d) SiA(X),B(X) y C(X) pertenecen aR[X] conA(X) primitivo y conA(X) = B(X)C(X),entonces B(X) y C(X) son primitivos.
Demostracion.
a) Escribimos A(X) = B(X)Q(X) en F (X), siendo Q(X) = ρQ0(X) una descomposi-cion de Q(X) como en la Proposicion 3.2. Como c(A)−1A(X) es primitivo, la des-composicion correspondiente de A(X) es A(X) = c(A)(c(A)−1A(X)). La igualdadA(X) = ρB(X)Q0(X) la podemos escribir como c(A)(c(A)−1A(X)) = ρB(X)Q0(X).Como B(X)Q0(X) es primitiva por el Teorema 3.1, la unicidad en la Proposicion 3.2muestra que c(A)−1A(X) = B(X)Q0(X), excepto posiblemente para un factor de uni-dad perteneciente a R. Luego, B(X) divide a A(X) con cociente c(A)Q0(X), aparte deun factor de unidad perteneciente a R. Como c(A)Q0(X) pertence a R[X], a) quedaprobado.
13
Lema de Gauss
b) La condicion de que el grado de A(X) sea > 0 implica que A(X) no es una unidaden F [X]. Por contradiccion, supongamos que A(X) = B(X)Q(X) en F [X] con ambosB(X) y Q(X) de grado 0. Sea B(X) = βB0(X) una descomposicion de B(X) como enla Proposicion 3.2. Entonces tenemos que A(X) = B0(X)(βQ(X)), y a) muestra queβQ(X) pertenece a R[X]. Esto contradice la suposicion de irreducibilidad de A(X) enR[X].
c) Escribimos A(X) = B(X)Q(X). Sea B(X) = βB0(X) una descomposicion de B(X)como en la Proposicion 3.2. Entonces tenemos que A(X) = B0(X)(βQ(X)) con βQ(X)perteneciente a F [X]. La conclusion de a) muestra que βQ(X) pertence a R[X]. Sib pertenciente a R es el coeficiente principal de B0(X) y si q perteneciente a R esel coeficente principal de βQ(X), entonces tenemos 1 = bq, por ser A(X) monico, yconsecuentemente b y q son unidades en R. Como B(X) = βB0(X) y B(X) es monico,1 = βb, y por lo tanto β = b−1 es una unidad en R. Entonces, B(X) pertenece a R[X].
d) Se prueba de forma similar a a).
Tomemos B(X) = c(B)(c(B)−1B(X)) y C(X) = c(C)(c(C)−1C(X)) como descom-posiciones de B(X) y C(X) respectivamente, de acuerdo a la Proposicion 3.2. Luego,tenemos que A(X) = (c(B)c(C)[c(B)−1B(X)c(C)−1C(X)]. El Teorema 3.1 dice queel producto entre corchetes es primitivo, y la unicidad de la Proposicion 3.2 muestraque 1 = c(B)c(C), hasta factores de unidad. Luego, c(B) y c(C) son unidades en R, yB(X) y C(X) son primitivos.
4
Corolario 3.4. Si R es un dominio de factorizacion unica entonces el anillo R[X] es undominio de factorizacion unica.
Demostracion. Probemos (DFU1). Supongamos que A(X) es un miembro no nulo deR[X]. Podemos descomponerlo como A(X) = c(A)(c(A)−1A(X)). Considerando los divi-sores de c(A)−1A(X) en R[X]. Estos son todos primitivos de acuerdo con el inciso d) delCorolario 3.3. Por lo tanto, los de grado cero son unidades en R. De esta manera cualquierfactorizacion no trivial es de dos factores de grado estrictamente inferior, ambos primiti-vos.En un finito numero de pasos, el proceso de factorizacion con factores primos tiene queparar. Podemos entonces obtener el factor c(A) en R. Combinando las factorizaciones dec(A) y c(A)−1A(X), se obtiene una factorizacion de A(X).Para (DFU2’), sea P (X) un polinomio irreducible en R[X]. La factorizacionP (X) = c(P )(c(P )−1P (X)) tiene que ser trivial, ya sea c(P ) es una unidad, en cuyo casoP (X) es primitivo, o c(P )−1P (X) es una unidad, y en cuyo caso P (X) tiene grado cero.Para cualquiera de los dos casos, supongamos que P (X) divide a un producto A(X)B(X).
En el primer caso, P (X) es primitivo. Como F [X] es un dominio ideal principal,entonces es dominio de factorizacion unica, ya sea P (X) divide a A(X) en F [X] o P (X)divide a B(X) en F [X]. Por simetrıa podemos asumir que P (X) divide a A(X) en F [X].Luego, el ıtem a) del Corolario 3.3 muestra que P (X) divide a A(X) en R[X].
En el segundo caso, P (X) = P tiene grado 0 y es primo en R. EscribimosA(X)B(X) = PQ(X) con Q(X) en R[X]. Podemos tomar A(X) = c(A)(c(A)−1A(X)),B(X) = c(B)(c(B)−1B(X)) y Q(X) = c(Q)(c(Q)−1Q(X)) como descomposiciones deA(X), B(X) y Q(X). Entonces tenemos:
c(A)c(B))[c(A)−1A(X)c(B)−1B(X)] = Pc(Q)(c(Q)−1Q(X)).
14
Lema de Gauss
El Lema de Gauss muestra que el producto dentro de los parentesis es primitivo y launicidad en la Proposicion 3.2, muestra que tenemos c(A)c(B) = Pc(Q) hasta factores deunidades en R. Como P es primo en R, P divide a c(A) o a c(B). Por simetrıa podemosasumir que P divide a c(A). Entonces P divide a A(X) ya que c(A) divide cada coeficientede A(X).
4
La aplicacion final es el Criterio de irreducibilidad de Einstein cuya prueba es analogaa la del Lema de Gauss.
Corolario 3.5. Criterio de irreducibilidad de Eisenstein: Sea R un dominio de factoriza-cion unica, F un cuerpo de fracciones y p un primo en R. Si A(X) = aNX
N +...+a1X+a0es un polinomio de grado ≥ 1 en R[X] tal que p divide a aN−1, ..., a0 pero no a aN y p2
no divide a a0, entonces A(X) es irreducible en F [X].
Observacion. El polinomio A(X) sera irreducible tambien en R[X] a menos que todossus coeficientes sean divisibles por alguna no unidad de R.
Demostracion. Sin perder generalidad, podemos reemplazar A(X) por c(A)−1A(X) ypor lo tanto, asumir que A(X) es primitivo. El inciso b) del Corolario 3.3 muestra que essuficiente probar irreducibilidad en R[X]. Asumiendo lo contrario, supongamos A(X) confactores en R[X] de la siguiente manera A(X) = B(X)C(X) conB(X) = bmX
m + ...+ b1X + b0, C(X) = cnXn + ...+ c1X + c0, y ni B(X) ni C(X) igual
a una unidad. Por el inciso d) del corolario ya citado, B(X) y C(X) son primitivos. Enparticular, B(X) y C(X) tienen que ser polinomios no constantes. Definimos ak = 0 parak > N , bk = 0 para k > m y ck = 0 para k > n. Como p divide a a0 = b0c0 y p es primo,p divide ya sea a b0 o c0. Supongamos que p divide a b0. Como p2 no divide a a0, p nodivide a c0.Por induccion sobre k, mostremos que p divide a bk para cada k < N . El caso k = 0 es elcaso base de la induccion. Si p divide a bj para j < k, entonces tenemos:
ak = b0ck + b1ck−1 + ...+ bk−lc1 + bkc0
Como k < N , el lado izquierdo es divisible por p. La hipotesis inductiva muestra que pdivide cada termino del lado derecho, excepto posiblemente por el ultimo termino. Comoconsecuencia p divide a bkc0. Ya que p no divide a c0, p divide a bk. Esto completa lainduccion.Como C(X) es no constante, el grado de B(X) es < N y por lo tanto, tenemos quedemostrar que cada coeficiente de B(X) es divisible por p. Luego c(B) es divisible por p,lo cual es una contradiccion al hecho de que B(X) es primitivo.
4
Demostracion. Ejercicio.
Sin perder generalidad, podemos reemplazar A(X) por c(A)−1A(X) y por lo tanto,asumir que A(X) es primitivo. El inciso b) del Corolario 3.3 muestra que es suficienteprobar irreducibilidad en R[X]. Asumiendo lo contrario, supongamos A(X) con factoresen R[X] de la siguiente manera A(X) = B(X)C(X) conB(X) = bmX
m + ...+ b1X + b0, C(X) = cnXn + ...+ c1X + c0, y ni B(X) ni C(X) igual
a una unidad. Por el inciso d) del corolario ya citado, B(X) y C(X) son primitivos. Enparticular, B(X) y C(X) tienen que ser polinomios no constantes.
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Lema de Gauss
La factorizacion modulo p de A(X) sera A(X) = aNXN , dado que los ai con
i = 0, ..., N − 1 son divisibles por p.
Luego, B(X) = b′Xk y C(X) = c
′Xj , k, j = 0, ..., N − 1, tales que b
′, c′ ∈ R,
y grado(B(X).C(X)) = gradoA(X), entonces k + j = N .
Esto implica que b0 y c0 son multiplos de p, ya que desaparecen en la reduccion amodulo p. Es decir, ∃ b0, c0 ∈ R: b0 = pb0 ∧ c0 = pc0.
Luego, a0 = b0c0 = pb0pc0 = p2b0c0.
Entonces, p2 | a0. Lo cual es un absurdo. El mismo provino de suponer que A(X) esno irreduccible.
4
Ejemplos:
1. Polinomios ciclotomicos enQ[X]. Veamos que para cada primo p el polinomio Φ(X) =Xp−1 +Xp−2 + ...+X + 1 es irreducible en Q[X]. Tenemos Xp−1 = (X − 1)Φ(X).Reemplazando X − 1 por Y tenemos (Y + 1)p − 1 = Y Φ(Y + 1). El lado izquierdo,por el teorema binomial, es
∑pk=1
(pk
)Y k. Por lo tanto Φ(Y + 1) =
∑pk=1
(pk
)Y k−1 .
El coeficiente binomial(pk
)es divisible por p, para 1 6 k 6 p− 1 ya que p es primo,
y por lo tanto el polinomio Ψ(Y ) = Φ(Y + 1)satisface la condicion del criterio deirreducibilidad de Eisenstein para el anillo Z. Por lo tanto Ψ(Y ) es irreducible sobreQ[Y ]. Una factorizacion no trivial de Φ(X) producirıa una factorizacion no trivialde Ψ(Y ), y por lo tanto Φ(X) es irreducible sobre Q[X].
2. Algunos polinomios en K[X,Y ] cuando K es cuerpo. Como K[X,Y ] u K[X,Y ], sesigue que K[X,Y ] es un dominio de factorizacion unica, y cualquier miembro deK[X,Y ] puede escribirse como A(X,Y ) = an(X)Y n + ... + a1(X)Y + a0(X). Elpolinomio X es primo en K[X,Y ] y el criterio de irreducibilidad de Einstein diceque A(X,Y ) es irreducible en K(X)[Y ] si X no divide a an(X) en K[X], X divide aan−1(X), ..., a0(X) en K[X] y X2 no divide a a0(X) en K[X]. La observacion anteriorsenala que A(X,Y ) es irreducible en K[X,Y ] si tambien existe un polinomio noconstante en K[X] que divide a cada ak(X). Por ejemplo Y 5 + XY 2 + XY + X esirreducible en K[X,Y ].
16
Problemas
4. Problemas
1. Sea ϕ el homomorfismo de anillos del cuerpo de numeros reales en los reales, que llevauno a uno.
Notemos que si ϕ : R → R es un homomorfismo entonces para cualquier x, y ∈ R secumple:
ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y)
ϕ(x.y) = ϕ(x).ϕ(y)
ϕ(1) = 1, por estar en los reales.
Ademas, siendo a ∈ R, se verifican:
I) ϕ(0) = 0
II) ϕ(−a) = −ϕ(a)
III) ϕ(na) = nϕ(a), ∀n ∈ N
En efecto,
I) Sea b ∈ R,ϕ(0) = ϕ(0.b) = ϕ(0).ϕ(b) (1)y
ϕ(0 + b) = ϕ(0) + ϕ(b)⇒ ϕ(0) = ϕ(0 + b)− ϕ(b) (2)
Reemplazando (2) en (1),ϕ(0) = (ϕ(0 + b)− ϕ(b)).ϕ(b) = (ϕ(b)− ϕ(b)).ϕ(b) = 0.ϕ(b) = 0.
∴ ϕ(0) = 0
II) Sea a ∈ R y −a su opuesto.
ϕ(0) = ϕ(a− a) = ϕ(a) + ϕ(−a) = 0, por I)
⇒ 0 = ϕ(a) + ϕ(−a)
⇒ −ϕ(a) = ϕ(−a)
∴ ϕ(−a) = −ϕ(a)
III) Sea n ∈ N, a ∈ R
ϕ(na) = ϕ(a+ a+ ...+ a︸ ︷︷ ︸n veces
) = ϕ(a) + ϕ(a) + ...+ ϕ(a)︸ ︷︷ ︸n veces
= nϕ(a)
∴ ϕ(na) = nϕ(a).
4
a) Probar que ϕ es la identidad en Q.
Sea a ∈ Q.
Veamoslo por casos,
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Problemas
- Si a = 0, es trivial.
- Si a > 0, a =a1a2
, a1, a2 ∈ N (a2 6= 0)
ϕ(a) = ϕ(a1a2
) = ϕ(a1.1
a2) = a1.ϕ(
1
a2) =
a1a2.a2.ϕ(
1
a2) =
a1a2.ϕ(
a2a2
) =
=a1a2.ϕ(1) =
a1a2· 1 = a
- Si a < 0, a =a1−a2
, a1, a2 ∈ N (a2 6= 0)
ϕ(a) = ϕ(a1−a2
) = ϕ(a1.1
−a2) = a1.ϕ(
1
−a2) =
a1−a2
.(−a2).ϕ(1
−a2) =
=a1−a2
.a2.ϕ(−1
−a2) =
a1−a2
.ϕ(a2a2
) =a1−a2
ϕ(1) =a1−a2
· 1 =a1−a2
= a
∴ ϕ es la identidad en Q.
4
b) Probar que ϕ lleva raıces cuadradas a raıces cuadradas.
Sea x ∈ R, x ≥ 0. Tomemos x =√x.√x,
⇒ ϕ(x) = ϕ(√x.√x) = ϕ(
√x).ϕ(
√x) = (ϕ(
√x))2
⇒ ϕ(x) = (ϕ(√x))2
⇒√ϕ(x) = ϕ(
√x).
∴ ϕ lleva raıces cuadradas a raıces cuadradas.
4
c) Probar que ϕ respeta el orden de R, es decir, que a ≤ b implica ϕ(a) ≤ ϕ(b).
Notemos que, por el inciso b), sea x ∈ R, x ≥ 0, ϕ(x) = (ϕ(√x))2 ≥ 0.
⇒ x ≥ 0⇒ ϕ(x) ≥ 0.
Sean a, b ∈ R: a ≤ b, entonces b− a ≥ 0.
Entonces, ϕ(b− a) = ϕ(b)− ϕ(a) ≥ 0.
Luego, ϕ(b) ≥ ϕ(a)
∴ ϕ respeta el orden de R.
4
d) Probar que ϕ es la identidad en R.
Queremos ver que ϕ(x) = x para x ∈ R.
Sabemos que ϕ(1) = 1 y ‖ ϕ ‖= sup {| ϕ(x) |: x ∈ R, ‖ x ‖6 1}.Por inciso c) a ≤ b⇒ ϕ(a) ≤ ϕ(b)
⇒‖ ϕ ‖= 1.
18
Problemas
Ahora, sean x, y ∈ R tal que ∀ε > 0, ∃δ > 0, δ = ε: | x− y |< δ ⇒ | ϕ(x)−ϕ(y) |< ε
En efecto, | ϕ(x)− ϕ(y) |=∗1 | ϕ(x− y) |≤∗2‖ ϕ ‖| x− y |=| x− y |< δ = ε
∗1 por ser ϕ homomorfismo.
∗2 pues ϕ ∈ Hom(R,R) = {ϕ : R→ R : ϕ es R -lineal}.
Luego, ϕ es continua.
Antes de seguir, necesitamos aclarar conceptos y resultados que no se han mencio-nado aun.
Definicion 4.1. Sea X un conjunto. Una topologıa en X es un sistema de subcon-juntos τ ⊆ P (X) que verifica las tres propiedades basicas.
1) Si σ ⊆ τ , entonces ∪ σ ∈ τ2) Si F ⊆ τ es finita, entonces ∩ F ∈ τ3) ∅ ∈ τ y X ∈ τ
En otras palabras, τ es una topologıa si contiene a X y ∅, y es cerrada por unionesarbitrarias y por intersecciones arbitrarias.
En tal caso, decimos que el pas (X, τ) es un espacio topologico (ET). Los elementosde τ se llamaran subconjuntos abiertos (o τ -abiertos) de X.
Definicion 4.2. Sea (X, τ) un ET y fijemos un punto x ∈ X.
1) Diremos que un conjunto
A ⊆ X es un entorno de x si existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A.
A se llamara entorno abierto de x si se tiene que x ∈ A y el mismo A ∈ τ .
2) Denotaremos por O(x) = {A ⊆ X : A es entorno de x} al filtro de entornos dex.
Definicion 4.3. Sea (X, τ) un ET. Diremos que X es de la clase:
T0: Si dados x, y ∈ X distintos, existe
U ∈ O(x) tal que y 6∈ U o bien V ∈ O(y) tal que x 6∈ V .
Puede verse que esto equivale a que x 6= y =⇒ O(x) 6= O(y).
T1: Si dados x, y ∈ X distintos, existen U ∈ O(x) y V ∈ O(y) tales que x 6∈ V ey 6∈ U .Otra forma de decirlo es que ∩O(x) = {x}, para todo x ∈ X.
T2: Si dados x, y ∈ X distintos, existen
U ∈ O(x) y V ∈ O(y) tales que U ∩ V = ∅.
Los ET´s de clase T2 son mas conocidos como espacios de Hausdorff.
T3: Si X es T1 y, para todo x ∈ X y todo F ⊆ X cerrado tales que x 6∈ F , existen
U ∈ O(x) y V ∈ τ tales que F ⊆ V y U ∩ V = ∅.
Los ET´s de clase T3 son tambien conocidos como espacios regulares.
T4: Si X es T1 y, para todo par F1, F2 ⊆ X de subconjuntos cerrados y disjuntos,
existen U y V ∈ τ tales que F1 ⊆ U , F2 ⊆ V y U ∩ V = ∅.
Los ET´s de clase T4 son conocidos como espacios normales.
19
Problemas
Observacion 4.4. Sea (X, τ) un ET. Vimos que X es T1 si y solo si⋂O(x) = {x},
para todo x ∈ X. Es claro que esto a su vez equivale a que {y} sea cerrado para todoy ∈ X. Entonces los espacios T1 son aquellos en los que los puntos son cerrados.
Teniendo esto en cuenta, es inmediato verificar que las clases recien definidas soncada vez mas restrictivas, en el sentido de que
X es de clase Tk =⇒ X es de clase Tk−1, para todo k ∈ I4,
o bien que: normal =⇒ regular =⇒ Hausdorff =⇒ puntos cerrados =⇒ T0
Proposicion 4.5. Todo espacio metrico (X, d) es normal.
Proposicion 4.6. Sea Y Hausdorff y f, g : X −→ Y continuas, entonces C = {x ∈X : f(x) = g(x)} es cerrado en X. En particular, si D es denso en X y f |D = g|Dentonces se sigue que f = g.
Demostracion. Veamos que X −C es abierto. Si x ∈ X −C entonces f(x) 6= g(x)y como Y es Hausdorff existiran U, V abiertos tales que f(x) ∈ U , g(x) ∈ V yU ∩ V = ∅. Como f y g son continuas se sigue que f−1(U) ∩ g−1(V ) es un abierto,y es claro que x ∈ f−1(U) ∩ g−1(V ) ⊂ X − C (en efecto, si z ∈ f−1(U) ∩ g−1(V )entonces f(z) 6= g(z), ya que f(z) ∈ U , g(z) ∈ V y U ∩ V = ∅, luego z ∈ X − C).Sea D denso en X y f |D = g|D entonces D ⊂ C y X = D, como C es cerrado sesigue que X = C, es decir que f(x) = g(x) para todo x ∈ X y por tanto f = g.
4
Hasta aquı introdujimos lo que nos hacia falta para seguir con nuestra demostracion.
Retomando, querıamos probar que ϕ(x) = x para x ∈ R y habıamos comprobadoque ϕ es continua.
Ahora, sabemos que:
La identidad es continua
R es Hausdorff (T2), pues todo espacio metrico es normal(T4), y R es un espaciometrico entonces R es T4. Y como T4 implica T2, entonces R es T2.
ϕ(x) = x,∀x ∈ Q por inciso a)
Ası, como Q = R, deben coincidir en todo el espacio.
Luego, por la Proposicion 4.6, ϕ(x) = x para x ∈ R.
4
2. Un elemento r en un anillo conmutativo con identidad es llamado nilpotente si rn = 0para algun entero n. Probar que si r es nilpotente entonces 1 + r es una unidad.
Sea R un anillo conmutativo con identidad y r ∈ R.
Tomemos 1− (−r)n(−1)n ∈ R y, en particular, su factorizacion
20
Problemas
1− (−r)n(−1)n = (1 + r)(1− r + r2 − ...+ (−1)n−1rn−1).
1− (−1)n0(−1)n = (1 + r)(1− r + r2 − ...+ (−1)n−1rn−1)
1 = (1 + r)(1− r + r2 − ...+ (−1)n−1rn−1)
= (1− r + r2 − ...+ (−1)n−1rn−1)(1 + r)
pues, 1− r + r2 − ...+ (−1)n−1rn−1 , (1 + r) ∈ R.
∴ (1 + r) es una unidad.
4
3. Si R es un cuerpo, probar que el embedding de R en su cuerpo de fracciones exhibe aR como isomorfo a su cuerpo de fracciones.
Sea R un cuerpo, F su cuerpo de fracciones y η : R ↪→ F , embedding (monomorfismounital de anillos).
Queremos ver que η : R ↪→ F es isomorfismo (monomorfismo y epimorfismo).
Notemos que η es monomorfismo pues η : R ↪→ F es un embedding.
Veamos que η es epimorfismo, i.e., ∀(x, y) ∈ F , ∃r ∈ R: η(r) = (x, y).
Sea (x, y) ∈ F = R x R− {0}, R cuerpo.
Queremos ver que (x, y) ∼ (r, 1), i.e., x 1 = yr.
Como R es cuerpo, sea r = y−1x,
⇒ (x, y) ∼ (y−1x, 1)
⇒ (x, y) = η(xy−1)
Luego, ∀(x, y) ∈ F, ∃r = xy−1 ∈ R : η(r) = (x, y).
∴ η es epimorfismo.
∴ η es isomorfismo.
4
4. Probar que x es primo en R[x] si R es un dominio de integridad.
Sea < x > un ideal en R[x], notado < x >R[x]. En efecto,
a) (< x >,+) es un grupo.
En efecto,
Sea f, g, h ∈< x >,(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x)) + h(x)) pues R[x] es dominio ıntegro.
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Problemas
Sea a ∈< x >. Entonces, a(x) = h(x)x, siendo h(x) ∈ R[x].Luego, 0 ∈< x > tal que a+ 0 = 0 + a = a.
Sea a ∈< x >, a(x) = h(x)x, siendo h(x) ∈ R[x].∃b ∈< x >, b(x) = −h(x)x, siendo −h(x) ∈ R[x], tal que a+ b = e = b+ a.
b) r < x >⊂< x >, para todo r ∈ R[x]. En efecto,
sea r(x) ∈ R[x], f(x) ∈< x >.
r(x)f(x) = r(x)h(x)x, siendo h(x) ∈ R[x].
= g(x)x, siendo g(x) = r(x)h(x) ∈ R[x].
c) < x > r ⊂< x >, para todo r ∈ R[x]. En efecto,
sea f(x) ∈< x >, r(x) ∈ R[x] .
f(x)r(x) = h(x)xr(x), siendo h(x) ∈ R[x].
= g(x)x, siendo g(x) = h(x)r(x) ∈ R[x].
Sean f(x), g(x) ∈ R[x] tales que f(x)g(x) ∈< x >R[x].
Entonces, f(x)g(x) = xh(x), siendo h(x) ∈ R[x].
Por la Proposicion 2.24, R[x] es dominio de integridad. Entonces si evaluamos en cerof(0)g(0) = 0h(0) = 0, se sigue f(0) = 0 o g(0) = 0.
Luego,
si f(0) = 0⇒ f(x) ∈< x >R[x].
si g(0) = 0⇒ g(x) ∈< x >R[x].
Entonces, < x >R[x] es primo.
Por lo tanto, < x >R[x] es un ideal primo.
∴ x es primo en R[x], por la Proposicion 2.16.
4
5. Supongamos que R es un dominio de integridad que no es cuerpo.
a) Probar que existe un ideal primo no nulo en R[x] que no es maximal.
Supongamos que todo ideal primo no nulo en R[x] es maximal.
Por el ejercicio 4) sabemos que x es primo en R[x] y < x >R[x] es un ideal primo.De esto ultimo, por hipotesis, < x >R[x] es maximal.
Luego, por la proposicion 2.33, R[x]/ < x >R[x] es un cuerpo.
Ahora, tomemos ϕ : R[x] −→ R dado por ϕ(p) = p(0), el homomorfismo evaluar encero. En efecto, sean p, q ∈ R[x]
ϕ(p+ q) = (p+ q)(0) = p(0) + q(0) = ϕ(p) + ϕ(q)
ϕ(p.q) = (p.q)(0) = p(0).q(0) = ϕ(p).ϕ(q).
Entonces, kerϕ = {p ∈ R[x] : ϕ(p) = 0} =< x >R[x].
Es trivial ver que ϕ(R[x]) = R.
Luego, por el primer teorema del isomorfismo R[x]/ < x >R[x]≈ R. Entonces R escuerpo. En efecto, sea a ∈ R y ϕ : R[x]/ < x >R[x]−→ R isomorfismo.
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Problemas
Entonces, ϕ−1(a) ∈ R[x]/ < x >R[x] y ∃α ∈ R[x]/ < x >R[x] tal queϕ−1(a)α = αϕ−1(a) =∗1 1, dado que R[x]/ < x >R[x] es un cuerpo.
Aplicando ϕ a ∗1,
ϕ(αϕ−1(a)) = ϕ(1)
ϕ(α)ϕ(ϕ−1(a)) = 1
ϕ(α)a = 1
Analogamente, aϕ(α) = 1.
∴ R es un cuerpo, ya que ∃ a−1 ∈ R : a−1 = ϕ(α).
Absurdo! pues R no es cuerpo.
4
b) Probar que hay un ideal en R[x] que no es principal.
Sea c 6= 0, c ∈ R, c−1 6∈ R y sea I =< c, x >R[x].
Supongamos que I es principal, es decir, ∃d ∈ I tal que I =< d >R[x].
Luego, c ∈< d >R[x] y x ∈< d >R[x], por lo que ∃ r1, r2 ∈ R[x] : c = r1d y x = r2d.
Entonces d es un unidad.
Como I =< d >R[x], entonces I no es propio. I 6= ∅ por construccion, por lo queI = R[x]. Luego, existen p, q ∈ R[x] tal que cp+ xq = 1.
Ahora, como el grado de xq es al menos 1, se sigue que cp = 1, siendo p ∈ R.Entonces c es unidad, lo cual es un absurdo, dado que supusimos a c no invertible.
∴ ∃ un ideal ∈ R[x] que no es principal.
4
4
6. Sea I un ideal no nulo en Z[√−5].
a) Probar que I contiene algun entero positivo.
Como I 6= ∅, ∃ (a+ b√−5) ∈ I.
Luego, ∀z ∈ Z[√−5], [z(a+ b
√−5)] ∈ I. En particular,
(a− b√−5).(a+ b
√−5) = a2 − (b
√−5)2 = a2 − b2(−5) = a2 + 5b2 ∈ I.
∴ ∃ c = a2 + b25 > 0.
4
b) Probar que I, como un grupo abeliano bajo la adicion, es un grupo abeliano librede rango 2.
Definicion. Un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base,es decir, que cada elemento del grupo se puede escribir de manera unıvoca comocombinacion lineal de los elementos de la base, con coeficientes enteros.
Teorema 4.7. Todo subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre. Ademas,sea G un subgrupo de un grupo abeliano libre F , rango G ≤ rango F .
23
Problemas
Demostracion. Sea X la base del grupo abeliano libre F = AX . Para cadasubconjunto Y de X, sea AY el grupo libre con esa base Y , entonces AY se encajanaturalmente como subgrupo abeliano en F . Para un subgrupo G < F , GY denotala interseccion G
⋂AY .
Definimos el conjunto S que conste de ternas (GY , B, φ), entonces GY es libre conbase B y φ : B ↪→ X es un embedding.
El conjunto S es no vacıo, por lo que podemos tomar Y como un solo elementox ∈ X. Entonces, GY es trivial o cıclico infinito (por ser F torsion-libre). En amboscasos, GY es abeliano libre y B es vacıo o se compone de un solo elemento.
Definimos el orden parcial ≤ en S como:
(GY , B, φ) ≤ (GZ , C, ψ)⇐⇒ Y ⊂ Z,B ⊂ C, φ = ψ |B.
Supongamos que L es una cadena en el orden establecido arriba indexada por unconjunto ordenado M :
{(GYm , Bm, φm),m ∈M}; (GYm , Bm, φm) ≤ (GYn , Bn, φn)⇐⇒ m ≤ n.
Entonces, la union: ⋃m∈M
GYm
es otra vez un subgrupo en F y el conjunto
C =⋃
m∈MBm
es una base en el grupo de arriba. Ademas, el mapeo φm determina un embeddingψ : C ↪→ X. Entonces,
(⋃
m∈MGYm , C, ψ) ∈ S
Entonces, por el lema de Zorn, existe un elemento maximal (GY , B, φ) de S. SiY = X entonces GY = G y listo.
Supongamos que existe x ∈ X \Y . Sea el conjunto Z = Y ∪{x}. Mostraremos queGZ sigue siendo abeliano libre con una base C que contiene a B y φ se extiende aun embedding ψ : Z ↪→ X. Si GZ = GY , tomamos C = B, ψ = φ. Por otro lado,asumimos que GZ/GY 6= 0. El cociente AZ/AY es isomorfo a Z y es generado porla imagen x de x. La imagen de GZ en este cociente es isomorfa a GZ/GY y esgenerada por algun n.x, n ∈ Z \ 0. Sea g ∈ GZ un elemento con mapeo a n.x. Conel mapeo GZ/GY →< g >, tenemos la secuencia split
0→ GY → GZ → GZ/GY = Z → 0
y, por lo tanto,
GZ∼= GY
⊕< g >.
Esto significa que C = B ∪{g} es la base de GZ ; extendemos φ a C por ψ(g) = x.
Entonces, (GZ , C, ψ) ∈ S. Esto contradice que (GY , B, φ) sea el maximo.
Por lo tanto, concluımos que G es abeliano libre y su base esta inmersa en la basede F .
4
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Problemas
Ahora, sea Z[√−5] = {a+ b
√−5 : a, b ∈ Z} =< 1,
√−5 >.
Entonces, Z[√−5] tiene rango dos.
Por el inciso a), ∃c ∈ I, c entero positivo. Entonces, c√−5 ∈ I.
Ahora, {c , c√−5} son Z linealmente independientes y < c, c
√−5 >⊆ I.
Luego, el rango de I sera al menos 2.
Por el Teorema 4.7, el rango de I deber ser 2.
4
Observacion. Si n denota el menor entero positivo en I, se puede probar queI tiene una base Z de la forma {n, a + b
√−5} para algun miembro adecuado
a+ b√−5 de Z
√−5.
7. Sea R un dominio de factorizacion unica y F su cuerpo de fracciones. Sean A(X) yB(X) polinomios no nulos en F [X], sean A0(X) y B0(X) sus polinomios primitivosrespectivos y supongamos que B(X) divide a A(X) en F [X]. Probar que B0(X) dividea A0(X) en R[X].
Sea A(X), B(X) ∈ F [X], A(X) 6= 0, B(X) 6= 0 y A0(X), B0(X) ∈ R[X] sus primitivosrespectivamente.
Por la proposicion 3.2, ∃ α ∈ F tal que
A(X) = αA0(X).
De igual manera, ∃ β ∈ F tal que
B(X) = βB0(X).
Luego, si B(X) | A(X) en F [X], entonces A(X) = B(X)P (X), P (X) ∈ F [X],P (X) 6= 0, pues A(X) 6= 0.
Entonces,
A(X) = B(X)P (X)
αA0(X) = βB0(X)P (X)
A0(X) = α−1βB0(X)P (X); pues al ser F es cuerpo, ∃ α−1 ∈ F .
Nombremos ε = α−1β ∈ F .
Ası, A0(X) = εB0(X)P (X) = B0(X)εP (X), con εP (X) ∈ F [X].
Luego, B0(X) | A0(X) en F [X].
Ahora bien, como R es dominio de factorizacion unica, F cuerpo de fracciones,A0(X), B0(X) ∈ R[X] ambos no nulos, y B0(X) es primitivo, entonces, por el Corolario3.3 inciso a), como B0(X) | A0(X) en F [X] entonces B0(X) | A0(X) en R[X].
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Bibliografıa
5. Bibliografıa
[1] Adkins, William A. y Weintraub, Steven H. Algebra. An Approach via Module Theory(1999)
[2] Drutu Cornelia and Kapovich Michael Lectures on Geometric Group Theory
[3] Knapp, Anthony W., Basic Algebra (2006)
[4] Stojanoff, Demetrio, Un curso de Topologıa (2009)
[5] Stojanoff, Demetrio, Un curso de Analisis Funcional (2015)
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