LIMITES

Prof. Danilene Donin Berticelli

◦ Considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de produção

de uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas de

milhares de reais, onde

𝐶 =8𝑥2 − 636𝑥 − 320

𝑥2 − 68𝑥 − 960

◦ A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura assegurar

que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da capacidade máxima. Que

custo o gerente deve esperar quando a fábrica está funcionando neste nível de

produção ideal?

◦ Entretanto, é possível calcular C(x) para valores que se aproximam de x pela direita

(x>80), quando a fábrica está temporariamente superutilizada; e pela esquerda

(x<80), quando a fábrica está temporariamente subutilizada.

◦ Os valores de C(x) sugerem que C(x) se aproxima do número 7 quando x se aproxima

de 80.

◦ Assim, é razoável que o gerente espere um custo de R$ 700.000,00 quando a fábrica

está funcionando com 80% da capacidade máxima.

x tende a 80 pela esquerda X tende a 80 pela direita

x 79,8 79,99 79,999 80 80,0001 80,001 80,04

C(x) 6,99782 6,99989 6,99999 X 7,000001 7,00001 7,00043

◦ O comportamento da função que aparece neste exemplo pode ser descrito

afirmando que “o limite de C(x) quando x se aproxima de 80 é igual a 7”, ou em

notação matemática:

lim𝑥→80

𝐶 𝑥 = 7

Limite Se f(x) se aproxima de um número L

quando x se aproxima de um número c tanto pela

direita quanto pela esquerda, L é o limite de f(x)

quando x tende a c, o que, em notação

matemática é escrito como

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿

◦ Os limites descrevem o comportamento de uma função perto de um ponto, mas não

necessariamente no próprio ponto.

◦ Na primeira figura o limite existe, mas é diferente do valor da função.

◦ Na segunda e na terceira figura, o limite não existe, pois f(x) tende a valores diferentes

quando x se aproxima de c pela esquerda e pela direita.

Propriedades algébricas

Se lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) existem, então:

I) lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)+lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

II) lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)-lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

III) lim𝑥→𝑐

𝐾𝑓 𝑥 =𝐾 lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) (para qualquer K)

IV) lim𝑥→𝑐

[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ]= lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 [lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)]

V) lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)se lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) ≠ 0

VI) lim𝑥→𝑐

[𝑓 𝑥 ]𝑝= [ lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)]𝑝 se [lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)]𝑝 existir

Limites de duas funções lineares

■ Para qualquer constante k,

a) lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘

b) lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐

O limite de uma constante é a própria constante e o limite de f(x) = x, quando x tende a

c é c.

y y

c (c,c)

y=k

(c,k)

0 c 0 c

(a) lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘 (b) lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐

Limites de duas funções lineares

Em termos geométricos, a expressão lim

𝑥→𝑐𝑘 = 𝑘

significa que a ordenada

do gráfico da função

constate f(x) = k conserva

o valor k quando x se

aproxima de c.

Analogamente, a expressão lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐

significa que a ordenada do

gráfico da função linear f(x) =

x se aproxima de c quando x

se aproxima de c.

Cálculo de limites

◦ lim𝑥→−1

(3𝑥3 − 4𝑥 + 8)

◦ lim𝑥→1

3𝑥3−8

𝑥−2

• lim𝑥→2

𝑥+1

𝑥−2• lim

𝑥→1

𝑥2−1

𝑥2−3𝑥+2

Determine o limite, caso exista:

a) lim𝑥→−1

𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3

b) lim𝑥→−

1

2

(1 − 5𝑥3)

c) lim𝑥→1

2𝑥+3

𝑥+1

d) lim𝑥→3

2𝑥+3

𝑥−3

e) lim𝑥→3

9−𝑥2

𝑥−3

f) lim𝑥→2

𝑥2+𝑥−6

𝑥−2

g) lim𝑥→4

(𝑥+1)(𝑥−4)

(𝑥−1)(𝑥−4)

h) lim𝑥→1

𝑥2+4𝑥−5

𝑥2−1

Outros casos:

a) lim𝑥→−1

𝑥3+1

𝑥2−1

b)lim𝑡→

5

2

2𝑡2−3𝑡−5

2𝑡−5

c) lim𝑡→−2

𝑡3+4𝑡2+4𝑡

(𝑡+2)(𝑡−3)

Nos problemas abaixo, determine lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥), caso exista.

y y y

c

b

b b

a x a x a x

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = b lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ∄

Limites no infinito

◦ O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação de

um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares, onde

𝑃 𝑡 =6𝑡2 + 5𝑡

(𝑡 + 1)2

O que acontece com a produção a longo prazo?

Limites no infinito

◦ O comportamento “a longo prazo” é uma questão de interesse tanto para os

economistas como para os físicos, biólogos e outros profissionais.

◦ Um biólogo pode estar interessado em estimar o tamanho de uma colônia de

bactérias após um longo tempo.

◦ Um industrial pode querer saber qual será o custo médios para fabricar um certo

produto se o nível de produção aumentar indefinidamente.

◦ Na matemática, o símbolo de infinito, ∞ é usado para representar o aumento sem

limite de uma variável ou resultado deste aumento.

Limites no infinito se os valores da função f(x) tendem para um número L

quando x aumenta sem limite, escrevemos:

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Analogamente escrevemos:

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑀

Quando os valores de f(x) tendem para o número M quando x diminui sem limite.

L

M

• A notação lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = 𝐿 significa que quando x aumente sem limite, a curva de

f(x) tende para a reta horizontal x = L, enquanto lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 𝑀 significa que a

curva de f(x) tende para a reta horizontal y = M quando x diminui sem limite.

• As retas y = L e y = M que aparecem neste contexto recebem o nome de

assíntotas horizontais da curva de f(x).

Regra das potências inversas

◦ Se A e k são constantes com 𝑘 > 0 e 𝑥𝐾 é definida para qualquer x,

lim𝑥→+∞

𝐴

𝑘𝑥= 0

e

lim𝑥→−∞

𝐴

𝑘𝑥= 0

Método para determinar o limite no

infinito de 𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)

◦ 1º passo: Divida todos os termos de f(x) pela maior potência de x que aparece no

polinômio do denominador, q(x).

◦ 2º passo: Calcule lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) ou lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) usando as propriedades algébricas dos limites

e as regras das potências inversas.

Exemplo 1

◦ Calcule lim𝑥→+∞

𝑥²

1+𝑥+2𝑥²

Exemplo 2

◦ Calcule lim𝑥→+∞

−𝑥3+2𝑥+1

𝑥−3

Exercícios

◦ Calcule os limites:

a) lim𝑥→+∞

2𝑥2+3𝑥+1

3𝑥2−5𝑥+2

b) lim𝑥→+∞

𝑥3 − 4𝑥2 − 4

c) lim𝑥→−∞

(1 − 2𝑥)(𝑥 + 5)

d) lim𝑥→−∞

𝑥2−2𝑥+3

2𝑥2+5𝑥+1

e) lim𝑥→+∞

2𝑥+1

3𝑥2+2𝑥−7

f) lim𝑥→+∞

3𝑥2−6𝑥+2

2𝑥−9

Limites Unilaterais e Continuidade

◦ Função contínua é aquela cujo gráfico pode ser traçado sem que a “caneta” se

afaste do papel.

◦ Nem todas as funções possuem esta propriedade.

◦ Uma função não é contínua quando seu gráfico possui um “buraco” ou um “salto”.

Limites Unilaterais

◦ Se f(x) tende a L quando x tende a c pela esquerda (x<c), escrevemos:

lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝐿

◦ Se f(x) tende a M quando x tende a c pela direita (x>0), escrevemos:

lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝑀

Exemplo 3

◦ No caso da função:

𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 22𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

Determine os limites unilaterais lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) e lim𝑥→2+

𝑓(𝑥)

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8

Exemplo 4

◦ Calcule lim𝑥→4

𝑥−2

𝑥−4quando x tende a 4 pela esquerda e pela direita.

Existência de um Limite

◦ O lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) existe se e apenas se os limites unilaterais lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 e lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 existirem e

forem iguais, caso em que:

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥

Exemplo 5

◦ Determine se o lim𝑥→1

𝑓 𝑥 existe, onde:

𝑓 𝑥 =𝑥 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1

−𝑥2 + 4𝑥 − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Continuidade

◦ O gráfico de f(x) possui um “salto” no ponto x = c se os limites unilaterais lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 e

lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 não são iguais.

◦ Três formas pelas quais uma função pode possuir um “salto ou um buraco” no ponto x

= c estão representadas nos gráficos acima.

O primeiro gráfico lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 ≠f(c)

O segundo gráfico Salto finito: lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 ≠ lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥

O terceiro gráfico Salto infinito: lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 é finito mas lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = +∞

Continuidade

◦ Uma função f é contínua no ponto c se três condições são satisfeitas:

a) 𝑓(𝑐) é definida

b) lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) existe

c) lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

Se 𝑓(𝑥) não é contínua no ponto c, dizemos que o ponto c é um ponto de

descontinuidade.

Exemplo

◦ Discutir a continuidade da função:

a) 𝑓 𝑥 =1

𝑥

Exemplo

◦ Discutir a continuidade da função:

a) 𝑔 𝑥 =𝑥2−1

𝑥+1

Exemplo

◦ Discutir a continuidade da função:

a) ℎ 𝑥 =𝑥 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 12 − 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Seja f(x) a função

definida pelo

gráfico.

Intuitivamente,

encontre, se existir:

a) lim𝑥→ 2+

𝑓(𝑥)

b) lim𝑥→ 2−

𝑓(𝑥)

c) lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

d) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

e) lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

0

0

+infinito

-Infinito

1