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Lista 08 – Cálculo 1 – Professor Daniel Henrique Silva
Departamento de matemática – UFSCar
Turmas F e G
Esta lista é uma lista de revisão completa, voltada para os alunos em recuperação. Grande parte dos exercícios (se não todos eles) são retirados de listas anteriores, então não estranhe a familiaridade. Em toda a lista você é incentivado a utilizar todo o seu conhecimento de cálculo 1. (Então você pode, por exemplo, utilizar a regra de L’Hôspital, se for viável) 1) Fatore as seguintes expressões:
a) 4𝑥2 − 8𝑥3 b) 32𝑥4𝑦3𝑧5 − 24𝑥3𝑦6𝑧3 + 40𝑥5𝑦5𝑧2 c) 𝑥2 − 8𝑥 + 16 d) 𝑎4 + 2 +1
𝑎4
e) 2𝑦3 + 8𝑦2 + 8𝑦 f) 16 − 𝑦2 g) 16 − 𝑡4 h) 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3 i) 𝑥6 − 1
j) 𝑥6 + 1 k) 𝑡6 − 6𝑡4 + 12𝑡2 − 8 2) Simplifique as seguintes expressões:
a) 𝑎𝑥+𝑏𝑥
𝑎2− 𝑏2 b)
𝑥2+ 6𝑥+9
𝑥2− 9 c)
4𝑥2− 4𝑥+1
8𝑥3− 12𝑥2+ 6𝑥−1 d)
1−𝑡3
1−𝑡2
e) 2𝑥𝑎+2𝑥𝑏+4𝑦𝑎+4𝑦𝑏
4𝑥2+ 16𝑥𝑦+16𝑦2 f)
𝑥𝑎2+ 𝑥𝑏2
2𝑥2𝑎2+ 4𝑥2𝑎𝑏+2𝑥2𝑏2 g)
𝑎𝑥2+ 6𝑎𝑥𝑦+9𝑎𝑦2
𝑏𝑥2− 9𝑏𝑦2
3) Para cada uma das expressões a seguir, verifique se o polinômio dado é um trinômio quadrado perfeito ou não.
Caso seja, fatore-o, caso não seja, faça completamento de quadrado sobre esse polinômio, deixando-o numa forma
mais simplificada.
a) x2 – 4x + 5 b) x2 + 8x + 16 c) x2 – 10x + 20 d) x2 – x + 1
e) 4x2 + 4x + 1 f) 9x2 – 12x + 20 g) 𝑥2
4− 𝑥 h) 2x2 – 2√2x + 2
4) Um trapézio possui ângulos agudos de 45º e 60º. Além disso, sabe-se que a base menor do trapézio possui 80%
do tamanho da base maior. Determine a altura desse trapézio, em função da medida da base menor.
5) Uma escada de 13m de altura está apoiada, em um muro de 12m de altura, sob um ângulo x com a parede, plana
e vertical. O ponto de apoio dessa escada escorrega, movendo-se para longe do muro, por certa distância, até que o
ângulo entre a escada e a parede se torne 2x. Determine a distância percorrida pelo ponto de apoio da escada.
6) Simplifique as seguintes expressões:
a) 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cos(𝑥) . 𝑡𝑔(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥). sec(𝑥) . 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) b) (𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥))2
c) (𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)). (cos(𝑥) + sec(𝑥)) d) cos(𝑥)−sec(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)− 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) e) (𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥))
2
7) Calcule o valor numérico das seguintes expressões:
a) 𝑠𝑒𝑛 (𝜋
4) + cos (
5𝜋
3) − 𝑡𝑔 (
11𝜋
6) b) cos (
13𝜋
2) − 𝑠𝑒𝑛 (
17𝜋
4) c)
𝑠𝑒𝑛(𝜋
6)−cos(
2𝜋
3)
𝑡𝑔(7𝜋
4)
d) 𝑠𝑒𝑛 (𝜋
4) + 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋
4) + 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
4) + ⋯+ 𝑠𝑒𝑛 (
12𝜋
4) e) cos(0) − cos (
𝜋
3) + cos (
2𝜋
3) − cos (
3𝜋
3) + ⋯+ cos (
12𝜋
3)
8) Determinar o valor numérico, caso existam:
a) 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2)) b) cos (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (1
3)) c) 𝑡𝑔 (arccos (
1
4)) d) 𝑠𝑒𝑛(arccos(0.3)) e) 𝑡𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2))
9) Deduza as expressões de transformação de produto em soma de senos e cossenos.
10) Seja a circunferência de equação x2 + y2 = 25.
a) Determine a posição relativa dos pontos A(3; 2); B(-4; 3) e C(-5; -1) em relação a esta circunferência.
b) Mostre que a reta de equação 3x - 5y = 1 intercepta a circunferência em dois pontos, e determine quais são esses
dois pontos.
c) Encontre a equação da reta tangente a essa circunferência pelo ponto P(4; -3).
11) Em cada item, A, B, C e D representam constantes reais. Determine os valores numéricos dessas constantes em cada item, através de um sistema linear.
a) 3𝑥+1
(𝑥+3)(𝑥−1)=
𝐴
(𝑥−1)+
𝐵
(𝑥+3)
b) 𝑥2+ 9𝑥 + 2
(𝑥−2)𝑥(𝑥+1)=
𝐴
(𝑥−2)+𝐵
𝑥+
𝐶
(𝑥+1)
c) −5𝑥2− 6𝑥 + 3
(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)(𝑥+3)=
𝐴
(𝑥−1)+𝐵
𝑥+
𝐶
(𝑥+1)+
𝐷
(𝑥+3)
12) Defina formalmente domínio, contra-domínio e imagem de uma função. 13) Para cada uma das funções a seguir, defina o domínio máximo dessa função (ou seja, defina o maior subconjunto
de ℝ que pode ser o domínio de f(x)).
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 8𝑥3 b) 𝑓(𝑥) =1
𝑥−3 c) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2 d) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4(2 − |𝑥|)|
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥2 − 8𝑥 + 7 −4𝑥2
√9−𝑥2 f) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − sec (𝑥) g) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 4)
h) 𝑓(𝑥) = log𝑥 𝑥 i) 𝑓(𝑥) =1
𝑥.ln(𝑥) j) 𝑓(𝑥) = log𝑥(cos(𝑥))
14) Seja f(x) uma função cujo gráfico é conhecido. Diga (com um texto), como proceder para obter o gráfico das funções pedidas, a partir do gráfico de f(x). a) 𝑓(𝑥) + 𝛼, 𝛼 ≠ 0 b) 𝛼. 𝑓(𝑥), 𝛼 ≠ 0 c) 𝑓(𝛼𝑥), 𝛼 ≠ 0 d) 𝑓(𝑥 + 𝛼), 𝛼 ≠ 0 e) |𝑓(𝑥)| f) 𝑓(|𝑥|) 15) Baseado em gráficos de funções conhecidas, e nas técnicas aprendidas em sala, esboce os gráficos de:
a) 𝑓(𝑥) = cos (2𝑥 −𝜋
6) b) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 1 c) 𝑓(𝑥) = log2(4|𝑥| + 2) d) 𝑓(𝑥) = 3|𝑡𝑔(2𝑥)| − 2
16) Determine os maiores conjuntos A, B ⊂ ℝ, tais que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 seja uma função bijetora.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 b) 𝑓(𝑥) = 3 − log (𝑥) c) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) d) 𝑓(𝑥) = sec(𝑥) + 1 e) 𝑓(𝑥) = |9 − 𝑥2|
f) 𝑓(𝑥) = 2|𝑥| g) 𝑓(𝑥) = 𝑀𝑎𝑥{𝑥, 1 − 𝑥} h) 𝑓(𝑥) = 𝑀𝑖𝑛{𝑥; 1 − 𝑥} i) 𝑓(𝑥) =1
𝑥 j) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
17) Classifique as funções a seguir em relação a paridade (par, ímpar, nenhuma delas, ambas), periodicidade (periódica ou não periódica), injetividade e sobrejetividade:
a) 𝑓(𝑥) = 4 b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −5
2 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 16 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 e) 𝑓(𝑥) = |𝑥3 − 5𝑥|
f) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) g) 𝑓(𝑥) = cos(|𝑥|) h) 𝑓(𝑥) = 𝑥. cos (𝑥) i) 𝑓(𝑥) = 4 + |𝑥| j) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ⌈𝑥⌉, onde ⌈𝑥⌉ indica a operação “maior inteiro menor ou igual a x”
k) 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 4𝑥2 l) 𝑓(𝑥) =1
𝑥 m) 𝑓(𝑥) = |1 − √𝑥|
18) Simplifique as expressões:
a) 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)) b) 𝑠𝑒𝑛(arccos(𝑥)) c) 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)) d) cos(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)) e) cos(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥))
f) 𝑡𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)) g) 𝑡𝑔(arcsec(𝑥)) h) sec(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)) i) cos(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)) j) sec(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥))
19) Dê a definição formal de limite de uma função f(x), quando x tende a um ponto de acumulação p do domínio da função, e interprete geometricamente essa definição. (OBS: Essa é aquela definição épsilon/delta) 20) Calcule os limites a seguir (lembre-se que “não existe” é uma resposta possível):
a) lim𝑥→4
𝑥2 − 4𝑥 + 2 b) lim𝑥→−2
𝜋𝑥3 − 8√𝑥 + 3 c) lim𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−1 d) lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−2𝑥−1 e) lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥3−1
f) lim𝑥→3
𝑥2−4𝑥+3
−2𝑥2+18 g) lim
𝑥→2
−𝑥2+7𝑥−10
𝑥2−6𝑥+8 h) lim
𝑥→−2
𝑥3+7𝑥2+14𝑥+8
𝑥3+2𝑥2+9𝑥+18 i) lim
𝑥→5
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
𝑥3−𝑥2+𝑥 j) lim
𝑥→2
𝑥3−7𝑥2+14𝑥−8
𝑥3+5𝑥2−32𝑥+36
k) lim𝑥→2
𝑥3+5𝑥2−32𝑥+36
𝑥3−7𝑥2+14𝑥−8 l) lim
𝑥→2
𝑥−2
√𝑥− √2 m) lim
𝑥→3
√𝑥− √3
𝑥−3 n) lim
𝑥→1
𝑥2−3𝑥+2
√𝑥−1 o) lim
𝑥→8
𝑥2−64
√𝑥3
−2 p) lim
𝑥→2
√𝑥− √2
√𝑥+1− √3
q) lim𝑥→5
√𝑥−√5
√𝑥−1−2 r) lim
𝑥→𝑝
𝑥−𝑝
√𝑥− √𝑝 s) lim
𝑥→𝑝
√𝑥− √𝑝
𝑥−𝑝
21) Seja 𝑓(𝑥) = {1, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℚ0, 𝑠𝑒 𝑥 ∉ ℚ
.
a) Argumente matematicamente porque lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = ∄, ∀ 𝑥 ∈ ℝ
b) Calcule o limite lim𝑥→0
𝑥2. 𝑓(𝑥)
c) Calcule o limite lim𝑥→𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥). [1 − 𝑓(𝑥)]2
22) Resolva os limites a seguir:
a) lim𝑥→0
𝑡𝑔(𝑥)
𝑥 b) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥 c) lim
𝑥→0
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥) d) lim
𝑥→𝜋
2
cos(𝑥)
𝑥−𝜋
2
e) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑥)
𝛽𝑥 f) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑡𝑔(3𝑥) g) lim
𝑥→0
4𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
h) lim𝑥→0
𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥).𝑡𝑔(2𝑥) i) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+𝑥 j) lim
𝑥→𝜋
2
1−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2𝑥− 𝜋 k) lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
𝑥−1 l) lim
𝑥→𝑝
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑝)
𝑥−𝑝 m) lim
𝑥→𝑝
cos(𝑥)−cos(𝑝)
𝑥−𝑝
23) Resolva os limites a seguir:
a) lim𝑥→0−
|𝑥|
𝑥 b) lim
𝑥→0+
|𝑥|
𝑥 c) lim
𝑥→0
|𝑥|
𝑥 d) lim
𝑥→2−
|𝑥2−4|
𝑥−2 e) lim
𝑥→2+
|𝑥2−4|
𝑥−2 f) lim
𝑥→2+
|𝑥2−4|
𝑥−2
g) lim𝑥→𝑛−
(𝑥 − ⌈𝑥⌉) , ∀𝑛 ∈ ℕ h) lim𝑥→𝑛+
(𝑥 − ⌈𝑥⌉) , ∀𝑛 ∈ ℕ i) lim𝑥→𝑛
(𝑥 − ⌈𝑥⌉) , ∀𝑛 ∈ ℕ
24) Seja a função dada por 𝑓(𝑥) =
{
𝑥2−𝑥−12
𝑥2+3𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < −3
√𝑥 + 3 + log2(1 − 5𝑥), 𝑠𝑒 − 3 < 𝑥 < 03
√2𝑥+3, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
a) Determine o domínio dessa função. b) Calcule, para essa função os limites laterais e globais quando x tende a -3 e quando x tende a zero.
25) Seja a função dada por 𝑓(𝑥) = {2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
𝑥2, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 24 − 𝑥, 𝑠𝑒 2 < 𝑥
Para essa função, calcule:
a) lim𝑥→1−
𝑓(𝑥) b) lim𝑥→1+
𝑓(𝑥) c) lim𝑥→1
𝑓(𝑥) d) lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) e) lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) f) lim𝑥→2
𝑓(𝑥)
g) lim𝑥→1−
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1 h) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1 i) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1 j) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥)−𝑓(2)
𝑥−2 k) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥)−𝑓(2)
𝑥−2 l) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥)−𝑓(2)
𝑥−2
Sugestão: Esboce o gráfico dessa função também. 26) Calcule os seguintes limites:
a) lim𝑥→∞
1
𝑥 b) lim
𝑥→−∞
1
𝑥 c) lim
𝑥→∞
𝑥+1
𝑥−1 d) lim
𝑥→−∞
4−3𝑥
𝑥+2 e) lim
𝑥→∞
3𝑥3+2𝑥2+𝑥
𝑥−𝑥2+𝑥3 f) lim
𝑥→∞
𝑥
√4+𝑥2 g) lim
𝑥→−∞
√𝑥2−𝑥33
√𝑥2−8𝑥+11
h) lim𝑥→∞
sen(𝑥)
𝑥 i) lim
𝑥→∞𝑠𝑒𝑛(𝑥) j) lim
𝑥→−∞
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos(𝑥)
4𝑥 k) lim
𝑥→∞(√𝑥 + 1 − √𝑥) l) lim
𝑥→−∞𝑥 − √𝑥2 − 1
27) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, quando 𝐿 ∈ ℝ
28) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, quando 𝐿 ∈ ℝ
29) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim
𝑥→𝑝𝑓(𝑥) = ∞
30) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim
𝑥→𝑝𝑓(𝑥) = −∞
31) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim
𝑥→𝑝−𝑓(𝑥) = ∞
32) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim
𝑥→𝑝−𝑓(𝑥) = −∞
33) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim
𝑥→𝑝+𝑓(𝑥) = ∞
34) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim
𝑥→𝑝+𝑓(𝑥) = −∞
35) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞
36) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = −∞
37) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = ∞
38) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞
39) Calcule os seguintes limites:
a) lim𝑥→∞
4𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥 + 7 b) lim𝑥→−∞
𝑥4 + 3𝑥3 + 4𝑥 − 7 c) lim𝑥→∞
4
𝑥3−4𝑥2+7 d) lim
𝑥→−∞
𝑥2+6𝑥−9
4−3𝑥−2𝑥2
e) lim𝑥→−∞
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
16−4𝑥3 f) lim
𝑥→−∞
𝑥3+8𝑥
4𝑥2+5𝑥+9 g) lim
𝑥→∞
4𝑥2
𝑥4−4𝑥+9 h) lim
𝑥→∞
𝑥+4
√3𝑥2+5𝑥−1 i) lim
𝑥→−∞
√𝑥6+𝑥4+𝑥2+13
3𝑥2+4𝑥−7
j) lim𝑥→∞
√9+𝑥2
√27+𝑥33 k) lim
𝑥→−∞
√𝑥+4
𝑥−1 l) lim
𝑥→∞
√𝑥+√𝑥
√𝑥+1 m) lim
𝑥→∞𝑥 − √𝑥2 + 4 n) lim
𝑥→∞√𝑥 − 4 − √2𝑥
o) lim𝑥→∞
√𝑥2 + 13
− √𝑥2 − 13
p) lim𝑥→∞
√𝑥 + √𝑥 − √𝑥 − √𝑥
40) Calcule os seguintes limites:
a) lim𝑥→0+
1
𝑥 b) lim
𝑥→0−
1
𝑥 c) lim
𝑥→0
1
𝑥 d) lim
𝑥→0
1
𝑥2 e) lim
𝑥→∞cos(𝑥) f) lim
𝑥→−∞𝑡𝑔(𝑥) g) lim
𝑥→1+
𝑥
𝑥−1
h) lim𝑥→0+
ln(𝑥) i) lim𝑥→3
3
𝑥2−5𝑥+6 j) lim
𝑥→3
3
𝑥2−6𝑥+9 k) lim
𝑥→2−
𝑥2+7𝑥−18
−2𝑥2+8𝑥−8
41) Demonstre que lim𝑥→−∞
(1 +1
𝑥)𝑥
= 𝑒, partindo do segundo limite fundamental.
42) Calcule os seguintes limites:
a) lim𝑥→∞
(1 +1
𝑥)𝑥+3
b) lim𝑥→∞
(1 +1
3𝑥)𝑥
c) lim𝑥→∞
(1 +3
𝑥)𝑥
d) lim𝑥→∞
(3 +1
𝑥)𝑥
e) lim𝑥→∞
(1 +1
𝑥−3)𝑥
f) lim𝑥→∞
(1 −1
𝑥)4𝑥
g) lim𝑥→−∞
(1 −5
3𝑥−6)2(𝑥+4)
h) lim𝑥→∞
(4𝑥−3
5−4𝑥)𝑥
i) lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)1
𝑥 j) lim𝑥→0+
(1 − 3𝑥)1
2𝑥
43) Fazendo a mudança de variável 𝑦 = 𝑒𝑥 − 1, calcule o limite lim𝑥→0
𝑒𝑥−1
𝑥
44) Fazendo mudança análoga, calcule lim𝑥→0
𝑎𝑥−1
𝑥, onde 𝑎 > 0
45) Calcule os limites:
a) lim𝑥→∞
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥 b) lim
𝑥→1ln(𝑥) . cos (
1
𝑥2−1) c) lim
𝑥→−1+√𝑥2 − 1. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
√𝑥3 −1
)
46) Defina a derivada de uma função.
47) Demonstre que os limites lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑝)
𝑥−𝑝 e lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ são equivalentes.
48) Calcule, através da definição (com limites) as derivadas das seguintes funções (perceba que a maioria dessas derivadas foi calculada em sala):
a) 𝑓(𝑥) = 7 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 c) 𝑓(𝑥) = 3 − 5𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 f) 𝑓(𝑥) = √𝑥
g) 𝑓(𝑥) = √𝑥3
h) 𝑓(𝑥) =1
𝑥 i) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+4 j) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥2 k) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) l) 𝑓(𝑥) = cos (𝑥)
m) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 n) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) 49) Justifique geometricamente a necessidade de uma função ser contínua para poder ser diferenciável. 50) Dê um exemplo de função contínua que não é diferenciável. 51) Complete a tabela, considerando 𝜆 ∈ ℝ
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)
𝜆 cos(𝜆𝑥) ln(𝑥)
𝑥 𝑡𝑔(𝑥) ln(𝜆𝑥)
𝑥2 sec(𝑥) log𝜆(𝑥) 1
𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)
√𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) arccos(𝑥)
𝑥𝜆 𝑒𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒𝜆𝑥 arcsec(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 𝜆𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)
cos (𝑥) 𝑥𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
52) Determine as derivadas das funções listadas a seguir (note que nem sempre derivar diretamente pelas regras é o melhor caminho (“)>)
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 7 b) 𝑓(𝑥) = 5 cos(𝑥) + 7𝑒𝑥 − 2sec (𝑥) c) 𝑓(𝑥) = log3(𝑥)
d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) f) 𝑓(𝑥) = √𝑥57
− √𝑥75
g) 𝑓(𝑥) =𝑥3−4𝑥2+8𝑥− √5𝑥
𝑥2
h) 𝑓(𝑥) =(𝑒𝑥+𝑥𝑒)
𝜋 i) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝜋 + 𝑒𝜋 − 𝜋𝑥 − 𝜋𝑒 k) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(ln(14) − 33! + √𝜋100
3)
l) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 4)3 m) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 5𝑥)(𝑥3 + 2) n) 𝑓(𝑥) = 𝑥4(𝑥 − 3)2 o) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cos (𝑥)
p) 𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2 q) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 . 𝑒𝑥 r) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 . 𝑥2 s) 𝑓(𝑥) = sec(𝑥) . 𝑡𝑔(𝑥) t) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) . log2(𝑥)
u) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) v) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) . cos(𝑥) . 𝑥3 w) 𝑓(𝑥) = √𝑥3. 𝑡𝑔(𝑥). cos (𝑥)
x) 𝑓(𝑥) = 𝑥. ln(𝑥) . sec(𝑥) . cos (𝑥) y) 𝑓(𝑥) = 𝑥2. cos(𝑥) . 𝑒𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) z) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 cos(𝑥) + 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) 53) Acabou o alfabeto! Continue derivando como na questão anterior:
a) 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥 c) 𝑓(𝑥) =
ln(𝑥)
𝑥2 d) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) +
𝑥
𝑒𝑥 e) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos(𝑥)
𝑡𝑔(𝑥)
f) 𝑓(𝑥) =𝑥2−5𝑥+8
𝑥+4 g) 𝑓(𝑥) =
𝑥2𝑒𝑥
𝑡𝑔(𝑥) h) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥)− 𝑥2. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) i) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) . 𝑥 +
ln(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
j) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑒𝑥
cos(𝑥)
k) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 (√𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)) l) 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝑥) m) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(√𝑥)
n) 𝑓(𝑥) = (ln(𝑥))3 o) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥3) p) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥3 − 5𝑥 + 2) q) 𝑓(𝑥) = sec(𝑥4 + 𝑥2)
r) 𝑓(𝑥) = √cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) s) 𝑓(𝑥) = 𝑥. √𝑥3 + 8 t) 𝑓(𝑥) = 3𝑥3. (𝑥 − 2)6 u) 𝑓(𝑥) = √𝑥3𝑒𝑥
v) 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + cos(4𝑥))2 w) 𝑓(𝑥) = √𝑥3 + √𝑥3 + √𝑥3 x) 𝑓(𝑥) =𝑥3+5𝑥2
cos3(7𝑥−𝜋)
y) 𝑓(𝑥) = ln (𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠 (√𝑙𝑛(𝑥)
𝑥3)) z) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (√𝑥3.
𝑒𝑥2
ln(3 𝑐𝑜𝑠(𝑥))+ cos4(sec(𝑥4 + 8𝑒𝑥))
3+ 4 cos3(𝑒3𝑥))
54) Acabou o alfabeto de novo! Continue derivando:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑥) c) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥𝑥 d) 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2
𝑥2
e) 𝑓(𝑥) = (1
𝑥)
1
𝑥
f) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(arccos(𝑥)) g) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥.𝑠𝑒𝑛(𝑥) h) 𝑓(𝑥) = (√x.cos(3𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥))𝑒𝑥
55) Sejam 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥); ℎ(𝑥) funções reais supostamente diferenciáveis em ℝ (essa restrição é só para não haverem
problemas de existência). Determine, em função de 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥); ℎ(𝑥); 𝑓′(𝑥); 𝑔′(𝑥), e ℎ′(𝑥):
a) (𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥))′ b) (
𝑓(𝑥).𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥))′
c) (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′ d) (𝑓(𝑔(𝑥). ℎ(𝑥)))
′
e) (√𝑓(𝑥) + √𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥))
′
56) Dadas as funções descritas, e os pontos dados, determinar a reta tangente ao gráfico da função pelo ponto pedido.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑥0 = 2 b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4, 𝑥0 = 5 c) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥), 𝑥0 =𝜋
6 d) 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥−2, 𝑥0 = 0
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒𝑥, 𝑥0 = 1 f) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1, 𝑥0 = 0 g) 𝑓(𝑥) = log2(3𝑥 + 2), 𝑥0 = 2
h) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑥0 =1
2 i) 𝑓(𝑥) = cosh(3𝑥), 𝑥0 = 0 j) 𝑓(𝑥) = (𝑥.
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
cos(3𝑥)), 𝑥0 = 0
57) Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 7. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) que seja
paralela à reta 𝑦 =2𝑥
5−
3
7
58) Seja a parábola de equação dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 2. Determine se essa parábola possui algum ponto no qual a reta tangente à função passa pela origem. No caso de esse ponto existir, determine a reta tangente com essa propriedade. Esboce o ocorrido. 59) Seja a parábola de equação dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Determine condições sobre as constantes 𝑎; 𝑏; 𝑐 que determinem se essa parábola possui alguma reta tangente que passa pela origem.
60) Considere a função 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥 − 2. Determine (caso existam) pontos onde a reta tangente ao gráfico da função é horizontal. Determine também essas retas. 61) Para as funções e pontos do exercício 56, determinar a equação da reta normal ao gráfico da função pelo ponto dado. 62) Seja a parábola de equação dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 2. Determine se essa parábola possui algum ponto no qual a reta normal à função passa pela origem. No caso de esse ponto existir, determine a reta normal com essa propriedade. Esboce o ocorrido.
63) Determinar o ponto onde as retas normais às duas raízes da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 se cruzam. 64) Em todas os itens abaixo, temos a representação de uma função implícita, onde a variável y depende da variável
x. Determinar em casa caso, a derivada implícita (𝑑𝑦
𝑑𝑥).
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 b) 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2 = 0 c) 𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 = 1 d) 𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦3 = 1
e) √𝑥2 + 𝑦2 = 1 f) 𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2= 1 g)
𝑥
𝑦−
𝑦
𝑥= 𝑦 h) √𝑥𝑦 − √𝑥2 − 3𝑦2 = 0 i) 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 = 0
j) 𝑠𝑒𝑛(
𝑥
𝑦)
cos(𝑦
𝑥)= 2 k) log𝑥(𝑦 + √𝑥) =
1
3
65) Considere a elipse de equação 𝑥2
9+
𝑦2
16= 1. Determine a reta tangente e a reta normal a essa elipse nos pontos:
a) (0; 4) b) (0; −4) c) (2;−4√5
3) d) (
3√7
4; −3) e) (−3; 0)
66) Para cada um dos itens do exercício anterior, faça uma análise sobre a inclinação da reta, e o que isso significa geometricamente, e veja se há coerência com os resultados obtidos.
67) Demonstre que qualquer reta normal à circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 1 passa pelo centro.
68) Considere a função dada implicitamente pela expressão 𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦 = 1 + 𝑥2. a) Calcule a derivada implícita dessa função.
b) Demonstre que essa função pode ser explicitada como 𝑦 =−𝑥+√𝑥3+𝑥2+𝑥
𝑥 ou 𝑦 =
−𝑥−√𝑥3+𝑥2+𝑥
𝑥
c) Utilizando a função explícita, confirme a validade da derivada implícita da função. Ou seja, derive explicitamente, e verifique se os resultados obtidos são compatíveis com a derivada implícita.
69) Pelo teorema, a regra de L’Hôspital pode ser utilizada apenas em limites que recaiam sobre as formas 0
0 ou
±∞
±∞.
Descreva quais mudanças podem ser aplicadas para que possamos calcular limites da forma:
a) 0 ∙ ∞ b) 00 c) 1∞ 70) Calcule os limites a seguir:
a) lim𝑥→∞
𝑥2−5𝑥+4
3𝑥+4𝑥2 b) lim
𝑥→∞
√𝑥2+1
7𝑥−3 c) lim
𝑥→0+𝑥. ln (𝑥) d) lim
𝑥→𝜋
2
−
𝑡𝑔(𝑥2)
(𝑡𝑔(𝑥))2 e) lim
𝑥→0(𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑥2+1)
𝑥)𝑥
f) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥 g) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥−𝑥3
3
h) lim𝑥→0
1−𝑥2
2−cos(𝑥)
𝑥4 i) lim
𝑥→0(1 − 𝑡𝑔(𝑥))
1
𝑥 j) lim𝑥→∞
𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥)
k) lim𝑥→−∞
√1−𝑥+√2−𝑥
√3−𝑥+√4−𝑥 l) lim
𝑥→∞
3𝑥+7
3−7𝑥 m) lim
𝑥→∞
𝑥3−5𝑥2+3𝑥−7
4𝑥2−6𝑥+8 n) lim
𝑥→∞
𝑥+𝑒𝑥
𝑒𝑥 o) lim
𝑥→0+
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
𝑡𝑔(3𝑥)
p) lim𝑥→1−
𝑥−1
ln(𝑥) q) lim
𝑥→0+x. ln (𝑥) r) lim
𝑥→∞𝑒𝑥. 𝑥−2 s) lim
𝑥→0+
ln(𝑥2)
(ln(𝑥))2 t) lim
𝑥→ ∞√𝑥 . 𝑒−𝑥
u) lim𝑥→∞
(1+𝑥2
𝑥2)𝑥
v) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+(1 − 𝑥)ln(𝑥) w) lim
𝑥→∞(cos (
1
𝑥))
𝑥
x) lim𝑥→∞
(1 +1
𝑡𝑔(4𝑥))2𝑥
y) lim𝑥→0−
(1
𝑥)𝑥
z) lim𝑥→∞
(√𝑥2 + 1)1
𝑥 ç) lim𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥) $) lim𝑥→0
(1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−
1
𝑡𝑔(𝑥))
@) lim𝑥→∞
𝑥𝑙𝑛(𝑥) − (ln(𝑥))3
71) Seja 𝑆(𝑡) uma função que determina o espaço S em função do tempo t. O que significa fisicamente 𝑑𝑆
𝑑𝑡 ?
72) Seja 𝑉(𝑡) uma função que determina a velocidade V em função do tempo t. O que significa fisicamente 𝑑𝑉
𝑑𝑡 ?
73) Seja 𝑎(𝑡) uma função que determina a aceleração a em função do tempo t. O que significa fisicamente 𝑑𝑎
𝑑𝑡 ?
74) Seja 𝑄(𝑡) uma função que determina a quantidade de movimento de um corpo em função do tempo t. O que
significa fisicamente 𝑑𝑄
𝑑𝑡 ?
75) Seja 𝑉(𝑃) uma função que determina o volume V de um gás perfeito em função da pressão P aplicada sobre ele.
O que significa fisicamente 𝑑𝑉
𝑑𝑃 ?
76) Seja 𝐵(𝐼) uma função que descreva o campo magnético B gerado por uma corrente induzida I. O que significa
fisicamente 𝑑𝐵
𝑑𝐼 ?
77) Seja 𝑉(𝑅) uma função que determina o volume de uma esfera V em função do raio R. O que significa fisicamente 𝑑𝑉
𝑑𝑅 ?
78) Dê um exemplo de grandeza física que pode ser expressa como taxa de variação, e que não seja um dos exercícios anteriores.
79) Quando um objeto realiza um movimento com velocidade positiva, dizemos que esse movimento é progressivo,
e quando a sua velocidade é negativa, dizemos que o movimento é retrógrado. Quando a aceleração tem o mesmo
sinal que a velocidade, dizemos que o movimento é acelerado, e quando a aceleração e a velocidade possuem sinais
opostos, dizemos que o movimento é retardado. Para cada um dos itens a seguir, classifique o movimento dos corpos
no tempo pedido.
a) 𝑆(𝑡) = 5𝑡2 − 3𝑡 + 8, t1 = 2s; t2 = 5s
b) 𝑆(𝑡) = −𝑡2 + 8𝑡 − 2, t1 = 0s; t2 = 20s
c) 𝑆(𝑡) = 𝑒−𝑡, t = 1s
d) 𝑆(𝑡) = cos (𝜋𝑡
4), t1 = 0s; t2 = 1s
e) 𝑆(𝑡) = 𝑡3 − 2𝑡2 + 3𝑡 − 4; t1 = 0s; t2 = 2s; t3 = 4s 80) Interprete a fórmula de incrementos e diferenciais Δ𝑓 ≈ 𝑓′(𝑥). Δ𝑥 através de retas tangentes, e interprete geometricamente o ocorrido. 81) Explique geometricamente porque a aproximação por incrementos é melhor quando utilizamos valores menores para Δ𝑥.
82) Utilizando incrementos, estime o valor de √15…
a) …utilizando como ponto inicial 𝑥0 = 16 b) …utilizando como ponto inicial 𝑥0 = 100 c) Qual deles obteve a melhor aproximação? Mostre geometricamente o que acontece. 83) Em cada item deste exercício, sem calculadoras, estime um valor aproximado para o valor pedido, utilizando incrementos e diferenciais. Depois, com uma calculadora, verifique qual o valor exato, e calcule o erro cometido.
a) √82 b) √67 c) √14,5 d) √1203
e) √5003
f) √1,26
g) sen(31º) h) cos(42º)
i) tg(47º) j) sec(28º) k) sen(123º) l) arcos(0,45) m) arcsen(0,7) n) arctg(2) o) log29
p) log245 r) 1
25,1 s) (3,07)2 t) (0,98)3 u) (
53
13)−2
v) 3
√7,53 w)
(0.9)3
(1.1)2
OBS: As funções trigonométricas devem ser calculadas em radianos. Para o item w), utilize a função 𝑓(𝑥) =(1−𝑥)3
(1+𝑥)2
84) Imagine um triângulo equilátero, de aresta igual a 8cm. Estime através de incrementos, qual será a variação em
seu perímetro, e em sua área, quando as suas arestas são diminuídas de 0,4cm.
85) Seja dado um hexágono regular, de aresta igual a 5cm. Estime através de incrementos, qual será a variação em
seu perímetro e em sua área, quando as suas arestas são aumentadas de 0,25cm.
86) Seja um quadrado de aresta igual a 10cm. Estime através de incrementos, em quanto devemos variar a sua
aresta, de modo que a sua área aumente em 3cm2.
87) É dado um círculo de 4cm de raio. Deseja-se diminuir a sua área em 𝜋
8 cm2. Estime, utilizando incrementos, de
quanto deverá ser a variação em seu raio, de modo que isso seja possível.
88) Imagine um quadrado de aresta x. Estime através de incrementos, em quanto devemos aumentar o tamanho de
sua aresta, de modo que a sua área seja aumentada em 5%.
89) Seja um hexágono regular de aresta x. Estime através de incrementos, em quanto devemos diminuir o tamanho
de sua aresta, de modo que a sua área seja diminuida em 3%.
90) Imagine um cubo de aresta 5cm. Estime através de incrementos, qual a variação em sua área e em seu volume,
quando as arestas são aumentadas em 0,25cm.
91) Imagine uma esfera, de raio 4cm. Estime através de incrementos, qual a variação em sua área e em seu volume,
quando o raio é diminuído de 0,1cm.
92) Um cilindro equilátero de altura 12cm tem o raio de sua base diminuída em 0,1cm, mas mantendo a sua forma.
Determine através de incrementos, a variação na área e no volume desse cilindro (OBS: Um cilindro equilátero possui
a altura igual ao diâmetro da base).
93) É dado um cone, de altura igual a 20cm, e raio da base igual a 6cm. Através de incrementos, determine qual será
a variação do no volume desse cone se:
a) A sua altura for aumentada em 2cm.
b) O raio de sua base for aumentado em 1cm.
94) Uma esfera teve seu volume medido experimentalmente, e foi obtido que o seu volume é igual a 5m³, com uma
margem de erro de Δ𝑉 = ±0.2𝑚3. Utilizando diferenciais, estime: a) O erro cometido no cálculo do raio da esfera. b) O erro cometido no cálculo da área da esfera. 95) Deseja-se construir uma antena de altura prevista para 20m. Além disso, ao final da construção da torre, serão colocados quatro cabos (de lados diferentes da antena) de aço ligados ao topo da antena, e esticados até o chão, presos a uma distância de 15m da base da antena cada um. Devido a imprevisibilidades, a antena pode ter uma variação de altura de até 10cm, para mais, ou para menos. Utilizando diferenciais, estime qual a variação de cabo de aço que é acarretada por essa imprevisibilidade na altura da torre.
96) Uma escada de 10m de comprimento está escorada em uma parede vertical, a uma distância horizontal de 6m
97) Imagine uma circunferência de raio R, raio este que está variando a uma taxa constante igual a 𝛼. Determine, em
função dos parâmetros R e 𝛼:
a) A taxa de variação do perimetro da circunferência.
b) A taxa de variação da área dessa circunferência.
98) Uma esfera de raio 75cm tem o seu raio aumentado à velocidade de 1cm/s.
a) Determine a taxa de variação da área dessa esfera nesse momento.
b) Determine a taxa de variação do volume da esfera nesse momento.
99) Uma grande bola de sorvete de raio 8cm está derretendo à taxa de 2mℓ/s.
a) Determine a taxa de variação do raio dessa bola de sorvete no início do problema.
b) Determine a taxa de variação do raio dessa bola de sorvete quando o raio dessa bola for de 6cm, 4cm e 2cm.
c) Os resultados encontrados fazem sentido com o problema real? Justifique.
100) Um funil cônico de raio da base igual a 20cm e altura igual a 30cm está cheio de um líquido, que escoa à razão
de 12mℓ/s.
a) Determine a velocidade com que a altura do líquido diminui no início do problema.
b) Determine a velocidade com que a altura do líquido diminui quando a altura se reduz à um terço da altura inicial.
c) Determine a velocidade com que o raio da base varia no início do problema.
101) Imagine um cubo de aresta a cujo volume aumente à razão constante 𝛼. Determine, em função de a e 𝛼:
a) A taxa de variação do volume desse cubo.
b) A taxa de variação da área desse cubo.
c) A taxa de variação da medida da diagonal desse cubo.
102) Imagine um cone equilátero de raio da base R, cujo volume aumente à razão 𝛼, constante. Determine, em
função de R e 𝛼:
a) A taxa de variação do raio da base desse cone.
b) A taxa de variação da altura desse cone.
c) A taxa de variação da área da base desse cone. 103) Ar é injetado com razão constante de 60𝑚ℓ/𝑠 em um balão esférico, inicialmente vazio. Depois de um minuto, determine: a) O volume desse balão. b) O raio desse balão. c) A velocidade na qual o raio do balão aumenta (em 𝑐𝑚/𝑠) d) A área do balão.
e) A velocidade na qual a área do balão aumenta (em 𝑐𝑚2/𝑠) 104) Um cubo de aresta igual a 1m aumenta de tamanho devido à expansão térmica. Imagine que a sua aresta aumente na razão de 5𝑚𝑚/°𝐶. a) Determine a taxa na qual a área de uma de suas faces varia.
dessa parede, como ilustra a figura, assim sendo, determine: a) Qual será o incremento na distância vertical da escada até o chão, caso ela escorregue 20cm para trás. b) Qual será o incremento na distância vertical da escada até o chão, caso ela seja empurrada 15cm para a frente. c) Qual o incremento no ângulo entre a escada e o chão, nos itens anteriores.
b) Determine a taxa na qual o seu volume varia. c) Isso condiz com o que você aprendeu no ensino médio sobre dilatação térmica?
105) Uma escada de 15m de comprimento está apoiada em uma parede vertical, a uma distância de 9m do chão. O
ponto no qual a escada está apoiada no chão começa a escorregar, afastando-se da parede, com velocidade de 3cm/s.
a) Determine a expressão que calcule a velocidade com a qual o ponto de apoio da escada na parede desce, em
função da distância horizontal “x” entre a escada e a parede.
b) Determine a expressão que calcule o ângulo formado entre a escada e o chão em função da distância horizontal
“x” entre a escada e o chão.
c) Determine a expressão que calcule a velocidade com que esse ângulo varia em função da distância horizontal
“x” entre a escada e o chão.
d) Como seriam as respostas dos itens anteriores, caso o exercício pedisse que os cálculos fossem feitos em função
do tempo, ao invés da distância?
106) Um cubo tem arestas de tamanho que varia com o tempo, de acordo com a expressão 𝑎(𝑡) = 40 + 10𝑠𝑒𝑛 (7𝜋𝑡
6).
a) Determine a velocidade com a qual a aresta varia, em função do tempo t.
b) Determine a velocidade na qual o volume varia, quando t = 2s.
107) Um barril cilíndrico de diâmetro da base igual a 80cm contém 40ℓ de chopp, que é servido através de uma
válvula, cuja vazão é de 45mℓ/s.
a) Argumente fisicamente porque o raio não varia.
b) Mostre que a velocidade na qual a altura do chopp dentro do barril diminui é constante, e calcule o seu valor.
108) Um garoto feito no Paint empina uma pipa, também desenhada no Paint, sempre com altura constante de 20m,
109) Para cada uma das funções a seguir, determine os seus pontos críticos (caso existam), e verifique se esses
pontos serão máximos locais, mínimos locais, ou nenhum deles.
a) f(x) = x2 – 5x + 8 b) f(x) = –3x2 + 7x – 12 c) f(x) = 2x3 – 3x2 – 72x + 12 d) f(x) = 1
𝑥+4
e) f(x) = 𝑥2
1−𝑥 f) f(x) = 𝑒𝑥
2−5𝑥+6 g) f(x) = x6 – 6x2 h) f(x) = arctg(x2) i) f(x) = ln(𝑥4 − 4𝑥2 + 4)
j) f(x) = 𝑥√𝑥 +1
√𝑥 k) f(x) = 𝑥. ln(𝑥2 + 1) l) f(x) =
√𝑥− √𝑥
𝑥
110) Dentre todos os retângulos de perímetro igual a 100, determine qual tem a área máxima. 111) Decomponha o número 36 como o produto de dois números, cuja soma é mínima. 112) Decomponha o número 36 como soma de dois números, cujo produto é mínimo. 113) Dê as medidas dos lados do triângulo retângulo de perímetro igual a 50m, tal que a sua área é a maior possível. 114) Seja x um número real positivo. Qual o valor de x, de modo que a soma de x com o seu inverso seja a menor possível? 115) O senhor Silva deseja fazer um cercado com formato retangular para o seu querido cachorro de estimação, ao lado de sua casa. Ele dispõe de 60m de tela para fazer o cercado, e, como o cercado está ao lado de sua casa, ele irá utilizar o muro de sua própria casa como um dos lados da área para o cachorro, ou seja, ele precisará cercar apenas os três lados com a tela. Determine as dimensões do cercado de modo que o cachorro tenha a maior área possível para ficar confortável. 116) Um arame de 1,2m de comprimento será dividido em dois pedaços não necessariamente iguais. Um deles será dobrado de modo a formar um triângulo equilátero, ao passo que o outro será dobrado para formar um hexágono regular.
como ilustra a figura. (Que está nitidamente fora de escala)
O garoto “dá linha” com velocidade de 5m/min, de modo que a pipa
mantenha a sua altura em relação ao chão, embora sua distância horizontal
em relação ao garoto varie com o tempo. Determine, para esse problema:
a) A velocidade na qual a pipa se afasta do garoto, em relação ao eixo
horizontal, no momento relatado.
b) A velocidade na qual o ângulo da linha em relação à horizontal varia,
também nesse exato momento.
a) Determine como deverá ser feita essa divisão de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja a menor possível. b) Determine como deverá ser feita a divisão de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja a maior possível. 117) Considere a figura a seguir:
118) Na situação do exercício anterior, qual seria o valor de x se o recorte fosse feito numa folha retangular, cujos
lados consecutivos medem 𝑎 e 𝑎(1+√5)
2 (OBS: Estas são as proporções de uma folha sulfite, “A4”)
119) Qual dos pontos do gráfico da função f:ℝ ℝ, f(x) = x2 – 5x – 14 é o mais próximo da origem?
120) Considere os gráficos das funções dadas: f: ℝ ℝ, f(x) = x2 – 5x – 5 e g:ℝ ℝ, g(x) = – 2x2 + 3x – 2.
a) Determine uma função que calcule a distância vertical entre as duas funções sobre um ponto x dado.
b) Determine a distância vertical mínima entre essas duas funções.
121) Dentre todos os pontos da circunferência de equação (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25, qual o ponto mais próximo do
ponto (2; 3)?
122) Determine as dimensões do cone de volume igual a 20ℓ que possui área total mínima.
123) Determine as dimensões do cilindro de volume igual a 30πℓ que possui área total mínima.
124) Determine as dimensões da pirâmide regular de base quadrada e volume igual a 100m3 que possui área total
mínima.
125) Na figura a seguir, está representado um rio, de margens paralelas, e largura constante de 5Km.
rio, do ponto P ao ponto C. E uma segunda parte por baixo d’água, entre o ponto C e o ponto R.
A construção de cada quilômetro de oleoduto por terra é duas vezes mais barata do que a construção de um
quilômetro de oleoduto por baixo d’água.
Determine a distância entre P e C que minimize o custo total de produção do oleoduto entre as cidades P e R.
126) Faça um resumo/roteiro sobre como esboçar gráficos de funções reais. 127) Para cada uma das funções dadas abaixo, siga o roteiro, com a intenção de fazer o esboço gráfico no final da questão. Se você julgar mais fácil inverter a ordem dos passos, fique a vontade. O roteiro é sugerido, mas não obrigatório. - Determine o domínio da função - Calcule a derivada primeira da função - Determine os pontos críticos da função - Avalie a função quanto a crescimento e decrescimento, obtendo assim os pontos de máximo e mínimo locais - Calcule a derivada segunda da função - Determine os candidatos a ponto de inflexão - Avalie a função quanto a concavidade, obtendo assim os pontos de inflexão da função
Na figura a seguir está representado um grande quadrado de papel, de lado a.
Deste quadrado são recordados, das quatro bordas, quatro quadradinhos de lado x.
A folha restante (deixada em branco) é dobrada, de forma a se tornar uma caixa com
formato de paralelepípedo reto-retângulo sem tampa, de altura x.
Determine, em função de a, o valor de x de modo que o volume da caixa formada seja o
maior possível.
De um dos lados da margem do rio está uma cidade produtora de
petróleo, P, e do outro lado do rio, a uma distância horizontal de 20Km,
está uma cidade receptora, R.
Para transportar petróleo entre as duas cidades, será construído um
oleoduto, que terá uma parte por terra, seguindo uma das margens do
- Determine as assíntotas - Esboce o gráfico
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 1 c) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4 d) 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥+1
e) 𝑓(𝑥) =𝑥2
𝑥−1 f) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 g) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
2 h) 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4−
3𝑥2
2+ 2𝑥 + 1 i) 𝑓(𝑥) = √𝑥3 − 𝑥
3
j) 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥2+1 k) 𝑓(𝑥) =
𝑥3
𝑥2+1 l) 𝑓(𝑥) =
𝑥3
𝑥2−1 m) 𝑓(𝑥) =
𝑥3−𝑥+1
𝑥2 n) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑒3𝑥
o) 𝑓(𝑥) =𝑥−1
𝑥2 p) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥+1
𝑥2 q) 𝑓(𝑥) =
4𝑥+3𝑥2
1+𝑥2 r) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) s) 𝑓(𝑥) = cosh (𝑥)
t) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ(𝑥) u) 𝑓(𝑥) =4𝑥2+8𝑥+4
𝑥2+2𝑥−3 v) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−8𝑥+8
𝑥2−4𝑥+3 w) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2+8𝑥+8
𝑥2+4𝑥+3 x) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+𝑥
𝑥2−2𝑥+1 y) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥
𝑥2+2𝑥+1 z) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2
𝑥2+8𝑥+16 !) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥2+4 @) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+4
𝑥2−4
128) Demonstre que ∫ 4sec (4𝑥)𝑡𝑔(4𝑥). 𝑒sec(4𝑥) − 2𝑥𝑙𝑛(𝑥2 + 4) −2𝑥3
𝑥2+4𝑑𝑥 = 𝑒sec(4𝑥) − 𝑥2 ln(𝑥2 + 4) + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ
129) Complete a tabela de integrais “básicas”, onde 𝜆 representa uma constante real:
𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0 cos(𝜆𝑥) 𝑒𝜆𝑥
𝜆 sec2(𝑥) 𝜆𝑥
𝑥 sec(𝑥) . 𝑡𝑔(𝑥) 1
1 + 𝑥2
𝑥𝑛 −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 1
√1 − 𝑥2
1
𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) cosh (𝑥)
cos (𝑥) sec(𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 𝑒𝑥 cosh(𝜆𝑥)
130) Descreva com suas palavras como funciona a técnica de integração por substituição simples. Descreva também em que situações é mais recomendado o seu uso. 131) Descreva com suas palavras como funciona a técnica de interação por partes. Descreva também em que situações é mais recomendado o seu uso. 132) Descreva com suas palavras como funciona a técnica de integração por frações parciais. Descreva também em que situações é mais recomendado o seu uso. 133) Descreva com suas palavras como funciona a técnica de integração por substituição trigonométrica. Descreva também em que situações é mais recomendado o seu uso. 134) Dê um exemplo de uma integral que possa ser calculada por mais de um método, e calcule-a por ambos os métodos propostos. 135) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) ∫ (𝑥2 − 3)2𝑑𝑥 b) ∫ cos (3𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − √𝑥5 +4
𝑥3𝑑𝑥 c) ∫ 𝑒4𝑥 − 4𝑒𝑥 + 4𝑥 − 4𝑒𝑥𝑑𝑥
d) ∫ sec2(4𝑥) 𝑑𝑥 e) ∫ (5𝑥4−3𝑥3−6𝑥2+8𝑥−9
𝑥2) 𝑑𝑥 f) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔(3𝑥). 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(3𝑥)𝑑𝑥
g) ∫ 𝑥√3 + 𝑥2𝑑𝑥 h) ∫ 𝑥2𝑒−3𝑥3𝑑𝑥 i) ∫ cos (𝑥). √sen(x)
3𝑑𝑥 j) ∫ (
4
𝑥𝑙𝑛(𝑥)) 𝑑𝑥 k) ∫ (
𝑥2−6
𝑥3−18𝑥) 𝑑𝑥
l) ∫ (1
𝑥.ln(𝑥).ln(ln(𝑥))) 𝑑𝑥 m) ∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 n) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 o) ∫ (
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos3(𝑥)) 𝑑𝑥 p) ∫ (
sec2(𝑥)
𝑡𝑔3(𝑥)) 𝑑𝑥
q) ∫ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4(𝑥)
1+𝑥2) 𝑑𝑥 r) ∫ (
cos(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥))
√1−𝑥2) 𝑑𝑥 s) ∫ (
𝑥2−6𝑥+5
𝑥−4) 𝑑𝑥 t) ∫ 𝑥3√4 − 2𝑥𝑑𝑥 u) ∫ (
𝑥3
3𝑥−9) 𝑑𝑥
v) ∫ 𝑥3√𝑥2 − 4𝑑𝑥 w) ∫ (𝑒𝑥−2−3𝑒𝑥−1+𝑒𝑥
𝑒𝑥) 𝑑𝑥 x) ∫ 𝑒𝑥cos (𝑒𝑥) 𝑑𝑥 y) ∫ sec (𝑥)𝑑𝑥 z) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑑𝑥
136) Acabou o alfabeto! Continue integrando!
a) ∫ 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 b) ∫−𝑥. cos (𝑥) 𝑑𝑥 c) ∫ 4𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥 d) ∫ 4𝑥. ln(𝑥) 𝑑𝑥 e) ∫ 3𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−𝑥)𝑑𝑥
f) ∫ 𝑥2. cos(𝑥) 𝑑𝑥 g) ∫−4𝑥2𝑒2𝑥𝑑𝑥 h) ∫ 𝑒𝑥. cos(𝑥) 𝑑𝑥 i) ∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 j) ∫ (2𝑥. cos(2𝑥))𝑑𝑥
k) ∫ 𝑒3𝑥. 2𝑥𝑑𝑥 l) ∫ 𝑒𝑥. 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)𝑑𝑥 m) ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑥). cosh(𝑥) 𝑑𝑥 n) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cosh(3𝑥) 𝑑𝑥
o) ∫ cos (2𝑥). cosh(4𝑥) 𝑑𝑥 p) ∫ 𝑥. 𝑒𝑥. cos(𝑥) 𝑑𝑥 q) ∫ ln (𝑥)𝑑𝑥 r) ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 s) ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
t) ∫ 𝑥2. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑥)𝑑𝑥 u) ∫ 𝑒√𝑥𝑑𝑥 v) ∫ (cos(4𝑥 − 𝜋) . 𝑥2)𝑑𝑥 w) ∫ 3𝑥2. 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 −𝜋
2) 𝑑𝑥
x) ∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)𝑑𝑥 y) ∫ 𝑥. 2𝑥 . cosh (2𝑥)𝑑𝑥 z) ∫ cos3(𝑥) . 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
137) Acabou o alfabeto de novo! Continue integrando de novo!
a) ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 b) ∫ cos (5𝑥)𝑑𝑥 c) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 d) ∫ cos2(3𝑥) 𝑑𝑥 e) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(−𝑥)𝑑𝑥
f) ∫ cos3(𝑥) 𝑑𝑥 g) ∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)𝑑𝑥 h) ∫ cos6(𝑥) 𝑑𝑥 i) ∫ 𝑠𝑒𝑛7(3𝑥)𝑑𝑥 j) ∫ 𝑠𝑒𝑛9(𝑥)𝑑𝑥
k) ∫ 𝑠𝑒𝑛5(𝑥). cos(𝑥) 𝑑𝑥 l) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥). cos2(𝑥) 𝑑𝑥 m) ∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥). cos5(𝑥) 𝑑𝑥 n) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥). cos4(𝑥)𝑑𝑥
o) ∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥). cos4(𝑥) 𝑑𝑥 p) ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). cos(𝑥) 𝑑𝑥 q) ∫ cos (3𝑥). cos(4𝑥) 𝑑𝑥 r) ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 𝑠𝑒𝑛(6𝑥)𝑑𝑥
s) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 t) ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). cos2(𝑥) 𝑑𝑥 u) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥). cos2(3𝑥) 𝑑𝑥
v) ∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cos(𝑥) 𝑑𝑥 w) ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 x) ∫ 𝑥. cos2(4𝑥) 𝑑𝑥 y) ∫ 𝑒𝑥. 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). cos(𝑥) 𝑑𝑥
z) ∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛2(3𝑥)𝑑𝑥 138) Puxa vida, acabou o alfabeto mais uma vez! Continue integrando mais uma vez!
a) ∫ sec (𝑥)𝑑𝑥 b) ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 d) ∫ 𝑡𝑔2(𝑥)𝑑𝑥 e) ∫ sec3(𝑥) 𝑑𝑥
f) ∫ sec4(𝑥) 𝑑𝑥 g) ∫ sec5(𝑥) 𝑑𝑥 h) ∫ 𝑡𝑔3(𝑥)𝑑𝑥 i) ∫ 𝑡𝑔4(𝑥)𝑑𝑥 j) ∫ 𝑡𝑔5(𝑥)𝑑𝑥
k) ∫ 𝑡𝑔(𝑥). sec(𝑥) 𝑑𝑥 l) ∫ 𝑡𝑔(𝑥). sec2(𝑥) 𝑑𝑥 m) ∫ 𝑡𝑔2(𝑥). sec(𝑥) 𝑑𝑥 n) ∫ 𝑡𝑔2(𝑥). sec2(𝑥) 𝑑𝑥
o) ∫ 𝑡𝑔5(𝑥). sec3(𝑥) 𝑑𝑥 p) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑑𝑥 q) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 r) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 t) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥)𝑑𝑥
u) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3(𝑥)𝑑𝑥 v) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐4(𝑥)𝑑𝑥 w) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔3(𝑥)𝑑𝑥 x) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔4(𝑥)𝑑𝑥
y) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥)𝑑𝑥 z) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐4(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥)𝑑𝑥 139) Olha só, acabou o alfabeto de novo mais uma vez! Continue integrando mais ainda…
a) ∫ (2
𝑥−4) 𝑑𝑥 b) ∫ (−
3
𝑥+7) 𝑑𝑥 c) ∫ (
2
3𝑥−4) 𝑑𝑥 d) ∫ (
1
𝑥+4−
5
2𝑥+3+
8
3−𝑥) 𝑑𝑥 e) ∫ (
4𝑥2−3𝑥+2
𝑥−1) 𝑑𝑥
f) ∫ (𝑥3−5𝑥+6
2𝑥+4) 𝑑𝑥 g) ∫ (
4𝑥+3
𝑥2−𝑥−6) 𝑑𝑥 h) ∫ (
−7𝑥−11
𝑥2+4𝑥+3) 𝑑𝑥 i) ∫ (
18𝑥−44
2𝑥2−8𝑥) 𝑑𝑥 j) ∫ (
10𝑥−26
𝑥3−4𝑥2+𝑥+6) 𝑑𝑥
k) ∫ (4𝑥2−15𝑥−6
𝑥3−𝑥2−6𝑥) 𝑑𝑥 l) ∫ (
9𝑥2−12𝑥−69
𝑥3−2𝑥2−23𝑥+60) 𝑑𝑥 m) ∫ (
3𝑥4−4𝑥3−5𝑥2−3𝑥+7
𝑥3−2𝑥2−𝑥+2) 𝑑𝑥 n) ∫ (
𝑥5+𝑥4−2𝑥3+12𝑥2−27𝑥−36
𝑥3+𝑥2−6𝑥) 𝑑𝑥
o) ∫ (6𝑥3−9𝑥2−17𝑥+12
𝑥4−7𝑥2+6𝑥) 𝑑𝑥 p) ∫ (
3𝑥5−11𝑥4−15𝑥3+86𝑥2−83𝑥+12
𝑥4−7𝑥2+6𝑥) 𝑑𝑥 q) ∫ (−
2
(𝑥+2)2) 𝑑𝑥 r) ∫ (
𝑥
(𝑥+2)2) 𝑑𝑥
s) ∫ (3𝑥−2
(𝑥−1)2)𝑑𝑥 t) ∫ (
4
(𝑥+4)5) 𝑑𝑥 u) ∫ (
𝑥3−5𝑥+6
(𝑥−1)2) 𝑑𝑥 v) ∫ (
(𝑥2−5𝑥−2)
𝑥3+2𝑥2) 𝑑𝑥 w) ∫ (
−6𝑥2+24𝑥−25
𝑥3−7𝑥2+16𝑥−12) 𝑑𝑥
x) ∫ (−𝑥3+10𝑥2−2𝑥−101
𝑥3−8𝑥2+5𝑥+50) 𝑑𝑥 y) ∫ (
4𝑥2−16𝑥−4
𝑥4−4𝑥3−2𝑥2+12𝑥+9) 𝑑𝑥 z) ∫ (
𝑥7−3𝑥5+4𝑥4−9𝑥3+8𝑥2+1
𝑥5−2𝑥4+2𝑥2−𝑥) 𝑑𝑥
140) A piada de que acabou o alfabeto já perdeu a graça, mas resolver integrais ainda não! Integre mais ainda!
a) ∫ (1
𝑥2+1)𝑑𝑥 b) ∫ (
5
𝑥2+1) 𝑑𝑥 c) ∫ (
1
𝑥2+25) 𝑑𝑥 d) ∫ (
1
𝑥2+𝜆2) 𝑑𝑥 e) ∫ (
1
𝑥2+2𝑥+2) 𝑑𝑥
f) ∫ (1
𝑥2−8𝑥+25) 𝑑𝑥 g) ∫ (
1
4𝑥2+4𝑥+5) 𝑑𝑥 h) ∫ (
𝑥
𝑥2+1) 𝑑𝑥 i) ∫ (
2𝑥+1
𝑥2+16) 𝑑𝑥 j) ∫ (
𝑥−2
𝑥2+2𝑥+10) 𝑑𝑥
k) ∫ (3
𝑥2−4𝑥+29) 𝑑𝑥 l) ∫ (
𝑥4−8𝑥3+57𝑥2−164𝑥+351
𝑥2−4𝑥+29) 𝑑𝑥 m) ∫ (
3𝑥4+6𝑥3−𝑥2−14𝑥−11
𝑥2+2𝑥+2) 𝑑𝑥 n) ∫ (
(−2𝑥2+3𝑥−8)
𝑥3+4𝑥) 𝑑𝑥
o) ∫ (4𝑥2−2𝑥+14
𝑥3−5𝑥2+𝑥−5) 𝑑𝑥 p) ∫ (
𝑥3+4𝑥2+4𝑥+25
𝑥4−4𝑥3+19𝑥2−64𝑥+48) 𝑑𝑥 q) ∫ (
2𝑥3+5𝑥2−20𝑥+34
𝑥4−𝑥3−6𝑥2+14𝑥−12) 𝑑𝑥 r) ∫ (
−𝑥2−5𝑥
𝑥3−𝑥2+𝑥−1) 𝑑𝑥
s) ∫ (3𝑥3−9𝑥2+16𝑥−150
𝑥4+𝑥3+3𝑥2+9𝑥−54) 𝑑𝑥 t) ∫ (
𝑥4−4𝑥3+6𝑥2+48𝑥+13
𝑥5−10𝑥2−𝑥+10) 𝑑𝑥 u) ∫ (
5𝑥6−3𝑥5+𝑥4−54𝑥3+31𝑥2+101𝑥−17
𝑥5−10𝑥2−𝑥+10) 𝑑𝑥
v) ∫ (5𝑥3−20𝑥2+23𝑥−5
𝑥4−8𝑥3+25𝑥2−36𝑥+20) 𝑑𝑥 w) ∫ (
2𝑥4−5𝑥3+5𝑥2−2𝑥+1
𝑥5−5𝑥4+11𝑥3−13𝑥2+8𝑥−2) 𝑑𝑥 x) ∫ (
(𝑥8−4𝑥7+7𝑥6−6𝑥5+3𝑥4−𝑥3−2𝑥2+4𝑥−1)
𝑥5−5𝑥4+11𝑥3−13𝑥2+8𝑥−2) 𝑑𝑥
y) ∫ (3𝑥3+4𝑥2+19𝑥−20
𝑥4+10𝑥2+9) 𝑑𝑥 z) ∫ (
(𝑥7+5𝑥5−38𝑥3+4𝑥2−26𝑥−20)
𝑥4+10𝑥2+9) 𝑑𝑥
141) <Inserir mais um comentário sobre ter acabado o alfabeto>
a) ∫ √𝑥2 − 1𝑑𝑥 b) ∫ √𝑥2 − 9𝑑𝑥 c) ∫ √4𝑥2 − 1𝑑𝑥 d) ∫ √𝑥2 + 1𝑑𝑥 e) ∫ √𝑥2 + 25𝑑𝑥
f) ∫ √9𝑥2 + 16𝑑𝑥 g) ∫ √1 − 𝑥2𝑑𝑥 h) ∫ √4 − 𝑥2𝑑𝑥 i) ∫ √25 − 4𝑥2𝑑𝑥 j) ∫ (4
√𝑥2+4)𝑑𝑥
k) ∫ (−3
√9−4𝑥2) 𝑑𝑥 l) ∫ (
𝑥
√1−𝑥2) 𝑑𝑥 m) ∫ (
9
√𝑥2−16) 𝑑𝑥 n) ∫ 𝑥2√𝑥2 − 4𝑑𝑥 o) ∫ (𝑥2 − 9)√9 − 𝑥2𝑑𝑥
p) ∫ 𝑥3√1 + 𝑥2𝑑𝑥 142) A seguir apresentaremos alguns desafios, com integrais mais complexas do que as cobradas nas questões anteriores. Não se estresse no caso de não conseguir resolver essas integrais, elas são apenas um desafio proposto.
a) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cos(𝑥) . 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). cos(2𝑥) 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥2. 𝑒𝑥. cos(𝑥) 𝑑𝑥 c) ∫ (sec2(𝑥)
√1+𝑡𝑔4(𝑥)) 𝑑𝑥 d) ∫ (
4𝑒3𝑥−2𝑒2𝑥−𝑒𝑥
𝑒2𝑥−1) 𝑑𝑥
e) ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). ln(cos(𝑥)) 𝑑𝑥 f) ∫ (sinh(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(ln(𝑥)))
𝑥.(1+(ln(𝑥))2)) 𝑑𝑥 g) ∫
4.sec2(𝑥).𝑡𝑔2(𝑥)−3.sec2(𝑥)
(𝑡𝑔4(𝑥)−2𝑡𝑔2(𝑥)+1)𝑑𝑥
143) Embora não seja possível se saber um método único para se calcular qualquer integral, é possível obter fórmulas que calculem (mesmo que iterativamente, em algumas situações), alguns tipos específicos de integrais. Obtenha as fórmulas para calcular integrais, em função das constantes dadas.
a) ∫ sec𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 (em função de n ∈ ℕ, n ≥ 3)
b) ∫ 𝑡𝑔𝑛(𝑥)𝑑𝑥 (em função de n ∈ ℕ, n ≥ 3)
c) ∫ 𝑒𝛼𝑥. cos (𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ)
d) ∫ 𝑒𝛼𝑥. sen (𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ)
e) ∫ 𝜆𝛼𝑥 . cos (𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝜆 ∈ ℝ+∗ )
f) ∫ 𝜆𝛼𝑥 . sen (𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝜆 ∈ ℝ+∗ )
g) ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛼𝑥). 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ)
h) ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛼𝑥). 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ)
i) ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛼𝑥). 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ)
j) ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛼𝑥). 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)𝑑𝑥 (em função de 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ)
k) ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)𝑑𝑥 (em função de n ∈ ℕ, n ≥ 3)
l) ∫ cos𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 (em função de n ∈ ℕ, n ≥ 3)
144) Determine a área formada pelo gráfico da função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 7𝑥 − 6 e o eixo x. 145) Determine a área formada pelo gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 15 e o eixo x.
146) Determine a área formada entre os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 4 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 147) Deduza a fórmula da área de uma circunferência de raio R. 148) Deduza a fórmula do volume de uma esfera de raio R. 149) Deduza a fórmula do volume de um cone, cujo raio da base é R, e altura relativa a base é igual a h. 150) Deduza a fórmula da área lateral de uma esfera.
