Fundamentos da Matematica Lista 6 1

UFES - Universidade Federal do Espırito Santo Lista 6CCA - Centro de Ciencias Agrarias Fundamentos da MatematicaDepartamento de Engenharia Rural Prof Paulo Henrique Souza da Costa

1. A e uma matriz 3 por 2 definida porai j =

1 se i = j

i2 se i , j. Escreva a matriz A.

2. Determinex, y, z e t de modo que se tenha

x2 2x y

4 5 t2

=

x x 3

z 5t t

3. Dada as matrizesA =

1 1

5 7

e B =

0 6

9 3

. Calcule:

a) A + B b) A − B c) 2A − 3B d) −12

B +23

A

4. Calculo os seguintes produtos:

a)

0 1

1 0

4 7

2 3

b)

1

2

3

[

3 1 1 2]

c)

1 5 2

−1 4 7

1 −1

2 3

−3 0

d)

1 −1 5 0

2 3 7 1

1 1

2 1

3 1

1 1

e)

1 −1

2 2

3 4

1 2 3

4 −5 1

f)

0 1 1

2 2 0

0 3 4

1 4 7

0 0 1

1 2 0

5. Resolva as seguintes equacoes:

a)

1 3

−2 2

a b

c d

=

5 7

−5 9

b)

a b c

d e f

g h i

1 1 1

0 1 1

0 0 1

=

1 0 0

1 1 0

2 1 1

6. Obtenha todas as matrizesB =

a b

c d

que comutam com:

a) A =

1 −1

3 0

b) A =

2 1

1 0

c) A =

0 1

1 1

7. SendoA =

1 2 −1

0 −1 2

e B =

2 −1

1 0

, determine o valor deAt.B.

8. Determinex, y e z de modo que a matrizA =

1 x 5

2 7 −4

y z −3

seja simetrica.

9. Determine a inversa de cada matriz abaixo:

a)

5 6

4 5

b)

2 5

1 3

c)

1 0

0 2

d)

1 −1

1 1

e)

2 0 0

0 5 0

0 0 1

f)

1 0 0

6 1 0

2 4 −3

Fundamentos da Matematica Lista 6 2

10. Calcule o determinante das matrizes abaixo:

a)

1 0 −1 3

2 3 4 2

0 2 5 1

4 1 0 0

b)

2 4 2 4

0 1 1 0

1 0 2 3

3 0 1 0

c)

1 3 2 0

3 1 0 2

2 3 0 1

0 2 1 3

d)

1 2 3 −4 2

0 1 0 0 0

0 4 0 2 1

0 −5 5 1 4

0 1 0 −1 2

e)

a 0 b 0 x

c 0 d x e

f 0 x 0 0

g x h i j

x 0 0 0 0

f)

1 2 3 4 5

0 −1 9 5 7

0 0 −4 0 0

0 0 0 −3 −3

0 0 0 0 2

11. Calcule a inversa das matrizes abaixo:

a)

5 3

8 5

b)

7 −2

−10 5

c)

1 0

0 1

d)

1 0 0

0 2 0

0 0 3

e)

1 0 0

3 1 0

5 7 1

12. Para que valores reais dem existe a inversa da matriz abaixo:

a)

m 5

5 m

b)

1 m

m 4

c)

m 2

m 5

d)

1 m m

m 1 m

2 2 1

e)

1 0 −1

m 1 3

1 m 3

13. Determine a matriz ampliada linha reduzidaa forma escada e dando tambem o seu posto (pa), o posto da matriz dos coeficientes(pc), caso tenha solucao, determine o grau de liberdade e as solucoes:

a)

2x − y + z = 4

x + 2y + z = 1

x + y + 2z = 3

b)

−x − y + z = 0

2x + y + z = 1

5x + 4y − 2z = 1

c)

3x + 4y − z + 2t = 2

2x − 2y + z − 3t = 5

−x + 3y + 2z − t = 3

2x + 7y + z + t = −1

d)

x + 4y − 3z + t = 1

2x + 3y + 2z − t = 2e)

x + y = 2

x − y = 1

x + y = −1

f)

x + y = 3

3x − 2y = −1

2x − 3y = −4

Fundamentos da Matematica Lista 6 3

RESPOSTAS:

1.

1 1

4 1

9 9

2. x = 0, y = 3, z = 4 e t = 1

3. a)

1 7

14 10

b)

1 −5

−4 4

c)

2 −16

−17 5

d)

23 −

73

−

76

176

4.

a)

2 3

4 7

b)

3 1 1 2

6 2 2 4

9 3 3 6

c)

5 14

−14 13

d)

14 5

30 13

e)

−3 7 2

10 −6 8

19 −14 13

f)

1 2 1

2 8 16

4 8 3

5.

a)

258−

138

58

238

b)

1 −1 0

1 0 −1

2 −1 0

6.

a) A =

a b

−3b a + b

b)A =

a b

b a − 2b

c) A =

a b

b a + b

7. A =

2 −1

3 −2

0 1

8. x = 2, y = 5, z = −4.

9.

a)

5 −6

−4 5

b)

3 −5

−1 2

c)

1 0

0 12

d)

12

12

−

12

12

e)

12

0 0

015

0

0 0 1

f)

1 0 0

−6 1 0

−

223

43−13

10.

a) −54 b) −44 c) 48 d) −25 e) x5 f) −24

Fundamentos da Matematica Lista 6 4

11.

a)

5 −3

−8 5

b)

13

215

23

715

c)

1 0

0 1

d)

1 0 0

012

0

0 013

e)

1 0 0

−3 1 0

16 −7 1

12.

a) m , 5 oum , −5 b) m , 2 oum , −2 c) m , 0

d) m , 1 oum ,13

e) m , −4 oum , 1

13.

a)

pa = 3 pc = 3

Grau de liberdade:n − p = 3− 3 = 0

Solucao: x = 1, y = −23, z =

43

b)

pa = 2 pc = 2

Grau de liberdade:n − p = 3− 2 = 1

Solucao: x = 1− 2α, y = 3α − 1, z = α

c)

pa = 4 pc = 3

Nao tem solucao

d)

pa = 2 pc = 2

Grau de liberdade:n − p = 4− 2 = 2

Solucao: x =−17a − 17b

5, y = −

8a − 3b5,

z = a, t = b

e)

pa = 3 pc = 2

Nao tem solucaof)

pa = 2 pc = 2

Grau de liberdade:n − p = 2− 2 = 0

Solucao: x = 1, y = 2