Lista de Exercicio Capitulo 2-Convolucao

Lista de Exercício

Docente: Fabiano Poderoso

Disciplina: Análise de sinais e Sistemas

Alunos: Guilherme,

Mabelle C. Marinho da Rocha,

Ronaldo Nascimento dos Santos.

Vinícius Marinho Silva

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Vitória da Conquista, Janeiro 2013.

Problemas

2.2 Avalie as somas de convolução de tempo discreto dadas abaixo:

a) ]3[][][ nununy

b) ]3[*]2[.2][ nununy n

Letra a:

k

knhkxny

nukh

nukx

nununy

][].[][

]3[][

][][

]3[][][

Logo:

0][

,3

03

ny

n

n

]2[).2(][

2][

nunny

xxy

xn

31.111]5[;5

21.1.1]4[;4

11.1]3[;3

yn

yn

yn


Letra b :

k

n

n

knhkxny

nkh

nukx

nununy

][].[][

]3[][

]2[2][

]3[*]2[.2][


Logo:

2.5 ) Avalie as de integrais de convolução de tempo contínuo apresentadas abaixo:

a) )2(*)1()( tututy

b) )2(*)()( 2 tutuety t

nb

la

nl

nk

l

k

kl

3

3

3

2

1

2

1

][

2

12][

1

1

2][

][].[][

5

1;2

2;1

3;0

5

23

3

3

3

3

n

ln

l n

l

ba

aa

n

k

k

k

ny

ny

ny

knhkxny

n

kn

kn

kn

para

n

n

nn

ny

21

4

1

2

1

2

1

8

1][


Letra a:

dtuuty

dthxty

txthty

tuth

tutx

tututy

2).1()(

.)(

)(*)()(

)2()(

)1()(

)2(*)1()(

Logo:

1

12

2

t

t

t

1,1)( ttty

2

1

121)(

1,00)0(

)2().1()(

t

tdty

tdy

duuty


Letra b:

dtuxdthxty

thtxty

tuth

etx

tutuety

t

t

)2()()(.)()(

)(*)()(

)2()(

)(

)2(*)()(

2´

2

2

02

t

t

Logo:

12

1/

2

1)(

1.)(

2,00)0(

)(.)()(

222

0

2

2

0

2

ttt

t

t

eety

dety

tdy

dthxty

2

02

2

t

t

t

2,12

1)( 22 tety t


2.11Uma interconexão de sistemas LTI é descrita na figura P2.11. As respostas ao impulso

são ].1[][],[][]),3[]2[(2

1321

nunhnnhnunuh

n

Admitamos que a reposta ao

impulso do sistema global de ][nx até ][ny seja denotada como ][nh .

a) Expresse ][nh em termos de ][1 nh , ][2 nh , ][3 nh .

b) Avalie ][nh usando os resultados de (a).

Nas parteas (c)-(e) determine se o sistema corresponde a cada resposta ao impulso é (i) estável, (ii)

causal, e (iii)sem memória.

c) ][1 nh

d) ][2 nh

e) ][3 nh

Letra a:

Logo:

Letra b:

k

n

n

kngnfnz

ngnfnz

nung

nununf

nunununhnhnh

nununhnhnh

][].[][

][*][][

][][

]3[]2[2

1][

][*]3[]2[2

1][*][][

][]1[][])3[*][(][

41

324

])[][(*][][ 311 nhnhnhnh

][*][][ nhnxny


,32

0][

,2

n

nh

n

Logo:

Letra c:

Letra d:

kn

k

nh

2 2

1][

dinâmico

nknh

iii

causalnão

nnh

ii

estável

nununh

i

n

k

][][

)

_

0,0][

)

,]3[]2[.2

1][

)

1

1

1

instâneo

nknh

iii

causal

nnh

ii

estável

nh

i

nnh

k

][][

)

0,0][

)

1][

)

][][

2

2

2

2


Letra e:

2.12 Para cada resposta ao impulso listada abaixo, determine se o sistema correspondente é (i) sem

memória, (ii) causal, (iii) estável.

a)t

eth2

)(

g) ]1[][ 2 nuenh n

b) )1()( 2 tueth t h) ]}10[][){.

81cos( nunun

c) )1(2)1()( tututh i) ]1[2][2][ nununh

d) )(3)( tth j) ).2

1(][ nsennh

e) )().cos()( tutth k) ).(][][ nsennnh

f) ][2][ nunh n

Letra a:

estável

dtthth

iii

causalnão

tth

ii

dinâmico

tkthi

etht

)()(

)

_

0,0)(

)

)()()

)(2

Letra b:

estávelnão

nh

i

nunh

k

_

,][

)

]1[][

3

3

dinâmico

nknh

iii

causal

nnh

ii

][][

)

0,0][

)

3

3


causal

tth

iii

estávelnão

dtth

ii

dinâmico

i

tueth t

0,0][

)

_

)

)

)1()( 2

Letra c:

causalnão

th

iii

estávelnão

dtth

ii

dinâmico

i

tututh

_

0][

)

_

)

)

)1(2)1()(

Letra d:

estável

dtth

iii

causal

tth

ii

ioinstân

tth

i

tth

)(1)(

)

0,0)(

)

tan

0,0)(

)

)(3)(


Letra f:

dinâmico

nnh

iii

nh

ii

causalnão

nnh

i

nunh

k

k

n

0,0][

)

22][

)

_

0,0][

)

][2][

Letra h:

causal

nnh

iii

estável

nh

ii

dinãmico

n

nh

i

nununnh

0,0][

)

][

)

100

,0][

)

]}10[][){.8

1cos(][

Letra i:

ioinstâ

iii

estável

nh

ii

causal

nnh

i

nununh

tan

)

][

)

0,0][

)

]1[2][2][


Letra j:

dinâmico

nnh

iii

estávelnão

nh

ii

causalnão

nnhi

nsennh

0,0][

)

_

][

)

_

0,0][)

).2

1(][

Letra k:

ioinstân

iii

estável

nh

ii

causal

nnh

i

nsennnh

tan

)

][

)

0,0][

)

).(][][

2.21)Determine a saída do sistma descrita pelas seguintes equações diferenciais com entrada e

condições iniciais conforme especificado:

a)

b)

),(2)(10)( txtytydt

d ,1)0( y )()( tutx

),()(4)(5)(2

2

txdt

dtyty

dt

dty

dt

d ,0)0( y ,1/)( 0 tty

dt

d)()( 2 tuetx t


c)

d)

Letra a:

Solução homogênea: Solução particular:

Substituindo na equação:

Solução geral:

),(2)(2)(3)(2

2

txtytydt

dty

dt

d ,1)0( y ,1/)( 0 tty

dt

d)()cos()( tuttx

),(2)()(2

2

txdt

dtyty

dt

d ,1)0( y ,1/)( 0 tty

dt

d)(2)( tuetx t

),(2)(10)( txtytydt

d

t

h eAty

r

r

tytydt

d

10.)(

10

010

0)(10)(

0

)(.)(

)(2)(

'

p

p

y

tukty

tutx

5

1

)(10

)(2

)(2)](.[100

tu

tuk

tutuk

54

511)0(

51.)( 10

A

Ay

eAty t


Logo:

Letra b:

Solução homogênea: Solução Particular:

0,5

1

5

4)( 10 tety t

)()(4)(5)(2

2

txdt

dtyty

dt

dty

dt

d

tt

h ececty

r

r

rr

tytydt

dty

dt

d

2

4

1

2

1

2

2

2

)(

42

35

12

35

91625

045

0)(4)(5)(

12

2

2)4104(.

24104

24)2.(54

4)(

2)(

)(

2)(

2

2

22

2222

2222

2''

2'

2

2

t

t

tt

tttt

tttt

tp

tp

t

p

t

ke

kek

keek

kekekeke

kekekeke

kety

kety

kety

tx


Solução geral:

32

31

421

1)0(

42)(

1

10

0)0(

)(

)()()(

1

2

21

'

2

4

1

2'

21

21

2

4

1

2

c

c

cc

y

ececety

cc

cc

y

ececety

tytyty

ttt

ttt

hp

Logo:

Letra c:

Solução homogênea: Solução Particular (I):

0,3

13

2)( 42

teetyt

tt

)(2)(2)(3)(2

2

txtytydt

dty

dt

d

tt

h ececty

r

r

rr

tytydt

dty

dt

d

2

21

2

1

2

2

2

)(

22

13

12

13

189

023

0)(2)(3)(

)()cos()(

)cos()()(

)()cos()(

)().cos(2)(

''

'

tBsentAty

tBtAsenty

tBsentAty

tuttx

p

p

p


Solução particular:

53

51

29

3

03

23

)cos(2)()23()cos().23(

)cos(2)(2)cos()cot(3)(3)()cos(

B

A

AA

AB

BA

BA

ttsenBABtABA

ttBsentAtBtAsentBsentA

Solução geral:

21

2

21

511

1)0(

)(5

3)cos(5

1)(

cc

y

ecectsentty tt

2

5

4

5

62

5

2

25

2

125

3)0('

2)cos(5

3)(

5

1)('

1)0('

5

6

1

2

22

21

21

2

21

21

c

c

cc

cc

ccy

ececttsentty

y

cc

tt

Logo:

Letra d:

0,5

42)(5

3)cos(5

1)( 2 teetsentty tt



Solução geral:

2

31)0'

2

31)0(

3)cos()()('

3)()cos()(

)()()(

2

2

1

1

21

21

c

cy

c

cy

etctsencty

etsenctcty

tytyty

t

t

ph

Logo:

2.22 Determine a saída dos sistemas descritos pelas seguintes equações de diferenças com entrada e

condições iniciais conforme especificado:

a)

0)(2)()(2

2

txdt

dtyty

dt

d

)()cos()(

1

01

21

2

tsenctcty

r

r

h

t

p

t

t

tt

ttt

t

p

t

t

p

t

ety

ke

ek

eke

ekeke

kety

kety

kety

etx

3)(

32

6

6)(2

6

)(''

)('

)(

6)(

0,3)(2)cos(2 tetsent t

,3]1[ y],[2]1[2

1][ nxnyny ][

2

12][ nunx

n


b)

c)

Letra a:


],1[]2[9

1][ nxnyny ,1]1[ y ,0]2[ y ][][ nunx

],1[][]2[8

1]1[

4

1][ nxnxnynyny ,2]1[ y ,1]2[ y ][2][ nunx n

][2]1[2

1][ nxnyny

nAny

r

r

nyny

n

h

,2

1][

21

02

1

0]1[2

1][

0,2

1.2][

2

42

4

2

1.4

2

1.

2

1

2

1

2

1

2

1.4

2

1

2

1

2

1

2

1][

2

1.4][

1

1

nny

k

k

kk

kk

kk

kny

nx

n

p

nnn

nnn

n

p

n


Solução geral:

2

11

2

34][

43.2

1][

]0[2]1[2

1]0[

][2]1[2

1][

?][

mindet

3]1[

0,2

12

2

1][

][][][

oy

oy

xyy

nxnyny

oy

arer

y

nAny

nynyny

nn

ph

Substitui na solução completa:

2

7

2

112][

A

Aoy

Logo :

0,2

12

2

1

2

7][

nny

nn


Letra b:


Solução geral:

Substitui na equação completa:

]1[]2[9

1][ nxnyny

nBAny

r

r

nyny

nn

h

,3

1

3

1][

3

1

09

1

0]2[9

1][

2

89][

89

19

8

19

1

][

1][

ny

k

k

kk

kny

nx

p

p

0)0.(9

1]0[

]1[]2[9

1]0[

]1[]2[9

1][

?]0[

mindet

0,3

1

3

1

8

9][

][][][

y

xyy

nxnyny

y

arer

nBAny

nynyny

nn

ph

9

10]1[

19

1]1[

]0[]1[9

1]1[

1

mindet

y

y

xyy

n

arer


12

7

24

13

8

9

72

3

72

3

31

31

89

910

910

31

31

8

9]1[

8

9

08

9]0[

A

B

BB

BA

BA

BAy

AB

BAy

Logo:

Letra c:

Solução homogênea:

0,3

1

24

13

3

1

12

7

8

9][

nny

nn

4

1

2

43

41

2

1

2

43

41

16

9

2

1

16

1

08

1

4

1

0]2[8

1]1[

4

1][

2

1

2

r

r

rr

nynyny

],1[][]2[8

1]1[

4

1][ nxnxnynyny


Solução particular:

n

p

nnnnn

nnnnn

n

p

n

y

k

kkk

kkk

nkny

nx

29

16

9

16

2

1.22

4

1.2.

8

1

2

1.2.

4

12.

222.8

12.

4

12.

2,2.][

2][

121

Solução geral:

32

115]1[

12)2.(8

1

8

11.

4

1]1[

]0[]1[]1[8

1]0[

4

1]1[

8

11)1(

8

1

2

1]0[

01)1(8

1)2(

4

1]0[

]1[]0[]2[8

1]1[

4

1]0[

?]1[

?]0[

mindet

29

16

4

1

2

1][

][][][

y

y

xxyyy

y

y

xxyyy

y

y

arer

BAny

nynyny

n

nn

ph

Substituindo na solução geral:

nn

h BAny

4

1

2

1][


BA

BAy

72

29

8

11

9

16]0[

12

1

32

1152

9

16

4

1

72

23

2

1]1[

32

1152

9

16

4

1

2

1]1[

72

23

2144

11

72

29

A

Ay

BAy

B

BB

Logo:

0,29

16

4

1

72

23

2

1

12

1][

nny n

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