Exercí cios Propostos

Mecânica Geral 1

Prof. Dr. Jorge Luí s Nunes de Go es

Os seguintes exercícios propostos

foram escolhidos dentre os vários

existentes em livros conceituados

de Mecânica com o intuito de

auxiliar no aprendizado dos alu-

nos que cursam a disciplina de

Mecânica Geral 1.

Parte 1

1. Equilíbrio de pontos materiais no plano (2D)

2. Equilíbrio de pontos materiais no espaço (3D)

3. Equilíbrio de corpos rígidos no plano (2D)

Parte 2

1. Esforços internos em treliças

2. Esforços internos em vigas

3. Centróide e momento de inércia

2

Exercício 1: Duas peças B e C estão rebitadas em um suporte A. Ambas sofrem compressão por forças de 8

kN, em B, e 12 kN em C. Determine graficamente o módulo, a direção e o sentido da força resultante que

age em A. Resposta: R=17 kN, = 84,8º, R = {1,55 i -16,93 j} kN

Exercício 2: Um carro avariado é puxado por duas cordas, como na figura abaixo. A tração em AB é de 400

N, e o ângulo α é de 20°. Sabendo que a resultante das duas forças aplicadas em A tem a direção do eixo

do carro, utilizando trigonometria determine: (a) a tração na corda AC e (b) a intensidade da resultante das

duas forças aplicadas em A. Resposta: (a) TAC = 584,8 kN (b) R = 896 kN

Exercício 3: A haste CB exerce no bloco B uma força P dirigida ao longo da reta CB. Sabendo que P tem

uma componente horizontal de 200 N, determine: (a) a intensidade da força P e (b) sua componente verti-

cal. Resposta: (a) P = 261 N (b) Py = 168 N

Exercício 4: O cilindro hidráulico GE aplica à haste uma força P dirigida ao longo da reta GE. Sabendo que P

deve ter uma componente de 600 N na direção perpendicular a DF, determina: (a) a intensidade da força P

e (b) sua componente paralela a DF. Resposta: (a) P = 1200 N (b) PDF = 1039 N

Parte 1

3

Exercício 5: Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um terceiro cabo, AC, é usa-

do para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que a resultante das três forças aplicadas em A

deve ser vertical. Resposta: TAC = 25,6 kN

Exercício 6: A manga A com 7,5 kg desliza sem atrito em um eixo vertical. Ela está presa por um fio, através

de uma polia sem atrito a um peso de 8,5 kg. Determine a altura h para que o sistema esteja em equilíbrio.

Resposta: h = 0,75 m

Exercício 7: A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sem atrito. A mola presa à manga

tem constante 1751 N/m e elongação nula quando a manga está diretamente embaixo do suporte B. De-

termine a intensidade da força P necessária para manter o equilíbrio quando (a) c = 228 mm e (b) c = 406

mm. Resposta: (a) P = 79,7 N (b) P = 284 N

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Exercício 8: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N. Determinar: (a) as componentes Fx, Fy e Fz da força que atua sobre o parafuso, (b) os ângulos θx, θy e θz que definem a direção da força. Resposta: (a) Fx = 0,795 kN, Fy = -1,060 kN, Fz = 2,120 kN

(b) x = 71,5°, y = 115,1°, z =32,0o

Exercício 9: O cabo AB, de 19,5 m, está sujeito a uma tração de 19500 N. Determine: (a) as componentes

cartesianas da força aplicada pelo cabo em B e (b) os ângulos θx, θy e θz que definem a direção da força

aplicada em B. Resposta: (a) FBAx = -9,30 kN, FBAy = 16,79 kN, FBAz = 3,39 kN (b) x = 118,5°, y = 30,6°, z =

80,0o

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Exercício 10: O cabo AC, de 21 m, está sujeito a uma tração de 26250 N. Determine: (a) as componentes

cartesianas da força exercida pelo cabo em C e (b) os ângulos θx, θy e θz que determinam a direção da força

aplicada em C. Figura do problema anterior. Resposta: (a) FCAx = -1,206 N, FCAy = 21,000 N, FCAz = -10,125 N

(b) qx = 117,4º, qy = 36,9º, qz = 112,7o

Exercício 11: Determine o módulo e a direção da força F = {650i—320j—760k} N. Resposta: F = 1050 N, a = 51,7º , b = 107,7º , g = 136,4º

Exercício 12: A fim de remover um caminhão acidentado, dois cabos são atados em A e puxados por dois guinchos —B e C. Sabendo que a tração no cabo AB é de 10 kN, determine as componentes da força exerci-da pelo cabo AB no caminhão. Resposta: FABx = 4,85 kN, FABy = -6,30 kN, FABz = 6,06 kN

Exercício 13: Com referência ao problema anterior, sabendo que a tração no cabo AC é de 7,5 kN, determi-ne as componentes da força exercida pelo cabo AC no caminhão. Determine também a resultante de todas

as forças que atuam no caminhão. Resposta: FACx = -3,94 kN, FACy = -4,10 kN, FACz = 4,89 kN e R = 15,13 kN,

= 86,5° , = 133,4° , = 43,6°

Exercício 14: Determine a força necessária que atua ao longo do eixo de cada uma das três escoras para

suportar o bloco de 500 kg. Resposta: FAB = 19,2 kN, FAC = 10,4 kN, FAD = 6,32 kN

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Exercício 15: Uma força de 800 N é aplicada como ilustrado. Determine o momento da força em relação a

B. Resposta: MB = {-203 k} N.m

Exercício 16: Uma força de 150 N é aplicada à alavanca de controle AB, como ilustrado. O comprimento da alavanca é igual a 0,20 m e α = 30°. Determine o momento da força em relação a B decompondo a for-ça: (a) em componentes horizontal e vertical e (b) em uma componente ao longo de AB e em outra com-ponente perpendicular a AB. Resposta: (a) MB = {-17,2 k} N.m (b) MB = 17,2 N.m (sentido horário)

Exercício 17: Uma força de 150 N é aplicada à alavanca de controle AB, como ilustrado no exercício ante-

rior. Sabendo que o comprimento da alavanca é igual a 0,20 m e que o momento da força em relação a B

é de 22,5 N.m, determine o valor de α. Resposta: α. = 16,4º

Exercício 18: Sabe-se que a biela AB aplica no virabrequim uma força de 1,5 kN dirigida para baixo e para

a esquerda, ao longo do eixo de simetria de AB. Determine o momento da força em relação a C para os

dois casos das figuras. Resposta: (a) MC = 42 N.m (sentido anti-horário) (b) MC = 18,5 N.m (sentido anti-

horário)

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Exercício 19: Uma força de 200 N é aplicada ao suporte ABC, como ilustrado. Determine o momento da

força em relação a A. Resposta: MA = {7,5 i –6,0 j -10,4 k} N.m MA = 14,2 N.m

Exercício 20: O mastro AB, de 4,57 m, tem uma extremidade fixa A. Um cabo de aço é esticado da ponta livre B até o ponto C de uma parede vertical. Se a tração no cabo é de 2535 N, determine o momento em relação a A da força aplicada pelo cabo em B. Resposta: MA = {6,12 j +3,66 k} N.m

Exercício 21: Três cabos são utilizados para sustentar um recipiente, como ilustrado. Determine o ângulo

formado pelos cabos AB e AD. Resposta: = 77,9°

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Exercício 23: Dados os vetores P = {3i - j + 2k}, Q = {4i + 5j - 3k} e S = {-2i + 3j - k}, calcule P • (Q × S), (P × Q) • S e (S × Q) • P. Resposta: (a) 46 (b) 46 (c) -46

Exercício 24: Sabendo que a força de tração no cabo AB é de 570 N, determine o momento em relação a

cada um dos eixos coordenados, da força aplicada no ponto B da placa. Resposta: Mx = {0} N.m, My = {-16,2

j} N.m, Mz = {270 k} N.m

Exercício 25: Para o problema anterior, sabendo que a força de tração no cabo AC é de 1065 N, determi-ne o momento em relação a cada um dos eixos coordenados, da força aplicada no ponto C da placa. Res-posta: Mx = {-576 i} N.m, My = {-243 j} N.m, Mz = {405 k} N.m

Exercício 22: Com relação ao problema anterior, determine o ângulo formado pelos cabos AC e AD. Res-

posta: = 65,2º

Exercício 26: Uma força única P atua no ponto C em uma direção perpendicular ao cabo BC da manivela

da figura. Sabendo que Mx = 20 N.m, My = 8,75 N.m e Mz = -30 N.m, determine o módulo de P e os valores

de φ e θ. Resposta: P = 125 N, = 73,7° e = 20,6°

Exercício 27: Quatro pinos de 25 mm de diâmetro são presos a uma tábua. Dois barbantes apoiados nos

pinos são tracionados como ilustrado. (a) Determine o binário resultante na tábua, (b) Se apenas um bar-

bante é usado, em quais pinos deverá ser apoiado e em que direções deverá ser tracionado a fim de que se

produza o mesmo binário com uma força de tração mínima? (c) Qual o valor dessa força de tração mínima?

Resposta: (a) M = -43,2 N.m (sentido anti-horário) (b) Nos pinos B e C (c) F = 212,8 N

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Exercício 28: Na mesma situação do problema anterior, determine o diâmetro dos pinos sabendo que o

momento binário aplicado à tábua é de 54,8 N.m, anti-horário. Resposta: d = 32 mm

Exercício 29: Uma empilhadeira de 2500 kg é utilizada para levantar uma caixa de 1200 kg. Determine a reação em cada uma das rodas: (a) dianteiras A e (b) traseiras B. Resposta: (a) 12,59 kN/roda (b) 5,56 kN/roda

Exercício 30: Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido. Sabendo que

o peso total do carrinho e do cilindro é de 900 N, determine (a) a força vertical P que deve ser aplicada ao

braço do carrinho para manter o sistema na posição ilustrada e (b) a reação correspondente em cada uma

das duas rodas. Resposta: (a) P = 117 N (b) R = 392 N/roda

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Exercício 31: Uma carga de madeira de peso P = 20 kN está sendo erguida por um guindaste. O peso da

lança ABC e o peso combinado do veículo e do motorista estão indicados na figura. Determine a reação

em cada uma das duas rodas: (a) dianteiras H e (b) traseiras K. Resposta: (a) 27,46 kN (b) 6,04 kN/roda

Exercício 32: Ainda para o problema anterior, uma carga de madeira de peso P = 20 kN está sendo erguida

por um guindaste. Sabendo que a tração é de 20 kN em todas as partes do cabo AEF e que o peso da lança

ABC é de 2 kN, determine: (a) a tração na haste CD e (b) a reação no pino B. Resposta: (a) TCD = 64,6 N (b)

RB = 106,6 N

Exercício 33: Determine a maior carga que pode ser erguida pelo guindaste sem que ele tombe, sabendo

que a maior força que pode ser exercida pelo cilindro hidráulico D é de 96 kN e que a maior tração permiti-

da no cabo AEF é 40 kN. Resposta: Pmáx = 30 kN

Exercício 34: Uma treliça pode ser apoiada das duas maneiras ilustradas. Determine as reações nos apoios, em cada caso. Resposta: (a) VA = 1,5 kN (para cima), HA = 4,0 kN (para a esquerda) e VB = 4,5 kN (para cima) e (b) VA = 1,5 kN (para cima), VB = 4,5 kN (para cima) e HB = 4,0 kN (para a esquerda)

Exercício 35: Determine as reações em A e B quando: (a) α = 0, (b) α = 90° e (c) α = 30°. Resposta: (a) VA = 125 kN (para cima), HA = 0 e VB = 125 kN (para cima), (b) VA = 250 kN (para cima), HB = 187,5 kN (para direi-ta) e HA = 187,5 kN (para esquerda) e (c) VA = 159,8 kN (para cima), VB = 90,2 kN (para cima) e HA = 52,1 kN (para esquerda)

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Exercício 37: Quando se segura uma pedra de 5 lb em equilíbrio, o úmero H, considerado liso, exerce uma força normal FC e FA no rádio C e no cúbito A, como mostra a figura. Determine essas forças e a força FG que o bíceps B exerce sobre o rádio para manter o equilíbrio. A pedra tem centro de massa em G. Despreze o peso do braço. Resposta: FC = 9,4 lb, FA = 30 lb e FB = 36,2 lb

Exercício 36: Um poste de 5,4 m que pesa 1600 N sustenta as extremidades de dois fios. Os fios formam com a horizontal os ângulos ilustrados e estão submetidos a forças de tração T1 = 600 N e T2 = 325 N. Deter-mine as reações em A. Resposta: MA = 1288 N.m (sentido horário), HA = 238,5 N (para direita) e VA = 1832 N (para cima)

Exercício 38: Para a treliça abaixo determine as reações no apoio C e a força de tração no cabo AB. Respos-

ta: TAB = 5,89 kN, Cx = 5,11 kN e Cy = 4,05 kN

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Exercício 39: A caçamba do caminhão está equilibrada por um pino em A (apoio fixo) e por um cilindro hi-

dráulico no ponto B. Sabendo que a massa da caçamba é de 20 t e o seu Centro de Gravidade está localiza-

do em G, determine a força que o cilindro hidráulico deve aplicar no ponto B para que a caçamba perma-

neça em equilíbrio estático. Resposta: F = 147,2 kN

Exercício 40: O homem está puxando uma carga de 8 lb com um dos braços e segurando como mostra a

figura. Determine a força FH exercida no osso úmero H e a força desenvolvida no músculo bíceps B. Despre-

ze o peso do braço. Resposta: TB = 67,4 lb e FH = 59,4 lb

Exercício 41: a) Determine as reações nos apoios A,B e C. Resposta: A = 53,6 kN, B = 73,6 kN e C = 63,2 kN

b) Determine as forças nas barras BD e BE. Resposta: FBD = 14,8 kN e FBE = 56 kN

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Exercício 42: Determine a força no cabo e os componentes horizontal e vertical da reação do apoio em A. A

polia em D é sem atrito e o cilindro pesa 80 N. Resposta: T = 74,6 N, Ax = 33,4 N e Ay = 61,3 N.

Exercício 43: A força horizontal de 30 N é aplicada ao cabo da chave. Determine o momento dessa força

em relação ao ponto O. Especifique os ângulos diretores coordenados α, β e γ do eixo do momento. Res-

posta: MO = {1,06 i + 1,06 j - 4,03 k} N.m e α = 75,7°, β = 75,7° e γ = 159,6°.

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Exercício 1: A lança AB é mantida em equilíbrio por uma junta esférica A e um sistema de polias e

cordas, como mostrado na figura. Determine as reações em A e a tensão no cabo DEC quando F =

{-1500 k} lb. Resposta: FA = {1500 j + 750 k} lb e T = 919 lb

Exercício 3: Determine as reações na base do poste A, sabendo que a força aplicada no ponto B

vale F = {10 i + 7,5 j + 15 k} kN. Resposta: FA = {-10 i -7,5 j -15 k} lb e MA = {30 i -25 j -7,5 k} kN.m

Exercício 4: Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão

sob tração ou compressão. Considere cada nó como articulado. Considere P = 4 kN. Resolva pelo

Método dos Nós. Resposta: FAB = 8 kN, FAE = -8,94 kN, FBE = -8 kN, FBC = 8 kN, FCE = 8,94 kN e FCD = 8

kN e FDE = -17,89 kN

Exercício 2: As asas de um avião a jato estão sujeitas cada uma a um arranque de T = 8 kN de sua turbina e

à força de elevação resultante L = 45 kN. Se a massa de uma asa é de 2000 kg e seu centro e seu centro de

massa está em G, determine as componentes de reação no ponto A, local onde a asa é fixada na fusela-

gem. Considere que a asa está engastada na fuselagem do avião. Resposta: Ax = 8 kN, Ay = 0 e Az= 24,4 kN;

MA = {-572 i + 20j +64k} kN.m

Parte 2

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Exercício 6: A treliça é submetida à carga mostrada na figura. Determine as forças nos elementos

AB, BF e EF e indique se eles são sob tração ou compressão. Considere todos os nós articulados.

Resolve pelo Método das Seções. Resposta: FAB = P, FBF = -1,41P e FEF = -P

Exercício 7: Trace os diagramas de forças de cisalhamento e de momentos fletores para a viga.

Indique em que ponto da viga o valor do cisalhamento é nulo e indique o valor do momento para

esse ponto. Resposta: x = 3L/8 partindo do lado direito e M = 9wL²/128

Exercício 5: Determine a força nos elementos CD, CJ, KJ e DJ da treliça, que é utilizada como

apoio do piso de uma ponte. Indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Res-

posta: FCD = -9375 lb, FCJ = -3125 lb, FKJ = 11250 lb e FDJ = 0

Exercício 8: Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento em uma seção que

passa pelo ponto C. Suponha que o apoio em A possa ser considerado como um pino e B, como

um rolete. Resposta: VC = 0,5 kip e MC = 3,6 kip.pés

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Exercício 12: Determine a localização do Centróide da área da seção transversal do elemento es-

trutural construído de dois perfis de mesmas dimensões, soldados entre si como mostra a figura.

Considere que todas as quinas são quadradas. Despreza as dimensões das soldas. Resposta: x =

4,74 pol e y = 2,99 pol

Exercício 9: O eixo mostrado é sustentado por um material axial em A e um mancal radial em B.

Sendo L = 10 pés, o eixo falhará quando o máximo momento fletor MMÁX = 5000 lb.pés. Determi-

ne o maior carregamento uniforme distribuído w que a barra será capaz de sustentar. Resposta:

w = 400 lb/pés

Exercício 10: Localize o Centróide da área sombreada. Resposta: x = 5a/8 e y = 2ka/5

Exercício 11: Localize o Centróide da área sombreada. Resposta: x = 6 m e y = 2,8 m

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Exercício 13: Determine a força em cada elemento da treliça em termos da carga P e indique se esses ele-

mentos estão sob tração ou compressão. Resposta: VA = 4P/3, HE = P,VE = -4P/3, FAB = -2,4P, FAF = 2P, FED =

-0,37P, FEF = 1,86P, FDF = 0,34P e FDB = -0,37P

Exercício 14: Localize o centróide “y” da área sombreada. Resposta: = 1,33 pol

Exercício 15: Localize o centróide “y” da seção transversal da viga de concreto. Resposta: = 290,78

mm

Exercício 16: Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo x. Resposta: Ix =

10,7 pol4

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Exercício 17: Determine o momento de inércia em relação ao eixo x e y das figuras abaixo.

Resposta: Ix = 614000 mm4 e Iy = 1894 mm4 Resposta: Ix = 65 in4 e Iy = 6,43 in4

Exercício 18: Trace os diagramas de esforços internos para as vigas a seguir.

Refere ncias PET Civil

Este material didático foi prepar-

ado pelo Grupo PET — Civil com

o intuit de auxiliar no aprendiza-

do dos alunos que cursam a

disciplina Mecânica Geral 1, da

UTFPR—CM.

Os alunos são fortemente en-

corajados a estudar não só pelo

caderno e lista de exercícios

propostos, mas também pelos

livros conceituados de mecânica.

Petiano: Giovane Avancini

COECI - Coordenaça o de

Engenharia Civil - UTFPR-CM

UTFPR - Campus Campo

Moura o

BR 369 - km 0,5 87301-006

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Telefone Geral +55 (44) 3518-

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Ramal: 1523.

Prof. Dr. Jorge Luí s Nunes de Go es

jgoes@utfpr.edu.br

- BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON JR., E. Russell. Mecânica vetorial para engenhei-

ros. 5. ed. São Paulo: Makron, c1994. 2 v. ISBN 85-346-0202-6 (v.1)

- HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Prentice Hall,

2005. 540 p. ISBN 85-87918-97-4

- SHAMES, Irving Herman. Estática: mecânica para engenharia. 4. ed. São Paulo, SP:

Prentice Hall, 2002. 2 v.