EXERCCIOS - ESTATSTICA PARA ENGENHARIA QUIMICA 1. PARTE Prof. Jos Fausto de Morais, PhDs. FAMAT/UFU - 1. 2010 Sala 1F 151 Campus Santa Mnica. Lista 1 = Conceitos Bsicos, Distribuies de Freqncia, Medidas de Posio e Disperso. Modulo1 - CONCEITOS BSICOS RESOLVIDOS: 1.1. De um exemplo de um conceito e de uma definioRESP. Uma pessoa pode entender que varivel tudo aquilo que varia, este o conceito que ela tem de varivel, mas na teoria das probabilidades varivel entendida como toda funo que associa a cada ponto do especo amostral um nmero real, est a definio de varivel na teoria das probabilidades.

1.2. Qual a definio de Estatstica e de Engenharia Qumica adotada no curso?RESP. Estatstica a parte da matemtica aplicada que se preocupa com a coleta e a organizao de dados ligados a populaes, produzindo e demonstrando resultados que auxiliam o processo decisrio. Engenharia Qumica um ramo da engenharia que combina conhecimentos de qumica, biologia, fsica e matemtica para projetar, construir e operar plantas qumicas de matrias-primas em produtos finais atravs de processos qumicos, biolgicos ou fsicos, aplicando seus conhecimentos em reas como biotecnologia, energia, ambiente, alimentao, microeletrnica, indstria farmacutica, administrao, marketing, pesquisa etc.

1.3. Qual a definio de Varivel e de Constructo adotada no curso?RESP. Varivel: qualquer caracterstica mensurvel ou descritvel do objeto alvo de investigao. Constructo: uma varivel que no pode ser diretamente observada cuja mensurao requer a avaliao de variveis de apio, os ditos indicadores do constructo.

1.4. D exemplos de variveis e constructos ligados ao objeto: Aluno da UFU.RESP. So variveis: Idade, Massa Corporal, Presso Arterial, Temperatura, Nmero de Filhos e Sexo do aluno, etc. So constructos: Qualidade de Vida, Auto-estima, Depresso, Estado Geral de Sade e Inteligncia.

1.5. Fale sobre dados qualitativos e quantitativos informando os grficos recomendados a cada um desses tipos de variveis.RESP.

Dados qualitativos so atributos que caem em duas categorias: dados qualitativos no ordenados, tais como Sexo e dados qualitativos ordenados, tais como Faixa Salarial. Dados quantitativos so dados numricos e caem em duas categorias: dados quantitativos discretos, tais como o Nmero de Falhas no Cristal; e dados quantitativos contnuos, tais como Tempo de Reao. Dados qualitativos so comumente descritos usando grfico de barras ou grfico de setores, enquanto que dados quantitativos podem ser representados usando histogramas ou o box-plot.

1.6. D exemplos de varivel cujo nvel de mensurao no mximo nominal, no mximo ordinal e no mximo racional.RESP. Mximo nominal: Sexo, Grupo tnico (Calcasiano, Afro-descendente, Outro), Situao Frente ao Trabalho (trabalha/no trabalha), Estado Civil (solteiro, casado, separado, vivo, amasiado), Religio, etc. Mximo ordinal: Faixa Etria, Faixa Salarial, Classe Social (A, B, ...), Escolaridade (1., 2. 3, PG); Turno (matutino, vespertino, noturno), Nvel Salarial (I, II, III, IV), etc. Mximo Racional: Idade, Massa Corporal (kg), No. de Filhos, Concentrao de Sdio (g/dL), etc.

1.7. Monte um Problema de Pesquisa (PP) com sua Hiptese Geral (HG) e o seu Objetivo Geral (OG). No PP identifique a Varivel Independente (VI) e a Varivel Dependente (VD).RESP. PP: a Qualidade de Vida de funcionrios seniors influenciada pela Idade de sua chefia imediata? A VI Qualidade de Vida e a VD a Idade. HG: Quanto mais jovem a chefia imediata pior tende a ser a qualidade de vida do funcionrio senior. OG: Verificar se a qualidade de vida de funcionrios seniors influenciada pela idade da chefia imediata.

1.8. Explique o que uma varivel interveniente?RESP. toda varivel que, no tempo, pode afetar a estrutura do problema de pesquisa. So variveis intervenientes tpicas de pesquisas envolvendo pessoas: o Sexo, a Idade e a Etnia do indivduo. A varivel interveniente tambm denominada varivel de confuso (ou confundidora).

1.9. Monte um Problema de Juzo de Valor (PJ) e um Problema de Engenharia (PE)RESP. PJ: Mulheres devem realizar tarefas tipicamente masculinas? PE: Como melhorar a produtividade de um funcionrio pblico?

1.10. Considerando o roteiro para elaborao de artigo apresentado em sala de aula, quais elementos devem integrar o resumo, introduo, mtodos e concluses?RESP. Resumo: o objetivo geral, tipo de pesquisa, breve descrio da amostra, principais resultados e concluses; Introduo: falar sobre o objeto e as variveis envolvidas oferecendo definies e dados epidemiolgicos sempre que for possvel. Apresentar o problema e os objetivos do estudo. Mtodos: mencionar o tipo de estudo, falar como os dados foram coletados, quais variveis foram utilizadas, como o tamanho da amostra foi calculado e quais mtodos estatsticos foram utilizados. Concluso: relembrar qual foi o objetivo do estudo, exibir os principais resultados, mencionar as limitaes do estudo e fazer recomendaes para futuros estudos.

PROPOSTOS (1.11) - Para cada um dos objetos a seguir informe uma varivel (V), um constructo (C) e uma hiptese geral (H) consistente. Objetos: CRISTAL, BEQUER, POLMERO, EXECUTIVO, FUNCIONRIO, EMPRESA, CURATIVO, CARREGAMENTO DE LIXO, CONSUMIDOR, COMPUTADOR E SOFTWARE DE PROCESSAMENTO DE DADOS (1.12) - Para o objeto Polmero informe uma varivel cujo nvel de mensurao no mnimo nominal, no mnimo ordinal e uma de nvel mnimo escalar. (1.13) Repetir o exerccio (02) considerando o nvel mximo.(1.14) Considere o objeto: CPU. (a). Identifique para este objeto uma varivel cujo nvel de mensurao mximo nominal, uma com nvel mximo ordinal e uma com nvel mximo racional. (b). Usando a notao russa dicotomize a varivel nominal identificada no quesito a (c). Indentifique dois constructos associados ao objeto e construa um problema de pesquisa e a hiptese geral relacionada com tais constructos.

(1.15)- Considerando a notao sigma () e a notao PI() preencha os campos vazios X , x = 4 X , x = 4 e na tabela a seguir e calcule o valor das medidas y = G H 1 4 XFUNC. A B C D X=IDADE 20 25 30 35 = Y=RENDA 1000 1500 2000 2100 = X2 Y2 XY 1/X Ln(X)

=

=

=

=

=

(1.16) Classifique os problemas a seguir em Problema de Pesquisa (PP), Problema de Engenharia (PE) e Problema de Juzo (PJ) ( ). A fora do voluntariado nas ONGs est relacionada com o volume de recursos captados por elas? ( ). Como tornar o servio de suporte oferecido pela UFU mais eficiente? ( ). O volume de investimento em RH um fator determinante para o desempenho das empresas? ( ). A forma como os programas de participao nos lucros nas empresas brasileiras so implantados afeta a percepo de performance dos gestores das referidas empresas? ( ). A prtica do voluntariado influencia o tempo de recuperao de pessoas recm abandonadas por seus cnjuges? ( ). A ateno para com as prticas alternativas de cuidado a sade influenciada pelo grau de severidade da doena em individuos portadores de neoplasia maligna? ( ). O casamento entre irmos aceitvel? ( ). Como tornar uma vlvula cardaca mais eficiente? (1.17) Com base no que se sabe sobre cada uma dos assuntos (pesquise um pouco na internet), monte questes clinicas envolvendo: (a) Funcionrios hipertensos e o consumo de bebidas alcoolicas na empresa

(b) Funcionrios deprimidos e o uso da musicoterapia; (c) Funcionrios bipolares e o uso de reforo positivo; (d) Individuos com diagnstico de burnout e a autonomia profissional. (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) Modulo2 TABELAS E GRFICOS RESOLVIDOS 2.1. Identifique na tabela de dupla entrada dada a seguir o nmero e os tipos de sries envolvidas Tabela 4 .1 PEA por setor de atividade Brasil 1940-50Setor Primrio Secundrio Tercirio 1940 8968 1414 3620 Pop (1000 hab) 1950 10255 2347 4516

Fonte: IBGERESP. Cada linha da tabela identifica uma srie que varia de acordo com o tempo, isto , identifica uma srie temporal; cada coluna da tabela identifica uma srie que varia de acordo com o setor (uma especificidade), isto , identifica uma srie especfica, assim, a tabela conjuga 5 sries estatsticas: 3 sries temporais e 2 sries especficas.

2.2. Diante de uma srie temporal que tipo de grfico recomendado?RESP. Grfico de barras ou grfico de linhas.

2.3. De acordo com a ABNT que tipo de ilustraes podemos usar e quais so suas principais caractersticas:RESP. Podemos usar Quadros, Tabelas e Figuras. Um quadro conjunta atributos com atributos, no apresenta suas laterais fechadas e trs o ttulo no cabealho. Uma tabela difere do quadro somente por conjugar nmeros e atributos. Figura o nome dado aos grficos, fotos, desenhos, etc. o ttulo deve vir abaixo da figura.

2.4. Quais so as trs principais partes de uma tabela e o que elas devem conter?RESP. Uma tabela deve conter cabealho (onde devemos informar o que, onde e quando foi feito o estudo), o corpo (onde devemos agrupar dos dados de acordo com um critrio temporal, geogrfico ou de outra natureza) e rodap (onde deve conter a fonte e outras informaes relevantes).

2.5. Vieira & Wada (Estatstica, introduo ilustrada, Harbra, 1988) recomenda que selecionemos os grficos de acordo com o tipo de varivel. Qual a recomendao do autor?RESP. Se a varivel for qualitativa use grfico de barras ou de setores, se ela for quantitativa use histograma ou polgono de freqncias.

PROPOSTOS(2.6) - Aponte as falhas identificadas nas Tabelas e Figuras a seguir

(a) Taxa de mortalidade infantil no BrasilPerodo 1935 1945 1955 1965 1975 1980 1991 2000 Taxa 158.30 144.70 118.10 131.20 113.90 69.10 45.22 30.10Taxa de mortalidade infantil no Brasil Perodo

2000; 13%

1935; 12%

1991; 13%

1945; 12%

1980; 13%

1955; 12%

1975; 13%

1965; 12%

(b)N de estabelecimentos de sade em 2005 no Brasil por regio Regio No. Estabelecimentos Norte 158,3 Nordeste Sudeste Sul Centro Oeste TOTAL Fonte: IBGE 144,7 118,1 131,2 113,9 69,1

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Norte Nordeste Sudeste Sul Centro Oeste

(2.7) - Complete as tabelas com as informaes que esto faltando e construa o grfico mais indicado para cada uma das tabelas a seguir (a)Perodo Taxa de mortalidade Infantil 1935 158.30 1945 144.70 1955 118.10 1965 131.20 1975 113.90 1980 69.10 1991 45.22 2000 30.10

(b)N de leitos hospitalares do setor privado brasileiro em 2005 Regio No. Leitos Norte 11496 Nordeste 63365 Sudeste 138025 Sul 59699 Centro Oeste 21659 TOTAL 294244

(c)No. leitos em hospitais brasileiros por regio em 2005 No. Leitos Regio Norte Nordeste Sudeste Sul Publico 15667 52492 53428 14859 Privado 11496 63365 138025 59699

Centro Oeste TOTAL Fonte: IBGE

12520 148966

21659 294244

(2.8) (2.9) (2.10)

Modulo 3 ESTATSTICA DESCRITIVA

RESOLVIDOS 3.1. Complete os campos vazios na tabela a seguir e depois construa um grfico de barras para as freqncias simples e um para as freqncias acumuladas.N.Acid 1 2 3 4 TOTAL F 20 10 15 5 50 f% F F%

SOLUON.Acid 1 2 3 4 TOTAL F 20 10 15 5 50 f%=20.(100)/50 = 40,0 =20 =10(100)/50 = 20,0 30,0 10,0 100,0 =20+10=30 =20+10+15=45 =20+10+15+5=50 -

F=40,0

F%=40,0+20,0 = 60,0 =40,0+20,0+30,0 = 90 =40,0+20,0+30,0+10,0=100,0 -

A Tabela final ir ficar com a forma: N. Acid 1 2 3 4 TOTAL f. 20 10 15 5 50 f.% 40,0 20,0 30,0 10,0 100,0 F 20 30 45 50 F% 40,0 60,0 90,0 100,0 -

A representao grfica da varivel Nmero de Acidentes versus a freqncia absoluta (Figura1) e da varivel Nmero de Acidentes versus a freqncia acumulada (Figura 2) podem ser apreciadas a seguir.f25

%45,0 40,0

f60

%120,0

20

35,0 30,0

50

100,0

40

80,0

15 25,030 60,0

20,0 10 15,0 10,010 20,0 20 40,0

5

5,0 0 0,00 0,0

1

2

3

4

1

2

3

4

N. Acid

N. Acid

Figura 1 Grfico de Bastes (f e f%)

Figura 2 Grfico de Bastes (F e F%)

Nas figuras optamos por construir os eixos de freqncias fora da origem para ilustrar essa possibilidade de apresentao, todavia recomendvel evitar tal procedimento. A adoo do eixo percentual a direita do grfico opcional.

3.2. Construa os nmeros de etiquetas baseados na F e nmeros de etiqueta baseados na F% SOLUON.Acid 1 2 3 4 TOTAL f. 20 10 15 5 50 F 20 30 45 50 NE 1 a 20 21 a 30 31 a 45 46 a 50 f% 40,0 20,0 30,0 10,0 100,0 F% 40,0 60,0 90,0 100,0 NE% 1 a 40 41 a 60 61 a 90 91 a 100 -

O NE informa a posio do primeiro e do ultimo elemento da categoria, enquanto que o NE% informa a posio percentual dos referidos elementos. Para entender a construo e utilizao dos NE%s observe a categoria 0 acidentes. A f% informa que 40% dos entrevistados apresentaram 0 acidentes e tudo se passa como se a categoria recebesse 40 de 100 etiquetas. A F% informa a posio da ultima etiqueta recebida pela categoria, assim, as etiquetas que couberam a categoria foram da 1. a 40. Os nmeros de etiqueta iram auxiliar na identificao de medidas separatrizes.

3.3. Com base na distribuio das idades dada a seguir construir f%, F e F% e em seguida construir o polgono de freqncias simples e a ogiva de Galton.Idade 20 |- 25 25 |- 30 30 |- 35 35 |- 40 TOTAL f. 9 6 8 2 25

SOLUOIdade 20 |- 25 25 |- 30 30 |- 35 35 |- 40 TOTAL f. 9 6 8 2 25 f% 36,0 24,0 32,0 8,0 F 9 15 23 25 F% 36,0 60,0 92,0 100,0 -

100,0

f

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 . 20 |- 25 25 |- 30 30 |- 35 35 |- 40 . Idade

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Figura 1 Histograma da f e Polgono de Freqncias AbsolutasNa Figura1 as barras azuis representam o Histograma da Freqncia Absoluta, a linha passando pelos pontos mdios representa o Polgono de Freqncias. Pode-se demonstrar que a rea limitada pelo polgono e o eixo das abscissas igual a soma das reas dos retngulos que formam o histograma. O Polgono de freqncias, ao ser polido, ir dar origem a Curva de Freqncias relacionada com a varivel.F 30 25 120

100

20

80

15

60

10

40

5

20

0 . 20 |- 25 25 |- 30 30 |- 35 35 |- 40 . Idade

0

Figura 2 Histograma da F e Ogiva de Galton

Na Figura2 as barras azuis representam o Histograma da Freqncia Acumulada, a linha representa a curva denominada Ogiva de Galton.

3.4. A ogiva tem um importante papel na determinao da posio percentual dos valores da varivel. Considerando uma observao x, contida na classe Cx = ( a |- b ) ento o Posto Percentil de x ser dado por

PP( x ) =

( x lx c ) fx% + Fx% c

Onde lx , c, fx% e Fx% so respectivamente o limite inferior, a amplitude, a freqncia relativa (%) e a freqncia relativa acumulada (%) da classe Cx. Em vista do exposto (a). Obter o PP de 32 na distribuio das idadesRESP: 32 pertence ao intervalo 30 |- 35. No intervalo temos lx = 30, c = 5, fx% = 32 e Fx% = 92. Substituindo na frmula teremos:

PP(32) =

Cerca de 72,8% dos valores observados so inferiores a 32; isto , 32 supera cerca de 72,8% dos valores. (Com um pouco mais de rigor na linguagem podemos dizer que cerca de 73% dos valores observados so inferiores a 82).

(32 30 5 ) 32 + 92 = 19,2 + 92 = 72,8 5

(b). Obter a idade com PP de 50% na distribuio das idadesRESP: Inicialmente devemos identificar a classe que contm a idade com o PP de 50% para tanto vamos considerar os nmeros de etiqueta (NE) gerados pela F% dada a seguir:

Idade 20 |- 25 25 |- 30 30 |- 35 35 |- 40 TOTAL

f% 36,0 24,0 32,0 8,0 50

F% 36,0 60,0 92,0 100,0 -

NE% 1 a 36 37 a 60 61 a 92 93 a 100

Observe que 50% um dos nmeros de etiqueta da classe 25 |-30, ento esta a classe que contm a idade pedida. Na referida classe l=23, c=5, f%=24 e F%=60. Substituindo na frmula teremos

50 =

( x 25 5) 24 + 60 5

50 = ( x 30).4,8 + 60

x = 30

10 = 27,92 4,8

Assim, a idade de 27,92 supera cerca de 50% dos valores. Oportuno observar que, no caso da DFC, o valor da varivel que tem PP=50 denominado MEDIANA, o valor que tem PP=25 denominado 1. QUARTIL, o valor com PP=75 denominado 3. QUARTIL e assim por diante. Tais valores so denominados SEPARATRIZES ou QUANTIS.

3.5. Com base no tempo (semanas) de seguimento at a demisso (tempo de follow-up) de 25 funcionrios problemticos, construa a DFC, o polgono de freqncias e a Ogiva de Galton do tempo de seguimento. Tempo de follow-up de 25 funcionrios problemticos at sua demisso. 58 89 3 75 58 90 8 76 60 90 10 78 62 92 19 80 64 94 28 81 SOLUOPasso1- Os dados devero ser ordenados de forma crescente ou decrescente de modo a gerar o ROL dos dados. A Tabela 7.2 exibe o Rol dos dados dispostos na Tabela 7.1. Tabela 7.2 ROL do tempo de follow up (em dias) dos 25 Funcionrios Problematicos. 3 8 10 19 28 58 58 60 62 64 75 76 78 80 81 89 90 90 92 94 118 121 125 126 127 Passo2 Calcular a Amplitude Total (Range) dada por AT = XMAX XMIN , isto , pela diferena entre o maior e o menor valor observado. No exemplo AT = 127 3 = 124 Passo3 - Estimar o Nmero de Classes (K). No h uma frmula exata para tal estimativa. Para n = tamanho da amostra utilizada, a literatura fala em adotar K = 5 se n < 25 e K n se n > 25 K 1 + 3,22. log(n) ou K (5, 25) Considerando o primeiro critrio temos que K = 5 ou

118 121 125 126 127

Passo4 Calcular a Amplitude de Classe (Ac) dada por Ac = 24,8 ento adotaremos Ac = 25.

AT . No exemplo Ac = 124/5 = K

Passo5 Construa as classes a comear pelo menor valor da srie. Existem vrias formas de indicar os limites de classe. Iremos adotar a notao a |- b que compreende os valores entre a e b excluindo-se o valor b, de fato | indica possvel incluso. A DFC ficar com a forma

Tempo (semanas) 3 |- 28 28 |- 53 53 |- 78 78 |- 103 103 |- 128 TOTALConsiderando as 3 freqncias obtidas de f teremos:

f. 4 1 7 8 5 25

Tempo (semanas) 3 |- 28 28 |- 53 53 |- 78 78 |- 103 103 |- 128 TOTAL

f. 4 1 7 8 5 25

f.% 16,0 4,0 28,0 32,0 20,0 100,0

F 4 5 12 20 25 -

F% 16,0 20,0 48,0 80,0 100,0 -

O Histograma de freqncia absoluta, o polgono de freqncias e a ogiva correspondente a distribuio de consumo dada na Figura 1.9

f8 7 6 5 4 3

35 30

F

30

120

25

100

2520 80

20 15 1015 60

10

40

2 1 0. 3 |- 28 28 |- 53 53 |- 78 78 |- 103 103 |- 128 .

5 0

5

20

0. 3 |- 28 28 |- 53 53 |- 78 78 |- 1 03 1 |- 1 03 28

0 Idade

Idade

Figura 1 Histograma, polgono de freqncias e ogivaObservao: Aps a identificao dos limites de classe, desde que no se tenha observado valores quebrados para a varivel, tambm poderamos exibir a tabela de freqncias na formas:

Tempo (semanas) 3 a 27,9 28 a 52,9 53 a 77,9 78 a 102,9 103 a 127,9 TOTAL PROPOSTOS

f 4 1 7 8 5 25

(3.6). Com base na distribuio de freqncias do tempo de follow-up obtida anteriormente a. Obter o PP correspondente a 100 semanas de seguimento b. Obter o tempo de seguimento com PP igual a 50 (tempo mediano) c. Obter o tempo de seguimento com PP igual a 25 (1. quartil) d. Obter o tempo de seguimento com PP igual a 75 (3. quartil)

(3.7) No ano de 2007 um pesquisador ao estudar as 35 empresas existentes na regio verificou que 20 delas apresentaram de 1 at a vizinhana de 6 ocorrncias ticas, 10 de 6 at a vizinhana de 11 e 5 de 11 at a vizinhana de 16 ocorrncias ticas. a. Construa a tabela de freqncias para o nmero de ocorrncias ticas exibindo as 4 freqncias estudadas e os nmeros de etiqueta, b. Construa o histograma-polgono de freqncias e a ogiva de Galton, c. Identifique o nmero de ocorrncias ticas PP = 50, d. Quanto por cento do montante de ocorrncias ticas so inferiores a 7? (3.8) Considere o tempo (em meses) de uso de um equipamento de 20 funcionrios dado a seguir: 6 2 1 1 5 10 2 20 4 6 7 8 84 36 4 19 1 24 7 2

a. Construa a DFC para o tempo de uso exibindo as 4 freqncias estudadas e os NEs b. Construa o histograma-polgono de freqncias e a ogiva de Galton. c. Com base na tabela DFC obter a mediana ( valor com PP=50), 1. Quartil (valor com PP=25) e 3. Quartil (valor com PP=25). (3.9) Considere o nmero de empregos anteriores ao atual trabalho de 15 funcionrios considerados exemplares dado a seguir: 2 3 1 2 3 9 2 4 0 3 1 4 5 1 7

a. Construa a DFD para o nmero de partos exibindo as 4 freqncias estudadas e os NEs b. Grficos para a freqncia absoluta e para a freqncia absoluta acumulada (Grfico em bastes) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12)

Modulo4 TAXAS, INDICES, COEFICIENTES E MEDIDAS DE POSIO

RESOLVIDOS:

4.1. A razo entre duas grandezas A e B dado pelo quociente de A por B. Indica-se A/B ou A: B. Se o Brasil tem 187.726.000 habitantes e 126.500 enfermeiros, ento qual a razo de habitantes por enfermeiro no Brasil?RESP. a razo de habitantes por enfermeiros de 187.726.000/126.500 = 1484/1, isto , 1484:1 (l-se 1484 por 1). Assim, no Brasil, existem 1484 habitantes para cada enfermeiro. oportuno observar que a ONU recomenda que se tenha no mximo 500 habitantes para cada enfermeiro (500:1).

4.2. A proporo um tipo particular de razo na qual o denominador constitui o nmero de casos e o numerador uma frao deste. A taxa de porcentagem corresponde a uma razo com denominador igual a 100. Dada a grande importncia desse tipo de razo elas so representadas pelo smbolo especial % (l-se por cento) que corresponde ao valor 1/100 ou %o (l-se por mil) que corresponde ao valor 1/1000. Quais so as recomendaes estatsticas para o uso das porcentagens (vide Toledo e Ovalle, 1988). RESPa. b. c. Deve-se sempre indicar o nmero de casos juntamente com as porcentagens ou as propores: opte por usar os dados sugerem que 80 (75,0%) empresas so insolventes... no lugar de os dados sugerem que 75% das empresas so insolventes...; Adote o uso de porcentagens para um mnimo de 50 observaes. Se o nmero de casos for muito pequeno opte pelo nmero efetivo; As porcentagens e propores tm por finalidade principal, em Estatstica, estabelecer comparaes relativas. Para ilustrar considere as tabelas a seguir:

No. de atendimentos Aumento Aumento Absoluto relativo (%) Empresa 2006 2008 A 2.000 3.000 1.000 50,0 B 20.000 25.000 5.000 25,0 Em termos absolutos, o Empresa B teve um aumento no nmero de atendimentos superior ao do Empresa B, todavia em termos relativos o Empresa B teve um desempenho inferior ao do Empresa A. Setor Publico Privado No. Leitos hospitalares (SUS) 1999 2005 89.426 148.661 255.502 222.991 Aumento absoluto 59.235 -32.511 Aumento relativo (%) 66,2 -12,7

Enquanto o setor publico teve um aumento de 66,2% no nmero de leitos Empresaares no perodo de 1999 a 2005, o setor privado teve uma retrao de 12,7% no nmero de leitos no mesmo perodo.

4.3. Dentre as taxas de porcentagem a Variao Percentual (%) merece algumas palavras especficas. A % uma taxa que reflete a evoluo de um dado fenmeno. Considerando o perodo de to a t1 a variao percentual com no instante t1 com base em to dado por v (t ) v(t o ) 100% %(t 0 t1 ) = 1 v (t o ) Onde v(t) o valor da varivel no instante t. Assim, se a populao brasileira em 1990 e 2000 eram respectivamente 146.000.000 e 169.000.000, qual foi a variao populacional de 1990 a 2000?

SOLUO

%(90 00) =

169000000 146000000 100% = 15,7% 146000000

No perodo a populao cresceu de 15,7% .

4.4. D exemplos de ndice, tendo em vista que ele e a razo entre duas grandezas independentes.RESP. Quociente de Inteligncia (razo entre Idade Mental e Idade Cronolgica), Densidade Demogrfica ( razo entre Populao Total e Superfcie Total) e ndice de Massa Corprea (razo entre a massa corporal e o quadrado da altura) . Algumas medidas so designadas ndices mesmo no sendo possvel aplicar a definio acima, este o caso do ndice de Desenvolvimento Humano (engloba trs dimenses: riqueza, educao e esperana de vida de pases) e o ndice de Qualidade de Vida Whoqol (que engloba 4 dimenses: o fisico, o psicolgico, o das relaes sociais e o do meio ambiente).

4.5. D exemplos de Coeficiente, tendo em vista que ele a razo entre duas grandezas onde uma est contida na outra.RESP. Coeficiente de Mortalidade (razo entre o nmero de bitos e a populao), Coeficiente de Natalidade ( razo entre o nmero de crianas nascidas viva e a populao), Coeficiente de Fecundidade (razo entre o nmero de crianas nascidas viva e o nmero de mulheres em idade frtil), Coeficiente de Determinao (razo entre a variao explicada por um modelo e sua variao total). comum referir como coeficiente indicadores que variam de 0 a 1 tais como o Coeficiente de Gini que uma medida de desigualdade entre pases em que 0 corresponde a completa igualdade de renda (todos tem a mesma renda) e 1 a completa desigualdade.

4.6. Quais so as mais citadas medidas de posio, para que nveis de mensurao elas podem ser calculadas e em que situaes cada uma delas recomendada?RESP. As principais medidas so MODA, MEDIANA e MDIA A MODA pode ser calculada para variveis de qualquer nvel de mensurao e ela recomendada no caso da distribuio apresentar mais de uma moda. A MEDIANA s no pode ser calculada para variveis de nvel nominal e recomendada no caso de distribuies unimodais assimtricas. A MEDIA no pode ser calculada para variveis de nvel nominal ou ordinal e recomendada no caso de distribuies unimodais simtricas.

4.7. Como a mediana calculada em dados brutos?RESP. A MEDIANA o valor central quando todas as observaes so ordenadas. Se existe um nmero impar de observaes, ento ela simplesmente o valor do meio (posio = (n+1)/2),; se existe um nmero par de observaes, ento ela a mdia dos dois valores centrais (que esto nas posies n/2 e (n/2)+1. Por exemplo, se temos 15 observaes, a mediana o 8 elemento, por outro lado se temos 20 observaes, a mediana ser a mdia do 10 e do 11 elemento.

4.8. Quem o primeiro quartil (Q1), o segundo quartil (Q2) e o terceiro quartil (Q3) de uma distribuio?RESP. Q1 a observao que supera 25% das observaes Q2 a observao que supera 50% das observaes = Mediana Q3 a observao que supera 75% das observaes

4.9. O Box-Plot um importante grfico descritivo que, dentre outras coisas, permite que se discuta a possvel assimetria da distribuio. Ele baseado em Q1, Q2 e Q3. Com base nas orientaes dadas pelo professor construa o Box-Plot da varivel X dada por X={1,1,2,3,4,6,6,8,10,20} e examine os resultados.SOLUO Inicialmente ordenamos as 10 observaes. A mediana (ou Q2) ser a media entre o 5 e 6 valor, isto , entre 4 e 6, isto , Md = (4+6)/2 = 5. 1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 8, 10, 20

5A mediana ir definir dois novos conjuntos 1, 1, 2, 3, 4 e 6, 6, 8, 10, 20. As mediana desses dois novos conjuntos sero, respectivamente, o Q1 e o Q3 da distribuio. Assim, Q1 = 2 e Q3=8. Assim teremos: 1, 1, 2 , 3, 4, 6, 6, 8 , 10, 20

e desse modo : dq. = Q3 Q1 = 8 2 = 6

2

5

8

Ls = Q3 + 1,5.dq = 8 + 1,5(6) = 17 Li = Q1 1,5.dq = 2 1,5(6) = -7 A escolha de 1,5 na construo dos limites superior e inferior foi motivada pelo fato de a rea entre esses dois limites na distribuio normal ser de 0,993, isto , 99,3% dos valores de uma distribuio normal esto compreendidos entre Li e Ls. O grfico ser:

Q1 = 2 Q2 = 5 Q3 = 8 dq = 6 Li = -7 Ls = 1717

1 -7

Os dados tm uma distribuio sensivelmente assimtrica direita com um ponto superior (acima de Ls = Q3+1,5dq) correspondente a 20. A assimetria detectada no parece ser suficiente para recomendar o uso da mediana e quartis como medida resumo.

4.10. O Boxplot a seguir refere-se a emisso de dixido de carbono per capta para uma amostra com 72 paises. Os dados so de 1995. O que o grfico te mostra?

RESP. Os dados tm uma distribuio assimtrica direita com pontos exterior superiores (acima de Ls = Q3+1,5dq) correspondentes a Austrlia, Estados Unidos, Kuait e Emirados rabes. A assimetria detectada recomenda o uso da mediana e quartis como medida resumo.

5

10

15

20

4.11. Suponha que em uma avaliao quanto ao nvel de ateno no trabalho 5 funcionrios tenham tirado nota 4.0; 20 nota 5.0; 10 nota 6.0; 10 nota 7.0 e 5 nota 8.0. Construa a distribuio de freqncias para a varivel NOTA e calcule a Moda, a Mediana, a Mdia Aritmtica, a Mdia Harmnica e a Mdia Geomtrica dela. SOLUO X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 f. 5 20 10 10 5 50

Moda A moda de X definida como o valor de X com freqncia f mxima. No exemplo, temos que Mo = 5,0 Mediana Temos que construir a tabela de freqncias contendo os NEs. No caso da DFD se o numero de observaes par teremos dois termos centrais C1 e C2 com NEs iguais a 50 e 51% respectivamente (a mediana a mdia de C1 e C2). No caso da DFD ter nmero de observaes impar teremos um termo central cujo PP valer 50%, tal termo ser a mediana. No exemplo:

X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

f. 5 20 10 10 5 50

f.% 10,0 40,0 20,0 20,0 10,0 100,0

F.% 10,0 50,0 70,0 90,0 100,0 -

NE 1 a 10 11 a 50 51 a 70 71 a 90 91 a 100 -

n = 50 PAR assim, teremos dois termos centrais (C1 e C2) com nmeros de etiqueta NE1=50 e NE2= 51 respectivamente. Ao examinarmos a tabela teremos: NE1 = 50 corresponde ao valor 5,0 C1 = 5,0

Md =NE2 =51 corresponde ao valor 6,0 C2 = 6,0

5,0 + 6,0 = 5,5 2

Mdia Aritmtica Ponderada Devemos construir a coluna xf na distribuio e considerar a frmulan

x f + x 2 f 2 + ... + x n f n x= 1 1 = f1 + f 2 + ... + f n

xi =1 n i =1

i

fi =i

f

xf = xf n f

No exemplo teremos:

x 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

f. 5 20 10 10 5 50

xf 20 100 60 70 40 290

Considerando somente os somatrios teremos:

x=

xf f

=

290 = 5,8 50

As freqncias f so referidas na literatura como os pesos das observaes de x e os valores xf so referidos como os momentos das observaes. Media Harmnica Ponderada Media Geomtrica Ponderada (usando as dus frmulas)

4.12. Considere a distribuio a seguir IDADE 20 |- 25 25 |- 30 30 |- 35 35 |- 40 f. 9 6 8 2 25 F 9 15 23 25 Calcule a) a Moda Bruta (MOB) b) a Moda Elaborada de Czuber (MOE) c) a Mediana d) as Mdias Aritmtica, Geomtrica e Harmnica

SOLUOa) Moda Bruta (MOB) definida como o ponto mdio da classe mais freqente (classe modal). No exemplo, a classe modal 20 |- 25 e, dessa forma,

M OB =

20 + 25 = 22,5 2

b) Moda Elaborada (MOE) Para determinarmos a MOE , de acorco do o mtodo de Czuber ( ), graficamente devemos construir o histograma da distribuio, identificar a classe modal (aquela com maior altura) e fazer a construo indicada abaixo.

f

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0. .

MOE

.

.

Aplicando a semelhana de tringulos sobre a configurao acima chegamos a frmula

M OE = l mo + cOnde: lmo o limite inferior da classe modal c a amplitude da classe modal fmo freqncia absoluta da classe modal fa freqncia anterior a da classe modal fp freqncia posterior a da classe modal

f mo f a 2 f mo f a f p

Considerando exemplo, a classe modal 20 |- 25 onde lmo = 20, c = 5, fmo = 9, fa = 0 e fp = 8. Substituindo esses valores na frmula de Czuber teremos:

M OE = 20 + 5

90 = 20 + 3,75 = 23,75 18 0 6

oportuno observar que a MOE de Czuber leva em conta a fmo, fa e fp de tal forma que se fa> fp, ento MOE < MOB e se fa < fp, ento MOE > MOB , isto , a MOE aproxima-se da maior freqncia adjacente a classe modal.

c) Mediana (Md) Para determinarmos a Md graficamente devemos construir a Ogiva de Galton , identificar a posio da mediana (dada por n/2) e fazer a construo indicada abaixo.

F 30

25

20

12,5

15

10

5

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Idade

Onde lmd c Fant n

Md o limite inferior da classe mediana (no exemplo, 25) a amplitude da classe mediana (no exemplo, 5) freqncia absoluta anterior a da classe mediana (no exemplo, 9) numero de respondentes (no exemplo, 25)

Aplicando a semelhana de tringulos iremos obter a seguinte relao para a mediana

M d = lmd + cQue substituindo os valores teremos:

n 2

Fant f md

M d = 25 + 5

25 2

9 = 25 + 2,917 6

d)Mdia Aritmtica Devemos considerar como X o ponto mdio (PM) de cada classe e em seguida aplicar a metodologia anterior no calculo das mdias. IDADE 20|-25 25|-30 30|-35 35|-40 X=PM 22,5 27,5 32,5 37,5 f. 9 6 8 2 25 xf 202,5 165 260 75 702,5

x=

xf f

=

702,5 = 28,1 25

Mdia Harmnica

Mdia Geomtrica

4.13. As remuneraes em uma pequena empresa so:X = {500, 500, 500, 500, 1500, 2000, 3000, 71500}

(a) calcule a Mo, Md e x (b) qual medida poderia ser usada pelo dono da empresa, pelo representante sindical dos funcionrios e por um estudioso na descrio do salrio tpico? Justifique sua resposta.RESP (a) Mo = valor mais freqente = 500 Md =

500 + 1500 = 1.000 2 500 + 500 + 500 + 500 + 1500 + 2000 + 3000 + 71500 80000 = = 10.000 8 8

Mdia =

(b) possivelmente usaria, como salrio tpico, a maior das trs medidas que, no caso DONO especifico deste exerccio a MDIA. Sua escolha pode ser baseada na inteno de passar para boa imagem da clinica para a sociedade. REP SINDICAL possivelmente usaria, como salrio tpico, a medida compartilhada pela maioria dos funcionrios da empresa, isto , a MODA. possivelmente usaria, como salrio tpico, a medida mais recomendada pela ESTUDIOSO teoria estatstica selecionada de acordo com as caractersticas da distribuio da varivel. No exemplo o valor 71500 altamente discrepante dos demais estabelecendo uma acentuada assimetria positiva (poucos com muito) conforme pode ser observado na figura abaixo, assim, ele usaria a MEDIANA.4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 500 1500 2000 3000 71500

PROPOSTOS(4.14). A mdia dos salrios em uma empresa de R$ 1.100,00. Qual deve ser a nova mdia salarial se todos os funcionrios receberem um aumento de 10% e um abono fixo de R$ 50,00 tendo em vista que: se multiplicarmos cada elemento de um conjunto por um valor constante a e somarmos a cada um dos produtos uma quantidade constante b a mdia ser multiplicada por a e somada com b.

(4.15). Em uma pesquisa de marketing trinta cobaias similares foram submetidas a vrias dosagens de um novo detergente at o surgimento de alguma irritao. Os dados a seguir exibem as dosagens geradoras de irritao (DGI) identificadas no estudo.0,5 0,5 1 2 3 18 0,5 1 1 3 3 24 0,5 1 1 2 4 50,5 0,5 1 1 2 10 72 0,5 1 1 2 11 100

(a) Qual a DGI modal? (b) Qual a DGI mediana? (c) Quais so o Q1 e Q3 da distribuio? (d) Qual a DGI mdia e seu desvio padro (use os comandos da mquina de calcular para o calculo dessas medidas)(4.16) Considere o nmero de empregos anteriores (NEA) ao atual emprego de 15 mulheres dado a seguir: 2 2 2 3 5 3 3 4 1 1 1 9 0 4 7

(a) Determine o NEA modal, mediano e mdio baseado nos dados brutos (b) Construa a DFD para o NEA e com base nela estime o NEA modal, mediano e mdio.(4.17). A mdia salarial de funcionrios de nvel superior de uma dada empresa de R$ 1650,00. Se a direo da empresa resolve aumentar todos os salrios em 3% e oferece um abono fixo de R$ 50 reais, qual a nova mdia salarial dos funcionrios de nvel superior da empresa? Se os salrios da empresa referido na questo (3) variam de R$ 1.200,00 a R$ 4.000,00 qual a nova variao salarial aps o reajuste e o abono? (4.18). O tempo de permanncia (TP) no ultimo emprego de 30 funcionrios de uma empresa esto listadas a seguir em ordem crescente. Construa uma DFC e o histograma da varivel TP. Com base nos dados brutos construa o Box-plot da TP. Quais medidas resumo o histogrma e o box-plot recomendam na descrio do TP dos funcionrios? Justifique sua resposta.

5,4 anos 7,7 8,8 9,4 10,1(4.15) (4.16) (4.17)

6,4 8,1 8,9 9,4 10,3

6,4 8,2 9,1 9,4 10,3

7,0 8,3 9,3 9,5 10,4

7,1 8,3 9,3 9,7 10,5

7,3 8,6 9,4 9,9 10,6

Modulo 5 - MEDIDAS DE DISPERSO

RESOLVIDOS 5.1. Seja X = {5, 10, 10, 10, 15} o conjunto das remuneraes pagas (expressas em milhares de reais) em uma pequena empresa. Calcule a mdia, a amplitude total, o desvio mdio, a varincia e o desvio padro de X. Comente cada uma das medidas de disperso calculadas.SOLUO

X =

5 + 10 + 10 + 10 + 15 = 10 5

a mdia de 10 mil reais

Amplitude Total AT(X) = 15 5 = 5 mil reais Comentrio: A amplitude total s levar em conta os valores extremos da srie. Ela sensvel ao tamanho da amostra. Ela apresentar grande variao de uma amostra para outra. Desvio Mdio

DM ( X ) =

| 5 10 | + | 10 10 | + | 10 10 | + | 10 10 | + | 15 10 | 5 + 0 + 0 + 0 + 5 = = 2.mil .reais 5 5

Comentrios: O desvio mdio mais vantajoso do que a amplitude total, principalmente pelo fato de seu calculo levar em conta todos os valores da distribuio; Quando se considera o desvio mdio baseado nos desvios em torno da mediana, tal desvio menor do que qualquer outro desvio mdio calculado com base em qualquer outra medida de tendncia central;

Apesar de o desvio mdio expressar aceitavelmente a disperso de uma amostra no frequentemente empregado devido a presena do mdulo em sua frmula.

VarinciaV (X ) = (5 10)2 + (10 10) 2 + (10 10) 2 + (10 10)2 + (15 10)2 52 + 02 + 0 2 + 0 2 + 52 50 = = = 10.(mil.reais) 2 5 5 5

Comentrio: Alm de inflar o valor da disperso uma das principais limitaes da V que sua unidade de mensurao diferente da unidade da varivel, por exemplo, se a varivel X expressa em reais V(X) ser expressa em (reais)2. Desvio Padro

DP( X ) = V ( X ) = 10 = 3,16.mil .reais5.2. O que informa uma medida de variabilidade?RESP. Uma medida de variabilidade nos mostra a disperso dos dados em torno da medida de locao, isto , a estenso do quanto os dados individuais desviam-se da medida de locao. As principais medidas de locao so a MODA, MEDIANA e MDIA, dessas a mais usada , sem duvida a MDIA (o que devido a suas propriedades matemticas).

5.2. O Coeficiente de Variao uma medida da disperso relativa em torno da mdia. Ele corresponde a razo entre o desvio padro e a mdia e pode ser usado para medir a representatividade da mdia de um conjunto, isto , o quo bem a mdia representa os valores do conjunto. Para o conjunto de observaes dado no exerccio 5.2 calcule o CV e verifique se a mdia representativa para um ponto de corte de 0,50.SOLUO CV = 3,16/10 = 0,316. Observe que o CV informa quantas vezes o DP corresponde a mdia. Em termos percentuais temos que o DP no exemplo corresponde a 31,6% do valor da mdia. O ponto de corte nos oferece um limiar de deciso, assim, sempre que o CV superar o ponto de corte a mdia NO representativa. No exemplo o CV = 0,316 < 0,50, ento a mdia representativa dos dados para o ponto de corte de 0,50. Outros pontos de corte podem ser considerados (10%, 5%, 2%, etc).

Comentrio: 1. 2. 3. No processamento de imagens, o recproco do CV, dado por / , referido com razo sinal-rudo; Quando a mdia prxima de zero o CV sensvel a pequenas mudanas no valor da mdia; Ao contrrio do DP, o CV no pode ser usado para construir intervalos de confiana para a mdia;

4.

O CV deve ser calcula do somente para dados mdidos no nvel racional. Ele no tem qualquer significado para dados de nvel intervalar.

5.3. Em uma empresa a massa corporal (M) mdia dos funcionrios de 85 kg com desvio padro de 8,5 kg enquanto que a renda familiar (R) mdia de R$ 2000,00 com desvio padro de R$ 600,00. Qual medida mais representativa a massa mdia ou a renda mdia? A massa mdia representativa para um ponto de corte de 5%?SOLUO Visto que CVM = 8,5 / 85 = 0,10 e CVR = 600 / 2000 = 0,30 podemos dizer que a massa mdia mais representativa do que a renda familiar mdia dos funcionrios (CVM < CVR). Visto que CVM > 0,05, podemos dizer que para o ponto de corte de 0,05 a massa mdia corporal no representativa.

5.4. Um aluno tirou nota 9,0 em uma prova A e 7,0 em uma prova B. A prova A apresentou uma mdia de 7,5 com desvio padro de 5,0 enquanto que a prova B apresentou uma mdia de 6,0 com desvio padro de 2,0. Em qual das provas o aluno melhor se posicionou em relao a turma?SOLUO Para saber em qual prova o aluno foi mais bem classificado devemos calcular a nota padro do aluno em cada uma das provas. Visto que ZA = (9,0 7,5) / 5 = 0,3 e ZB = (7,0 6,0)/2 = 0,5 o aluno melhor se posicionou na prova B do que na A.

5.5. Com base na distribuio da varivel X dada a seguir determine , s e o CV da varivel. X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 f. 5 20 10 10 5 50

SOLUO Devemos considerar a tabela: X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 f. 5 20 10 10 5 50 Xf 20 100 60 70 40 290

X2 f 80 500 360 490 320 1750

X =

Xf f

=

290 = 5,8 50

XQ

X f = f

2

=

1750 = 35 50

= X Q X 2 = 35 (5,8)2 = 1,1661..n (XQ X 2 ) = n 11,166 = 0 ,201 5 ,8

s=

50 (35 (5,8) 2 ) = 1,178... 49Para um ponto de corte de 0,5 pode-se dizer que a mdia

CV =

representativa, pois CV =0,201 < 0,5

5.6. Com base na distribuio da varivel IDADE dada a seguir calcule , s e o CV IDADE 20|-25 25|-30 30|-35 35|-40 f. 9 6 8 225

SOLUO Quando os dados esto agrupados por classe usamos o ponto mdio de cada classe para representar cada classe e aplicamos o raciocnio anterior. Devemos, ento, construir a tabela: IDADE 20|-25 25|-30 30|-35 35|-40 X=PM 22,5 27,5 32,5 37,5 f. 9 6 8 2 25 Xf 202,5 165 260 75 702,5 X2 f 4556,25 4537,5 8450 2812,5 20356,25

X =

Xf f

=2

702,5 = 28,1 25 = 20356,25 = 814, 25 25

XQ =

X f f

= X Q X 2 = 814,25 (28,1)2 = 4,963n (XQ X 2 ) = n 1 25 (814,25 (28,1)2 ) = 5,065 24

s=

CV =

4 ,963 = 0 ,1766 .Para um ponto de corte de 0,5 pode-se dizer que a mdia 28 ,1

representativa, pois CV =0,1766 < 0,5

5.7. Muitos peridicos cientficos adotam a notao MEDIA DP para resumir uma varivel contnua unimodal com distribuio simtrica, a notao MEDIANA(Q1-Q3) para resumir uma varivel contnua unimodal com distribuio no simtrica ou uma varivel ordinal ou uma varivel de contagem, e a notao n(%) para resumir a variveis nominais. Em vista do exposto interprete os valores da tabela a seguirVarivel SEXO n(%) Masculino Feminino IDADE Escore de Dor (1 a 10) Medida

20 (40,0) 30 (60,0) 25,5 15,2 4 (2 7)

SOLUO Se os dados estiverem obedecendo s recomendaes, ento a IDADE uma distribuio unimodal aproximadamente simtrica com mdia de 25,5 anos e desvio padro de 15,2 anos. Quanto dor, podemos dizer que cerca de 50% dos nveis de dor observados so inferiores a 4, 25% so inferiores a 2 e 75% so inferiores a 7.

PROPOSTOS(5.8) Os dados a seguir correspondem ao tempo de operao (em meses) at a primeira falha de 23 dispositivos protticos e a QI dos 15 funcionrios que confeccionaram os dispositivos. Nas questes que seguem N corresponde aos numero formado pelos dois ltimos dgitos de sua matrcula. (neste exerccio considere N=0)Tempo de Operao QI dos funcionrios

3,0 3,0 1,0 3,0 0,5

0,5 1,0 72,0 1,0 2,0

1,0 2,0 1,0 2,0 18,0

0,5 0,5 0,5 N+100 24,0

4,0 0,5 50,5

110 121 117 119 130

115 100 101 100 100

120 90 95 115 98

(a) Se X = QI + N, calcule, com base nos dados brutos, a mdia, o coeficiente de variao amostral e a moda do tempo de operao e de X. (b) Construa o boxplot para a varivel: Tempo de Operao e, usando a notao apresentada em sala, resuma a referida varivel. (c) Construa da distribuio de freqncias para o tempo de operao. No processo considere 5 classes, construa o histograma, o polgono de freqncias e a ogiva de Galton. (d) Com base na distribuio de freqncias construda no quesito a, calcule a mdia aritmtica, a moda elaborada, o desvio padro populacional e o N-simo percentil da distribuio. (e) Se a mdia de idades dos 15 funcionrios referidos no enunciado de 39 com desvio padro N/10, qual das mdias a mais representativa a dos QIs, a dos Tempos de Operao ou a das idades? Justifique sua resposta.

(f) Para resolver essa questo selecione o objeto de estudos relacionado com o valor do seu N. Se N < 10 considere o objeto EXECUTIVO Se N varia de 10 a 19 considere o objeto EMPRESA Se N varia de 20 a 30 considere o objeto LEITO HOPITALAR Se N varia de 30 a 40 considere o objeto UBS Se N for superior a 40 considere o objeto FUNCIONRIO Com base no objeto correspondente ao seu N identifique dois constructos, uma varivel cujo nvel de mensurao no mximo ordinal e uma varivel cujo nvel de mensurao no mnimo intervalar. Construa um problema de pesquisa e uma hiptese consistente envolvendo um dos constructos e uma das variveis identificadas.(5.9) Construa o Box Plot para o tempo de operao do dispositivo do exerccio 5.12. (5.10) Na investigao da eficcia de um dispositivo que promete reduzir o ronco de jovens na fase acadmica que apresentam esse tipo de distrbio, 100 jovens roncadores foram selecionados ao acaso para receberem o dispositivo enquanto que 100 foram igualmente selecionados ao acaso para receberem o placebo. Ao final de um ms os alunos foram avaliados e observou-se que 30 alunos que usaram o dispositivo tiveram uma reduo e at eliminao dos roncos, enquanto que 73 alunos que receberam o placebo no apresentaram qualquer melhora. Calcule a medida mais adequada, entre o RR e OR , na descrio da associao entre as variveis exposio e desfecho. (5.11) Vinte e quatro funcionrios portadores de burnout foram submetidos a uma terapia de gesto no autocrtica com o propsito de desacelerar o agravamento da doena. Os dados a seguir exibem o tempo (em meses) de realizao da terapia.3,0 3,0 1,0 3,0 0,5 1,0 0,5 1,0 72,0 1,0 2,0 2,0 1,0 2,0 1,0 2,0 18,0 1,0 0,5 0,5 0,5 100 24,0 1,0

(a) Com base nos dados brutos correspondentes ao tempo de terapia, identifique o tempo mdio e o coeficiente de variao. Construa o Box-plot e com base nele selecione as medidas resumo mais adequadas para representar a varivel (use a notao de artigo exibida em sala de aula). (b). Construa da distribuio de freqncias dados agrupados por classes - para o tempo de terapia. No processo considere 5 classes, construa o polgono de freqncias e a ogiva de Galton. Com base na referida distribuio, calcule a moda elaborada, o coeficiente de variao e o 3. Quartil. Qual mdia foi mais representativa, a calculada a partir dos dados brutos ou a calculada a partir dos dados agrupados? Justifique suas respostas.

(5.12) Trinta cobaias similares foram submetidas a vrias dosagens de um novo detergente at que viessem a apresentar algum tipo de irritao. Os dados a seguir exibem as dosagens de irritao (DI) identificadas no estudo. 3,0 3,0 1,0 3,0 0,5 1,0 0,5 1,0 72,0 1,0 2,0 2,0 1,0 2,0 1,0 2,0 18,0 1,0 0,5 0,5 0,5 100 24,0 1,0 4,0 0,5 50,5 10 11 1,0

(a) Com base nos dados brutos correspondentes as DIs identifique a DI mdia e seu coeficiente de variao; a DI modal e construa o Box Plot da DI. Examine o Box-Plot e com base nele selecione as medidas resumo mais adequadas para representar a varivel (use a notao de artigo exibida em sala de aula). (b).Construa da distribuio de freqncias para a DI. No processo considere 5 classes, construa o polgono de freqncias, a ogiva de Galton e, com base na referida distribuio, calcule a mdia, a moda elaborada, o CV, a DI50 (dose de irritao mediana) e a DI75 (dose de irritao correspondente ao Q3 da distribuio). Qual mdia foi mais representativa a calculada a partir dos dados brutos ou a calculada a partir dos dados agrupados? Justifique suas respostas.(5.13) Na investigao da associao entre distrbios do sono e produtividade, 100 funcionrios com algum distrbio do sono e 100 alunos com sono normal foram acompanhados durante todo o perodo de 6 meses. Ao final do acompanhamento 30 funcionrios com distrbio de sono apresentaram uma reduo de produtividade e 73 funcionrios com sono normal no apresentaram qualquer variao significativa na sua produtividade. (a) Avalie a medida mais adequada para exprimir a associao entre distrbios de sono e produtividade considerando o RR e o OR. (b) Considerando o objeto de estudo envolvido na investigao, identifique uma varivel ordinal e um constructo ligados ao objeto, a seguir elabore um problema de pesquisa envolvendo a varivel e o constructo identificados e uma hiptese de pesquisa consistente. (5.14) (5.15) (5.16)