Calculo Diferencial - 2013.2Lista II

Novembro - 2013

Equipe de Matematica, Bacharelado em Ciencia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade

Universitaria

Derivada de ordem superior

O enuciado a seguir refere-se as questoes de 1-12.Calcule o a derivada de ordem superior ateordem n dada:

1 y = 3x4 − 2x, n = 5

2 y =√

3− x2, n = 3

3 y = 1x−1 , n = 4

4 y = e2x+1, n = 3

5 y = ln 2x, n = 4

6 y = −2 cos x2, n = 5

7 y = ln 1x, n = 3

8 y = xex, n = 7

9 y = cossech(ln x), n = 4

10 y = arctan(x)− ln (√

1− x2), n = 5

11 y = cosh9(x), n = 3

12 y = ln1 + sin x

1− sinx, n = 3

13 Suponha que f : R→ R e diferenciavel e considere a funcao dada por y = x2f(x2 + 1).

(a) Mostre quedy

dx= 2xf(x2 + 1) + 2x3f ′(x2 + 1)

(b) Encontred4y

dx4quando x = 1

14 Encontre φ′(φ(x)) e (φ(φ(x)))′ em cada funcao dada abaixo.

(a) φ(x) = x2 + 1

(b) φ(x) = sinx

(c) φ(x) = ln (x2 + 1)

(d) φ(x) = 1x

(e) φ(x) = ex2

15 De exemplos de funcoes φ que satisfazem a condicao φ′(φ(x)) = (φ(φ(x)))′, para todo x nodomınio de φ.

16 Considere uma partıcula que se desloca sobre o eixo x com funcao posicao

x = a cos 3t+ b sin 3t,

onde a e b sao constantes reais.

a) Mostre que a aceleracao e proporcional a posicao.

b) Calcule a aceleracao no instante t = π6

sabendo que neste instante sua posicao e x = 4a velocidade v = 36.

c) Determine a aceleracao α(t) em funcao do instante t.

17 Seja f : R→ R diferenciavel ate 2a ordem e seja h dada por h(t) = f(sin 6t).

(a) Expresse h′′(t) em termos de t, f ′(cos 3t) e de f ′′(cos 3t).

(b) Calcule h′′(π9) admitindo que f ′(1

2) = 3 e f ′′(1

2) = 8.

18 Sejam a, b ∈ R constantes reais. Se y = eαx, onde α e uma raiz da equacao λ2 +aλ+ b = 0,verifique que

d2y

dx2+ a

dy

dx+ by = 0

19 Seja ω uma constante real. Se y = cosωt, verifique que

d2y

dt2+ ω2y = 0

20 Seja y = y(r) uma funcao duas vezes diferenciavel. Mostre que

d

dr

(y2

dy

dr

)= 2y

(dy

dr

)2

+ y2d2y

dr2

Taxas Relacionadas

21 Um ponto P move-se sobre a parabola y = 3x2 − 2x. Suponha que as coordenadas x(t)e y(t) de P sao diferenciaveis e que dx

dt6= 0. Em que ponto da parabola a velocidade da

ordenada y de P sera o triplo da abscissa x de P?

22 Um ponto P se move ao longo do grafico de =1

x2 + 1de tal modo que sua abscissa varia

a uma velocidade constante de 5m por segundos. Qual a velocidade y no instante em quex = 10m?

23 Um ponto desloca-se sobre a hiperbole xy = 4 de tal modo que a velocidade de y edy

dt= β

onde β e constante. Mostre que a aceleracao da abscissa x ed2x

dt2=β2

8x3.

24 Um ponto move-se ao longo de uma elipse x2 + 4y2 = 1. A abscissa esta variando a umavelocidade de dx

dt= sin 4t. Mostre que

2

a)dy

dt= −x · sin 4t

4yb)

d2y

dt2= −sin2 4t+ 16xy2 cos 4t

16y3

25 Uma escada de 8m esta encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escadafor afastada do pe a uma velocidade de 2m/s, com que velocidade a extremidade superiorestara descendo no instante em que a inferior estiver 3m da parede?

26 Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e OB sejam respectivamente, 5cm e3cm. Suponha, ainda que θ esteja variando a uma taxa constante de 1

2rad/s. Determine

a velocidade de A, quando θ = π2

rad.

27 Enche-se um reservatorio, cuja forma e a do cone circular reto, de agua a uma taxa de0, 1m3/s. O vertice esta a 15m do topo e o raio do topo e de 10m. Com que velocidade onıvel h da agua esta subindo no instante em que h = 5m?

28 Um ponto P move-se sobre a parabola y2 = x, com y > 0. A abscissa x esta variando comuma aceleracao que, em cada instante, e o dobro do quadrado da velocidade da ordenaday. Mostre que a ordenada esta variando com aceleracao nula.

29 Um cocho tem 6 m de comprimento, e suas extremidades tem a forma de triangulos isoscelescom 1 m de base e 50 cm de altura. Se o cocho for preenchido com agua a uma taxa de1,2 m3/min, quao rapido estara se elevando o nıvel da agua quando ela tiver 30 cm deprofundidade?

30 Uma pipa a 50 cm acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 2 m/s. Aque taxa decresce o angulo entre a linha e a horizontal depois de 100 m de linha seremsoltos?

3

31 A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gas esta sendo comprimida a umatemperatura constante, a pressao P e o volume V satisfazem a equacao PV = C, onde Ce uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e de 600 cm3, a pressao ede 150kPa e a pressao cresce a uma taxa de 20kPa/min. A que taxa esta decrescendo ovolume nesse instante?

32 O ponto P = (x, y) esta fixo a roda de raio 1 m, que rola, sem escorregamento, sobre o eixox. O angulo θ esta variando a uma taxa de 1 rad/s. Expresse as velocidades da abscissa eda ordenada de P em funcao de θ.

33 Quando o ar se expande adiabaticamente (sem ganhar ou perder calor), sua pressao P evolume V estao relacionados pela equacao PV 1,4 = C, onde C e uma constante. Suponhaque em um certo instante o volume e de 400 cm3 e a pressao, 80 kPa, e esta decrescendoa uma taxa de 10kPa/min. A que taxa esta crescendo o volume nesse instante?

34 Nos peixes, o peso B do cerebro como uma funcao do peso corporal W foi modelado pelafuncao potencia B = 0, 007W 2/3, onde B e W sao medidos em gramas. Um modelo parao peso corporal como uma funcao do comprimento corporal L (medido em centımetros) eW = 0, 12L2,53. Se, em 10 milhoes de anos, o comprimento medio de uma certa especie depeixes evoluiu de 15 cm para 20 cm a uma taxa constante, quao rapido estava crescendoo cerebro dessa especie quando o comprimento medio era de 18 cm?

35 O ponteiro dos minutos de um relogio mede 8 mm, enquanto o das horas tem 14 mm decomprimento. Quao rapido esta variando a distancia entre a ponta dos ponteiros a 1 hora?

Aproximacoes Lineares e Diferenciais

36 Calcule o valor aproximado das funcoes:

(a) y = x3 − 4x2 + 5x+ 3 para x = 1, 03

(b) f(x) =√

1 + x para x = 0, 2

(c) f(x) = 3

√1− x1 + x

para x = 0, 1

(d) f(x) = e1−x2

para x = 1, 05

(e) f(x) = arcsin x para x = 0, 54

4

37 Mostre que, num determinado comprimento de raio, um relativo erro de 1% resulta numerro relativo de aproximadamente de 2% no calculo da area do cırculo e da superfıcie daesfera.

38 A aresta de um cubo tem 30 cm, com um possıvel erro de medida de 0,1 cm. Use diferenciaispara estimar o erro maximo possıvel no calculo (a) do volume do cubo e (b) da area dasuperfıcie do cubo.

39 Se uma corrente I passar por um resistor com resistencia R, a Lei de Ohm afirma que aqueda de voltagem e V = RI. Se V for constante e R for medida com um certo erro, usediferenciais para mostrar que o erro relativo no calculo de I e aproximadamente o mesmo(em modulo) que o erro relativo em R.

40 Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguıneo, o fluxo F (volume de sangue porunidade de tempo que passa por um dado ponto) e proporcional a quarta potencia do raiodo vaso (Lei de Poiseuille):

F = kR4

Uma arteria parcialmente obstruıda pode ser alargada por uma operacao chamada angio-plastia, na qual um cateter-balao e inflado dentro da arteria afim de aumenta-la e restauraro fluxo normal do sangue.

Mostre que a variacao relativa em F e cerca de quatro vezes a variacao relativa em R.Como um aumento de 5% no raio afeta o fluxo de sangue?

Teorema do Valor Medio

41 Seja f(x) = x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3). Mostre qua a equacao f ′(x) = 0 tem tres raızes reais.

42 Mostre que a equacao ex = 1 +x tem x = 0 como raiz. Mostre tambem que a equacao naotem outra raiz real.

43 Dado uma segmento de parabola y = x2 inserido entre os pontos A = (1, 1) e B = (3, 9).Em qual ponto do segmento da parabola a sua reta tangente e paralela a reta que passapelos pontos A e B?

44 Seja f(x) = tanx. Mostre que f(0) = f(π), mas nao existe um numero c em (−1, 1) talque f ′(c) = 0. Po que isso nao contraria o Teorema de Rolle?

45 Seja f(x) = 2−|2x−1|. Mostre que nao existe um valor c tal que f(3)−f(0) = f ′(c)(3−0).Por que isso nao contradiz o Teorema do Valor Medio?

46 (a) Suponha que f seja diferenciavel em R e tenha duas raızes. Mostre que f ′ tem pelomenos uma raiz.

(b) Suponha que f seja duas vezes diferenciavel em R e tenha tres raızes. Mostre que f ′′

tem pelo menos uma raiz real.

47 Se f(1) = 10 e f ′(x) ≥ 2 para 1 ≤ x ≤ 4, quao pequeno pode ser f(4)?

48 Suponha que 3 ≤ f ′(x) ≤ 5 para todo x. Mostre que 18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30.

5

49 Existe uma funcao f tal que f(0) = −1, f(2) = 4 e f ′(x) ≤ 2 para todo x?

50 Mostre que√

1 + x ≤ 1 +x

2se x > 0.

51 Suponha que f seja uma funcao ımpar e diferenciavel em toda parte. Mostre que, paratodo b > 0 existe um numero c em (−b, b) tal que f ′(c) = f(b)/b.

52 As 2 horas da tarde o velocımetro de um carro mostrava 50 km/h, e as 2h10 mostrava65 km/h. Mostre que em algum instante entre 2h e 2h10 a aceleracao era exatamente 90km/h2.

53 Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. De-monstre que em algum instante durante a corrida eles tiveram a mesma velocidade. [Su-gestao: Considere f(t) = g(t) − h(t), em que g e h sao as funcoes posicao dos dois corre-dores.]

Regras de L’Hospital

54 Encontre os limites da funcao usando as regras de L’Hospital:

(a) limx→0

x cosx− sinx

x3

(b) limx→0

x coshx− 1

1− cosx

(c) limx→∞

x− sinx

x+ sinx

(d) limx→0

ln sinmx

ln sinx

(e) limx→1

(x

x− 1− 1

lnx

)(f) lim

x→0

x+ sinx

x+ cosx

(g) limx→0

sin 6x

tan 2x

(h) limx→∞

x3e−x2

(i) limx→1

xa − ax+ a− 1

(x− 1)2

(j) limx→a+

cosx ln(x− a)

ln(ex − ea)

(k) limx→+∞

e−x lnx

(l) limx→0+

(cosx)1/x2

55 Demonstre que limx→∞

ex

xn= ∞ para todo n inteiro positivo. Isso mostra que a funcao

exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potencia de x.

56 Demonstre que limx→∞

lnx

xp= 0 para todo numero p > 0 inteiro positivo. Isso mostra que a

funcao logaritmo tende a infinito mais vagarosamente que qualquer potencia de x.

57 Se um montante inicial de dinheiro A0 for investido a uma taxa de juros i capitalizado nvezes ao ano, o valor do investimento apos t anos sera

A = A0

(1 +

r

n

)ntSe n → ∞, nos referimos a capitalizacao capitalizacao contınua de juros. Use a regrade l’Hospital para mostrar que se os juros forem capitalizados continuamente, entao omontante apos t anos sera

A = A0ert

6

58 Se uma bola de metal de massa m for lancada na agua e a forca de resistencia for propor-cional ao quadrado da velocidade, entao a distancia que a bola percorreu ate o instante te dada por

s(t) =m

cln cosh

√gc

mt

em que c e uma constante positiva. Encontre limc→0+ s(t).

59 Se um campo eletrostatico E agir em um dieletrico polar lıquido ou gasoso, o momento dedipolo resultante P por unidade de volume e

P (E) =coshE

sinhE− 1

E

Mostre que limE→0+ P (E) = 0.

60 Se f ′′ for contınua, mostre que limh→0

f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2= f ′′(x).

Estudo da variacao das funcoes

61 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o grafico (calcule paraisto todos os limites necessarios).

(a) y = x+ 1/x2

(b) y = e2x − ex

(c) x = t2/(1 + t2)

(d) y = e−x2

(e) g(x) =x2 − x+ 1

2(x− 1)

(f) h(x) = x− ex

62 Determine a, para que a equacao x3 + 3x2 − 9x+ a = 0 admita uma unica raiz real.

63 Seja n ≥ 2 um natural dado. Prove que xn − 1 ≥ n(x− 1) para todo x ≥ 1.

64 Prove que, para todo x > 0, tem-se

(a) ex > x+ 1 (b) ex > 1 + x+x2

2

65 Mostre que, para todo x > 0, tem-se

(a) sinx < x− x3

3!+x5

5!(b) 0 < sinx−

[x− x3

3!

]<x5

5!

66 Estude a funcao dada com relacao a concavidade e pontos de inflexao.

(a) f(x) =lnx

x

(b) g(x) = 3√x2 − x3

(c) f(x) = xe1/x

(d) h(x) = x lnx

67 Seja f(x) = x5 + bx4 + cx3 − 2x+ 1.

(a) Que condicoes b e c devem satisfazer para que 1 seja ponto de inflexao de f? Justifique.

7

(b) Existem b e c que tornam 1 ponto de inflexao horizontal? Em caso afirmativo,determine-os.

68 Seja f definida e diferenciavel no intervalo (−r, r), com r > 0. Suponha que, para todox ∈ (−r, r)

f ′(x) = x2 + [f(x)]2 e f(0) = 0

(a) Mostre que 0 e ponto de inflexao horizontal.

(b) Mostre que f ′(x) > 0 para todo x nao-nulo.

(c) Estude f com relacao a concavidade.

(d) Mostre que f(x) >2

3!x3 para 0 < x < r.

(e) Faca um esboco do grafico de f .

69 Esboce o grafico.

(a) y =√x2 − 4

(b) y =x2

x+ 1

(c) f(x) = 2x+ 1 + e−x

(d) f(x) = x4 − 2x2

(e) g(x) = xe−3x

(f) y = ex − e3x

(g) y =4x+ 3x2

1 + x2

(h) f(x) = 3√x3 − x

(i) y = 14x4 − 3

2x2 + 2x+ 1

Maximos e mınimos

70 Estude a funcao dada com relacao a maximos e mınimos locais e globais.

(a) y =x

1 + x2

(b) y = ex − e−3x

(c) f(x) = sin x+ cosx

(d) x(t) = te−t

(e) g(x) = xe−2x

(f) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 3

(g) h(x) =x

1 + x tanx, x ∈ [0, π/2)

(h) f(x) = ex−1

x2

(i) y = 3√x3 − x

71 Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizara na travessia do rio (de 100 mde largura) um barco com velocidade maxima de 10 km/h; de B a C utilizara uma bicicletacom velocidade maxima de 15 km/h. Determine B para o tempo gasto no percurso seja omenor possıvel,

8

72 Duas partıculas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos Ox e Oy. A funcao deposicao de P e x =

√t e a de Q, y = t2 − 3/4, t ≥ 0. Determine o instante em que a

distancia entre P e Q seja a menor possıvel.

73 Um solido sera construıdo acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r,uma semi-esfera de raio r. Deseja-se que a area da superfıcie do solido seja 5π. Determiner e h para que o volume seja maximo.

74 (Lei de refracao de Snellius) Considere uma reta r e dois pontos P e Q localizados emsemiplanos opostos.

Uma partıcula vai de P a M com velocidade constante u e movimento retilıneo; em seguida,vai de M a Q com velocidade constante v, tambem, com movimento retilıneo. Mostre queo tempo de percurso sera mınimo se

sinα

u=

sin β

v

75 Sua metalurgica foi contratada por uma fabrica de papel para projetar e construir umtanque retangular de aco, com base quadrada, sem tampa e com 500 pes3 de capacidade.O tanque sera construıdo soldando-se chapas de aco umas as outras ao longo das bordas.Como engenheiro, sua tarefa e determinar as dimensoes para a base e a altura que farao otanque pesar o mınimo possıvel.

(a) Que dimensoes serao passadas para a oficina?

9

(b) Descreva, sucintamente, como voce levou o peso em consideracao.

76 A figura a seguir apresenta um retangulo inscrito em um triangulo isosceles cuja hipotenusatem 2 unidades de comprimento.

(a) Expresse a ordenada de P em termos de x.

(b) Expresse a area do retangulo em termos de x.

(c) Qual e a maior area possıvel para o retangulo? Quais sao suas dimensoes?

Vetores

77 Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.

78 Sejam α e um escalar e −→v um vetor de R3. Mostre que se α−→v = 0, entao α = 0 ou −→v = 0.

79 Mostre que o segmento que une os pontos medios dos lados de um triangulo sao paralelosao terceiro lado.

80 Mostre que −→u +−→v = −→w , se e somente se −→u = −→w −−→v .

81 Usando as propriedade de soma de vetores e da multiplicacao por escalar resolva a equacaonas incognitas −→x e −→y em funcao de −→u e −→v .

−→x + 3−→y = −→u

3−→x − 5−→y = −→u +−→v

82 Dado um vetor −→v nao-nulo. Mostre que

−→v||−→v ||

e um vetor unitario com a mesma direcao e sentido de −→v .

83 Dado um quadrilatero ABCD, tal que−−→AD = 5−→u ,

−−→BC = 3−→v e tal que

−→AB = −→v . Determine

o lado−−→CD e as diagonais

−−→BD e

−→CA em funcao de −→u e −→v .

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84 Mostre que para cada vetor −→u existe um unico vetor −−→u tal que −→u + (−−→u ) = 0

85 Dado um triangulo de vertices A, B e C. Dado P o ponto de encontro da bissetriz do

angulo do vertice C com o lado−→AB. Mostre que o vetor

−→CP e paralelo ao vetor

−→CA

‖CA‖+

−−→CB

‖CB‖.

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