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Listas de exercícios para a segunda área - Cálculo numérico
Esta lista de exercícios foi elaborada com exemplos resolvidos em aula, problemas que visam revisar e �xaro conteúdo da disciplina e problemas originais propostos aos estudantes. No �nal da lista, há uma seção comrespostas dos problemas. Algumas respostas indicam apenas o resultado �nal, outras descrevem a soluçãopasso a passo. A formatação é feita de forma que você pode copiar e colar os códigos para o scilab e testá-los.Os valores das tabelas verticais podem ser facilmente copiados do PDF para o console do Scilab.
1 Problemas relativos a solução de sistemas algébricos lineares e
cálculo de autovalor dominante
Resolva as seguintes questões. Leia e entenda o problema antes de resolvê-lo. Use simpli�cações sempre quepossível para tornar a solução numérica mais simples.
Exercício 1 Demonstre o seguinte resultado que será útil na resolução dos problemas desta lista:
Se ad ̸= bc, então a matriz A dada por
A =
[a bc d
]é inversível e sua inversa é dada por
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Exercício 2 Resolva o seguinte sistema de equações lineares
x+ y + z = 0
x+ 10z = −48
10y + z = 25
Usando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial (não use o computador para resolver essa questão).
Exercício 3 Considere as matrizes
A =
0 0 10 1 01 0 0
e
E =
1 1 11 1 11 1 1
e o vetor
v =
234
a) Resolva o sistema Ax = v sem usar o computador.
b) Sem usar o computador e através da técnica algébrica de sua preferência, resolva o sistema (A+εE)xε = vconsiderando |ε| << 1 e obtenha a solução exata em função do parâmetro ε.
1
c) Usando a expressão analítica obtida acima, calcule o limite limε→0 xε.
d) Resolva o sistema (A+ εE)x = v no Scilab usando pivotamento parcial e depois sem usar pivotamentoparcial para valores muito pequenos de ε como 10−10, 10−15, . . .. O que você observa?
Exercício 4(Eletricidade)
1. O circuito linear da �gura 1 pode ser modelado pelo sistema (1). Escreva esse sistema na formamatricial sendo as tensões V1, V2, V3, V4 e V5 as cinco incógnitas. Resolva esse problema quandoV = 127 e
a) R1 = R2 = R3 = R4 = 2 e R5 = R6 = R7 = 100 e R8 = 50
b) R1 = R2 = R3 = R4 = 2 e R5 = 50 e R6 = R7 = R8 = 100
V1 = V (1a)
V1 − V2
R1
+V3 − V2
R2
− V2
R5
= 0 (1b)
V2 − V3
R2
+V4 − V3
R3
− V3
R6
= 0 (1c)
V3 − V4
R3
+V5 − V4
R4
− V4
R7
= 0 (1d)
V4 − V5
R4
− V5
R8
= 0 (1e)
Complete a tabela abaixo representado a solução com 4 algarismos signi�cativos:
Caso V1 V2 V3 V4 V5
ab
2. Refaça o problema anterior reduzindo o sistema para apenas 4 incógnitas (V2, V3, V4 e V5)
Exercício 5 Resolva o seguinte sistema de 5 equações lineares
x1 − x2 = 0
−xi−1 + 2.5xi − xi+1 = e−(i−3)2
20 , 2 ≤ i ≤ 4
2x5 − x4 = 0
representando-o como um problema do tipo Ax = b no Scilab e usando o comando de contrabarra pararesolvê-lo. Repita usando a rotina que implementa eliminação gaussiana.
Exercício 6(Interpolação) Resolva os seguintes problemas:
2
a) Encontre o polinômio P (x) = ax2 + bx+ c que passa pelos pontos (−1,−3), (1,−1) e (2, 9).
b) Encontre os coe�cientes A e B da função f(x) = A sen(x) +B cos(x) tais que f(1) = 1.4 e f(2) = 2.8.
c) Encontre a função g(x) = A1 sen(x) + B1 cos(x) + A2 sen(2x) + B2 cos(2x) tais que f(1) = 1, f(2) = 2,f(3) = 3 e f(4) = 4.
Exercício 7 Encontre a inversa da matriz 1 1 11 −1 21 1 4
a) Usando Eliminação Gaussiana com pivotamento parcial à mão.
b) Usando a rotina 'gausspp()'.
c) Usando a rotina 'inv()' do Scilab.
Exercício 8 Calcule o valor de λ para o qual o problema{71x+ 41y = 10λx+ 30y = 4
é impossível, depois calcule os números de condicionamento com norma 1,2 e ∞ quando λ = 51 e λ = 52.
Exercício 9 Calcule o número de condicionamento das matrizes[71 4152 30
]e 1 2 3
2 3 44 5 5
usando as normas 1,2 ∞.
Exercício 10 Usando a norma 1, calcule o número de condicionameto da matriz
A =
[1 2
2 + ε 4
]em função de ε quando 0 < ε < 1. Interprete o limite ε → 0.
Exercício 11 Considere os sistemas:{100000x − 9999.99y = −10
−9999.99x + 1000.1y = 1e
{100000x − 9999.99y = −9.999
−9999.99x + 1000.1y = 1.01
Encontre a solução de cada um e discuta.
3
Exercício 12 Refaça a questão 5 contruindo um algoritmo que implemente os métodos de Jacobi e
Gauss-Seidel.
Exercício 13 Considere o problema de 5 incógnitas e cinco equações dado por
x1 − x2 = 1
−x1 + 2x2 − x3 = 1
−x2 + (2 + ε)x3 − x4 = 1
−x3 + 2x4 − x5 = 1
x4 − x5 = 1
a) Escreva na forma Ax = b e resolva usando Eliminação Gaussiana para ε = 10−3 no Scilab.
b) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando o comando A\b.
c) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando Jacobi com tolerância 10−2. Compare o resultadocom o resultado obtido no item d.
d) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando Gauss-Seidel com tolerância 10−2. Compare oresultado com o resultado obtido no item d.
e) Discuta com base na relação esperada entre tolerância e exatidão conforme estudado na primeira áreapara problemas de uma variável.
Exercício 14 (Burden & Faires)
1. Considerem os problemas dados por
x+ 2y − 2z = 7
x+ y + z = 2
2x+ 2y + z = 5
e
2x− y + z = −1
2x+ 2y + 2z = 4
−x− y + 2z = −5
a) Resolva os problemas usando eliminação gaussiana encontre as soluções exatas.
b) Use o método de Jacobi e veri�que se o método converge para cada problema.
c) Use o método de Gauss-Seidel e veri�que se o método converge para cada problema.
Exercício 15 Considere o seguinte sistema de equações lineares:
x1 − x2 = 0
−xj−1 + 5xj − xj+1 = cos(j/10), 2 ≤ j ≤ 10
x11 = x10/2 (2)
Construa a iteração para encontrar a solução deste problema pelos métodos de Gauss-Seidel e Jacobi.Usando esses métodos, encontre uma solução aproximada com erro absoluto inferior a 10−5.
4
Exercício 16 Consider os vetores de 10 entradas dados por
xj = sen(j/10), yj = j/10 zj = j/10− (j/10)3
6, j = 1, . . . , 10
Use o Scilab para construir os seguintes vetores de erro:
ej =|xj − yj|
|xj|fj =
|xj − zj|xj
Calcule as normas 1, 2 e ∞ de e e f
Exercício 17 Resolva o problema 4 pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
Exercício 18 Faça uma permutação de linhas no sistema abaixo e resolva pelos métodos de Jacobi e
Gauss-Seidel:
x1 + 10x2 + 3x3 = 27
4x1 + x3 = 6
2x1 + x2 + 4x3 = 12
Exercício 19 Calcule o autovalor dominante e o autovetor associado da matriz 4 41 7848 28 2126 13 11
Expresse sua resposta com seis dígitos signi�cativos
Exercício 20 A norma L2 de um matriz A é dada pela raiz quadrada do autovalor dominante da matriz
A∗A, isto é:∥A∥2 =
√max{|λ| : λ ∈ σ(A∗A)} :
Use o método da potência para obter a norma L2 da seguinte matriz:
A =
69 84 8815 −40 1170 41 20
Expresse sua resposta com seis dígitos signi�cativos
2 Problemas relativos ao Método de Newton-Raphson para sistemas
não lineares
Exercício 21(Aquecimento)
1. Encontre o gradiente da funçãof(x, y) = x2y + cos(xy)− 4
5
2. Encontre a matriz jacobiana associada à função
F (x, y) =
[x cos(x) + y
e−2x+y
].
3. Encontre a matriz jacobiana associada à função
L(x) =
a11x1 + a12x2 + a13x3 − y1a21x1 + a22x2 + a23x3 − y2a31x1 + a32x2 + a33x3 − y3
.
Exercício 22 Seja L(x, λ) = f(x) − λg(x), onde f(x) e g(x) são funções de Rn em R. Calcule o
gradiente de L como uma função de [x1, x2, . . . , xn, λ]T . Qual a relevância deste resultado para a teoria dos
multiplicadores de Lagrange.
Exercício 23(Revise a teoria)
1. Seja F : Rn → R uma função suave, x(0) ∈ Rn um ponto dado e u ∈ Rn um vetor unitário. De�naf : R → R como
f(t) = F (x(0) + tu).
a) Use a regra da cadeia para mostrar que
f ′(t) =n∑
j=1
∂F (x(0) + tu)
∂xj
uj =1⟨∇F (x(0) + tu), u
⟩= ∇F (x(0) + tu)Tu
onde o gradiente de F , ∇F , é dado pelo vetor coluna
∇F =
∂F∂x1
∂F∂x2
...
∂F∂xn
b) Veri�que que a linearização f(h) = f(0) + f ′(0)h + O(h2) produz a seguinte linearização para a
função F (x):F (x) = F (x(0)) +∇F (x(0))T
(x− x(0)
)+O
(∥x− x(0)∥2
)2. Seja F : Rn → Rm uma função suave, use o problema anterior para mostrar que F admite uma
linearização em torno do ponto x(0) ∈ Rn dada por:
F (x) = F (x(0)) + JF (x− x(0)) +O(∥x− x(0)∥2
)1No cálculo vetorial usa-se também a notação ∇F (x(0) + tu) · u ou u · ∇F (x(0) + tu) para a derivada direcional.
6
onde JF é matriz jacobiana avaliada no ponto x(0) dada por
JF =
∇F1(x
(0))T
∇F2(x(0))T
...∇Fm(x
(0))T
=
∂F1
∂x1
∂F1
∂x2· · · ∂F1
∂xn
∂F2
∂x1
∂F2
∂x2· · · ∂F2
∂xn
... · · · . . ....
∂Fm
∂x1
∂Fm
∂x2· · · ∂Fm
∂xn
Exercício 24(Entenda casos particulares)
1. Considere a função L(x) = Ax− b, onde A é uma matriz n× n inversível e b um vetor coluna em Rn.O que acontece quando aplicamos o método de Newton para encontrar as raízes de L(x)?
2. Mostre que o método de Newton-Raphson aplicado a uma função diferenciável do tipo f : R → R sereduz ao método de Newton estudado na primeira área.
Exercício 25 Encontre os pontos de intersecção entre a parábola y = x2 + 1 e a elipse x2 + y2/4 = 1
seguindo os seguintes passos:
a) Faça um esboço das duas curvas e entenda o problema. Veri�que que existem dois pontos de intersecção,um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante do plano xy.
b) A partir de seu esboço, encontre aproximações para x e y em cada ponto.
c) Escreva o problema na forma F
([xy
])=
[00
]d) Encontre a Jacobiana JF .
e) Construa a iteração do Método de Newton.
f) Implemente no Scilab.
g) Resolva o sistema analiticamente e compare as respostas.
Exercício 26 Encontre os pontos de intersecção entre a parábola y = x2 e a curva y = cos(x) seguindo
os seguintes passos:
a ) Faça um esboço das duas curvas, entenda o problema. Veri�que que existem dois pontos de intersecção,um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrando do plano xy.
b ) A partir de seu esboço, encontre aproximações para x e y em cada ponto.
c ) Escreva o problema na forma F
([xy
])=
[00
]d ) Encontre a Jacobiana JF .
e ) Construa a iteração do Método de Newton.
7
f ) Implemente no Scilab.
g ) Transforme o sistema em um problema de uma única variável, resolva e compare as respostas.
Exercício 27 Considere a função f(x) = sen(x)x+1
, encontre a equação da reta que tangencia dois pontos
da curva y = f(x) próximos ao primeiro e segundo ponto de máximo no primeiro quadrante, respectivamente.Veja a �gura abaixo.
Exercício 28 (estática) Considere o sistema mecânico constituído de dois segmentos de mesmo com-
primento L presos entre si e a uma parede por articulações conforme a �gura
O momento em cada articulação é proporcional à de�exão com constante de proporcionalidade k. Ossegmentos são feitos de material homogêneo de peso P . A condição de equilíbrio pode ser expressa em termosdos ângulos θ1 e θ2 conforme:
kθ1 =3PL
2cos θ1 + k (θ2 − θ1)
k (θ2 − θ1) =PL
2cos θ2
Considere P = 100N , L = 1m e calcule os ângulos θ1 e θ2 quando:
8
a) k = 1000Nm/rad
b) k = 500Nm/rad
c) k = 100Nm/rad
d) k = 10Nm/rad
Obs:Você deve escolher valores para iniciar o método. Como você interpretaria �sicamente a solução paraproduzir palpites iniciais satisfatórios? O que se altera entre o caso a e o caso d?
Exercício 29 (estática - problemas de três variáveis) Considere, agora, o sistema mecânico semelhante
ao do problema anterior, porém constituído de três segmentos de mesmo comprimento L presos entre si e auma parede por articulações.
O momento em cada articulação é proporcional à de�exão com constante de proporcionalidade k. Ossegmentos são feitos de material homogêneo de peso P . A condição de equilíbrio pode ser expressa em termosdos ângulos θ1, θ2 e θ3 conforme:
kθ1 =5PL
2cos θ1 + k (θ2 − θ1)
k (θ2 − θ1) =3PL
2cos θ2 + k (θ3 − θ2)
k (θ3 − θ2) =PL
2cos θ3
Considere P = 10N , L = 1m e calcule os ângulos θ1, θ2 e θ3 quando:
a) k = 1000Nm/rad
b) k = 100Nm/rad
c) k = 10Nm/rad
Exercício 30 Encontre os pontos de intersecção das curvas descritas (veja �gura) por
x2
8+
(y − 1)2
5= 1
tan−1(x) + x = y + y3
seguindo os seguintes passos:
a) Identi�que uma região do plano que certamente contenha todas as raízes do problema. (dica: Elipse)
b) De�na do Scilab a função z = f(x, y) = x2
8+ (y−1)2
5− 1 e z = g(x, y) = tan−1(x) + x− y − y3
c) Use os comandos
contour([-3:.1:3],[-2:.1:4],g,[0 0]) e contour([-3:.1:3],[-2:.1:4],f,[0 0])
9
para traçar as curvas. Leia a ajuda do Scilab sobre esses comandos para entender melhor o que fazem.
d) Com base no grá�co, encontre soluções aproximadas para o problema e use-as para inicias o método deNewton-Raphson. Encontre as raízes com erro inferior a 10−5.
Exercício 31 (prova) Considere o sistema de equações dado por
(x− 3)2
16+
(y − 1)2
36= 1
tanh(x) + x = 2 sen y − 0.01y3
Usando procedimentos analíticos, determine uma região limitada do plano onde se encontram necessariamentetodas as raízes do problema. Encontre as raízes desse sistema com pelo menos quatro dígitos signi�cativoscorretos usando o método de Newton. Você deve contruir o método de Newton indicando as funções envolvidase calculando a matriz jacobiana analiticamente. Use que d
dutanhu = 1− tanh2 u, se precisar.
Exercício 32 (Otimização) Uma indústria consome energia elétrica de três usinas fornecedoras. O
custo de fornecimento em reais por hora como função da potência consumida em kW é dada pelas seguintesfunções
C1(x) = 10 + .3x+ 10−4x2 + 3.4 · 10−9x4
C2(x) = 50 + .25x+ 2 · 10−4x2 + 4.3 · 10−7x3
C3(x) = 500 + .19x+ 5 · 10−4x2 + 1.1 · 10−7x4
Calcule a distribuição de consumo que produz custo mínimo quando a potência consumida é 1500kW . Dica:Use a técnica dos multiplicadores de Lagrange, levando em conta que se x1, x2 e x3 representam a potênciaconsumida das três usinas, o custo total será dado por C(x1, x2, x3) = C1(x1) + C2(x2) + C3(x3) enquanto oconsumo total é x1 + x2 + x3 = 1500.
Exercício 33 Encontre a função do tipo f(x) = Abx que melhor aproxima os pontos (0, 3.1), (1, 4.4) e
(2, 6.7) pelo critério dos mínimos quadrados. Dica: Você deve encontrar os valores de A e b que minimizamo erro dado por
Eq = [3.1− f(0)]2 + [4.4− f(1)]2 + [6.7− f(2)]2 .
Dica: Para construir aproximações para resposta, considere a função f(x) = Abx que passa pelo primeiro eterceiro ponto.
Exercício 34 Encontre o valor máximo da função
f(x, y) = −x4 − y6 + 3xy3 − x
na região (x, y) ∈ [−2, 0]× [−2, 0] seguindo os seguintes passos:
a) De�na do Scilab a função z = f(x, y) = −x4 − y6 + 3xy3 − x
b) Use o comando
contour([-2:.01:0],[-2:.01:0],f,[ 0:.2: 3])
para traçar as curvas de nivel da função.
10
c) Com base no grá�co, encontre valores aproximados para as coordenadas xy do ponto de máximo.
d) Sabendo que o ponto de máximo acontece quando o gradiente é nulo, escreva o problema como umsistema de duas equações não lineares e duas incógnitas.
e) Implemente o método de Newton no Scilab.
Obs.: O comando
fplot3d([-2:.1:0],[-2:.1:0],f)
pode ser usado para traçar um grá�co tridimensional da função z = f(x, y), no entanto, em geral é maisprático analisar as curvas de nível. Explore este comando e use a ferramenta de rotação para visualizarmelhor a função.
Exercício 35 A função f(x, y, z) = sen(x) + sen(2y) + sen(3z) possui um máximo quando x = π/2,
y = π/4 e z = π/6. Use o procedimento descrito na questão anterior para calcular numericamente este ponto.
Exercício 36 Encontre as raizes do problema
3x− cos(yz + z)− 1/2 = 0
4x2 − 25y2 + 0.4y + 2 = 0
e−xy + 2x− 5z = 10
no cubo|x| < 2, |y| < 2, |z| < 2
Dica: Reduza a um problema de duas incógnitas.
Exercício 37 Considere o problema de encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x) onde
x ∈ Rn. Vamos supor que esta função é pelo menos duas vezes diferenciável. Os pontos extremos satisfazema condição
G(x) = ∇f(x) = 0
onde ∇f(x) é o gradiente da função f dado por
∇f(x) =
∂f∂x1
∂f∂x2
...∂f∂xn
a) Construa o processo iterativo de Newton-Raphson para encontrar os zeros de G(x) e veri�que que a
matriz jacobiana JG é dada por
JG =
∂G1
∂x1
∂G1
∂x2· · · ∂G1
∂xn
∂G2
∂x1
∂G2
∂x2· · · ∂G2
∂xn
... · · · . . ....
∂Gm
∂x1
∂Gm
∂x2· · · ∂Gm
∂xn
=
∂2f∂x2
1
∂2f∂x2∂x1
· · · ∂2f∂xn∂x1
∂2f∂x1∂x2
∂2f∂x2
2· · · ∂2f
∂xn∂x2
... · · · . . ....
∂2f∂x1∂xn
∂2f∂x2∂xn
· · · ∂2f∂x2
n
= Hf
ou seja, a jacobina JG é idêntica à matriz hessiana Hf .
11
b) Veri�que que o processo iterativo assume a seguinte forma:
x(n+1) = x(n) −H−1f (x(n))G(x(n))
c) De�na no Scilab a função z = f(x) = −x(1)4−x(2)6+3x(1)x(2)3−x(1) referente ao problema anterior.
d) De�na a condição inicial v = [−1.1;−1.1] e use o Scilab para calcular a jacobiana e a hessiana de f noponto v através do seguinte comando:
[G,H]=derivative(F,v,H_form='blockmat')
Veri�que os valores com o que você calculou.
e) Use o seguinte comando para implementar o método de Newton-Raphson:
[G,H]=derivative(F,v,H_form='blockmat');v=v-H\G'
Veri�que que após setes iterações, a solução não varia mais em 8 dígitos.
f) Repita o problema calculando o gradiente e a hessiana analiticamente.
Exercício 38 (prova) Considere o seguinte sistema de equações não-lineares:
x1 − x2 = 0
−xj−1 + 5(xj + x3j)− xj+1 = 10 exp(−j/3), 2 ≤ j ≤ 10
x11 = 1 (3)
a) Escreva este sistema na forma F (x) = 0 onde x =
x1
x2...
x11
e calcule analiticamente a matriz jacobiana
∂(F1,...,F11)∂(x1,...x11)
. Dica: Use a regularidade nas expressões para abreviar a notação.
b) Construa a iteração para encontrar a única solução deste problema pelo método de Newton e, usandoesse método, encontre uma solução aproximada com erro absoluto inferior a 10−4.
Exercício 39 Considere a função
f(x, y) =e−(x−1)2−(y−2)2
1 + x2 + y2
a) Encontre o valor máximo desta função.
b) Usando multiplicadores de Lagrange, encontre o valor máximo desta função restrito à condição
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 1.
c) Parametrize a circunferência para transformar o problema de máximo com restrição em um problemade uma única variável. Resolva usando as técnicas de equações lineares de uma variável.
12
Exercício 40 (Prof. Guidi)Encontre uma aproximação com erro inferior a 10−5 em cada incógnita para
a solução próxima da origem do sistema
6x− 2y + ez = 2
sen(x)− y + z = 0
sen(x) + 2y + 3z = 1
Exercício 41 Considere o problema de encontrar as parâmetro A, B e λ tais que a função f(x) =
A+Beλx passa por três pontos dados.
a) Veri�que que se A = 1, B = 2 e λ = − ln(2) então f(0) = 3, f(1) = 2 e f(2) = 1.5
b) Encontre os valores de A, B e λ tais que f(0) = 3.1, f(1) = 1.9 e f(2) = 1.6
c) Encontre os valores de A, B e λ tais que f(0) = 2.9, f(1) = 2.1 e f(2) = 1.6
d) Compare os parâmetros para cada um dos três casos. Discuta a viabilidade do problema de ajustarcurvas desse tipo a um conjunto de dados com erro experimental.
Dica: Calcule número de condicionamento da matriz jacobiana associada ao problema no caso a.
Exercício 42 Considere o problema de encontrar as parâmetros A, B, λ1 e λ2 tais que a função
f(x) = Aeλ1x +Beλ2x passa por quatro pontos dados.
a) Veri�que que função se A = 10, B = 20, λ1 = ln(2) e λ2 = ln(3) então f(−1) = 35/3, f(0) = 30,f(1) = 80, f(2) = 220
b) Imagine que você desconheça os valores de A, B, λ1 e λ2 no item acima e deseja encontrá-los com basenos valores da função nos quatro pontos dados pelo método de Newton-Raphson com quatro incóginta.Descreva a função jacobiana envolvida e calcule o número de condicionamento quando as incógnitas sãodadas conforme o item a.
c) Implemente o método de Newton-Raphson apartir das condições iniciais dadas pelos valores numéricosaproximados de A = 10, B = 20, λ1 = ln(2) e λ2 = ln(3) (ou seja, a solução exata acrescida de erros dearredondamento). Discuta.
3 Problemas relativos a interpolação
Exercício 43 Considere o conjunto de pontos dado por (1, 1.2), (2, 1.6) e (3, 2.3).
a) Encontre o polinômio P (x) = ax2 + bx + c que passa pelos três pontos. A resposta é P (x) = 1.1 −0.05x+ 0.15x2
b) Use o comando plot2d([1; 2; 3],[1.2; 1.6; 2.3],style=-4) para traçar os pontos.
c) Use o comando P=poly([1.1; -.05; .15],'x','coe�') para criar um objeto do tipo polinômio no scilab.
d) Use o comanto plot(0.5:.1:3.5,horner(P,.5:.1:3.5)) para traçar o grá�co do polinômio entre .5 e 3.5
13
e) Entenda o que faz o comando 'horner()' e obtenha o valor de P (1.5).
Exercício 44 Encontre o polinômio que passa pelos pontos da tabela e veri�que ele possui grau 3.
x -2 -1 0 1 2 3y -29 -7 -1 7 35 101
Exercício 45 Considere o conjunto de pontos.
x y0 1.25 3.5 4.75 41 4
a) Encontre o polinômio de menor grau que interpola estes pontos.
b) Encontre a função do tipo f(x) = A+B sen(πx) + C cos(πx) +D sen(2πx) +E cos(2πx) que interpolaestes pontos.
Exercício 46 Encontre a função f(x) = aebx e a função g(x) = cxd, onde a, b, c e d são constantes
reais, que passam pelos seguintes pontos:
a) (1, 1) e (2, 10)
b) (1, 1) e (2,−10)
Exercício 47 O polinômio P (x) que interpola a função f(x) nos pontos (X, Y ), (2, 3), (3, 5) e (4, 10) é:
P (x) = Y + 2(x−X) +1
2(x−X)(x− 2)(x− 3),
Encontre (X,Y ).
Exercício 48 Para uma função f , as diferenças divididas são dadas por:
x0 = 0 f [x0] =f [x0, x1] =
x1 = 0, 5 f [x1] = f [x0, x1, x2] = −43
f [x1, x2] = 2x2 = 1, 5 f [x2] = 3
Complete a tabela.
Exercício 49 Encontre o polinômio de grau três que se anula em x = 0, x = 1 e x = 2 e é igual a 12
em x = 3. Dica: Escreva o polinômio da forma fatorada.
14
Exercício 50 Encontre o polinômio de menor grau que passa pelos pontos P (−2) = 33 , P (−1) = 7,
P (1) = −3, P (2) = −23.
a) Usando a técnica dos polinômios de Lagrange.
b) Usando a técnica das diferênças divididas.
Exercício 51(Revise a teoria de aproximação)
1. Considere o problema de aproximar o valor da integral∫ 1
0f(x)dx pelo valor da integral do polinômio
P (x) que coincide com f(x) nos pontos x0 = 0 e x2 = 1. Use a fórmula de Lagrange para encontrar
P (x). Obtenha o valor de∫ 1
0f(x)dx e encontre uma expressão para o erro de truncamento.
2. Considere o problema de aproximar o valor da integral∫ 1
0f(x)dx pelo valor da integral do polinômio
P (x) que coincide com f(x) nos pontos x0 = 0, x1 = 12e x2 = 1. Use a fórmula de Lagrange para
encontrar P (x). Obtenha o valor de∫ 1
0f(x)dx e encontre uma expressão para o erro de truncamento.
4 Problemas relativos a ajuste de curvas
Exercício 52 Considere o conjunto de N abcissas dado por xj =j−1N−1
, j = 1, . . . , N e o conjunto de
ordenadas dado por yj = sen(2πxj). Dica: Use x = [0 : 1/(N − 1) : 1]′
a) Encontre o polinômio de grau três que melhor se ajusta ao conjuto de pontos quando N = 11.
b) Encontre o polinômio de grau três que melhor se ajusta ao conjuto de pontos quando N = 101.
c) Encontre os valores de máximo e mínimos desses polinômios no intervalo [0, 1]
Exercício 53 Considere a função f(x) = ln (ex + 2e2x)
a) Determine uma aproximação para f(x) em torno da origem da forma f(x) ≈ a0 + a1x+ O(x2) usandoTaylor.
b) Determine uma aproximação para f(x) quando x >> 1.
c) Determine o polinômio de grau um que melhor se ajusta a f(x) nos pontos xj = 0, 0.01, 0.02, . . . , 0.1
d) Determine o polinômio de grau um que melhor se ajusta a f(x) nos pontos xj = 0, 0.1, 0.2, . . . , 1
e) Determine o polinômio de grau um que melhor se ajusta a f(x) nos pontos xj = 0, 1, 2, . . . , 10
f) Complete a tabela e discuta.
caso a0 a1a 1.098612 1.666667bcde
15
Exercício 54 Considere o seguinte conjunto de pontos:
xi yi0 0.011 0.712 1.103 1.404 1.615 1.816 1.957 2.098 2.229 2.3210 2.4
Encontre o polínômio de menor grau tal que o o erro quadrático médio√
1n
∑nj=1 |yj − f(xj)|2 seja inferior a
3%. Trace os grá�cos.
Exercício 55 Dado o seguinte conjunto de pontos
xi yi0 0.0110 3.4020 5.0430 6.4340 7.7150 8.9360 10.1170 11.2680 12.3990 13.51100 14.62
a) Encontre a função do tipo A ln(1 + x) +B + Cx que melhor se ajusta aos pontos dados.
b) Encontre a função do tipo A+Bx+ Cx2 que melhor se ajusta aos pontos dados.
c) Encontre a função do tipo A+B sen(2π x
100
)+C cos
(2π x
100
)+D sen
(4π x
100
)+E cos
(4π x
100
)que melhor
se ajusta aos pontos dados.
d) Encontre a função do tipo A+Bx+ Cx2 +Dx3 que melhor se ajusta aos pontos dados.
Exercício 56 Encontre a função do tipo f(x) = aebx que melhor se ajusta aos pontos dados.
16
xi yi0 3.210.1 2.620.2 2.470.3 2.010.4 1.810.5 1.590.6 1.230.7 1.300.8 1.080.9 0.861.0 0.96
a) Usando uma substituição que linearize o problema.
b) Resolvendo o sistema de equações não-linear oriundo do problema de mínimos quadrados.
Exercício 57 Encontre a função do tipo A+B cos(2π x
10+ φ
)que melhor se ajusta ao seguintes pontos:
xi yi0 -16.221 -23.662 -22.743 -12.474 3.055 17.096 25.057 23.808 12.689 -2.0910 -15.71
Exercício 58 Considere o seguinte conjunto de pontos
i 1 2 3 4 5 6xi 10 12 14 16 18 20yi 1.67 1.50 1.34 1.20 1.08 0.97
a) Calcule o valor de y quando x = 15 usando um ajuste por uma reta envolvendo todos os pontos.
b) Calcule o valor de y quando x = 15 usando um ajuste do tipo f(x) = Ae−x/10 + Be−x/20 de todos ospontos.
Exercício 59(Entenda casos particulares)
1. Mostre que o coe�ciente angular da reta do tipo y = ax que melhor se ajusta a um conjunto de pontos{(xj, yj)}nj=1 é dado por
a =
∑nj=1 xjyj∑nj=1 x
2j
17
2. Mostre que os coe�cientes da reta y = a+bx que melhor se ajusta a um conjunto de pontos {(xj, yj)}nj=1
é dado por
a =
(∑nj=1 x
2j
)(∑nj=1 yj
)−
(∑nj=1 xjyj
)(∑nj=1 xj
)n(∑n
j=1 x2j
)−
(∑nj=1 xj
)2
b =n(∑n
j=1 xjyj
)−
(∑nj=1 xj
)(∑nj=1 yj
)n(∑n
j=1 x2j
)−(∑n
j=1 xj
)2
5 Problemas relativos a Interpolação segmentada via Spline Cúbico
Exercício 60 Construa o spline natural que interpola os pontos (1, 0), (2, 0), (3, 4) e (4, 10) e calcule o
valor mínimo que o spline atinge.
Exercício 61 Um corpo de massa 2Kg se desloca sob a ação de uma força F , as coodernadas x e y de
sua posição são conhecidas para o seguinte conjunto de instantes de tempo:
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 1 0.35 -1.07 -1.23 0.54 2 0.71 -2.14 -2.45 1.08 4y 0 1.29 1.18 -0.29 -0.86 1 3.38 2.95 -0.18 -1.51 2
Onde o tempo é dado em segundos e a posição em metros. Construa os splines naturais que interpolam ascoordernadas x e y e calcule a intensidade da força no instante t = 4.5.
Exercício 62 A corrente em miliamperes em um componente eletrônico foi medida para diversos valores
de tensão em volts conforme a tabela abaixo:
V I60 1380 41100 100120 210
Calcule a corrente quando V = 105 volts e a tensão quando I = 150mA usando:
a) Interpolação polinomial entre os dois pontos mais próximos.
b) Interpolação polinomial entre os três pontos mais próximos.
c) Interpolação polinomial usando todos os quatro pontos.
d) Spline cúbico natural envolvendo os quatro pontos.
e) Ajuste da função I = aebV aos quatro pontos usando uma substituição que linearize o problema.
f) Ajuste da função V = cedI aos quatro pontos usando uma substituição que linearize o problema.
18
g) Ajuste da função I = AV α aos quatro pontos usando uma substituição que linearize o problema.
h) Ajuste da função V = BIβ aos quatro pontos usando uma substituição que linearize o problema.
Exercício 63 Encontre o valor aproximado da integral de�nida
I =
∫ 1
0
e−x2
dx
.
a) Aproximando a função f(x) = e−x2por um polinômio interpolador que coincida com a função nos
pontos x = 0, x = 1/3, x = 2/3 e x = 1.
b) Aproximando a função f(x) = e−x2por um polinômio de grau 2 que melhor se ajusta à função nos
pontos x = 0, x = 1/3, x = 2/3 e x = 1.
c) Aproximando a função f(x) = e−x2por um polinômio interpolador que coincida com a função nos
pontos x = 0, x = 1/2, e x = 1.
d) Aproximando a função f(x) = e−x2por um spline cúbico natural que coincida com a função nos pontos
x = 0, x = 1/2, e x = 1.
e) Aproximando a função f(x) = e−x2por um spline cúbico armado que coincida com a função nos pontos
x = 0, x = 1/2, e x = 1 e cujas derivadas dos extremos coincidam com as derivadas de f(x).
6 Repostas de alguns exercícios
Resposta do Exercício 2: Escrevemos o sistema na forma matricial e resolvemos: 1 1 1 01 0 10 −480 10 1 25
∼
1 1 1 00 −1 9 −480 10 1 25
∼
1 1 1 00 10 1 250 −1 9 −48
∼
∼
1 1 1 00 10 1 250 0 9.1 −45.5
∼
1 1 1 00 10 1 250 0 1 −5
∼
∼
1 1 0 50 10 0 300 0 1 −5
∼
1 1 0 50 1 0 30 0 1 −5
∼
∼
1 0 0 20 1 0 30 0 1 −5
Portanto x = 2, y = 3, z = −5
Resposta do Exercício 3:
a) x = [4 3 2]T
19
b) O sistema é equivalente a
εx1 + εx2 + (1 + ε)x3 = 2εx1 + (1 + ε)x2 + εx3 = 3(1 + ε)x1 + εx2 + εx3 = 4
Somando as três equações temos
(1 + 3ε)(x1 + x2 + x3) = 9 =⇒ x1 + x2 + x3 =9
1 + 3ε
Subtraímos ε(x1 + x2 + x3) da cada equação do sistema original e temos:
x3 = 2− 9ε1+3ε
x2 = 3− 9ε1+3ε
x1 = 4− 9ε1+3ε
Assim temos:
xε = [4 3 2]T − 9ε
1 + 3ε[1 1 1]T
Resposta do Exercício 4: a)V5 = 98.44V b) V5 = 103.4V
O problema com cinco incógnitas pode ser escrito na forma matricial conforme a seguir:
1 0 0 0 0
1R1
−(
1R1
+ 1R2
+ 1R5
)1R2
0 0
0 1R2
−(
1R2
+ 1R3
+ 1R6
)1R3
0
0 0 1R3
−(
1R3
+ 1R4
+ 1R7
)1R4
0 0 0 1R4
−(
1R4
+ 1R8
)
V1
V2
V3
v4
V5
=
V
0
0
0
0
Este problema pode ser implementado no Scilab (para o item a) com o seguinte código:
R1=2, R2=2, R3=2, R4=2, R5=100, R6=100, R7=100, R8=50, V=127
A=[1 0 0 0 0;
1/R1 -(1/R1+1/R2+1/R5) 1/R2 0 0;
0 1/R2 -(1/R2+1/R3+1/R6) 1/R3 0;
0 0 1/R3 -(1/R3+1/R4+1/R7) 1/R4;
0 0 0 1/R4 -(1/R4+1/R8)]
v=[V; 0; 0; 0; 0]
y=A\v
20
O problema com quatro incógnitas pode ser escrito na forma matricial conforme a seguir:
−(
1R1
+ 1R2
+ 1R5
)1R2
0 0
1R2
−(
1R2
+ 1R3
+ 1R6
)1R3
0
0 1R3
−(
1R3
+ 1R4
+ 1R7
)1R4
0 0 1R4
−(
1R4
+ 1R8
)
V2
V3
v4
V5
=
− VR1
0
0
0
Cuja implementação pode ser feita conforme
A=[ -(1/R1+1/R2+1/R5) 1/R2 0 0;
1/R2 -(1/R2+1/R3+1/R6) 1/R3 0;
0 1/R3 -(1/R3+1/R4+1/R7) 1/R4;
0 0 1/R4 -(1/R4+1/R8)]
v=[-V/R1; 0; 0; 0]
y=A\v
Resposta do Exercício 5: x = [1.6890368 1.6890368 1.5823257 1.2667776 0.6333888]T
Resposta do Exercício 6: Dica: P (−1) = −3, P (1) = −1 e P (2) = 9 produzem três equações lineares
para os coe�cientes a, b e c. Resp: a) P (x) = 3x2 + x − 5, b) A ≈ 2.49 e B ≈ −1.29 c)A1 ≈ 1.2872058,A2 ≈ −4.3033034, B1 ≈ 2.051533 e B2 ≈ −0.9046921.
Resposta do Exercício 7: 1 1/2 −1/21/3 −1/2 1/6−1/3 0 1/3
Resposta do Exercício 8: λ = 71×3041
≈ 51.95122, para λ = 51: k1 = k∞ = 350.4, k2 = 262.1. Para
λ = 52: k1 = k∞ = 6888, k2 = 5163.
Resposta do Exercício 9: k1 = k∞ = 6888, k2 =√26656567 e k1 = 180, k2 = 128.40972 e k∞ = 210
Resposta do Exercício 10: 18ε+ 3. Quando ε → 0+, a matriz converge para uma matriz singular e o
número de condicionamento diverge para +∞.
Resposta do Exercício 11: As soluções são [−0.0000990 0.0000098]T e [0.0098029 0.0990294]T . A
grande variação na solução em função de pequena variação nos dados é devido ao mau condicionamento damatriz (k1 ≈ 1186274.3).
Exemplo de implementação:
21
A=[1e5 -1e4+1e-2; -1e4+1e-2 1000.1]
b1=[-10 1]'
b2=[-9.999 1.01]'
A\b1
A\b2
Resposta do Exercício 13:
epsilon=1e-3;
A=[1 -1 0 0 0; -1 2 -1 0 0; 0 -1 (2+epsilon) -1 0; 0 0 -1 2 -1; 0 0 0 1 -1]
v=[1 1 1 1 1]'
xgauss=gauss([A v])
function x=q_Jacobi()
x0=[0 0 0 0 0]'
i=0
controle=0
while controle<3 & i<1000
i=i+1
x(1)=1+x0(2)
x(2)=(1+x0(3)+x0(1))/2
x(3)=(1+x0(2)+x0(4))/(2+epsilon)
x(4)=(1+x0(3)+x0(5))/2
x(5)=x0(4)-1
delta=norm(x-x0,2)
if delta<1e-6 then
controle=controle+1
else
controle=0
end
mprintf('i=%d, x1=%f, x5=%f, tol=%.12f\n',i,x(1),x(5),delta)
x0=x;
end
endfunction
function x=q_Gauss_Seidel()
x0=[0 0 0 0 0]'
i=0
controle=0
while controle<3 & i<15000
i=i+1
22
x(1)=1+x0(2)
x(2)=(1+x0(3)+x(1))/2
x(3)=(1+x(2)+x0(4))/(2+epsilon)
x(4)=(1+x(3)+x0(5))/2
x(5)=x(4)-1
delta=norm(x-x0,2)
if delta<1e-2 then
controle=controle+1
else
controle=0
end
mprintf('i=%d, x1=%f, x5=%f, tol=%.12f\n',i,x(1),x(5),delta)
x0=x;
end
endfunction
Resposta do Exercício 15: 0.324295, 0.324295, 0.317115, 0.305943, 0.291539, 0.274169, 0.253971,
0.230846, 0.203551, 0.165301, 0.082650Exemplos de rotinas:
function x=jacobi()
x0=zeros(11,1)
k=0;
controle=0;
while controle<3 & k<1000
k=k+1
x(1)=x0(2)
for j=2:10
x(j)=(cos(j/10)+x0(j-1)+x0(j+1))/5
end
x(11)=x0(10)/2
delta=norm(x-x0) //norma 2
if delta<1e-5 then
controle=controle+1
else
controle=0;
end
mprintf('k=%d, x=[%f,%f,%f], tol=%.12f\n',k,x(1),x(2),x(3),delta)
x0=x;
end
endfunction
23
function x=gs()
x0=zeros(11,1)
k=0;
controle=0;
while controle<3 & k<1000
k=k+1
x(1)=x0(2)
for j=2:10
x(j)=(cos(j/10)+x(j-1)+x0(j+1))/5
end
x(11)=x0(10)/2
delta=norm(x-x0) //norma 2
if delta<1e-5 then
controle=controle+1
else
controle=0;
end
mprintf('k=%d, x=[%f,%f,%f], tol=%.12f\n',k,x(1),x(2),x(3),delta)
x0=x;
end
endfunction
Resposta do Exercício 16: 0.695; 0.292; 0.188; 0.0237; 0.0123; 0.00967
Exemplo de implementação:
J=[1:1:10]
x=sin(J/10)
y=J/10
z=y-y.^3/6
e=abs(x-y)./x
f=abs(x-z)./x
norm(e,1)
norm(e,2)
norm(e,'inf')
norm(f,1)
norm(f,2)
norm(f,'inf')
Resposta do Exercício 18: Permute as linhas 1 e 2.
Resposta do Exercício 19: λ = 86.1785 associado ao autovetor dado por v1 = [0.65968 0.66834 0.34372]T
Resposta do Exercício 20: 158.726
24
Resposta do Exercício 21: ∇f = [2xy − y sen(xy), x2 − x sen(xy)]T
JF =
[cos(x)− x sen(x) 1
−2e−2x+y e−2x+y
](JL)ij = aij
Resposta do Exercício 22:
∇L =
∂f∂x1
− λ ∂g∂x1
∂f∂x2
− λ ∂g∂x2
...
∂f∂xn
− λ ∂g∂xn
−g(x)
=
∇xf − λ∇xg
−g(x)
onde ∇x indica o gradiente em x.
Resposta do Exercício 25: As curvas possuem dois pontos de intersecção. A posição exata destes
pontos de intesecção é dada por(√
2√3− 3, 2
√3− 2
)e(−√
2√3− 3, 2
√3− 2
). Use a solução exata para
comparar com a solução aproximada obtida.
Resposta do Exercício 26: (±0.8241323, 0.6791941)
Resposta do Exercício 27: y = mx+ b com m ≈ −0.0459710 e b ≈ 0.479237
Uma metodologia possível para resolver este problema é dada a seguir:Sejam x1 e x2 as abscissas dos dois pontos em que a reta tangencia a curva. A equação da reta bitangente
assume a seguinte forma:y = f(x1) +m(x− x1)
onde o coe�ciente angular m é dado por
m =f(x2)− f(x1)
x2 − x1
Da condição de tangência, temos que o coe�ciente angular da reta, m, deve igual à derivada da funçãof(x) nos dois pontos de tangência.
m = f ′(x1) = f ′(x2)
E sabemos que:
f ′(x) =cos(x)
1 + x− sen(x)
(1 + x)2.
Assim podemos reescrever o problema como
cos(x1)
1 + x1
− sen(x1)
(1 + x1)2− cos(x2)
1 + x2
+sen(x2)
(1 + x2)2= 0
cos(x1)
1 + x1
− sen(x1)
(1 + x1)2− f(x2)− f(x1)
x2 − x1
= 0
25
Este é um sistema não-linear de duas incógnitas.Os valores iniciais para o método podem ser obtidos do grá�co buscando valores próximos aos dois primeiros
pontos de máximos. Por exemplo: x(0)1 = 1 e x
(0)2 = 8. Obtemos x1 ≈ 1.2464783 e x2 ≈ 8.1782997 e m pode
ser obtido através desses valores.
Resposta do Exercício 28: (0.1956550; 0.2441719), (0.3694093; 0.4590564), (0.9990712; 1.1865168) e
(1.4773606; 1.5552232)
Resposta do Exercício 29: (0.0449310; 0.0648872; 0.0698750), (0.3981385; 0.5658310; 0.6069019),
(1.1862966; 1.4348545; 1.480127)
Resposta do Exercício 30: Exemplo de implementação:
function z=f(x,y)
z=x^2/8+(y-1)^2/5-1
endfunction
function z=g(x,y)
z=atan(x)+x-y-y^3
endfunction
contour([-3:.1:3],[-2:.1:4],f,[0 0])
contour([-3:.1:3],[-2:.1:4],g,[0 0])
function y=F(x)
y(1)=f(x(1),x(2))
y(2)=g(x(1),x(2))
endfunction
function y=JF(x)
y(1,1)=x(1)/4
y(1,2)=2*(x(2)-1)/5
y(2,1)=1/(1+x(1)^2)+1
y(2,2)=-1-3*x(2)^2
endfunction
//primeiro ponto
//x=[-1.2;-1.0]
//segundo ponto
//x=[2.8;1.4]
x=x-JF(x)\F(x) \\ 4 vezes
Resposta do Exercício 32: Queremos minimizar a função
C(x1, x2, x3) = C1(x1) + C2(x2) + C3(x3)
restrita à condiçãoG(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 − 1500 = 0
26
Pelos multiplicadores de Lagrange, temos que resolver o problema dado por:
∇C(x1, x2, x3) = λ∇G(x1, x2, x3)
G(x1, x2, x3) = 0
Resposta �nal: (x1, x2, x3) ≈ (453.62, 901.94, 144.43)
Resposta do Exercício 33: A ≈ 3.0297384 e b ≈ 1.4835346.
Resposta do Exercício 34: f(−1.1579702,−1.2020694) ≈ 2.376985
Resposta do Exercício 36: x ≈ 0.2982646, y ≈ −0.2990796, z ≈ −1.6620333 e x ≈ −0.0691328, y ≈0.2923039, z ≈ −.8235705.
Resposta do Exercício 38:
F (x) =
x1 − x2
−x1 + 5(x2 + x32)− x3 − 10 exp(−2/3)
−x2 + 5(x3 + x33)− x4 − 10 exp(−3/3)
−x3 + 5(x4 + x34)− x5 − 10 exp(−4/3)
...−x9 + 5(x10 + x3
10)− x11 − 10 exp(−10/3)
x11 − 1
JF (x) =
1 −1 0 0 0 . . . 0
−1 5(1 + 3x22) −1 0 0 . . . 0
0 −1 5(1 + 3x23) −1 0 . . . 0
0 0 −1 5(1 + 3x24) −1 . . . 0
......
......
. . ....
0 0 0 0 0 · · · 1
Exemplo de implementação no Scilab:
function y=F(x)
y(1)=x(1)-x(2)
for j=2:10
y(j)=-x(j-1)+5*(x(j)+x(j)^3)-x(j+1)-10*exp(-j/3)
end
y(11)=x(11)-1
endfunction
function y=JF(x)
y=zeros(11,11)
27
y(1,1)=1
y(1,2)=-1
for j=2:10
y(j,j-1)=-1
y(j,j)=5*(1+3*x(j)^2)
y(j,j+1)=-1
end
y(11,11)=1
endfunction
Resposta �nal: 0.80447, 0.80447, 0.68686, 0.57124, 0.46535, 0.37061, 0.28883, 0.22433, 0.19443, 0.28667, 1
Resposta do Exercício 39: f(0.8108792, 1.6217584) ≈ 0.1950369 e f(0.5527864, 1.1055728) ≈ 0.1455298
Resposta do Exercício 40: x ≈ 0.259751, y ≈ 0.302736, z ≈ 0.045896
Resposta do Exercício 41: 1.5, 1.6,−1.3862944 e 0.7666667, 2.1333333,−0.4700036
Resposta do Exercício 42: O número de condicionamento é k2 ≈ 109.
Resposta do Exercício 43:
a) P (x) = 1.1− 0.05x+ 0.15x2
e) P (1.5) = 1.3625
Resposta do Exercício 45: 1 + 9x − 23x2 − 16x3 + 32
3x4, A ≈ 2.646447, B ≈ 1.207107, C ≈ −1.5,
D ≈ 0.560660 e E ≈ −0.146447
Resposta do Exercício 46: a = 1/10, b = ln(10), c = 1, d = log2(10). Item b é impossível (explique).
Resposta do Exercício 47: X = Y = 1
Resposta do Exercício 48:
x0 = 0 f [x0] = −1f [x0, x1] = 4
x1 = 0, 5 f [x1] = 1 f [x0, x1, x2] = −43
f [x1, x2] = 2x2 = 1, 5 f [x2] = 3
Resposta do Exercício 49: P (x) = 2(x− 0)(x− 1)(x− 2) = 2x3 − 6x2 + 4x
28
Resposta do Exercício 52:
a) −0.063509 + 10.724x− 31.79094x2 + 21.19396x3
b) −0.183742 + 11.81227x− 34.33435x2 + 22.88957x3
c) ±0.9832485 e ±0.9969133
Exemplo de implementação
N=11
x=[0:1/(N-1):1]'
y=sin(2*%pi*x)
A=[ones(N,1) x x^2 x^3] //Constrõe matriz
p=(A'*A)\(A'*y) //Calcula coeficientes pelo método dos mínimos quadrados
P=poly(p,'x','coeff') //Constroi uma estrutura do tipo polinômio com os coeficientes calculados
Q=derivat(P) //Deriva P
r=roots(Q) //Calcula raízes da derivada de P
m=horner(P,r) //Avalia P nos valores de x quando P'(x)=0
Resposta do Exercício 53: ln(3) + 53x, ln(2) + 2x f(x) = 1.098448 + 1.677661x, f(x) = 1.084685 +
1.764505x, f(x) = 0.889149 + 1.973142x
Resposta do Exercício 54: f(x) = 0.0242657 + 0.781486x − 0.146192x2 + 0.015087x3 − 0.0005914x4
com erro associado de aproximadamente 1.56%
Resposta do Exercício 55:
a) A = 0.9945281, B = 0.0106751 e C = 0.1001582
b) A = 0.8676923, B = 0.1951841 e C = −0.0006100
c) A = 8.5747609, B = −3.7874124, C = −0.5557882, D = −1.7627729 e E = −0.3565816
d) A = 0.3694406, B = 0.2743508, C = −0.0026861, D = 0.0000138
Resposta do Exercício 56:
a) f(x) = 3.0479e−1.2937x. Introduzidos a mudança de variáveis Y = ln(y) e temos o problema de ajustaro conjunto de pontos (xj, ln(yj)) a uma curva do tipo Y = ln(a) + bx.
b) f(x) = 3.1246e−1.3545x Para resolver este problema, precisar encontrar os parâmetros a e b que minimizamo erro dado por:
Eq(a, b) =11∑j=1
(aebxj − yj
)2
29
O mínimo acontece quando as derivadas parciais se anulam:
∂Eq
∂a=
11∑j=1
2(aebxj − yj
)ebxj
∂Eq
∂b=
11∑j=1
2(aebxj − yj
)axje
bxj
Portanto o problema que precisamos resolver pode ser escrito na forma F (p) = 0 onde
F
([ab
])=
[ ∑11j=1
(ae2bxj − yje
bxj)
∑11j=1 xj
(a2e2bxj − ayje
bxj)]
Cuja jacobiana associada é dada por
JF =
[ ∑11j=1 e
2bxj∑11
j=1 xj
(2ae2bxj − yje
bxj)
∑11j=1 xj
(2ae2bxj − yje
bxj) ∑11
j=1 x2j
(2a2e2bxj − ayje
bxj)]
Eis uma possível implementação para as funções escolhidas:
function z=F(p)
xy=[0 3.21
0.1 2.62
0.2 2.47
0.3 2.01
0.4 1.81
0.5 1.59
0.6 1.23
0.7 1.30
0.8 1.08
0.9 0.86
1.0 0.96];
x=xy(:,1);
y=xy(:,2);
a=p(1)
b=p(2)
z=[0 0]'
for j=1:11
z(1) = z(1) +a*exp(2*b*x(j))-y(j)*exp(b*x(j))
z(2) = z(2) + x(j)*(a^2*exp(2*b*x(j))-a*exp(b*x(j))*y(j))
end
endfunction
function z=JF(p)
30
xy=[0 3.21
0.1 2.62
0.2 2.47
0.3 2.01
0.4 1.81
0.5 1.59
0.6 1.23
0.7 1.30
0.8 1.08
0.9 0.86
1.0 0.96];
x=xy(:,1);
y=xy(:,2);
a=p(1)
b=p(2)
z=[0 0;0 0]
for j=1:11
z(1,1) = z(1,1) + exp(2*b*x(j))
z(1,2) = z(1,2) - y(j)*x(j)*exp(b*x(j))+2*a*x(j)*exp(2*b*x(j))
z(2,1) = z(2,1) -y(j)*x(j)*exp(b*x(j))+2*a*x(j)*exp(2*b*x(j))
z(2,2) = z(2,2)- x(j)^2*(a*exp(b*x(j))*y(j)-2*a^2*exp(2*b*x(j)))
end
endfunction
Resposta do Exercício 57:
f(x) = 0.4903914− 16.614305 cos(2π
x
10
)− 18.758209 sen
(2π
x
10
)= 0.4903914 + 25.058043 cos
(πx5
+ 2.2956592)
Resposta do Exercício 58: 1.29, 1.27
Resposta do Exercício 60: -.3592402
Resposta do Exercício 61: 11.99N .
Deve-se construir dois splines, um da interpolar x(t) e outro para y(t). A força é dada por F = ma ondea =
√a2x + a2y.
Exemplo de implementação.
t=[0:1:10]'
x=[1 0.35 -1.07 -1.23 0.54 2 0.71 -2.14 -2.45 1.08 4]'
y=[0 1.29 1.18 -0.29 -0.86 1 3.38 2.95 -0.18 -1.51 2]'
31
sx=spline_nat(t,x)
sy=spline_nat(t,y)
ax = 6*sx(5,1)*(4.5-4) + 2*sx(5,2) //Aceleração em x no ponto 4.5
ay = 6*sy(5,1)*(4.5-4) + 2*sy(5,2) //Aceleração em y no ponto 4.5
a= sqrt(ax^2+ay^2)
F=2*a
Resposta do Exercício 62:
a) I = −450 + 5.5V, I = 127.5
V = 81.818182 + 0.1818182I, V = 109.09091
b) I = 315− 8.525V + 0.06375V 2, I = 122.71875
V = 62.288819 + 0.4701088I − 0.0009300I2, V = 111.88082
c) I = 0.7890648V − 0.0268251V 2 + 0.0002901V 3, I = 122.9846
V = 47.499488 + 1.0491429I − 0.0069591I2 + 0.0000172I3, V = 106.26396
d)
I =
13.+ 1.1566667(V − 60) + 0.0006083(V − 100)3, 60 ≤ V ≤ 80
41.+ 1.8866667(V − 80) + 0.0365(V − 80)2 + 0.0008333(V − 80)3, 80 < V ≤ 1000100.+ 4.3466667(V − 100) + 0.0865(V − 100)2 − 0.0014417(V − 100)3, 100 < V ≤ 120
I = 123.71563
V =
60.+ 0.7737863(I − 13)− 0.0000759(I − 13)3, 13 ≤ I ≤ 41
80.+ 0.5952845(I − 41)− 0.0063751(I − 41)2 + 0.0000344(I − 41)3, 41 < I ≤ 100100.+ 0.2025090(I − 100)− 0.0002821(I − 100)2 + 0.0000009(I − 100)3, 100 < I ≤ 210
V = 109.52695
e) I = 0.9053507e0.0461904V , I = 115.64848
f) V = 65.198412e0.0031849I , V = 105.12663
g) I = 0.0000010V 4.0105224, I = 122.29946
h) V = 31.674488I0.2493400, V = 110.48317
Resposta do Exercício 63: 0.7469923, 0.7469923, 0.7471804, 0.7432279,0.7467991
32
