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MARINHA DO BRASIL
CENTRO DE INSTRUÇÃO ALMIRANTE BRAZ DE AGUIAR
SUPERINTENDÊNCIA DE ENSINO
III Lista de Exercícios de Cálculo I
1. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1m�/s.
O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível h da água está
subindo no instante em que � 5m.
2. Um ponto move-se sobre uma semicircunferência �� �� 5, � � 0. Suponha ���� � 0.
Determine o ponto da curva em que a velocidade de � seja o dobro da de �.
3. A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo � é � ��� sen �, � � 0.
a) Determine a velocidade e a aceleração no instante t.
b) Calcule
lim���� ��� sen � . c) Esboce o gráfico da função.
4. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo � varia com o tempo segundo a
equação
� !" #1 $ ��%�&, � � 0
onde ! e " são constantes estritamente positivas.
a) Qual a velocidade no instante t?
b) Justifique a afirmação: “a função é estritamente crescente”.
c) Qual a aceleração no instante t?
d) Justifique a afirmação: “o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo”.
e) Esboce o gráfico da função.
5. Um ponto P move-se ao longo do gráfico de
� 1�� 1
de tal modo que a sua abscissa � varia a uma velocidade constante de 5m/s. Qual a velocidade de
� no instante em que � 10m ?
6. Um ponto move-se ao longo da elipse �� 4�� 1. A abscissa � está variando a uma velocidade (�(� sen 4� .
Mostre que (�(� $� sen 4�
4� .
7. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for
afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade
superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede?
8. Seja � �� 3�.
a) Calcule o diferencial.
b) Calcule o erro que se comete na aproximação de ∆� por (�.
9. Seja . 4/0�/3, 0 � 0.
a) Calcule o diferencial.
b) Interprete geometricamente (..
10. Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1m� de volume. Nas laterais e no fundo será
utilizado material que custa R$ 10 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20 o metro quadrado.
Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
11. Duas partículas P e Q movem-se, respectivamente, os eixos 0� e 0�. A função da posição de P é
� √� e a de Q , � �� $ 3/4, � � 0. Determine o instante em que a distância entre P e Q seja a
menor possível.
12. Calcule.
2& 3#6�� 5� 1&(�
5& 3 1 $ 2��� (�
7& 3#38��9 3&(�
(& 3#��: ���:&(�
�& 3#√�; 3 cos 3�&(�
=& 3#sen 3� cos 5�&(�
>& 3?sen �3 11 �� $
1√1 $ ��@ (�
�& 3 � sen ��(�
A& 3#���:; �� cos �B&(�
C& 3 ?senD� cos � 116 4�� $
�√1 $ �B@ (�
E& 3#sec� � tg � sec� �&(�
H& 3#sen� � sen � sec� �&(�
I& 3 cos� � (�
J& 3 ��1 �K (�
L& 3 sen� � cos� � (�
13. Determine a função � �#�&, � M N, tal que
2& (�(� 3� $ 1 e �#0& 2
5& (�(� cos � e �#0& 0
7& (�(� sen 3� e �#0& 1
(& (�(� �2 3 e �#$1& 0
�& (�(� ��: e �#0& 1
14. Uma partícula desloca-se sobre o eixo � com velocidade #�& 2� $ 3, � � 0. Sabe-se que no
instante � 0 a partícula encontra-se na posição � 5. Determine o instante em que a partícula
estará mais próxima da origem.
15. Calcule:
2& 3 #� 3&(�O!
5& 3 P� $ ��2 Q(�
�!
7& 3 sen 3� (�RB!
(& 3 #� 1&�(�O!
�& 3 #cos 3� 3&(�R�!
=& 3 sec� � (�R/B!
>& 3 ���:S(�O�O
16. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de � � e � ��/2, com 0 T � T 2.
17. Calcule a área do conjunto de todos os pontos #�, �& tais que �� T � T √�.