Universidade de BrasıliaDepartamento de Matematica

Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 1

1) Dizemos que um numero r e raiz de uma funcao f(x) quando f(r) = 0. Nesse exercıciovamos considerar um procedimento para obter uma raiz de uma funcao f por apro-ximacoes sucessivas, conhecido como metodo de Newton. Ele fornece, a partir de umadada aproximacao xn da raiz, uma nova aproximacao xn+1 dada pela intersecao do eixox com a reta tangente a f em xn.

xr

xn xn+1

f

a) Usando a equacao da reta tangente a f em xn, mostre que xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn).

b) Suponha que f(x) e f ′(x) sao funcoes contınuas. Mostre que, se limxn = r, entao re uma raiz de f .

c) Aplicando o primeiro item para a funcao f(x) = x2− 2, mostre que xn+1 =xn2

+1

xn.

Quais raızes que estamos aproximando nesse caso?

d) No item anterior, comecando da aproximacao inical x1 = 2, obtenha as 4 aproximacoesseguintes.

2) O objetivo desse exercıcio e mostrar que limn!

nn= 0.

a) Verifique quen!

nn=n

n

n− 1

n

n− 2

n· · · 3

n

2

n

1

n

b) Usando o item anterior, mostre que 0 <n!

nn≤ 1

n.

c) Usando o item anterior, mostre que limn!

nn= 0.

3) O objetivo desse exercıcio e mostrar que lim n√n = 1.

a) Verifique que log ( n√n) = log(n)

n.

b) Usando o item anterior, verifique que n√n = exp

(log(n)

n

).

c) Usando o item anterior, mostre que lim n√n = 1.

4) O objetivo desse exercıcio e mostrar que lim(1 + 1

n

)n= e.

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a) Verifique que log((

1 + 1n

)n)=

log(1+ 1n)

1n

.

b) Usando o item anterior, verifique que(1 + 1

n

)n= exp

(log(1+ 1

n)1n

).

c) Usando o item anterior, mostre que lim(1 + 1

n

)n= e.

5) (Desafio) A sequencia rn da razoes dos termos consecutivos da sequencia de Fibonaccisatisfazem r1 = 1 e a equacao de recorrencia

rn+1 = 1 +1

rn

Por outro lado, a razao aurea ϕ > 1 satisfaz uma equacao parecida

ϕ = 1 +1

ϕ

O objetivo desse exercıcio e mostrar que

limn→∞

rn = ϕ

a) Subtraindo as equacoes acima, mostre que

rn+1 − ϕ =ϕ− rnrnϕ

para todo n.

b) Usando o item anterior e que rn ≥ 1, mostre que

|rn+1 − ϕ||rn − ϕ|

≤ 1

ϕ

para todo n.

c) Usando o item anterior repetidas vezes, mostre que

|rn+1 − ϕ| ≤1

ϕn|r1 − ϕ|.

d) Utilizando o item anterior, conclua que lim rn = ϕ.

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Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 2

1) Vamos investigar a dinamica, num dado paıs, da relacao entre a renda Yn produzida noano n e o capital Kn acumulado ate o ano n atraves de um modelo bem simples. Temosque a renda anual cresce a uma taxa constante positiva g, de modo que

Yn+1 = (1 + g)Yn

e que o capital se acumula por uma taxa de poupanca contante positiva s e se depreciaa uma taxa constante positiva d, de modo que

Kn+1 −Kn = sYn − dKn

Denotando a razao capital pela renda no ano n por βn = Kn/Yn e o seu limite quando ntende por infinito por β, responda os seguintes itens.

a) Mostre que βn+1 =s

1 + g+

1− d1 + g

βn.

b) Use o item anterior para mostrar que

βm =s

1 + g

(1 +

1− d1 + g

+

(1− d1 + g

)2

+ · · ·+(

1− d1 + g

)m−1)

+

(1− d1 + g

)m

β0

c) Conclua que β =s

g + d.

2) Para cada serie telescopica abaixo, escreva a serie com a notacao de somatorio, encontreuma formula fechada para suas somas parciais e use-a para encontrar o valor da serie.

a)5

1 · 2+

5

2 · 3+

5

3 · 4+ · · ·+ 5

n(n+ 1)+ · · ·

b) log

(k

k + 1

)+ log

(k + 1

k + 2

)+ log

(k + 2

k + 3

)+ · · ·+ log

(n

n+ 1

)+ · · ·

3) Escreva as expressoes abaixo como series de potencias da forma∞∑n=0

cnxn, determinando

seus coeficientes cn.

a) A expressao (1− x)∞∑n=0

1

n!xn.

b) A expressao (1− x)∞∑n=0

(n+ 1)xn.

c) A expressao (1− x2)∞∑n=0

1

n!xn.

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d) A expressao (1− x2)∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)xn.

4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

a) Se a serie∞∑n=0

an converge, entao lim an = 0.

b) Se lim an = 0, entao a serie∞∑n=0

an converge.

c) Se as series∞∑n=0

an e∞∑n=0

bn divergem, entao∞∑n=0

(an + bn) diverge.

d) Se 0 ≤ an ≤ bn e a serie∞∑n=0

bn diverge, entao a serie∞∑n=0

an diverge.

5) (Desafio) O tapete de Sierpinski 1 e a figura geometrica S construıda a partir de umlimite passo-a-passo da seguinte maneira:

S0 S1 S2 S3 · · · S

S0 : Comecamos com um quadrado S0 de lado 1 (preenchido de preto).

S1 : Do centro do quadrado S0 retiramos um quadrado menor de lado 1/3 (preenchidode branco), obtendo assim a figura S1, formada por 8 quadrados (preenchidos depreto).

S2 : Do centro de cada um dos 8 quadrados de S1 retiramos um quadrado menor delado (1/3)2 = 1/9 (preenchidos de branco), obtendo assim a figura S2, formada por82 = 64 quadrados (preenchidos de preto).

S3 : Do centro de cada um dos 82 quadrados de S2 retiramos um quadrado menor delado (1/3)3 (preenchidos de branco), obtendo assim a figura S3, formada por 83

quadrados (preenchidos de preto).

· · ·

O tapete de Sierpinski S e a figura limite obtida ao final desse processo. Vamos mostrarque essa figura tem area 0 e perımetro infinito: e portanto uma regiao de area zero queprecisa de uma cerca de comprimento infinito para cerca-la. Observe que o perımetro deS e o comprimento da fronteira entre a regiao preenchida de preto e a regiao preenchidade branca, portanto e o perımetro do quadrado inicial somado aos perımetros de todosos quadrados retirados.

a) Mostre que o perımetro de S e dado pela soma infinita

P = 4 + 4(1/3) + 8 · 4(1/3)2 + 82 · 4(1/3)3 + 83 · 4(1/3)4 + · · ·1Matematico polones que inventou essa figura em 1915.

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b) Conclua que P =∞.

c) Mostre que a area de S e dada pela soma infinita

A = 1− [(1/3)]2 − 8[(1/3)2]2 − 82[(1/3)3]2 − 83[(1/3)4]2 − · · ·

d) Conclua que A = 0.

Observacao: podemos pensar que o tapete de Sierpinski e uma

maneira de, ocupando uma area pequena, descrever um perımetro

grande. Seu analogo tridimensional, o cubo de Sierpinski, e cons-

truıdo a partir de um cubo e possui volume zero e area da superfıcie

infinita. E uma maneira de, ocupando um volume pequeno, des-

crever uma area de superfıcie grande. Os galhos de uma arvore e

os alveolos de um pulmao, por exemplo, parecem seguir esse tipo

de figura para -ocupando o mınimo de volume no espaco- obter

uma grande superfıcie de absorcao de gases (e tambem de luz, no

caso da arvore). Esse tipo de figura e hoje conhecida como fractal.

Para mais sobre isso, leia o artigo “Intuicoes fractais”, de Joao

Moreira Salles na revista Piauı, Edicao 50, Novembro de 2010.

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Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 3

1) Para cada serie de potencias abaixo, expanda os primeiros quatro termos nao nulos edescubra para quais valores de x ∈ R a serie converge.

a)∞∑n=1

1

nxn.

b)∞∑n=0

1

n!xn.

c)∞∑k=0

(−1)k

(2k)!x2k.

d)∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1.

2) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

a) Se∞∑n=0

|an| converge, entao∞∑n=0

(an)2 tambem converge.

b) Se∞∑n=0

(an)2 converge, entao∞∑n=0

|an| tambem converge.

c) Se lim n√|an| < 1, entao lim an = 0.

d) Para cada x ∈ R, temos que limxn

n!= 0.

e) Se lim

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1, entao∞∑n=0

an converge.

f) Se lim

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1, entao∞∑n=0

an diverge.

g) Se o limite limx→c

∞∑n=0

cnxn existe, entao ele e igual a

∞∑n=0

cncn.

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Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 4

1) O objetivo desse exercıcio e descobrir para que valores de p a serie p-harmonica

∞∑n=1

1

np=∞∑n=1

(1

n

)p

converge ou diverge.

a) Mostre que, para qualquer p, o teste da raiz e o teste da razao sao inconclusivos.

b) Para p > 1, use o teste da integral para mostrar que a serie converge.

c) Para 0 < p ≤ 1, use o teste da integral para mostrar que a serie diverge. Essa e umaoutra forma de mostrar que a serie harmonica (p = 1) e divergente.

2) O objetivo desse exercıcio e apresentar series de potencias que possuem o mesmo raio deconvergencia, mas com domınios diferentes. Verifique as seguintes afirmacoes.

a) O domınio de∞∑n=0

1

2nxn e o intervalo aberto (−2, 2) com raio 2.

b) O domınio de∞∑n=1

1

n2nxn e o intervalo [−2, 2) com raio 2.

c) O domınio de∞∑n=1

(−1)n

n2nxn e o intervalo (−2, 2] com raio 2.

d) O domınio de∞∑n=1

1

n22nxn e o intervalo fechado [−2, 2] com raio 2.

e) O domınio de∞∑k=1

(−1)k

k4kx2k e o intervalo fechado [−2, 2] com raio 2.

3) O objetivo desse exercıcio e apresentar algumas series de potencias que naturalmentepossuem raio de convergencia diferente de zero, de um e de infinito.

a) Considere fn a sequencia de Fibonacci. Utilizando o teste da razao, mostre que o raiode convergencia de

∞∑n=1

fnxn

e igual dado por R = 1/φ, onde φ e a razao aurea.

b) Utilizando o teste da raiz, mostre que o raio de convergencia de

∞∑n=1

(1 +

1

n

)n2

xn

e dado por R = 1/e.

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c) Utilizando o teste da razao, mostre que o raio de convergencia de

∞∑n=1

nn

n!xn

e dado por R = 1/e.

4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

a) Se an e positiva e a serie∞∑n=0

an converge, entao a serie∞∑n=0

(−1)nan converge.

b) Se a serie∞∑n=0

|an| diverge, entao a serie∞∑n=0

an diverge.

c) Toda serie alternada converge.

d) Todo polinomio e uma serie de potencias com raio de convergencia infinito.

e) Se uma serie de potencias∞∑n=0

cnxn tem raio de convergencia R = 1 entao seu domınio

e (−1, 1).

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Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 5

1) Considere as funcoes

y(x) =∞∑n=0

(−1)nxn

n!

e

z(x) =∞∑k=0

(−4)kx2k

(2k)!

definidas para todo x ∈ R.

a) Calcule y′(x).

b) Verifique que y′(x) + y(x) = 0.

c) Calcule z′′(x).

d) Verifique que z′′(x) + 4z(x) = 0.

2) Considere y(x) =∞∑n=0

cnxn e escreva as expressoes abaixo como series de potencias da

forma∞∑n=0

dnxn, determinando seus coeficientes dn.

a) A expressao −2xy′(x).

b) A expressao xy′′(x).

c) A expressao (1− x)y′′(x).

d) A expressao (1− x2)y′′(x).

3) O objetivo desse exercıcio e analisar as series de Taylor das funcoes seno e cosseno.

a) Mostre que

sen(n)(x) =

{(−1)k sen(x), n = 2k(−1)k cos(x), n = 2k + 1

e que

cos(n)(x) =

{(−1)k cos(x), n = 2k−(−1)k sen(x), n = 2k + 1

b) Determine as series de Taylor de sen(x) e de cos(x).

c) Sabendo que sen(x) e de cos(x) coincidem com suas series de Taylor, determine as

series de Taylor de

∫sen(x2) dx e de

∫cos(x2) dx.

4) O objetivo desse exercıcio e analisar as series de Taylor das funcoes seno e cosseno hi-perbolicos, dadas por

senh(x) =ex − e−x

2e cosh(x) =

ex + e−x

2

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a) Verifique quesenh(0) = 0 e cosh(0) = 1

e quesenh′(x) = cosh(x) e cosh′(x) = senh(x)

b) Mostre que

senh(n)(x) =

{senh(x), n = 2kcosh(x), n = 2k + 1

e que

cosh(n)(x) =

{cosh(x), n = 2ksenh(x), n = 2k + 1

c) Determine as series de Taylor de senh(x) e de cosh(x).

d) Sabendo que senh(x) e de cosh(x) coincidem com suas series de Taylor, determine as

series de Taylor de

∫senh(x2) dx e de

∫cosh(x2) dx.

5) O objetivo deste exercıcio e mostrar que uma serie de potencias que que define umafuncao par ou ımpar so possui, respectivamente, potencias pares ou ımpares.

Seja f(x) =∞∑n=0

cnxn uma serie de potencias com raio de convergencia R > 0.

a) Se f(x) e uma funcao par, isto e

f(−x) = f(x)

mostre que a serie de potencias so possui potencias pares.

b) Se f(x) e uma funcao ımpar, isto e

f(−x) = −f(x)

mostre que a serie de potencias so possui potencias ımpares.

6) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

a) Se o domınio de∞∑n=0

cnxn e (−1, 1], entao o domınio de

∞∑n=0

cnRn

xn e (−R,R].

b) Se∞∑n=0

cnxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = −2.

c) Se∞∑n=0

cnxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = −1.

d) Se a derivada de∞∑n=0

cnxn em x = c existe, entao ela e igual a

∞∑n=0

cnncn−1.

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