LUIZ ALVARES REZENDE DE SOUZA

ESTRATÉGIAS PARA APLICAÇÃO NOMERCADO BRASILEIRO DE OPÇÕES

Monografia apresentada como trabalho deconclusão de curso de Graduação em Economia,Departamento de Economia,Faculdade de Economia, Administração eContabilidade, Universidade de São Paulo.

Orientador:Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva

1996

AGRADECIMENTOS

Ao amigo e orientador Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva peloincentivo e acompanhamento, e pela iniciação na vida eformação acadêmica.

A minha família, meu pai e minha mãe, que desde cedo meincentivaram, e proporcionaram toda a estrutura necessáriapara a realização deste trabalho e de todo um projeto de vida.

SUMÁRIO

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 2

CAPÍTULO II - CONCEITOS BÁSICOS 3

Opções de Compra (Calls) 3

Opções de Venda (Puts) 4

Posições Compradas x Vendidas 4

Opções Européias x Americanas 5

Opções Dentro, Fora e No Dinheiro 5

Valor Intrínseco x Valor do Tempo 6

Fatores que afetam o preço de uma opção 7Preço de Exercício 7Preço no Mercado à Vista 7Tempo até o Vencimento 8Volatilidade 8Taxa de Juro 8Dividendos 8

O Modelo de Black & Sc holes 9

A Importância da Volatilidade 10

Opções Americanas e Exercício Antecipado 10

Outros Modelos de Precificação de Opções 11

Arbitragens e Posições Sintéticas 12

Liquid ação ou Encerramento de uma Posição 13

Margem de Garantia 13

CAPÍTULO III - INSTRUMENTAL DE ANÁLISE 14

Delta 14

Gama 16

Vega 18

Teta 19

Rô 20

Posições Delta-Neutras 20Opção - Ativo Objeto 21Opção - Opção 21

Posições Delta-Gamma-Neutras 22

Posições Delta-Gamma-Vega-Neutras 23

Hedge com Opções 24Front Spreads 25Back Spreads 26

Rebalanceamento 26

CAPÍTULO IV - ESTRATÉGIAS SELECIONADAS 28

Straddle 29Long Straddle 29Relações Numéricas 30Características 32Visualizações Gráficas 34Short Straddle 35

Call Ratio Spread 37Relações Numéricas 37Um Exemplo Numérico 40Visualizações Gráficas 41

Call Butterfly Spread 44Relações Númericas 44Exemplos Numéricos 46Características 47Visualizações Gráficas 48

CAPÍTULO V - APLICAÇÕES EMPÍRICAS 51

Estimações 51Dados Utilizados 52Preço de Exercício, Tempo para o Vencimento, e Preço do Ativo no Mercado à Vista 52Taxa de Juro 52Volatilidade 53

Volatilidade Histórica 54Volatilidade Implícita 55

Preços Teóricos 58Custos de Transação 60A Devolução da Corretora (Rebate) 61Margens de Garantia 61

Simulações 62Regras 62Exemplo de uma Operação 64Taxa de Retorno das Operações 65Testando Novas Regras 65Concluindo 68

CAPÍTULO VI - CONSIDERAÇÕES FINAIS 70

APÊNDICE A - O MODELO DE BLACK & SCHOLES 72

APÊNDICE B - RECURSOS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS 74

APÊNDICE C - TABELAS DE DADOS 75

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 76

RESUMO

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Capítulo I - Introdução

É padrão nos livros texto da área de finanças uma separação didática entre asestratégias de investimento e as análises de sensibilidade de preço das opções. Nagrande maioria dos casos, contudo, não é feito nenhum esforço de junção das duasabordagens, tratando-as muito mais como coisas estanques, do que como duasfaces de uma mesma moeda. Além disso, pouco, ou quase nada se vê em termosde aplicações empíricas aos dados do mercado, e normalmente se fica apenas noplano teórico. As aplicações quando são vistas, são específicas do mercado norte-americano.

Esses serão os pontos enfocados por este trabalho: adaptação institucional aomercado brasileiro; análise de algumas estratégias de investimento, incorporando oinstrumental de análise de sensibilidades; e aplicação de uma estratégiaespeculativa ao mercado brasileiro, com dados de três vencimentos de opções.

A estrutura do trabalho está dividida em seis capítulos. Neste primeiro, essaintrodução. No segundo capítulo serão introduzidos os conceitos básicos a seremutilizados ao longo de todo o trabalho, expondo o funcionamento dos contratos deopção, terminologias, e os principais fatores a influenciarem o preço de uma opção.No terceiro capítulo, serão expostos os instrumentais ("gregos") teóricos de análisedisponíveis para o controle de risco das posições, e discutidas formas de aplicá-los.

No quarto capítulo, três estratégias de investimento serão abordadas: straddle, callratio spread e call butterfly spread. A escolha dessas três posições deveu-seprincipalmente à sua adaptabilidade ao mercado brasileiro. Em bastante detalheserá feito o contraponto entre o perfil de lucros esperado de cada uma delas para odia do vencimento das opções, e sua manutenção e comportamento ao longo datrajetória até o vencimento. As características particulares de cada uma diante dasexpectativas dos investidores também serão destacadas.

No quinto capítulo, serão feitas simulações de front e back spreads baseados emdados dos vencimentos de abril, junho e agosto das opções de Telebrás PNnegociadas na BOVESPA, durante o período. Essas simulações foramimplementadas computacionalmente, permitindo incorporar todos custos detransação, e procuraram "reproduzir em laboratório" as condições de mercado parauma análise ex-post dos resultados que teriam sido obtidos, se a operação tivesserealmente sido posta em prática. Algumas observações interessantes puderam sefeitas.

Por fim, no sexto e último capítulo seguem as conclusões finais possíveis de seremtiradas do conjunto do trabalho. Há ainda há três apêndices com material de apoio:informações adicionais sobre a implementação computacional, sobre o modelo deBlack & Scholes, e tabelas com os dados utilizados e resultados das simulações.

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Capítulo II - Conceitos Básicos

O objetivo deste capítulo é introduzir ao leitor os diversos conceitos e categorias aserem utilizadas ao longo de todo este trabalho. Não é seu objetivo, de formaalguma ser exaustivo sobre a matéria de que trata. Tem a proposta única deuniformizar a linguagem e prestar esclarecimentos sobre as posicões técnicasadotadas, e que orientarão todo o texto daqui em diante.

Opções de Compra (Calls 1)

Uma call, também conhecida no mercado como uma opção de compra, é umcontrato que dá a seu possuidor o direito de comprar, na data especificada, umaquantidade fixa do ativo objeto desse contrato, a um preço determinado, o preço deexercício. Por exemplo, no dia 7 de agosto de 1996, um contrato de uma opção decompra OTC34, dava a seu possuidor o direito de comprar em 19 de agosto,100.000 ações da Telebrás PN, a um preço de R$76, e era negociado por um preçode R$1,25.

O detentor de uma opção detém apenas o direito de comprar a opção, e devedecidir se valerá a pena ou não exercer esse seu direito. Se ele comprou uma callcom preço de exercício de R$100, e no dia do exercício da opção ele pode compraro mesmo ativo objeto do contrato no mercado à vista por um preço inferior, porexemplo, R$95, então não haverá motivo algum para que ele exerça essa suaopção e pague mais caro pelo ativo. Na gíria do mercado, se diz que a opção “viroupó”, ou seja, perdeu totalmente seu valor porque o seu exercício não é lucrativo,não interessando a ninguém detê-la. Ao contrário, se o mercado à vista estivessenegociando o lote de ações a R$105, essa mesma call seria exercida por seu titularporque ele teria o direito de comprar por R$100 um ativo que poderia ser vendidono instante seguinte por R$105, gerando com isso um lucro de R$500 ( R$5 / lotemil ações x 1 opção sobre 100 mil ações).

Como se pôde perceber, no entanto, o titular de uma opção detém apenas o direitode exercer ou não o contrato. Não lhe cabe nenhum dever ou obrigação, apenasuma opção de escolha: se o exercício lhe for desvantajoso, ele simplesmente optapor não fazê-lo. Ora, se assim é, a possibilidade de poder fazer essa escolha, semobrigação nenhuma como contrapartida, deve ter um preço, e esse deve ser

1 Preferiu-se neste trabalho a adoção do termo original da língua inglesa, a fim de evitar as

dificuldades operacionais que o português apresenta. Facilmente o jogo de palavras pode atrapalharou dificultar a compreensão quando se alterna entre as quatro operações distintas: comprar umaopção de compra, vender uma opção de compra, comprar uma opção de venda e vender uma opçãode venda. As expressões mais sintéticas como comprar uma call, ou vender uma call, parecematingir melhor o objetivo da comunicação, sendo mais precisas, e poupando energia na tarefa detraduzir as idéias em palavras.

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positivo, ou na pior das hipóteses nulo, caso a opção tenha “virado pó”. Esse seráum tema que ocupará grande parte de nossos esforços de agora em diante:determinar o preço de uma opção.

Além disso, temos duas posições possíveis para uma call, ou as duas contra-partesdo contrato: o comprador e o lançador. O comprador, é a parte de quem vimostratando até aqui, ou seja, o investidor que paga um preço para adquirir um direito.O lançador é a outra ponta da operação, o vendedor da opção, e que secompromete a vender o ativo objeto pelo preço do exercício, no dia do vencimento,se o comprador desejar exercê-la. O lançador, quando vende uma call, recebeexatamente a quantia paga pelo comprador, descontadas as taxas de corretagem, ecomo contrapartida passa a ter a obrigação potencial de vender o ativo objeto aocomprador da opção se esse desejar exercê-la.

Opções de Venda (Puts)

Uma put, ou uma opção de venda, é um contrato que estabelece o direito devender, na data especificada, uma partida determinada do ativo objeto do contrato,ao preço de exercício especificado.

Ao contrário das calls, as puts são exercidas apenas quando o preço do ativo nomercado à vista está abaixo do preço de exercício, no dia do vencimento. Caso opreço no mercado à vista esteja acima do preço de exercício, torna-se maisvantajoso para o detentor da opção vender diretamente o ativo à vista, do queexercer a opção e vendê-lo por um preço menor, o preço de exercício.

Cabe ressaltar que as puts não costumam apresentar liquidez no mercado daBOVESPA, e dado o caráter de aplicabilidade que busca esse trabalho, o grandeenfoque será dado sobre as calls. No caso de operações que exijam a presença deputs, será utilizado o artifício da construção de puts sintéticas, partindo do ativoobjeto, e de uma call, que dispõem de bastante liquidez no mercado, e comportam-se conjuntamente exatamente como a put desejada se combinados adequadamente.Mais à frente essa operação será apresentada em detalhe.

Posições Compradas x Vendidas

Não se deve confundir aqui calls com posições compradas ou puts com posiçõesvendidas. Nem tampouco o ato de comprar ou vender (lançar) uma opção implicaposição comprada ou vendida. Se assim é, o que é que determina, então, umaposição estar comprada ou vendida?

Ora, o que caracteriza uma posição comprada, é a detenção de um ativo, adquiridopor um determinado preço, e na expectativa de que esse preço suba, para que sepossa obter algum lucro no momento da liquidação da posição. Essa situação éverificada tanto na compra de uma call, quanto na venda de uma put. Ao se compraruma call, adquire-se um direito de exercício, na expectativa de que o preço no

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mercado à vista suba para que esse possa se concretizar. Ao se vender (lançar)uma put, adquire-se a obrigação de comprar o ativo caso seu preço caia; portanto,espera-se que seu preço suba para que não haja exercício, e portanto, não hajaprejuízo para o lançador.

A situação oposta ocorre na compra de uma put ou na venda de uma call, quandoposições vendidas são obtidas. No caso da put, espera-se que o preço no mercadoà vista caia para que se exerça o direito de vender o ativo ao preço de exercício,mais alto que o do mercado. No caso da call, é ótimo para o lançador que o preçodo ativo caia, para que o comprador não queira exercer a opção, e portanto ele(lançador) não tenha de vender seu ativo a um preço de exercício mais baixo que odo mercado, incorrendo em prejuízo.

Opções Européias x Americanas

Uma opção européia pode ser exercida apenas na data de seu vencimento. É umcontrato que permite a seu detentor optar por exercê-lo ou não apenas numadeterminada data, a data de sua expiração. Uma opção americana pode serexercida em qualquer dia até o vencimento, o que dá a seu detentor mais direitos,ou maior possibilidade de escolha, e por isso mesmo, deve sempre valer mais doque uma opção européia. Ocorre que não é sempre que se torna vantajoso exerceruma opção antes de seu vencimento. O normal é que o contrato seja exercidoapenas no último dia, o dia de vencimento.

Não é de interresse específico neste trabalho discutir o momento ideal de seexercer uma opção, mas quando este existe, de forma geral ocorre próximo aopagamento de dividendos pelo ativo objeto, pelo menos nas calls. Na BOVESPA, oscontratos de calls são do tipo americano, e os de puts, do tipo europeu.

Opções Dentro, Fora e No Dinheiro

É muito útil classificar-se as opções que estão em negociação no pregão comreferência a diferença entre seu preço de exercício e o preço do ativo objeto nomercado à vista. Isso porque essa é uma boa indicação de quais são as opçõescom maior probabilidade de exercício no vencimento, e quais as que devem "virarpó".

Uma opção dentro-do-dinheiro (in-the-money), é uma call cujo ativo objeto estásendo negociado no mercado à vista a um preço superior ao preço de exercício daopção, ou seja, se fosse o momento do vencimento, seu detentor certamente aexerceria. Ao contrário, uma put estará dentro-do-dinheiro quando o preço do ativono mercado à vista estiver abaixo do preço de exercício da opção.

Uma opção fora-do-dinheiro (out-of-the-money) é aquela em que o exercício nãocompensaria se estivesse no momento de seu vencimento. É uma call com o preçode seu ativo objeto abaixo do preço de exercício do contrato, ou uma put com o

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preço do ativo acima do seu preço de exercício. Uma opção no-dinheiro (at-the-money) é aquela (ou put, ou call) em que o preço do ativo objeto é igual ao preço deexercício, de forma a não se poder ter uma definição razoável sobre se essa opçãoserá exercida ou não. Contudo, como a probabilidade de se verificar um preçoespecífico no mercado é nula, consideram-se como no-dinheiro opções que estejamsuficientemente próximas ao preço de exercício para se portarem com a altavariabilidade de preço que costuma caracterizar essa situação. Num mercadovolátil, como é o de opções, e mais ainda o de opções próximas ao dinheiro, em umdia em que o lote de 1.000 ações da Telebrás PN estiver cotado a, por exemplo,R$80,30, uma call com preço de exercício de R$80,00, pode entrar e sair dodinheiro mais de dez vezes no dia! Isso porque uma pequenina oscilação no preçoda ação é suficiente para fazer uma operação virar pó ou trazer um lucroextraordinário, por exemplo, num dia de vencimento de opções. A essa situaçãomais genérica de proximidade do preço de exercício é que se atribui a denominaçãode opção no-dinheiro.

A tabela ao lado, mostra trêscircunstâncias diferentes em que a opçãoOTC34, uma call de Telebrás PN, compreço de exercício de R$76, e vencimentoem agosto, esteve em relação à trajetóriade preços da ação da Telebrás, até ovencimento. Vale lembrar que a TelebrásPN chegou a 19 de agosto de 1996(vencimento) cotada a R$75,60,significando que as calls não foramexercidas.

Valor Intrínseco x Valor do Tempo

O valor intrínseco de uma opção é a quantia em que esta se encontra dentro-do-dinheiro, ou seja, o fluxo financeiro que entraria no caixa do detentor da opção casoela fosse exercida imediatamente. Uma call de preço de exercício R$100,00 cujoativo objeto estivesse cotado a R$105,00 possuiria um valor intrínseco de R$5,00.No limite, se esse fosse o dia do vencimento, o preço dessa opção deveria serR$5,00, exatamente o que seu detentor no momento do vencimento obteria porexercê-la (compra por R$100 e instantaneamente vende no mercado por R$105).Isso significa que em qualquer momento anterior ao vencimento essa call teria umpreço de pelo menos R$5,00, ou dito de outra forma, seu valor intrínseco servirá depiso para o preço da opção1. Caso a opção esteja fora-do-dinheiro, seu valorintrínseco será zero, pois seu detentor simplesmente não a exerce e portanto nãorecebe nenhuma entrada líquida por possuí-la. Nesse caso, o valor intrínseco "virapó" junto com a opção.

1Essa afirmativativa é valida apenas para o caso das calls sem dividendos e não pode ser diretamentegeneralizada para o caso de puts.

OPÇÃO DATAPREÇO DA TELEBRÁS

FORA DO DINHEIRO

28/06/1996 70.10

NO DINHEIRO 05/08/1996 76.10

DENTRO DO DINHEIRO

15/07/1996 79.10

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Algebricamente, o valor intrínseco (VI) de uma opção costuma ser definido por:

VI = máx [ 0, S - X ], para o caso das calls

VI = máx [ 0, X - S ], para o caso das puts.

O valor do tempo decorre da probabilidade maior que a opção tem de ser exercida àmedida em que há mais tempo até o vencimento. Isso faz com que mesmo opçõesfora-do-dinheiro possuam preços positivos. Numa call fora-do-dinheiro o valorintrínseco é zero, e portanto, todo seu preço decorre da possibilidade que aindaresta ao mercado de levar a opção para dentro-do-dinheiro. Já no caso de umaopção dentro-do-dinheiro, seu preço é formado pela soma do valor intrínseco com ovalor do tempo. Tudo que não é valor intrínseco é valor no tempo, e a seguinterelação pode ser firmada:

VALOR INTRÍNSECO + VALOR DO TEMPO = PREÇO DA OPÇÃO

Fatores que afetam o preço de uma opção

São os seguintes os fatores que determinam o preço de uma opção: o preço deexercício, o preço do ativo objeto no mercado à vista, a taxa de juro sem risco, avolatilidade (risco), o tempo que resta até o vencimento, e o dividendo esperadodurante a vida da opção. Seguir-se-á uma análise de cada um desses fatores,mostrando a direção em que agem sobre o preço da opção, e por fim um quadroresumindo as relações delineadas.

Preço de Exercício (X)

Para uma call, pode-se esperar que à medida que o preço de exercício suba,reduza-se a probabilidade de que a opção termine dentro-do-dinheiro, e portanto,seja exercida. Por isso mesmo, qualquer um que deseje comprar uma call, preferirápagar menos por uma opção com preço de exercício maior. Numa put, pelo mesmomotivo, um preço de exercício maior, faz aumentarem as chances de exercício,elevando o preço da opção.

Preço no Mercado à Vista (S)

Para uma call, à medida que sobe o preço do ativo objeto no mercado à vista, aopção caminha para dentro-do-dinheiro, aumentando a probabilidade de exercício,e portanto, elevando seu preço. Para uma put, um aumento no preço do ativoobjeto, reduz o preço da opção.

Onde:S = preço do ativo no mercado à vistaX = preço de exercício da opção

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Tempo até o Vencimento (dt)

A passagem no tempo é um importante fator na precificação das opções porquereduz a probabililidade de que oscilações favoráveis aconteçam no preço do ativo1.No limite, no último dia, nada mais pode ocorrer. Em compensação, tudo podeocorrer entre o dia da abertura do contrato e o vencimento. Comparando duas calls,ou duas puts, americanas verifica-se que o detentor de uma opção de prazo maislongo possui todos os direitos de um outro com uma opção de prazo mais curto, eainda mais alguns, podendo exercê-la antes. Daí segue que tanto para calls quantopara puts americanas, à medida que o tempo passa, o preço da opção cai. Paracalls européias, através de operações de arbitragem também é possível demonstrarque essa relação se mantém, como faz Kolb (1995). Mas, quando se trata de putseuropéias, já não é necessário que isso ocorra. Dois efeitos jogam em direçõescontrárias e não é possível prever qual deles dominará: quanto mais tempo restaraté o vencimento da opção, maior a probabilidade de que oscilações favoráveisaconteçam; por outro lado, diminui o valor presente do lucro que poderia ser obtidocom o exercício da opção.

Volatilidade (σ)

A volatilidade dos retornos dos preços do ativo objeto trabalha no mesmo sentido dapassagem do tempo. Quanto maior a volatilidade maior a probabilidade de que aopção termine dentro-do-dinheiro e, portanto, de que seja exercida. Isso porque amaior volatilidade também aumenta o intervalo de variação possível para o preço doativo objeto. Assim, quanto maior a volatilidade, maior a probabilidade de queoscilações favoráveis ocorram, e maior o preço das opções, tanto de puts, quantode calls.

Taxa de Juro (r)

Quando as taxas de juro sobem na economia, a taxa de crescimento esperada dopreço das ações tende a aumentar, mas o valor presente dos fluxos financeirosfuturos tende a se reduzir. Ambos efeitos agem sob a mesma direção numa put,reduzindo seu valor, mas atuam em direções contrárias numa call. No entanto, épossível mostrar, como faz Kolb (1995) que o primeiro efeito sempre domina osegundo, aumentando o preço da call quando as taxas de juro sobem.

Dividendos

O pagamento de dividendos tem o efeito de baixar o preço da ação na data ex-dividendo. Isso é bom para os detentores de puts, e ruim para os titulares de calls.

1 Estatisticamente, à medida que o tempo passa, perdem-se graus de liberdade no processo

estocástico que determina a formação do preço do ativo objeto, reduzindo a incerteza ou o intervalode variação esperado para o preço do ativo.

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A variação do preço de uma opção

CALL PUTPreço exercício - +Preço à vista + -Taxa de juro + -Tempo até o vencimento + ?Volatilidade + +Dividendos - +

O Modelo de Black & Scholes

O modelo de Black & Scholes é de longe o mais utilizado no mercado,principalmente pela simplicidade e facilidade com que pode ser implementado, atémesmo em uma calculadora HP. No apêndice A, o leitor encontrará o resultado finalda solução analítica do modelo formal, e a especificação de todas as variáveisutilizadas. Está disponível também o formulário com a expressão de todos os"gregos" de uma call, bem como explicitados todos os pressupostos necessáriospara a derivação do modelo.

Uma forma intuitiva de se compreender o funcionamento do modelo de Black &Scholes pode ser encontrada em Tompkins (1994), embora o próprio autorreconheça a falta de um maior rigor teórico nas simplificações feitas para a análise.Segundo esse autor, o preço de uma call (C), por exemplo, pode ser visto como umaesperança matemática, onde N(d1) é a probabilidade do preço do ativo chegar aovencimento acima do preço de exercício (X), e N(d2) é a probabilidade do preço doativo cair abaixo do atual preço de mercado (S). N(d1) é a probabilidade de umganho ilimitado, caso o preço do ativo suba, e N(d2), de uma perda limitada, casocaia. A soma dessas duas probabilidades é que dará o valor no tempo da opção.No momento do vencimento, N(d1) e N(d2) serão ambas iguais a 1, caso a opçãotermine em exercício, ou iguais a zero, caso "vire pó". Nesse caso o preço da callserá inteiramente o do valor intrínseco ( máx [ S-X,0 ] ), e o valor no tempo terá sidototalmente corroído.

A fórmula de Black & Scholes para o preço de uma call é a seguinte:

C S N d X N d e r dt= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅( ) ( )1 2

d

SX

r dt

t1

2

2

=

+ +

⋅ln

σ

σ

d d dt2 1= − σ

N x ex

x( ) =

−

−∞∫1

2

2

2

π

Onde:

C = preço da callS = preço à vista da ação objetoX = preço de exercício do contrato de opçãodt = número de dias restantes até o exercícior = taxa de juro sem risco a vigorar durante a vida da opçãoσ = volatilidade dos retornos da ação objeto

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A Importância da Volatilidade

O leitor mais atento facilmente perceberá que de todos os parâmetros quedeterminam o preço de uma opção, a volatilidade é o que representa maioresproblemas. Todas as outras variáveis são dadas (preço de exercício, preço à vista,tempo até o vencimento), ou podem facilmente ser estimadas (dividendosesperados, taxa de juros sem risco) a partir de algumas observações. Já avolatilidade, representa maiores problemas, pois não é uma variável diretamenteobservável. Isso implica que se todos os outros parâmetros forem vistos da mesmamaneira pelos diversos agentes do mercado, o que os fará ter diferentesexpectativas de preço para a opção serão as diferentes formas de enxergarem esseparâmetro de volatilidade. Várias abordadagens podem ser utilizadas na suaestimação, e serão rapidamente discutidas no capítulo V. Por ora, basta ficar anoção de que este é o parâmetro mais crítico na etapa de precificação, e que amelhor estimativa da "verdadeira" volatilidade, dará a melhor estimativa de preçopara a opção, permitindo maior aproximação do fair price, e portanto, melhorespossibilidades na identificação das oportunidades de lucro no mercado.

Opções Americanas e Exercício Antecipado

Como pode ser visto em Hull (1993), o exercício antecipado de calls americanassobre ações que não pagam dividendos, nunca será lucrativo, e portanto, seupossuidor sempre esperará até o vencimento para exercê-las. Isso ocorre porque opreço de uma call deste tipo mantém seu preço sempre acima de seu valorintrínseco.

Quando são pagos dividendos, contudo, pode ser lucrativo exercer uma callantecipadamente. O motivo disso é que o preço da ação cai nas datas ex-dividendo,tornando a opção menos atrativa. Assim, os pontos no tempo que são candidatos aexercício antecipado de calls, são sempre os momentos imediatamente posterioresa uma distribuição de dividendos por parte da ação. Mais ainda, o exercícioantecipado é tanto mais provável ser vantajoso, quanto maior o dividendo pago, equanto mais próximo da data de vencimento da opção ele ocorrer. Não há contudouma regra de bolso para resolver facilmente este problema, e um teste de exercícioantecipado sempre tem que ser feito localmente nas datas ex-dividendo para checarse vale a pena exercer a opção antes do vencimento (até aqui, no caso das calls).

No caso de uma put que não pague dividendos, o exercício antecipado sempre élucrativo quando a opção se encontrar significativamente dentro-do-dinheiro. Issoporque no caso do exercício, a ação vendida é sempre imediatamente convertidaem dinheiro, e cessam-se os riscos de sua manutenção na carteira, como ocorrecom as calls. Sempre é preferível receber R$100 hoje, do que amanhã; mas não ésempre ideal comprar uma ação hoje e não amanhã.

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Para efeitos práticos, os testes empíricos deste trabalho utilizarão apenas calls deTelebrás, sendo que não foram distribúidos dividendos no período estudado. Nãohaverá, portanto, a necessidade de maiores preocupações em se incluir nosmodelos de precificação a variável dividendo, nem tampouco de sofisticá-los paraconsiderar o exercício antecipado das calls americanas. Será utilizado o velho etradicional modelo de Black & Scholes para ações sem dividendos, e as calls serãotratadas como européias, sem que isso represente prejuízo algum para a análiseproposta.

Outros Modelos de Precificação de Opções

Há inúmeros modelos para precificação de opções. Contudo, nenhum deles bate asimplicidade e a operacionalidade do modelo de Black & Scholes. Podem serusados árvores binomiais, árvores trinomiais, métodos de diferenças finitas pararesolver diretamente a equação diferencial que generaliza o modelo de Black &Scholes, e uma série de outros procedimentos numéricos interativos. A análise quedeve ser feita na escolha do método, deve levar em conta dois aspectos: o primeiroe cada vez menos importante com o desenvolvimento da informática, é o tempocomputacional e os recursos consumidos na implementação de qualquer um dessesprocedimentos numéricos na solução dos problemas. O segundo é uma comparaçãodo tipo de opção que se quer precificar vis-à-vis os pressupostos e especificaçõesde cada um dos modelos, procurando identificar o que melhor se adapte à tarefaproposta.

De forma geral, opções americanas representam bastante trabalho, e testesinterativos para o exercício antecipado têm que ser feitos em cada momento dotempo. A forma como se incorporam os dividendos também deve ser levada emconta, bem como a característica do tipo de opção (sobre índices, sobre futuros,sobre ações, warrants, loopbacks, barrier options, etc.). De forma geral, apesar dosjá bastante discutidos vieses do modelo na literatura (os holes1 do Black & Scholes),o Black & Scholes generalizado trabalha muito bem para opções européias sobreações (com e sem dividendos), futuros e índices, sem apresentar as dificuldadesoperacionais que outros modelos mais sofisticados costumam apresentar. Asopções americanas, no entanto são um problema, e muita atenção deve ser dadasobre as condições em que o exercício antecipado pode ser viável. No caso dehaver possibilidade de que ocorra, o Black & Scholes já não é mais o modeloadequado, e modelos com procedimentos numéricos interativos devem serbuscados na precificação.

1 Entre os "buracos" do Black & Scholes estão o fato dos preços do ativo-objeto da opção nem sempreseguirem uma distribuição lognormal, e, crucial no mercado brasileiro, a instabilidade da volatilidade, querompe com o pressuposto de volatilidade constante. Isso sugere que outros modelos capazes de se adaptarmelhor a essas condições seriam mais adequados.

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Arbitragens e Posições Sintéticas

O mecanismo de arbitragem permite que os preços de dois ativos quaisquermantenham uma paridade entre si, todas as vezes que puder ser feita algumaoperação que, envolvendo ambos, possibilite a um investimento auferir ganhos semcorrer riscos quando os preços de um dos ativos desviar-se daqueles dados pelarelação de paridade. Por exemplo, o preço do ouro na bolsa de Chicago, corrigidopela taxa de câmbio, deve servir de parâmetro para determinar o preço do ouro aquina BM&F (Bolsa Mercantil e de Futuros). Caso isso não aconteça, é possívelcomprar-se o ouro no mercado onde seu preço esteja mais baixo, e vendê-loimediatamente no mercado onde esteja mais alto, auferindo-se um lucro sem risco.Precisamente esse mecanismo, que permite investir recursos "travando" lucros semincorrer em riscos, que é conhecido como arbitragem.

Imaginando que o mundo seja composto de inúmeros arbitradores, e que todosagissem racionalmente, tentando maximizar seus interesses privados, seria possívelchegar-se a uma condição tal de preço de equilíbrio em que todos seriamindiferentes em comprar uma unidade à mais do produto financeiro, a menos queestivessem dispostos a correr riscos, apostando num jogo, e recebendo um prêmiopor assumir esses riscos. Quando esta situação é atingida, um preço de equilíbrio éobtido. Esse preço seria tal que arbitragens não mais seriam possíveis, e essasituação, conhecida como condição de não-arbitragem. Trata-se de um expedientebastante utilizado para precificar ativos.

Um exemplo disso seria a bastante conhecida paridade put-call, onde se estabeleceuma relação de equivalência entre os preços de calls e puts, baseando-se na idéiade que se um dos dois preços for diferente, seria possível arbitrar.

Com relação às posições sintéticas, podemos defini-las como operações financeirascujo resultado "mimetiza", ou emula uma posição analítica alvo. Por exemplo, épossível criar-se uma put sintética, através da compra de uma call e da venda doativo objeto dessa call. Separadamente elas continuam sendo o ativo à vista de umlado, e uma call do outro. Conjuntamente, seus efeitos se somam de forma aresultar no comportamento idêntico ao de uma put do mesmo ativo.

Mais ainda: se existe uma put no mercado, seu preço tem que ser o mesmo daposição sintética (exceto pelos limites impostos pelos custos de transação), pois,caso contrário, seria possível arbitrar comprando a posição sintética de um lado evendendo a disponível no mercado do outro (ou o contrário), e obtendo lucros semrisco. Exatamente esse comportamento arbitrador aqui descrito em relação à put éque determina a existência da já mencionada paridade put-call. As posiçõessintéticas são, portanto, um importante elemento nas operações de arbitragem.

Além disso, pensando nas possibilidades de arbitragem e impondo-se condições denão-arbitragem, é possível derivar uma série de propriedades e relações a respeitodo comportamento dos preços das opções. Para maiores detalhes, recomenda-se aleitura de Bookstaber (1991) e de Hull (1993).

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Liquidação ou Encerramento de uma Posição

Após ser aberta uma posição, seu titular pode estar interessado em encerrá-la, oupara realizar lucros, ou para minimizar perdas, ou simplesmente para se desfazerde um ativo financeiro. Para liquidá-la antes do vencimento, basta que o investidorassuma no mercado, a posição oposta a de que ele anteriormente era titular. Seestava comprado, terá de vender, e se estava vendido, terá de comprar. No caso deopções, os contratos comprados e vendidos devem ser idênticos: mesmovencimento, e mesmo preço de exercício.

Por exemplo, um investidor que tenha lançado uma call de preço de exercícioR$100, quando a ação objeto do contrato esta cotada a R$95, pode desejarencerrar sua posição se o preço dessa ação chegar a R$98. Para tanto, ele devecomprar no mercado uma call de preço de exercício de R$100. Ele provavelmenteterá realizado um prejuízo (calls com preço do mercado à vista mais alto, possuemprêmios maiores), recomprando a call por um preço maior do que quando vendeu.Mas terá encerrado sua posição e limitado seus prejuízos por aí, caso o preço daação continue a subir.

Margem de Garantia

No caso de opções, são exigidos depósitos de margens a todos os lançadores decontratos. Esses são os únicos que possuem obrigações potenciais (cumprir ocontrato, vendendo ou comprando o ativo) caso o mercado tome uma direçãodesfavorável. Os titulares de opções possuem apenas o direito de realizar umacerta operação em determinada data, e não oferecem riscos às bolsas. Oslançadores sim, podem ter apostado alto demais, em condições anteriormentebastante favoráveis, e não serem capazes de cumprir com as obrigaçõesassumidas.

Os lançamentos podem ainda ser cobertos ou descobertos. No caso delançamentos cobertos, o próprio ativo objeto do contrato de opção é depositadocomo garantia, e isenta seu lançador de chamadas de margem adicionais. Seria ocaso do lançamento de uma call sobre 100 mil ações de Telebrás, por exemplo. Seo lançador depositasse 100 lotes de mil ações como margem, estaria coberto caso aopção fosse exercida no seu vencimento. Caso o ativo não seja depositado, olançamento será descoberto. Nesse caso, o lançador será chamado a depositarcerta quantia em margem, que pode ser em dinheiro, títulos públicos, ou outrosativos líquidos permitidos pela bolsa de valores, e que servirão de garantia em casode inadimplência.

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Capítulo III - Instrumental de Análise

Neste capítulo serão tratados os instrumentais teóricos utilizados para avaliar asensibilidade dos preços dos contratos de opções às diversas variáveis queinfluenciam seus prêmios. São as sensibilidades dos preços das opções, ou oschamados "gregos".

Trata-se exclusivamente de medidas de curto prazo que podem ser utilizadas paracontrolar a exposição das posições financeiras a vários tipos de risco1. Ou, comobem definiu Tompkins (1994), de instrumentos semelhantes ao painel de controle deuma aeronave, que dariam ao piloto condições de conduzir o avião em situaçõesmetereológicas adversas, quando o contato visual não é possível. Nessa linhanenhum piloto que se preze, mesmo com tempo bom, deixaria de olhar pela janelaao pilotar, até mesmo porque alguns instrumentos podem falhar. Não é demaislembrar que em aviação, o real vôo cego, é aquele onde os instrumentos da cabinedeixam de funcionar, e não é aquele em que se tem que aproximar da pista depouso sem contato visual2.

Delta

O delta (∆) de uma opção mede a sensibilidade de seu preço em relação ao preçodo ativo objeto do contrato, e pode ser entendido como um indicativo da exposição(risco) da opção às oscilações no preço deste ativo no mercado à vista. O deltacostuma ser apresentado em termos monetários, e mostra qual deverá ser, emreais, a variação do preço da opção (ou de uma posição), caso ocorra uma variaçãode R$1 no preço do ativo. O delta será uma medida tanto mais acurada de variaçãono preço da opção, quanto menor for a variação do preço do ativo objeto docontrato. Em termos formais, o delta é definido como:

∆ = ∂∂CS

Onde C, é o preço da opção (uma call, neste caso) dado pelo modelo deprecificação que se tenha adotado. Em particular, no caso do modelo de Black &Scholes, o delta é dado pelo termo N(d1), como pode ser visto na fórmula do preçoda call:

C S N d X N d e r dt= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅( ) ( )1 2 e ∂∂CS

N d= ( )1

1 Risco de mudança na taxa de juro, na volatilidade do ativo, ou de alta ou de baixa no preço do ativo, entreoutros.2 Dentro das figuras citadas por Tompkins, o delta seria o indicador de velocidade, o gama o de aceleração, ovega o de altitude, o teta o de combustível, e o rô o de temperatura externa.

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O delta pode ser calculado para qualquer modelo de precificação, caso se necessitetrabalhar com opções americanas, ou exóticas, que exigem modelos maissofisticados. Para o modelo de Black & Scholes, as fórmulas de precificação erespectivas medidas de sensibilidade (“gregos”) podem ser encontradas noapêndice, ao final deste trabalho.

O intervalo de variação para o delta de uma call vai de 0 a 1(-1 a 0 para uma put), epode ser entendido a partir de dois casos extremos. Imaginemos uma call, muitodentro-do-dinheiro, com praticamente nenhuma possibilidade de não ser exercidano dia do vencimento. Lá na frente, portanto, é certo receber-se ST - X, comprando-se a call pelo preço de exercício , e vendendo-a no mercado à vista, no último diapor ST. Qual então deveria ser o preço da call hoje? Poder-se-ia pensar numaoperação de arbitragem que garantiria lucro certo, num mundo onde não existisserisco1: vender hoje o ativo objeto por St e lançar-se a call por Ct. Num mundo semrisco, o resultado dessa operação deveria dar lucro zero no dia do exercício,exatamente pela atuação dos inúmeros arbitradores no mercado buscando boasoportunidades de ganhos sem correr riscos. Colocando numa equação:

Ct - St = (ST - X)e-r(T- t) => Ct = (ST - X)e-r(T- t) + St

Ou seja, o fluxo no momento t (lado esquerdo da equação), tem que igualar o valorpresente do fluxo no momento T, o dia do exercício. Qualquer desvio da relaçãogarantiria lucro certo num mundo sem risco, bastando “comprar a operação maisbarata e vender a mais cara”.

Nesse caso, qualquer oscilação no preço da call antes do vencimento, seria devidaa uma variação do preço do ativo no mercado à vista. Em termos de diferenciais,teríamos ∆C=∆S, o que dá num ∆ = ∆C/∆S exatamente igual a 1. No caso extremooposto, uma call extremamente fora-do-dinheiro, que quase certamente não desseexercício, a opção viraria pó, e a operação de arbitragem mencionada acimainexistiria. O delta dessa opção seria 0 porque não haveria sensibilidade em relaçãoao preço do ativo no mercado à vista: independentemente da oscilação do preço doativo hoje, a opção terminaria sem valor, e ninguém pagaria nada a mais por ela. Omesmo raciocícinio também pode ser aplicado ao caso de uma put, tirando daí ointervalo de -1 a 0.

Cabe agora a introdução de um outroconceito muito importante na montageme avaliação das posições em opções,que serão feitas mais adiante: o delta-neutro. Uma posição2 delta-neutra éaquela que possui ∆ = 0. A implicaçãodisso é que o valor da posiçãopermanece insensível à pequenasvariações no preço do ativo objeto.Surge aqui a noção de hedge nomercado de opções: mantendo posições

1 A avaliação neutra de risco é um dos expedientes mais utilizados na teoria para precificação de derivativos, edela podem ser depreendidas interessantes consequências, como esta do intervalo de variação do delta.2 Uma opção, ou um conjunto delas, cujo delta é o somatório de todas as outras opções ou instrumentos quecomponham a posição.

Figura III-1

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delta-neutras, é possível defender-se de mudanças de preço no ativo ao qual nossaopção se refere. Há, contudo, dois agravantes. O primeiro é que está se falando depequenas oscilações de preço, o que significa que ajustes freqüentes devem serfeitos na posição, para que esta não se distancie do preço em que foi ajustada a serdelta-neutra, e portanto, deixe de ser delta-neutra. Além do mais o delta não evitaalterações de preço para grandes oscilações no mercado à vista, o que poderá seravaliado através do gama, outra medida de sensibilidade que veremos a seguir. Osegundo é que o preço das opções apresenta um time decay, que corrói o seu valora cada dia que passa até o vencimento. Quando o tempo passa, é o valor no tempoque é corroído, o que também pode ser avaliado por outra medida de sensibilidadeconhecida como teta. Isso faz com que, mesmo que todas as outras variáveisdeterminantes do preço permaneçam inalteradas, ainda assim o preço da opçãocaminhará na direção do seu valor intrínseco à medida que o tempo passa,implicando que seu delta se alterará na trajetória de preços até o vencimento,chegando a 0 ou a 1 neste dia (isso no caso de uma call. -1 a 0 no caso de umaput). Esse fato é potencialmente perigoso porque apesar de se estar plenamentehedgeado em um momento, uma mudança adversa no preço do ativo próximo aovencimento, implica tornar a opção completamente descoberta no instante seguinte.

Conclusão: sob qualquer hipótese, a decisão de permanecer hedgeado, ou delta-neutro, implica ajustes freqüentes da posição para manter as condições de risco nonível desejado.

Gama

O gama é a sensibilidade do delta da opção em relação ao preço do ativo objeto docontrato. Trata-se de uma medida de risco, a partir do momento em que posiçõescom elevados gamas, apesar de delta-neutras (imunes a pequenas mudanças depreço), podem rapidamente apresentar grandes lucros, ou grandes perdas, emresposta a repentinas alterações no mercado à vista do ativo objeto da opção.Costuma-se associar ao gama o risco de uma mudança repentina na volatilidadeinstantânea (actual volatility1) do ativo objeto, e ao vega2 um erro na previsão (ouestimação) da volatilidade futura, ou esperada, do ativo (volatilidade implícita), oque pode ser melhor aprofundado em Tompkins (1994).

Formalmente, podemos definir o gama como a segunda derivada do preço daopção, dada pelo modelo adotado, em relação ao preço do ativo objeto do contrato.Para uma call, no modelo de Black & Scholes, o gama fica definido como:

1 A idéia de actual volatility aqui inserida é bastante distinta da de volatilidade como normalmente se entende. Otermo volatilidade encontra-se fortemente associado ao conceito de desvio padrão como medida de risco, ou,em outros termos, da dispersão da distribuição dos retornos do ativo. A idéia de risco trazida pelo gama refere-se basicamente à concavidade apresentada pela função preço da opção. Nesse sentido Tompkins se refere àactual volatility, considerando os grandes saltos que possam ser observados no mercado, num único dia,trazendo efeitos maiores do que os previstos para o preço de uma opção, apesar das características de riscodo ativo não se terem alterado. Outros autores, como Binnewies, referem-se a este efeito do gama como riscode cuvatura.2 Medida de sensibilidade do preço da opção a mudanças no parâmetro de volatilidade do ativo, o que vermoslogo a seguir.

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onde N’(d1) é a função densidade probabilidade de umadistribuição normal.

Por definição, quanto maior o gama,mais o delta irá mudar quando o preçodo ativo objeto muda. Intuitivamente(que também pode ser observado pelafórmula) o gama varia conforme oquanto se está próximo do dia deexercício e do preço de exercício,caminhando para o infinito quando seaproxima o vencimento, e quando aopção está no dinheiro.

No gráfico da figura III-2, podemos observar o efeito da passagem do tempo e damudança do preço do ativo no mercado à vista no valor do gama de uma call. Pode-se concluir que o delta de qualquer posição comprada1 caminhará sempre namesma direção do movimento do preço do ativo objeto do contrato, pois seu gamaserá positivo. Isso significa que, no caso de uma call, por exemplo, umamovimentação favorável no preço do ativo (alta), aumentará o delta da posição,favorecendo ainda mais o detentor da posição, quando o preço sobe; no caso deuma baixa (desfavorável), o delta diminuirá, reduzindo a exposição do detentor daposição à oscilação dos preços. No entanto, o reverso é absolutamente verdadeiroe perigoso para os detentores de posições vendidas, que possuem gamasnegativos, e que potencializam os efeitos das oscilações adversas no mercado doativo objeto no preço da opção.

Outro fator muito interessante do gama, é que ele pode ser encarado como umamedida do tamanho do risco em que incorre a posição. Imaginemos duas posiçõesque sejam delta-neutras. Ambas estarão imunes ao efeito de pequenas alteraçõesno mercado à vista do ativo objeto. Mas que se pode dizer das grandes oscilações?O gama, nesse caso é a medida adequada para ajustar duas posições diferentespara o mesmo risco, a fim de que possamos verificar a melhor apenas através dacomparação dos retornos potenciais. Não é possível comparar retornos de posiçõesque possuam diferentes níveis de risco. Detalhando um pouco mais o procedimento,suponha que a existência de diversas estratégias de investimento bastantediferentes e incompatíveis entre si, resultando na decisão de tomada de posiçõestambém muito diferentes. Como escolher a melhor dentre as alternativasapresentadas? Através das medidas de sensibilidades vistas até aqui, seriapossível escolher a melhor considerando a seguinte regra de bolso:

1 O gama para as puts é idêntico ao gama das calls, e portanto, também é sempre positivo para posiçõescompradas.

Γ = = ′⋅ ⋅

∂∂ σ

2

2

1CS

N d

S dt

( )

Figura III-2

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1. Ajuste todas as posições para que se tornem delta-neutras. Provavelmente, em termos de valor,

as posições ficarão bastante diferentes entre si, dependendo do parâmetro que se optou por fixararbitrariamente no ajuste de neutralidade para o delta1.

2. Para poder compará-las, deve-se ajustá-las todas para o mesmo gama. Isto pode ser feito através

da fixação do gama total que as posições deverão possuir após o ajuste. Sabendo-se que este éo somatório dos gamas de cada instrumento que compõe a posição, basta que se ajuste o númerode contratos de cada instrumento na mesma proporção do gama fixado para o gama total quedetinha a posição. O resultado total de cada posição será o gama fixado arbitrariamente2.

3. Após fixado o gama, é conveniente se verificar o valor que atingiram, em média, as posições.

Caso esteja muito abaixo, ou muito acima do desejado, pode ser mais preciso fixar-se o valor deuma das posições, e utilizar seu gama resultante para reparametrizar as demais. Em outraspalavras, fixar-se um novo gama inicial mais compatível com o volume de investimentos que seesteja disposto a fazer.

4. Nesse momento, as posições já podem ser comparadas: todas são delta-neutras e possuem o

mesmo nível de risco, podendo ser colocadas num mesmo gráfico de perfil de lucros, contra opreço do ativo objeto das posições. Colocando num gráfico, pode-se agora verificar qual é aposição que possui sua curva de lucros superior às demais. Essa será a de maior retorno.

5. É conveniente não esquecer que este (maior retorno em relação ao mesmo risco) não é o único

fator a considerar quando se lida com o mercado de opções. Por exemplo, não é porque o retornoé maior que se deve apostar numa estratégia baixista, quando todo mercado apresenta tendênciade alta. Nem tampouco incorrer em posições caras (comprar opções acima do preço justo, ouvender abaixo) pois parte deste retorno aparentemente superior, deverá ser corroído quando asopções retornarem ao seu fair price. Observar, portanto, não somente o nível dos lucrosoferecidos por uma posição superior, mas também o perfil desses lucros.

Vega

O vega mede a sensibilidade do preço da opção às variações na volatilidadeimplícita do ativo objeto no mercado à vista. Essa volatilidade deveria refletir avariabilidade que o mercado espera nos retornos dos ativos ao longo da vida daopção, e é essa sensibilidade que o vega traduzirá. O vega normalmente épadronizado no mercado para refletir a variação no preço da opção dada umaalteração de 1% (daí o coeficiente 1 / 100) na volatilidade implícita pelo mercado deopções. Em termos formais, a partir do modelo de Black & Scholes, o vega fica:

Λ = ⋅ = ⋅ ⋅ ′∂∂σC

S dt N d1

1001

100 1( )

1 Esse procedimento será detalhado mais adiante, ainda neste capítulo.2 Isso é equivalente a um parâmetro de ajuste de escala, de tamanho do risco.

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Como é possível verificar através dafigura III-3 ao lado, que mostra ocomportamento do vega, em funçãodo preço do ativo objeto e do tempoaté o exercício, o preço da opção étanto mais sensível à volatilidadeutilizada como parâmetro naprecificação, quanto mais próximaestiver a opção do dinheiro, e quantomais tempo restar até o vencimento.

O vega também pode ser uma boamedida do tamanho do erro em quese está sujeito a incorrer aoalimentar o modelo de precificaçãocom uma estimativa de volatilidade imprecisa. Pode-se, por exemplo, construir umintervalo de variação do preço da opção para uma volatilidade, digamos 20% acimae 20% abaixo da estimada, verificando o impacto causado no prêmio através dovega, e se, por exemplo, a viabilidade de uma determinada operação se manteria adespeito da incerteza na estimativa que se tenha feito da volatilidade

Teta

O teta mede a sensibilidade do preçoda opção à passagem do tempo. É umaboa medida do que se costuma chamarde time decay: a queda no prêmio deuma opção dada pela corrosão do seuvalor no tempo, à medida que seaproxima o vencimento. A partir domodelo Black & Scholes, podemoscalcular o teta de uma call como:

Θ = − = −⋅ ′ ⋅

⋅− ⋅ − ⋅∂

∂σC

dtS N d

dtr Xe N dr dt( )

( )1

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O gráfico ao lado mostra o comportamento do teta para uma call, dado pelo modelode Black & Scholes. Observa-se que o time decay é tanto mais acentuado quantomais se aproxima o vencimento, e quanto mais próxima ao dinheiro estiver a opção.Observa-se também a sensibilidade elevada que apresenta o time decay nosmomentos críticos que cercam o final da vida de uma opção, quando nos instantespróximos ao vencimento, trava-se uma batalha no mercado do ativo à vista entrecomprados e vendidos no mercado de opções, pressionando o preço do ativo objetoem direção preço de exercício da opção mais próxima do dinheiro. Por isso, asopções costumam oscilar muito, quando próximas ao dinheiro, nesses últimosmomentos críticos (teta e o gama próximos ao máximo, nas figuras III-2 e III-4). Deuma hora para outra a opção entra ou sai do dinheiro, e seu preço oscilabrutalmente.

Figura III-3

Figura III-4

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Rô

O rô é a medida de sensibilidadedo preço da opção às variações nataxa de juro sem risco da economia.De uma forma geral verifica-se queo preço das opções é muito poucosensível às mudanças nas taxas dejuro, já que raramente sãoobservadas alterações bruscassignificativas no juro básico daeconomia. Pode-se verificar ocomportamento do rô para as callsde um modelo Black & Scholes, em relação à passagem do tempo e ao movimentodo preço do ativo objeto, observando-se a figura III-5.

Observa-se que o efeito das taxas de juro é tanto mais sensível, quanto maisdistante se está do vencimento da opção. Isso se deve ao fato de que um aumentona taxa de juro eleva significativamente o custo de oportunidade de se manter umaquantia imobilizada numa opção, em relação ao que poderia ser obtido numaaplicação sem risco. Verifica-se também que, seu efeito também é tanto maiorquanto mais dentro-do-dinheiro estiver a opção sob consideração.

O rô, normalmente é uma das medidas menos sensíveis e menos levadas em contanos mercados de opções, exceto em alguns casos, como em opções sobre taxas dejuro, onde passam a ter papel bastante significativo no controle de risco.Formalmente podemos definir o rô de uma call, dado pelo modelo de Black &Scholes, como (ajustado para refletir a alteração do preço da opção, dado oincremento de 1 basis point na taxa de juro, como se utiliza no mercado):

ρ ∂∂

= ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅Cr

X dt e N dr dt1100

1100 2( )

Posições Delta-Neutras

No que se refere a posições delta-neutras, três coisas devem ser mantidas emmente:

1. Uma posição delta-neutra ao redor de um determinado preço no mercado à vista éinsensível, em termos de seu valor total, a pequenas variações em torno deste preço.Quanto às grandes variações, apenas o gama pode dizer alguma coisa sobre asensibilidade da posição.

2. Para que uma posição permaneça delta-neutra, ajustes freqüentes devem ser feitos,

mesmo que o preço à vista do ativo objeto não se altere ao longo do tempo. O delta deopções dentro-do-dinheiro tende a 1 quando se aproxima o vencimento, e a 0 paraopções fora-do-dinheiro (no caso de calls; de -1 a 0, para puts).

Figura III-5

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3. O delta se refere á primeira derivada do preço da opção em relação ao preço do ativo

no mercado á vista. Isso significa que uma posição delta-neutra, portanto com primeiraderivada igual a zero, atinge seu ponto de máximo ou de mínimo, em valor, no preço domercado à vista para o qual foi ajustada. Será um máximo quando o gama (a segundaderivada) for negativo, e um mínimo, quando o gama for positivo. No caso de um gamapositivo, a posição é conhecida por back spread, significando que, como seu valor estáno ponto de mínimo, qualquer oscilação no preço do ativo objeto, para cima ou parabaixo, resulta num aumento do valor da posição. O caso oposto, quando o gama énegativo é denominado front spread, e com a posição em seu valor máximo, qualquervariação no mercado à vista do ativo fundamental, representará uma perda líquida paraa posição.

Para tornar uma posição delta-neutra, basta que se iguale seu delta total a zero, eresolver para uma de suas componentes, fixando as demais arbitrariamente. Nocaso de se tratar de uma posição simples, precisamos de no mínimo doisinstrumentos:

Opção - Ativo Objeto

nA . δA + 100nO . δO = ∆

O delta do ativo objeto vale sempre 1 para posições compradas e -1 para vendidas.No caso de lidar-se com ações, o que se fará mais adiante neste trabalho, nA

representa lotes de 1.000 ações e nO, o número de opções, cada uma sobre100.000 ações, as unidades mínimas passíveis de negociação na BOVESPA (pelomenos no caso da TELEBRÁS PN, o “carro-chefe” do mercado). Fazendo-se ∆ =0,pode-se fixar o "número de deltas" do lado das ações (nA), ou do lado das opções(nO), e resolver-se para a variável que ficou livre. Sinais positivos representamposições compradas, e negativo, vendidas.

nA = - 100 nO . δO ou nO = - nA / 100δO

Opção - Opção

n1 . δ1 + n2 . δ2 = ∆

No caso de estar-se lidando com opções em ambos os lados da posição (compradoe vendido), dois fatos devem ser observados. O primeiro diz respeito ao montantede recursos imobilizados na operação, pois a utilização de opções possibilitagrande alavancagem em relação ao ativo objeto (o prêmio de uma opção éconsideravelmente mais barato que o ativo objeto), reduzindo os custos deoportunidade. O segundo, é que o ativo fundamental, por definição possui gama

Onde:

nA = quantidade de lotes do ativo objeto (mil ações)nO = quantidade de contratos de opções (1 opção = 100.000 ações)δA = delta do ativo objeto δO = delta da opção ∆ = delta total da posiçãoObs: os preços são cotados em R$/mil ações

Onde:

n1 = quantidade de opções do tipo 1n2 = quantidade de opções do tipo 2δ1 = delta da opção 1δ2 = delta da opção 2∆ = delta total da posição

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igual a zero. Isso implica incorrer-se num “risco de curvatura” muito maior no casode uma posição delta-neutra com a opção e com o ativo. Quando a posição écomposta por duas opções, o gama total da posição será menor. Isso ocorre porqueuma das opções estará comprada, e a outra, vendida, fazendo com que o gama dolado vendido (negativo) compense o comprado (positivo), e assim, reduza o risco deperdas (também de ganhos) devidas à grandes oscilações no mercado à vista. Damesma forma, fixando-se o número de contratos de uma das opções, encontra-se onúmero de contratos da outra:

n1 = - n2 . δ2 / δ1 ou n2 = - n1 . δ1 / δ2

Posições Delta-Gamma-Neutras

Além de tornar uma posição delta-neutra, evitando o risco a pequenas variações dopreço do ativo fudamental, também é possível torná-la gama neutra, defendendo-atambém de oscilações maiores. Isso se faz com a inclusão de um instrumento amais na posição. De fato, é possível “zerar” tantos “gregos” quantos se queira, coma ressalva de que para cada dimensão a mais em que se deseje neutralidade, uminstrumento adicional seja incluído na operação. Além disso, quanto maior o númerode componentes da posição (ou “pernas1”), mais difícil é o controle de seu risco. Àmedida que a complexidade da posição aumente, momentos desagradáveis no perfilde lucros da posição podem surgir em determinados intervalos de preço, como, porexemplo, grandes vales ou “abismos de prejuízo”.

No caso de se estar trabalhando também com o ativo objeto, o ajuste delta-gama-neutro torna-se mais fácil, pois o gama do ativo fundamental é nulo. O procedimentoresume-se ao seguinte:

1. Neutraliza-se o gama da posição considerando-se apenas o gama das duas oumais opções que a compuserem (ativo fundamental tem gama zero). Isso se fazda mesma forma acima descrita para o caso de delta-neutralidade.

n1 . γ1 + n2 . γ2 = Γ , é o gama total, e fixando-se n1 ou n2, para Γ = 0, obtém-se:

n2 = - n1 . γ1 / γ2 ou n1 = - n2 . γ2 / γ1

2. A seguir, basta neutralizar o delta resultante da posição utilizando-se o ativo

fundamental (com ∆ = 1), que não influenciará no gama total da posição.

100 (n1 . δ1 + n2 . δ2)+ nA . δA = ∆ , e fazendo-se ∆ = 0 e δA = 1 obtém-se:

nA = - 100 (n1 . δ1 + n2 . δ2 )

1 Traduzido do inglês legs, pelo mercado.

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Posições Delta-Gamma-Vega-Neutras

Essas posições caracterizam-se por eliminar quase que completamente os riscosenvolvidos nos negócios com opções (a menos de um grande crash no mercado,onde apenas o dinheiro embaixo do colchão sobrevive). Seria indicada a market-makers, que, pelo menos em princípio, deveriam realizar seus lucros apenasatravés do spread de compra e venda, e não de assumir riscos no mercado. Aquielimina-se o risco de oscilações do preço do ativo objeto (delta), de mudanças navolatilidade presente do ativo (gama), e de erros de avaliação na volatilidade futurapercebida pelo mercado (vega).

A partir deste caso as posições ficam cada vez mais complicadas, e preferiu-separtir para a generalização formal do problema, que engloba tantas sensibilidadesneutras quantas se queira, inclusive as apenas delta ou delta-gama neutras vistasanteriormente.

Define-se um sistema de equações simultâneas de forma a ter-se pelo menos n+1instrumentos para as n sensibilidades que se deseje neutralizar, sendo que o ativofundamental pode ser utilizado como um dos instrumentos1. Um exemplo de umaposição delta-gama-vega neutra, formada a partir de 4 instrumentos, seria.

n1 . δ1 + n2 . δ2 + n3 . δ3 + n4 . δ4 = ∆ = 0n1 . γ1 + n2 . γ2 + n3 . γ3 + n4 . γ4 = Γ = 0n1 . υ1 + n2 . υ 2 + n3 . υ 3 + n4 . υ 4 = Λ = 0n1 + n2 + n3 + n4 = 1 (*)

(*) No caso, pode-se optar por se incluir esta equação, obtendo-se a participação relativa (peso) decada instrumento na posição, e fixando-se posteriormente o total da posição para tirar daí asquantidades de cada contrato individual. Alternativamente pode-se definir a quantidade de umdos contratos a priori, substituindo-se, por exemplo, n4 = 100 para o ativo fundamental daoperação e resolvendo-se diretamente para os demais. Nesse caso, essa quarta equaçãodeveria ser suprimida

Ainda mais genericamente, paraqualquer número de sensibilidadesque se queira neutralizar, a soluçãodo sistema de equações simultâneasseria dado por:

n

n

n

nA

1

2

3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

11 100

0

0

1 1 1 1

0

0

0

1

�

�

�

�

� � � � �

�

�

=

−δ δ δγ γ γυ υ υ

1O delta do ativo objeto é sempre igual a 1 (ou -1 se vendido), e todas as demais sensibilidades são iguais azero (gama, vega, teta, rho).

Observações:

1. O ativo fundamental, nA, pode ou não ser incluídona posição, desde que se tenha n+1 instrumentos,para as n dimensões que se deseje neutralizar.

2. Cada ni representa apenas a participação relativa

(percentual) do número de contratos doinstrumento i, e portanto, deve-se fixar a posteriori,um deles para que se obtenha os demais.

3. Deve-se ter em mente que, aqui, foi considerado o

caso da negociações de opções de TELEBRÁS PNna BOVESPA, onde 1 opção é sobre 100.000ações, e um lote de ações é sobre 1.000 ações. Arelação está expressa no elemento 1/100 damatriz, e pode ser estendida a outros tipos decontrato.

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Hedge com Opções

Quando se identifica uma opção no mercado que esteja acima ou abaixo de seupreço teórico, é possível construir-se uma posição especulativa que tente tomarproveito deste erro de avaliação do mercado. A questão chave sempre será comodescobrir os verdadeiros parâmetros para poder precificar corretamente, ou seja,como estimar adequadamente a volatilidade do ativo objeto, para obter-se overdadeiro preço.

Como a volatilidade e o preço caminham na mesma direção, uma subestimação devolatilidade, implicará um preço menor para a opção, e sua superestimação, em umpreço maior. Sempre restará o problema de quem no mercado será capaz de seaproximar com maior precisão do verdadeiro valor da volatilidade: quem o fizer, serácapaz de obter ganhos sistemáticos, apenas comprando as opções mais baratas emrelação ao seu valor “justo”, e vendendo as mais caras. Depois disso bastaráhedgear a posição para manter o sobrepreço em carteira, até que o mercadochegue ao preço correto, onde a posição poderá ser liquidada com lucro1. No casodo mercado de opções, pelo menos uma coisa se pode ter certeza: um dia a opçãochegará a seu preço justo, nem que seja este o dia do vencimento, onde só restaráà opção o seu valor intrínseco - mais “justo” que isso impossível.

Portanto, possuindo uma boa estimativa do preço correto das opções, através dosajustes adequados de um programa de hedge será possível manter o sobrepreço,nem que seja até o dia do vencimento, para poder realizá-lo com lucro. O problemafundamental é conseguir essa boa estimativa, e mais: confiar e acreditar nela,apesar das tendências que apresentar o mercado. Não é uma tarefa fácil descobrirquando o modelo furou, e encerrar uma posição com prejuízo. Decisão semelhantedeve tomar o jogador de pôquer, sobre decidir quando a sorte o abandonou paradeixar a mesa de jogo, apesar de ser possível reduzir, aqui, consideravelmente, ofator sorte.

O que se pretende discutir aqui, não é, no entanto, como se obter o preço correto,mas sim como, depois de obtida a informação será possível tirar-se proveito delaconstruindo-se um adequado programa de hedge.

Já foi mostrado como se monta uma posição delta-neutra. Quando se menciona apalavra hedge no mercado de opções, quer-se referir a exatamente eliminar aexposição de uma posição às oscilações do preço do ativo à vista. Portanto, quandose fala em hedge, imagina-se uma posição que será ajustada freqüentemente, paraque permaneça, sob qualquer hipótese, delta-neutra, e protegida das oscilações depreço (tanto favoráveis, como desfavoráveis). O hedge é um mecanismo de defesado valor de uma posição, e será extremamente útil para proteger um sobrepreço quese tenha encontrado no mercado.

Agora segue o ponto, onde aqui se queria chegar, que é discutir como se faz ohedge. Duas posições são importantes do ponto de vista do hedge, e de uma formaou de outra, sempre são a matéria-prima básica de qualquer outra estratégia de

1 É exatamente este tipo de operação que constituirá as simulações do capítulo V.

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investimento que se queira fazer no mercado de opções: front spreads e backspreads.

Front Spreads

Um front spread é a operação indicada quando se encontra uma opção cotada nomercado acima de seu valor teórico. O que se faz, em sua forma mais simples, élançar a opção que está acima de seu preço teórico, apresentando portantopotencial possibilidade de lucros1, e comprar o ativo fundamental na outra ponta,realizando a operação numa proporção delta-neutra.

Como foi visto, no caso de uma posiçãoativo-opção, se x opções foremlançadas, 100 x / δ ações do ativoobjeto deve ser adquiridas. A cada diaa posição deve ser mantida delta-neutra, a fim de se eliminar a exposiçãoàs oscilações do mercado à vista.Ocorre que, conforme é possívelobservar pela figura III-6, um frontspread é uma posição delta-neutra,mas com gama negativo e teta positivo.Isso quer dizer que, a qualqueroscilação no preço do ativo, perde-sedinheiro, pois, o ponto de delta-neutralidade é o ponto onde o valor da posição é máximo. O problema é que só setem condições de ajustar a posição de volta para uma posição de delta-neutralidade, após a realização de uma pequena perda. Se originalmente a posiçãoestava em um ponto de valor máximo, e agora um novo reajuste for necessário paraatingi-lo novamente, é porque a posição afastou-se dele, perdendo portanto algumvalor. A cada dia, de reajuste, uma pequena perda é realizada. Mas, como o teta épositivo, o time decay joga na direção oposta, aumentando o valor da posição acada dia. O que deve acontecer, então é que, os incrementos de preço decorrentesda passagem do tempo, pelo menos compensem os custos dos ajustes diários, paraque aquele sobrepreço observado inicialmente possa ser apropriado.

Se o nosso preço teórico que indicou o sobrepreço estiver correto, haverá ganhosistemático em seguir-se essa estratégia.2

1Mais cedo ou mais tarde o preço justo será sempre atingido, nem que seja apenas no dia do vencimento ondesó restará à opção o valor intrínseco.2 O modelo de Black & Scholes é construído de tal forma a resultar em preços teóricos a que, se repetidamenteforem compradas e vendidas opções no mercado, deverá haver um lucro igual a zero no final do período(ganhos devem ser compensados pelas perdas). Então, se for possível comprar-se opções na baixa e vendê-las na alta, um retorno positivo deve ser sistematicamente observado [Binnewies (1995) ].

Figura III-6

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Back Spreads

Num back spread, faz-se exatamenteo oposto. Sua finalidade, portanto,também é reversa. Ao identificar-seopções subprecificadas no mercado,deve-se comprá-las e, ao mesmotempo, vender1 o ativo fundamental aque se referem.

Tudo se passa da maneira reversa aofront spread. Uma visualização gráficareferente a um back spread pode servista à figura III-7. Observa-se que, neste caso, nosso problema é exatamente ooposto ao do front spread: tem-se gama positivo e teta negativo. Isso significa que,a cada dia que passa, a posição perde em valor, uma quantia referente ao timedecay. Mas a cada vez que um ajustamento for necessário para mantê-la delta-neutra por um deslocamento do preço do ativo fundamental, um pequeno lucro serárealizado, já que o ponto de delta-neutrlidade ocorre no valor mínimo da posição, eportanto, qualquer oscilação para cima, ou para baixo no preço do ativo objeto, teráaumentado seu valor. Espera-se, da mesma forma, que se nosso preço teóricoestiver mais próximo da realidade que o do mercado, haverá ganho sistemático emse fazer a operação.

Rebalanceamento

O caminho a seguir no rebalanceamento de uma posição, deveria ser o mesmotrilhado quando na decisão de sua abertura inicial. Todos os dias a posição deveser analisada como se uma nova tivesse de ser aberta, e a partir dai, decidir-sesobre sua continuidade, ajuste, ou encerramento. A decisão pela sua liquidaçãodeveria ser motivada quando o cumprimento das metas traçadas inicialmente forverificado, ou quando o mercado tomar um rumo totalmente diferente do planejado,e a medida mais prudente for encerrar as posições adquiridas sob outrascircunstâncias, reavaliando o novo momento.

A forma ideal de se evitar grandes perdas nesses casos é a demarcação de regrase metas claras, quantitativamente definidas, com relação às decisões a seremtomadas no futuro. Um exemplo de uma regra que poderia ser definida para umaposição especulativa seria:

1 Caso não se possua o ativo em carteira, em alguns mercados, como no de ouro, por exemplo, esse ativopode ser alugado, a uma pequena taxa. À medida que evoluem os mercados, essa operação de aluguel vai setornando cada vez mais necessária, e acaba sendo regulamentada e permitida. A regulamenteção permitindo oaluguel de ações saiu na metade deste ano na BOVESPA, e o aluguel está para começar a vigorar.

Figura III-7

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1. Ficar na posição (ajustando), no máximo, durante 5 dias, esperando que asdiferenças de preço desapareçam (teórico x mercado) nesse período.

2. Sair antes, caso seja observado um retorno de 15% (para cima, ou para baixo)3. Sair caso o mercado apresente um comportamento totalmente anômalo ao

esperado e, portanto, os parâmetros de avaliação já não sejam mais os mesmodo início.

4. Sair quando as diferenças entre preços teóricos e de mercado desaparecerem.

No caso de posições especulativas, também se deve ter clara aquela antiga regrade ouro das transações mercantis, destacada por Karl Marx: “comprar barato paravender caro”. E essa é exatamente aquela regra que pauta a decisão de tomada deuma posição. Portanto, também é a que pauta os ajustes e correções de rumodiários. Mas, o que fazer no caso de posições que tragam, nos dias subsequentes asua abertura, maiores incentivos a sua realização, indicando que se deveriacomprar ainda mais barato e vender ainda mais caro? Agir nessa direçãosignificaria aumentar o tamanho da posição, e portanto, incorrer em riscos além dosinicialmente planejados. Mais uma vez a prudência e as realizações empíricasdeveriam recomendar a fixação de um nível de risco inicial que se estivessedisposto a correr, e fixar uma faixa de variação rígida, a fim de evitar surpresasdesagradáveis. Impôr tetos para o tamanho do gama, ou para o valor total daposição seria, por exemplo, uma estratégia recomendável.

Outro tipo de atitude seria iniciar-se, deliberadamente, uma posição com tamanho erisco abaixo do esperado, para poder trabalhar com maior grau de liberdade nosajustes posteriores, aproveitando as boas oportunidades de lucro que venham asurgir no futuro.

Enfim, não há mágica ou truque no jogo especulativo que funcione sempre. É umjogo como qualquer outro, e a obsessão do jogador compulsivo deve ser afastada aqualquer preço. A hora certa de sair da mesa é a chave para se evitar catástrofes. Oque é proposto aqui, é apenas um método que permita minimizar os riscosenvolvidos, e ainda assim obter um retorno positivo sistemático na elaboração deestratégias especulativas. Nada se pode dizer sobre o sucesso de uma ou de outraoperação. Mas, no conjunto delas, há maior probabilidade de se observar umretorno positivo, se for adotado um bom modelo de precificação. Essa maiorprobabilidade de retornos positivos, leva o total dos ganhos a, em média, superar ototal das perdas. No capítulo V, algumas aplicações empíricas dos métodos aquidescritos serão apresentadas, e alguns desses pontos poderão ser melhorilustrados.

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Capítulo IV - Estratégias Selecionadas

Neste capítulo, serão discutidas algumas das estratégias possíveis parainvestimento no mercado de opções. O critério sobre quais as operações quedeveriam ser discutidas e analisadas, foi o de adaptação ao mercado brasileiro.Evitou-se, por exemplo, a escolha de qualquer alternativa que demandasse umavariedade muito grande de opções. A razão para isso é que o mercado daBOVESPA, o escolhido para estudo, é concentrado nas opções próximas aodinheiro, e especificamente em calls. Os investidores mostram-se bastanteconservadores, e normalmente concentram suas aplicações em poucas alternativasrelativamente à profusão de operações conhecidas da literatura. Buscou-se entãoestudar mais aprofundadamente três estratégias básicas, que se adequem bem aesse tipo de situação, e que possam ser implementadas na prática, por investidoresbrasileiros.

Foram escolhidos: o straddle, o call ratio spread e o call butterfly spread. Ofuncionamento de cada uma delas será detalhado, e, ao lado de um esforço deadaptação institucional ao mercado brasileiro, uma abordagem unificadaincorporando análises de sensibilidade (gregos) e tomadas de posição estratégicasno mercado do ativo à vista será empreendida.

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Straddle

Long Straddle

O Long Straddle é obtido atravésda compra simultânea de uma call ede uma put de mesmo preço deexercício, e de mesmo vencimento.

Posição muito apreciada nomercado, o perfil de lucros de umlong straddle pode ser visto nafigura IV-1, e basicamente se tratade uma aposta de que o mercadoapresentará grandes oscilações nopreço do ativo objeto. Sempre que o preço do ativo no mercado à vista, no dia dovencimento, estiver abaixo de S1, ou acima de S2, haverá grandes, e ilimitadaspossibilidades de lucro. A perda fica limitada ao prêmio pago pelas opçõesenvolvidas na operação, e é máxima se o preço do mercado à vista terminarexatamente igual ao preço de exercício das opções envolvidas (X), quandonenhuma delas será exercida.

Como bem definiu Binnewies (1995), umstraddle trata-se de uma aposta numacorrida entre os movimentos de preço doativo objeto e o time decay - a perda dovalor da posição ao longo do tempo até odia do vencimento. O time decay total, porassim dizer, pode ser observado na figuraIV-2 como a diferença entre o valor daposição no dia de sua compra (t0), e nodia de seu vencimento. No caso do longstraddle, esperamos que a corrida sejavencida pelos movimentos no preço doativo. Esse é o caso típico dosbackspreads discutidos no capítulo III.

Próximo ao preço de exercício dasopções, o straddle tem um comportamentodelta-neutro. Ele também pode serajustado de forma a ser delta-neutro aoredor de outros preços de interesse. Issoimplicará a quebra da simetria entre osdois lados da operação: as opções serãocompradas em proporções diferentes de1:1. O lado que apresentar maior númerode opções possuirá um ângulo maior que45O, sendo mais inclinado e subindo "mais

h=c+p

S1 S2

X

Lucro/Prejuízo

Preço àvista (S)

Long Straddle

Figura IV-1

Lucro

Prejuízo

Preçoà vista

Xc+p

Corrida contrao time decay

dia dovencimento

dia t0

Figura IV-2

Straddle

Strip

Strap

Strip e Strap

versus Straddle

Preço àvista (S)

Lucro

Prejuízo

Figura IV-3

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depressa" do que o outro lado. Dois casos bem conhecidos, são o strip e o strap,duas posições derivadas do straddle. No strip, compram-se duas puts e uma call, eno strap, duas calls e uma put. Podem ser vistos à figura IV-3.

Para adaptar o straddle ao mercado brasileiro, o lado da put da operação serásubstituído por uma put sintética, construída a partir da venda de uma ação objeto eda compra de uma call. Isso se justifica pelo fato de não serem encontradas putscom liquidez suficiente em nosso mercado e não deve distorcer o resultado daoperação (paridade put-call), a não ser pelo aumento do custo de oportunidade eredução de alavancagem (tem-se que trabalhar com a ação numa das pontas daoperação, o que é mais caro que a opção). Mais do que isso, a partir de agora ocaso do straddle será generalizado para abranger qualquer backspread.

Relações Numéricas

A montagem desse tipo de posição pode ser feita com base nas expectativas que oinvestidor tenha em relação ao que deva acontecer com o preço do ativo até o diado vencimento das opções. Por isso, buscou-se formalizar as relações existentesentre os parâmetros que permitem o ajuste da posição, a fim de se poder visualizarmais facilmente o que ocorre quando cada um deles varia isoladamente. Encontram-se abaixo, as relações entre a proporção (n) de calls e puts sintéticas envolvidas naposição, os preços críticos S1 e S2, a partir dos quais a operação se torna lucrativa,e o máximo prejuízo possível (h). Note que aqui há uma diferença em relação aospreços S1 e S2 observados na figura IV-1: estas fórmulas consideram o custo dodinheiro investido no prêmio das opções (taxa de juros livre de risco) até o dia dovencimento1.

Parte-se do fluxo inicial de recursos embolsados na compra de um straddle. A partirdo momento em que o lado da put será substituído por uma posição sintética,construída a partir da venda de 100n2 lotes da ação (ativo) objeto, e compra de n2

calls2, o fluxo inicial deverá ser positivo, representando um embolso.

F0 = 100n2S0 - (n1 + n2) 100c

Onde c é o preço das n1 calls que são adquiridas. O lote de ações do ativo objeto évendido por S0. Quanto ao fluxo financeiro final (FT), no momento do vencimento,duas possibilidades podem ocorrer dependendo do preço ativo objeto (ST) neste dia:

1 Não foram inclusas as taxas de corretagem nessa análise por mostrarem-se absolutamente desprezíveisquantitativamente. Isso se deve ao fato de que este tipo de análise supõe que apenas uma transação será feita,e o detentor da posição aguardará até o vencimento, ou liquidará a posição antes. No entanto, no caso deanálises que envolvam ajustes frequentes de posição, os custos de transação costumam ser relevantes porquese acumulam, pesando na determinação do lucro líquido final. Quando for feita a análise empírica do capítuloV, onde são feitos ajustes diários, esses custos serão considerados e comentados detalhadamente.2 Os coeficientes 100 decorrem do fato de na BOVESPA, uma opção de Telebrás PN, a ação que se tomoucomo referência neste trabalho, dar direitos sobre 100 mil ações. Os lotes de ações são de mil ações, e todosos preços cotados sobre mil ações. Assim o 100 que aparece na frente do preço do ativo, mostra que 100 lotesdo ativo devem ser comprados para manter-se a equivalência com uma opção, e tem um significado diferentedo 100 que aparece na frente do preço da opção, que é o ajuste feito sobre a cotação de mil ações (odesembolso correspondente a 100 mil). Para outras opções onde o ativo for diferente, ou para outras bolsas devalores, esses ajustes devem ser feitos conforme as características específicas de cada mercado.

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Se ST ≤ X, FT = -100n2ST; as calls "viram pó" e recompra-se o ativo para liquidar aposição.

Se ST > X, FT = -100n2ST + 100(n1 + n2)( ST - X); as calls são exercidas e o ativo étambém é recomprado.

A partir dos fluxos, calcula-se o lucro obtido em cada situação, que chamaremos deL1 e L2, no momento do vencimento, levando o investimento inicial (F0) a valorfuturo. Sendo a taxa de juro r e o número de dias até o vencimento dt, tem-se queL = FT + F0(1+r)dt (*) :

(1) [ST ≤ X] L1 = -100n2ST + [ 100n2S0 - (n1 + n2) 100c ](1+r)dt

(2) [ST > X] L2 = -100n2ST + 100(n1 + n2)( ST - X) + [ 100n2S0 - (n1 + n2) 100c ](1+r)dt

De posse da função lucro, é fácil encontrar S1 e S2, os preços "críticos" do mercadoà vista (figura IV-1) onde o straddle traz lucro zero. Há lucros abaixo de S1 e acimade S2, sendo que qualquer ponto dentro deste intervalo faz com que a posiçãotermine em prejuízo. Para encontrar esses preços, basta fazer L = 0, substituindo-seem (1) e (2), e definindo-se n = n1 / n2, a fim de se normalizar1 as equações para n2

(número de unidades do ativo objeto):

(3) [ST ≤ X] L1 = 0 ⇒ S1 = [ S0 - (1 + n) c ](1+r)dt

(4) [ST > X] L2 = 0 ⇒ S2 = ( 1 + 1/n )X + [ S0 / n - ( 1 + 1/n ) c ](1+r)dt

Além disso, a perda máxima (h) também pode ser calculada. Ela ocorre quandoST = X, e pode ser obtida de L1 (equação 3) definindo-se h = - L1, quando ST = X. Osinal negativo em h é pura convenção para que faça sentido defini-lo como perdamáxima e não como lucro mínimo.

h = X - [ S0 - (1 + n) c ](1+r)dt

Também é possível, por fim, estabelecer-se n, a proporção entre calls e putssintéticas, como uma espécie de coeficiente de simetria do perfil de lucros daposição, tendo-se X, o preço de exercício (e onde o lucro é mínimo), comoreferência central da configuração da operação. Para tanto, basta substituir-se S1

em S2, observando-se que o segundo termo da soma que compõe S2 é o próprioS1 / n, e resolver-se para n de forma a obter:

Depois de definidas essas relações numéricas entre parâmetros e preços de breakeven, algumas observações interessantes podem ser feitas. A primeira é que ámedida que se aumenta a razão n, aumenta o custo da operação, e portanto,aumenta também a perda máxima (h) em que se pode incorrer (perfil de lucros"baixa"). Além disso, quando n < 1, à medida que a razão n diminui, S1 aumenta pela 1 Seria equivalente a fixar-se a quantidade de lotes do ativo objeto (ações da Telebrás no caso deste trabalho)em 100.

nX SS X

=−−

1

2

n > 1 ⇒ X está à direita do centro do intervalo; a configuração é mais inclinadaà direita

n = 1 ⇒ X está no centro do intervalo; a configuração é simétrican < 1 ⇒ X está à esquerda do centro do intervalo; a configuração é mais

inclinada à esquerda

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variação do custo da operação, eS2 por mais do que a variação docusto, ampliando o intervalo depreços onde há prejuízo. Aocontrário, quando n > 1, conformea razão aumenta, S1 reduz-se pelavariação do custo da operação, eS2 por menos que essa variação,reduzindo o intervalo ondeocorrem perdas. Tudo isso podeser verificado através de umaobservação atenta do gráfico aolado (figura IV-4).

É claro que se definirmos ninversamente, como n2 / n1, fixan-do o número de calls ao invés do número de puts sintéticas, teremos a manutençãodas relações observadas, mas como se vistas por um espelho. S1 irá comportar-secomo S2, e vice-versa. Escolher a forma de definir o n depende exclusivamente dosobjetivos do investidor. Normalmente, contudo, prefere-se fixá-lo como o número deputs sintéticas, porque equivale a fixar o número de lotes do ativo objeto1. Alémdisso, num straddle (n = 1), ou mais genericamente num backspread, a preocupaçãomaior do investidor não é objetivamente a razão n. Mais interessante é ajustar-se nde forma a conservar-se a posição delta-neutra sob o preço do mercado à vista emvigor a cada dia. Isso permite minimizar a exposição do valor da posição àsoscilações de mercado. Controlar o valor do gama como medida de risco a grandesoscilações também pode ser uma boa alternativa para definir o tamanho da posição.A aplicação maior então das relações delineadas está em poder se manter sobcontrole os valores críticos de S1 e S2, vis-à-vis os custos da operação. Sem dúvidanenhuma, portanto, os ajustes finos serão melhor sucedidos quando feitos com basenos "gregos" da posição, no curtíssimo prazo, porém sem descuidar das implicaçõesdesses ajustes nos preços "críticos" para a ação no momento do vencimento, se forintenção manter a posição por um pouco mais de tempo.

Características

Quanto aos outros chamados "gregos" do straddle, constatamos:

Gamma positivo: a posição ganha dinheiro em qualquer movimento do preço doativo (para cima ou para baixo) ao redor de X.Teta negativo: a cada dia, se não houver movimento no preço do ativo, a posiçãoperde dinheiro.Vega positivo: A posição ganha se a volatilidade implícita do ativo aumentar

1 Normalmente é mais custoso ajustar-se a posição pela negociação do ativo objeto porque este é mais caro, ese for necessário fazê-lo com frequência, os custos de transação oneram a rentabilidade da operação. O ladodas opções é mais "alavancado". Contudo, em algumas circunstâncias, pode ser interessante travar-se o ladodo número de contratos de opção, se for possível especular na direção certa no mercado do ativo.

Figura IV-4

33

É exatamente a conjugação dessas características desses três parâmetros que dá oformato, a configuração, que observamos como resultado final do perfil de lucros daposição. Essa configuração é característica do já discutido backspread. É a mãe dediversas estratégias que possuem em algum intervalo de preços o mesmo tipo deconfiguração, comportando-se, naquele trecho, como um backspread. Também épossível entender essa posição como uma compra de volatilidade, e onde, portanto,espera-se uma alta na volatilidade dos retornos do ativo objeto.

Por esse motivo, normalmente, procura-se um long straddle (ou um backspread)quando há a expectativa de que algum fato novo, capaz de influenciarsignificativamente o mercado, esteja em vias de ocorrer, e não se sabe se seu efeitoserá positivo ou negativo, mas se acredita que causará grandes oscilações. Porexemplo, o anúncio de um índice de desemprego, de medidas econômicas, deacordos internacionais, etc. O problema é se todos os agentes do mercadopossuírem a mesma expectativa. Se tal fato ocorrer, a volatilidade do preço do ativoavaliada pelo mercado (volatilidade implícita) subirá, e com ela o preço das opções.O straddle ficará mais caro, e apenas com oscilações mais fortes que asanteriormente previstas (um preço inferior mais baixo [S1], ou um superior mais alto[S2] ) ele se apresentará lucrativo. Nestas circunstâncias o investidor se depara comtrês possíveis ações:

1. apostar que mesmo aguardando uma alta volatilidade, o mercado ainda a estásubestimando, e portanto, também ao preço da opção. Faz-se a operação, mesmopagando "caro";

2. buscar adquirir a posição bem antes que o mercado se dê conta de que haverá

divulgação de algum "fato novo", quando os preços ainda estão atrativos. Depende deinformações privilegiadas, ou de capacidade de se conseguir antecipar eventosadequadamente;

3. assumir a posição contrária, o short straddle, que veremos a seguir, apostando que o

mercado tenha superestimado os efeitos da nova divulgação, e tentar especular com o"encarecimento" das opções.

Cabe finalmente ressaltar que os critérios e métodos utilizados no ajuste dasposições podem ser variados e dependem basicamente dos objetivos e prazos queo investidor tenha em mente. A montagem desse tipo de operação pode ser feitocom vistas a especular no curtíssimo prazo e no mercado de opções (que será otipo de simulação empreendida no capítulo V), ou olhando-se para um prazo "maislongo", até o vencimento da opção, e para o mercado do ativo à vista, apostando-sena evolução de preços da ação, por exemplo. A questão fundamental é nãodescuidar de nenhum dos dois lados ao utilizar este tipo de estratégia de aplicação,e se estar alerta para o forte viés de curto prazo em que implica essa operação, porser muito sensível ao preço das opções utilizadas.

Concluindo: o long straddle torna-se vantajoso apenas quando esperamos grandesmovimentos de preço no mercado do ativo objeto, e, ao mesmo tempo, constatamosque a volatilidade implícita, atribuída pelo mercado, está baixa, e, portanto, o preçode suas opções, subavaliado.

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Visualizações Gráficas

Lançando mão de recursos computacionais um pouco mais sofisticados é possívelilustrar como as relações numéricas, antes descritas apenas para o momento dovencimento, mantêm-se ao longo da trajetória temporal da posição até ovencimento. Nos exemplos da página seguinte, foram utilizadas calls teóricas depreço de exercício R$100, num backspread iniciado há 20 dias do vencimento dasopções, quando o preço do ativo objeto estava a R$102. Os dois gráficos superiores(figuras IV-5a e IV-5b) mostram um backspread montado com uma razão n = 0.33, eos dois de baixo (figuras IV-6a e IV-6b), com uma razão de n = 2.00.

Figura IV-5a Figura IV-5b

Figura IV-6a Figura IV-6b

À esquerda (a), têm-se os gráficos do perfil de lucros do backspread, à medida quevaria o tempo. À primeira vista tem-se a impressão de que o fundo do vale, onde oponto de máxima perda se localiza (em cada momento do tempo), e onde a posiçãoé delta-neutra, mantém-se sobre o mesmo preço à vista (igual ao preço de

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exercício) até o momento do vencimento. Isso não é verdade e pode ser verificadoatravés dos dois gráficos da direita (b). A linha azul mostra a curva de nível noplano preço do ativo e tempo para o vencimento, quando o lucro é igual a zero.Qualquer par preço do ativo e tempo para o vencimento dentro da região delimitadapela curva azul representa uma perda; fora, representa um lucro. Trata-se damesma análise que foi feita antes, mas quando t era igual a zero. O intervalodelimitado por S1 e S2 equivaleria apenas ao contorno dessa região na linha onde t= 0. Observa-se que esse intervalo de preços onde há perdas se amplia em direçãoao vencimento devido à corrosão do valor do tempo da posição pelo time decay.Fica também bem claro da comparação dos dois gráficos (da direita) queaumentanto a razão n, aumentam as probabilidades de perda, pois aumenta aregião onde a posição apresenta prejuízos. Isso ocorre porque mais calls tem queser compradas, aumentando o custo da operação.

A linha vermelha, nos gráficos (b), mostra a curva de nível onde o delta da posiçãoé mantido igual a zero, ou dito de outra forma, mostra a trajetória de valor mínimo daposição ao longo do tempo. Pode-se entendê-la também como a trajetória de preçospara o ativo objeto onde a exposição do valor da posição às oscilações de mercadoseria mínima. Para neutralizar o delta da posição em qualquer momento do tempoem que o preço do ativo seja diferente do dado por uma das duas trajetórias, serianecessário ajustar a posição, alterando a razão n, o que implicaria a construção deuma nova trajetória, e estabelecimento de outra região de lucros. Essas seriamintermediárias entre as das figuras IV-5b e IV-6b, se o preço do ativo se situasseabaixo da linha vermelha em que n = 0.33, e acima daquela onde n = 2.00.

Além disso sabe-se que no dia do vencimento ( t = 0 ), o valor de máxima perdaestá sob o preço de exercício (R$100, no exemplo). Observando-se as linhasvermelhas podemos ver qual é esse preço em cada instante t, anterior aovencimento. Vê-se que a trajetória onde ∆ = 0 não é linear, sendo convexa comn > 1, e côncava com n < 1. Portanto, se for pensada uma situação onde se planejemanter uma posição delta-neutra, se o preço do ativo não variar, a razão n terá queser ajustada ao longo do tempo. Mantendo n fixa, a posição somente será delta-neutra se o preço do ativo seguir exatamente as trajetórias descritas ao longo dotempo.

Short Straddle

O Short Straddle (figura IV-7) é obtidovendendo-se simultaneamente umacall e uma put de mesmo preço deexercício, e mesmo vencimento. Trata-se de uma aposta de que o preço doativo objeto manterá algumaestabilidade até o dia do vencimento.Ao contrário do long straddle, torna-seatrativo quando acredita-se quehaverá queda na volatilidade do ativonos próximos dias, ou que o mercadoa está subavaliando. Nestas

h=c+p

S1 S2X

Lucro/Prejuízo

Preço àvista (S)

Short Straddle

Figura IV-7

36

circunstâncias os preços das opções envolvidas na operação encontram-se acimade seu fair value, e é possível tirar proveito deste fato vendendo-as.

Na verdade, esta operação é exatamente o reflexo no espelho do long straddle, anão ser pelo fato de que a probabilidade de retornos positivos a cada short straddle,é maior do que nos long straddles, como nos diz Binnewies (1995). Mas se todas asopções forem transacionadas no mercado pelo seu fair value, a esperança deretornos positivos a longo prazo é nula para ambos. Há maior probabilidade delucros no short straddle, mas não podemos esquecer que estes lucros são menorese limitados quando comparados a um long straddle: aqui ganha-se no máximo o quese recebeu inicialmente pela venda da posição, o prêmio das opções (no longstraddle isso é o máximo que se perde). Os menos freqüentes ganhos com o longsttraddle são compensados no entanto, pelo montante destes ganhos. Na médiahaverá um empate entre pequenos ganhos freqüentes e raras grandes perdas,empatando no "famoso" fair price de equilíbrio para as opções.

As relações numéricas desenvolvidas para o long straddle são exatamente asmesmas para o short straddle, bastando que se invertam os sinais de F0 e FT, já queas operações de compra e venda apresentam-se todas inversas. Os "gregos"característicos desta posição são:

Gamma negativo: a posição perde dinheiro qualquer que seja o movimento do preçodo ativo (para cima ou para baixo) ao redor de X.Teta positivo: a cada dia sem movimento no preço do ativo, a posição ganha valor.Vega negativo: A posição aposta que a volatilidade do ativo é menor do que avolatilidade implícita do mercado.

A configuração de ganhos decorrentes destes três parâmetros é o front spread.Acredita-se que a volatilidade estabelecida pelo mercado está alta - ou que estadeva cair nos próximos dias - e busca-se tirar proveito do fato vendendo as opçõesque, em decorrência deste fato, estejam acima de seu real valor. Trata-se portanto,de vender volatilidade.

Na prática, como no long straddle, se usam puts sintéticas ao invés de opções semliquidez. São obtidas através da compra de ações e da venda de calls. Além disso,todas as demais conclusões e análises feitas para o long straddle valem aqui,inclusive as relações de preços que foram estabelecidas.

Concluindo: o short straddle torna-se vantajoso apenas quando não esperamosmovimentos de preço no mercado do ativo objeto, e, ao mesmo tempo, constatamosque a volatilidade implícita, atribuída pelo mercado, está alta, e o preço de suasopções, portanto, superavaliado.

37

Call Ratio Spread

Esta constitui uma das mais flexíveisestratégias encontradas no mercado deopções, o que permite adaptá-la comprecisão à expectativa do investidor quantoao comportamento futuro do preço do ativoobjeto.

Constitui-se da compra de uma call depreço de exercício menor e da venda deduas ou mais calls de preço de exercíciomaior.

A sua configuração nos permite construir grandes faixas de preços onde haverálucro. É óbvio que existe um tradeoff, como será mostrado a seguir, entre aextensão do intevalo de preços onde se terá lucros ao final da vida das opções, e otamanho desses lucros. No caso de intervalos de preço menores (mais arriscados),por exemplo, esperamos grandes lucros poteciais. Tudo depende da expectativa emrelação ao comportamento futuro dos preços do ativo e da adequada escolha dasopções existentes no mercado que permitam atingir os objetivos desejados.

Trata-se então, de definir um perfil de lucros esperado, apostando, sobretudo, namovimentação do ativo objeto. Esse é o alvo principal dessa posição: mais omercado do ativo objeto, menos o do mercado de opções. Mas, como as opçõesconstituem os instrumentos fundamentais a serem utilizados na composição daposição desejada, nada melhor do que a utilização de um instrumental misto,incorporando parte das análises vistas no capítulo III, e tentando identificar baixas ealtas volatilidades (como será feito no capítulo V), ganhando também no mercadode opções.

A seleção de opções subprecificadas para compra, e de sobreprecificadas paravenda, constitui a real oportunidade para que se possa atingir com sucesso asmetas traçadas.

Relações Numéricas

A configuração final de um call ratio spread pode ser observada na figura IV-8. Aposição é montada, genericamente, através da compra de n1 calls ao preço c1, e davenda de n2 calls ao preço c2. O preço de exercício X2 deve ser maior que X1. Alémdisso, para que esse perfil de lucros característico da figura IV-8 se mantenha,necessariamente, deve-se ter n2 < n1.

Lucro

Prejuízo

Preço àVista

CALL RATIOSPREAD

X1X2

S*

LMAX

h

Figura IV-8

38

O ganho inicial com a operação pode ser definido por h (um sinal negativorepresentará custo inicial), descontando-se as opções que são compradas(desembolso) das que são vendidas (embolso).

h = 100 ( n2 . c2 - n1 . c1 ) (1)

O ganho final (g), dependerá do preço que o mercado à vista do ativo objeto atingirno dia do exercício (ST):

ST ≤ X1: g = 0; nenhuma das opções é exercida;X1 ≤ ST ≤ X2: g = 100n1 (ST - X1); a call 1 (de menor preço de exercício) é exercida, e

um lucro é realizado no mercado à vistaX2 ≤ ST: g = 100n1 (ST - X1) - n2 (ST - X2); as duas calls são exercidas, mas como

a call 2 está vendida, uma perda érealizada no mercado à vista

E o lucro final, incorporando o custo de oportunidade do investimento inicial, ficadefinido pela soma do ganho inicial com o ganho final: L = g + h (1+r)dt (2)

Um caso interessante, é encontrar-se o break even desta posição, ou seja, o preçoS* (figura IV-8) do ativo no mercado à vista que faça com que não haja nem ganhosnem perdas ao final da operação (lucro nulo). Isso pode ser obtido resolvendo-se(2) para L = 0, quando X2 < ST:

L = 100n1 [ST - X1 - c1 (1+r)dt] - 100n2 [ST - X2 - c2 (1+r)dt] = 0

Chamando-se ST de S*, o preço crítico que se deseja encontrar, e normalizando-sea equação para n1, define-se n por n = n2 / n1 e obtém-se:

nS X c rS X c r

dt

dt=− − +− − +

* ( )* ( )

1 1

2 2

11

(3)

Essa equação mostra que é possível encontrar uma proporção n em que as opçõesc1 e c2 devem ser negociadas, à semelhança do que se faz quando se buscaneutralidade de delta. Deve ficar claro, no entanto, que se trata de problemascompletamente distintos: aqui o objetivo é a fixação um preço teto para oscilação doativo objeto, até onde seja possível, pelo menos, empatar lucros e perdas (breakeven). O foco, portanto, é o mercado do ativo objeto, e não o de opções.

Não é à toa que se comenta a flexibilidade desta estratégia. Facilmente consegue-se adaptá-la fixando-se um de seus parâmetros para atingir uma determinadaexpectativa em relação ao comportamento futuro do ativo objeto no mercado à vista.É possível, por exemplo, fixar-se h, o ganho inicial para ser igual a zero. Issotornaria a operação mais rentável1 no intervalo de preços entre X1 e S*, e não trariaprejuízos caso o mercado chegasse ao vencimento abaixo de X1. Seria um tipo deconfiguração para se objetivar um alvo (intervalo de preços entre X1 e S*) preciso, eobter um bom lucro, mantendo-se o cuidado, é claro, de não permitir que ST termine

1 Mais rentável em relação ao caso onde h é ajustado para ser positivo (venda das calls de maior preço deexercício supera compra das de menor), garantindo um ganho inicial e travando lucro mínimo se o mercadoapresentar baixa, mas dilui a rentabilidade da operação, se o mercado ficar estável ou subir.

39

muito acima de S*, o que traria grandes prejuízos. Nesse caso, é aconselhávelliquidar a posição antes do vencimento a qualquer sinal de mudança de rumo domercado, evitando noites "mal dormidas" de sono no futuro. Como se trata de umfront spread (entre X1 e S*), com o time decay jogando a favor, a liquidação daposição antes do vencimento não deve representar perdas significativas, desde quese tenham escolhidas opções baratas na montagem da operação.

Prosseguindo com a análise, verifica-se o que ocorre quando se fixa h = 0 (custoinicial de montagem da operação nulo):

100(n2 . c2 - n1 . c1 ) = 0 ⇒ n2 / n1 = c1 / c2 ⇒ n = c1 / c2 (4)

O resultado é que basta transacionar as opções na razão do preço da call de menorexercício para a de maior, para que não seja preciso haver desembolso inicial.Prejuízo, nesse caso, só se o preço do ativo no mercado à vista ultrapassar S*.Qualquer preço entre X1 e S* faz a operação terminar em lucro. Para encontrar o S*correspondente, resolve-se (2) para S*, com L = 0:

[ ] [ ]S

n X c r X c r

n

dt dt

*( ) ( )

=+ + − + +

−2 2 1 11 1

1 (5)

Graficamente, é possível visualizar-se a relação entre os parâmetros envolvidos naoperação da seguinte forma:

Observa-se na figura IV-9a a relação existente entre a taxa em que se negociam asduas opções1 (n) e o preço crítico escolhido para ser o break even no mercado àvista (S*). À medida que o S* fixado cresce muito, vê-se que n tende a 1.Exatamente nesse limite, a posição se degenera completamente e deixa deapresentar a configuração característica de um call ratio spread, passando ao casoconhecido do call bull spread, ou como se acostumou a chamar no mercadobrasileiro, trava de alta com opções de compra. Nessa posição, compra-se a call demenor exercício e vende-se a de maior, limitando uma perda máxima, caso o preçodo ativo baixe, e ao mesmo tempo, determinando um lucro máximo, caso o mercadosuba. Isso faz com que o custo inicial da operação também apresente um limite 1 Fixando-se em 1 o número de contratos da call de menor exercício (X1), variou-se somente o número de callsvendidas (X2), como foi definido em n, logo acima.

Figura IV-9a Figura IV-9b

40

máximo1, dado pelo valor de -h, quando n tende a 1 (e S*→+∞), o que pode serconstatado na figura IV-9b. O gráfico da figura IV-9b apresenta o tradeoff entre oganho inicial (h) na operação, e o preço crítico escolhido para ser o break even nomercado à vista (S*).

Verifica-se que quando o preço do ativo à vista baixa muito, a posição também sedegenera: no caso limite, quando o preço crítico fixado (S*) tender a X2 + c2 (1+r)dt, arazão n2 / n1 crescerá muito, e a posição tenderá a se comportar como uma calllançada a descoberto. O ganho inicial da operação (h), crescerá muito e tenderá aovalor recebido pela venda das calls de maior exercício (X2). Os prejuízos nessecaso, vale lembrar, poderiam ser formidáveis, caso o mercado subisse além de X2 +c2 (1+r)dt.

Um Exemplo Numérico

Veja-se um exemplo de como essasrelações poderiam ser utilizadas naelaboração de uma operação nomercado.

Consideraram-se os dados dofechamento do mercado no dia 26 dejunho de 1996 para montar-se esteexemplo (a 38 dias do vencimento).A TELEBRÁS PN estava cotada a R$72,20 o lote de mil ações, a call deexercício R$ 72, a R$4,25, e a callde R$76, a R$ 2,50 cada opção.2

Foram feitas quatro operaçõesdiferentes:

1. (EM VERDE) Fixou-se um preço crítico S* = 80. A razão n em que as opções devem ser negociadas foi

calculada através da equação (3), resultando em um n = 2,50. Nesta escala, ou seja, com n1 = 1, oganho inicial3 com a operação foi h = 200 (equação 1). Para se obter um número de contratos inteiro,basta multiplicar-se n por um fator adequado: 2, por exemplo, resultando em n2 = 5, n1 = 2, e h = 4.

2. (EM VERMELHO) Fixou-se um preço crítico S* = 84. A razão n foi calculada em 1,41 (equação 3), e através

da equação (1), h em -73,20. O valor negativo de h significa que houve um custo inicial na montagemda operação, como pode ser observado no perfil de lucros dado pela curva vermelha, abaixo de X1. Damesma forma pode-se ajustuar n1 e n2 para refletirem números inteiros de contratos.

3. (EM AZUL-CLARO) Fixou-se um preço crítico S* = 88, já bastante alto. A razão n resultou em 1,24, e h em

-116 (equações 3 e 1). Observa-se claramente o tradeoff existente em se aumentar o valor de S* (paradiminuir riscos), e incorrer em custos maiores na montagem da operação (h). Além disso, corre-se umrisco (limitado ao custo inicial h) de que o preço no mercado à vista caia até o vencimento da posição.

1 Esse limite é dado exatamente pelo custo de um call bull spread.2 O efeito do custo de oportunidade (taxa de juro sem risco), não foi levado em conta neste exemplo, quepretende apenas demonstrar a utilização das relações definidas entre os parâmetros para o dimensionamentoda posição, não representando, portanto, perda de generalidade quando r ≠ 0.3 As unidades representam R$/mil ações. Como cada opção se refere a 100.000 ações, basta multiplicar osvalores obtidos por 100 para se obter os fluxos totais em R$.

Figura IV-10

41

4. (EM AZUL-ESCURO) Nesta posição, optou-se por fixar h = 0, de forma a não serem necessários desembolsosna montagem da operação1, e evitar-se perdas futuras caso o mercado caia até o vencimento. Aqui, visa-se obter lucro caso o preço do ativo à vista fique abaixo de S* = 81,71 (pela equação 4 encontra-se n = 1,7,e, substitui-se em 5, resolvendo-se para S*) e acima de X1 = 72. Este é o maior valor para S* que se podefixar, sem que a operação acarrete custos iniciais.

Visualizações Gráficas

Pode-se observar o comportamento de um callratio spread à medida que variam o tempo e opreço no mercado à vista através da figuraIV-11 ao lado. Esse gráfico mostra o perfil delucros da posição montada no exemplo 2 dapágina anterior, estendido ao longo do tempo.

É possível notar que os pontos onde a posiçãose apresenta delta-neutra, à medida que otempo passa, não formam uma trajetórialinear. Qualquer ponto onde a posição semostre delta-neutra (nesse caso onde o gamaé negativo), deve ser um ponto de máximovalor da carteira. Os pontos de maior valor(lucro) são aqueles que apresentam coresmais frias (rosa) no gráfico, e pode-seobservar sua trajetória caminhando emdireção ao dinheiro, quando o vencimento seaproxima. Esse fenômeno pode ser melhorilustrado pela curva de nível ao lado. A figuraIV-12 mostra o lugar geométrico dos parespreço do ativo e tempo para o vencimento quetornam a posição delta-neutra. Matematica-mente, podemos defini-la como a curva de nível no plano preço do ativo e tempo atéo exercício, de uma função que explicitasse o delta da posição em função de S e t.A curva seria ao nível zero ∆(S,t) = 0. Em palavras, essa trajetória mosta quais ospares preço do ativo e instante de tempo em que o call ratio spread acimaapresenta-se delta-neutro, ou ainda a trajetória dos valores máximos que a posiçãopode atingir, em cada instante de tempo. O importante aqui é que essa trajetórianão é linear e implica no ajuste do valor de n à media que o vencimento se aproximase se pretende manter a posição hedgeada.

Outra característica interessante que também pode ser visualizada graficamente, éa região em que o call ratio spread, definida no plano tempo e preço do ativo,apresenta lucros. Os gráficos da página seguinte mostram essas curvas de nível,quando o lucro (L) é mantido igual à zero ( L[S,t] = 0 ). A ordem em que seapresentam corresponde aos quatro exemplos numéricos utilizados anteriormente.A figura IV-13a mostra a trajetória onde o call ratio spread foi feito de forma apossuir um um preço crítico de S* = 80. Como houve ganho inicial, e nenhum custo,

1 Na prática, são exigidas margens de garantia para as calls lançadas. O custo de oportunidade representadopelos depósitos de margem, contudo, é simplesmente o dos recursos não estarem disponíveis para asoperações de risco mais rentáveis. Isso se deve ao fato desses depósitos normalmente serem feitos em títulospúblicos e, portanto, renderem a taxa de juro de mercado.

Figura IV-11

Figura iV-12

42

em cada instante de tempo haverá apenas um ponto crítico a partir do qual aposição representará prejuízo1. Seria equivalente a definir-se o S* utilizadoanteriormente, como S*T, e se traçasse a curva dos S*t à medida que t variasse,calculando um novo preço crítico S*t a cada momento do tempo. Traçada a curva,observa-se que toda a área acima dessa curva, representa preços para o ativoobjeto que em cada momento do tempo, resultariam prejuízo para a posiçao.Reversamente, abaixo dessa trajetória, ter-se-ia lucros. Enfim, a curva traçada nográfico é o preço de break even (S*t) para cada momento do tempo (t).

Essa mesma representação gráfica foi feita para cada um dos outros três exemplosnuméricos. O gráfico da figura IV-13b, representa o exemplo 2, onde se fixouS*T =84. Nesse caso, como existem custos iniciais (h < 0), ter-se-á perdido oinvestimento inicial h, caso a posição chegue ao vencimento sem valor (abaixo deX1). É de se esperar portanto, que também haja um limite inferior para o quedefinimos como região de lucros. Facilmente isso pode ser observado no gráfico. Oinstrumento de análise é interessante porque permite saber, a cada instante detempo, se o mercado está próximo de chegar a um ponto de prejuízo (aproximando-se das curvas), e indicando que a posição deva ser liquidada. Na figura IV-13, opreço crítico final fixado foi 88.

Figura IV- 13a Figura IV-13b

Figura IV- 13c Figura IV-13d

1 As simulações são teóricas, e utilizaram os dados do mercado no dia 26 de junho de 1996, 38 dias antes dovencimento das opções. Portanto, essa análise só pode ser feita admitindo-se constantes a a taxa de juro evolatilidade do ativo objeto até o dia do vencimento.

43

Observa-se que o custo inicial maior (h), foi trocado por um aumento da região delucros, e por um deslocamento de todos os pontos S*t para cima, reduzindo o riscoda posição terminar em prejuízo. Claramente se observa a noção do tradeoff entre omaior custo e o menor risco (maior região de lucros). No último gráfico, o doexemplo 4, fixou-se o h = 0. Nesse caso, não se obtém nem lucro, nem prejuízo atéa altura da curva inferior do gráfico. A partir daí, são auferidos lucros caso omercado se situe abaixo da curva superior, a trajetória de break even, onde aposição passa a incorrer em prejuízos. Abaixo da curva inferior não há nem lucros,nem prejuízos.

Concluindo: o call ratio spread, ainda pouco utilizado no Brasil, é uma estratégiaextremamente flexível, e deve ser escolhido com vistas à expectativas futurasquanto ao comportamento do ativo objeto no mercado à vista. Ajustes finos e desensibilidades também podem ser buscados, mas não são o ponto chave daquestão. Fundamental é a escolha do momento ideal do mercado para se entrar naposição. Deve-se buscar casar com vantagem as expectativas de preços nomercado à vista, com preços adequado para as opções que servirão de instrumentoà posição, a fim de baratear a montagem da estratégia.

44

Call Butterfly Spread

Num call butterfly tradicional, empregam-secalls com três diferentes preços deexercício, e mesma data de vencimento.Compram-se as calls de menor e maiorpreço de exercício (X1 e X3), e vendem-seduas calls com o preço de exercíciointermediário (X2). A configuração de seuperfil de lucros pode ser vista ao lado nafigura IV-14. A característica fundamentalde um butterfly é trocar uma parte dosmaiores lucros que poderiam ser obtidos,por exemplo com um straddle, por umaredução do nível das perdas potenciais. Obutterfly trava uma perda máxima, mas também impõe o limite de um lucro máximo.Além disso, delimita um intervalo preciso para a variação do preço do ativo objetodas opções, dentro do qual se espera obter lucro.

Variações também são possíveis,dependendo das tendências e expectativasque o investidor veja no mercado. Pode-seescolher um dos dois patamares formados,abaixo de X1, ou acima de X3, paraapresentar lucros positivos. Isso reduz aspossibilidades de lucro acima de X2, ouabaixo de X2 respectivamente. É o que sevê na figura IV-15. De toda forma as perdasficam limitadas, e a restrição que se impõepara que a posição continue com o perfil delucros característico do butterfly, é que onúmero de calls vendidas seja igual ao decalls compradas (*). Se essa condição não for obedecida a posição "não travarátodas as pontas", e algumas das calls vendidas podem ficar descobertas.

Relações Númericas

Partindo do fluxo inicial desembolsado para a montagem de um call butterfly, define-se F0 a partir da compra de n1 calls ao preço c1, e preço de exercício X1, compra den3 calls pelo preço c3 e preço de exercício X3, e pela venda de n2 calls ao preço c2 epreço de exercício X2. Além disso, X3 > X2 > X1, e n2 = n1 + n3 (*):

F0 = 100(n2c2 - n1c1 - n3c3)

O fluxo monetário total, como sempre depende do coeficiente 100 que ajusta opreço das calls, cotadas sobre lotes de mil ações. No vencimento, o fluxo a ser

Lucro

Prejuízo

Preço àVista (S)

CALL BUTTERFLY

X1 X2

LMAX

X3

S1 S2L1 L4

Figura IV-14

Figura IV-15

45

recebido (FT), decorrente dos exercícios das opções será, de acordo com o preço doativo objeto no mercado à vista:

1) ST ≤ X1 ⇒ FT = 0• nenhuma das calls termina em exercício;

2) X1 < ST ≤ X2 ⇒ FT = 100n1 (ST - X1)• o investidor exerce a call de menor preço de exercício e a vende no mercado à vista,

realizando um lucro.

3) X2 < ST ≤ X3 ⇒ FT = 100n1 (ST - X1) + 100n2 (X2 - ST)• a call 1 é exercida, e os compradores das n2 calls vendidas as exercerão. O investidor

compra 100(n2 - n1) lotes de ações no mercado [=100n3 lotes, por (*) ] para entregá-lasaos compradores da call 2.

4) X3 < ST ⇒ FT = 100n1 (ST - X1) + 100n2 (X2 - ST) + 100n3(ST - X3)• todas as calls são exercidas, e os 100(n1 + n3) lotes de ações comprados no exercício

das calls 1 e 3 (por X1 e X3), são vendidas X2 por quando as n2 calls lançadas sãoexercidas por seus compradores.

Na montagem da função lucro, para efeito de simplicidade, o fluxo inicial(normalmente um desembolso) atualizado a valor futuro, será somado ao fluxoocorrido no momento do vencimento: L = FT + F0(1+r)dt

1) ST ≤ X1 ⇒ L1 = 100(n2c2 - n1c1 - n3c3)(1+r)dt (1)• como a call 3 tem o preço mais baixo (preço de exercício mais alto), n1 + n3 = n2, e a

função preço de uma opção é côncava com relação ao preço de exercício, L1 só serápositivo (representando um ganho e não um custo) quando n3 > n1. Portanto,normalmente, o patamar definido por L1 será negativo.

2) X1 < ST ≤ X2 ⇒ L2 = 100[ n1ST - n1X1 + (n2c2 - n1c1 - n3c3)(1+r)dt ]

3) X2 < ST ≤ X3 ⇒ L3 = 100[ ST(n1 - n2) - n1X1 + n2X2 + (n2c2 - n1c1 - n3c3)(1+r)dt ]

4) X3 < ST ⇒ L4 = 100[ ST(n1 - n2 + n3) - n1X1 + n2X2 - n3X3 + (n2c2 - n1c1 - n3c3)(1+r)dt]• como por (*) n2 = n1 + n3, o termo que multiplica ST é zero, a equação fica:

L4 = 100 [ n2X2 - n1X1 - n3X3 + (n2c2 - n1c1 - n3c3)(1+r)dt] (2)

• Em condições normais1 (n3 = n1), L4 será igual a L1, e o call butterfly acarretará umcusto a seu investidor no momento de sua montagem, mas onde este será equivalentea perda máxima possível. Graficamente, trata-se dos dois patamares observados nacurva vermelha da figura IV-15 (à esquerda de X1, e à direita de X3). Contudo, quandon3 ≠ n1, um desses patamares será positivo e o outro negativo. Em particular, quando n1

> n3, L4 será positivo e L1 negativo (curva verde). Quando n3 > n1, L1 será positivo e L4

negativo (curva azul). O motivo que leva a esse fato é que um maior número decontratos numa das pontas da posição, traz maiores custos nessa ponta da operação,baixando seu nível de lucros.

1 Entende-se aqui, por condições normais, aquelas que dão origem ao call butterfly simétrico mostrado nafigura IV-14.

46

Depois de definida a função lucro, é possível encontrar-se os preços S1 e S2,delimitando o intervalo de preços para o ativo objeto onde a posição traz lucrospositivos no momento do vencimento.

Para encontrar S1, basta fazer L2 = 0, quando X1 < ST ≤ X2, e chamando ST de S1,tem-se:

S Xnn

c cnn

c r dt1 1

2

12 1

3

13 1= − − −

+( ) (3)

E, da mesma forma, para S2, fazendo-se ST = S2, e L3 = 0 no intervalo X2 < ST ≤ X3,obtém-se:

Snn

Xnn

Xnn

cnn

c c r dt2

2

32

1

31

2

32

1

31 3 1= − + − −

+( ) (4)

Além disso, é possível calcular-se o lucro máximo que pode ocorrer no dia dovencimento. Ele se dá quando X1 < ST ≤ X2, e para encontrá-lo chama-se de LMÁX ovalor de L2 em ST = X2:

LMÁX = 100[ n1 (X2 - X1 ) + (n2c2 - n1c1 - n3c3)(1+r)dt ] (5)

Exemplos Numéricos

Aproveitando os call butterflies mostrados na figura IV-15, abaixo ilustra-se como asrelações numéricas deduzidas podem ser empregadas para a montagem das trêsposições mostradas na figura.

Foram utilizados os preços de fechamento de três calls de Telebrás PN negociadasno dia 22 de julho de 1996. O vencimento foi no dia 19 de agosto, e faltavam 20dias úteis para o vencimento. O preço do lote de mil ações da TEL4 estava cotado aR$76,20, e o prêmio pago pelas calls foi de R$6,10 para o preço de exercício deR$72, R$4,00 para o de R$76, e R$2,35 para o de R$80. Sem perda degeneralidade, r será considerado igual a zero, para que seja mantida acorrespondência com a ilustração no gráfico, onde o perfil de lucros foi traçado sema consideração do custo de oportunidade do dinheiro investido na estratégia.

1. (EM VERDE) A estratégia foi montada a partir da compra de 5 calls de preço de exercício R$72,venda de 6 calls de R$76, e compra de 1 call de R$80. A partir de (3) encontra-se S1 = 73,77 , ede (4), S2 = 87,15. Nesse caso, o valor de S2 é absurdo (maior que X2 = R$80) simplesmenteporque não há intersecção do "terceiro estágio da função lucro" ( L3 ) com o valor zero. S2

portanto, não está definido neste ponto e seu valor deve ser desconsiderado. As extremidades daoperação estão com uma perda travada em R$885, se o preço da Telebrás chegar a 19 deagosto abaixo de R$72 / mil ações (equação 1), e em um lucro de R$715, caso ultrapasse osR$80 (equação 2). O lucro máximo LMÁX resultou em R$1115 (equação 5), e é obtido caso aTelebrás esteja cotada exatamente a R$76 no dia do vencimento. A operação está configurada,portanto, para trazer lucro a qualquer preço de vencimento para a ação acima de R$73,77, eprejuízo para preços inferiores a esse valor.

47

2. (EM AZUL) Nessa posição optou-se pelo caso oposto. Apostou-se numa baixa. Foram compradas 2calls de preço de exercício R$72, vendidas 6 calls de R$76, e compradas mais 4 calls de R$80.O valor de S1 não é relevante, porque não há interceptação do eixo do "lucro zero" para preçosabaixo de S2. De (4), calcula-se S2 = 78,60. Esse será o valor crítico para o preço da ação daTelebrás nessa posição. Qualquer preço que, no vencimento, esteja acima desse valor, faz aposição incorrer em prejuízo, sendo que a perda máxima está limitada a L4 = - R$560 (equação2). Abaixo de R$78,60, temos o lucro máximo LMÁX = R$1040 (equação 5), atingido se o preço daação chegar ao vencimento cotada a R$76, e um lucro constante em L1 = R$240 (equação 1),caso fique abaixo de R$72.

3. (EM VERMELHO) Aqui optou-se pela posição simétrica, e portanto, por fixar um intervalo de preços

entre S1 e S2 para a ação da Telebrás em 19 de agosto, onde se espera obter lucros. Apostou-sena estabilidade do mercado. Compraram-se 3 calls de preço de exercício R$72, venderam-se 6calls de R$76, e compraram-se mais 3 calls de R$80. Por (3) calcula-se S1 = 72,45, e por (4),chega-se a S2 = 79,55. Qualquer preço dentro deste intervalo traz lucros, sendo que o lucromáximo possível é LMÁX = R$1065 (da equação 5). A perda máxima travada resume-se ao custoda operação, e pode ser obtida de (1) ou de (2), de onde sai que L1 = L4 = - R$135.

Características

Dos exemplos numéricos, e do gráfico IV-15, onde os resultados dessas operaçõesestão traçados, é possível tirar algumas lições a respeito de um call butterfly:

a) A configuração de perfil de lucros que possibilita travar a menor perda possível, é asimétrica, onde as opções de menor e maior preço de exercício são compradas emigual número, como se observa comparando os resultados do ítem 3, com os ítens 1 e2 acima.

b) Existe um tradeoff significativo entre ampliar os lucros acima de um determinado preçocrítico para o preço da ação, apostando na alta do mercado (ou abaixo, apostando nabaixa), e o aumento das perdas máximas na outra ponta da posição.

c) O lucro máximo é tanto maior quanto mais opções do menor preço de exercício (call 1)forem compradas.

d) Quanto mais lucro se deseje numa das pontas da operação (L1 ou L4), mais avança opreço crítico (S2 ou S1, respectivamente) no sentido de aumentar os riscos e diminuir ointervalo onde os ganhos são esperados a ocorrer.

Feitas essas observações, cabe agora distinguir eapontar as vantagens e desvantagens do callbutterfly spread. O principal contraponto que podeser feito é com um short straddle (ou com um frontspread, construído a partir do ativo objeto e decalls). Um call butterfly simétrico, é uma apostaclara na estabilidade do mercado, sendo que épossível ajustá-lo para incorporar tendências dealta ou de baixa (caso não se opte pela simetria).Função idêntica é cumprida também por um shortstraddle, sendo que ambas posições beneficiam-sedo time decay, à medida que se aproxima o vencimento. Ocorre que o butterfly, seapresenta como uma operação mais cara e mais rígida (do ponto de vista dapossibilidade de ajustes) do que o straddle, resultando portanto, em menores lucros.Claramente isso é perceptível através da figura IV-16, acima. Em compensação,troca-se essa rigidez e essa redução dos ganhos potenciais, pela imposição delimites às perdas que possam vir a ocorrer.

Lucro

Prejuízo

Preço àVista (S)

CALL BUTTERFLYX

SHORT STRADDLE

X1 X2 X3

Figure IV-16

48

Além disso, a escolha entre os dois depende princialmente dos objetivos doinvestidor. Se se busca especular com os preços das opções, então não há dúvidaque a estratégia mais adequada a seguir é um front spread, ajustado dia-a-dia paraacompanhar as oscilações do mercado, e que pode ser facilmente revertido quandoos ganhos esperados com as diferenças de preço se materializarem, ou quando omercado seguir um rumo desfavorável. Mas se o foco principal é uma aposta(especulação) sobre o comportamento do mercado do ativo objeto, então pareceque não há dúvida de que o butterfly apresenta interessantes possibilidades deganho, impondo limites às catástrofes que poderiam ocorrer caso não fosse travadauma perda máxima. Em resumo, o butterfly se apresenta como uma estratégia maisconservadora, que, se bem escolhido o momento de sua construção, a fim de queseja possível selecionar os preços mais adequados para as opções que servirão deinstrumentos a sua montagem1, resulta em interessantes possibilidades de lucro,principalmente em períodos de relativa tranquilidade do mercado. Não estádescartada, contudo, e até é possível recomendar-se, atenção para o delta daposição no momento de sua montagem: tornando a posição delta-neutra é possívelincorporar-se as "distorções" apresentadas na figura IV-15, com um pouco mais decritério e precisão. Contudo, o ajuste frequente de um butterfly com a finalidade demantê-lo delta-neutro pode sair bastante caro.

Visualizações Gráficas

Ao lado, na figura IV-17, pode-se observar operfil de lucros do call butterfly do exemplo denúmero 3, à medida que o vencimento seaproxima. No dia do vencimento ele possuiexatamente a configuração observada nacurva vermelha do gráfico IV-15, no iníciodesta seção. À medida que o vencimento ficamais distante, percebe-se que os lucros sãomenores. Esse é o efeito do valor do tempo naposição. O time decay joga a favor do detentordessa posição, exatamente como num frontspread.

Como já tinha sido feito tanto no caso dostraddle, quanto do call ratio spread, pode-seobservar também o gráfico teórico da posiçãono nível onde tem-se o lucro igual a zero.Constrói-se a curva de nível no plano preço doativo e tempo para o vencimento, a fim de serpossível o acompanhamento dos preços,antes definidos como S1 e S2 (para o momentodo vencimento), e que definem o intervalo depreços onde seriam obtidos lucros, ao longo

1 O momento ideal seria obtido quando a call mais próxima ao dinheiro estivesse sobreprecificada, enquantoque, ao mesmo tempo as calls de preços de exercício inferior e superior, estivessem subprecificadas. Não sepode esquecer contudo, das magnitudes dos sobrepreços: a call de menor preço de exercício costuma ser amais importante, pois seu preço será sempre o maior, e geralmente, também o seu sobrepreço. Em segundolugar, a call mais próxima do dinheiro é a que costuma possuir o menor sobrepreço, e por último a call demaior preço de exercício, normalmente com valor do prêmio muito baixo, e pequeno sobrepreço em magnitude.

Figura IV-17

Figura IV-18

49

de suas trajetórias temporais. Essas são as linhas azuis da figura IV-18. A linhavermelha, mostra a trajetória onde a posição é delta-neutra, e onde adquire o seuvalor máximo ao longo do tempo, estando menos sujeita às oscilações do mercado.

Uma constatação interessante a respeito do comportamento do call butterfly tambémpode ser feita através de alguns outros gráficos. Observe-se cuidadosamente ográfico IV-19. Existem cinco curvas nesse gráfico, cada uma mostrando o nível delucros atingido pela posição, a cada instante de tempo, e mantido um preço para oativo objeto no mercado à vista fixo ao longo da curva. É possível verificar que, paracada preço do ativo objeto diferente do preço de exercício das calls a seremvendidas (X2), existe um ponto de lucro máximo à medida que o vencimentoaproxima. Esse ponto é tanto mais próximo do vencimento, quanto mais próximo opreço do ativo estiver de X2. Essa observação coloca a interessante possibilidadede que pode haver um momento ótimo para liquidar a posição. É claro contudo, quetodas essas trajetórias são teóricas, e exigem uma cláusula coeteris paribus. Maisespecificamente, dado um preço no mercado à vista, por exemplo R$80,00, se essepreço se mantivesse fixo até o vencimento, o momento ótimo para encerrar aposição seria há cinco dias do vencimento (figura IV-19, curva vermelha), quandoela atinge seu maior valor no tempo, a este preço do ativo objeto.

Ora, se existe a possibilidade de um lucromáximo para cada preço do mercado àvista, e portanto um momento ideal paraliquidar a posição, então deve ser possívelestabelecer toda uma trajetória no planopreço do ativo versus tempo para ovencimento, que maximize os lucros doinvestidor. O problema a resolver é oseguinte: dado (fixado) um preço nomercado à vista, qual é o ponto no tempoque maximiza lucros? É o ponto onde oteta, a derivada do preço da posição emrelação ao tempo é zero1. Pensandotridimensionalmente, se for construída asuperfície do teta em relação ao preço doativo e à passagem do tempo, a curva denível onde o teta for igual a zero, traráexatamente a trajetória de lucro máximoao longo do tempo, e para cada preçodiferente do ativo à vista. É exatamenteessa curva de nível que se encontrarepresentada na figura IV-20 ao lado. Doponto de vista dos preços teóricos, cadaponto da linha azul é um ponto de lucromáximo, dado um preço no eixo vertical.

1 O lucro da posição é seu preço de mercado, subtraído do custo de sua montagem. Como este último éconstante em relação ao tempo (é gasto na montagem da operação), a derivada do lucro é a própria derivadado preço da posição, ou seja, seu teta.

Figura IV-19

Figura IV-20

50

Em outras palavras, para um preço do ativo objeto mantido fixo, e lido no eixovertical, obtém-se o momento no tempo em que o lucro da posição é máximo,procurando-se o dia correspondente no eixo horizontal. A ressalva a ser feita,contudo, é que se trata muito mais de uma curiosidade de interesse puramenteteórico, do que de aplicação prática, pois não se sabe de ante-mão qual será opreço do ativo objeto no momento do vencimento. Cabe a desenvolvimentosposteriores a tentativa de trazer aplicabilidade a esse interessante resultado teórico.

Concluindo: o call butterfly spread, apresenta-se como uma opção mais segura(conservadora) do que o short straddle quando há perspectivas de estabilidade nomercado do ativo objeto. Por isso mesmo apresenta menores possibilidades delucro, mas é preferível quando o foco do investimento é sobre o mercado do ativo àvista, e não sobre as possibilidades de mispricing no mercado de opções. O controledo risco da posição é mais difícil porque um maior número de instrumentoscompõem a posição, tornando-a mais complexa, embora não sejam exigidos osajustes periódicos na frequência que um front spread coloca, por exemplo. Esse éum fator importante a ser levado em conta, principalmente em mercados ondeexistem elevados custos de transação.

51

CAPÍTULO V - Aplicações Empíricas

Este capítulo está dividido em duas seções distintas: uma de estimações e outra desimulações. Na parte de estimações serão apresentados os métodos eprocedimentos adotados no trato com os dados brutos, até se chegar àsinformações trabalhadas e prontas para a utilização nos modelos de simulação. Nasegunda parte, front e backspreads, serão simulados para três vencimentos deopções (abril, junho e agosto), em diversas situações diferentes. Depois disto, umaanálise comparativa dos resultados obtidos será desenvolvida.

A intenção é simular uma das três estratégias discutidas no capítulo IV, o straddle,com dados do mercado de opções, integrando-o às análises de sensibilidade docapítulo III. Além disso, será possível mostrar como se inferir conclusões a respeitodas regras e parâmetros mais adequados para a montagem das operaçõesfinanceiras simuladas. Seria quase como montar um "experimento de laboratório".

O objetivo, portanto, é realizar simulações a partir de dados do mercado brasileiro, eaplicar alguns dos conceitos expostos em capítulos anteriores. Não existe aperspectiva metodológica de se testar a teoria, os modelos de precificação, ou delevar a questionamentos sobre a eficiência relativa dos mercados.

Estimações

Qualquer estratégia de investimento com opções que se pretenda por em prática nomercado, supõe que se tenha em mente duas direções básicas:

1. Expectativa em relação ao rumo que o preço do ativo objeto deva tomar (de alta,de baixa, estável, volátil), nos próximos dias.

2. Estimativa do preço “justo” da opção, a fim de se poder explorar a existência de

contratos com preços muito acima, ou muito abaixo dos preços corretos.

A respeito do ítem 1 pode-se lançar mão de análises gráficas, de análisesconjunturais, de técnicas econométricas mais sofisticadas, ou até mesmo do feelinge das tendências reinantes no mercado, pelo menos para no que diz respeito àsoperações de curto prazo. Para as simulações a serem feitas aqui, contudo, serámais importante chegar-se a uma boa estimativa dos preços justos das própriasopções (ítem 2), e de seus deltas teóricos. Essa será a missão desta primeirametade do capítulo.

52

Dados Utilizados

Os dados utilizados na elaboração deste trabalho foram adquiridos da empresaEnfoque Gráfico Sistemas. Constituem séries de tempo de cotações diárias dastaxas médias do CDI-over, dos contratos futuros de DI de um dia, dos preços dasações da Telebrás PN e de suas calls de diversos preços de exercício, nosvencimentos de abril, junho e agosto (negociadas na BOVESPA). Todos os dadossão de fechamento do mercado.

Optou-se pela Telebrás e por suas opções pela elevada liquidez que apresentam nomercado. No caso das informações para o trato com opções é indispensável algumaliquidez, para se poder trabalhar com dados que reflitam realmente preços demercado, e não "preços de uma operação de balcão". A qualidade dos dadosobtidos é satisfatória, porém existem alguns missings que tiveram de ser excluídosno momento das estimações dos preços teóricos. Preferiu-se a exclusão deinformações (quando incompletas) do que alternativas de correção ou ajustes nasséries que pudessem distorcer os resultados obtidos com os dados que estavam emboas condições. Os dados brutos estão nas tabelas C-10, C-11, e C-12, doapêndice C.

Preço de Exercício, Tempo para o Vencimento, e Preço doAtivo no Mercado à Vista

Todos são diretamente observáveis. O preço de exercício consta da especificaçãodo contrato de opção. O tempo até o vencimento, é o número de dias úteis até asegunda-feira seguinte à segunda quarta-feira do mês (vencimento dos contratosfuturos). Será utilizado como preço do ativo no mercado à vista, o preço defechamento da Telebrás PN, em cada um dos pregões, até a data do vencimento.

Taxa de Juro

A taxa de juro esperada para vigorar até o dia do vencimento será estimada combase na negociação dos contratos futuros de DI de um dia. Os futuros de de DI-1constituem importante instrumento de arbitragem no mercado de taxas de juro, eembutem a expectativa com relação ao juro básico que deverá vigorar na economia.

rPU

dt n

PU PU

n n= −

−+ −

+ln( . ) ln( ) ln( ) ln( )100 000 1

1

1 2

1 2

A estimativa da taxa de juro logarítmica1 médiadiária para o período de vida da opção podeser feita com base na fórmula acima. Utiliza-se os dois contratos futuros mais próximos dovencimento da opção (um anterior, umposterior) para encontrar-se a taxa de juroprojetada para o período de vida da opção.

1 A taxa de juro exigida pelo modelo Black & Scholes deve estar na forma logarítmica.

Onde:

r é a taxa logarítmica média para umdia

PU1 é o PU do contrato futuro devencimento durante a vida da opção

PU2 é o PU do contrato futuro devencimento posterior à vida da opção

n1 é o número de dias entre ovencimento do primeiro contratofuturo e o vencimento da opção

n2 é o número de dias entre ovencimento do segundo contratofuturo e o vencimento da opção

dt é o número de dias até o vencimentoda opção

53

No caso da série de dados aqui utilizada, o trabalho se simplifica, pois a série detempo disponível já estava ajustada para refletir apenas o diferencial de juro emrelação ao último contrato futuro (o dia de vencimento do último contrato futuro deDI-1 é considerado como possuindo um PU = 100.000, e toda série é ajustada comrelação a essa base). Bastou então, dividir-se o PU do dia do vencimento da opção(PUT) pelo do dia em que se pretende encontrar a taxa esperada futura (PUt),ajustando pelo número de dias restantes até o exercício. Em termos de taxa médiaesperada para um dia, em sua forma logaritmica, tem-se:

rPU PU

T ttT t= −

−ln( ) ln( )

Volatilidade

Resta a volatilidade, o ítem que apresenta maior dificuldade de estimação para osparticipantes do mercado. Existem vários métodos de estimação, uns mais, outrosmenos rigorosos do ponto de vista teórico. De toda forma, cada método tem suasvantagens e desvantagens, captando melhor aspectos específicos da volatilidadedo ativo objeto da análise. Entre os diversos métodos, é possível citar como maisutilizados: o desvio-padrão dos retornos do ativo-objeto, o método do valor extremo,os modelos GARCH, os modelos EWMA (exponencial weighted moving average), ométodo de bootstrapping, e o cálculo das volatilidades implícitas nos preços demercado.

A idéia básica é encontrar um bom estimador para a volatilidade "correta" do ativo,aquela que irá vigorar até o dia do vencimento, e que fornecerá, em cada momentodo tempo, o preço justo para a opção. Contudo essa volatilidade só se conhece ex-post. Há três tipos principais de volatilidade1 que poderiam ser consideradas comoproxies dessa volatilidade correta, e a opção por uma ou por outra está longe de seruma questão consensual. São elas: a volatilidade histórica, que seria extraída dadistribuição dos retornos dos preços do ativo ocorridos no passado, e quedependeria da manutenção dessa distribuição ao longo do tempo, como se o futurorepetisse o passado; a volatilidade implícita, ou a volatilidade "embutida" nos preçosdas opções negociadas no mercado, resultado da avaliação que o mercado faz davolatilidade dos retornos do ativo; e uma volatilidade prevista (forecasted volatility),que buscaria identificar o processo estocástico gerador dos movimentos no preçodaquele ativo, e com base nessa informação, prever a volatilidade para o futuro,admitindo a estacionariedade do processo.

O estimador a ser escolhido, dependerá do tipo de volatilidade que se tem interesseem investigar. A seguir, serão considerados dois métodos diferentes para estimaçãoda volatilidade histórica (o desvio-padrão dos retornos do ativo, e o método do valorextremo), e dois procedimentos numéricos para estimação da volatilidade implícita

1 Em Tompkins, ainda outros tipos de volatilidades podem ser encontradas, como a volatilidade sazonal, e avolatilitade efetiva (actual volatility).

Onde:

rt é a taxa logarítmica diária média projetada no contrato futuropara o período, no dia t

PUT é o PU do dia de vencimento da opçãoPUt é o PU do contrato futuro no dia em que se quer a estimativa

da taxa média

54

(Newton Raphson e bi-secção). Alguns testes empíricos chegaram a ser feitos commodelos GARCH pelo autor deste trabalho, levando à estimação de uma forecastedvolatility, mas não houve possibilidade de generalização dos procedimentos, pois ométodo exigido para estimação envolve uma etapa de identificação muito particularpara cada série estudada.

Volatilidade Histórica

a) Desvio Padrão: foi calculado o desvio-padrão dos retornos da ação da Telebrás,a cada dia, referente aos últimos 20 dias úteis anteriores1. A cada novo dia daamostra, o retorno do dia imediatamente anterior é incluído na amostra, e o últimoretirado, como em uma média móvel para o período t, incluindo os dados de t-20 at-1. A estatística fica:

( )

( ) ( )

�

ln ln

σ t ii t n

t

i i i

nr r

r P P

=−

−

= −

= −

−

−

∑1

1

21

1

b) Método do Valor Extremo: Como o desvio-padrão é baseado nos retornos dospreços de fechamento do ativo, muita informação relevante sobre a variabilidadeque o mercado pode apresentar ao longo do pregão é perdida2. A estatística dométodo do valor extremo pretende incorporar parte dessa informação considerandoa diferença entre os preços mínimos e máximos atingidos no mercado ao longo deum dia de negociações. Além do mais ela é cinco vezes mais precisa que o desvio-padrão (e portanto exige uma amostra cinco vezes menor para obter a mesmaprecisão), segundo o que mostra Parkinson3.

[ ]�

.ln( ) ln( )σ t i i

i t n

t

nH L= −

= −

−

∑0 361 21

1 Há sempre grande discussão sobre qual deveria ser o tamanho ideal da amostra a ser utilizada na estimação.Deve ser grande o suficiente para captar toda informação relevante, mas curta o bastante para não contaminara estimativa quando houver mudanças estruturais (de patamar, por exemplo) no comportamento da volatilidadedo ativo. Optou-se pela utilização de um período de 20 dias úteis.2 Um preço que abrisse o mercado cotado a 100, batesse num máximo de 105, e que fechasse a 101,apresentaria variação de apenas 1%.3 Parkinson, Michael. "The Random Walk Problem: The Extreme Value Method for Estimating the Variance ofthe Displacement."Journal of Business, Vol. 53 (january 1980), pp. 61-65 (ch. 7)

Onde:

σt é a estimativa da volatilidade histórica no momento tri é o retorno logaritmico entre os preços de dois dias consecutivosPi é o preço do ativo a ser consideradon é o número de elementos incluídos na amostra (20)

Onde:

σt é a estimativa da volatilidade histórica no momento tLi é o preço mínimo atingido durante o pregãoHi é o preço máximo atingido durante o pregãon é o número de elementos incluídos na amostra

55

Volatilidade Implícita

A opção pela volatilidade implícita (vis-à-vis a volatilidade histórica) foi, de longe, aque apresentou melhores resultados de aderência quando confrontada aos dadosempíricos. Parte-se da concepção de que os preços de mercado das opçõesconstituem as melhores peças de informação de que se dispõe na avaliação davolatilidade, admitindo-se por princípio que o mercado, na média, precificacorretamente, e leva em conta todo tipo de informação e expectativas em relação aocomportamente futuro do ativo - coisa que as volatilidades históricas (até o ítem 2anterior) não são capazes de fazer.

Para estimá-la, basta que se resolva o modelo escolhido para precificação para avolatilidade, considerando o preço de mercado da opção como dado. A qualidadeda estimativa dependerá, é claro, da adequabilidade do modelo de precificaçãoadotado ao tipo de opção utilizada. No caso deste trabalho optou-se pelo modelo deBlack & Scholes1. A solução do modelo para a volatilidade, contudo, só pode serobtida numericamente, através de interações sucessivas, pois não é possível isolarσ na equação que fornece o preço da opção.

Dois métodos computacionais diferentes de cálculo numérico, foram implementadosem MATLAB pelo autor, para chegar-se às volatilidades implícitas.

a) Método de Newton-Raphson: apresentou convergência mais acelerada porincorporar ajustes sucessivos e não-lineares na busca da convergência. O problemacontudo, é que facilmente, no caso de situações numericamente instáveis (quando ovega da opção converge muito rapidamente para zero), ou de preços distorcidos nomercado por ausência de liquidez, diverge-se rapidamente para mais ou menosinfinito, ou ainda, simplesmente, sequer é possível encontrar-se uma solução queseja estável. A equação a ser resolvida interativamente é:

σ συ

ε

it

it i

t t

i

it t

c p

c p

+ = −−

− ≤

1

ate que:

b) Método de Bi-secção: significativamente mais lento do ponto de vistacomputacional, mostrou-se mais eficaz por nunca divergir para infinito. Nãoapresentou problemas de convergência, pois as sucessivas aproximações sãolineares, e buscam a solução dentro de um intervalo fechado e contínuo. Só nãoforam encontradas soluções quando os preços negociados no mercado (geralmentedas em opções muito distantes do dinheiro, por falta de liquidez) mostraram-seincompatíveis com o modelo de Black & Scholes, caso em que a resposta fica emum dos dois extremos do intervalo inicialmente considerado.

1 As simulações utilizaram apenas calls sobre ações da Telebrás que não distribuíram dividendos no períodoconsiderado, e que, portanto, puderam ser tratadas como opções európeias, dada a impossibilidade doexercício antecipado. Nesse caso, nenhum modelo sofisticado bateria o custo-benefício da facilidade deimplementação do Black & Scholes.

Onde:ci

t é o preço teórico da opção com volatilidade σit

pt é o preço de mercado da opção no momento tσi

t é a volatilidade estimada na interação i para o momento tυi

t é o vega teórico da opção ( ∂ ∂σc ) no momento t

ε é o erro máximo de tolerância

56

• Procedimento:

Quer-se encontrar uma raiz r, para uma função f, contínua no intervalo [a,b], faz-se então:

1. c = (a+b) / 2 ;2. se b - c < ε : faz-se r = c, e o processo se encerra ;3. se f(b) x f(c) ≤ 0 : faz-se a = c ;4. caso contrário, faz-se b = c ;5. retorna-se ao procedimento (1).

sendo ε o erro máximo de tolerância, e a função f definida como a diferença entre o preço teóricoda opção dado pelo modelo e o preço de mercado para a opção..

Tendo em vista os resultados obtidos com os dois métodos, optou-se pela maiorestabilidade do método de bi-secção. Foram estimadas as volatilidades implícitaspara cada opção negociada, em cada dia de pregão até o vencimento. De possedas estimativas (uma por dia, e várias opções a cada dia), ainda é necessário umajuste para se tentar expurgar o efeito conhecido no mercado como volatility smile,que torna o modelo de Black & Scholes impreciso e viesado em determinadascircunstâncias. Há extensa literatura a respeito, e o fundamental é que os preços doativo-objeto nem sempre possuem uma distribuição lognormal, fazendo com que omodelo não seja necessariamente verdadeiro (Hull 1993), e portanto, também suasvolatilidades implícitas. As distorções são menores para as opções mais próximas-do-dinheiro, e ampliam-se à medida que o preço do ativo no mercado à vista seafasta do preço de exercício da opção. Como na etapa de simulação a estratégiaescolhida envolverá o uso de opções próximas ao dinheiro, essas distorções nãodevem constituir grandes problemas. Necessitam contudo ser consideradas, poisacrescentam informação relevante nas estimativas.

Inúmeras formas de correção do problema já foram propostas, e para os recursos deque se dispõe na realização deste trabalho, a que se mostrou mais viável (emtermos de implementação computacional) foi uma das recomendadas por Tompkins(1994), sugerindo que uma média das volatilidades implícitas das opções próximas-do-dinheiro, ponderadas inversamente pela distância a que se encontram de seupreço de exercício, deveria ser capaz de eliminar a maior parte das informaçõesexpúrias que as volatilidades implícitas de opções muito dentro ou fora-do-dinheirotrazem.

O método consiste em estabelecer-se uma diferença percentual limite entre o preçode exercício da opção e o preço do ativo no mercado à vista, a partir da qual asvolatilidades calculadas serão descartadas, por não acrescentarem informaçõesrelevantes. Esse limite foi fixado em 5%, e procedeu-se à ponderação dasvolatilidades da seguinte forma:

Se S X

S

ti

t

− < 0 05, , aplica-se um peso Wit sobre a volatilidade implícita calculada na

etapa anterior (Vit), e definido como:

57

Ww

wi

i

t it

t=∑

e w

S XS

i

t

ti

t

=

− −

0 05

0 05

2

2

,

( , )

E de Wit = 0, se

S XS

ti

t

−> 0 05,

Resultando numa volatilidade média: vt = ΣWitVi

t

Procedendo-se desta forma para cada dia de negociação, foi possível obter-se avolatilidade média implícita pelo mercado em cada dia ( vt ), o que deveria refletir aestimativa que este faz da volatilidade futura do ativo objeto da opção. Paraincorporar um pouco mais de informação nessa estimativa diária, preferiu-setrabalhar utilizando-se como previsão da volatilidade em cada dia t, a média móveldas volatilidades implícitas ( vm

t ) dos cinco dias úteis anteriores (t-5 a t-1, a fim decaptar pelo menos uma vez cada dia da semana, e evitar efeitos adverso de“sazonalidades”, como é o caso dos boatos das quintas-feiras).

Chega-se então, finalmente à v vmt i

i t

t

== −

−

∑15 5

1

, a volatilidade implícita média

ponderada para cada dia t, a volatilidade que será utilizada para calcular os preçosteóricos.

No próximo tópico será possível verificar que essa forma de se estimar volatilidadeapresentou boa aderência quando aplicada aos modelos de precificação. É nesseponto que serão reunidas todas as informações processadas até aqui, a fim de sechegar o mais próximo possível daquilo que seria um fair price para a opção.

Pode-se observar na figura V-1 da página seguinte, três gráficos contendo asvolatilidades estimadas pelos três métodos discutidos, e para os três vencimentosde opções utilizados nas simulações: abril (a), junho (b) e agosto (c).

A utilização do desvio-padrão, ou do método do valor extremo, faz com que sejamperdidas 20 observações em cada caso, e o da volatilidade implícita, 5observações. Isso explica o patamar inicial em zero que se observa em todos osgráficos.

Observa-se que a volatilidade implícita de agosto parece ter sido mais bemcomportada do que em outros vencimentos. Isso se reflete na qualidade dos preçosteóricos que serão calculados na seção seguinte, como também poderá serconstatado graficamente. A melhor explicação para o comportamento mais erráticoobservado em abril e junho parecem ser as maiores oscilações de preço daTelebrás que caracterizaram esses períodos, deixando o mercado "mais nervoso".Isso pode ser visto nas séries de preços da Telebrás, que podem ser encontradasno apêndice C.

Onde:

Xi é o preço de exercício da opção iVi

t é a volatilidade implícita inicialmente calculada nomomento t para a opção de preço de exercício Xi

St é o preço do objeto no mercado à vista no momen-to t

vt é a volatilidade média estimada para o momento tWi

t é a ponderação da volatilidade da opção i nomomento t

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Preços Teóricos

De posse de todas as variáveisnecessárias, é possível agora calcular, acada dia, o preço teórico que seesperaria encontrar no mercado. Isso foifeito alimentando-se o modelo de Black &Scholes com todas as informaçõestrabalhadas e estimadas. Maioresdetalhes sobre a utilização do modelo deBlack & Scholes podem ser encontradosno apêndice B. Os resultados completoscom os preços teóricos calculados,deltas teóricos das opções, e o conjunto de dados utilizados podem ser encontradosno apêndice C. É possível, por exemplo, comparar os preços teóricos aos preçosobservados no mercado (tabelas C-4, C-6 e C-8), e chegar-se a uma idéia de quaisopções estão cotadas acima, e quais estão abaixo de seu preço justo - ou pelomenos da idéia que o mercado faz do que seja o preço justo. Para se ter uma noçãomais exata, construíram-se os gráficos da figura V-2 que podem ser encontrados napágina seguinte. Eles mostram a diferença entre o preço de mercado e o preçoteórico calculado (eixo vertical), para cada dia útil em que houve pregão (eixohorizontal), e para cada opção de preço de exercício indicado na legenda. Paracada opção (cada curva), um ponto observado acima do eixo das abscissasrepresenta um preço de mercado acima do valor teórico no fechamento daquelepregão, e um ponto abaixo, um valor de mercado abaixo do teórico.

Resultados interessantes podem ser observados, principalmente no vencimento deagosto. Verifica-se uma tendência de reversão no sobrepreço que ora é negativo,ora positivo, mostrando que o modelo de precificação baseado nas volatilidadesimplícitas, em média parece trabalhar corretamente. Em no máximo cinco dias,normalmente as tendências se revertem, o que significa que ao se escolher umsobrepreço positivo, tem-se a certeza de que, vendendo a opção, o sobrepreçodeva desaparecer em poucos dias, quando é possível comprá-la de volta com lucro(não se deve esquecer que o time decay diário corrói diariamente o preço da opçãoao longo do tempo, e portanto, para que uma operação especulativa como essatenha maior probabilidade de ser lucrativa, há a necessidade de se comparar otamanho do sobrepreço, com o time decay a ser acumulado nos próximos dias,verificando-se o efeito mais forte).

Figura V-1a ( ABRIL) Figura V-1b ( JUNHO)

Figura IV-1c (AGOSTO)

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Não se deve contudo deixar-se levar pelo entusiasmo dos dados ex-post colocadosdessa forma. É preciso ter em mente que, dentro dessa metodologia (volatilidadesimplícitas) fica-se sujeito aos erros que o próprio mercado possa cometer ao avaliara volatilidade de um ativo, e é impossível evitar-se os riscos de mudançasrepentinas na volatilidade. Isso pode ser visto nos diferenciais de preço dosvencimentos de abril e junho. Talvez porque o vencimento de abril tenha sido umperíodo muito ruim (como mostraram os resultado das simulações, e como pode serconstatado num exame atento do comportamento dos preços das ações da Telebrásnesse período - apêndice C), e junho tenha apresentado comportamento crescenteno preço da ação com aumento na instabilidade da volatilidade. Seria quase comose "o mercado" estivesse sempre subestimando a baixa, ou a alta.

A fim de se explorar as informações de sobrepreço, deve-se observar que valorespositivos representam opções acima de seu preço, e que se adaptam bem aestratégias que possam vendê-las (são as opções caras). Valores negativos,indicam opções ideais a operações onde possam ser compradas (baratas). Essa,contudo, é apenas uma primeira direção, ou filtragem nos dados na escolha de umaestratégia, e que não considera outros aspectos também relevantes como atendência à alta ou à baixa no preço do ativo objeto. Além do mais, no caso doobjetivo de se adquirir uma dessas posições ser o de se explorar apenas o “preçoerrado” (mispricing) da opção (comprar barato para vender caro, e hedgear aposição até realizar o lucro), deve-se ter muito claramente em mente que assim queo “preço certo” for atingido (ou a diferença entre os preços for muito pequena), todoo lucro potencial já terá sido realizado, e é imperativo encerrar-se a posição. Épreciso atenção portanto, com operações de prazos mais longos, pelo menos no

Figura V-2bFigura V-2a

Figura V-2c

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que se refere ao uso dessa metodologia de volatilidades implícitas, que nada maisfaz do que considerar a tendência momentânea implícita no mercado, sendoaplicável ao curtíssimo prazo, e nada dizendo a respeito dos próximos dias. Essaserá a estratégia a ser aplicada nas simulações: especular-se a curtíssimo prazocom o preço das opções.

Custos de Transação

Os custos de transação incorporados nas simulações baseiam-se naregulamentação e estrutura de pregão da BOVESPA. Basicamente são de duasnaturezas:

1. Data de liquidação da operação não é a mesma de sua realização. As operaçõesfeitas em D são liquidadas em D+1, valendo a regra tanto para as ações à vistacomo para as opções. Como a data é a mesma para as ações e para as opções,isso não cria problemas, e não precisará ser modelado, já que o intervalo a serconsiderado na operação é o mesmo.

2. Taxas cobradas pela BOVESPA sobre o volume da transação.

São três as taxas em que se incorre na realização de uma operação:

a) Corretagem: 0,5% sobre o valor da operação b) Emolumentos: 0,035% em operações finais 0,025% em operações de day-trade 0,025% em operações na carteira da própria corretora - aplicados sobre o total da operação Será assumida a maior das três (0,035%) por dois motivos: a maioria das

operações a serem feitas segundo as técnicas aqui utilizadas consumirão umaúnica movimentação no dia; e depois, o ativo pode não, necessariamente estarna carteira da corretora; a maior taxa peca, no máximo, pela subestimação dolucro, e não pelo contrário.

c) Taxa de Registro: 0,1% em operações finais 0,07% em operações de day-trade 0,07% em operações na carteira da própria corretora - aplicados sobre o total da operação

Pelos mesmo motivos expostos acima, assume-se a maior das taxas (0,1%). Pode-se agregar essas três taxas, para feito de modelagem, numa única taxa t, assimconsiderada:

Operações de Compra de um montante C:

desembolso = C + 0,005C + 0,00035C + 0,001C = (1 + 0,00635)C= (1+ t) C ; [ t = 0,635% ] ; [ 1 + t =1,00635]

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Operações de Venda de um montante V:

embolso = V - 0,005V - 0,00035V - 0,001V = (1 - 0,00635)V= (1- t) V ; [ t = 0,635% ] ; [ 1 - t =0,99365]

A Devolução da Corretora (Rebate)

A contrarrestar os custos de transação, temos a chamada devolução1 dada pelacorretora. Trata-se da parcela do montante das taxas pagas à Bolsa de Valores queas corretoras devolvem a seus clientes. Essa devolução varia de corretora paracorretora, e de cliente para cliente. Nos estudos técnicos feitos no mercado sobre oimpacto de taxas e custos de transação, estima-se em 93% o rebate das corretoras.Esse valor justifica-se para viabilizar a operação, de ativos de altíssima liquidezcomo as ações da Telebrás, que podem ser adquiridas através de ADRs no exterior,e onde as taxas de corretagem são menores. Valores mais baixos do que 93%,estimam os analistas, moveriam grande parte da liquidez do mercado domésticopara fora do país. Trata-se portanto, de um piso mínimo para o rebate.

Como chamou-se de t a taxa bruta de custos de transação a ser paga à bolsa, esabendo-se que o cliente será reembolsado em 0,93t, pode-se escrever a taxalíquida a ser paga pelo cliente: t - 0,93t = 0,07t, ou 7% da taxa bruta. Para todos osefeitos, será utilizada uma devolução de 90% nas simulações com dados empíricos,seguindo preceitos mais conservadores. Os custos de transação percebidos peloinvestidor, nesse caso, serão de 0,10t.

Margens de Garantia

Os depósitos de margem não representam um custo de oportunidade significativopois:

Opções compradas não implicam riscos para as bolsas já que seus titulares nãopossuem nenhuma obrigação por possuí-las, e são isentos das chamadas demargem.

Opções vendidas podem ser de dois tipos: cobertas e descobertas. Nas opçõescobertas, devem ser depositados como margem a quantia de lotes de açõesequivalente às obrigações do número de opções vendidas. Se essas ações fizeremparte da operação, como no caso de um front spread, será necessário apenas cobrira diferença a descoberto, se ainda restar alguma. No caso de opções descobertas,os depósitos podem ser feitos em títulos públicos2. Como o título público pode serconsiderado uma aplicação sem risco, e remunerada, o real custo de oportunidade

1 A devolução é o termo da língua portuguesa correspondente à expressão rebate do inglês. No linguajar domercado, no entanto, a forma mais utilizada é rebate.2 Normalmente, cerca de 80% dos depósitos em margem nas bolsas de valores são feitos em títulos públicos.

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dos depósitos de margem é o da indisponibilidade dos recursos para outrasaplicações mais rentáveis, porém de risco. Assim, se o investidor possui uma partedo seu portfólio que pretende aplicar em ativos sem risco, essa pode ser alocadapara servir de margem.

Simulações

Agora, de posse de todas as informações e dados necessários para as simulações,pode-se começar a trabalhar com alguns experimentos. A estratégia escolhidaobjetiva apropriar-se de sobrepreços identificados nos negócios com o mercado deopções. As opções acima de seu valor teórico serão vendidas, e as abaixo,compradas. A fim de se hedgear a posição contra oscilações de preço no mercadode ações da Telebrás, que possam corroer eventuais ganhos obtidos com aexploração de misprices, ações à vista serão compradas na outra ponta, formandoum front spread (opção vendida, ações compradas), ou um back spread (opçõescompradas e ações vendidas). Seria muito semelhante ao que poderia ser feito comum straddle, porém sem a utilização de puts, e com muito maior flexibilidade. Issosignifica que a posição será ajustada diariamente, e mantida delta-neutra, a fim dese minimizar sua exposição a condições adversas. Será imposto um número de diaslimite para que a operação permaneça em aberto (os sobrepreços desaparecemrapidamente), e todos os dias uma nova posição será aberta.

A idéia básica é fornecer um conjunto de regras rígidas que definam a operaçãoespeculativa, e alimentar-se o computador com essas regras, deixando-o agir comoum trader, tomando decisões de compra e venda a partir dos moldes estabelecidos.A cada vencimento considerar-se-á a replicação dessa estratégia para todos ospregões onde houver dados disponíveis. Depois disso, alguns parâmetros dessasregras serão alteradas a fim de se verificar as alterações ocorridas nas taxas deretorno, e conclusões a respeito dos resultados serão delineadas.

Regras

Será simulada uma operação que emprega dois instrumentos: de um lado ações daTelebrás-PN, e de outro, calls sobre essas mesmas ações, de forma a constituir ouum front spread, ou um backspread, dependendo, respectivamente, se a opção estácomprada e a ação vendida, ou se a opção está vendida, e a ação comprada.

As simulações foram todas desenvolvidas em MATLAB 4.2 (como engineprocessor), e posteriormente transferidas para uma planilha eletrônica, para quepudessem ser tabuladas de forma mais organizada.

A rotina desenvolvida em MATLAB, orienta o computadar a realizar as operaçõessimuladas de compra e venda de acordo com as seguintes regras:

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1. A cada dia, uma nova posição será montada, de forma que R$30.000 sejam investidos, e que a opçãoutilizada seja a mais próxima, entre as disponíveis, do dinheiro. O número de lotes de ações e decontratos de opções a serem negociados, será arredondado de forma a resultar nas unidades inteirasdisponíveis no mercado.

2. A diferença entre o preço de mercado e o preço teórico calculado para a call será utilizada como uma

indicação de sobrepreço na opção. Quando esse sobrepreço for positivo, a opção está acima de seufair price, e será vendida. Quando for negativo, a opcão será comprada, de forma a resultar,respectivamente num frontspread, ou num backspread. Na outra ponta, a operação oposta será feitacom a ação (comprada ou vendida, respectivamente).

3. Cada posição será mantida aberta por no máximo cinco dias, a não ser que uma de duas coisasocorram: a) o valor da posição, inicialmente cerca de R$30.000, sofra uma oscilação superior a 10%(para cima ou para baixo), ou b) que o sobrepreço da opção identificado na montagem da operaçãodesapareça, ou mude de direção. Nesses dois últimos casos, a posição será liquidada, a partir daaquisição de posição contrária, tanto no mercado de ações, quanto no de opções.

4. Todos os dias, incluindo o momento da montagem da operação, será feito o ajuste necessário no

número de contratos de opções de forma a manter a posição delta-neutra sob o preço de fechamentoda ação, e minimizando a sua exposição às oscilações de preço.

5. Teoricamente, em cada momento do tempo, haverá no máximo cinco diferentes posições em aberto.

Uma em cada um dos dias anteriores. Portanto, o investimento máximo requerido deverá ser deR$150.000.

Estabelecidas as regras, foi gerada uma operação a cada dia de pregão, eacompanhada nos cinco dias subsequentes. Os resultados estão disponíveis natabelas C-1, C-2 e C-3 (apêndice C), que correspondem, respectivamente, àssimulações feitas com opções do vencimento de abril, junho e agosto, segundo asregras mencionadas. Os dados necessários aos cálculos dos preços e deltasteóricos das opções encontram-se nas primeiras colunas das tabelas. Estãodisponíveis: o número de dias restantes até o vencimento, a taxa de juro projetadapelo futuro de DI de um dia, a volatilidade, o preço de fechamento da ação deTelebrás, o preço de exercício da opção utilizada, e seu preço de mercado nos diasseguintes à operação. Os deltas e sobrepreços teóricos estão nas tabelas C-5 , C-7e C-9 do apêndice C.

Cada linha representa uma operação iniciada no dia mostrado na primeira coluna.Os blocos onde estão os movimentos do ativo e da opção, o valor da posição e ofluxo de caixa, encontram-se repartidos em várias colunas, cada uma delasrepresentando os ajustes efetuados nos cinco (ou menos) dias subsequentes devida da posição. Os fluxos de caixa descontam, em cada momento do tempo assaídas das entradas efetuadas nos ajustes da posição, e consideram as taxas decorretagem e custos de transação envolvidos. Incorporam ainda uma devolução(rebate) de 90%. A coluna retorno da operação indica o retorno obtido considerandotudo que foi recebido em face de tudo o que foi gasto, para os dias em que aposição ficou em aberto (última coluna), incorporando ainda o custo deoportunidade do capital investido, como se tivesse sido emprestado ou aplicado àtaxa do CDI no período1. Finalmente, a penúltima coluna exibe, para efeito decomparação, a taxa do CDI acumulada no mesmo período de vida do spread.

1 Facilmente pode-se alterar esta hipótese, considerando um spread sobre o CDI: quando capta, o investidorcapta a uma taxa acima do CDI, e quando aplica, o faz a uma taxa menor que a do CDI. O spread consideradopode inclusive ser assimétrico, considerando taxas diferentes para captação e aplicação.

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Exemplo de uma Operação

A fim de esclarecer o mecanismo gerador das simulações em detalhe, será dado umexemplo numérico de uma operação que pode ser acompanhada na tabela C-1. Nodia 26 de julho de 1996, quando a ação da Telebrás estava cotada a R$70,80, a callde vencimento em agosto mais próxima do dinheiro era a de preço de exercícioigual a R$72. Faltavam 16 dias para o vencimento. O preço de mercado da opçãoera de R$2,90, e seu preço teórico foi estimado em R$2,54.A indicação de um sobrepreço positivo no mercado levou à escolha de um frontspread como melhor alternativa (compra de ações e venda da opção). Para secalcular a razão entre a quantidade de ações e o número de contratos de opção aserem negociados, recorre-se ao delta teórico da opção, estimado em 0,4912(tabela C-5). A proporção de opções vendidas para cada ativo comprado, é dadapela razão 1/δ = 2,0358, como visto no capítulo III.

Como o investimento total (inicial) deve ser de R$30.000. Então, deve-se encontrarum fator de escala k, que leve ao tamanho final das posições. Isso é feito àsemelhança do dimensionamento do tamanho do gama (capítulo III), encontrando-se "quantas posições de tamanho unitário cabem nos R$30.000 disponíveis para aoperação":

k k=× − ×

⇒ =30000

100 2 0358 2 90 1 70 804 6227

( , , , ),

Como os contratos de opções são sobre 100 mil ações, deverão ser comprados100k lotes de ações (1 lote corresponde a mil ações), ou 462 lotes de Telebrás. Onúmero de contratos de opções deverá ser de k / δ, ou 2,0358 x 4,6227 = 9,4108.Portanto, 9 contratos de opções deverão ser vendidos. O valor total da posição,será então de 9 x 2,90 x 100 - 462 x 70,80 = - 30.099,60. O sinal negativo indicaque se trata de uma posição comprada (houve desembolso), e que, para serrevertida terá de ser vendida (quando haverá um embolso).

Para chegar ao valor total desembolsado, o leitor deverá aplicar ainda as taxas decorretagem, e a devolução da corretora, totalizando em um aumento de 0,0635%nos desembolsos, e uma redução, à mesma taxa nos embolsos. Subtraindodesembolsos ( 462 x 70.80 x 1,000635 = 32.730,37 ) de embolsos ( 9 x 2.90 x 100 x0,999365 = 2.608,34 ), chega-se ao valor do fluxo final para a montagem destaoperação no primeiro dia (2.608,34 - 32.730,37 = - 30.122,03). Esse valordesembolsado é superior ao valor da posição (30.099,60), exatamente pelaexistência dos custos de transação.

No dia seguinte, todo o procedimento acima é repetido, com exceção do cálculo dovalor de k, que é mantido constante ao longo de todos os dias de vigência daoperação. Isso se faz necessário para que seja mantida fixa a ponta da posição emações da Telebrás, e seja necessário ajustar-se apenas o número de contratos decalls1. Chega-se ao número de opções que manterá a posição delta-neutra (k / 1 Em outras circunstâncias, um investidor poderia preferir ajustar o lado das ações, ou ainda, elaborar umaregra de decisão que permitisse escolher entre ajustar a ponta das opções ou das ações. Além disso, manter ovalor de k fixo, significa que apenas no primeiro dia da operação se teve a preocupação de ajustar o valor da

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δ, mas com o delta do dia 27), e negociam-se (adquirindo, ou vendendo) oscontratos necessários para que a posição em opções seja ajustada. No casoparticular do exemplo dado, verifica-se na tabela C-1 que mais um contrato de callfoi vendido no dia 27 de julho (segunda coluna de cada bloco, na linha do dia 26, odia da montagem da operação), a fim de manter a posição delta-neutra. No terceirodia (terceira coluna), a posição foi liquidada com a mudança da direção dosobrepreço da opção observado inicialmente na montagem da operação (isso podeser visto na linha do dia 30, três dias após o início da operação, quando uma novaposição é aberta como backspread, revertendo a antiga tendência de front spread).

Taxa de Retorno das Operações

Como última tarefa resta calcular a taxa de retorno da operação. Isso foi feitoatravés dos fluxos de caixa. Aplicou-se a taxa do CDI a cada embolso, oudesembolso ocorrido antes da liquidação da posição. Isso seria equivalente aoinvestidor que ou tomasse emprestado, à taxa do CDI para aplicar em opções, ouque captando algum dinheiro na montagem das operações, aplicasse à taxa do CDI.A partir daí obtém-se a taxa de retorno entre tudo o que foi recebido (fluxospositivos), versus tudo o que foi gasto (fluxos negativos). É possível ainda compararo retorno de cada uma das operações efetuadas com a taxa ocorrida no mercado deCDIs, no mesmo período (penúltima coluna).

A cada dia de pregão que se têm informações disponíveis, toda uma operação comoa ilustrada será montada pela rotina em MATLAB, de acordo com as regrasinicialmente fixadas. O resultado final da simulação (uma operação aberta a cadadia até o vencimento das opções de agosto), será dado pela média geométrica dastaxas de retorno encontradas em cada uma dessas operações mensalizadas paraum mês de 21 dias úteis . Esse resultado será a taxa de retorno efetiva média queteria sido obtida por um investidor que seguisse aquele o conjunto de regrasproposto para a montagem de front e backspreads, utilizando-se de opções comvencimento em agosto.

Em particular, para o vencimento de agosto, considerando posições de valor inicialigual a R$30.000, e mantidas por no máximo cinco dias, a taxa de retorno médiaobtida seria de 2,1683%. No mesmo período, a taxa efetiva média do CDI para ummês de 21 dias, foi de 1,8964%.

Testando Novas Regras

Além dos três vencimentos de opções utilizados nas simulações (abril, junho eagosto), a flexibilidade computacional disponível através do software MATLAB

posição. Em caso contrário, a cada novo dia, parte da operação teria de ser refeita para que seu valor semantivesse em R$30.000, inclusive compensando o time decay.. O mecanismo de ajuste da estratégia,contudo, exige apenas que a posição seja delta-neutra a cada dia, e não que seu valor seja mantido constanteao longo do tempo. Não há então a necessidade de se exigir um maior volume de investimento, e um maiordesembolso com taxas de corretagem.

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permitiu variar alguns dos parâmetros arbitrados inicialmente como regras namontagem das operações e verificar os resultados. As mesmas simulações foramfeitas para valores iniciais da posição iguais a 10, 20, 30, 50 e 100 mil reais, e para2, 3, 4, e 5 dias de limite para a duração de cada posição. Os resultados encontram-se na tabela V-1, da página seguinte.

Tabela V-1

A partir desses resultados algumas observações interessantes poderiam ser feitas.

1. A primeira diz respeito ao montante de recursos investidos. No caso específicodo vencimento de agosto, grandes quantias iniciais de investimento resultaramem maiores taxas de retorno. Um motivo para isso seria que com mais recursos,as indivisibilidades das operações financeiras (um contrato de opção, especificaa negociação de 100 mil ações) causariam menos distorções. Já no caso dosvencimentos de abril e junho, isto não se verifica. Parece que haveria umaquantia ideal, entre R$30 e R$50 mil, que teria maximizado os retornos nessesperíodos. Não haveria nesse caso, uma recomendação precisa a seguir quantoao volume do capital a ser investido nesse tipo de operação. Apenas aconstatação de que, o volume de recursos investidos numa operação desse tipoafeta sua rentabilidade, e portanto deve ser objeto de estudo e análise.

2. Como se trata de uma operação altamente especulativa, seu resultado depende

muito das condições de "ânimo" do mercado. O vencimento de junho, emqualquer circunstância, mostrou-se o mais rentável. Foi um período de alta nomercado de Telebrás. Em abril, o pior resultado das simulações, tivemos umcomportamento do tipo "montanha russa", e além de tudo, descendente. Por fim,o vencimento de agosto não exibiu nenhum resultado espetacular, mas mostrouum comportamento relativamente sólido, da volatilidade. Houve um períodoinicial de alta, e depois uma relativa estabilidade, com volatilidade crescente.Esse comportamento estável da volatilidade, resultou em retornos também maisestáveis. Tudo isso fica muito claro nos gráficos da figura V-3, da páginaseguinte1. Olhando-os na vertical, é possível reconhecer três padrões: baixa naação e volatilidade instável em abril (resultado ruim); alta na ação e volatilidade

1 A figura V-3, é composta por nove gráficos. Nas colunas, tem-se os vencimentos de abril, junho e agosto. Naslinhas, aparecem: 1) Os preços das ações da Telebrás no período; 2) as volatilidades implícitas médiascalculadas anteriormente; 3) os retornos obtidos na simulação das operações que considerarou uminvestimento inicial de R$30 mil, aplicados por, no máximo, 4 dias.

Taxas Médias Mensais das Simulações (para 2 dias)Quantia Inicial ABRIL JUNHO AGOSTO

10,000 -1.8233% 10.2154% 0.9124%20,000 -1.8264% 10.4665% 1.9135%30,000 -2.2520% 10.9947% 2.0671%50,000 -1.9649% 10.9293% 2.3211%

100,000 -2.1681% 10.6078% 2.6295%CDI 2.2455% 2.0355% 1.8964%

Taxas Médias Mensais das Simulações (para 3 dias)Quantia Inicial ABRIL JUNHO AGOSTO

10,000 -0.6879% 12.8109% 1.2967%20,000 -0.8295% 12.9373% 1.8083%30,000 -1.0625% 13.4684% 2.1771%50,000 -0.9303% 13.3448% 2.4252%

100,000 -1.0567% 13.1319% 2.7628%CDI 0.1058% 0.0960% 0.0895%

Taxas Médias Mensais das Simulações (para 4 dias)Quantia Inicial ABRIL JUNHO AGOSTO

10,000 -1.1089% 8.4372% 1.5713%20,000 -1.4307% 8.4795% 1.8653%30,000 -1.4369% 8.9618% 2.3806%50,000 -1.3424% 8.9908% 2.5159%

100,000 -1.5756% 8.7016% 2.9299%CDI 0.1058% 0.0960% 0.0895%

Taxas Médias Mensais das Simulações (para 5 dias)Quantia Inicial ABRIL JUNHO AGOSTO

10,000 -1.4365% 6.6174% 1.2083%20,000 -1.7810% 6.8032% 1.6866%30,000 -1.6684% 7.3627% 2.1684%50,000 -1.6399% 7.2524% 2.3245%

100,000 -1.9124% 7.0363% 2.7305%CDI 0.1058% 0.0960% 0.0895%

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instável em junho (resultado muito bom); alta e estabilidade na ação, comvolatilidade estável (resultado médio). Portanto, no caso particular deste tipo deestratégia especulativa, quanto maior a instabilidade da volatilidade, maiortambém a variabilidade dos retornos. Mais do que isso, as tendências baixistasno mercado do ativo à vista são fatais para a rentabilidade da operação.

3. Os mesmos fatores que aumentam os retornos (e sua variabilidade) na alta,quando há lucros, também o fazem na baixa, quando há prejuízo. Resultado: oconservadorismo é a melhor atitude em períodos de mercado em baixa.

4. Não houve um número de dias limite, ideal para a operação em todos os

vencimentos. Em abril e junho, 3 dias foi a duração ideal, e em agosto, 4 dias.De toda forma, para o tipo de especulação a curto prazo que se simulou, 2 diasparece ser muito pouco, e 5 parece ser demais. Três dias parece ser orecomendável para se explorar adequadamente os erros de precificação nomercado de opções, segundo a metodologia adotada.

Abril Junho Agosto

Por fim, vale a pena retomar uma discussão já feita indiretamente neste trabalho,mas de importância central na montagem no tipo de operação financeira simuladaneste capítulo. Trata-se da dificuldade de conciliar o estabelecimento de um mínimode regras rígidas que impeçam grandes desastres na construção de uma estratégiade investimento, com um certo grau de flexibilidade, ou poder discricionário na suacondução, para que seja possível aproveitar-se os bons momentos do mercado (efugir dos “maus” ).

Quantia investida = R$30 mil; máximo de 4 diasFigura V-3

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Haveria uma tentação constante a sempre se tentar "alterar as regras do jogo".Aumentar as restrições para o volume de capital investido em ativos de risco emmomentos de baixa (abril), reduzí-las quando o mercado parece "mais previsível"(agosto), realocar o portfólio para ativos de risco em momentos de grandes ganhos(junho), parecem ser tentações irresistíveis. Quase como se regras rígidasservissem apenas para limitar os ganhos, o que é muito fácil de se lembrar nosmomentos de euforia. O fato é que também servem para limitar perdas. E como aciclos de boom, normalmente seguem-se períodos de depressão, a noção de que amáxima flexibilidade deve sempre ser buscada nos mercados financeiros, deve serencarada com restrições.

Em resumo, o velho conhecido dilema do banco central na decisão de condução dapolítica monetária, ao ter de optar por uma regra ou meta monetária, ou basear-seno seu poder discricionário, fazendo a melhor política a cada instante, é umproblema longe de solução consensual tanto na prática, como em teoria. Essacontradição manifesta-se claramente no jogo especulativo do mercado financeiro.

Concluindo

O melhor a fazer, ao entrar-se no jogo especulativo, parece ser conciliar um mínimode regras que permitam operar com alguma segurança, e respeitá-las a todo custo,sem resistir à tentação que um famoso chavão do mercado financeiro bem traduz:“The trend is your friend.”

Além disso, não se pode esquecer que os resultados dessas simulações empíricasestão longe de poder permitir generalizações, ou a elaboração de "regras de bolso"que permitam "ganhar dinheiro fácil" no mercado de opções. Nem esse é seuobjetivo. A idéia central aqui é mostrar que o computador é uma ferramentapoderosa de simulações, e que a análise de dados passados do mercado, permitefazer interessantes observações, à semelhança do que podeira ser feito numlaboratório experimental. Muitas vezes se confirma o sucesso de algumas dasnoções defendidas pelo senso comum do mercado financeiro, ou mesmo deasserções e proposições teóricas. Mas também, muitas vezes é possíveldesmistificá-los.

O próximo passo, já está em andamento e implentação pelo autor, consiste nodesenvolvimento de simulações de operações que visem mais o mercado à vista emenos o de opções, utilizando algumas das estratégias aqui discutidas, paraespecular em prazos "pouco mais longos" (10 a 20 dias), negociando contratos deopções como instrumento, e não como fim único das operações. Seria o caso deuma estratégia do tipo butterfly. Dessa forma seria possível confrontar simulaçõesde duas estratégias (butterfly x front e back spreads) com objetivos e timingsdiferentes, e verificar o comportamento de suas rentabilidades em diversascircunstâncias de mercado, procurando identificar, probabilidades maiores de lucroao seguir uma ou outra direção, dadas algumas condições iniciais.

É possível ainda melhorar-se os dados, e sofisticar-se a análise utilizando técnicasestatísticas mais sofisticadas, construindo as distribuições empíricas dos retornosobtidos nas simulações, testando-se hipóteses, e modelando-se processos

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estocásticos. Enfim, há bastante campo de trabalho no lado da aplicabilidade dastécnicas da atual teoria de finanças, que podem ir desde um simples trabalho definal de curso de graduação, até uma tese de doutoramento.

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CAPÍTULO VI - Considerações Finais

Dados os objetivos iniciais deste trabalho, seria interessante dividir-se os resultadosobtidos, de acordo com as "missões" propostas na introdução:

1. Abordagem conjunta de estratégias de investimento e análise desensibilidades.

Existe uma natural separação no estudo das análises de sensibilidade e dasestratégias de investimento. Didaticamente, é apropriado tratá-los separadamentepara clareza de exposição. Mas nada justifica a inexistência de uma abordagemmais integrada, num segundo momento, como fazem Binnewies (1995) e Kolb(1995). Foi buscada alguma integração dos conceitos discutidos ao longo docapítulo III ("gregos", hedge, rebalanceamento, front e back spreads), com aabordagem das características de cada uma das estratégias e de seucomportamento ao longo do tempo, até o vencimento (capítulo IV). As visualizaçõesgráficas também constituíram ferramentas muito interessantes na observação docomportamento dinâmico das posições. De toda forma, uma integração ainda maiorentre essas duas abordagens, e uma exploração mais intensiva de recursos gráficosdeveria ser buscada em futuros trabalhos.

2. Adaptação institucional ao mercado brasileiro.

Foram escolhidas estratégias de investimento que se adaptassem melhor àscondições de liquidez do mercado brasileiro. Não seria possível, por exemplo,trabalhar com estratégias que envolvessem o uso de puts, ou de opções comdiferentes vencimentos. Os custos de transação foram calculados com base nosprocedimentos adotados pela BOVESPA, e ajustes em preços e tamanhos de lotesde ativos também foram incorporados nas modelagens. Isso permitiu umaaproximação maior das condições de mercado, no momento em que se partiu para aimplementação de simulações. 3. Aplicações empíricas com dados do mercado financeiro.

Apesar de alguma deficiência nos dados obtidos (característica sempre comum nostrabalhos que necessitam utilizar bases de dados nacionais), o esforço de sedebruçar sobre informações brutas, manipulá-las para poder chegar a um conjuntode dados limpo e organizado, e o desenvolvimento de rotinas computacionais quepusessem em prática operações financeiras discutidas, foi bastante recompensador,pelo menos do ponto de vista pessoal do autor. A sensação da possibilidade de semontar um laboratório de simulações capaz de replicar um experimento financeiro,incorporando custos de transação e de oportunidade, é a de estar-se fazendociência exata.

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Os resultados no entanto, devem ser olhados com reserva por alguns motivos: a) oproblema de informações incompletas na base de dados; b) aplicações ex-postnormalmente parecem mais bem sucedidas do que apostas ex-ante; c) numa etapamais avançada seria possível a utilização de métodos estatísticos mais sofisticadosque apoiassem conclusões "mais definitivas" a respeito da opção pela escolha deuma, ou de outra operação; d) mais simulações devem ser feitas, testando outrasestratégias de aplicação.

Entre os principais resultados obtidos, está o de que deve haver uma duração ótimapara uma operação no mercado de opções que objetive especular com os "erros deprecificação" que o mercado eventualmente tenha cometido. No caso da estratégiaescolhida para simulação, esse prazo deveria estar em torno de três dias úteis.

Também é importante ressaltar a flexibilidade que os recursos computacionaisatualmente disponíveis proporcionam à pesquisa, possibilitando a simulação deinúmeras situações, com parâmetros diferentes, com dados diferentes, e comestratégias de investimento diferentes, permitindo verificar proposições a respeitoda adequabilidade de operações financeiras à diferentes condições de mercado. Ocampo para pesquisa empírica na área de finanças no Brasil é bastante promissor,e pode ser melhor explorado. Isso deve ocorrer nos próximo anos, e deve contribuirtambém para a melhoria das bases de dados.

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Apêndice A - O Modelo de Black & Scholes

Neste apêndice, o modelo exaustivamente utilizado ao longo deste trabalho paraprecificar opções será apresentado em maior detalhe. Aqui estão todos oselementos envolvidos na análise e fórmulas utilizadas para cálculo.

O modelo Black & Scholes, atribui probabilidades ao exercício ou não da opção, afim de calcular o seu valor hoje, de forma que num mundo de neutralidade emrelação ao risco, não haveria lucro sistemático em se transacionar opções. Asperdas das opções que não resultassem em exercício, em média, compensariam osganhos das opções que fossem exercidas (Binnewies 1995).

As hipóteses a serem feitas para que o modelo seja válido, são as seguintes:

1. A variância dos retornos das ações objeto de negociação são constantes ao longo davida da opção (implica que a volatilidade se mantenha constante).

2. A taxa de juro é constante ao longo da vida da opção.3. Os preços das ações variam de forma contínua, ou seja, não se observam saltos

abruptos, ou discretos, na trajetória dos preços, que constituem um processoestocástico.

4. Os preços das ações seguem uma distribuição lognormal, e, por consequência, seusretornos, uma distribuição normal.

5. Não existem custos de transação.6. Não existem dividendos pagos sobre as ações.7. As opções só podem ser exercidas no dia do vencimento do contrato.

Respeitadas essas condições, num mundo neutro em relação ao risco, o preço justode uma opção seria dado pelo seguinte modelo:

[ ]C

E S X

eT

r dt=−

⋅

max( , )0

C S N d X N d e r dt= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅( ) ( )1 2

d

SX

r dt

t1

2

2

=

+ +

⋅ln

σ

σ

d d dt2 1= − σ

N x ex

x( ) =

−

−∞∫1

2

2

2

π

Onde:

C = preço da callS = preço à vista da ação objetoX = preço de exercício do contrato de opçãodt = número de dias restantes até o exercícior = taxa de juro sem risco a vigorar durante a vida da opçãoσ = volatilidade dos retornos da ação objeto

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E, as fórmulas de sensibilidades (gregos) para uma call, são dadas por:

Convém, além disso observar alguns detalhes adicionais.

Aqui foi apresentada a parte do modelo referente apenas à precificação das calls apartir do modelo básico original apresentado por Black & Scholes em 19731. Nosanos subsequentes, esse modelo foi estendido para abranger e precificarcorretamente outros tipos de opções: opções sobre ações que distribuamdividendos, sobre contratos futuros, sobre índices de taxa de juro, e sobre cotaçõesde moedas.

Não foi possível, contudo, estendê-lo para precificar opções americanas, quepermitem o exercício antecipado. O problema básico, nesse caso, é que em cadamomento de tempo, ao longo da trajetória do preço da opção até o vencimento,deve-se verificar a viabilidade do exercício antecipado. Normalmente este se dápróximo às datas em que dividendos sobre a ação objeto do contrato sãodistribuídos (em calls)

Como a utilização de modelos que incorporam a possibilidade de exercícioantecipado apresentam significativas dificuldades de implementação computacional,e, como não foram distribuídos dividendos nos vencimentos estudados, portantonão colocando a possibilidade do exercício antecipado das calls, ficou clara a opçãotomada pelo uso do modelo mais simples, sem que isso representasse prejuízo paraa análise.

1 Black, F. e Scholes, M., "The Pricing of Options and Corporate Liabilities," Journal of Political Economy, 81(May-June 1973), 637-59

∆ = =∂∂CS

N d( )1

Γ = = ′⋅ ⋅

∂∂ σ

2

2

1CS

N d

S dt

( )

Λ = = ⋅ ⋅ ′∂∂σC

S dt N d( )1

Θ = − = −⋅ ′ ⋅

⋅− ⋅ − ⋅∂

∂σC

dtS N d

dtr Xe N dr dt( )

( )1

22

ρ ∂∂

= = ⋅ ⋅ − ⋅Cr

X dt e N dr dt ( )2

′ =−

N x ex

( )1

2

2

2

π

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Apêndice B - Recursos ComputacionaisUtilizados

Todos os cálculos e simulações feitos neste trabalho foram desenvolvidos a partirdo software MATLABTM 4.2 for Windows. As rotinas computacionais implementadasforam desenvolvidas pelo autor deste trabalho, sob a coordenação de seu professororientador, o Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva.

Foram basicamente quatro, os tipos de rotinas utilizadas:

1. Para a elaboração dos gráficos tridimensionais, relacionando as sensibilidades(“gregos”) teóricas das opções, aos preços do ativo no mercado à vista e àpassagem do tempo. O programa utilizado se chama Black & ScholesGeneralized Model e foi desenvolvido em co-autoria com o Prof. Marcos Eugênio,ainda em 1995.

2. Para visualização gráfica do comportamento teórico (segundo o modelo de Black

& Scholes) de carteiras compostas por diversas opções. O software foidesenvolvido entre dezembro/95 e fevereiro/96 pelo autor, sob orientação doProf. Marcos Eugênio, permitindo visualizações gráficas em duas e trêsdimensões. O programa, Options Evaluator roda sob MATLAB e está àdisposição dos interessados.

3. As rotinas para importação de dados: recebem os dados brutos de uma planilha,

e procedem a estimação de volatilidades (segundo vários métodos), o cálculo dospreços teóricos, dos desvios dos preços em relação aos preços de mercado, edas sensibilidades diárias dos preços às diversas variáveis (delta, gama, vega,teta e rô).

4. As rotinas que simulavam, a cada dia, uma operação diferente de front ou back

spread, a ajustava nos dias subsequentes, incorporando custos de transação ecustos de oportunidade nos cálculos dos fluxos de caixa e taxas de retorno. Ametodologia empregada foi a descrita no capítulo V, e buscou implementarcomputacionalmente exatamente as regras de decisão traçadas.

Todas as rotinas desenvolvidas e respectivos códigos-fonte, encontram-se àdisposição dos interessados, e podem ser obtidas livremente com o autor destetrabalho, pessoalmente, através de seu professor orientador, ou via e-mail, atravésdo endereço lalvares@dialdata.com.br .

O autor também se encontra à disposição para eventuais esclarecimentos a respeitodas técnicas e procedimentos utilizados.

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Apêndice C - Tabelas de Dados

Índice das Tabelas

Resultados das Simulações:

Vencimento de Agosto C-1Vencimento de Junho C-2Vencimento de Abril C-3

Preços Teóricos e Preços de Mercado das Opções:

Vencimento de Agosto C-4Vencimento de Junho C-6Vencimento de Abril C-8

Sobrepreços e Deltas Teóricos:

Vencimento de Agosto C-5Vencimento de Junho C-7Vencimento de Abril C-9

Dados Brutos Originais:

Vencimento de Agosto C-10Vencimento de Junho C-11Vencimento de Abril C-12

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ATKINSON, K. E. An Introduction to Numerical Analysis. Second edition. Iowa: JohnWiley & Sons, 1989

BESSADA, O. M. L. O Mercado Futuro e de Opções. Segunda edição. Rio deJaneiro: Record, 1994

BINNEWIES, R. The Options Course. Burr Ridge, Illinois: IRWIN, 1995

BOOKSTABER, R. M. Option Pricing and Investment Strategies. Third edition.Chicago, Illinois: Probus Publishing Company, 1991

DAIGLER, R. T. Advanced Options Trading. Burr Ridge, Illinois: IRWIN, 1994

HULL, J. C. Options, Futures, and other Derivative Securities. Second edition.Englewood Cliffs, New Jersey:Prentice Hall, second edition, 1993

JPMORGAN. RiskMetricsTM - Technical Document. Third Edition. Morgan GuarantyCo., 1995

KOLB, R. W. Understanding Options. John Wiley & Sons, Inc., 1995

McMILLAN, L. G. Options as a Strategic Investment. Third edition. New YorkInstitute of Finance, 1993

NATENBERG, S. Option Volatility and Pricing Strategies. Third Edition. Chicago,Illinois: Probus Publishing Company, 1988

TOMPKINS, R. G. Options Analysis. Revised edition. Chicago, Illinois: ProbusPublishing, 1994