Segmentos Orientados e VetoresExercícios Propostos (pág. 19)

09) A figura representa um hexágono regular ABCDEF, de centro em O. Pede-se escrever a soma de vetores (B-A)+(C-A)+(D-A)+(E-A)+(F-A) em função do vetor (O-A).Obs: o centro do hexágono é o ponto “O”.

A B F O C

E D

Quando no exercício é pedido em função de (O-A), é porque na resposta deve ter apenas o vetor (O-A), então vamos somar todos os vetores e deixar como resultado apenas o vetor (O-A). Sabemos que um vetor é a soma dos que estão em sua volta, e se não alterarmos a direção e o sentido podemos movê-lo que ele continua sendo o mesmo vetor, então vamos por parte identificando os vetores.

A B Vamos dar nomes aos vetores para que fique mais fácil trabalhar: (O-A)=x (“O” é o centro do hexágono) (B-A)=u (C-A)=w F C (D-A)=v (E-A)=t (F-A)=z

E D

u=x-z

w=u+x w=(x-z)+x w=x-z+x w=2x-z

v=w+z v=(2x-z)+z v=2x-z+z v=2x

t=x+z

z=t-x z=(x+z)-x z=x+z-x z=z

Agora somamos os resultados de todos vetores:(x-z)+(2x-z)+(2x)+(x+z)+(z) = x-z+2x-z+2x+x+z+z = 6x ou seja 6.(O-A)

10) Dado um quadrilátero qualquer ABCD, plano ou reverso, demonstre que os pontos médios dos seus lados são os vértices de um paralelogramo.Quadrilátero é qualquer figura com quatro lados, A (B-A)=u B (C-B)=w M (D-C)=t Q N (A-D)=v (M-Q)=a (M-N)=b C (N-O)=d D O (Q-O)=c

Temos que provar que a=d, e b=c

a=1/2v+1/2u d=-1/2t-1/2wa=-1/2v-t-w-1/2u d=1/2t+v+u+1/2w

somando as duas: somando as duas: 2a=-t-w 2d=v+ua=-t-w d=v+u 2 2a=-1/2t-1/2w d=1/2v+1/2u

a=d d=a

b=-1/2w-1/2u c=1/2t+1/2vb=1/2w+t+v+1/2u c=-1/2t-w-u-1/2v

somando as duas: somando as duas:

2b=t+v 2c=-w-ub=t+v c=-w-u 2 2b=1/2t+1/2v c=-1/2w-1/2u

b=c c=b

11) Considere um triângulo qualquer ABC, e seja X um ponto pertencente ao lado AB, de tal maneira que(X-A)=3/4(B-X). Escreva o vetor (X-C) em função dos vetores (A-C) e (B-C). Interprete graficamente o resultado obtido. C

A B XSe (X-A)=3/4(B-X), significa que para construir o vetor (X-A) foi usado ¾ de (B-X), considerando o vetor (B-A), podemos afirmar que (B-X)=4/7(B-A) e (X-A)=

3/7(B-A).Então vamos identificar o vetor (X-C):

(X-C)=(A-C)+3/7(B-A) (X-C)=(B-C) -4/7(B-A)

Como não queremos na resposta (B-A), podemos sumir com ele multiplicando a primeira linha por 4 e somar com a segunda multiplicada por 3.

4(X-C)=4(A-C)+12/7(B-A) 3(X-C)=3(B-C) -12/7(B-A)

Somando as duas temos:

7(X-C)=4(A-C)+3(B-C) (X-C)=4/7(A-C)+3/7(B-C)

12) Sabendo que M e N são os pontos médios das diagonais de um trapézio ABCD, prove que (N-M)=1/2[(C-D)-(B-A)]. A B vamos dar nomes aos vetores: (N-M)=x M N (C-D)=c (B-A)=a (C-A)=u D C (B-D)=v

Temos que provar que: x=

x=1/2v-a+1/2ux=-1/2m+c-1/2n

somando as duas equações:

2x=-a+c

x= ou seja (N-M)=1/2[(C-D)-(B-A)]

13) Os polígonos das figuras seguintes são formados por associações de hexágonos regulares. Determine geometricamente o vetor soma dos vetores em cada figura, em função dos vetores u e v

u x=(v+u),temos três figuras iguais, Soma:3(v+u+x)= v x 3v+3u+3x= 3v+3u+3(v+u)= 3v+3u+3v+3u=6v+6u

u

Soma: v -x v+u-x+v+u+x-v+u+x= v+u-(v+u)+v+u+(v+u)-v+u+(v+u)= v+u-v-u+v+u+v+u-v+u+v+u=2v+4u

14) Seja ABCD um quadrilátero qualquer, O um ponto qualquer e P o ponto médio do segmento que une os pontos médios M e N das diagonais AC e BD. Prove que P=O+1/4[(A-O)+(B-O)+(C-O)+(D-O)]. O

A B

M N P

D C

(P-O)=(A-O)+1/2(C-A)+1/2(M-N)(P-O)=(B-O)+1/2(D-B)-1/2(M-N)(P-O)=(D-O)-1/2(D-B)-1/2(M-N)(P-O)=(C-O)-1/2(C-A)+1/2(M-N) somando as 4 linhas teremos:

4(P-O)=(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)(P-O)=1/4[(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)]P=O+1/4[(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)]

15) Determine geometricamente o vetor soma dos vetores representados em cada um dos paralelepípedos seguintes: primeiro vamos dar nomes aos vetores, a a b b

c c c c a a -b b -a b -a -b -b

-c -c c -c -a -a -b

Soma=a+b+c+b+a+c+a+c-b+c+a+b-a-b-c-a-b-c-a-b+c-a+b-c = C

16) Considere um triângulo qualquer ABC e seja X um ponto pertencente ao lado AB, de tal maneira que: (X-A)=3/4(B-A). Identifique a alternativa correta.A)(X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C)B)(X-C)=3/4(A-C)+1/4(B-C)C)(X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C)D)(X-C)=2/4(A-C)+1/3(B-C)E)(X-C)=5/4(A-C)-1/4(B-C)

C

A X B

(X-C)=(A-C)+3/4(B-A) somar L1+3(L2)(X-C)=(B-C)-1/4(B-A)

4(X-C)=(A-C)+3(B-C) (X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C) Alternativa A

17) Sejam o triângulo qualquer ABC e o ponto X sobre o lado AB, tal que 4(X-A)=(B-X). Escrevendo o vetor (X-C) como uma combinação linear dos vetores (A-C) e (B-C) obtém-se:

A)(X-C)=1/5(A-C)+4/5(B-C)B)(X-C)=4/5(A-C)+1/5(B-C)C)(X-C)=(A-C)+4(B-C)D)(X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C)E)(X-C)=3/4(A-C)+1/4(B-C)

C

1/5 4/5

A X B

(X-C)=(A-C)+1/5(B-A) Somar 4L1+L2(X-C)=(B-C)-4/5(B-A)

5(X-C)=4(A-C)+(B-C) (X-C)=4/5(A-C)+1/5(B-C) Alternativa B

18) Na figura ABCD é um paralelogramo, M é o ponto médio do lado AB, e os pontos N e P dividem o lado DC em três segmentos de mesma medida. Escrevendo os vetores (N-M) e (P-M) como combinações lineares dos vetores u=(C-D) e v=(A-D), obtém-se:

A 1/2 M 1/2 B

1/3 1/3 1/3

D N P C

A)(N-M)=-1/6u+v; (P-M)=-1/6u-vB)(N-M)=1/6u+v; (P-M)=-1/6u+vC)(N-M)=-1/6u-v; (P-M)=1/6u-vD)(N-M)=1/6u-v; (P-M)=1/6u+vE)(N-M)=u+v; (P-M)=(u-v)

(N-M)=-1/2u-v+1/3u somar L1+L2(N-M)=1/2u-v-2/3u

2(N-M)=-2v-1/3u (N-M)=-v-1/6u

(P-M)=1/2u-v-1/3u somar L1+L2(P-M)=-1/2u-v+2/3u

2(P-M)=-2v+1/3u (P-M)=-v+1/6u

Alternativa C

19) Seja o triângulo ABC qualquer e o ponto X sobre o lado AB, tal que (X-A)=2(B-X). Escrevendo o vetor (X-C) como uma combinação linear dos vetores (A-C) e (B-C) obtém-se:A)(X-C)=1/3(A-C)-2/3(B-C)B)(X-C)=-1/3(A-C)+2/3(B-C)C)(X-C)=-1/3(A-C)-2/3(B-C)D)(X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C)E)(X-C)=(A-C)+2/3(B-C)

C

A 2/3 1/3 B X

(X-C)=(A-C)+2/3(B-A) somar L1+2L2(X-C)=(B-C)-1/3(B-A)

3(X-C)=(A-C)+2(B-C) (X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C) alternativa D

20) Na figura seguinte ABCD é um trapézio, onde (B-A)=2a; (C-D)=a e (A-D)=b. O ponto E é tal que (E-B)=1/3(C-B). Escrevendo o vetor (E-D) como C.L. dos vetores a e b obtém-se:

D a C

2/3 b E 1/3 A B 2a

A)(E-D)=2/3a+5/3bB)(E-D)=2/3a-5/3bC)(E-D)=5/3a-2/3bD)(E-D)=-5/3a-2/3bE)(E-D)=5/3a+2/3b

(E-D)=a+2/3(B-C) somar L1+2L2 (E-D)=b+2a-1/3(B-C)

3(E-D)=5a+2b (E-D)=5/3a+2/3b alternativa E

21) Considere três pontos quaisquer O,P e Q. Seja R o ponto médio de PQ. Chamando a=(P-O), b=(Q-O) e c=(R-O), é correto afirmar que:A) c=1/2(a+b)B) b=1/2(a+c)C) a=1/2(b+c)D) c=1/2(a-b)E) c=1/2(b-a)

Q c=b+1/2(P-Q) c=a-1/2(P-Q) somar L1+L2 b R c 2c=a+b O a P c=1/2(a+b),alternativa A22) A figura é constituída por nove quadrados congruentes (de mesmo lado). Considere as seguintes igualdades: I:BC=OP ; II:AO=MG ; III:JO=LD ; IV:AJ=3LA e V:LC=EP. Assinale a alternativa correta:

A)I,II,IV e V são verdadeiras. A B C D B)I e III são verdadeiras. C)Somente II é verdadeira.D)Somente I e III são falsas. L M EE)Somente I e IV são falsas. P O

J G

Alternativa C, pois I:BC é o oposto de OP,II:AD=MG, (correto),III:JO≠LD,IV:AJ é o oposto de 3LA,V:LC é o oposto de EP.

23) No triângulo ABC qualquer, tem-se AX=1/3AB e AM=1/2AB. Assinale a alternativa correta:A)CM=1/2AC+1/2BC CB)CM=1/3AC+2/3BCC)CM=CA+CBD)CM=1/2CA+1/2CBE)CX=2/3AC+1/3BC A X M B (M-C)=(A-C)+1/2(B-A) somar L1+L2 (M-C)=(B-C)-1/2(B-A)

2(M-C)=(A-C)+(B-C) (M-C)=1/2(A-C)+1/2(B-C) alternativa D

24) Considere as seguintes afirmações, onde os vetores u, v e w não são nulos:I) Se u=v, então |u|=|v|. (correto)II) Se |u|=|v|, então u=v. (errado, ex:u=(1,2,3)≠v=(3,2,1), mas possuem mesmo mód.)III) Se o vetor u é paralelo ao vetor v, então u=v.(errado, pois podem ser paralelos mas terem comprimentos diferentes.)IV) Se u=v, então u é paralelo a v. (correto)V) Se w=u+v, então |w|=|v|+|u|.(errado)Alternativa correta: E

25) O quadrilátero ABCD é um paralelogramo, sendo M e N os pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Assinale a alternativa correta:A)(B-M)+(A-M)=(N-M)B)(B-M)+(D-M)=(N-M) D M CC)(B-M)+(D-M)=(M-N)D)(M-B)-1/2(C-D)=(C-B)E)(A-M)+(C-B)=(C-M) A N B

Alternativa B, pois sendo um paralelogramo (D-M)=(N-B)

M

N B

26) O vetor X da figura ao lado:A) É o vetor v-u.B) É o vetor u+v.C) É o vetor –u-v. u xD) É o vetor u-v. vE)Não pode ser escrito como combinação linear de u e v.

Alternativa D, que é o mesmo que –v+u.

27) Se 3x+2u=1/2v+x, então:A)X=1/2v-u B)X=v-1/2uC)X=-u+1/4vD)X=1/2v-2uE)X=v-1/4u

3x-x=1/2v-2u2x=1/2v-2uX=1/4v-u alternativa C.

28) O quadrilátero ABCD é um paralelogramo, os pontos M e N são médios dos lados AB e AD, respectivamente, e os pontos R e S dividem o lado BC em três segmentos de mesmo comprimento. Sejam os vetores u=(B-A), v=(A-D), a=(M-N), b=(R-N) e c=(S-N). É correto afirmar:A)a=1/2u+1/2v ; b=u+5/6v ; c=u+7/6v A M BB)a=1/2u-1/2v ; b=u+1/6v ; c=u-1/6v RC)a=1/2u-1/2v ; b=u+5/6v ; c=u-1/6v N D)a=1/2u+1/2v ; b=u+1/6v ; c=u-1/6v S E)a=1/2u+1/2v ; b=u-1/6v ; c=u+1/6v D C

Alternativa D

A M u B

v a b R N c S

D C

Por ser um paralelogramo (A-D)=(B-C), e (C-D)=(B-A).

29) A figura é um paralelepípedo retângulo. Sendo os vetores u=(B-A) ; v=(G-F) eW=(C-D), é correto afirmar que:A)(D-A)=u+v+w ; (G-C)=u+w ; (F-C)=-u-v+wB)(D-A)=u+v+w ; (D-B)=v+w ; (C-F)=u+v+w C w DC)(D-A)=u+v-w ; (C-G)=u+w ; (F-C)=-u-v-wD)(D-B)=v+w ; (G-B)=v-u-w ; (F-C)=-u-v-w B EE)(C-A)=u+v ; (G-B)=v+w-u ; (A-D)=-u-v+w

u v GAlternativa C. A F

EXERCÌCIOS COMPLEMENTARES

30)Dados os pontos A,B e C, escreva o vetor (X-B) em função dos vetores u=(A-B) e v=(C-B), nos casos :

A

u

B X

v C

(C-A)=-u+v(X-A)=(X-B)-u(C-X)=v-(X-B)(X-C)=-v+(X-B)(A-C)=u-v(A-X)=u-(X-B)

A)1/2(X-A)+2/3(C-X)=(C-A)1/2[(X-B)-u]+2/3[v-(X-B)]=-u+v1/2(X-B)-1/2u+2/3v-2/3(X-B)=(-u+v) achar o MMC[3(X-B)-3u+4v-4(X-B)=-6u+6v]/6-(X-B)-6u+6v+3u-4v-(X-B)=-3u+2v(X-B)=3u-2v

B)1/3(X-C)-3/2(A-C)=(X-A)-v+(X-B)/3 – 3/2(u-v)=(X-B)-u achar o MMC [-2v+2(X-B)-9u+9v=6(X-B)-6u]/6-2v-9u+9v+6u=6(X-B)-2(X-B)7v-3u=4(X-B)7/4v-3/4u=(X-B)

C)2(X-C)+3(A-X)=o (vetor o)-2v+2(X-B)+3u-3(X-B)=0-(X-B)=2v-3u(X-B)=-2v+3u

D)2/3(A-X)+1/5(A-C)=(X-C)2/3u-2/3(X-B)+1/5u-1/5v=-v+(X-B) achar o MMC[10u-10(X-B)+3u-3v=-15v+15(X-B)]/1510u+3u-3v+15v=15(X-B)+10(X-B)13u-12v=25(X-B)13/25u-12/25v=(X-B)

31) Escreva o vetor (X-A) em função dos vetores u=(B-A) e v=(C-A), nos seguintes casos:A) 3 1 o o o B X C

A

u v

3 1 B X C

(X-A)=u+3/4(C-B) somar L1+3L2 (X-A)=v-1/4(C-B)

4(X-A)=u+3v (X-A)=1/4u+3/4v

B) 2 1 o o o X B C A

u v

2 1 X B C

(X-A)=v-(C-X) somar L1+L2(X-A)=u-2/3(C-X)

2(X-A)=v+u-5/3(C-X), como (C-X)= -(X-A)+v2(X-A)=v+u-5/3[-(X-A)+v]2(X-A)=v+u+5/3(X-A)-5/3v (achar o MMC)6(X-A)=3v+3u+5(X-A)-5v (X-A)=3u-2v

C) 3 2 o o o B C X A

u V

B C X

(X-A)=u+(X-B) somar L1+L2(X-A)=v+2/5(X-B)

2(X-A)=v+u+7/5(X-B), como (X-B)= -u+(X-A)2(X-A)=v+u+7/5[-u+(X-A)]2(X-A)=v+u-7/5u+7/5(X-A) (achar o MMC)10(X-A)=5v+5u-7u+7(X-A)3(X-A)=5v-2u (X-A)=5/3v-2/3u

D) A

2 3

B 2,4 X 1,6 C

(X-A)=u+2,4(C-B) somar L1+L2 (X-A)=v-1,6(C-B)

2(X-A)=u+v+0,8(C-B) , como(C-B)=-u+v2(X-A)=u+v+0,8(-u+v)2(X-A)=u+v-0,8u+0,8v2(X-A)=0,2u+1,8v (X-A)=0,1u+0,9v

E) A

2 h 3

m n B X C CB=4

(X-A)=(B-A)+(X-B)(X-A)=(C-A)+(C-X)

(X-B)=m/m+n(C-B)(C-X)=-n/m+n(C-B)

h2=22-m2 eh2=32-n2 igualamos os h,22-m2=32-n2 4-9=m2-n²-5=m²-n² (diferença de dois quadrados)-5=(m+n).(m-n)-5=4(m-n)-5/4=(m-n)

m-n=-5/4m+n=4 somando as duas equações;2m=11/4m=11/4.1/2

m=11/8

como m+n=411/8+n=4n=4-11/8n=21/8

voltando;(X-A)=(B-A)+(X-B)(X-A)=(C-A)+(C-X) somando as duas equações;2(X-A)=(B-A)+(C-A)+(X-B)-(C-X)

Como (X-B)=m/m+n(C-B)

(X-B)= .[-(B-A)+(C-A)]

(X-B)=11/8.1/4.[-(B-A)+(C-A)](X-B)=-11/32(B-A)+11/32(C-A), e

(C-X)=-(X-A)+(C-A)

Então;2(X-A)=(B-A)+(C-A)+(X-B)-(C-X)2(X-A)=(B-A)+(C-A)+11/32(C-A)-11/32(B-A)+(X-A)-(C-A)(X-A)=21/32(B-A)+11/32(C-A)

F) A

2 3 b

B m X n C CB=4

= (teorema das bissetrizes)

=

2(X-C)=3(X-B)2/3(X-C)=(X-B)

(X-A)=(B-A)+2/5(C-B) fazer 3.L1+2.L2(X-A)=(C-A)-3/5(C-B)

5(X-A)=3(B-A)+2(C-A)(X-A)=3/5u+2/5v

32) O ponto M é o centro de um quadrado de vértices nos pontos A,B,C e D. Demonstre que (B-A)+(C-A)+(D-A)=4(M-A)

B C (C-A)=2(M-A) (D-A)+(B-A)=(C-A), como (C-A)=2(M-A) M 2(M-A)+2(M-A)=4(M-A)

A D

33) Em um triângulo de vértices nos pontos A,B e C, o ponto M é médio do lado AB, o ponto N é médio do lado BC e o ponto P é médio do lado AC. Prove que:(P-B)+(M-C)=(A-N). A

P M

C B N

(P-B)=-(B-A)+1/2(C-A) somar L1+L2(P-B)=-(B-C)-1/2(C-A)

2(P-B)=-(B-A)-(B-C) (P-B)=-1/2(B-A)-1/2(B-C)

(M-C)=-(C-A)+1/2(B-A) somar L1+L2(M-C)=(B-C)-1/2(B-A)

2(M-C)=-(C-A)+(B-C) (M-C)=-1/2(C-A)+1/2(B-C)

(A-N)=1/2(B-C)-(B-A) somar L1+L2 (A-N)=-1/2(B-C)-(C-A)

2(A-N)=-(B-A)-(C-A) (A-N)=-1/2(B-A)-1/2(C-A)

(P-B)+(M-C)=[-1/2(B-A)-1/2(B-C)]+ [-1/2(C-A)+1/2(B-C)]=-1/2(B-A)-1/2(C-A)=(A-N)

34) O triângulo ABC e seu lado mede 6 cm. O segmento AM mede 4 cm e o segmento BN mede 2cm. Se X é o ponto médio do segmento MN, escreva o vetor (X-A) como C.L. dos vetores (B-A) e (C-A). A 4 M 6 2 X B 2 4 C N

(X-A)=(B-A)+1/3(C-B)-1/2(N-M) somar L1+L2 (X-A)=2/3(C-A)+1/2(N-M)

2(X-A)=(B-A)+1/3(C-B)+2/3(C-A), como (C-B)=-(B-A)+(C-A)2(X-A)=(B-A)+1/3[-(B-A)+(C-A)]+2/3(C-A)2(X-A)=(B-A)-1/3(B-A)+1/3(C-A)+2/3(C-A)2(X-A)=2/3(B-A)+(C-A)(X-A)=1/3(B-A)+1/2(C-A)

35) No triângulo ABC, o ponto é médio do lado AC. Se X é o ponto médio do segmento BM, determine o vetor (X-M) em função de (B-A) e (C-A).

A

M X

B C

(X-M)=-1/2(C-A)+(B-A)-1/2(B-M) somar L1+L2 (X-M)=1/2(C-A)-(C-B)-1/2(B-M)

2(X-M)=(B-A)-(C-B)-(B-M) 2(X-M)=(B-A)-[-(B-A)+(C-A)]-[-1/2(C-A)+(B-A)]2(X-M)= (B-A)+(B-A)-(C-A)+1/2(C-A)-(B-A) 2(X-M)=(B-A)-1/2(C-A) (X-M)=1/2(B-A)-1/4(C-A)