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Produto entre VetoresExercícios Propostos (pág. 77a78)
86) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores u=(4,-1,-3) e v=(0,2,-1)Sabemos que:
cos =
cos =
cos = cos = cos = cos =
87) Dados os vetores a=(1,-m,-3); b=(m+3, 4-m, 1) e c=(m, -2, 7), calcule o valor de m real para que a x b = (a+b) x c.(1,-m,-3)x(m+3, 4-m, 1) = [(1,-m,-3)+(m+3, 4-m, 1)]x (m, -2, 7)m+3-4m+m2-3 = (m+4,4-2m,-2)x(m,-2,7)m2-3m = m2+4m-8+4m-14m2-m2-3m-4m-4m+8+14 = 0-11m = -22 m=2
88) Sabendo que |u|=3, |v|=2 e que o ângulo formado entre os vetores u e
v é /3, calcular o cosseno do ângulo entre os vetores (u+v) e (u-v).
Para resolver este problema vamos usar as informações que temos;
/3 = 60°, cos 60°= ½
cos = cos = 1/2 = 3=u x v
(guardamos está informação).
Vale lembrar que |u|= =
Portanto |u|2= ( )2
|u|2= u2
cos =
cos =
cos = , como |u|2= u2
cos = cos =
cos =
cos =
sabemos que 3=u x v ;(u.u)= u2 = |u|2
cos =
cos =
cos =
89) Dados os vetores u=(1,-2,0) e v=(-1,0,1), calcule o cosseno do ângulo
formado pelos vetores (2u+3v) e (3u-2v).(2u+3v) = [2(1,-2,0)+3(-1,0,0)] = [(2,-4,0)+(-3,0,3)] = (-1,-4,3)(3u-2v) = [3(1,-2,0)-2(-1,0,1)] = [(3,-6,0)+(2,0,-2) = (5,-6,-2)
cos =
cos = cos = cos = cos =
cos = cos =
90) Dados u=(3,0,-2), v=(-1,2,3) e w=(1,-1,1), determine o vetor r, sabendo que r x u=3; r x v=2 e r x w=1.
r x u=3 (x,y,z)x(3,0,-2)=3 3x-2z=3
r x v=2 (x,y,z)x(-1,2,3)=2 -x+2y+3z=2
r x w=1 (x,y,z)x(1,-1,1)=1 x-y+z=1
x-y+z=1 -x+2y+3z=2 trocar L2 por L1+L2 e L3 por -3L1+L3 3x -2z=3
x-y+z=1 y+4z=3 trocar L3 por -3L2+L3 3y-5z=0
x-y+z=1 y+4z=3 -17z=-9
-17z=-9 y+4z=3 x-y+z=1 z=9/17 y+4(9/17)=3 x-15/17+9/17=1 y=15/17 x=23/17
Portanto r=(23/17, 15/17, 9/17)
91) Dados u=(3,1,-3), v=(5,1,-1) e w=(0,5,4), determine o vetor r, sabendo que r x u=1; r x v=5 e r x w=9.
r x u=1 (x,y,z)x(3,1,-3)=1 3x+y-3z=1
r x v=5 (x,y,z)x(5,1,-1)=5 5x+y-z=5
r x w=9 (x,y,z)x(0,5,4)=9 5y+4z=9
3x+y-3z=1 5x+y-z=5 trocar L2 por 5L1+(-3)L2 5y+4z=9
3x+y-3z=1
2y-12z=-10 trocar L por L2+(-3)L3 5y+4z=9
3x+y-3z=1 2y-12z=-10 trocar L por L2+(-3)L3 17y=17
17y=17 2(1)-12z=-10 3x+1-3(1)=1 y=1 z=1 x=1
Portanto r=(1,1,1)
92) Dados os vetores u=(1,0,-2) e v=(2,1,1), determine o vetor w, unitário, que seja ortogonal aos vetores u e v.|w|= 1w x u = 0w x v = 0
= 1 eleva os dois lados ao quadrado
(x,y,z)x(1,0,-2)=0 resolve o produto escalar (x,y,z)x(2,1,1)=0
x2+y2+z2=1 x -2z=0 2x+y+z=0
x-2z=0 2x+y+z=0 x2+y2+z2=1x=2z 4z+y+z=0 (2z)2+(-5z)2+z2=1 y=-5z 4z2+25z2+z2=1 30z2=1
z=±
z=±1/
x=±2/ y=±5/
w=±(2/ , -5/ , 1/ )
93)Dados os vetores: u=4i+5j+3k e v=4i+5j+k, calcule os cossenos diretores do vetor u+v.(u+v) = (8, 10, 4)
cos = cos = cos = cos =
cos = cos = cos = cos =
cos = cos =
cos = cos = cos = cos =
cos = cos =
94) Determine um vetor ortogonal aos vetores u=2j-2k e v=2i+j+k, que tenha módulo 2 e abscissa negativa.Vamos chamar o vetor procurado de w.|w|=2
w u (x,y,z)x(0,2,-2)=0 2y-2z =0
w v (x,y,z)x(2,1,1)=0 2x+y+z=0
|w|=2
=2 (elevamos ambos os lados ao quadrado)
x2+y2+z2=4
2y-2z =0 2x+y+z=0 2y=2z 2x+z+z=0 y=z 2x=-2z x=-z
x2+y2+z2=4 (-z)2+z2+z2=43z2=4
z=
z=
z= y= x=-
w=( - , ) ou (-i+j+k)
Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.
