Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade 1 Sumário e Objectivos Sumário: Introdução à Teoria da Plasticidade. Ensaio de Tracção

Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não LinearPlasticidade

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Introdução à Teoria da Plasticidade. Ensaio de Tracção. Critérios de Cedência. Regra de Encruamento. Lei de Escoamento. Objectivos da Aula: Apreensão de Alguns Conceitos Fundamentais Associados à Teoria da Plasticidade.



2

Compressão de uma Placa



3

Modelos de Comportamento Uniaxial

Comportamento linear elástico



4


Comportamento rígido-perfeitamente plástico

atrito



5


Comportamento rígido-plástico com encruamento linear

atrito



6

Modelos de ComportamentoUniaxial

Comportamento elástico-perfeitamente plástico

atrito



7

Modelos de ComportamentoUniaxial

Comportamento elásto-plástico com encruamento linear

atrito



8

Exemplo de Aplicação

y

45 45

L 1 2 3

x, 1

P, 2

As três barras são constituídas do mesmo material, com igual E, A e Pc. Admita-se ainda que, uma vez atingida a tensão de cedência o material pode deformar-se infinitamente mantendo-se contudo o estado de tensão constante. Pretende-se determinar qual o valor da carga de rotura da estrutura, Pr, em função de Pc.



9

Exemplo de Aplicação Esforços normais numa barra

Começa-se por fazer um cálculo linear elástico determinando os esforços normais suportados por cada barra. Para o efeito, pode-se recorrer ao método dos deslocamentos, em que numa dada barra i, a uma variação de comprimento cosi, corresponde um esforço normal EiAi/Licosi

EiAi/Licosi

EiAi/Licosiseni

cosi

EiAi/Li

(cosi)2

Li

y

i

x



10

Exemplo de Aplicação Coeficientes de Rigidez para a Estrutura

32

111

cosi ii

i i

E AK

L

3

21 121

cos seni ii i

i i

E AK K

L

3

222

1

seni ii

i i

E AK

L

Considerando os graus de liberdade assinalados na figura inicial, 1 e 2, os coeficientes de rigidez para a estrutura são:



11

Exemplo de Aplicação Coeficientes de Rigidez para a Estrutura

2 2 2

111 2 3

cos 45 cos 90 cos 135 2

2

o o o EAK EA

L L L L

21 121 2 3

sen45 cos 45 sen90 cos90 sen135 cos1350

o o o o o o

K K EAL L L

2 2 2

221 2 3

sen 45 sen 90 sen 135 21

2

o o o EAK EA

L L L L



12

Sistema de Equações

O estabelecimento das equações de equilíbrio segundo os respectivos graus de liberdade permite determinar as componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força exterior, P

21

2

20

2 0 012

0 12

u uEA L

v P v PL EA



13

Esforços Axiais

O esforço normal em cada uma das barras pode ser calculado por:

cos seni i i ii i i

i i

A E A EF u v

L L

Para o conjunto das três barras tem-se:1 1

1 11

2 22

2 23

3 3

3 3

cos sen

cos sen

cos sen

L LF

uF AE

vL LF

L L



14

Esforços Axiais

ou, atendendo à relação entre comprimentos, L2=L e L1=L3=

=2 / 2L

2 21 2 2

2 21

22 23 2 2

2 2

cos 45 sen45 201cos90 sen90 2 2

cos135 sen135 2 2

2

FAE L

F PPL EA

F



15

Barra 2 Atinge a Cedência em 1º Lugar

Os esforços calculados, que apenas são válidos enquanto todas as barras "funcionarem" no domínio linear elástico, permitem concluir que a barra 2 é a que suporta um maior esforço normal, pelo que, num processo de carregamento incremental será a primeira a atingir a carga correspondente à tensão de cedência. A carga P (P) que leva a que a primeira barra da estrutura (barra 2) a atingir a carga de cedência: c

2 c

PF =P = 2- 2 P → P =

2- 2

cc2 2

1+ 1+2 2

PL L LP 1v= × = × × = PEA EA EA2- 2

O deslocamento vertical é:



16

Carga de Rotura

Pc

F1 F3

P (Pr)

A carga de rotura é atingida quando os esforços normais F1 e F3 igualarem a carga de cedência, Pc. A equação de equilíbrio vertical permite escrever:

1 30 cos 45 cos 45 0vi cF P F F P

Fazendo coincidir F1=F3Pc e PPr, resulta:

1 2 cos 45 1 2r c cP P P



17

Cálculo dos Deslocamentos

Para forças exteriores em que se verifique P [P,Pr[, o cálculo dos deslocamentos nodais faz-se de modo semelhante, mas considerando apenas as duas barras que se encontram em regime elástico.

y

45 45

L 1 3Pc

x, 1

P[P,Pr[, 2



18

Cálculo dos Deslocamentos

As componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força tomam os seguintes valores:

20 0 022

220

2

c c

u uEA LP P P Pv vL EA

Pelo que, para uma força exterior de, , o deslocamento vertical segundo o grau de liberdade 2 toma o valor: .

(1 2)r cP P P

2 /r cv P L EA



19

Gráfico Carga-Deslocamento



20

Observações Experimentais: O Ensaio de Tracção

P

B

A

O

tensão limite elástico

tensão limite proporcionalidade

p e

Gráfico Tensão-Deformação de uma liga metálica



21

Gráfico tensão-deformação de um aço de baixo teor em carbono

O

limite superior datensão de cedência

patamar de cedência

Devido à dificuldade existente em distinguir no ensaio todos estes parâmetros, normalmente apenas se refere a tensão de cedência como a tensão necessária para provocar uma deformação plástica de 0,2%.



22

Histerese e Encruamento

Na fase de deformação plástica, isto é, quando o nível de carregamento corresponde a um valor para a tensão superior à tensão de cedência, o incremento de deformação plástica é acompanhado de um incremento de tensão, e diz-se que houve um

encruamento do material.Regra geral, a curva tensão-deformação de descarregamento pós deformação plástica (AA do gráfico seguinte) não é exactamente linear e paralela à porção elástica inicial da curva. No carregamento seguinte (curva AA) observa-se que a curva não coincide com a curva de descarga, retomando a curva inicial em

A. Este fenómeno é conhecido por histerese não sendo considerado no modelo descrito no presente texto



23

Histerese e Encruamento

O A

A

A

Gráfico tensão-deformação com descarregamento e carregamento



24

Efeito de Bauschinger

Tensão de Cedência à Tracção Y0T

Tensão de Cedência à Compressão Y0C

Y0 Y0T C

A dependência da tensão de cedência com o sentido de carregamento é conhecida como Efeito de Bauschinger



25

Efeito do Tempo

Na Fig. representa-se um gráfico tensão-deformação com duas curvas obtidas em dois ensaios de tracção realizados a velocidades diferentes. A curva dinâmica OP é obtida num ensaio realizado com uma velocidade de deformação superior à velocidade aplicada no ensaio referente à curva quase estática OP. Conclui-se assim, que a velocidade de deformação com que se realiza o ensaio de tracção conduz a diferentes curvas tensão-deformação.



26

Efeito do Tempo

Outra observação importante que se verifica nestes testes, é que, realizando-se o ensaio a uma taxa de deformação finita, e portanto numa situação dinâmica, se se parar no ponto A, verifica-se que o estado de deformação tende, com o tempo, para o ponto A, mantendo-se contudo o mesmo nível de tensão. Quando o ponto A é atingido a velocidade de deformação é aproximadamente nula, isto é, entre o ponto A e o ponto A a velocidade de deformação sofreu uma variação, cuja lei pode seguir a curva do gráfico da Fig.



27

Efeito do Tempo

Em certos metais, a dependência da deformação plástica com a velocidade de deformação pode ser razoavelmente quantificada por [24] , em que o expoente r depende da deformação plástica e da temperatura. No quadro seguinte apresentam-se vários valores de r para um ensaio de compressão realizado à temperatura ambiente [21].

Metal Valores de r para as seguintes reduções em altura

10% 30% 50%

Alumínio 0,013 0,018 0,020

Cobre 0,001 0,002 0,010

r



28

Efeito da Pressão, Humidade e Temperatura

O expoente r, definido anteriormente, de modo a quantificar a dependência da deformação plástica com a velocidade de deformação é ainda função da temperatura, como se mostra no quadro seguinte [21].

Metal Temperatura (ºC)

Valores de r para as seguintes reduções em altura

10% 30% 50%

Alumínio 18 0,013 0,018 0,020

350 0,055 0,073 0,088

550 0,130 0,141 0,155

Cobre 18 0,001 0,002 0,010

450 0,001 0,008 0,031

900 0,134 0,154 0,190

Aço 930 0,088 0,094 0,105

1200 0,116 0,141 0,196



29

Definição de Fluência

Considere-se a curva tensão-extensão representada no gráfico da Fig. em que, quando se atinge o ponto A da curva localizado na região plástica, a carga é mantida constante. Observa-se que a deformação aumenta de A para B e o seu valor depende do tempo de permanência da tensão constante. Quanto maior for o tempo de permanência da tensão constante, maior será o alongamento verificado. O fenómeno acabado de descrever é conhecido por fluência (creep) [22] e para certos materiais pode até ser verificado à temperatura ambiente.

O

AB

B



30

Curvas de Fluência

Considerando a extensão de fluência ( ) como a extensão total menos a inicial (em que se aplicou a tensão), obtém-se tipicamente para os metais uma das curvas representadas na Fig. [24]. Na curva de fluência típica (a traço interrompido) é possível distinguir três estágios correspondentes a: fluência primária, secundária e terciária. Para baixas temperaturas e tensões apenas é visível o estagio de fluência primário, verificando-se um valor limite.

c

O t

curva de fluência paraelevada temperatura etensão

fluênciaprimária

curva de fluência a baixatemperatura e tensão

fluênciasecundária

fluênciaterciária

c



31

Lei da Potência em Fluência

Para elevadas temperaturas e tensões a fluência primária mostra uma dependência logarítmica ou potencial de acordo com uma das

seguintes leis [24]: ln( )c t

c t em que toma valores entre 0 e 1, designando-se por lei de fluência de Andrade para =1/3.

Segundo Nadai [29], a fluência descrita pela lei da potência pode ser obtida a partir duma fórmula que relaciona a tensão, a deformação de fluência ( ) e a velocidade de deformação de fluência ( ): n rc cC

cc

em que C, n e r dependem da temperatura



32

Lei de Bailey-Norton

A fluência terciária é normalmente considerada como resultante de modificações ao nível estrutural acompanhada de perda de resistência e, eventualmente, de rotura. Segundo Lubliner [24], para um metal submetido a elevadas temperaturas e tensões pode-se considerar como característica desse metal a taxa de fluência mínima. Por outro lado, a dependência dessa taxa de fluência mínima, para uma dada temperatura, pode ser aproximada por uma lei exponencial para um elevado estado de tensão, ou, para um

estado de tensão reduzido, por uma função potencial do tipo: min c q

Esta relação é normalmente conhecida pela lei de Bailey-Norton [24], verificando-se que a expressão de Nadai descreve esta mesma lei tomando n=0 e r=1/q.



33

Deformação de Fluência em função do Tempo

Uma aproximação utilizada para o cálculo da deformação de fluência como função do tempo e para uma dada temperatura é a seguinte: 0 min

c c ct t

em que é a velocidade de fluência mínima, e é um valor fictício definido pela intercepção da recta tangente à curva de fluência num ponto pertencente à zona em que a taxa de fluência é estacionária.

minc 0

c



34

Modelo de Bingham

Para muitos materiais e a diferentes temperaturas, a deformação inelástica é insignificante quando o nível de tensão é inferior à tensão de cedência. Um modelo simples que descreve este efeito é o modelo de Bingham:

Y0

Y0Y0

0,

1 ,

em que representa a viscosidade do metal e representa o estado de tensão instalado. Deve-se ainda observar que o modelo de Bingham acabado de descrever representa de facto o modelo mais simples apresentado pela teoria da viscoplasticidade.



35

Dependência da Tensão de Cedência com a Temperatura

Os trabalhos experimentais demonstraram que nos ensaios de tracção realizados a temperaturas superiores à temperatura ambiente se obtêm valores diferentes, quer para as constantes elásticas, quer para as propriedades de resistência, dos obtidos à temperatura ambiente. Por exemplo, os aços ao carbono revelam um aumento da resistência à tracção para temperaturas até 300ºC a partir da qual a resistência à tracção desce cerca de 50% até temperaturas da ordem de 500 a 600ºC. De um modo geral, para os metais, verifica-se um decréscimo da tensão de cedência com o aumento da temperatura [6]



36

Combinação de Efeitos

Para os metais, a tensão de escoamento é simplesmente a tensão de cedência para o estado uniaxial de tensão, expresso como uma função da temperatura, do estado de deformação, da velocidade de deformação e da microestrutura. Genericamente, também é referida como a tensão efectiva ou tensão equivalente representando um estado triaxial de tensões. Assim, pode-se escrever:

( , , , )f T

em que , é a tensão efectiva, é a deformação efectiva, é a velocidade de deformação efectiva, T é a temperatura e, reflecte a estrutura metalúrgica do material



37

Função de Sellars-Tegart

Existem de facto algumas expressões cujo objectivo é determinar a influência que cada um dos termos atrás referidos provoca no valor da tensão de cedência. Uma das funções, baseada na equação de Arrhenius [24], foi proposta por Sellars-Tegart [23][37], permitindo analisar a influência da temperatura e da taxa de deformação em simultâneo:

273exp Q

TZ

R

em que Z é o parâmetro de Zener-Hollomon, Q representa uma energia de activação do escoamento plástico, normalmente independente da temperatura e em muitos casos independente do estado de deformação, R é a constante de Boltzmann (8,314 J/molºK) e T é a temperatura em ºC.



38

Relação Tensão Efectiva Deformação efectiva e velocidade de Deformação

Outra função para a tensão de cedência e que, contrariamente à de Sellars-Tegart, tem em consideração o estado de deformação, através da deformação efectiva , é a seguinte [37][38]: f0 TK K K K

em que f0K é um coeficiente que depende do metal, tomando por exemplo para o aço

inoxidável valores compreendidos entre 153 e 303, enquanto os restantes parâmetros são funções com a seguinte forma:

exp T 1 1K A m T

2m2K A

3m

3K A

Os parâmetros Ai e mi diferem de acordo com o tipo de metal. Por exemplo, para o aço inoxidável tomam os seguintes valores [17]:

17,07 0,00284

1,647 0,217

0,789 0,104

1 1

2 2

3 3

A m

A m

A m



39

Relação de ALSPEN

Existem ainda outras expressões que tentam combinar os vários efeitos que os diferentes parâmetros possam provocar nas características de resistência, e que foram estabelecidas para um determinado tipo de metais, como por exemplo a expressão de ALSPEN, que é adequada para as ligas de alumínio [12]:

0 0.001 n mc

em que 0 é uma função dependente da deformação efectiva, e os coeficientes c, m e n são funções não lineares dependentes da temperatura.



40

Carregamento-Descarregamento

O comportamento elasto-plástico é caracterizado por uma resposta do material, inicialmente elástica e, a partir de um determinado nível de tensão, por um comportamento essencialmente plástico. O comportamento plástico do material é geralmente acompanhado por uma

invariância do seu volume

a)

Y0

p

Y

p

Y ()f

p

p



41

Modelos Elasto-perfeitamente Plástico e elasto-plástico com endurecimento.

b)

Y0

p

pp

Y0 p

c)

Y0

p

Yp

Y ( )pf

p

pp



42

Modelo Unidimensional

Eatrito Y0

p

1(1)eLp

2(1)pLp

Na Fig. mostra-se o modelo reológico unidimensional. Aplica-se uma força (tensão ), que provoca um alongamento do modelo (l), cujo resultado pode ser aferido pela extensão causada

0

l

l

que comporta uma componente elástica e, uma componente plástica: e p



43

Relação Tensão Deformação

O comportamento do material, isto é, a extensão causada pelo carregamento é elástica até um determinado ponto, denominado limite elástico (e a tensão que o provoca: tensão limite elástico ou tensão de cedência - ), após o qual, o material apresenta deformação plástica. No modelo da figura, o comportamento linear elástico é caracterizado pela constante elástica da mola E traduzindo-se matematicamente pela expressão:

e pE E A deformação plástica inicia-se quando a tensão aplicada atinge o valor da tensão de cedência ( ). O modo como se estabelece esse valor da tensão aplicada, de modo a compará-lo com a tensão de cedência, denomina-se critério de cedência. Na modelo considerado, a tensão de cedência corresponde ao atrito entre as placas.

Y0

Y0



44

Variação da Tensão de Cedência

Atingida a tensão de cedência, este valor pode, ou não, manter-se constante com o aumento de deformação. Se esse valor não depender do aumento da extensão plástica, diz-se que o material tem um comportamento perfeitamente plástico. Se, pelo contrário, o valor da tensão de cedência, aumentar com o crescimento da extensão plástica, diz-se que o material está a sofrer um encruamento.



45

Tensor das Deformações

Começa-se por considerar formulações elasto-plásticas considerando pequenas deformações. De acordo com a teoria da elasticidade para as pequenas deformações, tem-se o Tensor das Deformações definido do seguinte modo

T12 ε u u us

1, ,2 ij i j j iu u

em que é o gradiente dos deslocamentos, e a sua parte simétrica.

u us



46

Lei da decomposiçãoMultiplicativa

2 1 1X X u 3 2 1 2X X u X u

2 1 1 11,1

1 1 1

1X X u u

FX X X

3 21,1

2 2 2

1X X u u

FX X X

31,1

1

XF

X

3 321,1 1,1 1,1

1 2 1

X XXF F F

X X X



47

Decomposição Aditiva

3 1 2

1 1

X X u

X X Extensão Total

2 1 1

1 1

X X u

X X

3 2

1 1

X X u

X X

3 2 3 12 1 2

1 1 1 1

X X X XX X u

X X X X



48

Gradiente de Deformação e Tensor das Deformações

Fazendo coincidir a primeira fase com o domínio elástico, vindo a segunda fase a ocorrer no domínio plástico, ter-se-á formalmente para o Tensor das Deformações , e para o gradiente de deformação, F

e pF F F

, , ,e p

i j i j j iF F F

e p ε ε ε

e pij ij ij



49

Comportamento Elasto-plástico

Numa formulação elasto-plástica envolvendo pequenas deformações, decompoe-se o Tensor das Deformações numa componente elástica e, numa componente plástica, pelo que se torna conveniente estabelecer modelos matemáticos, que traduzam os fenómenos físicos da elasticidade e da plasticidade, separadamente.O comportamento elástico é descrito pela teoria da elasticidade, importando agora definir o modelo matemático para a componente plástica das deformações. Com esse objectivo, três aspectos devem ser considerados:

i) Um critério de cedência indicando o nível de tensão, em termos do tensor das tensões, de modo a analisar-se o início da plastificação;

ii)Uma lei de encruamento, descrevendo, se e como, o critério de cedência depende do grau de deformação plástica, depois de se iniciar a plastificação;

iii)Uma regra de escoamento, definindo a relação entre tensão e deformação pós-plastificação, comportando a deformação total, as componentes elástica e plástica.



50

Funções de Cedência

O aparecimento do comportamento plástico é condicionado por um critério de cedência, que na sua forma mais geral, pode ser formulado do seguinte modo , 0 σ αFem que ´ indica um conjunto de variáveis de endurecimento e

é o tensor das tensões. Para um material isotrópico, em que a cedência plástica dependa unicamente da grandeza das tensões principais, e nunca das suas orientações no espaço das tensões, a

função escalar F torna-se apenas dependente de um valor escalar, conhecido por parâmetro de encruamento –

Y, 0 σ σF f em que f () é a função de cedência



51

Espaço de Westergaard

A função de cedência pode tomar várias formas analíticas com representação geométrica no espaço distintas. Tratando-se de uma função de tensão pode assumir-se como espaço para a respectiva representação geométrica, o espaço de tensões de Westergaard [3], em que três eixos mutuamente ortogonais são coincidentes com as direcções principais de tensão



52

Considere-se um ponto material com um estado de tensão representado pelo ponto P e

resultante de um incremento traduzido pelo vector ��OP . Este vector é decomposto num

vector com a direcção OO ( ��OP ), que coincide com o eixo em que as três tensões

principais tomam o mesmo valor, e num outro cuja linha de acção se encontra sobre o

plano normal a OO ( ��OP ). No caso de se admitir que a pressão hidrostática não tem

qualquer efeito na cedência do material, esta dependerá somente da intensidade, direcção e

sentido do vector ��OP , ou seja, das tensões de desvio

Admitindo que a função de cedência é independente do referencial escolhido dimn , é então possível expressá-la em função dos três invariantes das tensões:

1 tr iiI σ

21 12 2 2tr ij jiI σ

31 13 3 3tr ij jk kiI σ



53

Invariantes das Tensões de Desvio

Com base em observações experimentais, é possível concluir que a deformação plástica, ou seja, a função de cedência dos metais, não depende da pressão hidrostática, p

Consequentemente, a partir da definição das tensões de desvio

123dev tr s σ σ σ I

13ij ij kk ijs

a função de cedência apenas depende do segundo e terceiro invariantes das tensões de desvio:

21 12 2 2tr ij jiJ s s s 31 1

3 3 3tr ij jk kiJ s s s s

Com base nestes dois invariantes é possível estabelecer um outro, cuja interpretação geométrica se verá adiante 3

1 3

32

31 π πsen ; ,

3 6 62

J

J



54

Projecção de duas superfícies de cedência no plano do desviador.

Na figura encontram-se representadas duas superfícies de cedência: uma corresponde, no espaço das tensões principais, a um cilindro; outra, no mesmo espaço, corresponde a um prisma. O plano de corte dos objectos geométricos, e que coincide com o plano do papel designa-se plano do desviador.

Outra forma de representação geométrica da superfície de cedência é através das projecções ortogonais dos eixos das tensões no plano normal a

OO.



55

Função de Cedência

Y, 0F f σ σAtendendo a pode-se concluir que, se num determinado ponto de um corpo material deformável, se verificar a inequação Y( ) ( )f σ , o corpo nesse ponto apresentará um comportamento

elástico

Se, por outro lado, se verificar a igualdade Y( ) ( )f σ , o comportamento será plástico.

Atingido este estado, o comportamento subsequente desse ponto material, será condicionado pela variação de f relativamente a σ , T

d df

f

em que f é um vector normal à superfície de cedência



56

Condição de ortogonalidade no espaço das tensões 1-2

f

1

f

2

f

2

1

T

d df

f



57

Condição de ortogonalidade no espaço das tensões 1-2

De um modo sucinto, pode-se concluir o seguinte:

Se df < 0, indica que se está perante uma situação de descarregamento elástico. O estado de tensão situa-se no interior da superfície de cedência, retomando o material, um comportamento elástico;

Se df = 0, indica que o estado de tensão atingiu a superfície de cedência, o que corresponde a um regime plástico, se o material apresentar comportamento perfeitamente plástico ( constante);

Se df > 0, indica que o estado de tensão se mantém sobre a superfície de cedência, não se mantendo esta constante. É o que acontece no comportamento dum material com encruamento.



58

Critério da Tensão Principal Máxima

1 Y, σF

1 22 Y3

2, sen π

3 3 σ

IF J

Ou em termos dos invariantes



59

Critério de Tresca

Este critério, postulado por Tresca em 1864 , baseado em resultados experimentais, admite por hipótese, que a deformação plástica num ponto material, ocorre sempre que a tensão tangencial máxima

atinge um determinado valor limite. 1 2 Y Y

1 3 Y Y

2 3 Y Y em que Y() é uma função característica do material obtida com base no ensaio de tracção uniaxial, e que depende da deformação plástica. 1 3 Y 1 2 3, paraF σ



60

Representação gráfica das superfícies de

cedência de Tresca e von Mises von Mises Tresca

Plano doDesviador

1 2 3

3

2

1

Graficamente, as expressões anteriores definem, no espaço das tensões principais, um prisma hexagonal regular e infinitamente longo, cujo eixo é perpendicular ao plano do desviador, , representado pela equação

1 2 3 0

2 Y, 2cosF J σ

Função de Tresca em Termos dos Invariantes



61

Critério de Mohr-CoulombPirâmide Hexagonal

O critério de Mohr-Coulomb é utilizado para representar o comportamento dos materiais granulosos dotados de atrito interno, tendo-se no entanto verificado que estes materiais atingem em geral um estado de cedência plástica à tracção antes de se ter atingido a superfície de Mohr-Coulomb.

1

22

1 2 1 3

1 1, 1 tang tang

2F c

c

σ

Com o objectivo de ter em conta estes resultados, Prandtl propôs em 1921 uma superfície de cedência obtida a partir da de Mohr por substituição do vértice da pirâmide por uma superfície parabólica, conhecida por superfície de cedência de Mohr-Prandtl e que se pode representar matematicamente pela seguinte função:

1 3 1 3

1 1, cos sen

2 2F c

σ



62

Energia de Deformação Elástica por unidade de Volume

0

1

2 ij ijU

m

1

3 ii dmij ij ij

mm 3k

Dilatação média

d

2ij

ij

s

Deformação de Desvio

m

2 3ij

ij ij

s

k

0 m

1 1 1

2 2 3

ij ij ijU s

k

2

0 m

1 1

12 2 ij ijU s s

k

2

0 2 m

1 1

2 2 U J

k



63

Critério de Beltrami

Beltrami apresentou em 1885 um critério de cedência que estabelece para o início da deformação plástica o estado de tensão que corresponde a um valor

crítico da energia de deformação elástica por unidade de volume

22 m 0

1 1,

2 2 criticoF J U

k

σ

2 2Y Y

0 6 18criticoU

k

Este valor crítico pode ser obtido para uma estado de tensão uniaxial, resultante do ensaio de tracção:

2 22 m Y

1 1 1 1,

2 2 6 18

σF J

k k

ou

No espaço de Westergaard esta condição de cedência representa-se por uma superfície elíptica com simetria circular em relação ao eixo hidrostático.



64

Critério de von Mises

Von Mises formulou um critério de cedência em 1913, sugerindo que a cedência ocorre quando o segundo invariante das tensões de desvio atinge

um valor crítico: 12 2

0J

em que , dependente do parâmetro de endurecimento () é o raio da superfície de cedência.

( )

2= 3 = 3 2 : = 3 2 ij ijJ s s s s

Y- = 0



65

Representação das projecções das superfícies de

Tresca e de von Mises.

von Mises Tresca(J2=constante) (máx=constante)

3

21

2 3-

1 3-



66

Interpretação do Critério de von Mises

Existem duas interpretações físicas possíveis para o critério de von Mises. Uma, dada por Nadai (em 1937), que introduziu o conceito de tensão de corte octaédrica, , que é a tensão de corte nos planos do octaedro regular, cujos vértices coincidem com os eixos principais de inércia. Outra interpretação, dada por Hencky (em 1924), mostra que a cedência ocorre quando a energia elástica de distorção atinge um valor crítico.

2= 2 3oct J



67

Critério de Drucker-Prager(cone de revolução)

Ainda para aplicação ao comportamento de materiais granulosos dotados de atrito interno existe uma outra função de cedência utilizada com alguma frequência e que corresponde à superfície de cedência de Drucker-Prager

cuja expressão matemática é a seguinte

m 23 0 F J k

em que os coeficientes e são constantes do material e que dependem do ângulo de atrito interno () e da coesão (c):

k

2 sen

3 3 sen

6 cos

3 3 sen

ck



68

Critério de Green

Para materiais com fendas interiores ou materiais porosos, Green apresentou uma superfície de cedência que é função do coeficiente de porosidade do material

4

3

22

3 223m 2 Y2 3 1

ln 3

F J

em que

é o coeficiente de porosidade sendo definido do seguinte modo

volume de vazios

volume total



69

Regra de Encruamento

A regra do encruamento estabelece as condições para que um novo escoamento plástico possa ocorrer, depois de se ter atingido o estado plástico do material. Esta situação verifica-se em virtude da superfície de cedência poder sofrer contínuas alterações à medida

que se dá o escoamento plástico

, 0F σ αNa expressão

introduziu-se um conjunto de variáveis de endurecimento contidas num vector, α . Basicamente, existem dois tipos de aproximações para a dependência de qualquer variável interna de endurecimento i α , (1 endurecimentoi n )



70

Variáveis de Encruamento

i) Se uma variável de endurecimento é assumida como dependente da deformação plástica efectiva, isto é, i i= ( )p , diz-se que ocorre deformação com encruamento, em

que a deformação plástica efectiva, p , é definida do seguinte modo

2 23 3:p p p p p

ij ij ε ε

Esta deformação plástica efectiva «reflecte a história» do processo de deformação plástica, na medida em que estabelece que o endurecimento é determinado por cada parcela infinitesimal de deformação plástica, e não simplesmente pelo seu estado inicial e final:

1 223

0 0

dd d d d

d

pijt p

p p p pij ijt

t



71

Variáveis de Encruamento

ii) A segunda possibilidade designa-se por endurecimento energético, e relaciona a variável de endurecimento com o trabalho plástico total, i i= ( )pW , em que

0 0

: d d

ppij

p p pij ijW

σ ε

Segundo Nayak e Zienckiewicz para o caso dos materiais em que seja possível aplicar o critério de von Mises, os dois modelos de endurecimento descritos são equivalentes, ou seja, as curvas obtidas no ensaio de tracção conduzem ao mesmo nível de encruamento.



72

Modelos de Encruamento (I)

Se a superfície de cedência subsequente, provocada pelo incremento de deformação plástica, é exclusivamente uma expansão uniforme da superfície de cedência precedente, o modelo de encruamento é designado de isotrópico

Superfíciede cedênciacorrente

Superfície decedência inicial

Encruamento isotrópico para o caso bidimensional



73

Modelos de Encruamento (II)

Se a superfície de cedência subsequente, mantiver a mesma forma, mas simplesmente for transladada no espaço das tensões como um corpo rígido, o tipo de encruamento diz-se cinemático

Superfíciede cedênciacorrente

Superfície decedência inicial

Encruamento Cinemático para o caso Bidimensional

Este modo de encruamento, apresentado inicialmente por Prager, surgiu com o objectivo de modelar um fenómeno bem visível experimentalmente, o efeito de Bauschinger, muito corrente em materiais sujeitos a regimes de carregamento cíclico



74

Modelos de Encruamento (III)

Endurecimento distorcional, em que se admite a expansão, a translação e a rotação da superfície de cedência, ou inclusive a mudança de forma

Encruamento Distorcional para o caso Bidimensional



75

Variáveis no Encruamento Isotrópico e cinemático

Com o objectivo de modelar matematicamente os dois primeiros modos de encruamento, admite-se que a escolha das variáveis de endurecimento no vector α , pode ser a seguinte:

T ,p b p α σ

em que, o valor escalar da deformação plástica efectiva p é suficiente para a definição de qualquer tipo de endurecimento isotrópico, enquanto que o tensor, bσ , usualmente

conhecido por tensor das tensões de recuperação é necessário para a descrição do endurecimento cinemático. A tensão de recuperação observa-se graficamente pela translação no espaço das tensões do centro da superfície de cedência, tendo portanto a mesma dimensão do tensor das tensões.



76

Função de CedênciaEncruamento Isotrópico e Cinemático

Y, 0b p pF f σ α σ σ

Y Y0ph

Yp pd H d

em que, H é a derivada da função geral h, relativamente a p .

Y Y0pH Y Y0 0 1 exp pH H n

2

3b p p

k

Fd K d

σ

σ

k b σ σ σ

Encruamento Cinemático

Encruamento Isotropico

com



77

Curva tensão-deformação de um ensaio de tracção uniaxial

Tendo em atenção novamente o ensaio de tracção, mostra-se na Fig. uma curva típica de um ensaio de tracção dum provete metálico

ET

E

Y0

d

d

d e d p

A curva resulta das medidas de e , em que o índice 1 indica a direcção para a primeira direcção principal

1 1



78

Ensaio de Tracção

No ensaio de tracção tem-se, por hipótese, 1 0 e 2 3 0 , vindo a tensão

média m 13 3ii . As tensões de desvio segundo as direcções principais são:

2 11 1 2 3 13 3; s s s

Utilizando o critério de von Mises e por conseguinte, substituindo estas tensões de desvio na expressão para o cálculo da tensão efectiva 3

2 1 1 2 2 3 3 1s s s s s s

De modo análogo para a deformação plástica efectiva, em que se assume a incompressibilidade do material (=0,5), e consequentemente, as outras duas deformações plásticas principais são 2 3 1-0,5p p p , resultando:

23 1 1 2 2 3 3 1

p p p p p p p p



79

Ensaio de Tracção

Então, para que a expressão que relaciona - p , seja válida para 1 1- p , pode-se

relacionar facilmente 1 com 1p , e assumir essa relação como válida para o caso geral

- p , isto é 1

1

pp p

ddH

d d

A tangente local à curva tensão-deformação, TE , calcula-se a partir da curvatura obtida no

ensaio: 1T

1

ddE =

d d

O módulo de encruamento pode-se obter, em função desta tangente, do seguinte modo:

1

1 1 1 T T

1 T1 1 1 1

1 T1

111

pp e e

d

d d d E EH

d E E Ed d d dd Ed



80

Teorias do Escoamento Plástico

No estudo do comportamento dos materiais em regime plástico existem duas formulações em que se baseiam as relações constitutivas:

Teoria incremental - admite a influência da trajectória de carregamento e portanto relaciona o tensor das tensões aos incrementos de deformação plástica;

Teoria da deformação total - relaciona o tensor das tensões com o tensor das extensões.

A primeira formulação (teoria incremental) serve de base à denominada teoria do escoamento plástico, enquanto que a segunda (teoria da deformação total) suporta a teoria da deformação plástica. De uma forma geral, o estado de deformação plástico depende da trajectória do carregamento, coincidindo ambas as teorias para o caso em que o carregamento apresenta uma trajectória linear. Todavia, a teoria da deformação plástica, embora ignore a influência da trajectória de carregamento, é frequentemente utilizada, pois a sua aplicação simplifica consideravelmente a solução de problemas em plasticidade



81

Postulado de Drucker

0p 0

0

0

0

0p

0

0

Ilustração para um modelo uniaxial

0p processo de encruamento

0p material perfeitamente plástico

0p processo de amaciamento



82


Para um ponto material submetido a um estado de tensão e a um estado de deformação plástico p , o produto p corresponde, em termos dimensionais, à energia por unidade de volume. Considere-se então um estado de tensão uniaxial cujo valor é a que corresponde a deformação plástica p . Admita-se um incremento de carga, que conduz a um incremento de tensão (d), provocando um incremento de deformação d, o qual pode ser decomposto numa componente elástica d e e, numa plástica d p (sendo portanto o incremento total de deformação: d d de p ). Seguidamente procede-se ao descarregamento desse incremento de carga. O trabalho efectuado pelo incremento de carga vale: d d d de pd Admita-se agora um processo cíclico de carregamento-descarregamento, partindo-se do mesmo estado inicial de tensão () e deformação plástica ( p ). O trabalho desenvolvido pelo sistema que actua sobre o sólido neste ciclo de carregamento-descarregamento depende apenas da parcela plástica do incremento de deformação: d d p



83


Por outro lado, e para os referidos incrementos de tensão e deformação, verifica-se que o trabalho correspondente à parcela elástica do estado de deformação ( d d e ) é sempre positivo, enquanto que o trabalho correspondente à parcela plástica do estado de deformação pode tomar um valor maior ou igual a zero. Desta forma, para o estado de deformação total resulta que: d d 0 . Assim, Drucker definiu que um material é susceptível de encruar com o incremento do estado de deformação plástica se, para um carregamento incremental o trabalho desenvolvido for positivo e, no processo de carregamento–descarregamento o trabalho realizado for não negativo. A definição acabada de descrever é conhecida na literatura como o postulado de Drucker, vindo para um estado geral de tensão/deformação d d 0ij ij

d d 0pij ij



84


O postulado de Drucker acabado de descrever e em que um incremento de carga provoca um incremento infinitesimal de tensão, também pode ser estendido para um incremento de tensão finito. Em particular, para o caso em que o estado de tensão inicial ( *

ij ) se encontra no interior da superfície de cedência e o estado de tensão final ( ij ) está

sobre a superfície de cedência. Admitindo então um incremento de carga que conduza o estado de tensão de *

ij para o estado de tensão ij e subsequentemente um

descarregamento que conduza novamente o estado de tensão para *ij , o postulado de

Drucker implica a seguinte relação:

* d 0pij ij ij



85

Postulado da Dissipação Plástica Máxima

* d 0p

Para um estado de Tensão uniaxial pode escrever-se

Esta desigualdade representa a propriedade de que a variação de extensão é positiva se o valor do estado de tensão final não for inferior ao estado de tensão inicial elástico. Esta interpretação constitui o postulado da dissipação plástica máxima e que, segundo Lubliner foi proposto independentemente por von Mises em 1928, por Taylor em 1947 e por Hill em 1948. Utilizando uma abordagem em termos do espaço das deformações, tem-se um postulado análogo devido a Ilyushin. Esta expressão tem importantes consequências na teoria da plasticidade. Considere-se por exemplo, que a superfície de cedência é diferenciável em todos os seus pontos, como ocorre na superfície correspondente ao critério de von Mises.

Desta forma, num qualquer ponto pertencente à superfície de cedência é possível definir um plano tangente à superfície e um vector normal a esse plano * d 0p



86

Normalidade do vector incremento de deformação

Para que o produto interno possa ser válido para um estado de tensão elástico inicial arbitrário, o vector correspondente ao incremento de deformação plástica , deve ser normal ao plano tangente à superfície e com o sentido a apontar para fora da superfície. A descrição acabada de descrever é conhecida como a

regra da normalidade



87

Convexidade da superfície de cedência

No entanto, como se pode verificar na se o estado de tensão inicial se encontrar do outro lado do plano tangente a inequação é violada. Deste modo, toda a região elástica se encontra do mesmo lado do plano tangente, pelo que se pode concluir que a superfície de cedência é convexa.

A regra da normalidade, bem como a conclusão acerca da convexidade da superfície de cedência são consideradas propriedades consequentes do postulado da dissipação plástica máxima.



88

Potencial Plástico e Regra de Escoamento

Na teoria do escoamento plástico relaciona-se incrementos infinitesimais de tensão com incrementos infinitesimais de deformação. O incremento infinitesimal de deformação total dε é igual à soma dos incrementos infinitesimais correspondentes a uma componente elástica d eε e a uma componente plástica

d d de p ε ε εd d de p

ij ij ij Lévy (1871) e mais tarde von Mises (1913) propuseram que o incremento total de

extensão se relaciona com o respectivo estado de tensão da seguinte forma: d dε s

d d ijs em que é um coeficiente de proporcionalidade e que pode eventualmente variar ao longo do processo de deformação plástica. Naturalmente, que a expressão só seria aplicável em materiais cujo processo de deformação não inclua componente elástica (Hill denomina-os de materiais fictícios



89

Potencial Plástico e Regra de Escoamento

No entanto, admita-se a aplicação de equação anterior a um material cujo processo deformação inclua também componente elástica. Para esta situação suponha-se que à componente elástica do incremento de deformação é aplicável a lei de Hooke e que à restante parte do incremento de deformação (componente plástica) se aplica a expressão anterior. Deste modo, o incremento infinitesimal de extensão total pode então ser calculado por intermédio da seguinte expressão:

m

1 3d d d d - d

2 1e p

ij ij ij ij ij ijs

O trabalho de deformação correspondente ao incremento de deformação plástica vem:

m 2d d d d d 2dp pij ij ij ij ij ij ij ij ijW s s s s s J



90

m 2d d d d d 2dp pij ij ij ij ij ij ij ij ijW s s s s s J

Trabalho de Deformação Plástica

Donde 2

2

d 3dd

2 2

p pW W

J

m

1 3d d d d - d

2 1e p

ij ij ij ij ij ijs

Tendo em conta

Obtém-se

m

1 3 3dd d

2 1 2

p

ij ij ij ij

Ws



91

Admitindo que o incremento de deformação elástica é desprezável, quando comparado com o incremento de deformação total, pode-se calcular o incremento de deformação total do seguinte modo d dij ijs

12

dd xx xx yy zz

12

dd yy yy zz xx

12

dd zz zz xx yy

3 dd

2xy xy

3 dd

2xz xz

3 dd

2yz yz



92

A lei do escoamento plástico pode ser obtida por uma outra via, em que se considera que o incremento de deformação plástica deriva de uma função potencial. Entende-se por função do potencial plástico ( )Q σ a função escalar do tensor das tensões a partir da qual os incrementos de deformação plástica podem ser determinados por derivação parcial em ordem às componentes do tensor das tensões

dd dp Q

ε

σ

d dpij

ij

Q

em que o escalar d, é uma constante de proporcionalidade maior que zero, denominado multiplicador plástico.

Do mesmo modo, como se fez na validação do incremento da tensão de recuperação, assume-se também aqui uma lei da plasticidade associativa, isto é, a função de cedência coincide com o potencial plástico, Q F .



93

Lei Associativa e Lei não Associativa

F Q

2

1

F Q

Q

F

2

1

F

Q

Note-se que, para outros materiais, como por exemplo, em solos, a aplicação de regras de escoamento plástico fazendo uso da lei não associativa em simulações numéricas, conduz a resultados mais realistas.



94

Plasticidade Anisotrópica

RDTD 1

23

Rolo

Direcções de Anisotropia

Em processos tecnológicos relacionados com a conformação em chapa, considere-se a direcção de rolamento (RD) e a direcção transversal à direcção de rolamento, ou simplesmente direcção

transversal (TD). As propriedades Mecânicas podem ser distintas.



95

Critério de Hill

2 2 2

2 3 1 3 1 2F G H

Tensão Equivalente

em que F,G, e H são constantes do material que caracterizam a anisotropia

Para um estado uniaxial de tensão, correspondente ao ensaio de tracção, a direcção da tensão coincide com a direcção principal 1 (sendo o estado de tensão representado por

1 0 , 2 3 0 ), obtendo-se:

2 2 2 20 0 0 0F G H G H

Igualando a expressão inicial ao segundo membro da segunda obtém-se a tensão equivalente para o critério de cedência de Hill (em função das tensões principais)

2 2 222 3 1 3 1 2

F G H

G H G H G H



96

Incremento de Deformação Plástica

Fazendo uso da lei associativa, tomando portanto para potencial plástico a própria função de cedência e utilizando a expressão anterior para a regra de escoamento, obtém-se para os incrementos de deformação plástica (segundo as três direcções principais):

11

d dp

2

2

d dp

3

3

d dp

Resultando para uma estrutura tipo casca e tomando posteriormente 3 0 1 1 2

1

dd p G H

G H

2 2 12

dd p F H

G H

1 2

3

dd p G F

G H



97

Provetes para ensaios Experimentais

Os valores associados às constantes do material F,G, e H terão que ser determinados experimentalmente. sendo as constantes determinadas de forma indirecta, por recorrência à condição de normalidade, e em que são determinados os cocientes entre extensões obtidas em ensaios de tracção. Para o efeito são efectuados provetes a partir da própria chapa como se mostra na Fig.

RDTD

1

2

3

B A



98

Coeficientes de Anisotropia

Tomando um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção RD (provete A na Fig.), define-se coeficiente de anisotropia (R) segundo a direcção RD como sendo:

22

33

d d

d d

p pTD

RD p pesp

R

Para um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção TD (provete B), coeficiente de anisotropia segundo a direcção TD vale:

11

33

d d

d d

p pRD

TD p pesp

R



99

Coeficientes de Anisotropia

Para uma direcção arbitrária, definida pelo ângulo , o coeficiente de anisotropia resultará do cociente entre a componente do incremento de deformação d p

, ocorrida no plano da

chapa e medida na direcção perpendicular à direcção de tracção, e a componente do incremento de deformação verificada na direcção da espessura ( 33d p )

33

d

d

p

pR

Considerando as componentes do incremento de deformação estabelecidas no referencial definido pelo eixos RD, TD e 3, obtém-se para o coeficiente de anisotropia R

1 111 22 11 22 122 2

33

d d d -d cos 2 d sin 2

d

p p p p p

pR



100

Coeficientes de Hill

A relação entre os coeficientes de anisotropia, e , e as constantes do material presentes no critério de Hill (F,G e H) pode ser obtida com base no ensaio de tracção e recorrendo às expressões que definem as deformações plásticas. Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado (por aplicação de uma tensão de tracção ) segundo a direcção RD tem-se:

RDR TDR

1 2 3 0

2 2 1220 0

33 33 2 1

d d

d d

p pTDp p

F H HR R

F G G



101

Coeficientes de Hill

Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado segundo a direcção TD tem-se: 2 , 1 3 0

11 1 1 290 90

33 33 2 1

d d

d d

p pRDp p

G H H HR R

F G F

É ainda usual considerar-se o caso em que o provete é executado de modo a que a aplicação da tensão de tracção se efectue segundo uma direcção a 45º com a direcção de laminagem 45 45R R .



102

Modelo Constitutivo Elasto-Plástico

Y, 0p pF f σ σ

; Q

F Q

a a

σ σ = ; =ij Q ij

ij ij

F Qa a

2 23 3= : =Q Q Q Q Qij ij

a a aa a

Gradientes da função de cedência e do potencial plástico,

d = dpQa

d d de p ε ε ε d d de pij ij ij

14d : d d Q ε C σ a -1d = d dij ijkl kl Q ij

C a



103

Modelo Constitutivo Elasto-plástico

Estado de Tensão 4d : d d Q σ C ε a

d = d -dij ijkl kl Q klC a

d : d d 0pF H a σ d = d - = 0pij ijF a H d

1d : dp

H

a σ

1d : dQa

H

a σ

4

1d : : d dQ Qa

H

a C ε a 4 4

1 1d : : : : dQ Qa

H H

a C a a C ε



104

Modelo Constitutivo Elasto-plástico

14 4

4 4

: : d : : dd

: : : :H

Q Q Q Q

HH a H a

a C ε a C ε

a C a a C a d

d ij ijmn mn

Q ij ijmn Q mn

a C

H a a C a

4d : depσ C ε 4 44 4

4

: := -

+ : :Qep

Q Qa H

C a a CC C

a C a

= -ijmn Q op opklep mn

ijkl ijkl

Q qr qrst Q st

C a a CC C

a H a C a

14d : d d Q ε C σ a

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Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade 1 Sumário e Objectivos Sumário: Introdução à Teoria da Plasticidade. Ensaio de Tracção