MA093 - Matematica basica 2 - Segundo projeto

Levantamento topografico

Francisco A. M. Gomes

Outubro de 2018

1 Descricao do projeto

Nessa atividade, vamos usar a lei dos senos e a lei dos cossenos para desenhar um mapatopografico, e para calcular a area e o perımetro de uma regiao delimitada em um terreno.Para tanto, vamos supor que as medidas do terreno tenham sido coletadas com o auxılio de umteodolito, que e um aparelho usado em topografia.

O teodolito e composto, basicamente, por um telescopio que pode ser girado em torno dedois eixos perpendiculares, um horizontal e outro vertical. Usando o telescopio para mirarpontos diferentes, e medindo os angulos entre eles, podemos determinar as coordenadas noplano e a altura desses pontos. Apesar de existirem teodolitos eletronicos sofisticados, um bomteodolito otico-mecanico, como o que e mostrado na figura abaixo, e suficiente para que seobtenha dados precisos.

Figura 1: Teodolito otico-mecanico.

2 Determinacao das medidas do terreno

A regiao da UNICAMP selecionada para o projeto e mostrada na Figura 2. Nela, foram cravadascinco estacas que representam os vertices do polıgono a ser demarcado. Como o terreno temdeclividade suave e nao possui acidentes, trabalharemos apenas com esses cinco vertices.

Figura 2: Regiao que contem o que contem o terreno a ser mapeado.

A determinacao precisa das coordenadas de pontos topograficos envolve algumas tecnicasque fogem ao escopo desse projeto. Assim, fizemos apenas uma medicao simples e rapida deangulos, mantendo o teodolito em uma posicao fixa proxima ao centro da regiao a ser mapeada,de modo que, a partir desse ponto, pudessemos ver todas as estacas.

Cada observacao feita com o teodolito e chamada visada. Os dados fornecidos pelo teodolitosao suficientes par que se calcule os angulos θ1, . . . , θ5 entre as visadas, as distancias d1, . . . , d5entre o aparelho e as estacas, e os lados do polıgono, p1, . . . , p5. A Figura 3 resume as medidashorizontais que podem ser determinadas.

2.1 Determinacao dos angulos θ1, . . . , θ5

A primeira etapa necessaria a correta locacao dos pontos em um mapa e a a determinacao dosangulos horizontais θ1, . . . , θ5 mostrados na Figura 3. Seguindo uma estrategia muito simplespara a obtencao desse angulos, usamos uma bussola para determinar o norte magnetico daTerra, que define a direcao a partir da qual o angulo horizontal do teodolito sera medido (ouseja, a direcao correspondente a 0◦).

Em seguida, medimos o azimute, zi, de cada uma das estacas i = 1, . . . , 5. Em topografia,azimute e o angulo que uma determinada visada faz com o norte. Esse angulo e medido nosentido horario, de modo que o azimute de um ponto perfeitamente a leste e 90◦, enquanto umponto perfeitamente a oeste tem azimute 270◦.

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Figura 3: Medidas horizontais a serem determinadas.

Os angulos θ1, . . . , θ5 desejados podem ser obtidos pela diferenca dos azimutes. A Figura4 mostra as estacas i e i + 1, bem como seus azimutes. Nessa figura, o angulo θi e dadosimplesmente por θi = zi+1 − zi.

Figura 4: Azimutes de duas estacas sucessivas.

Apesar de nao ser muito precisa, essa estrategia exige um numero pequeno de visadas epermite que incorporemos facilmente o norte magnetico da Terra ao nosso mapa. Alem disso,ela garante que os angulos θ1, . . . , θ5 somem exatamente 360◦.

2.2 Determinacao das distancias d1, . . . , d5 e do desnıvel do terreno

A determinacao das distancias d1, . . . , d5 e um pouco mais complexa, exigindo nao so algumasmedicoes com o teodolito, como tambem uma boa dose de trigonometria. Usando os mesmosdados, tambem e possıvel calcular o desnıvel hi entre a posicao do teodolito e a estaca.

O topografo calcula distancias com o auxılio de uma mira topografica, que nada mais e queuma grande regua, que costuma ser telescopica, ou dobravel, para permitir seu transporte. AFigura 5 reproduz uma parte de uma mira que, quando aberta, atinge 4 m de comprimento. Ostracos pretos a esquerda da escala tem 1 cm de altura. Os pequenos cırculos vermelhos sobre

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um numero indicam o numero inteiro de metros contados a partir do solo. Ja o numero exibidona mira indica os decımetros (ou seja, as dezenas de centımetros) contados a partir da ultimamedida inteira em metros. Para facilitar a interpretacao dessa notacao, o intervalo entre 3,70e 3,80 m esta destacado na figura.

Figura 5: Fragmento de mira topografica.

Para calcular a distancia di entre o teodolito e a estaca i e necessario mirar dois pontos rie si diferentes da regua, e fazer duas leituras αi e βi do angulo zenital, que e o angulo medidoem relacao a semirreta vertical que parte do centro do teodolito em direcao ao zenite, o pontoda esfera celeste exatamente acima do observador (ou do teodolito, em nosso caso).

A Figura 6 mostra os quatro valores lidos no teodolito – ri, αi, si e βi–, bem como as medidasverticais que queremos determinar – di e hi. O desenho da esquerda corresponde a uma estacasituada em um ponto mais alto que o teodolito, enquanto a imagem da direita mostra umaestaca abaixo do nıvel do teodolito.

(a) Angulo zenital menor que 90◦ (b) Angulo zenital maior que 90◦

Figura 6: Medidas verticais a serem lidas e determinadas.

O calculo de di e hi e feito de forma indireta. Primeiramente, aplicamos a lei dos senos paraobter a distancia qi em funcao dos angulos zenitais αi e βi e da diferenca entre os valores lidos

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na regua, vi = ri − si. O triangulo usado nesse calculo e reproduzido na Figura 7.

qisen(αi)

=vi

sen (βi − αi).

Figura 7: Triangulo usado para a determinacao de qi atraves da lei dos senos.

De posse dos valores de qi, si, t (altura do teodolito) e do angulo βi, e possıvel determinar odesnıvel hi entre o ponto no qual esta localizado o teodolito e a estaca i, bem como a distanciadi entre o teodolito e a estaca. Para tanto, usa-se os triangulos mostrados na Figura 8.

(a) Angulo zenital menor que 90◦ (b) Angulo zenital maior que 90◦

Figura 8: Triangulos usados para determinar di e hi.

Vejamos, inicialmente, como determinar di. Da Figura 8(a), concluımos que, para βi ≤ 90◦,

di = qi · sen(βi).

Por outro lado, a Figura 8(b) indica que, para βi > 90◦,

di = qi · sen (180◦ − βi) .

Felizmente, como sen(180◦−βi) = sen(βi), podemos escrever uma formula unica para a obtencaode di:

di = qi · sen(βi).

Passemos, agora, a determinacao de hi. Se βi ≤ 90◦, a Figura 8(a) nos fornece

hi = t+ wi − si = t+ qi · cos (βi) − si.

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Ja se βi > 90◦, a Figura 8(b) nos permite escrever

hi = t− wi − si = t− qi · cos (180◦ − βi) − si.

Lembrando, entao, que cos(180◦ − βi) = −cos(βi), podemos reunir as duas formulas acima emuma so, escrevendo simplesmente

hi = t + qi · cos (βi) − si.

Observe, entretanto, que cos(βi) < 0 se βi > 90◦. Dessa forma, hi pode ser negativo, o queindica que ha um declive no terreno, ou seja, que o ponto do terreno em que foi fincada a estacai esta abaixo do nıvel do terreno no qual se encontra o teodolito.

2.3 Determinacao das medidas p1, . . . , p5

Obtidas as distancias d1, . . . , d5, podemos determinar, finalmente, os comprimentos p1, . . . , p5dos lados do polıgono. Isso nos permite, por exemplo, obter o perımetro da regiao, informacaomuito util quando queremos cerca-la.

Para calcular o valor de pi, aplicamos a lei dos cossenos ao triangulo que tem como verticeso teodolito e as estacas i e i + 1 (usando a estaca 1 no calculo de p5). Tomando como base otriangulo apresentado na Figura 9, escrevemos

pi =√d2i + d2i+1 − 2 · di · di+1 · cos(θi).

Figura 9: Triangulo usado para determinar pi.

3 Planilhas do projeto

Agora que voce ja sabe como obter as informacoes necessarias para a elaboracao de um mapatopografico, podemos passar ao problema pratico que sera objeto desse projeto.

Nesse semestre, como nao teremos tempo para efetuar as medidas em campo, suporemosque os dados do levantamento topografico ja foram coletados. Esses dados, obtidos com umteodolito instalado a 1,40 m do chao, sao apresentados na Tabela 1.

A partir da Tabela 1, voce deve criar uma outra tabela que contenha os valores de θi, qi,di, hi e pi, para i = 1, . . . , 5.

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Tabela 1: Dados coletados no campo.

Estaca Azimute Leitura Angulo Leitura Angulo(i) (zi) regua 1 zenital 1 regua 2 zenital 2

(ri) (αi) (si) (βi)1 187,10 3,90 87,54 0,10 89,622 281,70 3,90 84,18 0,10 88,423 18,40 3,90 85,25 0,10 89,644 101,30 3,90 84,82 0,10 87,915 143,90 3,90 85,30 0,10 92,05

4 Confeccao do mapa

Para a confeccao do mapa topografico do terreno, empregamos os valores de zi, di e hi. Omapa pode ser feito a mao ou com o emprego de um programa de computador. Entretanto, asseguintes diretrizes devem ser seguidas:

1. A escala deve ser 1:1000, e deve ser indicada no mapa.

2. O ponto que representa o teodolito deve coincidir com a origem dos eixos coordenados.

3. A direcao do norte magnetico da Terra deve coincidir com o eixo y, e tambem deve sermostrada no mapa.

4. E preciso indicar o comprimento dos lados do terreno.

Um exemplo de mapa (diferente do verdadeiro) e apresentado na Figura 10. Observe queseu mapa nao precisa conter os eixos x e y.

5 Calculo da area e do perımetro do terreno

Como ultima tarefa do projeto, voce deve calcular a area e o perımetro do terreno. O perımetropode ser facilmente obtido a partir das medidas p1, . . . , p5. Ja para a determinacao da area,pode-se somar as areas dos triangulos que tem como vertices o teodolito e duas estacas sucessivas(vide a Figura 3). Para tanto, e preciso lembrar que a area do i-esimo triangulo e dada por

Ai =1

2didi+1sen(θi).

Como alternativa para o calculo da area, pode-se empregar o mesmo procedimento adotadono primeiro projeto, que consiste em aplicar a formula

A =1

2

∣∣∣∣∣6∑

i=1

(xiyi+1 − xi+1yi)

∣∣∣∣∣ ,considerando que (x6, y6) = (x1, y1). Para tanto, e preciso conhecer as coordenadas Cartesianasdos vertices do polıgono, que podem ser extraıdas do mapa ou obtidas usando trigonometria.

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Figura 10: Modelo de mapa do terreno.

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