MACS II 2013/2014 Prof. António Paralta. Livros escolares 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 2 Texto Editores Elisabete Longo Isabel Branco

Matemática Aplicada às

Ciências Sociais

MACS II2013/2014

Prof. António Paralta

2

Livros escolares

2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta

Texto Editores

Elisabete Longo Isabel Branco

3

Carga horária


• Disciplina bienal de componente de formação específica com carga horária semanal distribuída por 3 aulas de 90 minutos cada, isto é, 6 (seis) aulas de 45 minutos.

4


Alunos:

Respeitar as regras do código de conduta;

Respeitar as instruções dos professores e pessoal não docente;

Respeitar os colegas;

Estar com interesse nas aulas;

Promover um bom clima de trabalho e estudo;

Esforçar-se para atingir níveis de excelência;

Preservar os espaços e os equipamentos.

5

Calculadora gráfica


6

Exemplos de Calculadora gráfica


Texas TI - NspireCasio FX – CG

20

7


8

Critérios Específicos de Avaliação de Matemática (Secundário)


Domínios Competências Instrumentos de avaliação Pesos

Cognitivo

Conceitos e procedimentos Raciocínio matemático Resolução de problemas Comunicação matemática

Testes globalizantes 80%

Questões-aula e/ ou Trabalhos de investigação,

com ou sem relatório e/ ou Trabalhos de pesquisa

(por exemplo, Webquests),individuais ou em grupo

15%

Comportamentos, atitudes e valores

Responsabilidade Sociabilidade Participação Autonomia Auto-avaliação

Observação directa (grelhas de registo)

5%

Departamento de Matemática e Ciências Experimentais

9


10


1º Período Nº de aulas1. Modelos Matemáticos

1.1 Modelos de Grafos

Apresentação dos objetivos do capítuloO que é um grafo?Aplicações

1

Trajeto e circuitos eulerianos 4

O problema do carteiro chinêsEulerização de grafos

8

Circuitos hamiltonianosO problema do caixeiro viajante

8

Árvores (árvore abrangente e o algoritmo de Kruskal) 8

Caminho crítico 4

1.2 Modelos populacionais

Conteúdos programáticos

11

Tema 3 Modelos matemáticos – 60 aulas Capítulo 2 Modelos de grafos – 32 aulas

Desenvolver competências para determinar o essencial de uma determinada situação, de modo a desenhar esquemas apropriados a uma boa descrição.

Procurar modelos e esquemas que descrevam situações realistas de pequenas distribuições.

Tomar conhecimento de métodos matemáticos próprios para encontrar soluções de problemas de gestão.

Encontrar estratégias passo-a-passo para obter possíveis soluções.

Descobrir resultados gerais na abordagem de uma situação.

Para cada modelo, procurar esquemas combinatórios (árvores) que permitam calcular pesos totais de caminhos possíveis.

Encontrar algoritmos – decisões passo a passo para encontra resoluções satisfatórias.

Discutir sobre a utilidade e viabilidade económica (e não só) da procura das soluções ótimas. 2013 / 2014 MACS - Prof.

António Paralta

Objetivos

12

Grafos

Königsberg, por volta de 1735, cidade localizada na antiga Prússia (situada em território russo, atualmente tem o nome de Kaliningrado) era, e continua a ser, atravessada pelo rio Pregel.

Ali existiam sete pontes entre duas pequenas ilhas que as ligavam entre si e a cada uma das margens da cidade. As pontes apresentavam uma configuração como podemos observar na figura a seguir .


13

Teoria de Grafos ( 1736)Leonhard Euler (1707 – 1783)


O desafio dos habitantes de Königsberg :

Será possível fazer uma visita a toda a cidade e regressar ao ponto de partida, atravessando cada ponte uma única vez?

14

Teoria de Grafos – Conceitos e Aplicações

Teoria que ajuda a modelar muitas situações da vida do dia a dia:

Ruas de uma cidade e seus respetivos cruzamentos; Ruas de sentido único e de dois sentidos; Percursos (ferroviários, aéreos, marítimos,

rodoviários, etc); Canalizações (água e gás); Linhas de telefone e internet.


15

Noções básicas

Grafo – é uma representação esquemática constituída por conjuntos finitos de pontos, usualmente representados por V (vértices ou nós), e por segmentos, usualmente representados por A (arestas ou arcos), que unem os pontos.

Grafo conexo – se existe sempre uma sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus vértices.

Digrafo (ou grafo orientado) é um grafo em que as arestas têm orientações (sentidos) definidas.

Grafo completo – é um grafo em que cada um dos vértices é adjacente a todos os outros.


16

Grafos


Grafo conexo

Digrafos

17


18

Noções básicas


• Grau ou valência de um vértice é o número de arestas que nele concorrem.

Grau par - se nele concorre um número par de arestasGrau ímpar - se nele concorre um número ímpar de arestas

• Passeio – é uma sequência de vértices em que cada dois vértices consecutivos estão ligados por uma aresta, podendo haver repetição.

• Trajeto (trilho) – é um passeio em que as arestas são todas distintas.

• Caminho – é um passeio em que os vértices são todos distintos.

• Circuito ( ou ciclo)- é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice (único que não se pode repetir).

• Trajeto de Euler ou euleriano – é um trajeto que percorre todas as arestas de um grafo uma única vez.

• Circuito de Euler ou euleriano – é um trajeto euleriano que começa e acaba no mesmo vértice.

19

Noções básicas


Regras para averiguar se um dado grafo tem um trajeto ou um circuito de Euler:

Regra 1 – num grafo conexo podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se existirem no máximo dois vértices de grau ímpar.

Regra 2 - num grafo conexo admite um circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par.

20


Atividade 1 (pág.10)

Soluções possíveis:

Padaria – AJKONFGHIPSREDMLBCQ – Padaria

Padaria – ABLMNFEDCQRSGHOKJIP - Padaria

Padaria – QCBLMDERSPIHGFNOKJA - Padaria

Padaria – PIJKOHGSRQCDEFNMLBA - Padaria

21


Atividade 2 (pág 11)

Documents

MACS II 2013/2014 Prof. António Paralta. Livros escolares 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 2 Texto Editores Elisabete Longo Isabel Branco