UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

FACULDADE DE MATEMTICA

FICHA DE DISCIPLINA

CURSO GRADUAO EM MATEMTICA - LICENCIATURA E BACHARELADO DISCIPLINA: INTRODUO TEORIA DOS NMEROS CDIGO:

PERODO: 3

DISCIP. OBRIGATRIA (X)

DISCIP. OPTATIVA ( )

UNIDADE ACADMICA: FAMAT

C.H. TERICA: 60 C.H. PRTICA: 0 C.H. PIPE: 0 C.H. TOTAL: 60

PR-REQUISITOS: C-REQUISITOS: Objetivo Geral: Investigar e deduzir propriedades dos nmeros inteiros; resolver e analisar congruncias; discutir certas equaes diofantinas; deduzir a irracionalidade de certos nmeros reais; classificar os nmeros reais segundo transcendncia ou algebricidade.

Inteiros e divisibilidade; nmeros primos; sistemas de numerao; equaes diofantinas; congruncias; nmeros algbricos e transcendentes.

1. INTEIROS E DIVISIBILIDADE.

1.1. Reviso dos princpios de induo e algumas notas histricas sobre as origens da Teoria dos Nmeros.

1.2. Divisibilidade e suas propriedades. 1.3. O algoritmo da diviso. 1.4. O mximo divisor comum, a identidade de Bezout, o algoritmo de Euclides e o

mnimo mltiplo comum. 1.5. Equaes diofantinas lineares.

2. NMEROS PRIMOS

2.1. Nmeros primos e compostos. 2.2. O Teorema Fundamental da Aritmtica e aplicaes. 2.3. O crivo de Eratstenes e aplicaes. 2.4. Nmeros logartmicos.

3. SISTEMAS DE NUMERAO

3.1. Sistemas de numerao: notao posicional e notao aditiva. 3.2. Representao de um nmero numa base arbitrria (em notao posicional). 3.3. Mudana de base.

DESCRIO DO PROGRAMA

EMENTA

OBJETIVOS DA DISCIPLINA

4. MAIS ALGUMAS EQUAES DIOFANTINAS 4.1. Ternos pitagricos. 4.2. A equao diofantina x4 + y4 =z2 e o ltimo teorema de Fermat com expoente quatro

x4 + y4 =z4. 5. CONGRUNCIAS

5.1. Motivao, breve histrico e propriedades. 5.2. Classes de congruncia e sistemas completos de restos mdulo m. 5.3. Aplicaes: critrios de divisibilidade. 5.4. Congruncias lineares: condies para existncia e clculo de solues. 5.5. Sistemas de congruncias e o Teorema Chins de Restos. 5.6. A funo phi de Euler, o Teorema de Euler e o Pequeno Teorema de Fermat. 5.7. Inverso aritmtico mdulo m e o Teorema de Wilson. 5.8. Aplicaes.

6. NMEROS REAIS

6.1. Representaes decimais finitas e infinitas dos racionais; nmeros irracionais. 6.2. Equaes polinomiais e um critrio para o estabelecimento da irracionalidade de

nmeros reais que so razes de equaes polinomiais com coeficientes inteiros. 6.3. Nmeros trigonomtricos. 6.4. A irracionalidade de e do nmero neperiano e.

7. NMEROS ALGBRICOS E TRANSCENDENTES

7.1. As definies de nmeros algbricos e transcendentes. 7.2. Conjuntos enumerveis. 7.3. A enumerabilidade dos nmeros algbricos. 7.4. A existncia de nmeros transcendentes. 7.5. O Teorema de Gelfond- Schneider (sem demonstrao) e aplicaes. 7.6. O grau de um nmero algbrico e nmeros construtveis. 7.7. Aplicaes: a duplicao do cubo, a trisseco do ngulo e a quadratura do crculo.

Bibliografia Bsica:

[1] DOMINGUES, H., Fundamentos de Aritmtica, Ed. Atual, So Paulo, 1991.

[2] FIGUEIREDO, D. G., Nmeros Irracionais e Transcendentes, Coleo Iniciao Cientfica, SBM., Rio de Janeiro, 2003.

[3] HEFEZ, A., Elementos de Aritmtica, Coleo Textos Universitrios, SBM, Rio de Janeiro, 2005.

[4] NIVEN, I., Nmeros: Racionais e Irracionais, Coleo Professor de Matemtica, SBM., Rio de Janeiro, 1984. [5] SANTOS, J. P. O., Introduo Teoria dos Nmeros, Coleo Matemtica Universitria, SBM., Rio de Janeiro, .

Bibliografia Complementar:

[6] ADAMS, W. AND GOLDSTEIN L., Introduction to Number Theory, Prentice-Hall, 1976.

[7] BURTON, D. M., Elementary Number Theory, Mc Graw Hill, 2002.

BIBLIOGRAFIA

[8] COURANT, R. AND ROBBINS, H., O que a Matemtica?, Traduo de Brito, A. S., Editora Ciencia Moderna, 2000.

[9] COUTINHO, S. C., Nmeros Inteiros e Criptografia RSA, Coleo Matemtica Aplicada, SBM, Rio de Janeiro, 1997.

[10] LE VEQUE, W., Teoria Elemental de Los Nmeros, A.I.D., 1968.

[11] NIVEN, I. AND ZUCKERMAN, H., Introduction to the Theory of Numbers, Jonh Wiley and Sons, 1980.

[12] ORE, O., Invitation to Number Theory, The Mathematical Association of America, 1967.

[13] ORE, O., Number Theory and its History, McGraw-Hill, 1948.

Aprovada em ___/__ /_____

____________________________________________ Coordenador do Curso de Lic. e Bach. em Matemtica

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Diretor da Faculdade de Matemtica

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